第3章 动态规划(part2)
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第3章动态规划法
算法设计与分析 2
问题的分解
将待求解问题分解为若干子问题，通过子问题的解得 到原问题的解，这是问题求解的有效途径。但是如何 实施分解？ 分治策略的基本思想是将规模为n的问题分解为k个规 模较小的子问题，各子问题相互独立但与原问题求解 策略相同。并不是所有问题都可以这样处理。 问题分解的另一个途径是将求解过程分解为若干阶段 （级），依次求解每个阶段即得到原问题的解。通过 分解得到的各子阶段不要求相互独立，但希望它们具 有相同类型，而且前一阶段的输出可以作为下一阶段 的输入。这种策略特别适合求解具有某种最优性质的 问题。 贪心法属于这类求解策略：对问题P(n)，其求解过程 中各贪心选择步骤构成决策序列D=<D1,D2,..Dk>。Di 的最优性仅依赖于D1,D2,..Di-1。贪心法不保证决策 序列D最后求出解的最优性。
算法设计与分析 8
MultiStage_Graph算法复杂度
G用邻接矩阵表示，对于S2到S5的主循环执行 n次。为求满足wjr+cr=min{wji+ci|<j,i>是G的边} 的r，最多要求n-1次比较。因此时间复杂性为 O(n2)。除输入G，输出P外，要求附加存储空 间c、D。 如果G采用邻接表表示，求满足最小性的节点r 仅对属于G的边<j,r>访问一次，此算法的时间 复杂性应该为O(n+e)（e为G的边数）。 一般地，为避免递归过程中的重复计算，每个 子问题首次处理时将结果保存以备查。在上面 的过程中，每一次求得的cj都必须记录下来。
算法设计与分析 5
一个多段图例子
阶段4: C(7,t)=w(7,t)=8 ，C(8,t)=w(8,t)=4 记 D(u,v)是G中起点为 u,终点为v的最短路径，C(u,v) 阶段 3: C(4,t)=min{w(4,7)+C(7,t), w(4,8)+C(8,t)}=12 是该路径上各边权的和。设 D(s,t)= <s,vi1,vi2…vik-1,t>，vir C(5,t)=min{w(5,7)+C(7,t), w(5,8)+C(8,t)}=10 属于Vr （r=1,2..k-1），则D(vi1 ,t)= <vi1,vi2,…vik-1,t>是从 C(6,t)=min{w(6,7)+C(7,t), w(6,8)+C(8,t)}=8 vi1出发到 t的最短路径，D(vi2,t)= <vi2,…vik-1,t>是从vi2出 阶段 2: C(1,t)=min{w(1,4)+C(4,t), w(1,5)+C(5,t)}=19 发到 t的最短路径等等。设 u属于 Vi，有： C(2,t)=min{w(2,4)+C(4,t), w(2,5)+C(5,t), w(2,6)+C(6,t)}=17 C(u,t)=min{w(u,v)+C(v,t)} (4.1) C(3,t)=min{w(3,5)+C(5,t), w(3,6)+C(6,t)}=13 v∈Vi+1 阶段1: C(s,t)=min{w(s,1)+C(1,t), w(s,2)+C(2,t), w(s,3)+C(3,t)}=16 算法设计与分析 沿求解中带下划线的项回溯，得最短路径解： D(s,t)= <s,3,5,8,t>6
动态规划
多阶段决策问题中，各个阶段采取的决策，一般来说是与时间有关的，决策依赖于当前状态，又随即引起状 态的转移，一个决策序列就是在变化的状态中产生出来的，故有“动态”的含义，称这种解决多阶段决策最优化 问题的方法为动态规划方法 。
任何思想方法都有一定的局限性，超出了特定条件，它就失去了作用。同样，动态规划也并不是万能的。适 用动态规划的问题必须满足最优化原理和无后效性 。
动态规划
运筹学的分支
01 原理
03 局限性
目录
02 分类
动态规划（Dynamic Programming，DP）是运筹学的一个分支，是求解决策过程最优化的过程。20世纪50年 代初，美国数学家贝尔曼（R.Bellman）等人在研究多阶段决策过程的优化问题时，提出了著名的最优化原理， 从而创立了动态规划。动态规划的应用极其广泛，包括工程技术、经济、工业生产、军事以及自动化控制等领域， 并在背包问题、生产经营问题、资金管理问题、资源分配问题、最短路径问题和复杂系统可靠性问题等中取得了 显著的效果 。
最优化原理可这样阐述：一个最优化策略具有这样的性质，不论过去状态和决策如何，对前面的决策所形成 的状态而言，余下的诸决策必须构成最优策略。简而言之，一个最优化策略的子策略总是最优的。一个问题满足 最优化原理又称其具有最优子结构性质 。
将各阶段按照一定的次序排列好之后，对于某个给定的阶段状态，它以前各阶段的状态无法直接影响它未来 的决策，而只能通过当前的这个状态。换句话说，每个状态都是过去历史的一个完整总结。这就是无后向性，又 称为无后效性 。
