江苏省高考数学 真题分类汇编 立体几何

专题14：立体几何江苏卷高考真题赏析（解析版）1．2017年全国普通高等学校招生统一考试数学（江苏卷）如图，在圆柱O1 O2内有一个球O，该球与圆柱的上、下底面及母线均相切．记圆柱O1O2的体积为V1 ,球O的体积为V2，则12VV的值是_____【答案】32【解析】设球半径为r，则213223423V r rV rπ⨯==π．故答案为32．点睛:空间几何体体积问题的常见类型及解题策略：①若给定的几何体是可直接用公式求解的柱体、锥体或台体，则可直接利用公式进行求解；②若所给定的几何体的体积不能直接利用公式得出，则常用转换法、分割法、补形法等方法进行求解．2．2019年江苏省高考数学试卷如图，长方体1111ABCD A B C D-的体积是120，E为1CC的中点，则三棱锥E-BCD的体积是_____.【答案】10.【分析】由题意结合几何体的特征和所给几何体的性质可得三棱锥的体积.【详解】因为长方体1111ABCD A B C D -的体积为120，所以1120AB BC CC ⋅⋅=，因为E 为1CC 的中点， 所以112CE CC =， 由长方体的性质知1CC ⊥底面ABCD ，所以CE 是三棱锥E BCD -的底面BCD 上的高，所以三棱锥E BCD -的体积1132V AB BC CE =⨯⋅⋅=111111201032212AB BC CC =⨯⋅⋅=⨯=. 【点睛】本题蕴含“整体和局部”的对立统一规律.在几何体面积或体积的计算问题中，往往需要注意理清整体和局部的关系，灵活利用“割”与“补”的方法解题.二、解答题3．2020年江苏省高考数学试卷在三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，AB ⊥AC ，B 1C ⊥平面ABC ，E ，F 分别是AC ，B 1C 的中点．（1）求证：EF ∥平面AB 1C 1；（2）求证：平面AB 1C ⊥平面ABB 1．【答案】（1）证明详见解析；（2）证明详见解析.【分析】（1）通过证明1//EF AB ，来证得//EF 平面11AB C .（2）通过证明AB ⊥平面1AB C ，来证得平面1AB C ⊥平面1ABB .【详解】（1）由于,E F 分别是1,AC B C 的中点，所以1//EF AB .由于EF ⊂/平面11AB C ,1AB ⊂平面11AB C ，所以//EF 平面11AB C .（2）由于1B C ⊥平面ABC ，AB 平面ABC ，所以1B C AB ⊥.由于1,AB AC AC B C C ⊥⋂=，所以AB ⊥平面1AB C ,由于AB 平面1ABB ，所以平面1AB C ⊥平面1ABB .【点睛】本小题主要考查线面平行的证明，考查面面垂直的证明，属于中档题.4．2019年江苏省高考数学试卷如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，D ，E 分别为BC ，AC 的中点，AB =BC ．求证：（1）A 1B 1∥平面DEC 1；（2）BE ⊥C 1E ．【答案】（1）见解析；（2）见解析.【分析】(1)由题意结合几何体的空间结构特征和线面平行的判定定理即可证得题中的结论；(2)由题意首先证得线面垂直，然后结合线面垂直证明线线垂直即可.【详解】（1）因为D ，E 分别为BC ，AC 的中点，所以ED ∥AB .在直三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，AB ∥A 1B 1，所以A 1B 1∥ED .又因为ED ⊂平面DEC 1，A 1B 1⊄平面DEC 1，所以A 1B 1∥平面DEC 1.（2）因为AB =BC ，E 为AC 的中点，所以BE ⊥AC .因为三棱柱ABC-A 1B 1C 1是直棱柱，所以CC 1⊥平面ABC .又因为BE ⊂平面ABC ，所以CC 1⊥BE .因为C 1C ⊂平面A 1ACC 1，AC ⊂平面A 1ACC 1，C 1C ∩AC =C ，所以BE ⊥平面A 1ACC 1.因为C 1E ⊂平面A 1ACC 1，所以BE ⊥C 1E .【点睛】本题主要考查直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系等基础知识，考查空间想象能力和推理论证能力.5．2018年全国普通高等学校招生统一考试数学（江苏卷）在平行六面体1111ABCD A B C D -中，1AA AB =,111AB B C ⊥．求证：（1）11//AB A B C 平面；（2）111ABB A A BC ⊥平面平面．【答案】（1）见解析（2）见解析【详解】分析：（1）先根据平行六面体得线线平行，再根据线面平行判定定理得结论；（2）先根据条件得菱形ABB1A1，再根据菱形对角线相互垂直，以及已知垂直条件，利用线面垂直判定定理得线面垂直，最后根据面面垂直判定定理得结论.详解：证明：（1）在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，AB∥A1B1．因为AB⊄平面A1B1C，A1B1⊂平面A1B1C，所以AB∥平面A1B1C．（2）在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，四边形ABB1A1为平行四边形．又因为AA1=AB，所以四边形ABB1A1为菱形，因此AB1⊥A1B．又因为AB1⊥B1C1，BC∥B1C1，所以AB1⊥BC．又因为A1B∩BC=B，A1B⊂平面A1BC，BC⊂平面A1BC，所以AB1⊥平面A1BC．因为AB1⊂平面ABB1A1，所以平面ABB1A1⊥平面A1BC．点睛：本题可能会出现对常见几何体的结构不熟悉导致几何体中的位置关系无法得到运用或者运用错误，如柱体的概念中包含“两个底面是全等的多边形，且对应边互相平行，侧面都是平行四边形”，再如菱形对角线互相垂直的条件，这些条件在解题中都是已知条件，缺少对这些条件的应用可导致无法证明.6．2017年全国普通高等学校招生统一考试数学（江苏卷）如图，在三棱锥A­BCD中，AB⊥AD，BC⊥BD，平面ABD⊥平面BCD，点E，F(E与A，D 不重合)分别在棱AD，BD上，且EF⊥AD.求证：(1)EF ∥平面ABC ；(2)AD ⊥AC .【答案】（1）见解析（2）见解析【解析】试题分析：（1）先由平面几何知识证明EF AB ∥，再由线面平行判定定理得结论；（2）先由面面垂直性质定理得BC ⊥平面ABD ，则BC ⊥AD ，再由AB ⊥AD 及线面垂直判定定理得AD ⊥平面ABC ，即可得AD ⊥AC ．试题解析：证明：（1）在平面ABD 内，因为AB ⊥AD ，EF AD ⊥，所以EF AB .又因为EF ⊄平面ABC ，AB ⊂平面ABC ，所以EF ∥平面ABC .（2）因为平面ABD ⊥平面BCD ，平面ABD ⋂平面BCD =BD ，BC ⊂平面BCD ，BC BD ⊥，所以BC ⊥平面ABD .因为AD ⊂平面ABD ，所以BC ⊥ AD .又AB ⊥AD ，BC AB B ⋂=，AB ⊂平面ABC ，BC ⊂平面ABC ，所以AD ⊥平面ABC ，又因为AC ⊂平面ABC ，所以AD ⊥AC.点睛:垂直、平行关系证明中应用转化与化归思想的常见类型：（1）证明线面、面面平行，需转化为证明线线平行；（2）证明线面垂直，需转化为证明线线垂直；（3）证明线线垂直，需转化为证明线面垂直．7．2016年全国普通高等学校招生统一考试数学（江苏卷）如图，在直三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，D ，E 分别为AB ，BC 的中点，点F 在侧棱B 1B 上，且11B D A F ⊥ ，1111AC A B ⊥.求证：（1）直线DE 平面A 1C 1F ；（2）平面B 1DE ⊥平面A 1C 1F.【答案】（1）详见解析（2）详见解析【解析】试题分析：（1）利用线面平行判定定理证明线面平行，而线线平行的寻找往往结合平面几何的知识，如中位线的性质等；（2）利用面面垂直判定定理证明，即从线面垂直出发给予证明，而线面垂直的证明，往往需要多次利用线面垂直性质定理与判定定理. 试题解析：证明：（1）在直三棱柱111ABC A B C -中，11A C AC ， 在三角形ABC 中，因为D ，E 分别为AB ，BC 的中点，所以DE AC ，于是11DE AC ，又因为DE ⊄平面1111,AC F AC ⊂平面11AC F ，所以直线DE//平面11AC F .（2）在直三棱柱111ABC A B C -中，1111AA A B C ⊥平面因为11A C ⊂平面111A B C ，所以111AA AC ⊥，又因为111111*********,,AC A B AA ABB A A B ABB A A B AA A ⊥⊂⊂⋂=，平面平面， 所以11A C ⊥平面11ABB A .因为1B D ⊂平面11ABB A ，所以111AC B D ⊥.又因为1111111111111,,B D A F AC AC F A F AC F AC A F A ⊥⊂⊂⋂=，平面平面， 所以111B D AC F ⊥平面.因为直线11B D B DE ⊂平面，所以1B DE 平面11.A C F ⊥平面【考点】直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系【名师点睛】垂直、平行关系证明中应用转化与化归思想的常见类型：（1）证明线面、面面平行，需转化为证明线线平行；（2）证明线面垂直，需转化为证明线线垂直；（3）证明线线垂直，需转化为证明线面垂直；（4）证明面面垂直，需转化为证明线面垂直，进而转化为证明线线垂直.8．2015年全国普通高等学校招生统一考试数学（江苏卷）如图，在直三棱柱中，已知，，设的中点为，.求证：（1）；（2）.【答案】（1）详见解析（2）详见解析【解析】试题分析（1）由三棱锥性质知侧面为平行四边形,因此点为的中点，从而由三角形中位线性质得，再由线面平行判定定理得（2）因为直三棱柱中，所以侧面为正方形，因此，又，（可由直三棱柱推导），因此由线面垂直判定定理得,从而，再由线面垂直判定定理得,进而可得试题解析：（1）由题意知，为的中点，又为的中点，因此．又因为平面，平面，所以平面．（2）因为棱柱是直三棱柱，所以平面．因为平面，所以．又因为，平面，平面，，所以平面．又因为平面，所以．因为，所以矩形是正方形，因此．因为，平面，，所以平面．又因为平面，所以．考点：线面平行判定定理，线面垂直判定定理。

压轴题06立体几何小题常考全归类高考对该部分的考查，小题主要体现在两个方面：一是有关空间线面位置关系的命题的真假判断；二是常见一些经典常考压轴小题，难度中等或偏上．考向一：外接球、内切球、棱切球与截面面积问题考向二：体积、面积、周长、角度、距离定值问题考向三：体积、面积、周长、距离最值与范围问题考向四：立体几何中的交线问题考向五：空间线段以及线段之和最值问题考向六：空间角问题考向七：轨迹问题1、几类空间几何体表面积的求法（1）多面体：其表面积是各个面的面积之和．（2）旋转体：其表面积等于侧面面积与底面面积的和．（3）简单组合体：应弄清各构成部分，并注意重合部分的删、补．2、几类空间几何体体积的求法（1）对于规则几何体，可直接利用公式计算．（2）对于不规则几何体，可采用割补法求解；对于某些三棱锥，有时可采用等体积转换法求解．（3）锥体体积公式为13V Sh =，在求解锥体体积时，不能漏掉3、求解旋转体的表面积和体积时，注意圆柱的轴截面是矩形，圆锥的轴截面是等腰三角形，圆台的轴截面是等腰梯形．4、球的截面问题球的截面的性质：①球的任何截面是圆面；②球心和截面（不过球心）圆心的连线垂直于截面；③球心到截面的距离d 与球的半径R 及截面的半径r 的关系为=+222R r d ．注意：解决球与其他几何体的切、接问题，关键在于仔细观察、分析，弄清相关元素的位置关系和数量关系；选准最佳角度作出截面（要使这个截面尽可能多地包含球、几何体的各种元素以及体现这些元素之间的关系），达到空间问题平面化的目的．5、立体几何中的最值问题有三类：一是空间几何体中相关的点、线和面在运动，求线段长度、截面的面积和体积的最值；二是空间几何体中相关点和线段在运动，求有关角度和距离的最值；三是在空间几何体中，已知某些量的最值，确定点、线和面之间的位置关系．6、解决立体几何问题的思路方法：一是几何法，利用几何体的性质，探求图形中点、线、面的位置关系；二是代数法，通过建立空间直角坐标系，利用点的坐标表示所求量的目标函数，借助函数思想方法求最值；通过降维的思想，将空间某些量的最值问题转化为平面三角形、四边形或圆中的最值问题；涉及某些角的三角函数的最值，借助模型求解，如正四面体模型、长方体模型和三余弦角模θαβ=cos cos cos （θ为平面的斜线与平面内任意一条直线l 所成的角，α为该斜线与该平面所成的角，β为该斜线在平面上的射影与直线l 所成的角）．7、立体几何中的轨迹问题，这是一类立体几何与解析几何的交汇题型，既考查学生的空间想象能力，即点、线、面的位置关系，又考查用代数方法研究轨迹的基本思想，培养学生的数学运算、直观想象等素养．8、解决立体几何中的轨迹问题有两种方法：一是几何法．对于轨迹为几何体的问题，要抓住几何体中的不变量，借助空间几何体（柱、锥、台、球）的定义；对于轨迹为平面上的问题，要利用降维的思想，熟悉平面图形（直线、圆、圆锥曲线）的定义．二是代数法（解析法）．在图形中，建立恰当的空间直角坐标系或平面直角坐标系．一、单选题1．（2023·河南商丘·商丘市实验中学校联考模拟预测）已知四棱锥P ABCD -的底面ABCD 是矩形，2,,AD AB AB PD PA PD ==⊥=，则四棱锥P ABCD -的外接球的体积为（）A ．B ．36πC ．D ．256π3【答案】B 【解析】如图，在矩形ABCD 中，连接对角线,AC BD ，记AC BD F ⋂=，则点F 为矩形ABCD 的外接圆圆心，取AD 的中点E ，连接,PE EF ，记PAD 的外接圆圆心为G ，易知1//,1,2EF AB EF AB PE AD ==⊥，且,,P E G 共线.因为,,AB PD AB AD AD PD D ⊥⊥⋂=，,AD PD ⊂平面PAD ，所以AB ⊥平面PAD ，所以EF ⊥平面PAD ，PE ⊂平面PAD ，EF PE ⊥，EF AD E = ，,EF AD ⊂平面ABCD ，所以PE ⊥平面ABCD ，所以PE ，所以PA PD ===120APD ∠= ，所以由正弦定理得PAD 的外接圆半径为2sin AD APD∠=GP =过G 作GO ⊥平面PAD ，且1GO EF ==，连接FO ，由GO ⊥平面PAD ，可知GO EF //，则四边形EFOG 为矩形，所以//FO PG ，则FO ⊥平面ABCD .根据球的性质，可得点O 为四棱锥P ABCD -的外接球的球心.因为3PO ===，所以四棱锥P ABCD -的外接球的体积为34π336π3⨯=.故选：B2．（2023·河南·校联考二模）已知四棱锥P ABCD -的底面ABCD 是矩形，AB PD ⊥，AB =PA PD =，120APD ∠=︒．若四棱锥P ABCD -的外接球的体积为5003π，则该球上的点到平面PAB 的距离的最大值为（）A ．6B ．7C ．8D ．9【答案】C 【解析】如图，在矩形ABCD 中，连接对角线AC ，BD ，记AC BD F ⋂=，则点F 为矩形ABCD 的外接圆圆心，设PA PD a ==，在PAD 中，由余弦定理得：22222212cos 2()32AD PA PD PA PD APD a a a a a =+-⋅⋅⋅∠=+-⋅⋅⋅-=，即AD ，PAD 的外接圆半径为2sin AD a APD=∠，记PAD 的外接圆圆心为G ，则GP a =，取AD 的中点E ，连接PE ，EF ，显然//EF AB ，12EF AB ==，PE AD ⊥，且P ，E ，G 共线，因为AB PD ⊥，AB AD ⊥，AD PD D =I ，于是AB ⊥平面PAD ，即EF ⊥平面PAD ，PE ⊂平面PAD ，有PE EF ⊥，而,,EF AD E EF AD =⊂ 平面ABCD ，因此PE ⊥平面ABCD ，过G 作GO ⊥平面PAD ，使GO EF =，连接FO ，于是//GO EF ，则四边形EFOG 为矩形，有//FO PG ，则FO ⊥平面ABCD ，根据球的性质，得点O 为四棱锥P ABCD -外接球的球心，因为球O 的体积为5003π，则3450033PO ππ⨯=，解得5PO =，而AB =Rt PGO ，PG a ===因此PAB 外接圆直径8PB =，取PB 的中点H ，连接OH ，显然H 为PAB 外接圆圆心，则OH ⊥平面PAB ，且3OH =，所以四棱锥P ABCD -的外接球上的点到平面PAB 的距离的最大值为8．故选：C3．（2023·广西柳州·柳州高级中学校联考模拟预测）在三棱锥P －ABC 中，AB BC ⊥，BC CP ⊥，且1BC =，2CP =，3AB =，AP =）AB ．714π3C ．π3D ．【答案】B【解析】如图1，因为AB BC ⊥，1BC =，3AB =，所以2210AC AB BC +=又2CP =，14AP =所以在APC △中，有22214CP AC AP +==，所以，π2ACP ∠=，即AC PC ⊥.又BC CP ⊥，AC ⊂平面ABC ，BC ⊂平面ABC ，AC BC C = ，所以PC ⊥平面ABC .则该三棱锥可以看作是长方体的一部分，如图2其中，1BC =，2CP =，3AB =，则22214AP AB BC CP =++=所以此三棱锥外接球的半径为142AP R ==所以，此三棱锥外接球的体积为33144π14π34π33R V ⋅⎝⎭===.故选：B.4．（2023·江西·校联考模拟预测）在直四棱柱中1111ABCD A B C D -中，60BAD ∠=︒，12AB AD AA ===，P 为1CC 中点，点Q 满足1DQ DC DD λμ=+，（[]0,1λ∈，[]0,1μ∈）.下列结论不正确．．．的是（）A ．若1λμ+=，则四面体1A BPQ 的体积为定值B ．若//AQ平面1A BP ，则AQ C ．若1A BQ △的外心为M ，则11A B A M ⋅ 为定值2D ．若1AQ =Q 的轨迹长度为2π3【答案】C【解析】对于A ，因为][()1,0,1,0,1DQ DC DD λμλμ⎡⎤=+∈∈⎣⎦ ，1λμ+=，所以1,,Q C D 三点共线，所以点Q 在1CD ，因为1//CD 1A B ，1CD ⊄平面1A BP ，1A B ⊂平面1A BP ，所以1//CD 平面1A BP ，所以点Q 到平面1A BP 的距离为定值，因为1A BP 的面积为定值，所以四面体1A BPQ 的体积为定值，所以A 正确；对于B ，取1,DD DC 的中点分别为,M N ，连接,,AM MN AN ，则//AM BP ，因为AM ⊄平面1A BP ，BP ⊂平面1A BP ，所以//AM 平面1A BP ，因为//MN 1CD ，1//A B 1CD ，所以//MN 1A B ，因为MN ⊄平面1A BP ，1A B ⊂平面1A BP ，//MN 平面1A BP ，因为MN AM M ⋂=，,MN AM ⊂平面AMN ，所以平面//AMN 平面1A BP ，因为AQ ⊂平面AMN ，所以//AQ 平面1A BP ，所以当AQ MN ⊥时，AQ 最小，因为160,2BAD AB AD AA ∠==== ，所以AM MN ==AN =所以222AM MN AN +=，所以,Q M 重合，所以AQ B 正确，对于C ，若1A BQ △的外心为M ，过M 作1MH A B ⊥于H ，因为1A B == ，所以2111142A B A M A B ⋅== ，所以C 错误，对于D ，过1A 作111AO C D ⊥于点O ，因为则可得1DD ⊥平面1111D C B A ，1AO ⊂平面1111D C B A ，所以11DD AO ⊥，因为1111C D DD D = ，111,C D DD ⊂平面11DD C C ，所以1A O ⊥平面11DD C C ，111πcos 13OD A D ==，在111,DD D C 上取点32,A A ，使得13121D A D A ==，则1312322A A A A OA OA ===，所以若1AQ =，则Q 在以O 为圆心，2为半径的圆弧23A A 上运动，因为1131,D O D A =32π3A OA ∠=，则圆弧23A A 等于2π3，所以D 正确，故选：C.5．（2023·四川达州·统考二模）三棱锥A BCD -的所有顶点都在球O 的表面上，平面ABD ⊥平面BCD ，6AB AD =AB AD ⊥，260BDC DBC ∠∠==︒，则球O 的体积为（）A ．43πB ．323πC ．493πD ．3π【答案】A 【解析】如图所示：取BD 的中点O ，因为AB AD ⊥则ABD △是直角三角形，因为260BDC DBC ∠∠==︒。

