高考数学一轮复习第七章解析几何第3讲圆的方程课时作业理

课时作业50 圆的方程一、选择题1．已知圆C 的圆心是直线x －y ＋1＝0与x 轴的交点，且圆C 与直线x ＋y ＋3＝0相切，则圆C 的方程是( A )A ．(x ＋1)2＋y 2＝2B ．(x ＋1)2＋y 2＝8C ．(x －1)2＋y 2＝2D ．(x －1)2＋y 2＝8解析：直线x －y ＋1＝0与x 轴的交点为(－1,0)．根据题意，圆C 的圆心坐标为(－1,0)．因为圆与直线x ＋y ＋3＝0相切，所以半径为圆心到切线的距离，即r ＝d ＝|－1＋0＋3|12＋12＝2，则圆的方程为(x ＋1)2＋y 2＝2.故选A.2．(2019·河北邯郸联考)以(a,1)为圆心，且与两条直线2x －y ＋4＝0与2x －y －6＝0同时相切的圆的标准方程为( A )A ．(x －1)2＋(y －1)2＝5B ．(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝5C ．(x －1)2＋y 2＝5D ．x 2＋(y －1)2＝5解析：因为两平行直线2x －y ＋4＝0与2x －y －6＝0的距离为d ＝|－6－4|5＝2 5.故所求圆的半径为r ＝5，所以圆心(a,1)到直线2x－y ＋4＝0的距离为5＝|2a ＋3|5，即a ＝1或a ＝－4.又因为圆心(a,1)到直线2x －y －6＝0的距离也为r ＝5，所以a ＝1.因此所求圆的标准方程为(x －1)2＋(y －1)2＝5.故选A.3．已知直线l ：x ＋my ＋4＝0，若曲线x 2＋y 2＋6x －2y ＋1＝0上存在两点P ，Q 关于直线l 对称，则m 的值为( D )A ．2B ．－2C ．1D ．－1解析：因为曲线x 2＋y 2＋6x －2y ＋1＝0表示的是圆，其标准方程为(x ＋3)2＋(y －1)2＝9，若圆(x ＋3)2＋(y －1)2＝9上存在两点P ，Q 关于直线l 对称，则直线l ：x ＋my ＋4＝0过圆心(－3,1)，所以－3＋m ＋4＝0，解得m ＝－1.4．(2019·贵阳市监测考试)经过三点A (－1,0)，B (3,0)，C (1,2)的圆与y 轴交于M ，N 两点，则|MN |＝( A )A ．2 3B ．2 2C ．3D ．4解析：根据A ，B 两点的坐标特征可知圆心在直线x ＝1上，设圆心为P (1，m )，则半径r ＝|m －2|，所以(m －2)2＝22＋m 2，解得m ＝0，所以圆心为P (1,0)，所以圆的方程为(x －1)2＋y 2＝4，当x ＝0时，y ＝±3，所以|MN |＝2 3.5．(2019·西安八校联考)若过点A (3,0)的直线l 与曲线(x －1)2＋y 2＝1有公共点，则直线l 斜率的取值范围为( D )A ．(－3，3)B ．[－3，3]C ．(－33，33)D ．[－33，33]解析：解法1：数形结合可知，直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为y ＝k (x －3)，则圆心(1,0)到直线y ＝k (x －3)的距离应小于等于半径1，即|2k |1＋k2≤1，解得－33≤k ≤33，故选D. 解法2：数形结合可知，直线l 的斜率存在，设为k ，当k ＝1时，直线l 的方程为x －y －3＝0，圆心(1,0)到直线l 的距离为|1－0－3|12＋(－1)2＝2>1，直线与圆相离，故排除A ，B ；当k ＝33时，直线l 的方程为x －3y －3＝0，圆心(1,0)到直线l 的距离为|1－3×0－3|12＋(－3)2＝1，直线与圆相切，排除C ，故选D.6．(2019·河南豫西五校联考)在平面直角坐标系xOy 中，以点(0,1)为圆心且与直线x －by ＋2b ＋1＝0相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为( B )A ．x 2＋(y －1)2＝4B ．x 2＋(y －1)2＝2C ．x 2＋(y －1)2＝8D ．x 2＋(y －1)2＝16解析：直线x －by ＋2b ＋1＝0过定点P (－1,2)，如图．∴圆与直线x －by ＋2b ＋1＝0相切于点P 时，圆的半径最大，为2，此时圆的标准方程为x 2＋(y －1)2＝2，故选B. 二、填空题7．已知圆C 的圆心在x 轴的正半轴上，点M (0，5)在圆C 上，且圆心到直线2x －y ＝0的距离为455，则圆C 的方程为(x －2)2＋y 2＝9.解析：因为圆C 的圆心在x 轴的正半轴上，设C (a,0)，且a >0，所以圆心到直线2x －y ＝0的距离d ＝2a 5＝455，解得a ＝2， 所以圆C 的半径r ＝|CM |＝4＋5＝3， 所以圆C 的方程为(x －2)2＋y 2＝9.8．(2019·贵阳市摸底考试)过点M (2,2)的直线l 与坐标轴的正方向分别相交于A ，B 两点，O 为坐标原点，若△OAB 的面积为8，则△OAB 外接圆的标准方程是(x －2)2＋(y －2)2＝8.解析：设直线l 的方程为x a ＋y b ＝1(a >0，b >0)，由直线l 过点M (2,2)，得2a ＋2b ＝1.又S △OAB ＝12ab ＝8，所以a ＝4，b ＝4，所以△OAB 是等腰直角三角形，且M 是斜边AB 的中点，则△OAB 外接圆的圆心是点M (2,2)，半径|OM |＝22，所以△OAB 外接圆的标准方程是(x －2)2＋(y －2)2＝8.9．(2019·湖南湘东五校联考)圆心在抛物线y ＝12x 2(x <0)上，且和该抛物线的准线及y 轴都相切的圆的标准方程为(x ＋1)2＋(y －12)2＝1.解析：依题意设圆的方程为(x －a )2＋(y －12a 2)2＝r 2(a <0)，又该圆与抛物线的准线及y 轴均相切，所以12＋12a 2＝r ＝－a ⇒⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，r ＝1.故所求圆的标准方程为(x ＋1)2＋(y －12)2＝1.三、解答题10．已知以点P 为圆心的圆经过点A (－1,0)和B (3,4)，线段AB 的垂直平分线交圆P 于点C 和D ，且|CD |＝410.(1)求直线CD 的方程； (2)求圆P 的方程．解：(1)由题意知，直线AB 的斜率k ＝1，中点坐标为(1,2)． 则直线CD 的方程为y －2＝－(x －1)， 即x ＋y －3＝0. (2)设圆心P (a ，b )，则由点P 在CD 上得a ＋b －3＝0. ① 又∵直径|CD |＝410，∴|P A |＝210， ∴(a ＋1)2＋b 2＝40. ②由①②解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝－3，b ＝6或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝5，b ＝－2.∴圆心P (－3,6)或P (5，－2)．∴圆P 的方程为(x ＋3)2＋(y －6)2＝40或(x －5)2＋(y ＋2)2＝40.11．(2019·山西长治六校联考)已知圆C 经过点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫74，174，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－318，338，直线x ＝0平分圆C ，直线l 与圆C 相切，与圆C 1：x 2＋y 2＝1相交于P ，Q 两点，且满足OP ⊥OQ .(1)求圆C 的方程； (2)求直线l 的方程．解：(1)依题意知圆心C 在y 轴上，可设圆心C 的坐标为(0，b )，圆C 的方程为x 2＋(y －b )2＝r 2(r >0)．因为圆C 经过A ，B 两点，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫742＋⎝ ⎛⎭⎪⎫174－b 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－3182＋⎝ ⎛⎭⎪⎫338－b 2， 即716＋28916－172b ＋b 2＝3164＋1 08964－334b ＋b 2，解得b ＝4.又易知r 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫742＋⎝ ⎛⎭⎪⎫174－42＝12， 所以圆C 的方程为x 2＋(y －4)2＝12.(2)当直线l 的斜率不存在时，由l 与C 相切得l 的方程为x ＝±22，此时直线l 与C 1交于P ，Q 两点，不妨设P 点在Q 点的上方，则P 22，22，Q 22，－22或P －22，22，Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫－22，－22，则OP →·OQ →＝0，所以OP ⊥OQ ，满足题意．当直线l 的斜率存在时，易知其斜率不为0， 设直线l 的方程为y ＝kx ＋m (k ≠0，m ≠0)， ∵OP ⊥OQ 且C 1的半径为1， ∴O 到l 的距离为22，又l 与圆C 相切，∴⎩⎪⎨⎪⎧|m |1＋k2＝22，①|m －4|1＋k2＝22，②由①②知|m |＝|m －4|，∴m ＝2， 代入①得k ＝±7，∴l 的方程为y ＝±7x ＋2.综上，l 的方程为x ＝±22或y ＝±7x ＋2.12．(2019·江西新余五校联考)已知圆O ：x 2＋y 2＝9，过点C (2,1)的直线l 与圆O 交于P ，Q 两点，当△OPQ 的面积最大时，直线l 的方程为( D )A ．x －y －3＝0或7x －y －15＝0B ．x ＋y ＋3＝0或7x ＋y －15＝0C ．x ＋y －3＝0或7x －y ＋15＝0D ．x ＋y －3＝0或7x ＋y －15＝0解析：当直线l 的斜率不存在时，l 的方程为x ＝2，则P ，Q 的坐标为(2，5)，(2，－5)，所以S △OPQ ＝12×2×25＝2 5.当直线l 的斜率存在时，设l 的方程为y －1＝k (x －2)⎝ ⎛⎭⎪⎫k ≠12，则圆心到直线PQ的距离d ＝|1－2k |1＋k2，由平面几何知识得|PQ |＝29－d 2，S △OPQ ＝12·|PQ |·d ＝12·29－d 2·d ＝(9－d 2)d 2≤⎝ ⎛⎭⎪⎫9－d 2＋d 222＝92，当且仅当9－d 2＝d 2，即d 2＝92时，S △OPQ 取得最大值92.因为25<92，所以S △OPQ 的最大值为92，此时4k 2－4k ＋1k 2＋1＝92，解得k ＝－1或k ＝－7，此时直线l 的方程为x ＋y －3＝0或7x ＋y －15＝0.故选D.13．(2019·南宁、柳州联考)过点(2，0)作直线l 与曲线y ＝1－x 2相交于A ，B 两点，O 为坐标原点，当△AOB 的面积取最大值时，直线l 的斜率等于－33.解析：令P (2，0)，如图，易知|OA |＝|OB |＝1，所以S △AOB ＝12|OA |·|OB |·sin ∠AOB ＝12sin ∠AOB ≤12，当∠AOB ＝90°时，△AOB 的面积取得最大值，此时过点O 作OH ⊥AB 于点H ，则|OH |＝22，于是sin ∠OPH ＝|OH ||OP |＝222＝12，易知∠OPH 为锐角，所以∠OPH ＝30°，则直线AB 的倾斜角为150°，故直线AB 的斜率为tan150°＝－33.14．如图，在等腰△ABC 中，已知|AB |＝|AC |，B (－1,0)，AC 边的中点为D (2,0)，则点C 的轨迹所包围的图形的面积为4π.解析：解法1：设C 坐标为(x ，y )，则A 坐标为(4－x ，－y )，∵|AB |＝|AC |，∴(5－x )2＋y 2＝(4－2x )2＋4y 2，整理得(x －1)2＋y 2＝4(y ≠0)，所以C 的轨迹包围的图形面积为4π.解法2：由已知|AB |＝2|AD |，设点A (x ，y )，则(x ＋1)2＋y 2＝4[(x－2)2＋y 2]，所以点A 的轨迹方程为(x －3)2＋y 2＝4(y ≠0)，设C (x ′，y ′)，由AC 边的中点为D (2,0)知A (4－x ′，－y ′)，所以C 的轨迹方程为(4－x ′－3)2＋(－y ′)2＝4，即(x －1)2＋y 2＝4(y ≠0)，所以点C 的轨迹所包围的图形面积为4π.尖子生小题库——供重点班学生使用，普通班学生慎用 15．(2019·福州高三考试)抛物线C ：y ＝2x 2－4x ＋a 与两坐标轴有三个交点，其中与y 轴的交点为P .(1)若点Q (x ，y )(1<x <4)在C 上，求直线PQ 斜率的取值范围； (2)证明：经过这三个交点的圆E 过定点．解：(1)由题意得P (0，a )(a ≠0)，Q (x,2x 2－4x ＋a )(1<x <4)， 故k PQ ＝2x 2－4x ＋a －ax ＝2x －4， 因为1<x <4，所以－2<k PQ <4，所以直线PQ 的斜率的取值范围为(－2，4)． (2)证明：P (0，a )(a ≠0)． 令2x 2－4x ＋a ＝0，则Δ＝16－8a >0，a <2，且a ≠0， 解得x ＝1±4－2a 2，故抛物线C 与x 轴交于A (1－4－2a 2，0)，B (1＋4－2a2，0)两点．故可设圆E 的圆心为M (1，t )， 由|MP |2＝|MA |2，得12＋(t －a )2＝(4－2a 2)2＋t 2，解得t ＝a 2＋14， 则圆E 的半径 r ＝|MP |＝1＋(14－a 2)2.所以圆E 的方程为(x －1)2＋(y －a 2－14)2＝1＋(14－a 2)2，所以圆E 的一般方程为 x 2＋y 2－2x －(a ＋12)y ＋a2＝0， 即x 2＋y 2－2x －12y ＋a (12－y )＝0.由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2－2x －12y ＝0，12－y ＝0，得⎩⎨⎧x ＝0，y ＝12或⎩⎨⎧x ＝2，y ＝12，故圆E 过定点(0，12)，(2，12)．。

2021年高考数学一轮复习 8.3 圆的方程课时作业 理（含解析）新人教A版一、选择题1．已知点A (1，－1)，B (－1,1)，则以线段AB 为直径的圆的方程是( ) A ．x 2＋y 2＝2 B ．x 2＋y 2＝2 C ．x 2＋y 2＝1D ．x 2＋y 2＝4解析：AB 的中点坐标为：(0,0)， |AB |＝ [1－－1]2＋－1－12＝22，∴圆的方程为：x 2＋y 2＝2. 答案：A2．圆心在y 轴上，半径为1，且过点(1,2)的圆的方程为( ) A ．x 2＋(y －2)2＝1 B ．x 2＋(y ＋2)2＝1 C ．(x －1)2＋(y －3)2＝1D ．x 2＋(y －3)2＝1 解析：设圆心坐标为(0，b )，则由题意知0－12＋b －22＝1，解得b ＝2，故圆的方程为x 2＋(y －2)2＝1.答案：A3．若曲线C ：x 2＋y 2＋2ax －4ay ＋5a 2－4＝0上所有的点均在第二象限内，则a 的取值范围为( )A ．(－∞，－2)B ．(－∞，－1)C ．(1，＋∞)D ．(2，＋∞)解析：曲线C 的方程可以化为(x ＋a )2＋(y －2a )2＝4，则该方程表示圆心为(－a,2a )，半径等于2的圆．因为圆上的点均在第二象限，所以a >2.答案：D4．动点A 在圆x 2＋y 2＝1上移动时，它与定点B (3,0)连线的中点的轨迹方程是( ) A ．(x ＋3)2＋y 2＝4 B ．(x －3)2＋y 2＝1C ．(2x －3)2＋4y 2＝1D.⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋322＋y 2＝12解析：设中点M (x ，y )，则动点A (2x －3,2y )， ∵A 在圆x 2＋y 2＝1上，∴(2x －3)2＋(2y )2＝1，即(2x －3)2＋4y 2＝1，故选C. 答案：C5．已知点M 是直线3x ＋4y －2＝0上的动点，点N 为圆(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝1上的动点，则|MN |的最小值是( )A.95 B ．1 C.45D.135解析：圆心(－1，－1)到点M 的距离的最小值为点(－1，－1)到直线的距离d ＝|－3－4－2|5＝95，故点N 到点M 的距离的最小值为d －1＝45. 答案：C6．已知圆的方程为x 2＋y 2－6x －8y ＝0，设该圆中过点M (3,5)的最长弦、最短弦分别为AC 、BD ，则以点A 、B 、C 、D 为顶点的四边形ABCD 的面积为( )A ．10 6B ．20 6C ．30 6D ．40 6解析：将圆的方程化成标准形式得(x －3)2＋(y －4)2＝25，所以圆心为P (3,4)，半径r ＝5.而|MP |＝3－32＋4－52＝1<5，所以点M (3,5)在圆内，故当过点M 的弦经过圆心时最长，此时|AC |＝2r ＝10，当弦BD 与MP 垂直时，弦BD 的长度最小，此时|BD |＝2r 2－|MP |2＝252－12＝4 6.又因为AC ⊥BD ，所以四边形ABCD 的面积为S ＝12|AC |×|BD |＝12×10×46＝20 6. 答案：B 二、填空题7．已知圆心在x 轴上，半径为2的圆O 位于y 轴左侧，且与直线x ＋y ＝0相切，则圆O 的方程是________________．解析：设圆心为(a,0)(a <0)，则|a |2＝2，解得a ＝－2，故圆O 的方程为(x ＋2)2＋y 2＝2.答案：(x ＋2)2＋y 2＝28．直线ax ＋by ＝1过点A (b ，a )，则以坐标原点O 为圆心，OA 长为半径的圆的面积的最小值是________________．解析：直线过点A (b ，a )，∴ab ＝12，圆面积S ＝πr 2＝π(a 2＋b 2)≥2πab ＝π.答案：π9．(xx·杭州模拟)已知圆x 2＋y 2＋2x －4y ＋a ＝0关于直线y ＝2x ＋b 成轴对称，则a －b 的取值范围是______．解析：圆的方程变为(x ＋1)2＋(y －2)2＝5－a ， ∴其圆心为(－1,2)，且5－a >0，即a <5. 又圆关于直线y ＝2x ＋b 成轴对称， ∴2＝－2＋b ，∴b ＝4.∴a －b ＝a －4<1. 答案：(－∞，1) 三、解答题10．根据下列条件求圆的方程：(1)经过点P (1,1)和坐标原点，并且圆心在直线2x ＋3y ＋1＝0上； (2)圆心在直线y ＝－4x 上，且与直线l ：x ＋y －1＝0相切于点P (3，－2)； (3)过三点A (1,12)，B (7,10)，C (－9,2)． 解：(1)设圆的标准方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2， 由题意列出方程组⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2＝r 2a －12＋b －12＝r 2，2a ＋3b ＋1＝0解之得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4b ＝－3r 2＝25∴圆的标准方程是(x －4)2＋(y ＋3)2＝25.(2)法一：设圆的标准方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2，则有⎩⎪⎨⎪⎧b ＝－4a3－a 2＋－2－b 2＝r 2，|a ＋b －1|2＝r解得a ＝1，b ＝－4，r ＝2 2. ∴圆的方程为(x －1)2＋(y ＋4)2＝8.法二：过切点且与x ＋y －1＝0垂直的直线为y ＋2＝x －3，与y ＝－4x 联立可求得圆心为(1，－4)．∴半径r ＝1－32＋－4＋22＝22，∴所求圆的方程为(x －1)2＋(y ＋4)2＝8. (3)法一：设圆的一般方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，则⎩⎪⎨⎪⎧1＋144＋D ＋12E ＋F ＝0，49＋100＋7D ＋10E ＋F ＝0，81＋4－9D ＋2E ＋F ＝0.解得D ＝－2，E ＝－4，F ＝－95.∴所求圆的方程为x 2＋y 2－2x －4y －95＝0. 法二：由A (1,12)，B (7,10)，得A 、B 的中点坐标为(4,11)，k AB ＝－13，则AB 的中垂线方程为3x －y －1＝0. 同理得AC 的中垂线方程为x ＋y －3＝0.联立⎩⎪⎨⎪⎧3x －y －1＝0x ＋y －3＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1y ＝2，即圆心坐标为(1,2)，半径r ＝1－12＋2－122＝10.∴所求圆的方程为(x －1)2＋(y －2)2＝100.11．(xx·重庆九校联考)已知⊙C 与两平行直线x －y ＝0及x －y －4＝0都相切，且圆心C 在直线x ＋y ＝0上．(1)求⊙C 的方程；(2)斜率为2的直线l 与⊙C 相交于A ，B 两点，O 为坐标原点且满足OA →⊥OB →，求直线l 的方程．解：(1)由题意知⊙C 的直径为两平行线x －y ＝0及x －y －4＝0之间的距离 ∴d ＝2R ＝|0－－4|2＝22，解得R ＝2，设圆心C (a ，－a )，由圆心C 到x －y ＝0的距离|2a |2＝R ＝2得a ＝±1，检验得a ＝1.∴⊙C 的方程为(x －1)2＋(y ＋1)2＝2.(2)由(1)知⊙C 过原点，若OA →⊥OB →，则l 经过圆心， 易得l 的方程：2x －y －3＝0.12．如右图所示，圆O 1和圆O 2的半径长都等于1，|O 1O 2|＝4.过动点P 分别作圆O 1，圆O 2的切线PM ，PN (M ，N 为切点)，使得|PM |＝2|PN |.试建立平面直角坐标系，并求动点P的轨迹方程．解：以O 1O 2的中点O 为原点，O 1O 2所在的直线为x 轴，建立如图所示的平面直角坐标系，则O 1(－2,0)，O 2(2,0)．由已知|PM |＝2|PN |， 得|PM |2＝2|PN |2.因为两圆的半径长均为1，所以|PO 1|2－1＝2(|PO 2|2－1)． 设P (x ，y )，则(x ＋2)2＋y 2－1＝2[(x －2)2＋y 2－1]，化简，得(x －6)2＋y 2＝33，所以所求轨迹方程为(x －6)2＋y 2＝33. [热点预测]13．(1)(xx·安徽亳州摸底联考)已知圆C 的圆心是抛物线y ＝116x 2的焦点．直线4x －3y －3＝0与圆C 相交于A ，B 两点，且|AB |＝8，则圆C 的方程为________．(2)(xx·吉林长春三校调研)设圆C ：(x －3)2＋(y －5)2＝5，过圆心C 作直线l 交圆于A 、B 两点，交y 轴于点P ，若A 恰好为线段BP 的中点，则直线l 的方程为________．解析：(1)y ＝116x 2的焦点为(0,4)，∴设圆的方程为x 2＋(y －4)2＝r 2(r >0) 所以弦长为|AB |＝2r 2－d 2＝ 2r 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫|4×0－3×4－3|32＋422＝2 r 2－⎝⎛⎭⎪⎫|15|52＝8.所以r 2＝25，所以圆的方程为x 2＋(y －4)2＝25.(2)如图，A为PB的中点，而C为AB的中点，因此，C为PB的四等分点．而C(3,5)，P点的横坐标为0，因此，A、B的横坐标分别为2、4，将A的横坐标代入圆的方程中，可得A(2,3)或A(2,7)，根据直线的两点式得到直线l的方程为2x－y－1＝0或2x＋y－11＝0.答案：(1)x2＋(y－4)2＝25(2)2x－y－1＝0或2x＋y－11＝09 34222 85AE 薮4q39496 9A48 驈25292 62CC 拌28418 6F02 漂35646 8B3E 謾@|26101 65F5 旵39942 9C06 鰆29311 727F 牿X。