状态：状态表示每个阶段开始面临的自然状况或客观条件，它不以人们的主观意志为转移，也称为不可控因 素。在上面的例子中状态就是某阶段的出发位置，它既是该阶段某路的起点，同时又是前一阶段某支路的终点 。
动态规划.pdf
第三章：动态规划3.1 动态规划的基本概念一、动态决策问题：决策过程具有阶段性和时序性(与时间有关)的决策问题。
即决策过程可划分为明显的阶段。
二、什么叫动态规划(D.P.–Dynamic Program)：多阶段决策问题最优化的一种方法。
广泛应用于工业技术、生产管理、企业管理、经济、军事等领域。
三、动态规划(D.P.)的起源：1951年,(美)数学家R.Bellman等提出最优化原理，从而建立动态规划，名著《动态规划》于1957年出版。
四、动态决策问题分类：1、按数据给出的形式分为：•离散型动态决策问题。
•连续型动态决策问题。
2、按决策过程演变的性质分为：•确定型动态决策问题。
•随机型动态决策问题。
五1、阶段(stage)n ：作出决策的若干轮次。
n = 1、2、3、4、5。
2、状态(state)S n ：每一阶段的出发位置。
构成状态集，记为S nS 1={A}，S 2={B 1,B 2,B 3}，S 3={C 1,C 2,C 3}，S 4={D 1,D 2,D 3}，S 5={E 1,E 2}。
阶段的起点。
3、决策(decision)X n ：从一个阶段某状态演变到下一个阶段某状态的选择。
构成决策集，记为D n (S n )。
阶段的终点。
D 1(S 1)={X 1(A)}={B 1,B 2,B 3}= S 2，D 2(S 2)={X 2(B 1),X 2(B 2),X 2(B 3)}={C 1,C 2,C 3}=S 3，D 3(S 3)={X 3(C 1),X 3(C 2),X 3(C 3)}={D 1,D 2,D 3}=S 4，D 4(S 4)={X 4(D 1),X 4(D 2),X 4(D 3)}={E 1,E 2}=S 5D 5(S 5)={X 5(E 1),X 5(E 2)}={F;F}={F}。
4、策略(policy)：全过程中各个阶段的决策Xn 组成的有序总体{Xn }。
如 A àB2àC1àD1àE2àF5、子策略(sub-policy)：剩下的n个阶段构成n子过程，相应的决策系列叫n子策略。
动态规划的基本原理和基本应用
动态规划的基本原理和基本应用动态规划（Dynamic Programming）是一种通过将一个问题分解为较小的子问题并存储子问题的解来解决复杂问题的方法。
动态规划的基本原理是通过记忆化或自底向上的迭代方式来求解问题，以减少不必要的重复计算。
它在计算机科学和数学中具有广泛的应用，尤其是在优化、组合数学和操作研究等领域。
1.确定最优子结构：将原问题分解为较小的子问题，并且子问题的最优解能够推导出原问题的最优解。
2.定义状态：确定存储子问题解的状态变量和状态方程。
3.确定边界条件：确定初始子问题的解，也称为边界状态。
4.递推计算：利用状态方程将子问题的解计算出来，并存储在状态变量中。
5.求解最优解：通过遍历状态变量找到最优解。
1.背包问题：背包问题是动态规划的经典应用之一、它有多种变体，其中最基本的是0/1背包问题，即在限定容量的背包中选择物品，使得所选物品的总价值最大。
可以使用动态规划的思想来解决背包问题，确定状态为背包容量和可选物品，递推计算每个状态下的最优解。
2. 最长递增子序列：最长递增子序列（Longest Increasing Subsequence）是一种常见的子序列问题。
给定一个序列，找到其中最长的递增子序列。
可以使用动态规划来解决这个问题，状态可以定义为以第i个元素为结尾的最长递增子序列的长度，并递推计算每个状态的解。
3.矩阵链乘法：矩阵链乘法是一种优化矩阵连乘计算的方法。
给定一系列矩阵，求解它们相乘的最小计算次数。
可以使用动态规划解决矩阵链乘法问题，状态可以定义为矩阵链的起始和结束位置，递推计算每个状态下最小计算次数。
4.最短路径问题：最短路径问题是在有向图或无向图中找到两个节点之间最短路径的问题。
可以使用动态规划解决最短路径问题，状态可以定义为起始节点到一些节点的最短距离，递推计算每个状态的最优解。
第3章 动态规划_作业-3.22
0.36
0 1 2 3
1 0.24
2
3
4
5
6 1
0
1
2
3
4
5
6
0
0.6
0.18
1
0
0.36
0.09
2
1 2
0
0.31
0.13 0.56
3 4 0.3 0.42
2 3
4
5 6 7
0
4 4
0
4
5
6 7
5 5
0
0.06
5 6
k 3 : C ( 3, 2 ) C ( 4 , 4 ) C ( 3,4) m in k 4 : C ( 3 , 3 ) C ( 5 ,4 )
式1 式2
C(i, j)=min{C(i, k-1)+C(k+1, j)+w(i,j)} (1≤i≤j≤n, i≤k≤j) =min{C(i, k-1)+C(k+1, j)}+w(i,j) (1≤i≤j≤n, i≤k≤j) 式3