第一讲立体几何一．填空题（共12小题）1．下列命题：①直线l平行于平面α内的无数条直线，则l∥α；②若直线a不在平面α内，则a∥α；③若直线a∥b，直线b⊄α，则a⊄α；④若直线a∥b，b⊄α，那么直线a就平行于平面α内的无数条直线；⑤若直线a∥b，b∥α，则a∥α；⑥过直线外一点，可以作无数个平面与这条直线平行；⑦过平面外一点有无数条直线与这个平面平行；⑧若一条直线与平面平行，则它与平面内的任何直线都平行．其中正确的命题是．（填序号）2．（2018•铜山区三模）已知平面α，β，直线m，n．给出下列命题：①若m∥α，n∥β，m∥n，则α∥β；②若α∥β，m∥α，n∥β，则m∥n；③若m⊥α，n⊥β，m⊥n，则α⊥β；④若α⊥β，m⊥α，n⊥β，则m⊥n．其中是真命题的是（填写所有真命题的序号）．3．（2014秋•涟水县校级期末）设α，β，γ为两两不重合的平面，l，m，n为两两不重合的直线，给出下列四个命题：①若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β；②若α∥β，l⊂α，则l∥β；③若m⊂α，n⊂α，m∥β，n∥β，则α∥β；④若l⊥α，l∥β，则α⊥β其中命题正确的是．（填序号）4．（2012•江苏）如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=AD=3cm，AA1=2cm，则四棱锥A﹣BB1D1D的体积为cm3．5．（2013•江苏）如图，在三棱柱A1B1C1﹣ABC中，D，E，F分别是AB，AC，AA1的中点，设三棱锥F﹣ADE的体积为V1，三棱柱A1B1C1﹣ABC的体积为V2，则V1：V2=．6．（2014•江苏）设甲、乙两个圆柱的底面积分别为S1，S2，体积分别为V1，V2，若它们的侧面积相等，且=，则的值是．7．（2015•江苏）现有橡皮泥制作的底面半径为5，高为4的圆锥和底面半径为2，高为8的圆柱各一个，若将它们重新制作成总体积与高均保持不变，但底面半径相同的新的圆锥和圆柱各一个，则新的底面半径为．8．（2017•江苏）如图，在圆柱O1O2内有一个球O，该球与圆柱的上、下底面及母线均相切，记圆柱O1O2的体积为V1，球O的体积为V2，则的值是．9．（2010•湖北）圆柱形容器内部盛有高度为8cm的水，若放入三个相同的球（球的半径与圆柱的底面半径相同）后，水恰好淹没最上面的球（如图所示），则球的半径是cm．10．（2015•上海）若正三棱柱的所有棱长均为a，且其体积为16，则a=．11．（2012•山东）如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，E，F分别为线段AA1，B1C上的点，则三棱锥D1﹣EDF的体积为．12．（2011•新课标）已知矩形ABCD的顶点都在半径为4的球O的球面上，且AB=6，BC=2，则棱锥O﹣ABCD的体积为．二．解答题（共4小题）13．（2016•江苏）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，D，E分别为AB，BC的中点，点F在B上，且B1D⊥A1F，A1C1⊥A1B1．求证：侧棱B（1）直线DE∥平面A1C1F；（2）平面B1DE⊥平面A1C1F．14．（2014•江苏）如图，在三棱锥P﹣ABC中，D，E，F分别为棱PC，AC，AB的中点，已知PA⊥AC，PA=6，BC=8，DF=5．求证：（1）直线PA∥平面DEF；（2）平面BDE⊥平面ABC．15．（2017•江苏）如图，在三棱锥A﹣BCD中，AB⊥AD，BC⊥BD，平面ABD⊥平面BCD，点E、F（E与A、D不重合）分别在棱AD，BD上，且EF⊥AD．求证：（1）EF∥平面ABC；（2）AD⊥AC．16．（2013•南京一模）如图，在四面体A﹣BCD中，有CB=CD，平面ABD⊥平面BCD，点E、F分别为BD，AB的中点，MN∥平面ABD．（1）求证：平面ABD⊥平面EFC；（2）如图，求证：直线MN∥直线GH．第一讲立体几何参考答案与试题解析一．填空题（共12小题）1．下列命题：①直线l平行于平面α内的无数条直线，则l∥α；②若直线a不在平面α内，则a∥α；③若直线a∥b，直线b⊄α，则a⊄α；④若直线a∥b，b⊄α，那么直线a就平行于平面α内的无数条直线；⑤若直线a∥b，b∥α，则a∥α；⑥过直线外一点，可以作无数个平面与这条直线平行；⑦过平面外一点有无数条直线与这个平面平行；⑧若一条直线与平面平行，则它与平面内的任何直线都平行．其中正确的命题是③⑥⑦．（填序号）【解答】解：在①中，若直线l平行于平面α内的无数条直线，当这无数条直线不相交时，则直线l与α相交、平行或l⊂α，故①错误：在②中，若直线a在平面α外．则a与α平行或相交，故②错误；在③中，若直线a∥b，直线b⊄α，则a⊄α，正确；在④中，若直线a∥b，b⊄α，那么直线a就平行于平面α内的无数条直线，不正确；在⑤中，若直线a∥b，b∥a，则a∥α或a⊂α，故⑤错误；在⑥中，因为过直线外一点可以作无数个平面与已知直线平行，因为只须这些平面经过这条直线的平行线且不过这条直线即可，正确；在⑦中，因为过平面外一点可作一个平面与这个平面平行，只是在这个平面内的直线都与这个平面平行，正确；在⑧中，如果一条直线与平面平行，则它与平面内的直线平行或异面，故错误．故答案为③⑥⑦2．（2018•铜山区三模）已知平面α，β，直线m，n．给出下列命题：①若m∥α，n∥β，m∥n，则α∥β；②若α∥β，m∥α，n∥β，则m∥n；③若m⊥α，n⊥β，m⊥n，则α⊥β；④若α⊥β，m⊥α，n⊥β，则m⊥n．其中是真命题的是③④（填写所有真命题的序号）．【解答】解：①若m∥α，n∥β，m∥n，则α∥β或α、β相交，是假命题；②若α∥β，m∥α，n∥β，则m∥n或m，n相交或异面，是假命题；③若m⊥α，n⊥β，m⊥n，则α⊥β，是真命题；④若α⊥β，m⊥α，n⊥β，则m⊥n，是真命题，故答案为：③④．3．（2014秋•涟水县校级期末）设α，β，γ为两两不重合的平面，l，m，n为两两不重合的直线，给出下列四个命题：①若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β；②若α∥β，l⊂α，则l∥β；③若m⊂α，n⊂α，m∥β，n∥β，则α∥β；④若l⊥α，l∥β，则α⊥β其中命题正确的是②④．（填序号）【解答】解：①若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β，此命题不正确，因为垂直于同一平面的两个平面可能平行、相交，不能确定两平面之间是平行关系，故不正确；②若α∥β，l⊂α，则，利用平面与平面平行的性质，可得l∥β，正确；③若m⊂α，n⊂α，m∥β，n∥β，m，n不一定相交，则α∥β不正确；④由题意l⊥α，当l∥β时，必存在β内的直线l′，使l∥l′，可得l′⊥α，由面面垂直的判定定理可得α⊥β，正确．故答案为：②④．4．（2012•江苏）如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=AD=3cm，AA1=2cm，则四棱锥A﹣BB1D1D的体积为6cm3．【解答】解：过A作AO⊥BD于O，AO是棱锥的高，所以AO==，所以四棱锥A﹣BB1D1D的体积为V==6．故答案为：6．5．（2013•江苏）如图，在三棱柱A1B1C1﹣ABC中，D，E，F分别是AB，AC，AA1的中点，设三棱锥F﹣ADE的体积为V1，三棱柱A1B1C1﹣ABC的体积为V2，则V1：V2=1：24．【解答】解：因为D，E，分别是AB，AC的中点，所以S△ADE ：S△ABC=1：4，又F是AA1的中点，所以A1到底面的距离H为F到底面距离h的2倍．即三棱柱A1B1C1﹣ABC的高是三棱锥F﹣ADE高的2倍．所以V1：V2==1：24．故答案为1：24．6．（2014•江苏）设甲、乙两个圆柱的底面积分别为S1，S2，体积分别为V1，V2，若它们的侧面积相等，且=，则的值是．【解答】解：设两个圆柱的底面半径分别为R，r；高分别为H，h；∵=，∴，它们的侧面积相等，∴，∴===．故答案为：．7．（2015•江苏）现有橡皮泥制作的底面半径为5，高为4的圆锥和底面半径为2，高为8的圆柱各一个，若将它们重新制作成总体积与高均保持不变，但底面半径相同的新的圆锥和圆．【解答】解：由题意可知，原来圆锥和圆柱的体积和为：．设新圆锥和圆柱的底面半径为r，则新圆锥和圆柱的体积和为：．∴，解得：．故答案为：．8．（2017•江苏）如图，在圆柱O1O2内有一个球O，该球与圆柱的上、下底面及母线均相切，记圆柱O1O2的体积为V1，球O的体积为V2，则的值是．【解答】解：设球的半径为R，则球的体积为：R3，圆柱的体积为：πR2•2R=2πR3．则==．故答案为：．9．（2010•湖北）圆柱形容器内部盛有高度为8cm的水，若放入三个相同的球（球的半径与圆柱的底面半径相同）后，水恰好淹没最上面的球（如图所示），则球的半径是4cm．【解答】解：设球半径为r，则由3V球+V水=V柱可得3×，解得r=4．故答案为：410．（2015•上海）若正三棱柱的所有棱长均为a，且其体积为16，则a=4．【解答】解：由题意可得，正棱柱的底面是变长等于a的等边三角形，面积为•a•a•sin60°，正棱柱的高为a，∴（•a•a•sin60°）•a=16，∴a=4，故答案为：4．11．（2012•山东）如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，E，F分别为线段AA1，B1C上的点，则三棱锥D1﹣EDF的体积为．【解答】解：将三棱锥D 1﹣EDF选择△D1ED为底面，F为顶点，则=，其==，F到底面D1ED的距离等于棱长1，所以=××1=S故答案为：12．（2011•新课标）已知矩形ABCD的顶点都在半径为4的球O的球面上，且AB=6，BC=2，则棱锥O﹣ABCD的体积为8．【解答】解：矩形的对角线的长为：，所以球心到矩形的距离为：=2，所以棱锥O﹣ABCD的体积为：=8．故答案为：8二．解答题（共4小题）13．（2016•江苏）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，D，E分别为AB，BC的中点，点F在侧棱B1B上，且B1D⊥A1F，A1C1⊥A1B1．求证：（1）直线DE∥平面A1C1F；（2）平面B1DE⊥平面A1C1F．【解答】解：（1）∵D，E分别为AB，BC的中点，∴DE为△ABC的中位线，∴DE∥AC，∵ABC﹣A1B1C1为棱柱，∴AC∥A1C1，∴DE∥A1C1，∵A1C1⊂平面A1C1F，且DE⊄平面A1C1F，∴DE∥A1C1F；（2）∵ABC﹣A1B1C1为直棱柱，∴AA1⊥平面A1B1C1，又∵A1C1⊥A1B1，且AA1∩A1B1=A1，AA1、A1B1⊂平面AA1B1B，∴A1C1⊥平面AA1B1B，∵DE∥A1C1，∴DE⊥平面AA1B1B，又∵A1F⊂平面AA1B1B，∴DE⊥A1F，又∵A1F⊥B1D，DE∩B1D=D，且DE、B1D⊂平面B1DE，∴A1F⊥平面B1DE，又∵A1F⊂平面A1C1F，∴平面B1DE⊥平面A1C1F．14．（2014•江苏）如图，在三棱锥P﹣ABC中，D，E，F分别为棱PC，AC，AB的中点，已知PA⊥AC，PA=6，BC=8，DF=5．求证：（1）直线PA∥平面DEF；（2）平面BDE⊥平面ABC．【解答】证明：（1）∵D、E为PC、AC的中点，∴DE∥PA，又∵PA⊄平面DEF，DE⊂平面DEF，∴PA∥平面DEF；（2）∵D、E为PC、AC的中点，∴DE=PA=3；又∵E、F为AC、AB的中点，∴EF=BC=4；∴DE2+EF2=DF2，∴∠DEF=90°，∵DE∥PA，PA⊥AC，∴DE⊥AC；∵AC∩EF=E，∴DE⊥平面ABC；∵DE⊂平面BDE，∴平面BDE⊥平面ABC．15．（2017•江苏）如图，在三棱锥A﹣BCD中，AB⊥AD，BC⊥BD，平面ABD⊥平面BCD，点E、F（E与A、D不重合）分别在棱AD，BD上，且EF⊥AD．求证：（1）EF∥平面ABC；（2）AD⊥AC．【解答】证明：（1）因为AB⊥AD，EF⊥AD，且A、B、E、F四点共面，所以AB∥EF，又因为EF⊄平面ABC，AB⊂平面ABC，所以由线面平行判定定理可知：EF∥平面ABC；（2）在线段CD上取点G，连结FG、EG使得FG∥BC，则EG∥AC，因为BC⊥BD，FG∥BC，所以FG⊥BD，又因为平面ABD⊥平面BCD，所以FG⊥平面ABD，所以FG⊥AD，又因为AD⊥EF，且EF∩FG=F，所以AD⊥平面EFG，所以AD⊥EG，故AD⊥AC．16．（2013•南京一模）如图，在四面体A﹣BCD中，有CB=CD，平面ABD⊥平面BCD，点E、F分别为BD，AB的中点，MN∥平面ABD．（1）求证：平面ABD⊥平面EFC；（2）如图，求证：直线MN∥直线GH．【解答】证明：（1）∵CB=CD，E为BD的中点，∴CE⊥BD．∵平面ABD⊥平面BCD，平面ABD∩平面BCD=BD，∴CE⊥平面ABD，∵CE⊂平面EFC，∴平面ABD⊥平面EFC；（2）∵点E、F分别为BD，AB的中点，∴EF∥AD．∵MN∥平面ABD，平面CEF∩平面ABD=EF，∴MN∥EF，∴MN∥AD，而MN⊄平面ACD，AD⊂平面ACD，∴MN∥平面ACD，∵平面BMN∩平面ACD=GH，∴MN∥GH．。