第3讲 圆的方程1．圆的定义及方程2.点与圆的位置关系点M (x 0，y 0)与圆(x －a )2＋(y －b )2＝r 2的位置关系： (1)若M (x 0，y 0)在圆外，则(x 0－a )2＋(y 0－b )2＞r 2. (2)若M (x 0，y 0)在圆上，则(x 0－a )2＋(y 0－b )2＝r 2. (3)若M (x 0，y 0)在圆内，则(x 0－a )2＋(y 0－b )2＜r 2.1．辨明两个易误点(1)求圆的方程需要三个独立条件，所以不论是设哪一种圆的方程都要列出系数的三个独立方程．(2)对于方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0表示圆时易忽视D 2＋E 2－4F ＞0这一条件． 2．求解有关圆的问题的转化路径(1)注意二元二次方程表示圆的充要条件，善于利用切割线定理、垂径定理等平面中圆的有关定理解题；注意将圆上动点到定点、定直线的距离转化为圆心到它们的距离．(2)在圆中，注意利用半径、半弦长及弦心距组成的直角三角形．1．已知点A (1，－1)，B (－1，1)，则以线段AB 为直径的圆的方程是( ) A ．x 2＋y 2＝2B ．x 2＋y 2＝ 2C ．x 2＋y 2＝1D ．x 2＋y 2＝4A AB 的中点坐标为(0，0)，|AB |＝[1－（－1）]2＋（－1－1）2＝22， 所以圆的方程为x 2＋y 2＝2.2．方程x 2＋y 2＋4mx －2y ＋5m ＝0表示圆的充要条件是( ) A.14<m <1 B ．m <14或m >1C ．m <14D ．m >1B 由(4m )2＋4－4×5m >0，得m <14或m >1.3．圆(x ＋2)2＋y 2＝5关于直线y ＝x 对称的圆的方程为( ) A ．(x －2)2＋y 2＝5 B ．x 2＋(y －2)2＝5 C ．(x ＋2)2＋(y ＋2)2＝5 D ．x 2＋(y ＋2)2＝5D 由题意知所求圆的圆心坐标为(0，－2)，所以所求圆的方程为x 2＋(y ＋2)2＝5. 4．点(1，1)在圆(x －a )2＋(y ＋a )2＝4内，则实数a 的取值范围是________． 因为点(1，1)在圆的内部， 所以(1－a )2＋(1＋a )2<4， 所以－1<a <1. (－1，1)5.教材习题改编圆C 的圆心在x 轴上，并且过点A (－1，1)和B (1，3)，则圆C 的方程为________．设圆心坐标为C (a ，0)，因为点A (－1，1)和B (1，3)在圆C 上， 所以|CA |＝|CB |，即（a ＋1）2＋1＝（a －1）2＋9， 解得a ＝2，所以圆心为C (2，0)，半径|CA |＝（2＋1）2＋1＝10， 所以圆C 的方程为(x －2)2＋y 2＝10.(x －2)2＋y 2＝10求圆的方程(高频考点)求圆的方程是高考命题的热点，多以选择题、填空题的形式呈现，试题难度较小． 高考中对求圆的方程的考查主要有以下两个命题角度： (1)由已知条件求圆的方程； (2)由圆的方程确定参数的值(范围)．(1)(2016·高考天津卷)已知圆C 的圆心在x 轴的正半轴上，点M (0，5)在圆C 上，且圆心到直线2x －y ＝0的距离为455，则圆C 的方程为________． (2)(2016·高考浙江卷)已知a ∈R ，方程a 2x 2＋(a ＋2)y 2＋4x ＋8y ＋5a ＝0表示圆，则圆心坐标是________，半径是________．【解析】 (1)因为圆C 的圆心在x 轴的正半轴上，设C (a ，0)，且a >0，所以圆心到直线2x －y ＝0的距离d ＝2a5＝455，解得a ＝2，所以圆C 的半径r ＝|CM |＝4＋5＝3， 所以圆C 的方程为(x －2)2＋y 2＝9.(2)由二元二次方程表示圆的条件可得a 2＝a ＋2，解得a ＝2或－1.当a ＝2时，方程为4x 2＋4y 2＋4x ＋8y ＋10＝0，即x 2＋y 2＋x ＋2y ＋52＝0，配方得⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋122＋(y ＋1)2＝－54<0，不表示圆；当a ＝－1时，方程为x 2＋y 2＋4x ＋8y －5＝0，配方得(x ＋2)2＋(y ＋4)2＝25，则圆心坐标为(－2，－4)，半径是5.【答案】 (1)(x －2)2＋y 2＝9 (2)(－2，－4) 5求圆的方程的两种方法(1)直接法根据圆的几何性质，直接求出圆心坐标和半径，进而写出方程．(2)待定系数法①若已知条件与圆心(a ，b )和半径r 有关，则设圆的标准方程，依据已知条件列出关于a ，b ，r 的方程组，从而求出a ，b ，r 的值；②若已知条件没有明确给出圆心或半径，则选择圆的一般方程，依据已知条件列出关于D ，E ，F 的方程组，进而求出D ，E ，F 的值．角度一 由已知条件求圆的方程1．圆心在曲线y ＝2x(x >0)上，且与直线2x ＋y ＋1＝0相切的面积最小的圆的方程为( )A ．(x －1)2＋(y －2)2＝5 B ．(x －2)2＋(y －1)2＝5 C ．(x －1)2＋(y －2)2＝25 D ．(x －2)2＋(y －1)2＝25A 由圆心在曲线y ＝2x(x >0)上，设圆心坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫a ，2a ，a >0.又因为圆与直线2x ＋y ＋1＝0相切，所以圆心到直线的距离d ＝2a ＋2a ＋15≥4＋15＝5，当且仅当2a ＝2a ，即a ＝1时取等号．所以圆心坐标为(1，2)，圆的半径的最小值为5，则所求圆的方程为(x －1)2＋(y －2)2＝5.2．(2017·百校联盟联考)经过点A (5，2)，B (3，－2)，且圆心在直线2x －y －3＝0上的圆的方程为________．法一：因为圆过A (5，2)，B (3，－2)两点， 所以圆心一定在线段AB 的垂直平分线上． 易知线段AB 的垂直平分线方程为y ＝－12(x －4)．设所求圆的圆心为C (a ，b )，则有 ⎩⎪⎨⎪⎧2a －b －3＝0b ＝－12（a －4），解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2b ＝1， 所以C (2，1)，所以半径r ＝|CA |＝（5－2）2＋（2－1）2＝10， 所以所求圆的方程为(x －2)2＋(y －1)2＝10. 法二：设圆的方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2(r >0)，则⎩⎪⎨⎪⎧2a －b －3＝0（5－a ）2＋（2－b ）2＝r 2（3－a ）2＋（－2－b ）2＝r 2，解得⎩⎨⎧a ＝2b ＝1r ＝10， 所以所求圆的方程为(x －2)2＋(y －1)2＝10.法三：设圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0(D 2＋E 2－4F >0)， 则⎩⎪⎨⎪⎧25＋4＋5D ＋2E ＋F ＝09＋4＋3D －2E ＋F ＝02×⎝ ⎛⎭⎪⎫－D 2＋E 2－3＝0，解得D ＝－4，E ＝－2，F ＝－5.所以所求圆的方程为x 2＋y 2－4x －2y －5＝0.x 2＋y 2－4x －2y －5＝0(或(x －2)2＋(y －1)2＝10)角度二 由圆的方程确定参数的值(范围)3．设圆的方程是x 2＋y 2＋2ax ＋2y ＋(a －1)2＝0，若0<a <1，则原点与圆的位置关系是( )A ．原点在圆上B ．原点在圆外C ．原点在圆内D ．不确定B 将圆的一般方程化成标准方程为(x ＋a )2＋(y ＋1)2＝2a ， 因为0<a <1，所以(0＋a )2＋(0＋1)2－2a ＝(a －1)2>0， 即（0＋a ）2＋（0＋1）2>2a ，所以原点在圆外．与圆有关的最值问题已知实数x ，y 满足方程x 2＋y 2－4x ＋1＝0. (1)求y x的最大值和最小值； (2)求y －x 的最大值和最小值．【解】 原方程可化为(x －2)2＋y 2＝3，表示以(2，0)为圆心，3为半径的圆． (1)y x的几何意义是圆上一点与原点连线的斜率， 所以设y x＝k ，即y ＝kx .当直线y ＝kx 与圆相切时，斜率k 取得最大值或最小值，此时|2k －0|k 2＋1＝3， 解得k ＝±3(如图1)．所以y x的最大值为3，最小值为－ 3.(2)y －x 可看作是直线y ＝x ＋b 在y 轴上的截距，当直线y ＝x ＋b 与圆相切时，纵截距b 取得最大值或最小值，此时|2－0＋b |2＝3， 解得b ＝－2±6(如图2)．所以y －x 的最大值为－2＋6，最小值为－2－ 6.在本例条件下，求x 2＋y 2的最大值和最小值．x 2＋y 2表示圆上的一点与原点距离的平方，由平面几何知识知，在原点和圆心连线与圆的两个交点处取得最大值和最小值(如图)．又圆心到原点的距离为（2－0）2＋（0－0）2＝2，所以x 2＋y 2的最大值是(2＋3)2＝7＋43，x 2＋y 2的最小值是(2－3)2＝7－4 3.与圆有关的最值问题的常见解法(1)形如μ＝y －bx －a形式的最值问题，可转化为动直线斜率的最值问题． (2)形如t ＝ax ＋by 形式的最值问题，可转化为动直线截距的最值问题．(3)形如(x －a )2＋(y －b )2形式的最值问题，可转化为动点到定点的距离的平方的最值问题．1．设P 为直线3x －4y ＋11＝0上的动点，过点P 作圆C ：x 2＋y 2－2x －2y ＋1＝0的两条切线，切点分别为A ，B ，则四边形PACB 的面积的最小值为________．圆的标准方程为(x －1)2＋(y －1)2＝1，圆心为C (1，1)，半径为r ＝1，根据对称性可知，四边形PACB 的面积为2S △APC ＝2×12|PA |r ＝|PA |＝|PC |2－r 2，要使四边形PACB 的面积最小，则只需|PC |最小，最小值为圆心到直线l ：3x －4y ＋11＝0的距离d ＝|3－4＋11|32＋（－4）2＝105＝2.所以四边形PACB 面积的最小值为|PC |2min －r 2＝4－1＝ 3. 32．已知M (m ，n )为圆C ：x 2＋y 2－4x －14y ＋45＝0上任意一点，则n －3m ＋2的最大值为________，最小值为________．因为x 2＋y 2－4x －14y ＋45＝0的圆心C (2，7)，半径r ＝22，记点Q (－2，3)．因为n －3m ＋2表示直线MQ 的斜率，设直线MQ 的方程为y －3＝k (x ＋2)，即kx －y ＋2k ＋3＝0，则n －3m ＋2＝k .由直线MQ 与圆C 有公共点，所以|2k －7＋2k ＋3|1＋k2≤2 2.可得2－3≤k ≤2＋3，所以n －3m ＋2的最大值为2＋3，最小值为2－ 3. 2＋ 3 2－ 3与圆有关的轨迹问题(2015·高考广东卷节选)已知过原点的动直线l 与圆C 1：x 2＋y 2－6x ＋5＝0相交于不同的两点A ，B ．(1)求圆C 1的圆心坐标；(2)求线段AB 的中点M 的轨迹C 的方程．【解】 (1)由x 2＋y 2－6x ＋5＝0得(x －3)2＋y 2＝4， 所以圆C 1的圆心坐标为(3，0)． (2)设M (x ，y )，因为点M 为线段AB 的中点，所以C 1M ⊥AB ，所以kC 1M ·k AB ＝－1，当x ≠3时可得yx －3·y x ＝－1，整理得⎝ ⎛⎭⎪⎫x －322＋y 2＝94，又当直线l 与x 轴重合时，M 点坐标为(3，0)，代入上式成立． 设直线l 的方程为y ＝kx ，与x 2＋y 2－6x ＋5＝0联立， 消去y 得：(1＋k 2)x 2－6x ＋5＝0.令其判别式Δ＝(－6)2－4(1＋k 2)×5＝0，得k 2＝45，此时方程为95x 2－6x ＋5＝0，解上式得x ＝53，因此53<x ≤3.所以线段AB 的中点M 的轨迹的方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －322＋y 2＝94⎝ ⎛⎭⎪⎫53<x ≤3.求与圆有关的轨迹方程的方法已知圆x2＋y2＝4上一定点A(2，0)，B(1，1)为圆内一点，P，Q为圆上的动点．(1)求线段AP中点的轨迹方程；(2)若∠PBQ＝90°，求线段PQ中点的轨迹方程．(1)设AP的中点为M(x，y)，由中点坐标公式可知，P点坐标为(2x－2，2y)．因为P点在圆x2＋y2＝4上，所以(2x－2)2＋(2y)2＝4.故线段AP中点的轨迹方程为(x－1)2＋y2＝1.(2)设PQ的中点为N(x，y)，在Rt△PBQ中，|PN|＝|BN|，设O为坐标原点，连接ON(图略)，则ON⊥PQ，所以|OP|2＝|ON|2＋|PN|2＝|ON|2＋|BN|2，所以x2＋y2＋(x－1)2＋(y－1)2＝4.故线段PQ中点的轨迹方程为x2＋y2－x－y－1＝0.1．圆心在y轴上，半径为1，且过点(1，2)的圆的方程是( )A．x2＋(y－2)2＝1 B．x2＋(y＋2)2＝1C．(x－1)2＋(y－3)2＝1 D．x2＋(y－3)2＝1A 设圆心为(0，a)，则（1－0）2＋（2－a）2＝1，解得a＝2，故圆的方程为x2＋(y－2)2＝1.故选A.2．方程|x|－1＝1－（y－1）2所表示的曲线是( )A．一个圆B．两个圆C．半个圆D．两个半圆D由题意得⎩⎪⎨⎪⎧（|x |－1）2＋（y －1）2＝1|x |－1≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧（x －1）2＋（y －1）2＝1x ≥1或⎩⎪⎨⎪⎧（x ＋1）2＋（y －1）2＝1x ≤－1.故原方程表示两个半圆．3．(2017·山西阳泉一模)若圆x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0关于直线l 1：x －y ＋4＝0和直线l 2：x ＋3y ＝0都对称，则D ＋E 的值为( )A ．－4B ．－2C ．2D ．4D 圆x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0的圆心为⎝ ⎛⎭⎪⎫－D 2，－E 2.又圆关于直线l 1和l 2都对称，所以l 1，l 2都经过该圆的圆心，所以有⎩⎪⎨⎪⎧－D 2＋E2＋4＝0－D 2＋3×⎝ ⎛⎭⎪⎫－E 2＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧D ＝6E ＝－2，所以D ＋E ＝4.4．(2017·山西运城二模)已知圆(x －2)2＋(y ＋1)2＝16的一条直径通过直线x －2y ＋3＝0被圆所截弦的中点，则该直径所在的直线方程为( )A ．3x ＋y －5＝0B ．x －2y ＝0C ．x －2y ＋4＝0D ．2x ＋y －3＝0D 直线x －2y ＋3＝0的斜率为12，已知圆的圆心坐标为(2，－1)，该直径所在直线的斜率为－2，所以该直径所在的直线方程为y ＋1＝－2(x －2)，即2x ＋y －3＝0.故选D ．5．若圆C 的半径为1，圆心在第一象限，且与直线4x －3y ＝0和x 轴都相切，则该圆的标准方程为( )A ．(x －3)2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －732＝1 B ．(x －2)2＋(y －1)2＝1 C ．(x －1)2＋(y －3)2＝1D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫x －322＋(y －1)2＝1B 因为圆C 的半径为1，且与x 轴相切，所以圆心的纵坐标的绝对值为1，排除A ，C ；又因为点(2，1)到直线4x －3y ＝0的距离d ＝|4×2－3×1|42＋32＝1，等于圆的半径，所以圆心坐标为(2，1)，故选B ．6．已知圆C 的圆心是直线x －y ＋1＝0与x 轴的交点，且圆C 与直线x ＋y ＋3＝0相切，则圆C 的方程是( )A ．(x ＋1)2＋y 2＝2 B ．(x ＋1)2＋y 2＝8 C ．(x －1)2＋y 2＝2D ．(x －1)2＋y 2＝8A 直线x －y ＋1＝0与x 轴的交点为⎩⎪⎨⎪⎧y ＝0x －y ＋1＝0，即(－1，0)．根据题意，圆心为(－1，0)．因为圆与直线x ＋y ＋3＝0相切，所以半径为圆心到切线的距离，即r ＝d ＝|－1＋0＋3|12＋12＝2，则圆的方程为(x ＋1)2＋y 2＝2.故选A.7．设A (－3，0)，B (3，0)为两定点，动点P 到A 点的距离与到B 点的距离之比为1∶2，则点P 的轨迹图形所围成的面积是________．设P (x ，y )，则由题意有（x ＋3）2＋y 2（x －3）2＋y 2＝14，所以x 2＋y 2＋10x ＋9＝0，所以(x ＋5)2＋y 2＝16， 所以点P 在半径为4的圆上，故其面积为16π. 16π8．直线l 1：y ＝x ＋a ，l 2：y ＝x ＋b 将单位圆C ：x 2＋y 2＝1分成长度相等的四段弧，则a 2＋b 2＝________．依题意，圆心C (0，0)到两直线l 1：y ＝x ＋a ，l 2：y ＝x ＋b 的距离相等，且每段弧长等于圆周的14，即|a |2＝|b |2＝1×sin 45°＝22，得|a |＝|b |＝1，故a 2＋b 2＝2.29．圆C 的圆心在x 轴上，并且经过点A (－1，1)，B (1，3), 若M (m ，6)在圆C 内，则m 的范围为________．设圆心为C (a ，0)，由|CA |＝|CB |得 (a ＋1)2＋12＝(a －1)2＋32.所以a ＝2.半径r ＝|CA |＝（2＋1）2＋12＝10. 故圆C 的方程为(x －2)2＋y 2＝10.由题意知(m －2)2＋(6)2<10，解得0<m <4. (0，4)10．(2017·河北邯郸一中二模)已知圆O ：x 2＋y 2＝8，点A (2，0)，动点M 在圆上，则∠OMA 的最大值为________．设|MA |＝a ，因为|OM |＝22，|OA |＝2，由余弦定理知cos ∠OMA ＝|OM |2＋|MA |2－|OA |22|OM |·|MA |＝（22）2＋a 2－222×22a ＝142·⎝ ⎛⎭⎪⎫4a ＋a ≥142·24a·a ＝22，当且仅当a ＝2时等号成立． 所以∠OMA ≤π4，即∠OMA 的最大值为π4.π411．求适合下列条件的圆的方程．(1)圆心在直线y ＝－4x 上，且与直线l ：x ＋y －1＝0相切于点P (3，－2)； (2)过三点A (1，12)，B (7，10)，C (－9，2)．(1)法一：设圆的标准方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2，则有⎩⎪⎨⎪⎧b ＝－4a（3－a ）2＋（－2－b ）2＝r2|a ＋b －1|2＝r ，解得a ＝1，b ＝－4，r ＝2 2. 所以圆的方程为(x －1)2＋(y ＋4)2＝8.法二：过切点且与x ＋y －1＝0垂直的直线为y ＋2＝x －3，与y ＝－4x 联立可求得圆心为(1，－4)．所以半径r ＝（1－3）2＋（－4＋2）2＝22， 所以所求圆的方程为(x －1)2＋(y ＋4)2＝8.(2)设圆的一般方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0(D 2＋E 2－4F ＞0)， 则⎩⎪⎨⎪⎧1＋144＋D ＋12E ＋F ＝049＋100＋7D ＋10E ＋F ＝081＋4－9D ＋2E ＋F ＝0. 解得D ＝－2，E ＝－4，F ＝－95.所以所求圆的方程为x 2＋y 2－2x －4y －95＝0.12.如图，等腰梯形ABCD 的底边AB 和CD 长分别为6和26，高为3. (1)求这个等腰梯形的外接圆E 的方程；(2)若线段MN 的端点N 的坐标为(5，2)，端点M 在圆E 上运动，求线段MN 的中点P 的轨迹方程．(1)由已知可知A (－3，0)，B (3，0)，C (6，3)，D (－6，3)，设圆心E (0，b )．由|EB |＝|EC |，得(0－3)2＋(b －0)2＝(0－6)2＋(b －3)2，解得b ＝1，r 2＝(0－3)2＋(1－0)2＝10，所以圆的方程为x 2＋(y －1)2＝10. (2)设P (x ，y )，由已知得M (2x －5，2y －2)， 代入x 2＋(y －1)2＝10， 得(2x －5)2＋(2y －3)2＝10，化简得⎝ ⎛⎭⎪⎫x －522＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －322＝52.13．在△ABC 中，BC ＝6，AB ＝2AC ，则△ABC 面积的最大值为( ) A ．10 B ．11 C ．12D ．14C 以B 为原点，BC 所在的直线为x 轴，建立直角坐标系(图略)，则C (6，0)．设A (x ，y )．由AB ＝2AC 得x 2＋y 2＝4，即(x －8)2＋y 2＝16.则A 的轨迹是以(8，0)为圆心，半径为4的圆(除去(12，0)和(4，0))，所以A 到BC 的距离的最大值为4.所以△ABC 面积的最大值为S ＝12BC ×4＝12.故选C.14．设命题p ：⎩⎪⎨⎪⎧4x ＋3y －12≥0k －x ≥0x ＋3y ≤12(x ，y ，k ∈R 且k ＞0)；命题q ：(x －3)2＋y 2≤25(x ，y∈R )．若p 是q 的充分不必要条件，则k 的取值范围是________．如图所示：命题p 表示的范围是图中△ABC 的内部(含边界)，命题q 表示的范围是以点(3，0)为圆心，5为半径的圆及圆内部分，p 是q 的充分不必要条件，实际上只需A ，B ，C 三点都在圆内(或圆上)即可．由题知B ⎝ ⎛⎭⎪⎫k ，4－43k ，则⎩⎪⎨⎪⎧k ＞0（k －3）2＋169（3－k ）2≤25， 解得0＜k ≤6. (0，6]15．已知以点P 为圆心的圆经过点A (－1，0)和B (3，4)，线段AB 的垂直平分线交圆P 于点C 和D ，且|CD |＝410.(1)求直线CD 的方程； (2)求圆P 的方程．(1)直线AB 的斜率k ＝1，AB 的中点坐标为(1，2)． 则直线CD 的方程为y －2＝－(x －1)，即x ＋y －3＝0. (2)设圆心P (a ，b )，则由点P 在CD 上， 得a ＋b －3＝0.①又因为直径|CD |＝410，所以|PA |＝210， 所以(a ＋1)2＋b 2＝40.② 由①②解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－3b ＝6或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝5b ＝－2.所以圆心P (－3，6)或P (5，－2)． 所以圆P 的方程为(x ＋3)2＋(y －6)2＝40 或(x －5)2＋(y ＋2)2＝40.16．(2017·湖南箴言中学三模)已知方程x 2＋y 2－2x －4y ＋m ＝0. (1)若此方程表示圆，求实数m 的取值范围；(2)若(1)中的圆与直线x ＋2y －4＝0相交于M ，N 两点，且OM ⊥ON (O 为坐标原点)，求m 的值；(3)在(2)的条件下，求以MN 为直径的圆的方程． (1)由D 2＋E 2－4F >0得(－2)2＋(－4)2－4m >0，解得m <5.(2)设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，由x ＋2y －4＝0得x ＝4－2y ；将x ＝4－2y 代入x 2＋y 2－2x －4y ＋m ＝0得5y 2－16y ＋8＋m ＝0，所以y 1＋y 2＝165，y 1y 2＝8＋m 5.因为OM ⊥ON ，所以y 1x 1·y 2x 2＝－1，即x 1x 2＋y 1y 2＝0.因为x 1x 2＝(4－2y 1)(4－2y 2)＝16－8(y 1＋y 2)＋4y 1y 2，所以x 1x 2＋y 1y 2＝16－8(y 1＋y 2)＋5y 1y 2＝0，即(8＋m )－8×165＋16＝0，解得m ＝85.(3)设圆心C 的坐标为(a ，b )，则a ＝12(x 1＋x 2)＝45，b ＝12(y 1＋y 2)＝85，半径r ＝|OC |＝455，所以所求圆的方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －452＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －852＝165.。