2012年江苏各地高考数学模考试题汇编第3部分 立体几何 苏教版（江苏最后1卷）给出下列四个命题：（1）如果平面α与平面β相交，那么平面α内所有的直线都与平面α相交 （2）如果平面α⊥平面β，那么平面α内所有直线都垂直于平面β（3）如果平面α⊥平面β，那么平面α内与它们的交线不垂直的直线与平面β也不垂直 （4）如果平面α不垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面β 真命题．．．的序号是 ▲ ．（写出所有真命题的序号）【答案】（3）（4）（南师大信息卷）在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，若点P 是棱上一点，则满足12PA PC +=的点P 的个数为 6 . 提示：点P 在以1AC 为焦点的椭圆上，P 分别在AB 、AD 、1AA 、11C B 、11C D 、1C C 上. 或者，若P 在AB 上，设AP x =,有2211(1)(2)2,2PA PC x x x +=+-+=∴=. 故AB 上有一点P （AB 的中点）满足条件.同理在AD 、1AA 、11C B 、11C D 、1C C 上各有一点满足条件. 又若点P 在1BB 上上，则2211112PA PC BP B P +=+++>. 故1BB 上不存在满足条件的点P ，同理1DD 上不存在满足条件的点P .（南通三模）已知正方体1C 的棱长为182，以1C 各个面的中心为顶点的凸多面体为2C ，以2C 各个面的中心为顶点的凸多面体为3C ，以3C 各个面的中心为顶点的凸多面体为4C ，依此类推。

记凸多面体n C 的棱长为n a ，则6a = ▲ .解析：考查推理方法以及几何体中元素的关系理解应用。

正方体1C 的棱长为218111==B A a ,由1C 各个面的中心为顶点的几何体为正八面体2C ，其棱长182211222===B A B A a ，由2C 各个面的中心为顶点的几何体为正方体3C ,其棱长263222333===B A B A a ,如此类推：得到2,22,6654===a a a 。

第1页（共35页）2017-2021年江苏省高考数学真题分类汇编：立体几何
一．选择题（共1小题）
1．（2021•新高考Ⅰ）已知圆锥的底面半径为
，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的
母线长为（
）A ．2B ．
2C ．4D ．
4二．多选题（共1小题）
（多选）2．（2021•新高考Ⅰ）在正三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，AB ＝AA 1＝1，点P 满足＝λ+μ，其中λ∈[0，1]，μ∈[0，1]，则（）A ．当λ＝1时，△AB 1P 的周长为定值
B ．当μ＝1时，三棱锥P ﹣A 1B
C 的体积为定值
C ．当λ＝时，有且仅有一个点P ，使得A 1P ⊥BP
D ．当μ＝时，有且仅有一个点P ，使得A 1B ⊥平面AB 1P
三．填空题（共4小题）
3．（2020•江苏）如图，六角螺帽毛坯是由一个正六棱柱挖去一个圆柱所构成的．已知螺帽的底面正六边形边长为2cm ，高为2cm ，内孔半径为0.5cm ，则此六角螺帽毛坯的体积是cm 3
．
4．（2019•江苏）如图，长方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的体积是120，E 为CC 1的中点，则三棱锥E ﹣BCD 的体积是．。

PABCD（2008-2019）江苏省高考数学 立体几何真题汇总 （附规范解析过程）（08江苏）16．在四面体ABCD 中， CB ＝CD ，AD ⊥BD ，且E ，F 分别 是AB ，BD 的中点，求证：（1）直线EF ∥平面ACD ；（2）平面EFC ⊥平面BCD ．证明：（1）因为E ，F 分别是AB ，BD 的中点， 所以EF 是△ABD 的中位线，所以EF ∥AD ， 又因为EF ⊄面ACD ，AD ⊂面ACD ， 所以直线EF ∥面ACD ．（2）因为AD ⊥BD ，EF ∥AD ， 所以EF ⊥BD ．因为CB =CD ，F 是BD 的中点， 所以CF ⊥BD ．又EF ∩CF =F ，EF ⊂平面EFC ，CF ⊂平面EFC ， 所以BD ⊥面EFC ．因为BD ⊂面BCD ，所以面EFC ⊥面BCD ．（09江苏）16．如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，F E ,分别是1A B ，1A C 的中点，点D 在11B C 上，11A D B C⊥．求证：（1）EF ∥平面ABC ；（2）平面1A FD ⊥平面11BB C C ．证明：（1）因为E,F 分别是11A B,AC 的中点， 所以EF//BC ．因为EF ABC ⊄平面，BC ABC ⊂平面， 所以EF ∥ABC 平面． （2）在直三棱柱111ABC A B C -中，1111CC A B C ⊥平面，又1111A D A B C ⊂平面， 故11CC A D ⊥．又因为11A D B C ⊥，11CC B C C =，111CC BB C C ⊂平面，111B C BB C C ⊂平面， 故111A D BB C C ⊥平面． 又11A D A FD ⊂平面， 所以111A FD BB C C ⊥平面平面．（10江苏）16．如图，在四棱锥P —ABCD 中，PD ⊥平面ABCD ， PD ＝DC ＝BC ＝1，AB ＝2，AB ∥DC ，∠BCD ＝90°． （1）求证：PC ⊥BC ；（2）求点A 到平面PBC 的距离．证明：（1）因为PD ⊥平面ABCD ，BC ⊂平面ABCD ， 所以PD ⊥BC ．由∠BCD =900，得DC ⊥BC ，又PD DC D =，CD ⊂平面PCD ，PD ⊂平面PCD ， 所以BC ⊥平面PCD ．因为PC ⊂平面PCD ，所以PC ⊥BC ．（2）连结AC ，设点A 到平面PBC 的距离为h ． 因为AB//DC ，∠BCD =900，所以∠ABC =900．从而由AB=2，BC=1，得ΔABC 的面积1ABC S ∆=． 由PD ⊥平面ABCD 及PD=1，得三棱锥P ABC -的体积1133P ABC ABC V S PD -∆=⋅=．因为PD ⊥平面ABCD ，DC ABCD ⊂平面，所以PD ⊥DC ．又PD=DC=1，所以222PC PD DC =+=． 由PC ⊥BC ，BC=1，得ΔPBC 的面积22PBCS ∆=． 由11213323A PBCPBC P ABC VS h h V -∆-=⋅=⋅⋅==，得， 2h =，因此点A 到平面PBC 的距离为2．B CDAEFS GABCEF（11江苏）16．如图，在四棱锥P －ABCD 中，平面P AD ⊥平面ABCD ， AB ＝AD ，∠BAD ＝60°，E ，F 分别是AP ，AD 的中点． 求证：（1）直线EF ∥平面PCD ；（2）平面BEF ⊥平面P AD ．证明：（1）在ΔPAD 中，因为E ，F 分别是AP ，AD 的中点，所以EF ∥PD ． 又因为EF ⊄平面PCD ，PD ⊂平面PCD ， 所以直线EF ‖平面PCD ．（2）连结BD ，因为AB=AD ，∠BAD =600， 所以ΔABD 为正三角形．因为F 是AD 的中点，所以BF AD ⊥，因为平面PAD ⊥平面ABCD ，平面PAD 平面ABCD=AD ， BF ⊂平面ABCD ，所以BF ⊥面PAD ． 又因为BF ⊂平面BEF ， 所以平面BEF ⊥平面PAD ．（12江苏）16．如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，1111A B AC =，D E ，分别 是棱1BC CC ，上的点（点D 不同于点C ），且AD DE F ⊥，为11B C 的中点． 求证：（1）平面ADE ⊥平面11BCC B ； （2）直线1//A F 平面ADE ． 证明：（1）因为111ABC A B C -是直三棱柱， 所以1CC ⊥平面ABC ．又AD ⊂平面ABC ，所以1CC AD ⊥． 又因为AD DE ⊥，1CC ⊂平面11BCC B ， DE ⊂平面11BCC B ，1CC DE E =， 所以AD ⊥平面11BCC B ．又AD ⊂平面ADE ，所以平面ADE ⊥平面11BCC B ． （2）因为1111A B AC =，F 为11B C 的中点， 所以111A F B C ⊥．因为1CC ⊥平面111A B C ，且1A F ⊂平面111A B C ， 所以11CC A F ⊥．又因为111,CC B C ⊂平面11BCC B ，1111CC B C C =，所以1A F ⊥平面11BCC B ． 由（1）知，AD ⊥平面11BCC B ， 所以1//A F AD ．又AD ⊂平面ADE ，1A F ⊄平面ADE ， 所以直线1A F 平面ADE ．（13江苏）16．如图，在三棱锥S －ABC 中，平面平面SAB ⊥平面SBC ，AB ⊥BC ， AS ＝AB ，过A 作AF ⊥SB ，垂足为F ，点E ,G 分别是棱SA ,SC 的中点． 求证：（1）平面EFG ∥平面ABC ；（2）BC ⊥SA ． 16.证明：（1）因为AS AB =，AF ⊥SB ，垂足为F ，所以F 是SB 的中点．又因为E 是SA 的中点，所以EF //AB ． 因为EF ⊄平面ABC ，AB ⊂平面ABC ， 所以EF //平面ABC ．又因为点E,G 分别是棱SA,SC 的中点，所以EG //AC ．因为EG ⊄平面ABC ，AC ⊂平面ABC ， 所以EG //平面ABC ．又EF EG=E ，EF ⊂平面EFG ，EG ⊂平面EFG ， 所以平面EFG ∥平面ABC ． （2）因为平面SAB ⊥平面SBC ，平面SAB 平面SBC SB =，AF ⊂平面S AB ， AF ⊥SB ，所以AF ⊥平面SBC ．因为BC ⊂平面SBC ．所以AF ⊥BC ．又因为AB ⊥BC ，AF AB=A ，AF ⊂平面SAB ， AB ⊂平面SAB ，所以BC ⊥平面SAB ． 因为SA ⊂平面SAB ，所以BC ⊥ SA ．（14江苏）16．如图，在三棱锥P －ABC 中，D ，E ，F 分别为棱PC ，AC ，AB 的中点．已知P A ⊥AC ，P A ＝6，BC ＝8，DF ＝5． 求证：（1）直线P A ∥平面DEF ；（2）平面BDE ⊥平面ABC ．证明：（1）因为D ，E 为PC ，AC 中点，所以DE ∥PA ． 又因为PA ⊄平面DEF ，DE ⊂平面DEF ， 所以PA ∥平面DEF ．（2）因为D ，E ，F 分别为PC ，AC ，AB 的中点，PA=6，BC=8，所以DE ∥PA ，132DE PA ==，142EF BC ==．又因为，故222DE EF DF +=， 所以90DEF ∠=°，即DE ⊥EF ． 又//DE PA PA AC ⊥，，所以DE ⊥AC ，因为AC EF E =，AC ⊂平面ABC ，EF ⊂平面ABC ， 所以DE ⊥平面ABC ， 又DE ⊂平面BDE ，所以平面BDE ⊥平面ABC ．（15江苏）如图，在直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，已知AC ⊥BC ，BC =CC 1， 设AB 1的中点为D ，B 1C ∩BC 1=E ． 求证：（1）DE ∥平面AA 1C 1C ；（2）BC 1⊥AB 1．证明：（1）由题意知，E 为B 1C 的中点， 又D 为AB 1的中点，因此DE ∥AC ． 又因为DE ⊄平面11AAC C ，AC ⊂平面11AAC C ， 所以DE ∥平面11AAC C． （2）因为棱柱111ABC A B C -是直三棱柱， 所以1CC ⊥平面ABC ．因为AC ⊂平面ABC ，所以AC ⊥1CC ． 又因为AC ⊥BC ，1CC ⊂平面11B BCC ， BC ⊂平面11B BCC ，BC ∩1CC =C ， 所以AC ⊥平面11B BCC ． 又因为1BC ⊂平面11B BCC ， 所以1BC ⊥AC ．因为BC =1CC ，所以矩形11B BCC 是正方形， 因此BC 1⊥B 1C ．因为AC ，B 1C ⊂平面B 1AC ，AC ∩B 1C=C ， 所以BC 1⊥平面B 1AC ．又因为AB 1⊂平面B 1AC ，所以BC 1⊥1AB ．（16江苏）16．如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，,D E 分别为,AB BC 的中点， 点F 在侧棱1B B 上，且11B D A F ⊥，1111AC A B ⊥．求证：(1)直线//DE 平面11A C F ；(2)平面1B DE ⊥平面11A C F ．证明：（1）在直三棱柱111ABC A B C -中，11//AC AC ， 在ABC ∆中，因为D,E 分别为AB ，BC 的中点， 所以//DE AC ，于是11//DE AC ． 又因为DE ⊄平面11A C F ，11AC ⊂平面11A C F ， 所以直线//DE 平面11A C F ．（2）在直三棱柱111ABC A B C -中，1AA ⊥平面111A B C ． 因为11AC ⊂平面111A B C ，所以111A A AC ⊥． 又因为1111AC AB ⊥，1A A ⊂平面11AA B B ，11A B ⊂平面11AA B B ，1111A A A B A =，所以11AC ⊥平面11AA B B ． 因为1BD ⊂平面11AA B B ，所以111AC B D⊥． 又因为11B D A F ⊥，11AC ⊂平面11AC F ，1A F ⊂平面11AC F ， 1111AC A F A =，所以1B D ⊥平面11AC F ． 因为1B D ⊂平面1B DE ， 所以平面1B DE ⊥平面11AC F．（第16题）PDCEFBAFEDC BAC 1B 1A 1AB CD EA 1B 1C 1D 11B 1A 1DCBA（17江苏）15．如图，在三棱锥A-BCD 中，AB ⊥AD ，BC ⊥BD ，平面ABD ⊥平面BCD ， 点E ，F （E 与A ，D 不重合）分别在棱AD ，BD 上，且EF ⊥AD ． 求证：（1）EF ∥平面ABC ；（2）AD ⊥AC ．证明：（1）在平面ABD 内，因为AB ⊥AD ，EF ⊥AD ，，所以EF AB ∥. 又因为EF ⊄平面ABC ，AB ⊂平面ABC ， 所以EF ∥平面ABC .（2）因为平面ABD ⊥平面BCD ， 平面ABD平面BCD =BD ，BC ⊂平面BCD ，BC ⊥BD ， 所以BC ⊥平面ABD .因为AD ⊂平面ABD ，所以BC ⊥AD . 又AB ⊥AD ，BCAB=B ，AB ⊂平面ABC ，BC ⊂平面ABC ， 所以AD ⊥平面ABC ， 又因为AC ⊂平面ABC ， 所以AD ⊥AC ．（18江苏）在平行六面体ABCD －A 1B 1C 1 D 1中，AA 1＝AB ，AB 1⊥B 1C 1. 求证：（1）AB ∥平面A 1B 1C ；（2）平面ABB 1 A 1⊥平面A 1BC证明：（1）在平行六面体ABCD -A 1B 1C 1D 1中， AB ∥A 1B 1．因为AB ⊄平面A 1B 1C ，A 1B 1⊂平面A 1B 1C ， 所以AB ∥平面A 1B 1C ．（2）在平行六面体ABCD -A 1B 1C 1D 1中， 四边形ABB 1A 1为平行四边形．又因为AA 1=AB ，所以四边形ABB 1A 1为菱形， 因此AB 1⊥A 1B ．又因为AB 1⊥B 1C 1，BC ∥B 1C 1， 所以AB 1⊥BC ．又因为A 1B ∩BC =B ，A 1B ⊂平面A 1BC ， BC ⊂平面A 1BC ，所以AB 1⊥平面A 1BC ． 因为AB 1⊂平面ABB 1A 1， 所以平面ABB 1A 1⊥平面A 1BC ．（19江苏）16．如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，D ，E 分别为BC ， AC 的中点，AB =BC ．求证：（1）11//A B 平面1DEC ；（2）1⊥BE C E ．证明：（1）因为D ，E 分别为BC ，AC 的中点， 所以ED ∥AB ．在直三棱柱111ABC A B C -中，AB ∥11A B ， 所以11A B ∥ED ．又因为ED ⊂平面1DEC ，11A B ⊄平面1DEC ，所以11//A B 平面1DEC ．（2）因为AB =BC ，E 为AC 的中点， 所以BE ⊥AC ．因为三棱柱111ABC A B C -是直棱柱， 所以1CC ⊥平面ABC ．又因为BE ⊂平面ABC ，所以1CC ⊥BE ． A BCDEFB CDAE1A 1B 1C （第16题）PABCD因为1CC ⊂平面11A ACC ，AC ⊂平面11A ACC ，1CC ∩AC =C ，所以BE ⊥平面11A ACC ． 因为1C E ⊂平面11A ACC ，所以1⊥BE C E ．（2008-2019）江苏省高考数学立体几何真题汇总（08江苏）16．在四面体ABCD 中， CB ＝CD ，AD ⊥BD ，且E ，F 分别 是AB ，BD 的中点，求证：（1）直线EF ∥平面ACD ；（2）平面EFC ⊥平面BCD ．（09江苏）16．如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，F E ,分别是1A B ，1A C 的中点，点D 在11B C 上，11A D B C⊥．求证：（1）EF ∥平面ABC ；（2）平面1A FD ⊥平面11BB C C ．（10江苏）16．如图，在四棱锥P —ABCD 中，PD ⊥平面ABCD ， PD ＝DC ＝BC ＝1，AB ＝2，AB ∥DC ，∠BCD ＝90°． （1）求证：PC ⊥BC ；（2）求点A 到平面PBC 的距离．B C DAEFS GA B CE F（11江苏）16．如图，在四棱锥P －ABCD 中，平面P AD ⊥平面ABCD ， AB ＝AD ，∠BAD ＝60°，E ，F 分别是AP ，AD 的中点． 求证：（1）直线EF ∥平面PCD ；（2）平面BEF ⊥平面P AD ．（12江苏）16．如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，1111A B AC =，D E ，分别 是棱1BC CC ，上的点（点D 不同于点C ），且AD DE F ⊥，为11B C 的中点． 求证：（1）平面ADE ⊥平面11BCC B ； （2）直线1//A F 平面ADE ．（13江苏）16．如图，在三棱锥S －ABC 中，平面平面SAB ⊥平面SBC ，AB ⊥BC ， AS ＝AB ，过A 作AF ⊥SB ，垂足为F ，点E ,G 分别是棱SA ,SC 的中点． 求证：（1）平面EFG ∥平面ABC ；（2）BC ⊥SA ．（14江苏）16．如图，在三棱锥P －ABC 中，D ，E ，F 分别为棱PC ，AC ，AB 的中点．已知P A ⊥AC ，P A ＝6，BC ＝8，DF ＝5． 求证：（1）直线P A ∥平面DEF ；（2）平面BDE ⊥平面ABC ．（15江苏）如图，在直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，已知AC ⊥BC ，BC =CC 1， 设AB 1的中点为D ，B 1C ∩BC 1=E ． 求证：（1）DE ∥平面AA 1C 1C ；（2）BC 1⊥AB 1．（16江苏）16．如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，,D E 分别为,AB BC 的中点， 点F 在侧棱1B B 上，且11B D A F ⊥，1111AC A B ⊥．求证：(1)直线//DE 平面11A C F ；(2)平面1B DE ⊥平面11A C F ．（第16题）P D CE F B AFEDC BAC 1B 1A 1D 11B 1A 1D CBA A BCDEF（17江苏）15．如图，在三棱锥A-BCD 中，AB ⊥AD ，BC ⊥BD ，平面ABD ⊥平面BCD ，点E ，F （E 与A ，D 不重合）分别在棱AD ，BD 上，且EF ⊥AD ．求证：（1）EF ∥平面ABC ；（2）AD ⊥AC ．（18江苏）在平行六面体ABCD －A 1B 1C 1 D 1中，AA 1＝AB ，AB 1⊥B 1C 1. 求证：（1）AB ∥平面A 1B 1C ；（2）平面ABB 1 A 1⊥平面A 1BC（19江苏）16．如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，D ，E 分别为BC ， AC 的中点，AB =BC ．求证：（1）11//A B 平面1DEC ；（2）1⊥BE C E ．A 1A 1B。