第3讲 圆的方程1．(2016年新课标Ⅱ)圆x 2＋y 2－2x －8y ＋13＝0的圆心到直线ax ＋y －1＝0的距离为1，则a ＝( )A ．－43B ．－34 C. 3 D ．2 2．若实数x ，y 满足x 2＋y 2＋4x －2y －4＝0，则x 2＋y 2的最大值是( ) A.5＋3 B ．6 5＋14C ．－5＋3D ．－6 5＋143．若直线ax ＋2by －2＝0(a ＞0，b ＞0)始终平分圆x 2＋y 2－4x －2y －8＝0的周长，则1a＋2b的最小值为( ) A ．1 B ．5 C ．4 2 D ．3＋2 24．若方程x 2＋y 2－2x ＋2my ＋2m 2－6m ＋9＝0表示圆，则m 的取值范围是____________；当半径最大时，圆的方程为______________________． 5．(2015年新课标Ⅰ)一个圆经过椭圆x 216＋y 24＝1的三个顶点，且圆心在x 轴的正半轴上，则该圆的标准方程为__________________．6．(2016年浙江)已知a ∈R ，方程a 2x 2＋(a ＋2)y 2＋4x ＋8y ＋5a ＝0表示圆，则圆心坐标是________，半径是________．7．(2015年江苏)在平面直角坐标系xOy 中，以点(1,0)为圆心且与直线mx －y －2m －1＝0(m ∈R )相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为______________．8．已知圆心在直线x －2y ＝0上的圆C 与y 轴的正半轴相切，圆C 截x 轴所得弦的长为2 3，则圆C 的标准方程为____________________．9．(2013年新课标Ⅱ)在平面直角坐标系xOy 中，已知圆P 在x 轴上截得线段长为2 2，在y 轴上截得线段长为2 3.(1)求圆心P 的轨迹方程；(2)若P 点到直线y ＝x 的距离为22，求圆P 的方程．10．(2014年新课标Ⅰ)已知点P (2,2)，圆C ：x 2＋y 2－8y ＝0，过点P 的动直线l 与圆C交于A ，B 两点，线段AB 的中点为点M ，O 为坐标原点．(1)求M 的轨迹方程；(2)当|OP |＝|OM |时，求直线l 的方程及△POM 的面积．11．在平面直角坐标系xOy中，设二次函数f(x)＝x2＋2x＋b(x∈R)的图象与两坐标轴有三个交点，经过这三个交点的圆记为C.(1)求实数b的取值范围；(2)求圆C的方程；(3)圆C是否经过某定点(其坐标与b无关)？请证明你的结论．第3讲 圆的方程1．A 解析：由x 2＋y 2－2x －8y ＋13＝0配方，得(x －1)2＋(y －4)2＝4，所以圆心坐标为(1,4)，半径r ＝2.因为圆x 2＋y 2－2x －8y ＋13＝0的圆心到直线ax ＋y －1＝0的距离为1，所以|a ＋4－1|a 2＋12＝1.解得a ＝－43.故选A. 2．A 解析：将x 2＋y 2＋4x －2y －4＝0转化为标准方程为(x ＋2)2＋(y －1)2＝32，x 2＋y2的最大值是圆心到坐标原点的距离加半径，即－2＋12＋3＝5＋3.故选A.3．D 解析：由题意知圆心C (2,1)在直线ax ＋2by －2＝0上，∴2a ＋2b －2＝0.整理，得a ＋b ＝1.∴1a ＋2b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋2b (a ＋b )＝3＋b a ＋2a b≥3＋2 b a ×2a b＝3＋2 2. 当且仅当b a ＝2a b，即b ＝2－2，a ＝2－1时，等号成立． ∴1a ＋2b的最小值为3＋2 2. 4．2＜m ＜4 (x －1)2＋(y ＋3)2＝1 解析：∵原方程可化为(x －1)2＋(y ＋m )2＝－m 2＋6m －8，∴r 2＝－m 2＋6m －8＝－(m －2)(m －4)＞0.∴2＜m ＜4，当m ＝3时，r 最大为1，此时圆的方程为(x －1)2＋(y ＋3)2＝1.5.⎝ ⎛⎭⎪⎫x －322＋y 2＝254 解析：设圆心为(a,0)，则半径为4－a .则(4－a )2＝a 2＋22.解得a ＝32.故圆的方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －322＋y 2＝254. 6．(－2，－4) 5 解析：由题意，得a 2＝a ＋2，所以a ＝－1或2.当a ＝－1时方程为x 2＋y 2＋4x ＋8y －5＝0，即(x ＋2)2＋(y ＋4)2＝25，圆心为(－2，－4)，半径为5，a ＝2时方程为4x 2＋4y 2＋4x ＋8y ＋10＝0，即⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋122＋(y ＋1)2＝－54，不表示圆． 7．(x －1)2＋y 2＝2 解析：直线mx －y －2m －1＝0恒过定点(2，－1)，由题意，得半径最大的圆的半径r ＝－2＋＋2＝ 2.故所求圆的标准方程为(x －1)2＋y 2＝2.8．(x －2)2＋(y －1)2＝4 解析：因为圆心在直线x －2y ＝0上，所以设圆心为(2a ，a )．因为圆C 与y 轴的正半轴相切，所以a >0，r ＝2a .又因为圆C 截x 轴所得弦的长为2 3，所以a 2＋(3)2＝(2a )2，所以a ＝1.则圆C 的标准方程为(x －2)2＋(y －1)2＝4.9．解：(1)设P (x ，y )，圆P 的半径为r .则y 2＋2＝r 2，x 2＋3＝r 2.∴y 2＋2＝x 2＋3，即y 2－x 2＝1.∴圆心P 的轨迹方程为y 2－x 2＝1.(2)设P 的坐标为(x 0，y 0)，则|x 0－y 0|2＝22，即|x 0－y 0|＝1. ∴y 0－x 0＝±1，即y 0＝x 0±1.①当y 0＝x 0＋1时，由y 20－x 20＝1，得(x 0＋1)2－x 20＝1.∴⎩⎪⎨⎪⎧ x 0＝0，y 0＝1.∴r 2＝3.∴圆P 的方程为x 2＋(y －1)2＝3.②当y 0＝x 0－1时，由y 20－x 20＝1，得(x 0－1)2－x 20＝1.∴⎩⎪⎨⎪⎧ x 0＝0，y 0＝－1.∴r 2＝3.∴圆P 的方程为x 2＋(y ＋1)2＝3.综上所述，圆P 的方程为x 2＋(y ±1)2＝3.10．解：(1)圆C 的方程可化为x 2＋(y －4)2＝16，所以圆心为C (0,4)，半径为4.设M (x ，y )，则CM →＝(x ，y －4)，MP →＝(2－x,2－y )．由题设知CM →·MP →＝0，故x (2－x )＋(y －4)(2－y )＝0，即(x －1)2＋(y －3)2＝2.由于点P 在圆C 的内部，所以M 的轨迹方程是(x －1)2＋(y －3)2＝2.(2)由(1)知，M 的轨迹是以点N (1,3)为圆心，2为半径的圆．由于|OP |＝|OM |，故点O 在线段PM 的垂直平分线上．又点P 在圆N 上，从而ON ⊥PM .因为ON 的斜率为3，所以直线l 的斜率为－13. 故直线l 的方程为y ＝－13x ＋83，即x ＋3y －8＝0. 则点O 到直线l 的距离为d ＝|－8|12＋32＝4105. 又点N 到直线l 的距离为|1×1＋3×3－8|10＝105， 则|PM |＝2 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫1052＝4105. 所以S △POM ＝12×4105×4105＝165. 11．解：(1)令x ＝0，得抛物线与y 轴交点是(0，b )，令f (x )＝x 2＋2x ＋b ＝0，由题意b ≠0，且Δ＞0，解得b ＜1，且b ≠0.(2)设所求圆的一般方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，令y ＝0，得x 2＋Dx ＋F ＝0，且x 2＋Dx ＋F ＝0这与x 2＋2x ＋b ＝0，是同一个方程，故D＝2，F ＝b .令x ＝0，得y 2＋Ey ＋b ＝0，此方程有一个根为b ，代入，得出E ＝－b －1.所以圆C 的方程为x 2＋y 2＋2x －(b ＋1)y ＋b ＝0.(3)圆C 必过定点(0,1)和(－2,1)．证明如下：将(0,1)代入圆C 的方程，得左边＝02＋12＋2×0－(b ＋1)×1＋b ＝0，右边＝0.所以圆C 必过定点(0,1)．同理可证圆C 必过定点(－2,1)．。

第3讲 圆的方程【2013年高考会这样考】1．考查根据所给的条件选取适当的方程形式，利用待定系数法求出圆的方程．2．题型既有选择题、填空题，又有解答题．客观题突出小而巧，主要考查圆的方程；主观题往往在知识的交汇点处命题． 【复习指导】1．本讲复习时，应熟练掌握圆的方程的各个要素，明确圆的标准方程，一般方程． 2．能根据所给条件选取适当的方程形式，利用待定系数法求出圆的方程，结合圆的几何性质解决与圆有关的问题．基础梳理1．圆的定义：平面内到定点的距离等于定长的点的轨迹是圆． 2．圆的标准方程(1)方程(x －a )2＋(y －b )2＝r 2(r ＞0)表示圆心为(a ，b )，半径为r 的圆的标准方程． (2)特别地，以原点为圆心，半径为r (r ＞0)的圆的标准方程为x 2＋y 2＝r 2. 3．圆的一般方程方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0可变形为⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋D 22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋E 22＝D 2＋E 2－4F 4.故有：(1)当D 2＋E 2－4F ＞0时，方程表示以⎝ ⎛⎭⎪⎫－D 2，－E 2为圆心，以D 2＋E 2－4F 2为半径的圆；(2)当D 2＋E 2－4F ＝0时，方程表示一个点⎝ ⎛⎭⎪⎫－D 2，－E2；(3)当D 2＋E 2－4F ＜0时，方程不表示任何图形． 4．P (x 0，y 0)与圆(x －a )2＋(y －b )2＝r 2(r ＞0)的位置关系 (1)若(x 0－a )2＋(y 0－b )2＞r 2，则点P 在圆外； (2)若(x 0－a )2＋(y 0－b )2＝r 2，则点P 在圆上； (3)若(x 0－a )2＋(y 0－b )2＜r 2，则点P 在圆内．一种方法确定圆的方程主要方法是待定系数法，大致步骤为： (1)根据题意，选择标准方程或一般方程；(2)根据条件列出关于a ，b ，r 或D 、E 、F 的方程组；(3)解出a、b、r或D、E、F代入标准方程或一般方程．两个防范(1)求圆的方程需要三个独立条件，所以不论设哪一种圆的方程都要列出关于系数的三个独立方程．(2)过圆外一定点求圆的切线，应该有两个结果，若只求出一个结果，应该考虑切线斜率不存在的情况．三个性质确定圆的方程时，常用到的圆的三个性质(1)圆心在过切点且与切线垂直的直线上；(2)圆心在任一弦的中垂线上；(3)两圆内切或外切时，切点与两圆圆心三点共线．双基自测1．(人教A版教材习题改编)圆心为点(0,1)，半径为2的圆的标准方程为( )．A．(x－1)2＋y2＝4 B．x2＋(y－1)2＝2C．x2＋(y－1)2＝4 D．(x－1)2＋y2＝2答案 C2．(2011·四川)圆x2＋y2－4x＋6y＝0的圆心坐标是( )．A．(2,3) B．(－2,3)C．(－2，－3) D．(2，－3)解析由x2＋y2－4x＋6y＝0得(x－2)2＋(y＋3)2＝13.故圆心坐标为(2，－3)．答案 D3．若点(1,1)在圆(x－a)2＋(y＋a)2＝4的内部，则实数a的取值范围是( )．A．－1＜a＜1 B．0＜a＜1C．a＞1或a＜－1 D．a＝±1解析因为点(1,1)在圆的内部，∴(1－a)2＋(1＋a)2＜4，∴－1＜a＜1.答案 A4．(2011·重庆)在圆x2＋y2－2x－6y＝0内，过点E(0,1)的最长弦和最短弦分别为AC和BD，则四边形ABCD的面积为( )．A．5 2 B．10 2 C．15 2 D．20 2解析由题意可知，圆的圆心坐标是(1,3)、半径是10，且点E(0,1)位于该圆内，故过点E(0,1)的最短弦长|BD|＝210－12＋22＝25(注：过圆内一定点的最短弦是以该点为中点的弦)，过点E(0,1)的最长弦长等于该圆的直径，即|AC|＝210，且AC⊥BD，因此四边形ABCD 的面积等于12|AC |×|BD |＝12×210×25＝102，选B.答案 B5．(2012·长春模拟)圆心在原点且与直线x ＋y －2＝0相切的圆的方程为________． 解析 设圆的方程为x 2＋y 2＝r 2.则r ＝|－2|2＝ 2.∴圆的方程为：x 2＋y 2＝2. 答案 x 2＋y 2＝2考向一 求圆的方程【例1】►已知圆C 与直线x －y ＝0及x －y －4＝0都相切，圆心在直线x ＋y ＝0上，则圆C 的方程为( )． A ．(x ＋1)2＋(y －1)2＝2 B ．(x －1)2＋(y ＋1)2＝2 C ．(x －1)2＋(y －1)2＝2D ．(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝2[审题视点] 设圆心坐标，根据相切的条件列出等式求圆心及半径；也可以利用圆的几何特征求圆心及半径．解析 法一 设出圆心坐标，根据该圆与两条直线都相切列方程即可． 设圆心坐标为(a ，－a )，则|a －－a |2＝|a －－a －4|2，即|a |＝|a －2|，解得a ＝1，故圆心坐标为(1，－1)，半径r ＝22＝2，故圆的方程为(x －1)2＋(y ＋1)2＝2. 法二 题目给出的圆的两条切线是平行线，故圆的直径就是这两条平行线之间的距离d ＝42＝22；圆心是直线x ＋y ＝0与这两条平行线交点的中点，直线x ＋y ＝0与直线x －y ＝0的交点坐标是(0,0)、与直线x －y －4＝0的交点坐标是(2，－2)，故所求的圆的圆心坐标是(1，－1)，所求的圆的方程是(x －1)2＋(y ＋1)2＝2.法三 作为选择题也可以验证解答，圆心在x ＋y ＝0上，排除选项C 、D ，再验证选项A 、B 中圆心到两直线的距离等于半径2即可． 答案 B求具备一定条件的圆的方程时，其关键是寻找确定圆的两个几何要素，即圆心和半径，待定系数法也是经常使用的方法．在一些问题中借助圆的平面几何中的知识可以简化计算，如已知一个圆经过两个点时，其圆心一定在这两点的垂直平分线上，解题时要注意平面几何知识的应用．【训练1】 经过点A (5,2)，B (3,2)，圆心在直线2x －y －3＝0上的圆的方程为________．解析 ∵圆经过点A (5,2)，B (3,2)，∴圆心在x ＝4上，又圆心在2x －y －3＝0上，∴圆心为(4,5)，可设圆的方程为(x －4)2＋(y －5)2＝r 2， 又圆过B (3,2)，即(3－4)2＋(2－5)2＝r 2， ∴r 2＝10，∴圆的方程为(x －4)2＋(y －5)2＝10. 答案 (x －4)2＋(y －5)2＝10考向二 与圆有关的最值问题【例2】►(2012·武汉模拟)已知点P (x ，y )在圆x 2＋(y －1)2＝1上运动，则y －1x －2的最大值与最小值分别为________． [审题视点] 找出y －1x －2的几何意义，运用几何法求解． 解析 设y －1x －2＝k ，则k 表示点P (x ，y )与点(2,1)连线的斜率．当该直线与圆相切时，k 取得最大值与最小值． 由|2k |k 2＋1＝1，解得k ＝±33.答案33；－33与圆有关的最值问题，常见的有以下几种类型：①形如μ＝y －bx －a形式的最值问题，可转化为动直线斜率的最值问题；②形如t ＝ax ＋by 形式的最值问题，可转化为动直线截距的最值问题；③形如(x －a )2＋(y －b )2形式的最值问题，可转化为动点到定点的距离的平方的最值问题．【训练2】 圆x 2＋y 2－4x －4y －10＝0上的点到直线x ＋y －14＝0的最大距离与最小距离的差是( )．A ．30B ．18C ．6 2D ．5 2解析 由圆x 2＋y 2－4x －4y －10＝0知圆心坐标为(2,2)，半径为3 2.则圆上的点到直线x ＋y －14＝0的最大距离为：|2＋2－14|2＋32＝52＋32，最小距离为：52－32，故最大距离与最小距离的差为6 2. 答案 C考向三 圆的综合应用【例3】►已知圆x 2＋y 2＋x －6y ＋m ＝0和直线x ＋2y －3＝0交于P ，Q 两点，且OP ⊥OQ (O 为坐标原点)，求该圆的圆心坐标及半径．[审题视点] (1)利用垂直列出坐标之间关系，再化为m 的方程求解；(2)OP ⊥OQ 得到O 点在以PQ 为直径的圆上，再利用勾股定理求解． 解 法一 将x ＝3－2y ， 代入方程x 2＋y 2＋x －6y ＋m ＝0， 得5y 2－20y ＋12＋m ＝0.设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，则y 1、y 2满足条件：y 1＋y 2＝4，y 1y 2＝12＋m5. ∵OP ⊥OQ ，∴x 1x 2＋y 1y 2＝0.而x 1＝3－2y 1，x 2＝3－2y 2. ∵x 1x 2＝9－6(y 1＋y 2)＋4y 1y 2＝－27＋4m5.故－27＋4m 5＋12＋m 5＝0，解得m ＝3，此时Δ＞0，圆心坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，3，半径r ＝52.法二 如图所示，设弦PQ 中点为M ， 设M (x 0，y 0)，P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)， 由法一知，y 1＋y 2＝4，x 1＋x 2＝－2， ∴x 0＝x 1＋x 22＝－1，y 0＝y 1＋y 22＝2.解得M 的坐标为(－1,2)．则以PQ 为直径的圆可设为(x ＋1)2＋(y －2)2＝r 2. ∵OP ⊥OQ ，∴点O 在以PQ 为直径的圆上． ∴(0＋1)2＋(0－2)2＝r 2， 即r 2＝5，|MQ |2＝r 2.在Rt △O 1MQ 中，|O 1Q |2＝|O 1M |2＋|MQ |2. ∴1＋－62－4m 4＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋12＋(3－2)2＋5. ∴m ＝3，∴半径为52，圆心为⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，3. (1)在解决与圆有关的问题中，借助于圆的几何性质，往往会使得思路简捷明了，简化思路，简便运算．(2)本题中两种解法都是用方程思想求m 值，即两种解法围绕“列出m 的方程”求m 值．【训练3】 (2012·广州模拟)在以O 为原点的直角坐标系中，点A (4，－3)为△OAB 的直角顶点，已知|AB |＝2|OA |，且点B 的纵坐标大于0. (1)求AB →的坐标；(2)求圆x 2－6x ＋y 2＋2y ＝0关于直线OB 对称的圆的方程． 解 (1)设AB →＝(x ，y )，由|AB |＝2|OA |，AB →·OA →＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＝100，4x －3y ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝6，y ＝8或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－6，y ＝－8，若AB →＝(－6，－8)，则y B ＝－11与y B ＞0矛盾，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－6，y ＝－8舍去．即AB →＝(6,8)．(2)圆x 2－6x ＋y 2＋2y ＝0，即(x －3)2＋(y ＋1)2＝(10)2，其圆心为C (3，－1)，半径r ＝10， ∵OB →＝OA →＋AB →＝(4，－3)＋(6,8)＝(10,5)， ∴直线OB 的方程为y ＝12x .设圆心C (3，－1)关于直线y ＝12x 的对称点的坐标为(a ，b )，则⎩⎪⎨⎪⎧b ＋1a －3＝－2，b －12＝12·a ＋32，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝3，则所求的圆的方程为(x －1)2＋(y －3)2＝10.阅卷报告13——选择方程不当或计算失误【问题诊断】 由于圆的方程有两种形式：标准方程和一般方程，所以在求圆的方程要合理选用，如果选择不恰当，造成构建的方程组过于复杂无法求解而失误.【防范措施】 若已知条件容易求出圆心坐标和半径或需利用圆心坐标列方程，通常选用圆的标准方程；若已知条件为圆经过三点，一般采用一般式，但已知点的坐标较复杂时，采用一般式计算过繁，可以采用标准式.【示例】►(2011·全国新课标)在平面直角坐标系xOy 中，曲线y ＝x 2－6x ＋1与坐标轴的交点都在圆C 上．(1)求圆C 的方程；(2)若圆C 与直线x －y ＋a ＝0交于A ，B 两点，且OA ⊥OB ，求a 的值．错因 计算失误．实录 (1)令y ＝0，则与x 轴的交点为(3＋22，0)，(3－22，0)，令x ＝0，则与y 轴的交点为(0,1)，设圆的方程为：x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，则⎩⎨⎧E ＋F ＋1＝0，3＋22D ＋F ＋3＋222＝0，3－22D ＋F ＋3－222＝0，解得：D ＝6，E ＝27＋122，F ＝－28－122， ∴x 2＋y 2＋6x ＋(27＋122)y －28－122＝0.正解 (1)曲线y ＝x 2－6x ＋1与y 轴的交点为(0,1)，与x 轴的交点为(3＋22，0)，(3－22，0)．故可设C 的圆心为(3，t )，则有32＋(t －1)2＝(22)2＋t 2， 解得t ＝1.则圆C 的半径为32＋t －12＝3.所以圆C 的方程为(x －3)2＋(y －1)2＝9.(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，其坐标满足方程组：⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋a ＝0，x －32＋y －12＝9.消去y ，得到方程2x 2＋(2a －8)x ＋a 2－2a ＋1＝0. 由已知可得，判别式Δ＝56－16a －4a 2＞0. 因此x 1,2＝8－2a ±56－16a －4a 24，从而x 1＋x 2＝4－a ，x 1x 2＝a 2－2a ＋12.①由于OA ⊥OB ，可得x 1x 2＋y 1y 2＝0.又y 1＝x 1＋a ，y 2＝x 2＋a ，所以2x 1x 2＋a (x 1＋x 2)＋a 2＝0.② 由①，②得a ＝－1，满足Δ＞0，故a ＝－1.【试一试】 (2010·全国新课标)过点A (4,1)的圆C 与直线x －y －1＝0相切于点B (2,1)，则圆C 的方程为________．[尝试解析] 由已知圆C 过A (4,1)，B (2,1)两点， ∴直线AB 的垂直平分线x ＝3过圆心C ，又圆C 与直线y ＝x －1相切于点B (2,1)，∴k BC ＝－1， ∴直线BC 的方程为y －1＝－(x －2)，得y ＝－x ＋3，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－x ＋3，x ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝0，得圆心C 的坐标为(3,0)，∴r ＝|BC |＝3－22＋0－12＝2，∴圆的方程为(x －3)2＋y 2＝2. 答案 (x －3)2＋y 2＝2。