PABCD（2008-2019）江苏省高考数学 立体几何真题汇总 （附规范解析过程）（08江苏）16．在四面体ABCD 中， CB ＝CD ，AD ⊥BD ，且E ，F 分别 是AB ，BD 的中点，求证：（1）直线EF ∥平面ACD ；（2）平面EFC ⊥平面BCD ．证明：（1）因为E ，F 分别是AB ，BD 的中点， 所以EF 是△ABD 的中位线，所以EF ∥AD ， 又因为EF ⊄面ACD ，AD ⊂面ACD ， 所以直线EF ∥面ACD ．（2）因为AD ⊥BD ，EF ∥AD ， 所以EF ⊥BD ．因为CB =CD ，F 是BD 的中点， 所以CF ⊥BD ．又EF ∩CF =F ，EF ⊂平面EFC ，CF ⊂平面EFC ， 所以BD ⊥面EFC ．因为BD ⊂面BCD ，所以面EFC ⊥面BCD ．（09江苏）16．如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，F E ,分别是1A B ，1A C 的中点，点D 在11B C 上，11A D B C⊥．求证：（1）EF ∥平面ABC ；（2）平面1A FD ⊥平面11BB C C ．证明：（1）因为E,F 分别是11A B,AC 的中点， 所以EF//BC ．因为EF ABC ⊄平面，BC ABC ⊂平面， 所以EF ∥ABC 平面． （2）在直三棱柱111ABC A B C -中，1111CC A B C ⊥平面，又1111A D A B C ⊂平面， 故11CC A D ⊥．又因为11A D B C ⊥，11CC B C C =，111CC BB C C ⊂平面，111B C BB C C ⊂平面， 故111A D BB C C ⊥平面． 又11A D A FD ⊂平面， 所以111A FD BB C C ⊥平面平面．（10江苏）16．如图，在四棱锥P —ABCD 中，PD ⊥平面ABCD ， PD ＝DC ＝BC ＝1，AB ＝2，AB ∥DC ，∠BCD ＝90°． （1）求证：PC ⊥BC ；（2）求点A 到平面PBC 的距离．证明：（1）因为PD ⊥平面ABCD ，BC ⊂平面ABCD ， 所以PD ⊥BC ．由∠BCD =900，得DC ⊥BC ，又PD DC D =，CD ⊂平面PCD ，PD ⊂平面PCD ， 所以BC ⊥平面PCD ．因为PC ⊂平面PCD ，所以PC ⊥BC ．（2）连结AC ，设点A 到平面PBC 的距离为h ． 因为AB//DC ，∠BCD =900，所以∠ABC =900．从而由AB=2，BC=1，得ΔABC 的面积1ABC S ∆=． 由PD ⊥平面ABCD 及PD=1，得三棱锥P ABC -的体积1133P ABC ABC V S PD -∆=⋅=．因为PD ⊥平面ABCD ，DC ABCD ⊂平面，所以PD ⊥DC ．又PD=DC=1，所以222PC PD DC =+=． 由PC ⊥BC ，BC=1，得ΔPBC 的面积22PBCS ∆=． 由11213323A PBCPBC P ABC VS h h V -∆-=⋅=⋅⋅==，得， 2h =，因此点A 到平面PBC 的距离为2．B CDAEFS GABCEF（11江苏）16．如图，在四棱锥P －ABCD 中，平面P AD ⊥平面ABCD ， AB ＝AD ，∠BAD ＝60°，E ，F 分别是AP ，AD 的中点． 求证：（1）直线EF ∥平面PCD ；（2）平面BEF ⊥平面P AD ．证明：（1）在ΔPAD 中，因为E ，F 分别是AP ，AD 的中点，所以EF ∥PD ． 又因为EF ⊄平面PCD ，PD ⊂平面PCD ， 所以直线EF ‖平面PCD ．（2）连结BD ，因为AB=AD ，∠BAD =600， 所以ΔABD 为正三角形．因为F 是AD 的中点，所以BF AD ⊥，因为平面PAD ⊥平面ABCD ，平面PAD 平面ABCD=AD ， BF ⊂平面ABCD ，所以BF ⊥面PAD ． 又因为BF ⊂平面BEF ， 所以平面BEF ⊥平面PAD ．（12江苏）16．如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，1111A B AC =，D E ，分别 是棱1BC CC ，上的点（点D 不同于点C ），且AD DE F ⊥，为11B C 的中点． 求证：（1）平面ADE ⊥平面11BCC B ； （2）直线1//A F 平面ADE ． 证明：（1）因为111ABC A B C -是直三棱柱， 所以1CC ⊥平面ABC ．又AD ⊂平面ABC ，所以1CC AD ⊥． 又因为AD DE ⊥，1CC ⊂平面11BCC B ， DE ⊂平面11BCC B ，1CC DE E =， 所以AD ⊥平面11BCC B ．又AD ⊂平面ADE ，所以平面ADE ⊥平面11BCC B ． （2）因为1111A B AC =，F 为11B C 的中点， 所以111A F B C ⊥．因为1CC ⊥平面111A B C ，且1A F ⊂平面111A B C ， 所以11CC A F ⊥．又因为111,CC B C ⊂平面11BCC B ，1111CC B C C =，所以1A F ⊥平面11BCC B ． 由（1）知，AD ⊥平面11BCC B ， 所以1//A F AD ．又AD ⊂平面ADE ，1A F ⊄平面ADE ， 所以直线1A F 平面ADE ．（13江苏）16．如图，在三棱锥S －ABC 中，平面平面SAB ⊥平面SBC ，AB ⊥BC ， AS ＝AB ，过A 作AF ⊥SB ，垂足为F ，点E ,G 分别是棱SA ,SC 的中点． 求证：（1）平面EFG ∥平面ABC ；（2）BC ⊥SA ． 16.证明：（1）因为AS AB =，AF ⊥SB ，垂足为F ，所以F 是SB 的中点．又因为E 是SA 的中点，所以EF //AB ． 因为EF ⊄平面ABC ，AB ⊂平面ABC ， 所以EF //平面ABC ．又因为点E,G 分别是棱SA,SC 的中点，所以EG //AC ．因为EG ⊄平面ABC ，AC ⊂平面ABC ， 所以EG //平面ABC ．又EF EG=E ，EF ⊂平面EFG ，EG ⊂平面EFG ， 所以平面EFG ∥平面ABC ． （2）因为平面SAB ⊥平面SBC ，平面SAB 平面SBC SB =，AF ⊂平面S AB ， AF ⊥SB ，所以AF ⊥平面SBC ．因为BC ⊂平面SBC ．所以AF ⊥BC ．又因为AB ⊥BC ，AF AB=A ，AF ⊂平面SAB ， AB ⊂平面SAB ，所以BC ⊥平面SAB ． 因为SA ⊂平面SAB ，所以BC ⊥ SA ．（14江苏）16．如图，在三棱锥P －ABC 中，D ，E ，F 分别为棱PC ，AC ，AB 的中点．已知P A ⊥AC ，P A ＝6，BC ＝8，DF ＝5． 求证：（1）直线P A ∥平面DEF ；（2）平面BDE ⊥平面ABC ．证明：（1）因为D ，E 为PC ，AC 中点，所以DE ∥PA ． 又因为PA ⊄平面DEF ，DE ⊂平面DEF ， 所以PA ∥平面DEF ．（2）因为D ，E ，F 分别为PC ，AC ，AB 的中点，PA=6，BC=8，所以DE ∥PA ，132DE PA ==，142EF BC ==．又因为，故222DE EF DF +=， 所以90DEF ∠=°，即DE ⊥EF ． 又//DE PA PA AC ⊥，，所以DE ⊥AC ，因为AC EF E =，AC ⊂平面ABC ，EF ⊂平面ABC ， 所以DE ⊥平面ABC ， 又DE ⊂平面BDE ，所以平面BDE ⊥平面ABC ．（15江苏）如图，在直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，已知AC ⊥BC ，BC =CC 1， 设AB 1的中点为D ，B 1C ∩BC 1=E ． 求证：（1）DE ∥平面AA 1C 1C ；（2）BC 1⊥AB 1．证明：（1）由题意知，E 为B 1C 的中点， 又D 为AB 1的中点，因此DE ∥AC ． 又因为DE ⊄平面11AAC C ，AC ⊂平面11AAC C ， 所以DE ∥平面11AAC C． （2）因为棱柱111ABC A B C -是直三棱柱， 所以1CC ⊥平面ABC ．因为AC ⊂平面ABC ，所以AC ⊥1CC ． 又因为AC ⊥BC ，1CC ⊂平面11B BCC ， BC ⊂平面11B BCC ，BC ∩1CC =C ， 所以AC ⊥平面11B BCC ． 又因为1BC ⊂平面11B BCC ， 所以1BC ⊥AC ．因为BC =1CC ，所以矩形11B BCC 是正方形， 因此BC 1⊥B 1C ．因为AC ，B 1C ⊂平面B 1AC ，AC ∩B 1C=C ， 所以BC 1⊥平面B 1AC ．又因为AB 1⊂平面B 1AC ，所以BC 1⊥1AB ．（16江苏）16．如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，,D E 分别为,AB BC 的中点， 点F 在侧棱1B B 上，且11B D A F ⊥，1111AC A B ⊥．求证：(1)直线//DE 平面11A C F ；(2)平面1B DE ⊥平面11A C F ．证明：（1）在直三棱柱111ABC A B C -中，11//AC AC ， 在ABC ∆中，因为D,E 分别为AB ，BC 的中点， 所以//DE AC ，于是11//DE AC ． 又因为DE ⊄平面11A C F ，11AC ⊂平面11A C F ， 所以直线//DE 平面11A C F ．（2）在直三棱柱111ABC A B C -中，1AA ⊥平面111A B C ． 因为11AC ⊂平面111A B C ，所以111A A AC ⊥． 又因为1111AC AB ⊥，1A A ⊂平面11AA B B ，11A B ⊂平面11AA B B ，1111A A A B A =，所以11AC ⊥平面11AA B B ． 因为1BD ⊂平面11AA B B ，所以111AC B D⊥． 又因为11B D A F ⊥，11AC ⊂平面11AC F ，1A F ⊂平面11AC F ， 1111AC A F A =，所以1B D ⊥平面11AC F ． 因为1B D ⊂平面1B DE ， 所以平面1B DE ⊥平面11AC F．（第16题）PDCEFBAFEDC BAC 1B 1A 1AB CD EA 1B 1C 1D 11B 1A 1DCBA（17江苏）15．如图，在三棱锥A-BCD 中，AB ⊥AD ，BC ⊥BD ，平面ABD ⊥平面BCD ， 点E ，F （E 与A ，D 不重合）分别在棱AD ，BD 上，且EF ⊥AD ． 求证：（1）EF ∥平面ABC ；（2）AD ⊥AC ．证明：（1）在平面ABD 内，因为AB ⊥AD ，EF ⊥AD ，，所以EF AB ∥. 又因为EF ⊄平面ABC ，AB ⊂平面ABC ， 所以EF ∥平面ABC .（2）因为平面ABD ⊥平面BCD ， 平面ABD平面BCD =BD ，BC ⊂平面BCD ，BC ⊥BD ， 所以BC ⊥平面ABD .因为AD ⊂平面ABD ，所以BC ⊥AD . 又AB ⊥AD ，BCAB=B ，AB ⊂平面ABC ，BC ⊂平面ABC ， 所以AD ⊥平面ABC ， 又因为AC ⊂平面ABC ， 所以AD ⊥AC ．（18江苏）在平行六面体ABCD －A 1B 1C 1 D 1中，AA 1＝AB ，AB 1⊥B 1C 1. 求证：（1）AB ∥平面A 1B 1C ；（2）平面ABB 1 A 1⊥平面A 1BC证明：（1）在平行六面体ABCD -A 1B 1C 1D 1中， AB ∥A 1B 1．因为AB ⊄平面A 1B 1C ，A 1B 1⊂平面A 1B 1C ， 所以AB ∥平面A 1B 1C ．（2）在平行六面体ABCD -A 1B 1C 1D 1中， 四边形ABB 1A 1为平行四边形．又因为AA 1=AB ，所以四边形ABB 1A 1为菱形， 因此AB 1⊥A 1B ．又因为AB 1⊥B 1C 1，BC ∥B 1C 1， 所以AB 1⊥BC ．又因为A 1B ∩BC =B ，A 1B ⊂平面A 1BC ， BC ⊂平面A 1BC ，所以AB 1⊥平面A 1BC ． 因为AB 1⊂平面ABB 1A 1， 所以平面ABB 1A 1⊥平面A 1BC ．（19江苏）16．如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，D ，E 分别为BC ， AC 的中点，AB =BC ．求证：（1）11//A B 平面1DEC ；（2）1⊥BE C E ．证明：（1）因为D ，E 分别为BC ，AC 的中点， 所以ED ∥AB ．在直三棱柱111ABC A B C -中，AB ∥11A B ， 所以11A B ∥ED ．又因为ED ⊂平面1DEC ，11A B ⊄平面1DEC ，所以11//A B 平面1DEC ．（2）因为AB =BC ，E 为AC 的中点， 所以BE ⊥AC ．因为三棱柱111ABC A B C -是直棱柱， 所以1CC ⊥平面ABC ．又因为BE ⊂平面ABC ，所以1CC ⊥BE ． A BCDEFB CDAE1A 1B 1C （第16题）PABCD因为1CC ⊂平面11A ACC ，AC ⊂平面11A ACC ，1CC ∩AC =C ，所以BE ⊥平面11A ACC ． 因为1C E ⊂平面11A ACC ，所以1⊥BE C E ．（2008-2019）江苏省高考数学立体几何真题汇总（08江苏）16．在四面体ABCD 中， CB ＝CD ，AD ⊥BD ，且E ，F 分别 是AB ，BD 的中点，求证：（1）直线EF ∥平面ACD ；（2）平面EFC ⊥平面BCD ．（09江苏）16．如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，F E ,分别是1A B ，1A C 的中点，点D 在11B C 上，11A D B C⊥．求证：（1）EF ∥平面ABC ；（2）平面1A FD ⊥平面11BB C C ．（10江苏）16．如图，在四棱锥P —ABCD 中，PD ⊥平面ABCD ， PD ＝DC ＝BC ＝1，AB ＝2，AB ∥DC ，∠BCD ＝90°． （1）求证：PC ⊥BC ；（2）求点A 到平面PBC 的距离．B C DAEFS GA B CE F（11江苏）16．如图，在四棱锥P －ABCD 中，平面P AD ⊥平面ABCD ， AB ＝AD ，∠BAD ＝60°，E ，F 分别是AP ，AD 的中点． 求证：（1）直线EF ∥平面PCD ；（2）平面BEF ⊥平面P AD ．（12江苏）16．如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，1111A B AC =，D E ，分别 是棱1BC CC ，上的点（点D 不同于点C ），且AD DE F ⊥，为11B C 的中点． 求证：（1）平面ADE ⊥平面11BCC B ； （2）直线1//A F 平面ADE ．（13江苏）16．如图，在三棱锥S －ABC 中，平面平面SAB ⊥平面SBC ，AB ⊥BC ， AS ＝AB ，过A 作AF ⊥SB ，垂足为F ，点E ,G 分别是棱SA ,SC 的中点． 求证：（1）平面EFG ∥平面ABC ；（2）BC ⊥SA ．（14江苏）16．如图，在三棱锥P －ABC 中，D ，E ，F 分别为棱PC ，AC ，AB 的中点．已知P A ⊥AC ，P A ＝6，BC ＝8，DF ＝5． 求证：（1）直线P A ∥平面DEF ；（2）平面BDE ⊥平面ABC ．（15江苏）如图，在直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，已知AC ⊥BC ，BC =CC 1， 设AB 1的中点为D ，B 1C ∩BC 1=E ． 求证：（1）DE ∥平面AA 1C 1C ；（2）BC 1⊥AB 1．（16江苏）16．如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，,D E 分别为,AB BC 的中点， 点F 在侧棱1B B 上，且11B D A F ⊥，1111AC A B ⊥．求证：(1)直线//DE 平面11A C F ；(2)平面1B DE ⊥平面11A C F ．（第16题）P D CE F B AFEDC BAC 1B 1A 1D 11B 1A 1D CBA A BCDEF（17江苏）15．如图，在三棱锥A-BCD 中，AB ⊥AD ，BC ⊥BD ，平面ABD ⊥平面BCD ，点E ，F （E 与A ，D 不重合）分别在棱AD ，BD 上，且EF ⊥AD ．求证：（1）EF ∥平面ABC ；（2）AD ⊥AC ．（18江苏）在平行六面体ABCD －A 1B 1C 1 D 1中，AA 1＝AB ，AB 1⊥B 1C 1. 求证：（1）AB ∥平面A 1B 1C ；（2）平面ABB 1 A 1⊥平面A 1BC（19江苏）16．如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，D ，E 分别为BC ， AC 的中点，AB =BC ．求证：（1）11//A B 平面1DEC ；（2）1⊥BE C E ．A 1A 1B。

江苏省2023届新高考数学高三上学期9月期初考试试卷分类汇编：立体几何与空间向量一、小题部分1．(2023·江苏南京9月期初零模)已知圆柱的轴截面是边长为2的正方形，P 为上底面圆的圆心，AB 为下底面圆的直径， E 为下底面圆周上一点，则三棱锥P －ABE 外接球的表面积为 A.25π16 B. 25π4 C. 5π2D. 5π 2．(2023·江苏南京9月期初零模)(多选题)已知l ，m 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列选项中，“l ⊥m ”的充分条件有A ．α⊥β，l ⊥α，m ⊥βB ．α⊥β，l ⊥α，m ⊥βC ．α⊥β，l ⊥α，m ⊥βD ．α⊥β，l ⊥α，m ⊥β3．(2023·江苏9月百校第一次联考)(多选题)在棱长为2的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，点M ，N 分别是棱A 1D 1，AB 的中点，则A ．异面直线MD 与AC 所成角的余弦值为15B ．MC 1⊥D 1NC ．四面体CAB 1D 1的外接球体积为43π D ．平面MNC 截正方体所得的截面是四边形4．(2023·江苏9月百校第一次联考)祖暅是我国南北朝时期伟大的数学家，他于5世纪末提出了“幂势既同，则积不容异”的体积计算原理，即“夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平而的任意平面所截，如果截得的两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等”．现已知直线y ＝±2与双曲线x 2－y 2＝4及其渐近线围成的平面图形G 如图所示．若将图形G 被直线y ＝t (－2≤t ≤2)所截得的两条线段绕y 轴旋转一周，则形成的旋转面的面积S ＝ ▲ ；若将图形G 绕y 轴旋转一周，则形成的旋转体的体积V ＝ ▲ ．(本题第一空2分，第二空3分)5．(2023·江苏海安9月期初)已知圆锥的轴截面是斜边为23的直角三角形，该圆锥的体积为A．33π B．332π C．3π D．33π6．(2023·江苏海安9月期初)(多选题)在正方体中，已知M为棱的中点，N上底面的中心，下列图形中，PQ⊥MN的是7．(2023·江苏泰州中学9月期初)《算数书》是已知最早的中国数学著作，于上世纪八十年代出土，大约比现有传本的《九章算术》还要早近二百年．《算数书》内容丰富，有学者称之为“中国数学史上的重大发现”．在《算数书》成书的时代，人们对圆周率的认识不多，用于计算的近似数与真实值相比误差较大．如书中记载有求“囷盖”的术：置如其周，令相乘也，又以高乘之，三十六成一．此术相当于给出了圆锥的体积V的计算公式为136L2h，其中L和h分别为圆锥的底面周长和高，这说明，该书的作者是将圆周率近似地取为( ) A．3.00 B．3.14 C．3.16 D．3.20 8．(2023·江苏泰州中学9月期初)(多选题)《已知α，β是两个不重合的平面，m，n是两条不重合的直线，则下列命题正确的是( )A．若m⊥n，m⊥α，n∥β，则α⊥βB．若m⊥α，n∥α，则m⊥nC．若α∥β，m α，则m∥βD．若m∥n，α∥β，则m与α所成的角和n与β所成的角相等9．(2023·江苏镇江9月期初)四棱柱ABCD－A1B1C1D1的底面ABCD是边长为1的菱形，侧棱长为2，且∠C1CB＝∠C1CD＝∠BCD＝60°，则线段A1C的长度是( )MDCBAPA ． 6B ．342C ．3D ．11 二、解答题部分1．(2023·江苏南京9月期初零模)(本小题满分12分)如图，在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 为平行四边形，P A ⊥平面ABCD ，M 为PC 中点． (1)求证：P A ⊥平面MBD ；(2)若AB ＝AD ＝P A ＝2，⊥BAD ＝120°，求二面角B －AM －D 的正弦值．2．(2023·江苏9月百校第一次联考)(12分)在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 为直角梯形，AD ∥BC ，AD ⊥AB ，侧面P AB ⊥底面ABCD ，P A ＝PB ＝AD ＝12BC ＝2，且E ，F 分别为PC ，CD 的中点．(1)证明：DE ∥平面P AB ．(2)若直线PF 与平面P AB 所成的角为60°，求平面P AB 与平面PCD 所成锐二面角的余弦值．(第19题图)3．(2023·江苏海安9月期初)(12分)如图，在四棱锥P－ABCD中，△P AD是边长为2的等边三角形，AB⊥平面P AD，AB∥CD，且|AB|＞|CD|，|BC|＝|CP|，O为棱P A的中点．(1)求证：OD∥平面PBC；(2)若BC⊥PC，求平面PBC与平面P AD所成锐二面角的余弦值．4．(2023·江苏泰州中学9月期初)如图，已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，AB＝2，AF＝t，M是线段EF的中点．(1)求证：AM∥平面BDE：(2)若线段AC上总存在一点P，使得PF⊥BE，求t的最大值．5．(2023·江苏南通上学期第一次调研9月)(12分)如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，侧面AA1C1C⊥底面ABC，侧面AA1C1C是菱形，∠A1AC ＝60°，∠ACB＝90°，AC＝BC＝2．(1)若D为A1C的中点，求证：AD⊥A1B；(2)求二面角A－A1C－B1的正弦值．6．(2023·江苏镇江9月期初)如图，在四棱锥S－ABCD中，SA⊥底面ABCD，底面ABCD 是梯形，AD∥BC，且AB⊥SD，SA＝AB＝BC＝1，AD＝2．(1)求二面角B－SC－D的大小；(2)已知E为CD中点，问：棱SD上是否存在一点Q，使得BQ与AE垂直?若存在，请求出SQ的长；若不存在，请说明理由．。

专题一 立体几何部分一、近几年江苏高考1、（1）（2019江苏卷）如图，长方体1111ABCD A B C D -的体积是120，E 为1CC 的中点，则三棱锥E -BCD 的体积是_____.【答案】10.【解析】因为长方体1111ABCD A B C D -的体积为120， 所以1120AB BC CC ⋅⋅=，因为E 为1CC 的中点， 所以112CE CC =，由长方体的性质知1CC ⊥底面ABCD ， 所以CE 是三棱锥E BCD -的底面BCD 上的高， 所以三棱锥E BCD -的体积1132V AB BC CE =⨯⋅⋅=111111201032212AB BC CC =⨯⋅⋅=⨯=. （2）（2019江苏卷）.如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，D ，E 分别为BC ，AC 的中点，AB =BC ．求证：（1）A 1B 1∥平面DEC 1；（2）BE ⊥C 1E ． 【解析】（1）因为D ，E 分别为BC ，AC 的中点，所以ED∥AB.在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB∥A1B1，所以A1B1∥ED.又因为ED⊂平面DEC1，A1B1 平面DEC1，所以A1B1∥平面DEC1.（2）因为AB=BC，E为AC的中点，所以BE⊥AC.因为三棱柱ABC-A1B1C1是直棱柱，所以CC1⊥平面ABC.又因为BE⊂平面ABC，所以CC1⊥BE.因为C1C⊂平面A1ACC1，AC⊂平面A1ACC1，C1C∩AC=C，所以BE⊥平面A1ACC1.因为C1E⊂平面A1ACC1，所以BE⊥C1E.2、（1）（2018江苏卷）如图所示，正方体的棱长为2，以其所有面的中心为顶点的多面体的体积为________．【答案】【解析】分析：解决本类题目的关键是准确理解几何体的定义，真正把握几何体的结构特征，可以根据条件构建几何模型，在几何模型中进行判断；求一些不规则几何体的体积时，常用割补法转化成已知体积公式的几何体进行解决．先分析组合体的构成，再确定锥体的高，最后利用锥体体积公式求结果.详解：由图可知，该多面体为两个全等正四棱锥的组合体，正四棱锥的高为1，底面正方形的边长等于，所以该多面体的体积为（2）（2018江苏卷）在平行六面体中，．求证：（1）；（2）．【解析】分析：（1）先根据平行六面体得线线平行，再根据线面平行判定定理得结论；（2）先根据条件得菱形ABB1A1，再根据菱形对角线相互垂直，以及已知垂直条件，利用线面垂直判定定理得线面垂直，最后根据面面垂直判定定理得结论.详解：证明：（1）在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，AB∥A1B1．因为AB平面A1B1C，A1B1平面A1B1C，所以AB∥平面A1B1C．（2）在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，四边形ABB1A1为平行四边形．又因为AA1=AB，所以四边形ABB1A1为菱形，因此AB1⊥A1B．又因为AB1⊥B1C1，BC∥B1C1，所以AB1⊥BC．又因为A1B∩BC=B，A1B平面A1BC，BC平面A1BC，所以AB1⊥平面A1BC．因为AB 1平面ABB 1A 1，所以平面ABB 1A 1⊥平面A 1BC ．3、（1）（2017江苏卷）如图，圆柱O 1O 2内有一个球O ，该球与圆柱的上、下底面及母线均相切．记圆柱O 1O 2的体积为V 1，球O 的体积为V 2，则V 1V 2的值是________．【答案】 32【解析】设球的半径为R ，则圆柱的底面半径为R ，高为h ＝2R .因为V 1＝πR 2h ＝2πR 3，V 2＝4πR 33，所以V 1V 2＝32. （2）（2017江苏卷）如图，在三棱锥ABCD 中，AB ⊥AD ，BC ⊥BD ，平面ABD ⊥平面BCD ，点E ，F (E 与A ，D 不重合)分别在棱AD ，BD 上，且EF ⊥AD . 求证：(1) EF ∥平面ABC ； (2) AD ⊥AC .证明：(1) 在平面ABD内，因为AB⊥AD，EF⊥AD，所以EF∥AB.又因为EF⊄平面ABC，AB⊂平面ABC，所以EF∥平面ABC.(2) 因为平面ABD⊥平面BCD，平面ABD∩平面BCD＝BD，BC⊂平面BCD，BC⊥BD，所以BC⊥平面ABD. 因为AD⊂平面ABD，所以BC⊥AD.又AB⊥AD，BC∩AB＝B，AB⊂平面ABC，BC⊂平面ABC，所以AD⊥平面ABC.又因为AC⊂平面ABC，所以AD⊥AC.4、（1）（2016江苏卷）现需要设计一个仓库，它由上下两部分组成，上部的形状是正四棱锥P A1B1C1D1，下部的形状是正四棱柱ABCDA1B1C1D1(如图所示)，并要求正四棱柱的高O1O是正四棱锥的高PO1的4倍．(1) 若AB＝6 m，PO1＝2 m，则仓库的容积是多少？(2) 若正四棱锥的侧棱长为6 m，则当PO1为多少时，仓库的容积最大？【答案】 (1) 由PO 1＝2知O 1O ＝4PO 1＝8. 因为A 1B 1＝AB ＝6，所以正四棱锥P A 1B 1C 1D 1的体积 V 锥＝13·A 1B 21·PO 1＝13×62×2＝24(m 3)； 正四棱柱ABCDA 1B 1C 1D 1的体积 V 柱＝AB 2·O 1O ＝62×8＝288(m 3)．所以仓库的容积V ＝V 锥＋V 柱＝24＋288＝312(m 3)．(2) 设A 1B 1＝a (m)，PO 1＝h (m)，则0<h <6，O 1O ＝4h .连结O 1B 1.因为在Rt △PO 1B 1中，O 1B 21＋PO 21＝PB 21， 所以⎝⎛⎭⎫2a 22＋h 2＝36，即a 2＝2(36－h 2)， 于是仓库的容积V ＝V 柱＋V 锥＝a 2·4h ＋13a 2·h ＝133a 2h ＝263(36h －h 3)，0<h <6，从而V ′＝263(36－3h 2)＝26(12－h 2)．令V ′＝0，得h ＝23或h ＝－23(舍)． 当0<h <23时，V ′>0，V 是单调增函数； 当23<h <6时，V ′<0，V 是单调减函数． 故h ＝23时，V 取得极大值，也是最大值．因此，当PO1＝2 3 m时，仓库的容积最大．（2）（2016江苏卷）如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，D，E分别为AB，BC的中点，点F在侧棱B1B上，且B1D⊥A1F，A1C1⊥A1B1.求证：(1) 直线DE∥平面A1C1F；(2) 平面B1DE⊥平面A1C1F.解析：(1) 在直三棱柱ABCA1B1C1中，A1C1∥AC.在△ABC中，因为D，E分别为AB，BC的中点，所以DE∥AC，于是DE∥A1C1.又因为DE⊄平面A1C1F，A1C1⊂平面A1C1F，所以直线DE∥平面A1C1F.(2) 在直三棱柱ABCA1B1C1中，A1A⊥平面A1B1C1.因为A1C1⊂平面A1B1C1，所以A1A⊥A1C1.又因为A1C1⊥A1B1，A1A⊂平面ABB1A1，A1B1⊂平面ABB1A1，A1A∩A1B1＝A1，所以A1C1⊥平面ABB1A1.因为B1D⊂平面ABB1A1，所以A1C1⊥B1D.又因为B1D⊥A1F，A1C1⊂平面A1C1F，A1F⊂平面A1C1F，A1C1∩A1F＝A1，所以B1D⊥平面A1C1F.因为直线B1D⊂平面B1DE，所以平面B1DE⊥平面A1C1F.5、（1）（2015江苏卷）现有橡皮泥制作的底面半径为5、高为4的圆锥和底面半径为2、高为8的圆柱各一个．若将它们重新制作成总体积与高均保持不变，但底面半径相同的新的圆锥与圆柱各一个，则新的底面半径为________．【答案】7【解析】设新的底面半径为r ，则13π×52×4＋π×22×8＝13πr 2×4＋πr 2×8，解得r ＝7.（2）（2015江苏卷）如图，在直三棱柱ABCA 1B 1C 1中，已知AC ⊥BC ，BC ＝CC 1.设AB 1的中点为D ，B 1C ∩BC 1＝E .求证：(1) DE ∥平面AA 1C 1C ； (2) BC 1⊥AB 1.(1) 由题意知，E 为B 1C 的中点， 又D 为AB 1的中点，因此DE ∥AC .又因为DE ⊄平面AA 1C 1C ，AC ⊂平面AA 1C 1C ， 所以DE ∥平面AA 1C 1C .(2) 因为棱柱ABCA 1B 1C 1是直三棱柱， 所以CC 1⊥平面ABC .因为AC ⊂平面ABC ，所以AC ⊥CC 1.又因为AC ⊥BC ，CC 1⊂平面BCC 1B 1，BC ⊂平面BCC 1B 1，BC ∩CC 1＝C ，所以AC ⊥平面BCC 1B 1. 又因为BC 1⊂平面BCC 1B 1，所以BC 1⊥AC .因为BC ＝CC 1，所以矩形BCC 1B 1是正方形，因此BC 1⊥B 1C . 因为AC ，B 1C ⊂平面B 1AC ，AC ∩B 1C ＝C ，所以BC 1⊥平面B 1AC . 又因为AB 1⊂平面B 1AC ，所以BC 1⊥AB 1.二、近几年高考试卷分析从近五年江苏高考数学来看体现了以下几个方面：1、从题型来看主要以一个填空，一个解答；（2016年填空题中没有考查体积，体积的考查体现在应用题中）；2、从知识点考查的内容来看主要以填空题是关于体积的计算，解答题设置了2问，第一问考查了平行，主要时候以线面平行，使用的方法还是以中位线为主。