题组层级快练(五十五)1．如果圆的方程为x 2＋y 2＋kx ＋2y ＋k 2＝0，那么当圆面积最大时，圆心坐标为( ) A ．(－1，1) B ．(1，－1) C ．(－1，0) D ．(0，－1)答案 D解析 r ＝12k 2＋4－4k 2＝124－3k 2，当k ＝0时，r 最大．2．(2019·贵州贵阳一模)圆C 与x 轴相切于T(1，0)，与y 轴正半轴交于A ，B 两点，且|AB|＝2，则圆C 的标准方程为( ) A ．(x －1)2＋(y －2)2＝2 B ．(x －1)2＋(y －2)2＝2 C ．(x ＋1)2＋(y ＋2)2＝4 D ．(x －1)2＋(y －2)2＝4答案 A解析 由题意得，圆C 的半径为1＋1＝2，圆心坐标为(1，2)，∴圆C 的标准方程为(x －1)2＋(y －2)2＝2，故选A.3．已知圆C ：x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，则“E＝F ＝0且D<0”是“圆C 与y 轴相切于原点”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件答案 A解析 圆C 与y 轴相切于原点⇔圆C 的圆心在x 轴上(设坐标为(a ，0))，且半径r ＝|a|.∴当E ＝F ＝0且D<0时，圆心为(－D 2，0)，半径为|D 2|，圆C 与y 轴相切于原点；圆(x ＋1)2＋y 2＝1与y 轴相切于原点，但D ＝2>0，故选A.4．(2019·重庆一中一模)直线mx －y ＋2＝0与圆x 2＋y 2＝9的位置关系是( ) A ．相交 B ．相切 C ．相离 D ．无法确定答案 A解析 方法一：圆x 2＋y 2＝9的圆心为(0，0)，半径为3，直线mx －y ＋2＝0恒过点A(0，2)，而02＋22＝4<9，所以点A 在圆的内部，所以直线mx －y ＋2＝0与圆x 2＋y 2＝9相交．故选A. 方法二：求圆心到直线的距离，从而判定．5．(2015·山东)一条光线从点(－2，－3)射出，经y 轴反射后与圆(x ＋3)2＋(y －2)2＝1相切，则反射光线所在直线的斜率为( )A ．－53或－35B ．－32或－23C ．－54或－45D ．－43或－34答案 D解析 由光的反射原理知，反射光线的反向延长线必过点(2，－3)，设反射光线所在直线的斜率为k ，则反射光线所在直线的方程为y ＋3＝k(x －2)即kx －y －2k －3＝0，又因为反射光线与圆相切，所以|－3k －2－2k －3|k 2＋1＝1⇒12k 2＋25k ＋12＝0⇒k ＝－43，或k ＝－34，故选D 项． 6．已知圆C 关于x 轴对称，经过点(0，1)，且被y 轴分成两段弧，弧长之比为2∶1，则圆的方程为( ) A ．x 2＋(y±33)2＝43B ．x 2＋(y±33)2＝13C ．(x±33)2＋y 2＝43D ．(x±33)2＋y 2＝13答案 C解析 方法一：(排除法)由圆心在x 轴上，则排除A ，B ，再由圆过(0，1)点，故圆的半径大于1，排除D ，选C.方法二：(待定系数法)设圆的方程为(x －a)2＋y 2＝r 2，圆C 与y 轴交于A(0，1)，B(0，－1)，由弧长之比为2∶1，易知∠OCA＝12∠ACB ＝12×120°＝60°，则tan60°＝|OA||OC|＝1|OC|，所以a ＝|OC|＝33，即圆心坐标为(±33，0)，r 2＝|AC|2＝12＋(33)2＝43.所以圆的方程为(x±33)2＋y 2＝43，选C. 7．(2019·保定模拟)过点P(－1，0)作圆C ：(x －1)2＋(y －2)2＝1的两条切线，设两切点分别为A ，B ，则过点A ，B ，C 的圆的方程是( ) A ．x 2＋(y －1)2＝2 B ．x 2＋(y －1)2＝1 C ．(x －1)2＋y 2＝4 D ．(x －1)2＋y 2＝1答案 A解析 P ，A ，B ，C 四点共圆，圆心为PC 的中点(0，1)，半径为12|PC|＝12（1＋1）2＋22＝2，则过点A ，B ，C 的圆的方程是x 2＋(y －1)2＝2.8．直线xsinθ＋ycosθ＝2＋sinθ与圆(x －1)2＋y 2＝4的位置关系是( ) A ．相离 B ．相切 C ．相交 D ．以上都有可能答案 B解析 圆心到直线的距离d ＝|sinθ－2－sinθ|sin 2θ＋cos 2θ＝2. 所以直线与圆相切．9．(2013·山东，理)过点(3，1)作圆(x －1)2＋y 2＝1的两条切线，切点分别为A ，B ，则直线AB 的方程为( ) A ．2x ＋y －3＝0 B ．2x －y －3＝0 C ．4x －y －3＝0 D ．4x ＋y －3＝0答案 A解析 如图，圆心坐标为C(1，0)，易知A(1，1)．又k AB ·k PC ＝－1，且k PC ＝1－03－1＝12，∴k AB ＝－2.故直线AB 的方程为y －1＝－2(x －1)，即2x ＋y －3＝0，故选A.另解：易知P ，A ，C ，B 四点共圆，其方程为(x －1)(x －3)＋(y －0)(y －1)＝0，即x 2＋y 2－4x －y ＋3＝0.又已知圆为x 2＋y 2－2x ＝0， ∴切点弦方程为2x ＋y －3＝0，选A.10．(2019·湖南师大附中月考)已知圆x 2＋(y －1)2＝2上任一点P(x ，y)，其坐标均使得不等式x ＋y ＋m≥0恒成立，则实数m 的取值范围是( ) A ．[1，＋∞) B ．(－∞，1] C ．[－3，＋∞) D ．(－∞，－3]答案 A解析 如图，圆应在直线x ＋y ＋m ＝0的右上方，圆心C(0，1)到l 的距离为|1＋m|2，切线l 1应满足|1＋m|2＝2，∴|1＋m|＝2，m ＝1或m ＝－3(舍去)．从而－m≤－1，∴m ≥1.11．(2019·福建福州质检)若直线x －y ＋2＝0与圆C ：(x －3)2＋(y －3)2＝4相交于A ，B 两点，则CA →·CB →的值为( ) A ．－1 B ．0 C ．1 D ．6答案 B解析 联立⎩⎪⎨⎪⎧（x －3）2＋（y －3）2＝4，x －y ＋2＝0，消去y ，得x 2－4x ＋3＝0.解得x 1＝1，x 2＝3. ∴A(1，3)，B(3，5)．又C(3，3)，∴CA →＝(－2，0)，CB →＝(0，2)． ∴CA →·CB →＝－2×0＋0×2＝0.12．由直线y ＝x ＋1上的一点向圆(x －3)2＋y 2＝1引切线，则切线长的最小值为( ) A ．1 B ．2 2 C.7 D ．3答案 C解析 设直线上一点P ，切点为Q ，圆心为M ， 则|PQ|即为切线长，MQ 为圆M 的半径，长度为1，|PQ|＝|PM|2－|MQ|2＝|PM|2－1，要使|PQ|最小，即求|PM|最小，此题转化为求直线y ＝x ＋1上的点到圆心M 的最小距离，设圆心到直线y ＝x ＋1的距离为d ，则d ＝|3－0＋1|12＋（－1）2＝22，∴|PM|最小值为22，|PQ|＝|PM|2－1＝（22）2－1＝7，选C.13．以直线3x －4y ＋12＝0夹在两坐标轴间的线段为直径的圆的方程为________．答案 (x ＋2)2＋(y －32)2＝254解析 对于直线3x －4y ＋12＝0，当x ＝0时，y ＝3；当y ＝0时，x ＝－4.即以两点(0，3)，(－4，0)为端点的线段为直径，则r ＝32＋422＝52，圆心为(－42，32)，即(－2，32)．∴圆的方程为(x ＋2)2＋(y －32)2＝254.14．从原点O 向圆C ：x 2＋y 2－6x ＋274＝0作两条切线，切点分别为P ，Q ，则圆C 上两切点P ，Q 间的劣弧长为________． 答案 π解析 如图，圆C ：(x －3)2＋y 2＝94，所以圆心C(3，0)，半径r ＝32.在Rt△P OC 中，∠POC ＝π6.则劣弧PQ 所对圆心角为2π3.弧长为23π×32＝π.15．若直线l ：4x －3y －12＝0与x ，y 轴的交点分别为A ，B ，O 为坐标原点，则△AOB 内切圆的方程为________． 答案 (x －1)2＋(y ＋1)2＝1解析 由题意知，A(3，0)，B(0，－4)，则|AB|＝5.∴△AOB 的内切圆半径r ＝3＋4－52＝1，内切圆的圆心坐标为(1，－1)．∴内切圆的方程为(x －1)2＋(y ＋1)2＝1.16．一个圆与y 轴相切，圆心在直线x －3y ＝0上，且在直线y ＝x 上截得的弦长为27，求此圆的方程．答案 x 2＋y 2－6x －2y ＋1＝0或x 2＋y 2＋6x ＋2y ＋1＝0解析 方法一：∵所求圆的圆心在直线x －3y ＝0上，且与y 轴相切， ∴设所求圆的圆心为C(3a ，a)，半径为r ＝3|a|.又圆在直线y ＝x 上截得的弦长为27， 圆心C(3a ，a)到直线y ＝x 的距离为d ＝|3a －a|12＋12. ∴有d 2＋(7)2＝r 2.即2a 2＋7＝9a 2，∴a ＝±1. 故所求圆的方程为(x －3)2＋(y －1)2＝9或(x ＋3)2＋(y ＋1)2＝9. 方法二：设所求的圆的方程是(x －a)2＋(y －b)2＝r 2， 则圆心(a ，b)到直线x －y ＝0的距离为|a －b|2.∴r 2＝(|a －b|2)2＋(7)2.即2r 2＝(a －b)2＋14.①由于所求的圆与y 轴相切，∴r 2＝a 2.② 又因为所求圆心在直线x －3y ＝0上， ∴a －3b ＝0.③ 联立①②③，解得a ＝3，b ＝1，r 2＝9或a ＝－3，b ＝－1，r 2＝9. 故所求的圆的方程是(x －3)2＋(y －1)2＝9或(x ＋3)2＋(y ＋1)2＝9. 方法三：设所求的圆的方程是x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0， 圆心为(－D 2，－E 2)，半径为12D 2＋E 2－4F.令x ＝0，得y 2＋Ey ＋F ＝0.由圆与y 轴相切，得Δ＝0，即E 2＝4F.④又圆心(－D 2，－E2)到直线x －y ＝0的距离为|－D 2＋E2|2，由已知，得⎝⎛⎭⎪⎪⎫|－D 2＋E 2|22＋(7)2＝r 2，即(D －E)2＋56＝2(D 2＋E 2－4F)．⑤ 又圆心(－D 2，－E2)在直线x －3y ＝0上，∴D －3E ＝0.⑥ 联立④⑤⑥，解得D ＝－6，E ＝－2，F ＝1或D ＝6，E ＝2，F ＝1.故所求圆的方程是x 2＋y 2－6x －2y ＋1＝0 或x 2＋y 2＋6x ＋2y ＋1＝0.17．(2019·杭州学军中学月考)已知圆C ：x 2＋y 2＋2x ＋a ＝0上存在两点关于直线l ：mx ＋y ＋1＝0对称． (1)求实数m 的值；(2)若直线l 与圆C 交于A ，B 两点，OA →·OB →＝－3(O 为坐标原点)，求圆C 的方程． 答案 (1)m ＝1 (2)x 2＋y 2＋2x －3＝0解析 (1)圆C 的方程为(x ＋1)2＋y 2＝1－a ，圆心C(－1，0)． ∵圆C 上存在两点关于直线l ：mx ＋y ＋1＝0对称， ∴直线l ：mx ＋y ＋1＝0过圆心C. ∴－m ＋1＝0，解得m ＝1.(2)联立⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＋2x ＋a ＝0，x ＋y ＋1＝0，消去y ，得2x 2＋4x ＋a ＋1＝0. 设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)， Δ＝16－8(a ＋1)>0，∴a<1. 由x 1＋x 2＝－2，x 1x 2＝a ＋12，得y 1y 2＝(－x 1－1)(－x 2－1)＝a ＋12－1. ∴OA →·OB →＝x 1x 2＋y 1y 2＝a ＋1－1＝a ＝－3. ∴圆C 的方程为x 2＋y 2＋2x －3＝0.。

第三节圆的方程[考纲传真] (教师用书独具)1.掌握确定圆的几何要素，掌握圆的标准方程与一般方程.2.初步了解用代数方法处理几何问题的思想．(对应学生用书第134页)[基础知识填充]1．圆的定义及方程定义平面内与定点的距离等于定长的点的集合(轨迹)标准方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0)圆心(a，b)，半径r一般方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，(D2＋E2－4F＞0)圆心⎝⎛⎭⎪⎫－D2，－E2，半径12D2＋E2－4F2.点M(x0，y0)与圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2的位置关系：(1)若M(x0，y0)在圆外，则(x0－a)2＋(y0－b)2＞r2.(2)若M(x0，y0)在圆上，则(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2.(3)若M(x0，y0)在圆内，则(x0－a)2＋(y0－b)2＜r2.[基本能力自测]1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)．(1)确定圆的几何要素是圆心与半径．( )(2)方程(x＋a)2＋(y＋b)2＝t2(t∈R)表示圆心为(a，b)，半径为t的一个圆．( )(3)方程Ax2＋Bxy＋Cy2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆的充要条件是A＝C≠0，B＝0，D2＋E2－4AF>0.( )(4)若点M(x0，y0)在圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0外，则x20＋y20＋Dx0＋Ey0＋F>0.( )[解析]由圆的定义及点与圆的位置关系，知(1)(3)(4)正确．(2)中，当t≠0时，表示圆心为(－a，－b)，半径为|t|的圆，不正确．[答案](1)√(2)×(3)√(4)√2．圆心为(1,1)且过原点的圆的方程是( )A．(x－1)2＋(y－1)2＝1 B．(x＋1)2＋(y＋1)2＝1C．(x＋1)2＋(y＋1)2＝2 D．(x－1)2＋(y－1)2＝2D[由题意得圆的半径为2，故该圆的方程为(x－1)2＋(y－1)2＝2，故选D.] 3．(2016·全国卷Ⅱ)圆x2＋y2－2x－8y＋13＝0的圆心到直线ax＋y－1＝0的距离为1，则a ＝( )A ．－43B ．－34C ． 3D ．2A [圆x 2＋y 2－2x －8y ＋13＝0，得圆心坐标为(1,4)，所以圆心到直线ax ＋y －1＝0的距离d ＝|a ＋4－1|a 2＋1＝1，解得a ＝－43.]4．点(2a ，a －1)在圆x 2＋(y －1)2＝5的内部，则a 的取值范围是( )A ．－1＜a ＜1B ．0＜a ＜1C ．－1＜a ＜15D ．－15＜a ＜1D [由(2a )2＋(a －2)2＜5得－15＜a ＜1.]5．(教材改编)圆C 的圆心在x 轴上，并且过点A (－1,1)和B (1,3)，则圆C 的方程为________．(x －2)2＋y 2＝10 [设圆心坐标为C (a,0)， ∵点A (－1,1)和B (1,3)在圆C 上，∴|CA |＝|CB |，即(a ＋1)2＋1＝(a －1)2＋9， 解得a ＝2，所以圆心为C (2,0)， 半径|CA |＝(2＋1)2＋1＝10， ∴圆C 的方程为(x －2)2＋y 2＝10.](对应学生用书第135页)圆的方程(1)(2017·豫北名校4月联考)圆(x －2)2＋y 2＝4关于直线y ＝33x 对称的圆的方程是( )A ．(x －3)2＋(y －1)2＝4 B ．(x －2)2＋(y －2)2＝4 C ．x 2＋(y －2)2＝4 D ．(x －1)2＋(y －3)2＝4(2)(2015·全国卷Ⅱ)过三点A (1,3)，B (4,2)，C (1，－7)的圆交y 轴于M ，N 两点，则|MN |＝( ) A ．2 6B ．8C ．4 6D ．10(1)D (2)C [(1)设圆(x －2)2＋y 2＝4的圆心(2,0)关于直线y ＝33x 对称的点的坐标为(a ，b )，则有⎩⎪⎨⎪⎧b a －2·33＝－1，b 2＝33·a ＋22，解得a ＝1，b ＝3，从而所求圆的方程为(x －1)2＋(y －3)2＝4.故选D.(2)设圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，则⎩⎪⎨⎪⎧D ＋3E ＋F ＋10＝0，4D ＋2E ＋F ＋20＝0，D －7E ＋F ＋50＝0.解得⎩⎪⎨⎪⎧D ＝－2，E ＝4，F ＝－20.∴圆的方程为x 2＋y 2－2x ＋4y －20＝0.令x ＝0，得y ＝－2＋26或y ＝－2－26，∴M (0，－2＋26)，N (0，－2－26)或M (0，－2－26)，N (0，－2＋26)，∴|MN |＝46，故选C ．][规律方法] 求圆的方程的两种方法1直接法：根据圆的几何性质，直接求出圆心坐标和半径，进而写出方程. 2待定系数法：①若已知条件与圆心a ，b 和半径r 有关，则设圆的标准方程，依据已知条件列出关于a ，b ，r 的方程组，从而求出a ，b ，r 的值.②若已知条件没有明确给出圆心或半径，则选择圆的一般方程，依据已知条件列出关于D ，E ，F 的方程组，进而求出D ，E ，F 的值.易错警示：解答圆的有关问题，应注意数形结合，充分运用圆的几何性质.圆心在直线y ＝－x －4上，则圆M 的标准方程为( )【导学号：79140274】A ．(x ＋3)2＋(y －1)2＝1 B ．(x －3)2＋(y ＋1)2＝1 C ．(x ＋3)2＋(y ＋1)2＝1 D ．(x －3)2＋(y －1)2＝1(2)(2016·天津高考)已知圆C 的圆心在x 轴的正半轴上，点M (0，5)在圆C 上，且圆心到直线2x －y ＝0的距离为455，则圆C 的方程为________．(1)C (2)(x －2)2＋y 2＝9 [(1)到两直线3x －4y ＝0和3x －4y ＋10＝0的距离都相等的直线方程为3x －4y ＋5＝0，联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧3x －4x ＋5＝0，y ＝－x －4，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－3，y ＝－1，所以圆M 的圆心坐标为(－3，－1)，又两平行线之间的距离为1032＋42＝2，所以圆M的半径为1，所以圆M 的方程为(x ＋3)2＋(y ＋1)2＝1，故选C ． (2)因为圆C 的圆心在x 轴的正半轴上，设C (a,0)，且a >0， 所以圆心到直线2x －y ＝0的距离d ＝2a5＝455，解得a ＝2，所以圆C 的半径r ＝|CM |＝4＋5＝3， 所以圆C 的方程为(x －2)2＋y 2＝9.]与圆有关的最值问题已知M (x ，y )为圆C ：x 2＋y 2－4x －14y ＋45＝0上任意一点，且点Q (－2,3)． (1)求|MQ |的最大值和最小值； (2)求y －3x ＋2的最大值和最小值． [解] (1)由圆C ：x 2＋y 2－4x －14y ＋45＝0， 可得(x －2)2＋(y －7)2＝8，∴圆心C 的坐标为(2,7)，半径r ＝2 2. 又|QC |＝(2＋2)2＋(7－3)2＝42， ∴|MQ |max ＝42＋22＝62， |MQ |min ＝42－22＝2 2. (2)可知y －3x ＋2表示直线MQ 的斜率k . 设直线MQ 的方程为y －3＝k (x ＋2)，即kx －y ＋2k ＋3＝0. 由直线MQ 与圆C 有交点，所以|2k －7＋2k ＋3|1＋k 2≤22， 可得2－3≤k ≤2＋3， ∴y －3x ＋2的最大值为2＋3，最小值为2－ 3.1．(变化结论)在本例的条件下，求y －x 的最大值和最小值．[解] 设y －x ＝b ，则x －y ＋b ＝0.当直线y ＝x ＋b 与圆C 相切时，截距b 取到最值， ∴|2－7＋b |12＋(－1)2＝22，∴b ＝9或b ＝1.因此y －x 的最大值为9，最小值为1.2．(变换条件)若本例中条件“点Q (－2,3)”改为“点Q 是直线3x ＋4y ＋1＝0上的动点”，其它条件不变，试求|MQ |的最小值．[解] ∵圆心C (2,7)到直线3x ＋4y ＋1＝0上动点Q 的最小值为点C 到直线3x ＋4y ＋1＝0的距离，∴|QC |min ＝d ＝|2×3＋7×4＋1|32＋42＝7. 又圆C 的半径r ＝22， ∴|MQ |的最小值为7－2 2.[规律方法] 与圆有关的最值问题的三种几何转化法 1形如μ＝y －bx －a形式的最值问题可转化为动直线斜率的最值问题. 2形如t ＝ax ＋by 形式的最值问题可转化为动直线截距的最值问题. 3形如m ＝x －a2＋y －b2形式的最值问题可转化为动点到定点的距离的平方的最值问题.的距离的最大值是( ) A ．1＋ 2 B ．2 C ．1＋22D ．2＋2 2(2)(2017·广东七校联考)圆x 2＋y 2＋2x －6y ＋1＝0关于直线ax －by ＋3＝0(a ＞0，b ＞0)对称，则1a ＋3b的最小值是( )A ．2 3 B.203 C ．4D.163(1)A (2)D [(1)由已知得圆的标准方程为(x －1)2＋(y －1)2＝1，则圆心坐标为(1,1)，半径为1，所以圆心到直线的距离为|1－1－2|2＝2，所以圆上的点到直线的距离的最大值是1＋2，故选A ．(2)由圆x 2＋y 2＋2x －6y ＋1＝0知其标准方程为(x ＋1)2＋(y －3)2＝9，∵圆x 2＋y2＋2x －6y ＋1＝0关于直线ax －by ＋3＝0(a ＞0，b ＞0)对称，∴该直线经过圆心(－1,3)，即－a －3b ＋3＝0，∴a ＋3b ＝3(a ＞0，b ＞0)，∴1a ＋3b ＝13(a ＋3b )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋3b ＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋3a b ＋3b a ＋9≥13⎝⎛⎭⎪⎫10＋23a b ·3b a ＝163，当且仅当3b a ＝3a b ，即a ＝b 时取等号，故选D.]与圆有关的轨迹问题已知A (2,0) 为圆x 2＋y 2＝4上一定点，B (1,1)为圆内一点，P ，Q 为圆上的动点.【导学号：79140275】(1)求线段AP 中点的轨迹方程；(2)若∠PBQ ＝90°，求线段PQ 中点的轨迹方程． [解] (1)设AP 的中点为M (x ，y )， 由中点坐标公式可知，P 点坐标为(2x －2,2y )．因为P 点在圆x 2＋y 2＝4上， 所以(2x －2)2＋(2y )2＝4.故线段AP 中点的轨迹方程为(x －1)2＋y 2＝1. (2)设PQ 的中点为N (x ，y )， 在Rt△PBQ 中，|PN |＝|BN |，设O 为坐标原点，连接ON ，则ON ⊥PQ ，所以|OP |2＝|ON |2＋|PN |2＝|ON |2＋|BN |2，所以x 2＋y 2＋(x －1)2＋(y －1)2＝4.故线段PQ 中点的轨迹方程为x 2＋y 2－x －y －1＝0.[规律方法] 求与圆有关的轨迹问题的四种方法 1直接法：直接根据题设给定的条件列出方程求解. 2定义法：根据圆的定义列方程求解. 3几何法：利用圆的几何性质得出方程求解.4代入法相关点法：找出要求的点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式求解. 连线段的中点M 的轨迹方程．[解] 由题意可知：动点C 的轨迹是以(－1,0)为圆心，3为半径长的圆，方程为(x ＋1)2＋y 2＝9.设M (x 0，y 0)，则由中点坐标公式可求得C (2x 0－1,2y 0－4)，代入点C 的轨迹方程得4x 20＋4(y 0－2)2＝9， 化简得x 20＋(y 0－2)2＝94，故点M 的轨迹方程为x 2＋(y －2)2＝94.。

2021年高考数学一轮总复习 9.3圆的方程课时作业 文（含解析）新人教版一、选择题1．过点A (1，－1)，B (－1,1)，且圆心在直线x ＋y －2＝0上的圆的方程是( )A ．(x －3)2＋(y ＋1)2＝4B ．(x ＋3)2＋(y －1)2＝4C ．(x －1)2＋(y －1)2＝4D ．(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝4解析：设圆心C 的坐标为(a ，b )，半径为r . ∵圆心C 在直线x ＋y －2＝0上，∴b ＝2－a . ∵|CA |2＝|CB |2，∴(a －1)2＋(2－a ＋1)2＝(a ＋1)2＋(2－a －1)2. ∴a ＝1，b ＝1.∴r ＝2. ∴方程为(x －1)2＋(y －1)2＝4. 答案：C2．(xx·东莞调研)已知圆C ：x 2＋y 2＋mx －4＝0上存在两点关于直线x －y ＋3＝0对称，则实数m 的值为( )A ．8B ．－4C ．6D ．无法确定解析：圆上存在关于直线x －y ＋3＝0对称的两点，则x －y ＋3＝0过圆心⎝ ⎛⎭⎪⎫－m 2，0，即－m2＋3＝0，∴m ＝6. 答案：C3．当a 为任意实数时，直线(a －1)x －y ＋a ＋1＝0恒过点C ，则以C 为圆心，半径为5的圆的方程为( )A ．x 2＋y 2－2x ＋4y ＝0 B ．x 2＋y 2＋2x ＋4y ＝0 C ．x 2＋y 2＋2x －4y ＝0D ．x 2＋y 2－2x －4y ＝0解析：将已知直线化为y －2＝(a －1)(x ＋1)，可知直线恒过定点(－1,2)，故所求圆的方程为x 2＋y 2＋2x －4y ＝0.答案：C4．(xx·东营模拟)点P (4，－2)与圆x 2＋y 2＝4上任一点连线的中点的轨迹方程是( ) A ．(x －2)2＋(y ＋1)2＝1 B ．(x －2)2＋(y ＋1)2＝1 C ．(x ＋4)2＋(y －2)2＝4 D ．(x ＋2)2＋(y －1)2＝1解析：设圆上任一点为Q (x 0，y 0)，PQ 的中点为M (x ，y )，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4＋x 02，y ＝－2＋y2，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝2x －4，y 0＝2y ＋2.因为点Q 在圆x 2＋y 2＝4上，所以x 20＋y 20＝4，即(2x －4)2＋(2y ＋2)2＝4，化简得(x －2)2＋(y ＋1)2＝1.答案：A5．过圆x 2＋y 2＝4外一点P (4,2)作圆的两条切线，切点为A 、B ，则△ABP 的外接圆方程是( )A ．(x －4)2＋(y －2)2＝1 B ．x 2＋(y －2)2＝4 C ．(x ＋2)2＋(y ＋1)2＝5 D ．(x －2)2＋(y －1)2＝5解析：设圆心为O ，则O (0,0)，则以OP 为直径的圆为△ABP 的外接圆．圆心为(2,1)．半径r ＝|OP |2＝ 5. ∴圆的方程为(x －2)2＋(y －1)2＝5. 答案：D6．在圆x 2＋y 2－2x －6y ＝0内，过点E (0,1)的最长弦和最短弦分别为AC 和BD ，则四边形ABCD 的面积为( )A ．5 2B ．10 2C ．15 2D ．20 2解析：由题意可知，圆的圆心坐标是(1,3)、半径是10，且点E (0,1)位于该圆内，故过点E (0,1)的最短弦长|BD |＝210－12＋22＝25(注：过圆内一定点的最短弦是以该点为中点的弦)，过点E (0,1)的最长弦长等于该圆的直径，即|AC |＝210，且AC ⊥BD ，因此四边形ABCD 的面积等于12|AC |×|BD |＝12×210×25＝102，选B.答案：B 二、填空题7．若实数x ，y 满足x 2＋y 2－2x ＋4y ＝0，则x －2y 的最大值为__________．解析：方程可化为(x －1)2＋(y ＋2)2＝5，表示以(1，－2)为圆心，5为半径的圆，设x －2y ＝m ，则圆心到直线x －2y －m ＝0的距离d ＝|5－m |5∈[0，5]，解得m 的最大值为10.答案：108．圆心在直线2x －y －7＝0上的圆C 与y 轴交于两点A (0，－4)，B (0，－2)，则圆C 的方程为__________．解析：∵圆与y 轴交于A (0，－4)，B (0，－2)， ∴由垂径定理得圆心在y ＝－3这条直线上． 又已知圆心在2x －y －7＝0上，∴⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－3，2x －y －7＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝－3，即圆心C (2，－3)，半径r ＝|AC |＝22＋[－3－－4]2＝5，∴所求圆C 的方程为(x －2)2＋(y ＋3)2＝5. 