江苏省连云港市高考数学真题分类汇编专题11：空间几何体（基础题）姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、空间几何体 (共18题；共30分)1. （2分）(2016·湖南模拟) 已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A . 6πB .C . 3πD .2. （2分）(2017·孝义模拟) 已知某几何体是由两个四棱锥组合而成，若该几何体的正视图、俯视图和侧视图均为如图所示的图形，其中四边形是边长为的正方形，则该几何体的表面积是（）A . 8B . 4C . 8 +2D . 4 +23. （2分） (2015高二上·天水期末) 如图，正方体ABCD﹣A′B′C′D′中，．设点F在线段CC'上，直线EF与平面A'BD所成的角为α，则sinα的取值范围是（）A .B .C .D .4. （2分） (2017高一下·东丰期末) 正六棱锥底面边长为2，体积为，则侧棱与底面所成的角为（）A . 30°B . 45°C . 60°D . 75°5. （2分） (2018高一上·珠海期末) 在长方体中，，则异面直线与所成角的大小是（）A .B .C .D .6. （2分）在空间，异面直线，所成的角为，且，则=（）A .B .C . 或D .7. （2分）下列四个命题中错误的个数是（）①经过球面上任意两点，可以作且只可以作一个球的大圆；②球面积是它大圆面积的四倍；③球面上两点的球面距离，是这两点所在截面圆上以这两点为端点的劣弧的长．A . 0B . 1C . 2D . 38. （2分）下列说法不正确的是（）A . 光由一点向外散射形成的投影，叫作中心投影B . 在一束平行光线照射下形成的投影，叫作平行投影C . 空间几何体的三视图是用中心投影的方法得到的D . 在平行投影之下，与投影面平行的平面图形留下的影子，与这个平面图形的形状和大小是完全相同的9. （2分）(2017·福州模拟) 在棱长为1的正方体ABCD﹣A'B'C'D'中，E是AA'的中点，P是三角形BDC'内的动点，EP⊥BC'，则P的轨迹长为（）A .B .C .D .10. （2分）若直线l的方向向量为，平面α的法向量为，能使l∥α的是（）A . =（1，0，0），=（﹣2，0，0）B . =（1，3，5），=（1，0，1）C . =（0，2，1），=（﹣1，0，﹣1）D . =（1，﹣1，3），=（0，3，1）11. （2分） (2017高一上·潮州期末) 如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条互相垂直的半径，半径长度为2，则该几何体的表面积是（）A . 17πB . 18πC . 20πD . 28π12. （2分） (2016高二上·汕头期中) 设l为直线，α，β是两个不同的平面，下列命题中正确的是（）A . 若l∥α，l∥β，则α∥βB . 若l⊥α，l⊥β，则α∥βC . 若l⊥α，l∥β，则α∥βD . 若α⊥β，l∥α，则l⊥β13. （1分）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，∠ACB=90°，CA=CB=CC1=1，则直线A1B与平面BB1C1C所成角的正弦值为________14. （1分） (2017高一下·泰州期末) 底面边长和侧棱长均为2的正四棱锥的体积为________．15. （1分） (2018高二上·凌源期末) 已知向量，，且，则的值为________．16. （1分） (2017高一上·长沙月考) 轴截面为正方形的圆柱的侧面积为，则此圆柱的体积为________．17. （1分） (2017·泉州模拟) 已知在体积为12π的圆柱中，AB，CD分别是上、下底面两条不平行的直径，则三棱锥A﹣BCD的体积最大值等于________．18. （1分）函数 f(x)=+3的对称中心为________参考答案一、空间几何体 (共18题；共30分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、13-1、14-1、15-1、16-1、17-1、18-1、。

A B CD EF 2008-2018江苏高考数学立体几何真题汇编（2008年第16题）在四面体ABCD 中， CB ＝CD ，AD ⊥BD ，且E 、F 分别是AB 、BD 的中点，求证：（1）直线EF ∥平面ACD（2）平面EFC ⊥平面BCD证明：（1）⎭⎬⎫E ，F 分别为AB ，BD 的中点⇒EF ∥AD 且AD ⊂平面ACD ，EF ⊄平面ACD ⇒直线EF ∥平面ACD （2）⎭⎬⎫⎭⎬⎫CB ＝CD F 是BD 的中点 ⇒ CF ⊥BD ⎭⎬⎫AD ⊥BD EF ∥AD ⇒ EF ⊥BD ⇒直线BD ⊥平面EFC 又BD ⊂平面BCD ，所以平面EFC ⊥平面BCDB C₁（2009年第16题）如图，在直三棱柱ABC—A1B1C1中，E，F分别是A1B，A1C的中点，点D在B1C1上，A1D⊥B1C .求证：（1）EF∥平面ABC（2）平面A1FD⊥平面BB1C1C证明：（1）由E，F分别是A1B，A1C的中点知EF∥BC，因为EF⊄平面ABC，BC⊂平面ABC，所以EF∥平面ABC（2）由三棱柱ABC—A1B1C1为直三棱柱知CC1⊥平面A1B1C1，又A1D⊂平面A1B1C1，故CC1⊥A1D，又因为A1D⊥B1C，CC1∩B1C＝C，CC1、B1C⊂平面BB1C1C故A1D⊥平面BB1C1C，又A1D⊂平面A1FD，故平面A1FD⊥平面BB1C1CPA BC D D P A B CF E （2010年第16题）如图，在四棱锥P —ABCD 中，PD ⊥平面ABCD ，PD ＝DC ＝BC ＝1，AB ＝2，AB ∥DC ， ∠BCD ＝90°． （1）求证：PC ⊥BC ；（2）求点A 到平面PBC 的距离．证明：（1）因为PD ⊥平面ABCD ，BC ⊂平面ABCD ，所以PD ⊥BC ．由∠BCD ＝90°，得CD ⊥BC ， 又PD ∩DC ＝D ，PD 、DC ⊂平面PCD ，所以BC ⊥平面PCD ． 因为PC ⊂平面PCD ，故PC ⊥BC ．解：（2）（方法一）分别取AB 、PC 的中点E 、F ，连DE 、DF ，则：易证DE ∥CB ，DE ∥平面PBC ，点D 、E 到平面PBC 的距离相等．又点A 到平面PBC 的距离等于E 到平面PBC 的距离的2倍．由（1）知：BC ⊥平面PCD ，所以平面PBC ⊥平面PCD 于PC ，因为PD ＝DC ，PF ＝FC ，所以DF ⊥PC ，所以DF ⊥平面PBC 于F ．易知DF ＝2 2 ，故点A 到平面PBC 的距离等于2．（方法二）等体积法：连接AC ．设点A 到平面PBC 的距离为h ．因为AB ∥DC ，∠BCD ＝90°，所以∠ABC ＝90°．从而AB ＝2，BC ＝1，得△ABC 的面积S △ABC ＝1．由PD ⊥平面ABCD 及PD ＝1，得三棱锥P —ABC 的体积V ＝13S △ABC ×PD ＝ 1 3． 因为PD ⊥平面ABCD ，DC ⊂平面ABCD ，所以PD ⊥DC ．又PD ＝DC ＝1，所以PC ＝PD 2＋DC 2＝2．由PC ⊥BC ，BC ＝1，得△PBC 的面积S △PBC ＝2 2． 由V A ——PBC ＝V P ——ABC ，13S △PBC ×h ＝V ＝ 1 3，得h ＝2， 故点A 到平面PBC 的距离等于2．（2011年第16题）如图，在四棱锥P－ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，AB＝AD，∠BAD＝60°，E、F分别是AP、AD的中点求证：（1）直线EF∥平面PCD；（2）平面BEF⊥平面PAD证明：（1）在△PAD中，∵E，F分别为AP，AD的中点，∴BC∥AB，又∵EF ⊄平面PCD，PD⊂平面PCD，∴直线EF∥平面PCD（2）连接BD. ∵AB＝AD，∠BAD＝60°，∴△PAD为正三角形∵F是AD的中点，∴BF⊥AD，∵平面PAD⊥平面ABCD，BF⊂平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，∴BF⊥平面PAD又∵BF⊂平面BEF，∴平面BEF⊥平面PAD（2012年第16题）如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，A1B1＝A1C1，D、E分别是棱BC、CC1上的点（点D不同于点C），且AD⊥DE，F为B1C1的中点．求证：（1）平面ADE⊥平面BCC1B1；（2）直线A1F∥平面ADE．证明：（1）∵是ABC－A1B1C1直三棱柱，∴CC1⊥平面ABC又∵AD⊂平面ABC，∴CC1⊥AD又∵AD⊥DE，CC1，DE⊂平面ADE，CC1∩DE＝E∴平面ADE⊥平面BCC1B1（2）∵A1B1＝A1C1，F为B1C1的中点，∴A1F⊥B1C1∵CC1⊥平面A1B1C1，且A1F⊂平面A1B1C1∴CC1⊥A1F又∵CC1，B1C1⊂平面BCC1B1，CC1∩B1C1＝C1∴A1F⊥平面BCC1B1，由（1）知AD⊥平面BCC1B1，∴A1F∥AD又∵AD⊂平面ADE，A1F ⊄平面ADE，∴A1F∥平面ADES GA BC E F（2013年第16题）如图，在三棱锥S －ABC 中，平面平面SAB ⊥平面SBC ，AB ⊥BC ，AB ＝AS ，过A 作AF ⊥SB ，垂足为F ，点E ,G 分别是棱SA ,SC 的中点．求证：（1）平面EFG ∥平面ABC ；（2）BC ⊥SA ．证：（1）∵SA ＝AB 且AF ⊥SB ，∴F 为SB 的中点．又∵E ，G 分别为SA ，SC 的中点，∴EF ∥AB ，EG ∥AC ．又∵AB ∩AC ＝A ，AB 面SBC ，AC ⊂面ABC ，∴平面EFG ∥平面ABC ．（2）∵平面SAB ⊥平面SBC ，平面SAB ∩平面SBC ＝BC ，AF ⊂平面ASB ，AF ⊥SB ．∴AF ⊥平面SBC ．又∵BC ⊂平面SBC ，∴AF ⊥BC ．又∵AB ⊥BC ，AF ∩AB ＝A ，∴BC ⊥平面SAB ．又∵SA ⊂平面SAB ，∴BC ⊥SA ．（2014年第16题）如图，在三棱锥P－ABC中，D,E,F分别为棱PC,AC,AB的中点．已知PA⊥AC，PA＝6，BC＝8，DF＝5．求证：（1）直线PA∥平面DEF；（2）平面BDE⊥平面ABC．证明：（1）∵D,E为PC,AC中点∴DE∥PA∵PA ⊄平面DEF，DE⊂平面DEF∴PA∥平面DEF（2）∵D,E为PC,AC中点∴DE＝PA2＝3∵E,F为AC,AB中点∴EF＝BC2＝4∴DE2＋EF2＝DF2∴∠DEF＝90°，∴DE⊥EF ∵DE∥PA，PA⊥AC∴DE⊥AC∵AC∩EF＝E∴DE⊥平面ABC∵DE⊂平面BDE，∴平面BDE⊥平面ABC．A BC 1DE A 1 B 1 C（2015年第16题）如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，已知AC ⊥BC ，BC ＝CC 1，设AB 1的中点为D ，B 1C ∩BC 1＝E求证：（1）DE ∥平面A A 1CC 1(2) BC 1⊥AB 1证明：（1）由题意知，E 为B 1C 的中点，又D 为AB 1的中点，因此DE ∥AC .又因为DE ⊄平面A A 1C 1C ，AC ⊂平面A A 1C 1C ，所以DE ∥平面A A 1C 1C（2）因为三棱柱ABC －A 1B 1C 1是直三棱柱，所以CC 1⊥平面ABC因为AC ⊂平面ABC ，所以AC ⊥CC 1，又因为AC ⊥BC ，CC 1⊂平面BCC 1B 1，BC ⊂平面BCC 1B 1，BC ∩CC 1＝C ，所以AC ⊥平面BCC 1B 1，又因为BC 1⊂平面BCC 1B 1，所以BC 1⊥AC因为BC ＝CC 1，所以矩形BCC 1B 1是正方形，因此BC 1⊥B 1C因为AC ，B 1C ⊂平面B 1AC ，AC ∩B 1C ＝C ，所以BC 1⊥平面B 1AC ，又因为AB 1 ⊂平面B 1AC ，所以BC 1⊥A B 1A 1B 1 F（2016年第16题）如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，D 、E 分别为AB 、BC 的中点，点F 在侧棱B 1B 上，且B 1D ⊥A 1F ，A 1C 1⊥A 1B 1．求证：（1）直线DE ∥平面A 1C 1F ；（2）平面B 1DE ⊥平面A 1C 1F ．证明：（1）在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，A 1C 1∥AC在△ABC 中，因为D 、E 分别为AB ，BC 的中点，∴DE ∥AC ，于是DE ∥A 1C 1又∵DE ⊄平面A 1C 1F ，A 1C 1⊂平面A 1C 1F ，∴直线DE ∥平面A 1C 1F（2）在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，A 1A ⊥平面A 1B 1C 1，∵A 1C 1⊂平面A 1B 1C 1，∴A 1A ⊥A 1C 1又∵A 1C 1⊥A 1B 1，A 1A ⊂平面ABB 1A 1，A 1B 1⊂平面ABB 1A 1，A 1A ∩A 1B 1＝A 1，∴A 1C 1⊥平面ABB 1A 1∵B 1D ⊂平面ABB 1A 1，∴A 1C 1⊥B 1D又∵B 1D ⊥A 1F ，A 1C 1⊂平面A 1C 1F ，A 1F ⊂平面A 1C 1F ，A 1C 1∩A 1F ＝A 1，∴B 1D ⊥平面A 1C 1F∵B 1D ⊂平面B 1DE∴平面B 1DE ⊥平面A 1C 1FABCDEF（2017年第15题）如图，在三棱锥A－BCD中，AB⊥AD，BC⊥BD，平面ABD⊥平面BCD，点E、F（E与A、D不重合）分别在棱AD，BD上，且EF⊥AD .求证：（1）EF∥平面ABC；（2）AD⊥AC证明：（1）在平面内，∵AB⊥AD，EF⊥AD∴EF∥AB又∵EF ⊄平面ABC，AB⊂平面ABC∴EF∥平面ABC（2）∵平面ABD⊥平面BCD，平面ABD∩平面BCD＝BDBC⊂平面BCD，BC⊥BD∴BC⊥平面ABD∵AD⊂平面ABD∴BC⊥AD又∵AB⊥AD，BC∩AB＝B ，AB⊂平面ABC，BC⊂平面ABC∴AD⊥平面ABC又∵AC⊂平面ABC，∴AD⊥ACD 1C 1B 1A 1D C B A（2018年第15题）在平行六面体ABCD －A 1B 1C 1 D 1中，AA 1＝AB ，AB 1⊥B 1C 1. 求证：（1）AB ∥平面A 1B 1C ；（2）平面ABB 1 A 1⊥平面A 1BC证明：（1）平行六面体ABCD －A 1B 1C 1 D 1中，AB ∥A 1B 1 ⎭⎪⎬⎪⎫AB ∥A 1B 1 A 1B 1⊂平面A 1B 1C AB ⊄平面A 1B 1C ⇒ AB ∥平面A 1B 1C（2）⎭⎬⎫平行六面体ABCD －A 1B 1C 1 D 1 AB ∥A 1B 1 ⇒四边形A 1B 1BA 为菱形⇒AB 1⊥A 1B ⎭⎬⎫平行六面体ABCD －A 1B 1C 1 D 1 ⇒BC ∥B 1C 1 AB 1⊥B 1C 1 ⇒ AB 1⊥BC ⎭⎪⎬⎪⎫AB 1⊥A 1BAB 1⊥BCA 1B ∩BC ＝B AB 1⊂平面A 1BCBC ⊂平面A 1BC ⇒ AB 1⊥平面A 1BC⎭⎬⎫AB 1⊥平面A 1BC AB 1⊂平面A 1B 1BA ⇒平面ABB 1 A 1⊥平面A 1BC。

2.立体几何1.（本小题满分12分）一个多面体的直观图及三视图如图所示（其中M 、N 分别是AF 、BC 的中点）（1）求证：MN//平面CDEF ；（2）求多面体A —CDEF 的体积.解：由三视图知，该多面体是底面为直角三角形的直三棱柱ADE —BCF ，且AB =BC=BF =2，DE=CF=22，2π=∠CBF（1）证明：取BF 的中点G ，连结MG 、NG ，由M 、N 分别为AF 、BC 中点，可得， NG ∥BF ，MG ∥CF ⇒面MNG ∥面CDEF ⇒MN ∥面CDEF ……………………6分 （2）取DE 中点为H ，因为AD =AE ⇒AH ⊥DE 在直三棱住AED —BCF 中 平面ADE ⊥平面CDEF面ADE ∩面CDEF =DE ⇒A H ⊥平面CDEF多面体A —CDEF 是以A H 为高，以矩形CDEF 为底面的棱锥在△ADE 中，A H=2 24=⋅=EF DE S CD EF 矩形⇒棱锥A —CDEF 的体积3831=⋅=AH S V 矩…………………………12分2. 已知三棱锥P —ABC 中，PC ⊥底面ABC ，AB=BC ， D 、F 分别为AC 、PC 的中点，DE ⊥AP 于E ． （1）求证：AP ⊥平面BDE ；（2）求证：平面BDE ⊥平面BDF ；（3）若AE ∶EP=1∶2，求截面BEF 分三棱锥 P —ABC 所成两部分的体积比．讲解: (1）∵PC ⊥底面ABC ，BD ⊂平面ABC ，∴PC ⊥BD ．由AB=BC ，D 为AC 的中点，得BD ⊥AC ．又PC ∩AC=C ，∴BD ⊥平面PAC ． 又PA ⊂平面、PAC ，∴BD ⊥PA ．由已知DE ⊥PA ，DE ∩BD=D ，∴AP ⊥平面BDE ．（2）由BD ⊥平面PAC ，DE ⊂平面PAC ，得BD ⊥DE ．由D 、F 分别为AC 、PC 的中点，得DF//AP ．由已知，DE ⊥AP ，∴DE ⊥DF. BD ∩DF=D ，∴DE ⊥平面BDF ． 又 DE ⊂平面BDE ，∴平面BDE ⊥平面BDF ．（3）设点E 和点A 到平面PBC 的距离分别为h 1和h 2．则h 1∶h 2=EP ∶AP=2∶3, .31232313121=⋅=⋅⋅⋅⋅==∴∆∆----PBC PBFPBCA PBFE ABC P EBF P S h S h V V V V故截面BEF 分三棱锥P —ABC 所成两部分体积的比为1∶2或2∶13. 如图，正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的棱长为1，P 、Q 分别是线段AD 1和BD 上的点，且 D 1P ∶PA=DQ ∶QB=5∶12. (1) 求证PQ ∥平面CDD 1C 1； (2) 求证PQ ⊥AD ；(3) 求线段PQ 的长.讲解: （1）在平面AD 1内，作PP 1∥AD 与DD 1交于点P 1， 在平面AC 内，作QQ 1∥BC 交CD 于点Q 1，连结P 1Q 1. ∵1251==QB DQ PA P D , ∴PP 1//QQ 1.由四边形PQQ 1P 1为平行四边形, 知PQ ∥P 1Q1而P 1Q 1⊂平面CDD 1C 1， 所以PQ ∥平面CDD 1C1（2） AD ⊥平面D 1DCC 1， ∴AD ⊥P 1Q 1PQ ∥P 1Q 1， ∴AD ⊥PQ.（3）由（1）知P 1Q 1// PQ,125QB DQ C Q DQ 11==，而棱长CD=1.∴DQ 1=175.同理可求得 P 1D=1712. 在Rt △P 1DQ 1中，应用勾股定理, 立得P 1Q 1=1713175171222221=⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛=+DQ D P .4. 直棱柱ABCD-A l B l C 1D 1中，底面ABCD 是直角梯形， ∟BAD=∟ADC=900，AB=2AD=2CD=2． (1)求证：AC ┴平面BB 1C 1C ；(Ⅱ)在A 1B 1上是否存一点P ，使得DP 与平面BCB 1 和平面ACB 1都平行?证明你的结论．5. 如图为正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1切去一个三棱锥B 1—A 1BC 1后得到的几何体．（1）画出该几何体的正视图；（2）若点O 为底面ABCD 的中心，求证：直线D 1O ∥平面A 1BC 1； （3）求证：平面A 1BC 1⊥平面BD 1D ． 解：（1）该几何体的正视图为：（2）将其补成正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1，设B 1D 1和A 1C 1交于点O 1，连接O 1B ，依题意可知，D 1O 1∥OB ，且D 1O 1=OB ，即四边形D 1OB O 1为平行四边形，则D 1O ∥O 1B ，因为BO 1⊂平面BA 1C 1，D 1O ⊄平面BA 1C 1，所以有直线D 1O ∥平面BA 1C 1（3）在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，DD 1⊥平面A 1B 1C 1D 1， 则DD 1⊥A 1C 1，另一方面，B 1D 1⊥A 1C 1， 又∵DD 1∩B 1D 1= D 1，∴A 1C 1⊥平面BD 1D ， ∵A 1C 1⊂平面A 1BC 1，则平面A 1BC 1⊥平面BD 1D ． 6. 如图所示的几何体由斜三棱柱111C B A ABC -和111222C B A C B A -组成，其斜三棱柱111C B A ABC -和111222C B A C B A -11A ABB ≅1122A B B A 11B BCC ≅1122B C C B 、 11C C A A ≅1122C A A C 。

压轴题06立体几何小题常考全归类高考对该部分的考查，小题主要体现在两个方面：一是有关空间线面位置关系的命题的真假判断；二是常见一些经典常考压轴小题，难度中等或偏上．考向一：外接球、内切球、棱切球与截面面积问题考向二：体积、面积、周长、角度、距离定值问题考向三：体积、面积、周长、距离最值与范围问题考向四：立体几何中的交线问题考向五：空间线段以及线段之和最值问题考向六：空间角问题考向七：轨迹问题1、几类空间几何体表面积的求法（1）多面体：其表面积是各个面的面积之和．（2）旋转体：其表面积等于侧面面积与底面面积的和．（3）简单组合体：应弄清各构成部分，并注意重合部分的删、补．2、几类空间几何体体积的求法（1）对于规则几何体，可直接利用公式计算．（2）对于不规则几何体，可采用割补法求解；对于某些三棱锥，有时可采用等体积转换法求解．（3）锥体体积公式为13V Sh =，在求解锥体体积时，不能漏掉3、求解旋转体的表面积和体积时，注意圆柱的轴截面是矩形，圆锥的轴截面是等腰三角形，圆台的轴截面是等腰梯形．4、球的截面问题球的截面的性质：①球的任何截面是圆面；②球心和截面（不过球心）圆心的连线垂直于截面；③球心到截面的距离d 与球的半径R 及截面的半径r 的关系为=+222R r d ．注意：解决球与其他几何体的切、接问题，关键在于仔细观察、分析，弄清相关元素的位置关系和数量关系；选准最佳角度作出截面（要使这个截面尽可能多地包含球、几何体的各种元素以及体现这些元素之间的关系），达到空间问题平面化的目的．5、立体几何中的最值问题有三类：一是空间几何体中相关的点、线和面在运动，求线段长度、截面的面积和体积的最值；二是空间几何体中相关点和线段在运动，求有关角度和距离的最值；三是在空间几何体中，已知某些量的最值，确定点、线和面之间的位置关系．6、解决立体几何问题的思路方法：一是几何法，利用几何体的性质，探求图形中点、线、面的位置关系；二是代数法，通过建立空间直角坐标系，利用点的坐标表示所求量的目标函数，借助函数思想方法求最值；通过降维的思想，将空间某些量的最值问题转化为平面三角形、四边形或圆中的最值问题；涉及某些角的三角函数的最值，借助模型求解，如正四面体模型、长方体模型和三余弦角模θαβ=cos cos cos （θ为平面的斜线与平面内任意一条直线l 所成的角，α为该斜线与该平面所成的角，β为该斜线在平面上的射影与直线l 所成的角）．7、立体几何中的轨迹问题，这是一类立体几何与解析几何的交汇题型，既考查学生的空间想象能力，即点、线、面的位置关系，又考查用代数方法研究轨迹的基本思想，培养学生的数学运算、直观想象等素养．8、解决立体几何中的轨迹问题有两种方法：一是几何法．对于轨迹为几何体的问题，要抓住几何体中的不变量，借助空间几何体（柱、锥、台、球）的定义；对于轨迹为平面上的问题，要利用降维的思想，熟悉平面图形（直线、圆、圆锥曲线）的定义．二是代数法（解析法）．在图形中，建立恰当的空间直角坐标系或平面直角坐标系．一、单选题1．（2023·河南商丘·商丘市实验中学校联考模拟预测）已知四棱锥P ABCD -的底面ABCD 是矩形，2,,AD AB AB PD PA PD ==⊥=，则四棱锥P ABCD -的外接球的体积为（）A ．B ．36πC ．D ．256π32．（2023·河南·校联考二模）已知四棱锥P ABCD -的底面ABCD 是矩形，AB PD ⊥，AB =PA PD =，120APD ∠=︒．若四棱锥P ABCD -的外接球的体积为5003π，则该球上的点到平面PAB 的距离的最大值为（）A ．6B ．7C ．8D ．93．（2023·广西柳州·柳州高级中学校联考模拟预测）在三棱锥P －ABC 中，AB BC ⊥，BC CP ⊥，且1BC =，2CP =，3AB =，AP =）AB ．714π3C ．814π3D ．4．（2023·江西·校联考模拟预测）在直四棱柱中1111ABCD A B C D -中，60BAD ∠=︒，12AB AD AA ===，P 为1CC 中点，点Q 满足1DQ DC DD λμ=+ ，（[]0,1λ∈，[]0,1μ∈）.下列结论不正确．．．的是（）A ．若1λμ+=，则四面体1A BPQ 的体积为定值B ．若//AQ 平面1A BP ，则AQ 5C ．若1A BQ △的外心为M ，则11AB A M ⋅ 为定值2D ．若17AQ =Q 的轨迹长度为2π35．（2023·四川达州·统考二模）三棱锥A BCD -的所有顶点都在球O 的表面上，平面ABD ⊥平面BCD ，6AB AD =AB AD ⊥，260BDC DBC ∠∠==︒，则球O 的体积为（）A ．43πB ．323πC ．493πD ．3π6．（2023·辽宁大连·统考一模）已知点P 为平面直角坐标系xOy 内的圆2216x y +=上的动点，定点()3,2A -，现将坐标平面沿y 轴折成2π3的二面角，使点A 翻折至A '，则,A P '两点间距离的取值范围是（）A ．13,35⎡⎣B ．413,7⎡⎤⎣⎦C ．413,35⎡⎤⎣⎦D ．13,7⎡⎤⎣⎦7．（2023·浙江·统考二模）已知等腰直角ABC 的斜边2,,AB M N =分别为,AC AB 上的动点，将AMN 沿MN 折起，使点A 到达点A '的位置，且平面A MN '⊥平面BCMN .若点,,,,A B C M N '均在球O 的球面上，则球O 表面积的最小值为（）A ．8π3B ．3π2C 6π3D ．4π38．（2023·贵州黔西·校考一模）如图，四边形ABCD 为正方形，ED ⊥平面ABCD ，FB ED ，22AB ED FB ===，则三棱锥F ACE -的体积为（）A ．23B ．43C ．2D 9．（2023·陕西榆林·统考三模）如图，正三棱柱111ABC A B C -的底面边长是2，侧棱长是M 为11AC 的中点，N 是侧面11BCC B 上一点，且//MN 平面1ABC ，则线段MN 的最大值为（）A ．B ．CD ．310．（2023·江西宜春·统考一模）在Rt ABC 中，1,2CA CB ==.以斜边AB 为旋转轴旋转一周得到一个几何体，则该几何体的内切球的体积为（）A B C ．32π81D ．4π8111．（2023·江西·统考模拟预测）如图，直三棱柱111ABC A B C -中，12,1,AB AC AA AB AC ===⊥，点1,E E 分别是棱11,BC B C 的中点，点G 在棱11A B 上，且1GB =，截面11AA E E 内的动点P 满足1G B PE ⊥，则1PE PB +的最小值是（）A ．22B 6C 5D ．212．（2023·天津·校联考一模）数学中有许多形状优美，寓意独特的几何体，“勒洛四面体”就是其中之一．勒洛四面体是以正四面体的四个顶点为球心，以正四面体的棱长为半径的四个球的公共部分．如图，在勒洛四面体中，正四面体ABCD 的棱长为4，则下列结论正确的是（）A ．勒洛四面体最大的截面是正三角形B ．若P 、Q 是勒洛四面体ABCD 表面上的任意两点，则PQ 的最大值为2C ．勒洛四面体ABCD 的体积是6πD ．勒洛四面体ABCD 内切球的半径是46二、多选题13．（2023·湖北武汉·统考模拟预测）三棱锥-P ABC 中，22AB =1BC =，AB BC ⊥，直线PA 与平面ABC 所成的角为30︒，直线PB 与平面ABC 所成的角为60︒，则下列说法中正确的有（）A ．三棱锥-P ABC 3B ．三棱锥-P ABC 体积的最大值为2C ．直线PC 与平面ABC 所成的角取到最小值时，二面角P BC A --的平面角为锐角D ．直线PC 与平面ABC 所成的角取到最小值时，二面角P AB C --的平面角为钝角14．（2023·湖南益阳·统考模拟预测）如图，矩形ABCD 中，E 、F 分别为BC 、AD 的中点，且22BC AB ==，BF AE O = ，现将ABE 沿AE 向上翻折，使B 点移到P 点，则在翻折过程中，下列结论正确的是（）A ．CF OP⊥B ．存在点P ，使得//PE CFC ．存在点P ，使得PE ED ⊥D ．三棱锥P AED -615．（2023·河北沧州·统考模拟预测）下列关于三棱柱111ABC A B C -的命题，正确的是（）A ．任意直三棱柱111ABC A B C -均有外接球B ．任意直三棱柱111ABC A B C -均有内切球C ．若正三棱柱111ABC A B C -有一个半径为1的内切球，则该三棱柱的体积为D ．若直三棱柱111ABC A B C -的外接球球心在一个侧面上，则该三棱柱的底面是直角三角形16．（2023·广东梅州·统考二模）如图，在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，E 为边AD 的中点，点P 为线段1D B 上的动点，设11D P D B λ=，则（）A ．当13λ=时，EP //平面1AB CB ．当12λ=时，PE 取得最小值，2C ．PA PC +46D ．当1C ∈平面CEP 时，14λ=17．（2023·浙江嘉兴·统考二模）已知菱形ABCD 的边长为2,60BAD ∠= ，将ABD △沿对角线BD 翻折，得到三棱锥P BCD -，则在翻折过程中，下列说法正确的是（）A ．存在某个位置，使得PC BC⊥B ．直线BC 与平面PBD 所成角的最大值为60C ．当二面角P BD C --为120 时，三棱锥P BCD -的外接球的表面积为283πD ．当2PC =时，分别以,,,P B C D 为球心，2为半径作球，这四个球的公共部分称为勒洛四面体，则该勒洛四面体的内切球的半径为6218．（2023·山西·校联考模拟预测）半正多面体亦称“阿基米德体”，是由边数不全相同的正多边形为面的多面体．如图，将正四面体每条棱三等分，截去顶角所在的小正四面体，得到一个有八个面的半正多面体．点A 、B 、C 是该多面体的三个顶点，且棱长2AB =，则下列结论正确的是（）A ．该多面体的表面积为243B ．该多面体的体积为4623C ．该多面体的外接球的表面积为22πD ．若点M 是该多面体表面上的动点，满足CM AB ⊥时，点M 的轨迹长度为4+19．（2023·江苏·统考一模）正方体1111ABCD A B C D -的棱长为3，E ，F 分别是棱11B C ，11C D 上的动点，满足11D F C E =，则（）A ．BF 与DE 垂直B ．BF 与DE 一定是异面直线C ．存在点E ，F ，使得三棱锥1F A BE -的体积为154D ．当E ，F 分别是11B C ，11C D 的中点时，平面AEF 截正方体所得截面的周长为三、填空题20．（2023·贵州毕节·统考二模）已知四棱锥P ABCD -的各个顶点都在球O 的表面上，PA ⊥平面ABCD ，底面ABCD 是等腰梯形，//AD BC ，3AB AD CD ===，π3ABC ∠=，PA =M 是线段AB 上一点，且AM AB λ=．过点M 作球O 的截面，所得截面圆面积的最小值为2π，则λ＝___．21．（2023·北京海淀·统考一模）在ABC 中，902ACB AC BC ∠=︒==，，D 是边AC 的中点，E 是边AB 上的动点（不与A ，B 重合），过点E 作AC 的平行线交BC 于点F ，将BEF △沿EF 折起，点B 折起后的位置记为点P ，得到四棱锥P ACFE -．如图所示．给出下列四个结论：①//AC 平面PEF ；②PEC 不可能为等腰三角形；③存在点E ，P ，使得PD AE ⊥；④当四棱锥P ACFE -的体积最大时，AE =其中所有正确结论的序号是_________．22．（2023·浙江台州·统考二模）三棱锥D ABC -中，DC ⊥平面ABC ，AB BC ⊥，1AB BC CD ===，点P 在三棱锥D ABC -外接球的球面上，且60APC ∠= ，则DP 的最小值为___________.23．（2023·江西宜春·统考模拟预测）如图，多面体ABCDEF 中，面ABCD 为正方形，DE ⊥平面,ABCD CF DE ∥，且2,1,AB DE CF G ===为棱BC 的中点，H 为棱DE 上的动点，有下列结论：①当H 为DE 的中点时，GH 平面ABE ；②存在点H ，使得GH AC ⊥；③直线GH 与BE 所成角的余弦值的最小值为5；④三棱锥A BCF -的外接球的表面积为9π.其中正确的结论序号为___________.（填写所有正确结论的序号）24．（2023·河北石家庄·统考一模）长方体1111ABCD A B C D -中，11,2AB BC AA ===，平面1AB C 与直线11D C 的交点为M ，现将1M C B 绕1CB 旋转一周，在旋转过程中，动直线CM 与底面1111D C B A 内任一直线所成最小角记为α，则sin α的最大值是___________.25．（2023·广东汕头·金山中学校考模拟预测）已知四边形ABCD 为平行四边形，4AB =，3AD =，π3BAD ∠=，现将ABD △沿直线BD 翻折，得到三棱锥A BCD -'，若A C '=则三棱锥A BCD -'的内切球与外接球表面积的比值为_________.26．（2023·北京门头沟·统考一模）在正方体1111ABCD A B C D -中，棱长为1，已知点P 、Q 分别是线段1AD 、1AC 上的动点（不含端点）.①PQ 与1B C 垂直；②直线PQ 与直线CD 不可能平行；③二面角P AC Q --不可能为定值；④则PQ QC +的最小值是43.其中所有正确结论的序号是___________.27．（2023·辽宁锦州·统考模拟预测）在OAB 中，4,120OA AB OAB ∠=== ，若空间点P 满足12PAB OAB S S =△△，则OP 的最小值为___________；直线OP 与平面OAB 所成角的正切的最大值是___________.28．（2023·河南郑州·统考二模）已知三棱锥P －ABC 的各个顶点都在球O 的表面上，4AB AC ==，120BAC ∠=︒，PB PC ==，平面PBC ⊥平面ABC ，若点E 满足4BC BE = ，过点E 作球O 的截面，则所得截面面积的取值范围为______．29．（2023·陕西榆林·校考模拟预测）已知直三棱柱111ABC A B C -的所有棱长均为4，空间内的点H 满足1HA HA ⊥，且1HB HC ⊥，则满足条件的H 所形成曲线的轨迹的长度为________.30．（2023·四川绵阳·盐亭中学校考模拟预测）已知正方体1111ABCD A B C D 的棱长为3，以A 为球心，_________。