答案：(x －2)2＋(y ＋3)2＝59．圆心在原点且圆周被直线3x ＋4y ＋15＝0分成1∶2两部分的圆的方程为__________．解析：如图，因为圆周被直线3x ＋4y ＋15＝0分成1∶2两部分，所以∠AOB ＝120°.而圆心到直线3x ＋4y ＋15＝0的距离d ＝1532＋42＝3，在△AOB 中，可求得OA ＝6.所以所求圆的方程为x 2＋y 2＝36.答案：x 2＋y 2＝36 三、解答题10．已知方程x 2＋y 2－2(t ＋3)x ＋2(1－4t 2)y ＋16t 4＋9＝0(t ∈R )的图形是圆． (1)求t 的取值范围；(2)求其中面积最大的圆的方程；(3)若点P (3,4t 2)恒在所给圆内，求t 的取值范围． 解析：(1)由(x －t －3)2＋(y ＋1－4t 2)2＝(t ＋3)2＋(1－4t 2)2－16t 4－9， ∴r 2＝－7t 2＋6t ＋1＞0，∴－17＜t ＜1.(2)∵r ＝－7t 2＋6t ＋1＝－7⎝ ⎛⎭⎪⎫t －372＋167， ∴当t ＝37∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－17，1时，r max ＝477.此时圆的方程为⎝⎛⎭⎪⎫x －2472＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋13492＝167. (3)当且仅当32＋(4t 2)2－2(t ＋3)×3＋2(1－4t 2)×4t 2＋16t 4＋9＜0时，点P 在圆内， ∴8t 2－6t ＜0，即0＜t ＜34.11．已知实数x ，y 满足x 2＋y 2－2y ＝0. (1)求2x ＋y 的取值范围；(2)若x ＋y ＋c ≥0恒成立，求实数c 的取值范围． 解析：由题意可知点(x ，y )在圆x 2＋(y －1)2＝1上， (1)方法一：圆x2＋(y －1)2＝1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θ，y ＝1＋sin θ，∴2x ＋y ＝2cos θ＋sin θ＋1， ∵－5≤2cos θ＋sin θ≤5， ∴1－5≤2x ＋y ≤5＋1.方法二：2x ＋y 可看作直线y ＝－2x ＋b 在y 轴的截距，当直线与圆相切时b 取最值，此时|2×0＋1－b |5＝1.∴b ＝1±5，∴1－5≤2x ＋y ≤1＋ 5.(2)∵x ＋y ＝cos θ＋1＋sin θ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π4＋1， ∴x ＋y ＋c 的最小值为1－2＋c ， ∴x ＋y ＋c ≥0恒成立等价于1－2＋c ≥0， ∴c 的取值范围为c ≥2－1.12．在平面直角坐标系xOy 中，以O 为圆心的圆与直线x －3y ＝4相切．(1)求圆O 的方程；(2)圆O 与x 轴相交于A ，B 两点，圆内的动点P 使|PA |，|PO |，|PB |成等比数列，求PA →·PB→的取值范围．解析：(1)依题设，圆O 的半径r 等于原点O 到直线x －3y ＝4的距离，即r ＝|4|1＋3＝2，所以圆O 的方程为x 2＋y 2＝4. (2)由(1)知A (－2,0)，B (2,0)．设P (x ，y )，由|PA |，|PO |，|PB |成等比数列得，x ＋22＋y 2·x －22＋y 2＝x 2＋y 2，即x 2－y 2＝2. PA →·PB →＝(－2－x ，－y )·(2－x ，－y )＝x 2－4＋y 2＝2(y 2－1)，由于点P 在圆O 内，故⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＜4，x 2－y 2＝2.由此得0≤y 2＜1，所以PA →·PB →的取值范围为[－2,0)．39710 9B1E 鬞 ` l 29887 74BF 璿21042 5232 刲36138 8D2A 贪7D 21126 5286 劆DR。

2021年高考数学一轮复习 第九篇 解析几何 第3讲 圆的方程教案 理新人教版【xx 年高考会这样考】1．考查根据所给的条件选取适当的方程形式，利用待定系数法求出圆的方程． 2．题型既有选择题、填空题，又有解答题．客观题突出小而巧，主要考查圆的方程；主观题往往在知识的交汇点处命题． 【复习指导】1．本讲复习时，应熟练掌握圆的方程的各个要素，明确圆的标准方程，一般方程． 2．能根据所给条件选取适当的方程形式，利用待定系数法求出圆的方程，结合圆的几何性质解决与圆有关的问题．基础梳理1．圆的定义：平面内到定点的距离等于定长的点的轨迹是圆． 2．圆的标准方程(1)方程(x －a )2＋(y －b )2＝r 2(r ＞0)表示圆心为(a ，b )，半径为r 的圆的标准方程． (2)特别地，以原点为圆心，半径为r (r ＞0)的圆的标准方程为x 2＋y 2＝r 2. 3．圆的一般方程方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0可变形为⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋D 22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋E 22＝D 2＋E 2－4F 4.故有：(1)当D 2＋E 2－4F ＞0时，方程表示以⎝ ⎛⎭⎪⎫－D 2，－E 2为圆心，以D 2＋E 2－4F 2为半径的圆；(2)当D 2＋E 2－4F ＝0时，方程表示一个点⎝ ⎛⎭⎪⎫－D 2，－E2；(3)当D 2＋E 2－4F ＜0时，方程不表示任何图形． 4．P (x 0，y 0)与圆(x －a )2＋(y －b )2＝r 2(r ＞0)的位置关系 (1)若(x 0－a )2＋(y 0－b )2＞r 2，则点P 在圆外； (2)若(x 0－a )2＋(y 0－b )2＝r 2，则点P 在圆上； (3)若(x 0－a )2＋(y 0－b )2＜r 2，则点P 在圆内．一种方法确定圆的方程主要方法是待定系数法，大致步骤为：(1)根据题意，选择标准方程或一般方程；(2)根据条件列出关于a，b，r或D、E、F的方程组；(3)解出a、b、r或D、E、F代入标准方程或一般方程．两个防范(1)求圆的方程需要三个独立条件，所以不论设哪一种圆的方程都要列出关于系数的三个独立方程．(2)过圆外一定点求圆的切线，应该有两个结果，若只求出一个结果，应该考虑切线斜率不存在的情况．三个性质确定圆的方程时，常用到的圆的三个性质(1)圆心在过切点且与切线垂直的直线上；(2)圆心在任一弦的中垂线上；(3)两圆内切或外切时，切点与两圆圆心三点共线．双基自测1．(人教A版教材习题改编)圆心为点(0,1)，半径为2的圆的标准方程为( )．A．(x－1)2＋y2＝4 B．x2＋(y－1)2＝2C．x2＋(y－1)2＝4 D．(x－1)2＋y2＝2答案 C2．(xx·四川)圆x2＋y2－4x＋6y＝0的圆心坐标是( )．A．(2,3) B．(－2,3)C．(－2，－3) D．(2，－3)解析由x2＋y2－4x＋6y＝0得(x－2)2＋(y＋3)2＝13.故圆心坐标为(2，－3)．答案 D3．若点(1,1)在圆(x－a)2＋(y＋a)2＝4的内部，则实数a的取值范围是( )．A．－1＜a＜1 B．0＜a＜1C．a＞1或a＜－1 D．a＝±1解析因为点(1,1)在圆的内部，∴(1－a)2＋(1＋a)2＜4，∴－1＜a＜1.答案 A4．(xx·重庆)在圆x2＋y2－2x－6y＝0内，过点E(0,1)的最长弦和最短弦分别为AC和BD，则四边形ABCD 的面积为( )．A ．5 2B ．10 2C ．15 2D ．20 2解析 由题意可知，圆的圆心坐标是(1,3)、半径是10，且点E (0,1)位于该圆内，故过点E (0,1)的最短弦长|BD |＝210－12＋22＝25(注：过圆内一定点的最短弦是以该点为中点的弦)，过点E (0,1)的最长弦长等于该圆的直径，即|AC |＝210，且AC ⊥BD ，因此四边形ABCD 的面积等于12|AC |×|BD |＝12×210×25＝102，选B.答案 B5．(xx·长春模拟)圆心在原点且与直线x ＋y －2＝0相切的圆的方程为________． 解析 设圆的方程为x 2＋y 2＝r 2.则r ＝|－2|2＝ 2.∴圆的方程为：x 2＋y 2＝2. 答案 x 2＋y 2＝2考向一 求圆的方程【例1】►已知圆C 与直线x －y ＝0及x －y －4＝0都相切，圆心在直线x ＋y ＝0上，则圆C 的方程为( )． A ．(x ＋1)2＋(y －1)2＝2 B ．(x －1)2＋(y ＋1)2＝2 C ．(x －1)2＋(y －1)2＝2D ．(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝2[审题视点] 设圆心坐标，根据相切的条件列出等式求圆心及半径；也可以利用圆的几何特征求圆心及半径．解析 法一 设出圆心坐标，根据该圆与两条直线都相切列方程即可． 设圆心坐标为(a ，－a )，则|a －－a |2＝|a －－a －4|2，即|a |＝|a －2|，解得a ＝1，故圆心坐标为(1，－1)，半径r ＝22＝2，故圆的方程为(x －1)2＋(y ＋1)2＝2. 法二 题目给出的圆的两条切线是平行线，故圆的直径就是这两条平行线之间的距离d ＝42＝22；圆心是直线x ＋y ＝0与这两条平行线交点的中点，直线x ＋y ＝0与直线x －y ＝0的交点坐标是(0,0)、与直线x －y －4＝0的交点坐标是(2，－2)，故所求的圆的圆心坐标是(1，－1)，所求的圆的方程是(x －1)2＋(y ＋1)2＝2.法三 作为选择题也可以验证解答，圆心在x ＋y ＝0上，排除选项C 、D ，再验证选项A 、B 中圆心到两直线的距离等于半径2即可． 答案 B求具备一定条件的圆的方程时，其关键是寻找确定圆的两个几何要素，即圆心和半径，待定系数法也是经常使用的方法．在一些问题中借助圆的平面几何中的知识可以简化计算，如已知一个圆经过两个点时，其圆心一定在这两点的垂直平分线上，解题时要注意平面几何知识的应用．【训练1】 经过点A (5,2)，B (3,2)，圆心在直线2x －y －3＝0上的圆的方程为________． 解析 ∵圆经过点A (5,2)，B (3,2)，∴圆心在x ＝4上，又圆心在2x －y －3＝0上，∴圆心为(4,5)，可设圆的方程为(x －4)2＋(y －5)2＝r 2， 又圆过B (3,2)，即(3－4)2＋(2－5)2＝r 2， ∴r 2＝10，∴圆的方程为(x －4)2＋(y －5)2＝10. 答案 (x －4)2＋(y －5)2＝10考向二 与圆有关的最值问题【例2】►(xx·武汉模拟)已知点P (x ，y )在圆x 2＋(y －1)2＝1上运动，则y －1x －2的最大值与最小值分别为________． [审题视点] 找出y －1x －2的几何意义，运用几何法求解． 解析 设y －1x －2＝k ，则k 表示点P (x ，y )与点(2,1)连线的斜率．当该直线与圆相切时，k 取得最大值与最小值． 由|2k |k 2＋1＝1，解得k ＝±33.答案33；－33与圆有关的最值问题，常见的有以下几种类型： ①形如μ＝y －bx －a形式的最值问题，可转化为动直线斜率的最值问题；②形如t ＝ax ＋by 形式的最值问题，可转化为动直线截距的最值问题；③形如(x －a )2＋(y －b )2形式的最值问题，可转化为动点到定点的距离的平方的最值问题．【训练2】 圆x 2＋y 2－4x －4y －10＝0上的点到直线x ＋y －14＝0的最大距离与最小距离的差是( )．A ．30B ．18C ．6 2D ．5 2解析 由圆x 2＋y 2－4x －4y －10＝0知圆心坐标为(2,2)，半径为3 2.则圆上的点到直线x ＋y －14＝0的最大距离为：|2＋2－14|2＋32＝52＋32，最小距离为：52－32，故最大距离与最小距离的差为6 2. 答案 C考向三 圆的综合应用【例3】►已知圆x 2＋y 2＋x －6y ＋m ＝0和直线x ＋2y －3＝0交于P ，Q 两点，且OP ⊥OQ (O 为坐标原点)，求该圆的圆心坐标及半径．[审题视点] (1)利用垂直列出坐标之间关系，再化为m 的方程求解；(2)OP ⊥OQ 得到O 点在以PQ 为直径的圆上，再利用勾股定理求解． 解 法一 将x ＝3－2y ， 代入方程x 2＋y 2＋x －6y ＋m ＝0， 得5y 2－20y ＋12＋m ＝0.设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，则y 1、y 2满足条件：y 1＋y 2＝4，y 1y 2＝12＋m5. ∵OP ⊥OQ ，∴x 1x 2＋y 1y 2＝0.而x 1＝3－2y 1，x 2＝3－2y 2. ∵x 1x 2＝9－6(y 1＋y 2)＋4y 1y 2＝－27＋4m5.故－27＋4m 5＋12＋m 5＝0，解得m ＝3，此时Δ＞0，圆心坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，3，半径r ＝52.法二 如图所示，设弦PQ 中点为M ， 设M (x 0，y 0)，P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)， 由法一知，y 1＋y 2＝4，x 1＋x 2＝－2， ∴x 0＝x 1＋x 22＝－1，y 0＝y 1＋y 22＝2.解得M 的坐标为(－1,2)．则以PQ 为直径的圆可设为(x ＋1)2＋(y －2)2＝r 2. ∵OP ⊥OQ ，∴点O 在以PQ 为直径的圆上． ∴(0＋1)2＋(0－2)2＝r 2， 即r 2＝5，|MQ |2＝r 2.在Rt △O 1MQ 中，|O 1Q |2＝|O 1M |2＋|MQ |2.∴1＋－62－4m 4＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋12＋(3－2)2＋5. ∴m ＝3，∴半径为52，圆心为⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，3. (1)在解决与圆有关的问题中，借助于圆的几何性质，往往会使得思路简捷明了，简化思路，简便运算．(2)本题中两种解法都是用方程思想求m 值，即两种解法围绕“列出m 的方程”求m 值． 【训练3】 (xx·广州模拟)在以O 为原点的直角坐标系中，点A (4，－3)为△OAB 的直角顶点，已知|AB |＝2|OA |，且点B 的纵坐标大于0. (1)求AB →的坐标；(2)求圆x 2－6x ＋y 2＋2y ＝0关于直线OB 对称的圆的方程． 解 (1)设AB →＝(x ，y )，由|AB |＝2|OA |，AB →·OA →＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＝100，4x －3y ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝6，y ＝8或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－6，y ＝－8，若AB →＝(－6，－8)，则y B ＝－11与y B ＞0矛盾，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－6，y ＝－8舍去．即AB →＝(6,8)．(2)圆x 2－6x ＋y 2＋2y ＝0，即(x －3)2＋(y ＋1)2＝(10)2，其圆心为C (3，－1)，半径r ＝10， ∵OB →＝OA →＋AB →＝(4，－3)＋(6,8)＝(10,5)， ∴直线OB 的方程为y ＝12x .设圆心C (3，－1)关于直线y ＝12x 的对称点的坐标为(a ，b )，则⎩⎪⎨⎪⎧b ＋1a －3＝－2，b －12＝12·a ＋32，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝3，则所求的圆的方程为(x －1)2＋(y －3)2＝10.阅卷报告13——选择方程不当或计算失误【问题诊断】 由于圆的方程有两种形式：标准方程和一般方程，所以在求圆的方程要合理选用，如果选择不恰当，造成构建的方程组过于复杂无法求解而失误.【防范措施】 若已知条件容易求出圆心坐标和半径或需利用圆心坐标列方程，通常选用圆的标准方程；若已知条件为圆经过三点，一般采用一般式，但已知点的坐标较复杂时，采用一般式计算过繁，可以采用标准式.【示例】►(xx·全国新课标)在平面直角坐标系xOy 中，曲线y ＝x 2－6x ＋1与坐标轴的交点都在圆C 上． (1)求圆C 的方程；(2)若圆C 与直线x －y ＋a ＝0交于A ，B 两点，且OA ⊥OB ，求a 的值．错因 计算失误．实录 (1)令y ＝0，则与x 轴的交点为(3＋22，0)，(3－22，0)，令x ＝0，则与y 轴的交点为(0,1)，设圆的方程为：x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，则⎩⎨⎧E ＋F ＋1＝0，3＋22D ＋F ＋3＋222＝0，3－22D ＋F ＋3－222＝0，解得：D ＝6，E ＝27＋122，F ＝－28－122， ∴x 2＋y 2＋6x ＋(27＋122)y －28－122＝0.正解 (1)曲线y ＝x 2－6x ＋1与y 轴的交点为(0,1)，与x 轴的交点为(3＋22，0)，(3－22，0)．故可设C 的圆心为(3，t )，则有32＋(t －1)2＝(22)2＋t 2， 解得t ＝1.则圆C 的半径为32＋t －12＝3.所以圆C 的方程为(x －3)2＋(y －1)2＝9.(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，其坐标满足方程组：⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋a ＝0，x －32＋y －12＝9.消去y ，得到方程2x 2＋(2a －8)x ＋a 2－2a ＋1＝0. 由已知可得，判别式Δ＝56－16a －4a 2＞0. 因此x 1,2＝8－2a ±56－16a －4a 24，从而x 1＋x 2＝4－a ，x 1x 2＝a 2－2a ＋12.①由于OA ⊥OB ，可得x 1x 2＋y 1y 2＝0.又y 1＝x 1＋a ，y 2＝x 2＋a ，所以2x 1x 2＋a (x 1＋x 2)＋a 2＝0.② 由①，②得a ＝－1，满足Δ＞0，故a ＝－1.【试一试】 (xx·全国新课标)过点A (4,1)的圆C 与直线x －y －1＝0相切于点B (2,1)，则圆C 的方程为________．[尝试解析] 由已知圆C 过A (4,1)，B (2,1)两点， ∴直线AB 的垂直平分线x ＝3过圆心C ，又圆C 与直线y ＝x －1相切于点B (2,1)，∴k BC ＝－1， ∴直线BC 的方程为y －1＝－(x －2)，得y ＝－x ＋3，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－x ＋3，x ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝0，得圆心C 的坐标为(3,0)，∴r ＝|BC |＝3－22＋0－12＝2，∴圆的方程为(x －3)2＋y 2＝2. 答案 (x －3)2＋y 2＝2。

第七章解析几何第1讲直线的方程1．过点(4，－2)，斜率为－33的直线的方程是( )A.3x＋y＋2－4 3＝0B.3x＋3y＋6－4 3＝0C．x＋3y－2 3－4＝0D．x＋3y＋2 3－4＝02．将圆x2＋y2－2x－4y＋1＝0平分的直线是( )A．x＋y－1＝0 B．x＋y＋3＝0C．x－y＋1＝0 D．x－y＋3＝03．(2014年某某某某一模)已知点A(1，－2)，B(5,6)到直线l：ax＋y＋1＝0的距离相等，则实数a的值为( )A．－2或1 B．2或1C．－2或－1 D．2或－14．过点P(－2,3)且与两坐标轴围成的三角形面积为12的直线共有( )A．1条 B．2条 C．3条 D．4条5．过点P(2,3)且在两轴上截距相等的直线方程为________．6．若直线l沿x轴负方向平移3个单位，再沿y轴正方向平移1个单位后，又回到原来的位置，那么直线l的斜率是__________．7．一条直线经过点A(－2,2)，并且与两坐标轴围成的三角形的面积为1，则此直线的方程为________．8．已知点P是直线l上的一点，将l绕点P按逆时针旋转α(0°<α<90°)，得到l1：x＋2y＋1＝0，若继续按逆时针旋转(90°－α)，则得到直线l2：x－y－2＝0，则l的方程为____________．9．(2013年新课标Ⅱ)已知点A(－1,0)，B(1,0)，C(0,1)，直线y＝ax＋b(a>0)将△ABC分割为面积相等的两部分，则b 的取值X 围是( )A ．(0,1) B.⎝ ⎛⎭⎪⎫1－22，12C.⎝ ⎛⎦⎥⎤1－22，13 D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫13，1210．求经过点A ()－2，2，且在第二象限与两个坐标轴围成的三角形面积最小的直线的方程．第2讲 两直线的位置关系1．已知直线l 1：(k －3)x ＋(4－k )y ＋1＝0与l 2：2(k －3)x －2y ＋3＝0平行，则k 的值是( )A ．1或3B ．1或5C ．3或5D ．1或22．(2012年某某)设a ∈R ，则“a ＝1”是“直线l 1：ax ＋2y ＝0与直线l 2：x ＋(a ＋1)y ＋4＝0平行”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．将直线y ＝3x 绕原点逆时针旋转90°，再向右平移1个单位长度，所得到的直线为( )A ．y ＝－13x ＋13B ．y ＝－13x ＋1C ．y ＝3x －3D ．y ＝13x ＋14．已知两条直线l 1：mx ＋y －2＝0和l 2：(m ＋2)x －3y ＋4＝0与两坐标轴围成的四边形有外接圆，则实数m 的值为( )A ．1或－3B ．－1或3C ．2或12D ．－2或125．若三条直线2x ＋3y ＋8＝0，x －y －1＝0，x ＋ky ＋k ＋12＝0能围成三角形，则k 不等于( )A.32B ．－2 C.32和－1 D.32，－1和－126．(2014年某某)已知直线l 过圆x 2＋(y －3)2＝4的圆心，且与直线x ＋y ＋1＝0垂直，则l 的方程是( )A ．x ＋y －2＝0B ．x －y ＋2＝0C ．x ＋y －3＝0D ．x －y ＋3＝07．(2013年某某)在平面直角坐标系内，到点A (1,2)，B (1,5)，C (3,6)，D (7，－1)的距离之和最小的点的坐标是________．8．两条平行直线x ＋ay －a －1＝0与2x ＋a 2y ＋5＝0之间的距离是____________．9．已知正方形的中心为G (－1,0)，一边所在直线的方程为x ＋3y －5＝0，求其他三边所在直线的方程．10．已知点A (－3,5)，B (2,15)，在直线l ：3x －4y ＋4＝0上求一点P ，使得||PA ＋||PB 最小．第3讲 圆的方程1．方程x 2＋y 2＋ax ＋2ay ＋2a 2＋a －1＝0表示圆，则a 的取值X 围是( ) A ．a <－2或a >23 B ．－23<a <0C ．－2<a <0D ．－2<a <232．(2014年新课标Ⅱ)设点M (x 0,1)，若在圆O ：x 2＋y 2＝1上存在点N ，使得∠OMN ＝45°，则x 0的取值X 围是( )A ．[－1,1] B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，12C ．[－2，2] D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－22，22 3．若点P (1,1)为圆(x －3)2＋y 2＝9的弦MN 的中点，则弦MN 所在直线的方程为( ) A ．2x ＋y －3＝0 B ．x －2y ＋1＝0 C ．x ＋2y －3＝0 D ．2x －y －1＝04．圆x 2＋y 2－2x －2y ＋1＝0上的点到直线x －y ＝2的距离的最大值是( ) A ．2 B ．1＋ 2 C ．2＋22D ．1＋2 25．若实数x，y满足x2＋y2＋4x－2y－4＝0，则x2＋y2的最大值是( )A.5＋3 B．6 5＋14C．－5＋3 D．－6 5＋146．(2015年某某东营模拟)点P(4，－2)与圆x2＋y2＝4上任一点连线的中点的轨迹方程是( )A．(x－2)2＋(y＋1)2＝1 B．(x－2)2＋(y＋1)2＝4C．(x＋4)2＋(y－2)2＝4 D．(x＋2)2＋(y－1)2＝17．已知奇函数y＝f(x)的导函数f′(x)<0在R恒成立，且x，y满足不等式f(x2－2x)＋f(y2－2y)≥0，则x2＋y2的取值X围是( )A．[0,2 2] B．[0,2]C．[1,2] D．[0,8]8．(2014年某某)已知圆心在直线x－2y＝0上的圆C与y轴的正半轴相切，圆C截x 轴所得弦的长为2 3，则圆C的标准方程为____________________．9．(2013年新课标Ⅱ)在平面直角坐标系xOy中，已知圆P在x轴上截得线段长为2 2，在y轴上截得线段长为2 3.(1)求圆心P的轨迹方程；(2)若P点到直线y＝x的距离为22，求圆P的方程．10．(2014年新课标Ⅰ)已知点P(2,2)，圆C：x2＋y2－8y＝0，过点P的动直线l与圆C 交于A，B两点，线段AB的中点为点M，O为坐标原点．(1)求M的轨迹方程；(2)当|OP|＝|OM|时，求l的方程及△POM的面积．第4讲直线与圆的位置关系1．(2015年某某)直线3x＋4y＝b与圆x2＋y2－2x－2y＋1＝0相切，则b＝( )A．－2或12 B．2或－12C．－2或－12 D．2或122．圆C1：x2＋y2＋2x＋2y－2＝0与圆C2：x2＋y2－4x－2y＋1＝0的公共切线有且仅有( )A．1条 B．2条C．3条 D．4条3．(2015年某某)平行于直线2x＋y＋1＝0且与圆x2＋y2＝5相切的直线的方程是( ) A．2x－y＋5＝0或2x－y－5＝0B．2x＋y＋5＝0或2x＋y－5＝0C．2x－y＋5＝0或2x－y－5＝0D．2x＋y＋5＝0或2x＋y－5＝04．(2013年某某)过点(3,1)作圆(x－1)2＋y2＝1的两条切线，切点分别为A，B，则直线AB的方程为( )A．2x＋y－3＝0 B．2x－y＋3＝0C．4x－y－3＝0 D．4x＋y－3＝05．(2014年某某)已知圆x 2＋y 2＋2x －2y ＋a ＝0截直线x ＋y ＋2＝0所得弦的长度为4，则实数a ＝( )A ．－2B ．－4C ．－6D ．－86．(2015年某某)已知直线l ：x ＋ay －1＝0(a ∈R )是圆C ：x 2＋y 2－4x －2y ＋1＝0的对称轴．过点A (－4，a )作圆C 的一条切线，切点为B ，则|AB |＝( )A ．2B ．4 2C ．6D ．2107．(2015年某某)一条光线从点(－2，－3)射出，经y 轴反射后与圆(x ＋3)2＋(y －2)2＝1相切，则反射光线所在直线的斜率为( )A ．－53或－35B ．－32 或－23C ．－54或－45D ．－43或－348．过点(2,4)的直线l 与曲线y ＝1＋4－x 2总有两个不同的交点，则直线l 的斜率的取值X 围是________．9．已知两点M (－1,0)，N (1,0)，点P 为坐标平面内的动点，且满足|MN →|·|NP →|＝MN →·MP →. (1)求动点P 的轨迹方程；(2)若点A (t,4)是动点P 的轨迹上的一点，K (m,0)是x 轴上的一动点，试讨论直线AK 与圆x 2＋(y －2)2＝4的位置关系．10．(2015年某某)已知过原点的动直线l 与圆C 1：x 2＋y 2－6x ＋5＝0相交于不同的两点A ，B .(1)求圆C 1的圆心坐标；(2)求线段AB 的中点M 的轨迹C 的方程；(3)是否存在实数k ，使得直线L ：y ＝k (x －4)与曲线C 只有一个交点？若存在，求出k 的取值X 围；若不存在，说明理由．第5讲 椭 圆1．椭圆x 2m ＋y 24＝1的焦距为2，则m 的值为( )A ．5B ．8C ．20D ．5或32．(2012年新课标)设F 1，F 2是椭圆E ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点，P 为直线x＝3a2上一点，△F 2PF 1是底角为30°的等腰三角形，则E 的离心率为( ) A.12 B.23 C.34 D.453．椭圆x 249＋y 224＝1上一点P 与椭圆的两个焦点F 1，F 2的连线互相垂直，则△PF 1F 2的面积为( )A ．20B ．22C ．24D ．284．(2013年新课标Ⅱ)设椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，P 是C上的点，PF 2⊥F 1F 2，∠PF 1F 2＝30°，则C 的离心率为( )A.36 B.13 C.12 D.335．(2015年新课标Ⅰ)一个圆经过椭圆x 216＋y 24＝1的三个顶点，且圆心在x 轴的正半轴上，则该圆的标准方程为__________．6．椭圆x 29＋y 22＝1的焦点为F 1，F 2，点P 在椭圆上，若|PF 1|＝4，则|PF 2|＝________，∠F 1PF 2＝________.7．(2013年某某)椭圆Γ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，焦距为2c .若直线y ＝3(x ＋c )与椭圆Γ的一个交点M 满足∠MF 1F 2＝2∠MF 2F 1，则该椭圆的离心率等于__________．8．(2013年大纲)椭圆C ：x24＋y23＝1的左、右顶点分别为A 1，A 2，点P 在C 上且直线PA 2斜率的取值X 围是[－2，－1]，那么直线PA 1斜率的取值X 围是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，34B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤38，34C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤34，1 9．(2014年某某)如图X7­5­1在平面直角坐标系xOy 中，F 1，F 2分别是椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右焦点，顶点B 的坐标是(0，b )，连接BF 2并延长交椭圆于点A ，过点A 作x 轴的垂线交椭圆于另一点C ，连接F 1C .(1)若点C 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫43，13，且BF 2＝2，求椭圆的方程； (2)若F 1C ⊥AB ，求椭圆离心率e 的值．图X7­5­110．(2015年某某)已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的半焦距为c ，原点O 到经过两点(c,0)，(0，b )的直线的距离为12c .(1)求椭圆E 的离心率；(2)如图X7­5­2，AB 是圆M ：(x ＋2)2＋(y －1)2＝52的一条直径，若椭圆E 经过A ，B 两点，求椭圆E 的方程．图X7­5­2第6讲 双曲线1．(2015年某某)双曲线x 22－y 2＝1的焦距是________，渐近线方程是________．2．(2015年某某)下列双曲线中，焦点在y 轴上且渐近线方程为y ＝±2x 的是( ) A ．x 2－y 24＝1 B.x 24－y 2＝1C.y 24－x 2＝1 D ．y 2－x 24＝1 3．(2015年某某)若双曲线x 2a 2－y 2b2＝1的一条渐近线经过点(3，－4)，则此双曲线的离心率为( )A.73 B.54 C.43 D.534．(2015年某某)已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线过点(2，3)，且双曲线的一个焦点在抛物线y 2＝4 7x 的准线上，则双曲线的方程为( )A.x 221－y 228＝1 B.x 228－y 221＝1 C.x 23－y 24＝1 D.x 24－y 23＝1 5．(2014年大纲)双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的离心率为2，焦点到渐近线的距离为3，则C 的焦距等于( )A ．2B ．2 2C ．4D ．4 26．(2014年某某，由人教版选修1­1P 68­3改编)若实数k 满足0<k <5，则曲线x 216－y 25－k ＝1与曲线x 216－k －y 25＝1的( )A ．实半轴长相等B ．虚半轴长相等C ．离心率相等D ．焦距相等7．(2015年新课标Ⅱ)已知A ，B 为双曲线E 的左、右顶点，点M 在E 上，△ABM 为等腰三角形，且顶角为120°，则E 的离心率为( )A. 5 B ．2 C. 3 D. 28．(2015年新课标Ⅰ)已知M (x 0，y 0)是双曲线C ：x 22－y 2＝1上的一点，F 1，F 2是C 上的两个焦点，若MF 1→·MF 2→<0，则y 0的取值X 围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－33，33 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－36，36 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－223，223 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－233，2339．已知中心在原点的双曲线C的右焦点为(2,0)，实轴长为2.(1)求双曲线C的方程；(2)若直线l：y＝kx＋2与双曲线C左支交于A，B两点，求k的取值X围．10．(2012年某某某某一模)已知圆C1：(x－4)2＋y2＝1，圆C2：x2＋(y－2)2＝1，圆C1，C2关于直线l对称．(1)求直线l的方程；(2)直线l上是否存在点Q，使点Q到点A(－2 2，0)的距离减去点Q到点B(2 2，0)的距离的差为4？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，说明理由．第7讲抛物线1．抛物线y 2＝8x 的焦点到准线的距离是( ) A ．1 B ．2 C ．4 D ．82．已知点P 在抛物线y 2＝4x 上，那么当点P 到点Q (2，－1)的距离与点P 到抛物线焦点距离之和取得最小值时，点P 的坐标为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫14，－1B.⎝ ⎛⎭⎪⎫14，1 C ．(1,2) D ．(1，－2)3．(2014年某某揭阳一模)已知抛物线C ：x 2＝4y 的焦点为F ，直线x －2y ＋4＝0与C 交于A ，B 两点，则cos ∠AFB ＝( )A.45B.35 C ．－35 D ．－454．(2015年某某)抛物线y 2＝2px (p >0)上的动点Q 到焦点的距离的最小值为1，则p ＝__________.5．(2013年新课标Ⅰ)O 为坐标原点，F 为抛物线C ：y 2＝4 2x 的焦点，P 为C 上一点，若|PF |＝4 2，则△POF 的面积为( )A ．2B ．2 2C ．2 3D ．46．以抛物线的焦点弦为直径的圆一定和准线( ) A ．相交 B ．相切 C ．相离 D ．不确定7．(2015年某某)如图X7­7­1，设抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，不经过焦点的直线上有三个不同的点A ，B ，C ，其中点A ，B 在抛物线上，点C 在y 轴上，则△BCF 与△ACF 的面积之比是( )图X7­7­1A.|BF|－1|AF|－1B.|BF|2－1|AF|2－1C.|BF|＋1|AF|＋1D.|BF|2＋1|AF|2＋18．(人教版选修1­1P64­6)如图X7­7­2是抛物线形拱桥，当水面在l时，拱顶离水面2 m，水面宽4 m，则水位下降1 m后，水面宽________m.图X7­7­29．(2015年某某)如图X7­7­3，已知点F为抛物线E：y2＝2px(p>0)的焦点，点A(2，m)在抛物线E上，且|AF|＝3.(1)求抛物线E的方程；(2)已知点G(－1,0)，延长AF交抛物线E于点B，证明：以点F为圆心且与直线GA相切的圆，必与直线GB相切．图X7­7­310．(2012年新课标)如图X7­7­4，设抛物线C：x2＝2py(p＞0)的焦点为F，准线为l，A为C上一点，已知以F为圆心，FA为半径的圆F交l于B，D两点．(1)若∠BFD＝90°，△ABD的面积为4 2，求p的值及圆F的方程；(2)若A，B，F三点在同一条直线m上，直线n与m平行，且n与C只有一个公共点，求坐标原点到m ，n 距离的比值．图X7­7­4第8讲 轨迹与方程1．如图X7­8­1，一圆形纸片的圆心为O ，F 是圆内一定点，M 是圆周上一动点，把纸片折叠使M 与F 重合，然后抹平纸片，折痕为CD ，设CD 与OM 交于点P ，则点P 的轨迹是( )图X7­8­1A ．椭圆B ．双曲线C ．抛物线D ．圆2．当动点A 在圆x 2＋y 2＝1上移动时，它与定点B (3,0)连线的中点M 的轨迹方程是( ) A ．(x ＋3)2＋y 2＝4 B ．(x －3)2＋y 2＝1C ．(2x －3)2＋4y 2＝1 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋322＋y 2＝123．已知椭圆的焦点为F 1，F 2，P 是椭圆上一个动点，延长F 1P 到点Q ，使|PQ |＝|PF 2|，则动点Q 的轨迹为( )A ．圆B ．椭圆C ．双曲线一支D ．抛物线4．若AB 是过椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)中心的一条弦，M 是椭圆上任意一点，且AM ，BM 与两坐标轴均不平行，k AM ，k BM 分别表示直线AM ，BM 的斜率，则k AM ·k BM ＝( )A ．－c 2a 2B ．－b 2a 2C ．－c 2b 2D ．－a 2b25．(由人教版选修1­1P 42­7改编)已知圆(x ＋2)2＋y 2＝36的圆心为M ，设A 为圆上任一点，N (2,0)，线段AN 的垂直平分线交直线MA 于点P ，则动点P 的轨迹是( )A ．圆B ．椭圆C ．双曲线D ．抛物线6．(由人教版选修1­1P 54­5改编)已知圆(x ＋2)2＋y 2＝1的圆心为M ，设A 为圆上任一点，N (2,0)，线段AN 的垂直平分线交直线MA 于点P ，则动点P 的轨迹是( )A ．圆B ．椭圆C ．双曲线D ．抛物线7．设圆O 1和圆O 2是两个定圆，动圆P 与这两个定圆都相切，则圆P 的圆心轨迹可能是( )①②③④⑤A ．①③⑤B ．②④⑤C ．①②④D ．①②③ 8．已知A ，B 分别是直线y ＝33x 和y ＝－33x 上的两个动点，线段AB 的长为2 3，P 是AB 的中点，则动点P 的轨迹C 的方程为____________．9．(2011年新课标)在平面直角坐标系xOy 中，已知点A (0，－1)，B 点在直线y ＝－3上，M 点满足MB →∥OA →，MA →·AB →＝MB →·BA →，M 点的轨迹为曲线C .(1)求C的方程；(2)P为C上的动点，l为C在P点处的切线，求O点到l距离的最小值．10．(2013年新课标Ⅰ)已知圆M：(x＋1)2＋y2＝1，圆N：(x－1)2＋y2＝9，动圆P与圆M外切并且与圆N内切，圆心P的轨迹为曲线C.(1)求C的方程；(2)l是与圆P、圆M都相切的一条直线，l与曲线C交于A，B两点，当圆P的半径最长时，求|AB|.第9讲直线与圆锥曲线的位置关系1．(2014年某某)已知点A(－2,3)在抛物线C：y2＝2px的准线上，记抛物线的焦点为F，则直线AF的斜率为( )A ．－43 B ．－1C ．－34D ．－122．已知双曲线C 1：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的离心率为2.若抛物线C 2：x 2＝2py (p >0)的焦点到双曲线C 1的渐近线的距离为2，则抛物线C 2的方程为( )A ．x 2＝8 33y B ．x 2＝16 33yC ．x 2＝8y D ．x 2＝16y3．(2014年新课标Ⅱ)设点F 为抛物线C ：y 2＝3x 的焦点，过点F 且倾斜角为30°的直线交抛物线于A ，B 两点，则|AB |＝( )A.303B ．6C ．12D ．7 34．已知双曲线E 的中心为原点，P (3,0)是E 的焦点，过点P 的直线l 与E 相交于A ，B 两点，且AB 的中点为N (－12，－15)，则E 的方程为( )A.x 23－y 26＝1B.x 24－y 25＝1C.x 26－y 23＝1 D.x 25－y 24＝1 5．若点(3,1)是抛物线y 2＝2px 的一条弦的中点，且这条弦所在直线的斜率为2，则p ＝________.6．如图X7­9­1，过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点的直线l 依次交抛物线及其准线于点A ，B ，C ，若|BC |＝2|BF |，且|AF |＝3，则抛物线的方程是______________．图X7­9­17．椭圆x 2＋4y 2＝4的长轴上一个顶点为A ，以A 为直角顶点作一个内接于椭圆的等腰直角三角形，则该三角形的面积是________．8．(2015年某某)在平面直角坐标系xOy 中，P 为双曲线x 2－y 2＝1右支上的一个动点．若点P 到直线x －y ＋1＝0的距离大于c 恒成立，则是实数c 的最大值为______．9．已知F 1，F 2分别是椭圆C ：x 2a2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右焦点．(1)设椭圆C 上的点⎝⎛⎭⎪⎫22，32到F 1，F 2两点的距离之和等于2 2，写出椭圆C 的方程； (2)设过(1)中所得椭圆上的焦点F 2，且斜率为1的直线与其相交于A ，B 两点，求△ABF 1的面积；(3)设点P 是椭圆C 上的任意一点，过原点的直线l 与椭圆相交于M ，N 两点，当直线PM ，PN 的斜率都存在，并记为k PM ，k PN ，试探究k PM ·k PN 的值是否与点P 及直线l 有关，并证明你的结论．10．已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的一个顶点为B (0,4)，离心率e ＝55，直线l 交椭圆于M ，N 两点．(1)若直线l 的方程为y ＝x －4，求弦MN 的长；(2)如果△BMN 的重心恰好为椭圆的右焦点F ，求直线l 方程的一般式．专题四 圆锥曲线的综合及应用问题1．已知点F 1，F 2分别为双曲线x 2－y 23＝1的左、右焦点，点P 为双曲线右支上的任意一点，则|PF 1|2|PF 2|的最小值为( )A ．8B ．5C ．4D ．92．已知点F 1，F 2是x 24＋y 2＝1的左、右焦点，点P 在椭圆上运动，则PF 1→·PF 2→的最大值是( )A ．4B ．5C ．2D ．13．若点O 和点F (－2,0)分别为双曲线x 2a2－y 2＝1(a >0)的中心和左焦点，点P 为双曲线右支上的任意一点，则OP →·FP →的取值X 围为( )A ．[3－2 3，＋∞) B．[3＋2 3，＋∞)C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫－74，＋∞D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫74，＋∞ 4．设F 1，F 2分别是椭圆x 225＋y 216＝1的左、右焦点，P 为椭圆上任一点，点M 的坐标为(6,4)，则|PM |＋|PF 1|的最大值为________．5．已知F 是双曲线x 24－y 212＝1的左焦点，A (1,4)，P 是双曲线右支上的动点，则|PF |＋|PA |的最小值为________．6．已知椭圆x 2a2＋y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的左焦点F 为圆x 2＋y 2＋2x ＝0的圆心，且椭圆上的点到点F 的距离最小值为2－1.(1)求椭圆方程；(2)已知经过点F 的动直线l 与椭圆交于不同的两点A ，B ，点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫－54，0，证明：MA→·MB→为定值．7．(2014年)已知椭圆C ：x 2＋2y 2＝4. (1)求椭圆C 的离心率；(2)设O 为原点，若点A 在直线y ＝2上，点B 在椭圆C 上，且OA ⊥OB ，求线段AB 长度的最小值．8．在平面直角坐标系xOy 中，已知点A (0,1)，点B 在直线l 1：y ＝－1上，点M 满足MB →∥OA →，MA →·AB →＝MB →·BA →，点M 的轨迹为曲线C .(1)求C 的方程；(2)设直线l 2：y ＝kx ＋m 与曲线C 有唯一公共点P ，且与直线l 1：y ＝－1相交于点Q ，试探究，在坐标平面内是否存在点N ，使得以PQ 为直径的圆恒过点N ？若存在，求出点N 的坐标；若不存在，说明理由．第七章 解析几何第1讲 直线的方程1．B 2.C3．C 解析：由|a －2＋1|a 2＋1＝|5a ＋6＋1|a 2＋1，得a 2＋3a ＋2＝0，∴a ＝－1或a ＝－2. 4．C 解析：设过点P (－2,3)且与两坐标轴围成的三角形面积为12的直线的斜率为k ， 则有直线的方程为y －3＝k (x ＋2)， 即kx －y ＋2k ＋3＝0，它与坐标轴的交点分别为M (0,2k ＋3)，N ⎝⎛⎭⎪⎫－2－3k，0.再由12＝12|OM |·|ON |＝12|2k ＋3|×|－2－3k |，可得|4k ＋9k ＋12|＝24，即4k ＋9k ＋12＝24，或4k ＋9k＋12＝－24.解得k ＝32或k ＝－9－6 22或k ＝－9＋6 22，故满足条件的直线有3条．5．3x －2y ＝0或x ＋y －5＝0 解析：当截距为0时，直线方程为3x －2y ＝0；当截距不为0时，设直线方程为x a ＋y a＝1，则2a ＋3a＝1，解得a ＝5，所以直线方程为x ＋y －5＝0.6．－137．x ＋2y －2＝0或2x ＋y ＋2＝0 解析：设所求直线的方程为x a ＋y b＝1. ∵A (－2,2)在此直线上， ∴－2a ＋2b＝1.①又因直线与坐标轴围成的三角形面积为1， ∴12|a |·|b |＝1.②由①②可得(1)⎩⎪⎨⎪⎧a －b ＝1，ab ＝2或(2)⎩⎪⎨⎪⎧a －b ＝－1，ab ＝－2.由(1)解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝－2，方程组(2)无解．故所求的直线方程为x 2＋y 1＝1或x －1＋y－2＝1， 即x ＋2y －2＝0或2x ＋y ＋2＝0为所求直线的方程．8．x ＋y ＝0 解析：根据题意，点P 为直线l 1与l 2的交点，解得点P 的坐标为(1，－1)．又直线l 与直线l 2垂直，直线l 2的斜率为1，∴直线l 的斜率为－1.由点斜式知，l 的方程为y ＋1＝－1(x －1)，即x ＋y ＝0.9．B 解析：由题意画出图形，如图D103(1)． 由图可知，直线BC 的方程为x ＋y ＝1. 由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝1，y ＝ax ＋b ，解得M ⎝⎛⎭⎪⎫1－b a ＋1，a ＋b a ＋1.可求N (0，b )，D ⎝ ⎛⎭⎪⎫－ba，0.∵直线y ＝ax ＋b 将△ABC 分割为面积相等的两部分， ∴S △BDM ＝12S △ABC .又S △BOC ＝12S △ABC ，∴S △CMN ＝S △ODN ，即12×⎪⎪⎪⎪⎪⎪－b a ×b ＝12(1－b )×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－b a ＋1. 整理，得b 2a ＝1－b2a ＋1.图D103∴1－b2b2＝1＋a a.∴1b－1＝1＋1a.∴1b＝1＋1a＋1，即b ＝11＋1a＋1，可以看出，当a 增大时，b 也增大． 当a →＋∞时，b →12，即b <12.当a →0时，直线y ＝ax ＋b 接近于y ＝b .当y ＝b 时，如图D103(2)，S △CDM S △ABC ＝2CO 2＝1－b212＝12. ∴1－b ＝22.∴b ＝1－22. ∴b >1－22. 由上分析可知1－22<b <12.故选B. 10．解：方法一，设所求直线方程为x a ＋yb＝1(a <－2，b >2)． ∵－2a ＋2b ＝1，∴a ＝2b2－b. ∴围成的三角形的面积S ＝－12ab ＝－b 2·2b 2－b ＝b2b －2＝(b ＋2)＋4b －2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤b －2＋4b －2＋4 ≥2b －2·4b －2＋4＝8.当且仅当b －2＝4b －2，即b ＝4时，S 最小． 此时a ＝－4，b ＝4.故x －y ＋4＝0即为所求．方法二，设所求直线方程为y －2＝k (x ＋2)，显然k >0， 由题意，S ＝12||2k ＋2·⎪⎪⎪⎪⎪⎪－2k －2＝4＋2⎝ ⎛⎭⎪⎫k ＋1k ≥8. 当且仅当k ＝1时取等号，故x －y ＋4＝0为所求直线方程．第2讲 两直线的位置关系1．C 2.A 3.A4．A 解析：∵两条直线与两坐标轴围成的四边形有外接圆，∴对角互补，两条直线垂直，即m (m ＋2)－3＝0.解得m ＝1或m ＝－3.故选A.5．D 解析：由⎩⎪⎨⎪⎧x －y －1＝0，2x ＋3y ＋8＝0，得交点P (－1，－2)．