立体几何1.（江苏2004年5分）一平面截一球得到直径是6cm 的圆面，球心到这个平面的距离是4cm ，则该球的体积 是【 】 (A)33π100cm (B) 33π208cm (C) 33π500cm (D) 33π3416cm 2.（江苏2005年5分）在正三棱柱111ABC A B C -中，若AB=2，1AA 1=则点A 到平面1A BC 的距离为【】A ．43 B ．23C ．433D ．33.（江苏2005年5分）设γβα,,为两两不重合的平面，n m l ,,为两两不重合的直线，给出下列四个命题：①若γα⊥，γβ⊥，则βα||；②若α⊂m ，α⊂n ，β||m ，β||n ，则βα||；③若βα||，α⊂l ，则β||l ；④若l =βα ，m =γβ ，n =αγ ，γ||l ，则n m ||其中真命题的个数是 【】A ．1B ．2C ．3D ．44.（江苏2006年5分）两相同的正四棱锥组成如图1所示的几何体，可放棱长为1的正方体内，使正四棱锥的底面ABCD 与正方体的某一个平面平行，且各顶点．．．均在正方体的面上，则这样的几何体体积的可能值有【 】（A ）1个 （B ）2个（C ）3个 （D ）无穷多个 5.（江苏2007年5分）正三棱锥P －ABC 高为2，侧棱与底面所成角为045，则点A 到侧面PBC 的距离是 ▲ .6.（江苏2009年5分）在平面上，若两个正三角形的边长的比为1：2，则它们的面积比为1：4，类似地，在空间内，若两个正四面体的棱长的比为1：2，则它们的体积比为 ▲ .7.（江苏2009年5分）设α和β为不重合的两个平面，给出下列命题： （1）若α内的两条相交直线分别平行于β内的两条直线，则α平行于β； （2）若α外一条直线l 与α内的一条直线平行，则l 和α平行；（3）设α和β相交于直线l ，若α内有一条直线垂直于l ，则α和β垂直； （4）直线l 与α垂直的充分必要条件是l 与α内的两条直线垂直。

2.立体几何、解析几何1.已知直线0:,0:22221111=++=++C y B x A l C y B x A l ，则21l l ⊥的一个充分不必要条件是CA ．A 1 A 2+B 1 B 2=0 B ．A 1 B 2= A 2B 1C ．02211=+A B B A D ．A 1 B 2= A 2B 1，A 1C 2≠A 2C 12.设x ，y 满足约束条件04312x y x x y ≥⎧⎪≥⎨⎪+≤⎩，则3231x y x +++取值范围是 DA ．[ 1，5 ]B ．[ 2，6 ]C ．[ 1，10 ]D ．[ 3，11 ]3. “a = b ”是“直线y = x + 2与圆22()()2x a y b -+-=相切”的 B A ．必要不充分条件 B ．充分不必要条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件4.已知椭圆2214x y +=的左右顶点分别为M 、,N P 为椭圆上任意一点,且直线PM 的斜率的取值范围是1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦，则直线PN 的斜率的取值范围是 BA.11,82⎡⎤⎢⎥⎣⎦B. 11,28⎡⎤--⎢⎥⎣⎦C.[]8,2--D.[]2,8(依题意得，()()2,0,2,0,M N -若()00,P x y ，则0000,,22PM PN y yk k x x ==+-于是 20002000,224PM PN y y y k k x x x ⋅=⋅=+--而()00,P x y 在椭圆上，故，代入整理得1,4PM PN k k ⋅=-又1112,2224即PM PNk k -≤≤≤≤，解得1128PN k -≤≤-)5.已知x 、y 满足约束条件y x z k y x x y x 42,03,05+=⎪⎩⎪⎨⎧≥++≤≥+-且的最小值为－6，则常数k = . 06.过原点引直线l 与动圆1)2()(222+=-+-m y m x 相切)(R x ∈，则切点M 的轨迹方程为 . 322=+y x 7.若实数y x ,满足3)2(22=++y x ，则xy的最大值为_________． 38. 已知圆()()2223x y b r x y r -+-=的图像与轴，轴都相切，则半径＝ 39.已知椭圆19822=++y a x 的离心率21=e ，则a 的值等于 ．445或- 10.已知直线0ax by c ++=与圆O:221x y +=相交于A,B 两 点，且|AB|=，则OA OB ⋅= . 21-11. 已知n m ,是两条不重合的直线,γβα,,是三个两两不重合的平面,给出下列四个命题:①若βαβα//,,则⊥⊥m m ;②若βαγβγα//,,则⊥⊥;③若,,βα⊂⊂n m n m //,则βα//;④若n m ,是异面直线，βααββα//,//,,//,则n n m m ⊂⊂.其中真命题是___①④12. 设m 为实数，若22250(,)30{(,)|25}0x y x y x x y x y mx y ⎧⎫-+≥⎧⎪⎪⎪-≥⊆+≤⎨⎨⎬⎪⎪⎪+≥⎩⎩⎭，则m 的取值范围是 . ⎥⎦⎤⎢⎣⎡34,013.若点P （x,y ）在直线x+y-4=0上，O 为坐标原点，求OP 的最小值 ▲ .14. 设12,F F 为椭圆22143x y +=左、右焦点，过椭圆中心任作一条直线与椭圆交于,P Q 两点，当四边形12PFQF 面积最大时，12PF PF ⋅的值等于 . 2 15. L , M, N 分别为正方体1111ABCD A B C D -的棱111,,A B AD CC 的中点，则平面LMN 与平面1AB C 的位置关系是 (填“平行”，“相交但不垂直”或“垂直”之一)．平行16. 直线03=+y x 绕原点按顺时针方向旋转30°所得直线与圆3)2(22=+-y x 的位 置关系是 。

江苏省南通市高考数学真题分类汇编专题11：空间几何体（基础题）姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、空间几何体 (共18题；共30分)1. （2分）(2017·顺义模拟) 某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的侧面积为（）A . 8B . 8+4C . 2 +D . 4 +22. （2分） (2018高一下·鹤岗期末) 一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）A .B .C .D .3. （2分）直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠BCA=90°，M是AB的中点，BC=CA=CC1 ，则C1M与面BCC1B1所成的角的正弦值为（）A .B .C .D .4. （2分）正四棱锥侧棱长与底面边长均为1，则侧棱与底面所成的角为（）A . 30°B . 45°C . 60°D . 75°5. （2分） (2016高一上·珠海期末) 如图，四棱锥P﹣ABCD中，所有棱长均为2，O是底面正方形ABCD中心，E为PC中点，则直线OE与直线PD所成角为（）A . 30°B . 60°C . 45°D . 90°6. （2分） (2017高二下·潍坊期中) 如图所示，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，己知棱长为a，M，N分别是BD和AD的中点，则B1M与D1N所成角的余弦值为（）A . ﹣B .C . ﹣D .7. （2分）下列四个命题中错误的个数是（）①经过球面上任意两点，可以作且只可以作一个球的大圆；②球面积是它大圆面积的四倍；③球面上两点的球面距离，是这两点所在截面圆上以这两点为端点的劣弧的长．A . 0B . 1C . 2D . 38. （2分）某几何体的三视图如图所示，且该几何体的体积是，则正视图中的的值是（）A . 2B .C .D . 39. （2分） (2016高二上·黑龙江期中) 如图所示，点P在正方形ABCD所在平面外，PA⊥平面ABCD，PA=AB，则PB与AC所成的角是（）A . 90°B . 60°C . 45°D . 30°10. （2分）如图，单位正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，下列说法错误的是（）A . BD1⊥B1CB . 若，则PE∥A1BC . 若点B1、A、D、C在球心为O的球面上，则点A、C在该球面上的球面距离为D . 若，则A1P、BE、AD三线共点11. （2分） (2017高三上·朝阳期末) 某四棱锥的三视图如图所示，其俯视图为等腰直角三角形，则该四棱锥的体积为（）A .B .C .D . 412. （2分）已知两个不重合的平面和两条不同直线m,n，则下列说法正确的是（）A . 若则B . 若则C . 若则D . 若则13. （1分） (2017高二下·上饶期中) 若直线l的方向向量，平面α的一个法向量，则直线l与平面α所成角的正弦值等于________．14. （1分） (2016高二上·德州期中) 圆柱的侧面展开图是边长分别为2a，a的矩形，则圆柱的体积为________．15. （1分） (2018高二上·凌源期末) 已知向量，，且，则的值为________．16. （1分） (2016高二上·金华期中) 已知圆锥的母线长为5cm，侧面积为15πcm2 ，则此圆锥的体积为________ cm3 ．17. （1分）(2018·杨浦模拟) 若一个圆锥的主视图（如图所示）是边长为3、3、2的三角形，则该圆锥的体积是________18. （1分）已知点P（2，2），直线l：x﹣y﹣1=0，则点P关于直线l的对称点p'的坐标为________参考答案一、空间几何体 (共18题；共30分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、13-1、14-1、15-1、16-1、17-1、18-1、。

江苏省各地市2013年高考数学 最新联考试题分类汇编（8） 立体几何一、填空题: 5．（江苏省苏锡常镇四市2013年3月高三教学情况调研—）已知l ，m 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，有下列四个命题：①若l β⊂，且αβ⊥，则l α⊥；②若l β⊥，且//αβ，则l α⊥； ③若l β⊥，且αβ⊥，则//l α；④若m αβ=I ，且//l m ，则//l α．则所有正确命题的序号是 ▲ ． 【答案】②4. (江苏省无锡市2013年2月高三质量检测)已知直线m 和平面、，m ⊂，则“//”是“m //”的 ▲ 条件． (从“充分不必要”，“必要不充分”，“充要”，“既不充分又不必要”中选择) 【答案】充分不必要1、（常州市2013届高三期末）给出下列命题：（1）若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直；（2）若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行； （3）若两条平行直线中的一条垂直于直线m ，那么另一条直线也与直线m 垂直； （4）若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直.其中，所有真命题的序号为 ▲ 答案：()1、()3、()42、（连云港市2013届高三期末）已知正方形ABCD 的边长为2，E ，F 分别为BC ，DC 的中点，沿AE，EF，AF折成一个四面体，使B，C，D三点重合，则这个四面体的体积为▲ .答案：135、（徐州、淮安、宿迁市2013届高三期末）若一个长方体的长、宽、高分别为3、2、1，则它的外接球的表面积是▲ .答案：6π6、（苏州市2013届高三期末）如图，在长方体1111ABCD A B C D-中，3AB AD cm==，12AA cm=，则三棱锥11A B D D-的体积为3cm．答案：37、（泰州市2013届高三期末）在空间中，用a,b,c表示三条不同的直线，γ表示平面，给出下列四个命题：（1）若,a b b cP P，则a cP（2）若,a b b c⊥⊥，则a c⊥(3) 若aγP，bγP，则a bP（4）若aγ⊥，bγ⊥，则a bP则所有真命题的序号是▲．答案：①④8、（扬州市2013届高三期末）设a b、是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，则下列四个命题①若,a b aα⊥⊥，则//bα，②若,aβαβ⊥⊥，则//aα,③若βαβα⊥⊥则,,//aa④若,,a b a bαβ⊥⊥⊥，则αβ⊥, 其中正确的命题序号是▲．答案：③④A1B1DCBAD1C1二、解答题:⒗（江苏省盐城市2013年3月高三第二次模拟）（本小题满分14分）如图，在四棱锥P －ABCD 中，PA=PB=PD=AB=BC=CD=DA=DB=2，E 为的PC 中点。