若点P 在直线x ＋ky ＋k ＋12＝0上，则k ＝－12，此时三条直线交于一点P ；若k ＝32或k ＝－1时，有两条直线平行．故k ≠－12，32和－1. 6．D 解析：圆x 2＋(y －3)2＝4的圆心为(0,3)，且直线l 与直线x ＋y ＋1＝0垂直，则l 的斜率为1，方程是y ＝x ＋3.7．(2,4) 解析：如图D104，由题意知，AC 与BD 相交，两线交点E 为所求的点．AC ：y ＝2x ，BD ：y ＝－x ＋6，联立，得x ＝2，y ＝4.图D1048.72或11 510 解析：∵两直线平行，∴当a ≠0时，12＝a a 2≠－a －15.∴a ＝2.此时两直线的方程为x ＋2y －3＝0与2x ＋4y ＋5＝0.∴两平行直线之间的距离为d ＝|－6－5|22＋42＝11 510.当a ＝0时，两直线方程为x ＝1与x ＝－52，此时两平行直线之间的距离为d ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－52＝72. 9．解：正方形中心G (－1,0)到四边的距离均为 |－1－5|12＋32＝610. 设与已知直线平行的一边所在直线的方程为x ＋3y ＋c 1＝0，则|－1＋c 1|10＝610，即|c 1－1|＝6. 解得c 1＝－5或c 1＝7.故与已知边平行的直线的方程为x ＋3y ＋7＝0. 设正方形另一组对边所在直线的方程为3x －y ＋c 2＝0， 则|3×－1＋c 2|10＝610，即|c 2－3|＝6.解得c 2＝9或c 2＝－3.故正方形另两边所在直线方程为 3x －y ＋9＝0和3x －y －3＝0.综上所述，正方形其他三边所在直线方程分别为x ＋3y ＋7＝0，3x －y ＋9＝0,3x －y －3＝0.10．解：由题意知，点A ，B 在直线l 的同一侧．由平面几何性质可知，先作出点A 关于直线l 的对称点A ′，然后连接A ′B ，则直线A ′B 与l 的交点P 即为所求．事实上，设点P ′是l 上异于点P 的点，则||P ′A ＋||P ′B ＝||P ′A ′＋||P ′B >||A ′B ＝||PA ＋||PB .设A ′(x ，y )，则⎩⎪⎨⎪⎧y －5x ＋3·34＝－1，3·x －32－4·y ＋52＋4＝0.解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝－3.∴A ′(3，－3)．∴直线A ′B 的方程为18x ＋y －51＝0.由⎩⎪⎨⎪⎧3x －4y ＋4＝0，18x ＋y －51＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝83，y ＝3.∴P ⎝ ⎛⎭⎪⎫83，3.第3讲 圆的方程1．D 解析：由题意知a 2＋4a 2－4(2a 2＋a －1)>0，解得－2<a <23.2．A 解析：如图D105，当M (1,1)，N (1,0)，显然∠OMN ＝45°合题意，根据对称性．故选A.图D1053．D4．B 解析：圆的方程化为标准形式为(x －1)2＋(y －1)2＝1， 圆心(1,1)到直线x －y －2＝0的距离d ＝|1－1－2|2＝2，所求距离的最大值为2＋1.故选B.5．A 解析：将x 2＋y 2＋4x －2y －4＝0转化为标准方程为(x ＋2)2＋(y －1)2＝32，x 2＋y 2的最大值是圆心到坐标原点的距离加半径，即－22＋12＋3＝5＋3.故选A.6．A 解析：设圆上任一点为Q (x 0，y 0)，PQ 的中点为M (x ，y )，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4＋x2，y ＝－2＋y2，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝2x －4，y 0＝2y ＋2.因为点Q 在圆x 2＋y 2＝4上，所以x 20＋y 20＝4，即(2x －4)2＋(2y ＋2)2＝4，化简，得(x －2)2＋(y ＋1)2＝1.7．D 解析：因为函数y ＝f (x )为奇函数，所以f (x 2－2x )≥f (2y －y 2)，由函数y ＝f (x )的导函数f ′(x )<0在R 恒成立，知函数y ＝f (x )为减函数，∴x 2－2x ≤2y －y 2，∴(x －1)2＋(y －1)2≤2，故x 2＋y 2的最小值为0，最大值为直径2 2，从而x 2＋y 2的最小值为0，最大值为直径的平方8.8．(x －2)2＋(y －1)2＝4 解析：因为圆心在直线x －2y ＝0上，所以设圆心为(2a ，a )．因为圆C 与y 轴的正半轴相切，所以a >0，r ＝2a .又因为圆C 截x 轴所得弦的长为2 3，所以a 2＋(3)2＝(2a )2，a 2＝1，a ＝1，则圆C 的标准方程为(x －2)2＋(y －1)2＝4.9．解：(1)设P (x ，y )，圆P 的半径为r . 则y 2＋2＝r 2，x 2＋3＝r 2. ∴y 2＋2＝x 2＋3，即y 2－x 2＝1. ∴P 点的轨迹方程为y 2－x 2＝1. (2)设P 的坐标为(x 0，y 0)，则|x 0－y 0|2＝22，即|x 0－y 0|＝1. ∴y 0－x 0＝±1，即y 0＝x 0±1.①当y 0＝x 0＋1时，由y 20－x 20＝1，得(x 0＋1)2－x 20＝1. ∴⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝0，y 0＝1.∴r 2＝3.∴圆P 的方程为x 2＋(y －1)2＝3.②当y 0＝x 0－1时，由y 20－x 20＝1，得(x 0＋1)2－x 20＝1.∴⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝0，y 0＝－1.∴r 2＝3.∴圆P 的方程为x 2＋(y ＋1)2＝3. 综上所述，圆P 的方程为x 2＋(y ±1)2＝3. 10．解：(1)圆C 的方程可化为x 2＋(y －4)2＝16， 所以圆心为C (0,4)，半径为4.设M (x ，y )，则CM →＝(x ，y －4)，MP →＝(2－x,2－y )． 由题设知，CM →·MP →＝0， 故x (2－x )＋(y －4)(2－y )＝0， 即(x －1)2＋(y －3)2＝2. 由于点P 在圆C 的内部，所以M 的轨迹方程是(x －1)2＋(y －3)2＝2.(2)由(1)知，M 的轨迹是以点N (1,3)为圆心，2为半径的圆．由于|OP |＝|OM |，故点O 在线段PM 的垂直平分线上．又点P 在圆N 上，从而ON ⊥PM .因为ON 的斜率为3，所以l 的斜率为－13.故l 的方程为y ＝－13x ＋83，即x ＋3y －8＝0.则点O 到l 的距离为d ＝|－8|12＋32＝4105. 又点N 到l 的距离为|1×1＋3×3－8|10＝105，则|PM |＝22－⎝⎛⎭⎪⎫1052＝4105. 所以S △POM ＝12×4105×4105＝165.第4讲 直线与圆的位置关系1．D 解析：∵直线3x ＋4y ＝b 与圆心为(1,1)，半径为1的圆相切，∴|3＋4－b |32＋42＝1⇒b ＝2或12.故选D.2．B3．D 解析：依题可设所求切线方程为2x ＋y ＋c ＝0，则有|0＋0＋c |22＋12＝5，解得c ＝±5，所以所求切线的直线方程为2x ＋y ＋5＝0或2x ＋y －5＝0.故选D.4．A 解析：方法一，设过点(3,1)的切线为y －1＝k (x －3)，变形可得kx －y ＋1－3k ＝0.由圆心(1,0)到切线的距离d ＝|k ＋1－3k |k 2＋1＝1，得k ＝43.联立切线与圆的方程可得切点A ，B 的坐标，可得直线AB 的方程．方法二，以点(3,1)与圆心(1,0)的连线为直径求得圆的方程为(x －2)2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －122＝54，⎩⎪⎨⎪⎧x －22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －122＝54，x －12＋y 2＝1.两式相减，得2x ＋y －3＝0.故选A.5．B 解析：由圆x 2＋y 2＋2x －2y ＋a ＝0配方，得 (x ＋1)2＋(y －1)2＝2－a ， 所以圆心为(－1,1)，r ＝2－a .圆心到直线x ＋y ＋2＝0的距离为d ＝|－1＋1＋2|2＝2，所以(2)2＋22＝r 2＝2－a ，a ＝－4.6．C 解析：圆C 标准方程为(x －2)2＋(y －1)2＝4，圆心为C (2,1)，半径为r ＝2，因此2＋a ×1－1＝0，a ＝－1，即A (－4，－1)，|AB |＝|AC |2－r 2＝－4－22＋－1－12－4＝6.故选C.7．D 解析：由光的反射原理知，反射光线的反向延长线必过点(2，－3)，设反射光线所在直线的斜率为k ，则反射光线所在直线的方程为：y ＋3＝k (x －2)，即kx －y －2k －3＝0，由因为光线与圆(x ＋3)2＋(y －2)2＝1相切，所以|－3k －2－2k －3|k 2＋1＝1，整理，得12k 2＋25k ＋12＝0，解得k ＝－43或k ＝－34.故选D.8.⎝⎛⎦⎥⎤512，34 解析：化简曲线y ＝1＋4－x 2并整理得x 2＋(y －1)2＝4(y ≥1)，如图D106，k 1＝4－12－－2＝34，设切线斜率为k 2，切线方程为y －4＝k 2(x －2)，k 2x －y ＋4－2k 2＝0，利用点到直线的距离公式得d ＝|－1＋4－2k 2|k 22＋1＝2,4k 22＋4＝4k 22－12k 2＋9，k 2＝512，所以512<k ≤34.图D1069．解：(1)设P (x ，y )，则MN →＝(2,0)，NP →＝(x －1，y )，MP →＝(x ＋1，y )． 由|MN →|·|NP →|＝MN →·MP →， 得2x －12＋y 2＝2(x ＋1)，化简，得y 2＝4x .所以动点P 的轨迹方程为y 2＝4x . (2)由A (t,4)在轨迹y 2＝4x 上， 则42＝4t ，解得t ＝4，即A (4,4)． 当m ＝4时，直线AK 的方程为x ＝4， 此时直线AK 与圆x 2＋(y －2)2＝4相离． 当m ≠4时，直线AK 的方程为y ＝44－m(x －m )， 即4x ＋(m －4)y －4m ＝0.圆x 2＋(y －2)2＝4的圆心(0,2)到直线AK 的距离为d ＝|2m ＋8|16＋m －42，令d <2，解得m <1； 令d ＝2，解得m ＝1； 令d >2，解得m >1. 综上所述，当m <1时，直线AK 与圆x 2＋(y －2)2＝4相交；当m ＝1时，直线AK 与圆x 2＋(y －2)2＝4相切； 当m >1时，直线AK 与圆x 2＋(y －2)2＝4相离．10．解：(1)圆C 1：x 2＋y 2－6x ＋5＝0化为(x －3)2＋y 2＝4，所以圆C 1的圆心坐标为(3,0)． (2)设线段AB 的中点Μ(x 0，y 0)，由圆的性质可得C 1Μ垂直于直线l . 设直线l 的方程为y ＝mx (易知直线l 的斜率存在)， 所以kC 1Μ·m ＝－1，y 0＝mx 0. 所以y 0x 0－3·y 0x 0＝－1，所以x 20－3x 0＋y 20＝0，即⎝⎛⎭⎪⎫x 0－322＋y 20＝94. 因为动直线l 与圆C 1相交，所以|3m |m 2＋1<2，所以m 2<45.所以y 20＝m 2x 20<45x 20.所以3x 0－x 20<45x 20.解得x 0>53或x 0<0.又因为0<x 0≤3，所以53<x 0≤3.所以M (x 0，y 0)满足⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0－322＋y 20＝94⎝ ⎛⎭⎪⎫53<x 0≤3. 即Μ的轨迹C 的方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －322＋y 2＝94⎝ ⎛⎭⎪⎫53<x ≤3.(3)由题意知直线L 表示过定点T (4,0)，斜率为k 的直线．结合图形(如图D107)，⎝ ⎛⎭⎪⎫x －322＋y2＝94⎝⎛⎭⎪⎫53<x≤3表示的是一段关于x轴对称，起点为⎝⎛⎭⎪⎫53，－2 53按逆时针方向运动到⎝⎛⎭⎪⎫53，2 53的圆弧．根据对称性，只需讨论在x轴对称下方的圆弧．设P⎝⎛⎭⎪⎫53，－2 53，则k PT＝2 534－53＝2 57，而当直线L与轨迹C相切时，⎪⎪⎪⎪⎪⎪3k2－4kk2＋1＝32，解得k＝±34.在这里暂取k＝34，因为2 57<34，所以kΡΤ<k.图D107结合图形(如图D107)，可得对于x轴对称下方的圆弧，当0≤k≤2 57或k＝34时，直线L与x轴对称下方的圆弧有且只有一个交点，根据对称性可知：当－2 57≤k<0或k＝－34时，直线L与x轴对称上方的圆弧有且只有一个交点．综上所述，当－2 57≤k≤2 57或k＝±34时，直线L：y＝k(x－4)与曲线C只有一个交点．第5讲椭圆1．D 解析：焦距2c＝2，∴c＝1，故m－4＝c2＝1或4－m＝c2＝1，即m＝5或m＝3.故选D.2．C 解析：△F2PF1是底角为30°的等腰三角形⇒|PF2|＝|F2F1|＝2⎝⎛⎭⎪⎫32a－c＝2c⇔e＝ca＝34.3．C 解析：方法一，⎩⎪⎨⎪⎧|PF 1|＋|PF 2|＝14， ①|PF 1|2＋|PF 2|2＝2c 2＝100，②①2－②，得|PF 1|·|PF 2|＝48. 则12PF F S＝12×48＝24. 方法二，利用公式12PF F S＝b 2tan θ2，得12PF F S＝b 2tan 90°2＝24×tan45°＝24.故选C. 4．D 解析：设|PF 2|＝x ， ∵PF 2⊥F 1F 2，∠PF 1F 2＝30°， ∴|PF 1|＝2x ，|F 1F 2|＝3x . 又|PF 1|＋|PF 2|＝2a ，|F 1F 2|＝2c ， ∴2a ＝3x,2c ＝3x . ∴C 的离心率为e ＝2c 2a ＝33.5.⎝ ⎛⎭⎪⎫x －322＋y 2＝254 解析：设圆心为(a,0)，则半径为4－a ，则(4－a )2＝a 2＋22，解得a ＝32，故圆的方程为⎝⎛⎭⎪⎫x －322＋y 2＝254.6．2 120° 解析：∵a 2＝9，b 2＝2， ∴c ＝a 2－b 2＝9－2＝7.∴|F 1F 2|＝2 7. 又|PF 1|＝4，|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝6，∴|PF 2|＝2. 又由余弦定理，得cos ∠F 1PF 2＝22＋42－ 2 722×2×4＝－12.∴∠F 1PF 2＝120°.7.3－1 解析：由直线方程y ＝3(x ＋c )⇒直线与x 轴的夹角∠MF 1F 2＝π3，且过点F 1(－c,0)．∵∠MF 1F 2＝2∠MF 2F 1， ∴∠MF 2F 1＝π6，即F 1M ⊥F 2M .在Rt △F 1MF 2中，F 1F 2＝2c ，F 1M ＝c ，则F 2M ＝3c .∴由椭圆的第一定义，得2a ＝c ＋3c .∴c a ＝21＋3＝3－1. 8．B 解析：由题意可得A 1(－2,0)，A 2(2,0)，当PA 2的斜率为－2时，直线PA 2的方程为y ＝－2(x －2)，代入椭圆方程，消去y 化简得19x 2－64x ＋52＝0，解得x ＝2或x ＝2619.由点P 在椭圆上得点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫2619，2419，此时直线PA 1的斜率k ＝38.同理，当直线PA 2的斜率为－1时，直线PA 2方程为y ＝－(x －2)，代入椭圆方程，消去y 化简得7x 2－16x ＋4＝0，解得x ＝2或x ＝27.由点P 在椭圆上得点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫27，127，此时直线PA 1的斜率k ＝34.数形结合可知，直线PA 1斜率的取值X 围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤38，34.9．解：(1)由题意，F 2(c,0)，B (0，b )， |BF 2|＝b 2＋c 2＝a ＝2， 又点C ⎝ ⎛⎭⎪⎫43，13在椭圆上， ∴169a 2＋19b2＝1.解得b 2＝1.所以椭圆的方程为x 22＋y 2＝1.(2)直线BF 2的方程为x c ＋y b ＝1，与椭圆方程x 2a 2＋y 2b2＝1联立方程组，解得A 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2a 2ca 2＋c 2，－b 3a 2＋c 2，则点C 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2a 2ca 2＋c 2，b 3a 2＋c 2，kF 1＝b 3a 2＋c 22a 2c a 2＋c 2＋c ＝b 33a 2c ＋c 3，k AB ＝－b c， 由F 1C ⊥AB ，k 1F ·k AB ＝b 33a 2c ＋c 3×⎝ ⎛⎭⎪⎫－b c ＝－1， 即b 4＝3a 2c 2＋c 4.∴(a 2－c 2)2＝3a 2c 2＋c 4.化简，得e ＝c a ＝55. 10．解：(1)过点(c,0)，(0，b )的直线方程为bx ＋cy －bc ＝0， 则原点O 到直线的距离d ＝bc b 2＋c 2＝bca. 由d ＝12c ，得a ＝2b ＝2a 2－c 2.解得离心率c a ＝32. (2)解：由(1)知，椭圆E 的方程为x 2＋4y 2＝4b 2.① 依题意，圆心Μ(－2,1)是线段ΑΒ的中点， 且|AB |＝10.易知，ΑΒ不与x 轴垂直， 设其直线方程为y ＝k (x ＋2)＋1，代入①得(1＋4k 2)x 2＋8k (2k ＋1)x ＋4(2k ＋1)2－4b 2＝0. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则x 1＋x 2＝－8k2k ＋11＋4k 2，x 1x 2＝－42k ＋12－4b21＋4k2. 由x 1＋x 2＝－4，得－8k2k ＋11＋4k 2＝－4，解得k ＝12. 从而x 1x 2＝8－2b 2. 于是|AB |＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫122|x 1－x 2| ＝52x 1＋x 22－4x 1x 2＝10b 2－2.由|AB |＝10，得10b 2－2＝10.解得b 2＝3. 故椭圆Ε的方程为x 212＋y 23＝1.第6讲 双曲线1．2 3y ＝±22x 解析：由题意得：a ＝2，b ＝1，c ＝a 2＋b 2＝2＋1＝3，∴焦距为2c ＝2 3，渐近线方程为y ＝±b a x ＝±22x .2．C 解析：由题意，选项A ，B 的焦点在x 轴，故排除A ，B ，C 项的渐近线方程为 y 24－x 2＝0，即y ＝±2x .故选C.3．D 解析：因为双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的一条渐近线经过点(3，－4)，∴3b ＝4a ，∴9(c2－a 2)＝16a 2，∴e ＝c a ＝53.故选D.4．D 解析：双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的渐近线方程为y ＝±bax ，由点(2，3)在渐近线上，所以ba ＝32，双曲线的一个焦点在抛物线y 2＝4 7x 准线方程x ＝－7上，所以c ＝7，由此可解得a ＝2，b ＝3，所以双曲线方程为x 24－y 23＝1.故选D.5．C 解析：双曲线的渐近线方程为y ＝±bax ，焦点(c,0)到渐近线的距离为d ＝||bc a 2＋b 2＝||bc c＝b ＝3，离心率为e ＝c a＝2，b 2＝c 2－a 2＝4a 2－a 2＝3，a 2＝1，c ＝2, 则C 的焦距等于4.6．D 解析：实数k 满足0<k <5,5－k >0,16－k >0，曲线x 216－y 25－k ＝1的焦距为221－k ，曲线x 216－k －y 25＝1的焦距也为221－k .故选D.7．D 解析：设双曲线方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)，如图D108，|AB |＝|BM |，∠ABM ＝120°，过点M 作MN ⊥x 轴，垂足为N ，在Rt △BMN 中，|BN |＝a ，|MN |＝3a ，故点M 的坐标为M (2a ，3a )，代入双曲线方程得a 2＝b 2＝a 2－c 2，即c 2＝2a 2，所以e ＝ 2.故选D.图D1088．A 解析：由题设知F 1(－3，0)，F 2(3，0)，x 202－y 20＝1，所以MF 1→·MF 2→＝(－3－x 0，－y 0)·(3－x 0，－y 0)＝x 20＋y 20－3＝3y 20－1<0，解得－33<y 0<33.故选A. 9．解：(1)设双曲线C 的方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)．由已知得a ＝3，c ＝2，再由a 2＋b 2＝c 2，得b 2＝1， ∴双曲线C 的方程为x 23－y 2＝1.(2)设A (x A ，y A )，B (x B ，y B )，将y ＝kx ＋2代入x 23－y 2＝1，得(1－3k 2)x 2－6 2kx －9＝0.由题意知，⎩⎪⎨⎪⎧1－3k 2≠0，Δ＝361－k 2＞0，x A ＋x B ＝6 2k 1－3k 2＜0，x A x B ＝－91－3k 2＞0，解得33<k <1. ∴当33<k <1时，直线l 与双曲线左支有两个交点． 10．解：(1)因为圆C 1，C 2关于直线l 对称，圆C 1的圆心C 1的坐标为(4,0)，圆C 2的圆心C 2的坐标为(0,2),显然直线l 是线段C 1C 2的中垂线， 线段C 1C 2中点的坐标是(2,1)，C 1C 2的斜率是k ＝y 1－y 2x 1－x 2＝0－24－0＝－12.所以直线l 的方程是y －1＝－1k(x －2)，即y ＝2x －3.(2)假设这样的点Q 存在．因为点Q 到点A (－2 2，0)的距离减去点Q 到点B (2 2，0)的距离的差为4， 所以点Q 在以A (－2 2，0)和B (2 2，0)为焦点，实轴长为4的双曲线的右支上，即c ＝2 2，a ＝2，b 2＝c 2－a 2＝4.所以点Q 在曲线x 24－y 24＝1(x ≥2)上．又点Q 在直线l 上，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x －3，x 24－y24＝1，消元，得3x 2－12x ＋13＝0.Δ＝122－4×3×13<0，方程组无解，所以直线l 上不存在满足条件的点Q .第7讲 抛物线1．C 2.A3．D 解析：联立⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝4y ，x －2y ＋4＝0，消去y ，得x 2－2x －8＝0.解得x 1＝－2，或x 2＝4.不妨设点A 在y 轴左侧，则A (－2,1)，B (4,4)，F (0,1)．方法一，由题意，得|AF |＝－22＋0＝2，|BF |＝42＋32＝5，|AB |＝36＋9＝35.由余弦定理，得cos ∠AFB ＝AF 2＋BF 2－AB 22AF ·BF ＝－45.方法二，由抛物线的定义，得|AF |＝1－(－1)＝2，|BF |＝4－(－1)＝5，可求AB ＝3 5. ∵FA →＝(－2,0)，FB →＝(4,3)， ∴FA →·FB →＝|FA →||FB →|cos ∠AFB ＝－8. ∴cos ∠AFB ＝－82×5＝－45.4．2 解析：因为抛物线上动点到焦点的距离为动点到准线的距离，因此抛物线上动点到焦点的最短距离为顶点到准线的距离，即p2＝1，p ＝2.5．C 解析：设P (x 0，y 0)，则|PF |＝x 0＋2＝4 2，∴x 0＝3 2.∴y 2＝4 2x 0＝4 2× 3 2＝24，∴|y 0|＝2 6.∵F (2，0)，∴S △POF ＝12|OF |·|y 0|＝12×2×2 6＝2 3.6．B 解析：方法一，设抛物线方程为y 2＝2px (p >0)，则焦点F ⎝ ⎛⎭⎪⎫p2，0，准线l ：x ＝－p2.设过F 的直线与抛物线相交于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，AB 的中点为C ，则由抛物线的定义，。

第3讲 圆的方程配套课时作业1．(2019·辽宁沈阳联考)已知圆C 的半径为2，圆心在x 轴正半轴上，直线3x ＋4y ＋4＝0与圆C 相切，则圆C 的方程为( )A ．x 2＋y 2－2x －3＝0 B ．x 2＋y 2＋4x ＝0 C ．x 2＋y 2＋2x －3＝0 D ．x 2＋y 2－4x ＝0答案 D解析 设圆心为(a,0)(a >0)，由题意知圆心到直线3x ＋4y ＋4＝0的距离d ＝|3a ＋4|32＋42＝3a ＋45＝r ＝2，解得a ＝2，所以圆心坐标为(2,0)，则圆C 的方程为(x －2)2＋y 2＝4，化简得x 2＋y 2－4x ＝0，故选D.2．(2019·江西新余模拟)若圆C 与y 轴相切于点P (0,1)，与x 轴的正半轴交于A ，B 两点，且|AB |＝2，则圆C 的标准方程是( )A ．(x ＋2)2＋(y ＋1)2＝2 B ．(x ＋1)2＋(y ＋2)2＝2 C ．(x －2)2＋(y －1)2＝2 D ．(x －1)2＋(y －2)2＝2 答案 C解析 设线段AB 的中点为D ，则|AD |＝|CD |＝1，∴r ＝|AC |＝2＝|CP |，故C (2，1)，故圆C 的标准方程是(x －2)2＋(y －1)2＝2，故选C.3．(2019·湖北襄阳联考)已知点P (1,2)和圆C ：x 2＋y 2＋kx ＋2y ＋k 2＝0，过点P 作圆C 的切线有两条，则k 的取值范围是( )A ．RB.⎝⎛⎭⎪⎫－∞，233C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－233，233D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－233，0 答案 C解析 圆C ：⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋k 22＋(y ＋1)2＝1－34k 2，因为过点P 有两条切线，所以点P 在圆外，从而⎩⎪⎨⎪⎧1＋4＋k ＋4＋k 2>0，1－34k 2>0，解得－233<k <233.故选C.4．(2019·东莞调研)已知圆C ：x 2＋y 2＋mx －4＝0上存在两点关于直线x －y ＋3＝0对称，则实数m 的值为( )A ．8B ．－4C ．6D ．无法确定答案 C解析 圆上存在关于直线x －y ＋3＝0对称的两点，则x －y ＋3＝0过圆心⎝ ⎛⎭⎪⎫－m2，0，即－m2＋3＝0，∴m ＝6. 5．(2019·承德模拟)曲线x 2＋(y －1)2＝1(x ≤0)上的点到直线x －y －1＝0的距离的最大值为a ，最小值为b ，则a －b 的值是( )A. 2 B ．2 C.22＋1 D.2－1答案 C解析 因为圆心(0,1)到直线x －y －1＝0的距离为22＝2>1，所以半圆x 2＋(y －1)2＝1(x ≤0)到直线x －y －1＝0的距离的最大值为2＋1，最小值为点(0,0)到直线x －y －1＝0的距离，为12，所以a －b ＝2＋1－12＝22＋1，故选C. 6．过三点A (1,3)，B (4,2)，C (1，－7)的圆交y 轴于M ，N 两点，则|MN |＝( ) A ．2 6 B ．8 C ．4 6 D ．10答案 C解析 设圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，将点A ，B ，C 代入，得⎩⎪⎨⎪⎧D ＋3E ＋F ＋10＝0，4D ＋2E ＋F ＋20＝0，D －7E ＋F ＋50＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧D ＝－2，E ＝4，F ＝－20.则圆的方程为x 2＋y 2－2x ＋4y －20＝0.令x ＝0，得y 2＋4y －20＝0，设M (0，y 1)，N (0，y 2)， 则y 1，y 2是方程y 2＋4y －20＝0的两根，由根与系数的关系，得y 1＋y 2＝－4，y 1y 2＝－20， 故|MN |＝|y 1－y 2|＝y 1＋y 22－4y 1y 2＝16＋80＝4 6.7．(2019·四川成都名校联考)已知直线ax ＋by ＋c ＝0与圆O ：x 2＋y 2＝1相交于A ，B 两点，且|AB |＝3，则OA →·OB →的值是( )A ．－12B.12 C ．－43D ．0答案 A解析 在△OAB 中，|OA |＝|OB |＝1，|AB |＝3，可得∠AOB ＝120°，所以OA →·OB →＝1×1×cos120°＝－12.8．(2019·北京海淀期末)已知直线x －y ＋m ＝0与圆O ：x 2＋y 2＝1相交于A ，B 两点，且△OAB 为正三角形，则实数m 的值为( )A.32B.62C.32或－32D.62或－62答案 D解析 由题意得圆O ：x 2＋y 2＝1的圆心坐标为(0,0)，半径r ＝1.因为△OAB 为正三角形，则圆心O 到直线x －y ＋m ＝0的距离为32r ＝32，即d ＝|m |2＝32，解得m ＝62或m ＝－62，故选D.9．(2019·四川成都七中质检)若点P (1,1)为圆x 2＋y 2－6x ＝0的弦MN 的中点，则弦MN 所在直线的方程为( )A ．2x ＋y －3＝0B ．x －2y ＋1＝0C ．x ＋2y －3＝0D ．2x －y －1＝0答案 D解析 x 2＋y 2－6x ＝0化为标准方程为(x －3)2＋y 2＝9，∵P (1,1)为圆(x －3)2＋y 2＝9的弦MN 的中点，又圆心与点P 确定的直线的斜率为1－01－3＝－12，∴弦MN 所在直线的斜率为2，∴弦MN 所在直线的方程为y －1＝2(x －1)，即2x －y －1＝0，故选D.10．(2019·宁夏六盘山模拟)已知圆的方程为x 2＋(y －1)2＝4，圆心为C ，若过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，12的直线l 与此圆交于A ，B 两点，则当∠ACB 最小时，直线l 的方程为( )A ．4x －2y －3＝0B ．x ＋2y －2＝0C ．4x ＋2y －3＝0D ．x －2y ＋2＝0答案 A解析 圆心坐标为(0,1)，当弦长|AB |最小时，∠ACB 最小，此时直线AB 与PC 垂直，k l ＝－11－120－1＝2，所以直线l 的方程为y －12＝2(x －1)，即4x －2y －3＝0，故选A. 11．(2019·聊城模拟)圆(x －3)2＋(y －3)2＝9上到直线3x ＋4y －11＝0的距离等于1的点的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4答案 C解析 因为圆心到直线的距离为|9＋12－11|5＝2，又因为圆的半径为3，所以直线与圆相交，数形结合可知，符合题意的点有3个，故选C.12．已知在圆M ：x 2＋y 2－4x ＋2y ＝0内，过点E (1,0)的最长弦和最短弦分别是AC 和BD ，则四边形ABCD 的面积为( )A ．3 5B ．6 5C ．415D ．215答案 D解析 ∵圆x 2＋y 2－4x ＋2y ＝0可化为(x －2)2＋(y ＋1)2＝5，∴圆心M (2，－1)，半径r ＝5，最长弦为圆的直径，∴AC ＝25，∵BD 为最短弦，∴AC 与BD 垂直，易求得ME ＝2，∴BD ＝2BE ＝25－2＝2 3.∴S四边形ABCD＝S △ABD ＋S △BDC ＝12·BD ·EA ＋12·BD ·EC ＝12·BD ·(EA＋EC )＝12·BD ·AC ＝12×23×25＝215.故选D.13．(2018·太原质检)过点A (4,1)的圆C 与直线x －y －1＝0相切于B (2,1)，则圆C 的方程为________．答案 (x －3)2＋y 2＝2解析 设圆C 的方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2，由题意知，点(a ，b )既在直线y －1＝－(x －2)上，又在AB 的垂直平分线上，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －3＝0，x －3＝0，得圆心C 的坐标为(3,0)，r ＝|AC |＝4－32＋12＝2，所以圆C 的方程为(x －3)2＋y 2＝2.14．(2019·浙江模拟)已知a ∈R ，方程a 2x 2＋(a ＋2)y 2＋4x ＋8y ＋5a ＝0表示圆，则圆心坐标是________，半径是________．答案 (－2，－4) 5解析 由题可得a 2＝a ＋2，解得a ＝－1或a ＝2.当a ＝－1时，方程为x 2＋y 2＋4x ＋8y －5＝0，表示圆，故圆心为(－2，－4)，半径为5.当a ＝2时，方程不表示圆．15．(2019·泰安模拟)已知x ，y 满足x 2＋y 2＝1，则y －2x －1的最小值为________． 答案 34解析y －2x －1表示圆上的点P (x ，y )与点Q (1,2)连线的斜率，∴y －2x －1的最小值是直线PQ 与圆相切时的斜率．设直线PQ 的方程为y －2＝k (x －1)，即kx －y ＋2－k ＝0，由|2－k |k 2＋1＝1，得k ＝34，结合图形可知y －2x －1≥34，∴所求最小值为34.16．(2019·湖北模拟)如图，已知圆C 与x 轴相切于点T (1,0)，与y 轴正半轴交于两点A ，B (B 在A 的上方)，且|AB |＝2.(1)圆C 的标准方程为____________________； (2)圆C 在点B 处的切线在x 轴上的截距为________． 答案 (1)(x －1)2＋(y －2)2＝2 (2)－2－1解析 (1)记AB 的中点为D ，在Rt △BDC 中，易得圆C 的半径r ＝BC ＝ 2.因此圆心C 的坐标为(1，2)，所以圆C 的标准方程为(x －1)2＋(y －2)2＝2.(2)因为点B 的坐标为(0，2＋1)，C 的坐标为(1，2)，所以直线BC 的斜率为－1，所以所求切线的斜率为1.由点斜式得切线方程为y ＝x ＋2＋1，故切线在x 轴上的截距为－2－1.17．已知圆C 过点P (1,1)，且与圆M ：(x ＋2)2＋(y ＋2)2＝r 2(r >0)关于直线x ＋y ＋2＝0对称．(1)求圆C 的方程；(2)设Q 为圆C 上的一个动点，求PQ →·MQ →的最小值． 解 (1)设圆心C (a ，b )，由已知得M (－2，－2)，则⎩⎪⎨⎪⎧a －22＋b －22＋2＝0，b ＋2a ＋2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝0，b ＝0，则圆C 的方程为x 2＋y 2＝r 2， 将点P 的坐标代入得r 2＝2， 故圆C 的方程为x 2＋y 2＝2. (2)设Q (x ，y )，得x 2＋y 2＝2， PQ →·MQ →＝(x －1，y －1)·(x ＋2，y ＋2)＝x 2＋y 2＋x ＋y －4＝x ＋y －2. 令x ＝2cos θ，y ＝2sin θ，所以PQ →·MQ →＝x ＋y －2＝2(sin θ＋cos θ)－2＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4－2， 所以PQ →·MQ →的最小值为－4.18．已知点P (2,2)，圆C ：x 2＋y 2－8y ＝0，过点P 的动直线l 与圆C 交于A ，B 两点，线段AB 的中点为M ，O 为坐标原点．(1)求M 的轨迹方程；(2)当|OP |＝|OM |时，求l 的方程及△POM 的面积．解 (1)圆C 的方程可化为x 2＋(y －4)2＝16，所以圆心为C (0,4)，半径为4. 设M (x ，y )，则CM →＝(x ，y －4)，MP →＝(2－x,2－y )．由题设知CM →·MP →＝0，故x (2－x )＋(y －4)(2－y )＝0，即(x －1)2＋(y －3)2＝2. 所以M 的轨迹方程是(x －1)2＋(y －3)2＝2.(2)由(1)可知M 的轨迹是以点N (1,3)为圆心，2为半径的圆．由于|OP |＝|OM |，故O 在线段PM 的垂直平分线上，又P 在圆N 上，从而ON ⊥PM .因为ON 的斜率为3，所以l 的斜率为－13，故l 的方程为y ＝－13x ＋83.又|OM |＝|OP |＝22，O 到l 的距离为4105，|PM |＝4105，所以△POM 的面积为165.19．(2019·广东汕头模拟)已知圆C 经过(2,4)，(1,3)，圆心C 在直线x －y ＋1＝0上，过点A (0,1)且斜率为k 的直线l 与圆C 相交于M ，N 两点．(1)求圆C 的方程；(2)①请问AM →·AN →是否为定值，若是，请求出该定值，若不是，请说明理由； ②若OM →·ON →＝12(O 为坐标原点)，求直线l 的方程．解 (1)设圆C 的方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2，则依题意，得⎩⎪⎨⎪⎧2－a 2＋4－b 2＝r 2，1－a 2＋3－b 2＝r 2，a －b ＋1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝3，r ＝1，∴圆C 的方程为(x －2)2＋(y －3)2＝1. (2)①AM →·AN →为定值．过点A (0,1)作直线AT 与圆C 相切，切点为T ，易得|AT |2＝7， ∴AM →·AN →＝|AM →|·|AN →|cos0°＝|AT |2＝7， ∴AM →·AN →为定值，且定值为7. ②依题意可知，直线l 的方程为y ＝kx ＋1，设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，将y ＝kx ＋1代入(x －2)2＋(y －3)2＝1并整理，得 (1＋k 2)x 2－4(1＋k )x ＋7＝0，∴x 1＋x 2＝41＋k 1＋k 2，x 1x 2＝71＋k2，∴OM →·ON →＝x 1x 2＋y 1y 2＝(1＋k 2)x 1x 2＋k (x 1＋x 2)＋1＝4k 1＋k 1＋k 2＋8＝12，即4k 1＋k1＋k2＝4，解得k ＝1，又当k ＝1时Δ>0，∴k ＝1， ∴直线l 的方程为y ＝x ＋1.20．(2019·江西赣州模拟)已知经过P (4，－2)，Q (－1,3)两点的圆C 半径小于5，且在y 轴上截得的线段长为4 3.(1)求圆C 的方程；(2)已知直线l ⊥PQ ，若l 与圆C 交于A ，B 两点，且以线段AB 为直径的圆经过坐标原点，求直线l 的方程．解 (1)设圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，令x ＝0，得y 2＋Ey ＋F ＝0，∴y 1＋y 2＝－E ，y 1y 2＝F ，∴43＝|y 1－y 2|＝y 1＋y 22－4y 1y 2＝E 2－4F ， ∴E 2－4F ＝48.①又圆过P (4，－2)，Q (－1,3)两点，故⎩⎪⎨⎪⎧16＋4＋4D －2E ＋F ＝0，1＋9－D ＋3E ＋F ＝0，整理⎩⎪⎨⎪⎧4D －2E ＋F ＝－20，－D ＋3E ＋F ＝－10，消去D 得2E ＋F ＝－12，②由①②得⎩⎪⎨⎪⎧D ＝－2，E ＝0，F ＝－12或⎩⎪⎨⎪⎧D ＝－10，E ＝－8，F ＝4，而圆的半径小于5，故D 2＋E 2－4F4<25，故舍去⎩⎪⎨⎪⎧D ＝－10，E ＝－8，F ＝4，所以圆的方程为x 2＋y 2－2x －12＝0.(2)k PQ ＝3－－2－1－4＝－1，设l 的方程为x －y ＋m ＝0，由⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋m ＝0，x 2＋y 2－2x －12＝0消去y ，得2x 2＋(2m －2)x ＋m 2－12＝0. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则x 1＋x 2＝1－m ，x 1x 2＝m 2－122.因为以AB 为直径的圆过原点，所以OA ⊥OB ， 即OA →·OB →＝0，故x 1x 2＋y 1y 2＝x 1x 2＋(x 1＋m )(x 2＋m )＝0， 整理得m 2＋m －12＝0，解得m ＝3或m ＝－4. 当m ＝3或m ＝－4均满足Δ>0， 故l 的方程为x －y ＋3＝0或x －y －4＝0.。

2019版高考数学一轮复习第七章解析几何第4讲直线与圆的位置关系课时作业理编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（2019版高考数学一轮复习第七章解析几何第4讲直线与圆的位置关系课时作业理）的内容能够给您的工作和学习带来便利。

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第4讲直线与圆的位置关系1．(2015年安徽）直线3x＋4y＝b与圆x2＋y2－2x－2y＋1＝0相切，则b＝( ）A．－2或12 B．2或－12C．－2或－12 D．2或122．若圆C1：x2＋y2＋2ax＋a2－4＝0(a∈R）与圆C2:x2＋y2－2by－1＋b2＝0（b∈R）恰有三条切线，则a＋b的最大值为( )A．－3 错误! B．－3 C．3 D．3 错误!3．过点（3,1)作圆(x－1)2＋y2＝1的两条切线，切点分别为A，B，则直线AB的方程为（)A．2x＋y－3＝0 B．2x－y＋3＝0C．4x－y－3＝0 D．4x＋y－3＝04．（2015年重庆）已知直线l：x＋ay－1＝0(a∈R)是圆C：x2＋y2－4x －2y＋1＝0的对称轴．过点A（－4，a）作圆C的一条切线，切点为B,则|AB|＝( )A．2 B．4 错误! C．6 D．2错误!5．(2015年山东）一条光线从点(－2，－3）射出,经y轴反射后与圆（x ＋3）2＋（y－2)2＝1相切，则反射光线所在直线的斜率为（) A．－错误!或－错误! B．－错误!或－错误!C．－错误!或－错误! D．－错误!或－错误!6．由直线y＝x＋1上的动点P向圆C：(x－3）2＋y2＝1引切线，则切线长的最小值为( ）A．1 B．2 错误! C.错误! D．37．（2017年广东调研）若直线x＋y＝1与曲线y＝错误!（a>0）恰有一个公共点，则a的取值范围是( ）A．a＝错误! B．a〉1或a＝错误!C.错误!≤a〈1D.错误!〈a〈18．(2016年新课标Ⅲ)已知直线l：x－错误!y＋6＝0与圆x2＋y2＝12交于A，B两点，过A，B分别作l的垂线与x轴交于C，D两点，则|CD｜＝____________.9．(2016年吉林实验中学三模)已知圆C的圆心C在第一象限，且在直线3x－y＝0上，该圆与x轴相切，且被直线x－y＝0截得的弦长为2 错误!，直线l：kx－y－2k＋5＝0与圆C相交．（1)求圆C的标准方程;(2)求出直线l所过的定点;当直线l被圆所截得的弦长最短时,求直线l 的方程及最短的弦长．10．已知方程x2＋y2－2x－4y＋m＝0。

第3讲圆的方程1.(2016年新课标II)圆#+y—2x—8y+13 = 0的圆心到直线a%+y—1=0的距离为1, 则a=()4 32.若实数x, y满足/+#+4x—2y—4 = 0,则的最大值是（）A.^5 + 3B. 6 &+14C. 一& + 3D. 一6&+143.若直线ax+2by-2 = 0（a>0f 0>0）始终平分圆x+y~Ax-2y-8 = 0的周长，则丄a 2+鼻的最小值为（）A. 1B. 5C. 4 £D. 3 + 2 型4.若方程x + y —2x+2my+2m —^）in+^ = 0表示圆，则刃的取值范围是____________ ；当半径最大时，圆的方程为_______________________ •X V5.（2015年新课标I）一个圆经过椭圆—+^= 1的三个顶点，且圆心在x轴的正半轴上，则该圆的标准方程为__________________ .6.（2016年浙江）已知已GR,方程ax + （日+2）_/+4x+8p+5日=0表示圆，则圆心坐标是________,半径是_________ .7.（2015年江苏）在平面直角坐标系中，以点（1,0）为圆心且与直线nix-y-2ni-\= 0（/〃WR）相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为 ___________ .8.己知圆心在直线x—2尸0上的圆C与y轴的正半轴相切，圆C截/轴所得弦的长为2 並则圆C的标准方程为______________________ .9.（2013年新课标II）在平面直角坐标系才勿屮，已知圆“在/轴上截得线段长为2辺, 在y轴上截得线段长为2迈.（1）求圆心P的轨迹方程；（2）若P点到直线『=才的距离为半，求圆P的方程.10.（2014年新课标I）已知点"（2,2）,圆C： # + #_8y=0,过点"的动直线/与圆Q 交于儿〃两点，线段力〃的屮点为点0为坐标原点.（1）求必的轨迹方程；（2）当丨OP\ = | OM\时，求直线1的方程及的而积.11. 在平面直角坐标系疋加屮，设二次函数fd)=#+2x+bdWR)的图象与两坐标轴 有三个交点，经过这三个交点的圆记为C(1) 求实数6的取值范围；(2) 求圆C 的方程；(3) 圆C 是否经过某定点(其坐标与b 无关)？请证明你的结论.第3讲圆的方程1.A 解析：由 /+y 2—2A ^—8y+13=0 配方，得(^―I)2+ (y —4)2=4,所以圆心坐标 为(1,4),半径厂=2.因为圆¥+#—2x —8y+13=0的圆心到直线劲+y —1 = 0的距离为1,I 白+4 — 1 4所以=】•解得故选A. +1 J2. A 解析：将 / + # + 4x —2y —4 = 0 转化为标准方程为(^+2)2+(y-l)2=32, V^+7 的最大值是圆心到坐标原点的距离加半径，即J — 2+F+3=& +3.故选A. 3. D 解析：由题意知圆心C(2, 1)在直线ax+2by~2 = 0上，：.2a+2b~2 = 0.整理, 得 a+b=\.23 + 2寸，晋=3 + 2返 当且仅当#=¥，即b=2_y[i,曰=迈一1时，等号成立. ] 9・打+鼻的最小值为3 + 2 y[2.4. 2</?7<4 (^r —I)2+ (y+3)2=l 解析：T 原方程可化为(^― 1)24- (y+/n)2=—/n + 6/zz —8,.*./=-/»+6/77-8 = -(/zz-2) S —4)>0..\2</77<4,当 777=3 时，T 最大为 1 ,此时圆的方程为(^-l)2+(y+3)2=l.5. 卜|)+#=孚 解析：设圆心为30),则半径为4—乩则(4 —解得曰 =|•故圆的方程为卜若+宀孚6. (—2, —4) 5解析：由题意，得扌=曰+2,所以日=—1或2.当日=—1时方程知1)@+方)ft为J+y2+4x+8y—5 = 0,即(x+2)~+(y+4)'=25,圆心为(一2, —4),半径为5,自=2( 1A. ^5时方程为4x +4y+4x+8y+10=0,即x+rj2 + (y+1)2 = 不表示圆.7.(^―l)2+y2=2解析：直线〃A¥—y—2/〃一1 = 0恒过定点(2, —1),由题意，得半径最大的圆的半径旷=「-―H—+—=迈.故所求圆的标准方程为(^-l)2+y=2.8.(A—2)2+(y-l)2=4解析：因为圆心在直线才一2尸0上，所以设圆心为(2a, a)•因为圆C与y轴的正半轴相切，所以白>0, /=2臼.又因为圆Q截x轴所得眩的长为2 ©所以/+(萌)2=(2自)2,所以自=1.则圆C的标准方程为匕一2尸+@—1尸=4.9.解：(1)设P(x, y),圆P的半径为厂.则y+2 = r2, ,+3 = 乂.*./+2 = /+3, B|J y—x = \.・・・圆心"的轨迹方程为(2)设戶的坐标为(及,jo),爲从一加迈un i I,贝IJ寸^ —2，即丨心一如一】••: y()—X)= 土1 ,即.Pb=y ± 1 •①当yo = Xo+ 1 时，由农一£=1,得(Ao+1)2—Ab=l.Ab = O, ・•・ A?=3.必=1.・•・圆戶的方程为/+ (y —1)2 = 3.②当 /)=& — 1 时,由.说一并=1,得(A ()— 1) " — Ab = 1.必=0, 9.*.].\r=3.旳=—1. ・：圆戶的方程为Y + (y+1) ' = 3.综上所述，圆"的方程为,+ (y± 1严=3.10. 解：(1)圆C 的方程可化为++@—4)2=16, 所以圆心为00,4),半径为4.设擀匕，y),则斎 =(x, y —4), ~MP=(2 — x f 2.—y).由题设知勺/・•疏=0,故 x(2_必 + (y —4) (2_y) =0,即(x —l)2+(y —3尸=2.由于点P 在圆C 的内部，所以〃的轨迹方程是(^-1)2+ (y —3尸=2.(2)由⑴知，財的轨迹是以点Ml, 3)为圆心，迈为半径的圆.由于|血=|如|,故点0 在线段/册的垂直平分线上.又点P 在圆艸上，从而ON5.因为OV 的斜率为3,所以直线1的斜率为一£1 o故直线1的方程为 尸一尹+§,即 卄3y —8=0. 则点0到直线1的距离为時扌詳£=零. 又点"到直线1的距离为1X1+Q-8 =零54伍5 - 所以皿十零 ><師-西厶 011. 解：(1)令^=0,得抛物线与y 轴交点是(0,方)，令f{x) =x +2x+ b=0,由题意方HO,且A >0,解得方VI,且Z?HO.(2) 设所求圆的一般方程为#+#+/+£y+eo,令y=0,得x+Dx+F=0,且/+%+尸=0这与x+2x+b=Q f 是同一个方程，故〃 =2, F=b.令x=0,得y'+上p+Z?=O,此方程有一个根为6,代入，得岀E= — b —L 所以圆Q 的方程为x +y 2+2^—(方+1)y+方=0.(3) 0 Q 必过定点(0, 1)和(一2, 1).证明如下：将(0,1)代入圆C 的方程，得左边=02+l 2+2X0- (A+l) X l + A=0,右边=0・ 所以圆Q 必过定点(0, 1).同理可证圆G 必过定点(-2,1). 5 5* 则刚=2。