0 1 0.24 2 3 4 5 6 1 2 0.09 3 0.13 4 0.3 5 0.06 6 7 0 1 2 3 4 5 6
s
0 0.18 0.42 0.6
C(i, i-1)=0 (1≤i≤n+1) C(i, i)=pi (1≤i≤n)
式1 式2
C(i, j)=min{C(i, k-1)+C(k+1, j)+w(i,j)} (1≤i≤j≤n, i≤k≤j) =min{C(i, k-1)+C(k+1, j)}+w(i,j) (1≤i≤j≤n, i≤k≤j) 式3
动态规划算法的详细原理及使用案例
动态规划算法的详细原理及使用案例一、引言动态规划是一种求解最优化问题的算法，它具有广泛的应用领域，如机器学习、图像处理、自然语言处理等。
本文将详细介绍动态规划算法的原理，并提供一些使用案例，以帮助读者理解和应用这一算法的具体过程。
二、动态规划的基本原理动态规划算法通过将问题分解为多个子问题，并利用已解决子问题的解来求解更大规模的问题。
其核心思想是利用存储技术来避免重复计算，从而大大提高计算效率。
具体来说，动态规划算法通常包含以下步骤：1. 定义子问题：将原问题分解为若干个子问题，这些子问题具有相同的结构，但规模更小。
这种分解可以通过递归的方式进行。
2. 定义状态：确定每个子问题的独立变量，即问题的状态。
状态具有明确的定义和可计算的表达式。
3. 确定状态转移方程：根据子问题之间的关系，建立状态之间的转移方程。
这个方程可以是简单的递推关系式、递归方程或其他形式的方程。
4. 解决问题：使用递推或其他方法，根据状态转移方程求解每个子问题，直到获得最终解。
三、动态规划的使用案例1. 背包问题背包问题是动态规划算法的经典案例之一。
假设有一个背包，它能容纳一定重量的物品，每个物品有对应的价值。
目的是在不超过背包总重量的前提下，选取最有价值的物品装入背包。
这个问题可以通过动态规划算法来求解。
具体步骤如下：（1）定义问题：在不超过背包容量的限制下，选取物品使得总价值最大化。
（2）定义状态：令dp[i][j]表示将前i个物品放入容量为j的背包中所能获得的最大价值。
（3）状态转移方程：dp[i][j] = max(dp[i-1][j-w[i]]+v[i], dp[i-1][j])，其中w[i]为第i个物品的重量，v[i]为第i个物品的价值。
（4）解决问题：根据状态转移方程依次计算每个子问题的解，并记录最优解，直到获得最终答案。
2. 最长公共子序列最长公共子序列（Longest Common Subsequence，简称LCS）是一种经典的动态规划问题，它用于确定两个字符串中最长的共同子序列。
动态规划(生产和存储问题)
动态规划（生产和存储问题）一、动态规划法的发展及其研究内容动态规划是运筹学的一个分支，是求解决策过程最优化的数学方法。
20世纪50年代初美国数学家R.E.BELLMAN等人在研究多阶段决策过程的优化问题时，提出了著名的最优化原理，把多阶段问题转化为一系列的单阶段问题，逐个求解创立了解决这类过程优化问题的新方法——动态规划。
1957年出版的他的名著《Dynamic Proggramming》，这是该领域的第一本著作。
动态规划问世以来，在经济管理·生产调度·工程技术和最优控制等方面得到了广泛的应用。
例如最短路线·库存管理·资源分配·设备更新·组合·排序·装载等问题，采用动态规划法求解比用其他方法更为简便。
二、动态规划法基本概念一个多阶段决策过程最优化问题的动态规划模型通常包括以下几个要素：1．阶段阶段（stage）是对整个过程的自然划分。
通常根据时间顺序或是空间特征来划分阶段，对于与时间，空间无关的“静态”优化问题，可以根据其自然特征，人为的赋予“时段”概念，将静态问题动态化，以便按阶段的顺序解优化问题。
阶段变量一般用k=1.2….n.表示。
1.状态状态(state)是我们所研究的问题（也叫系统）在过个阶段的初始状态或客观条件。
它应能描述过程的特征并且具有无后效性，即当某阶段的状态给定时，这个阶段以后的过程的演变与该阶段以前各阶段的状态无关。
通常还要求状态是可以直接或者是间接可以观测的。
描述状态的变量称为状态变量（State Virable）用s 表示，状态变量的取值集合称为状态集合，用S表示。
变量允许取值的范围称为允许状态集合(set of admissble states).用x(k)表示第k阶段的状态变量，它可以是一个数或者是一个向量。
用X(k)表示第k阶段的允许状态集合。
n 个阶段的决策过程有n+1个状态变量，x(n+1)是x(n)的演变的结果。
动态规划算法教学PPT
03
动态规划算法的实现步骤
明确问题，建立数学模型
1
确定问题的目标和约束条件，将其转化为数学模 型。
2
理解问题的阶段划分，将问题分解为若干个子问 题。
3
确定状态变量和决策变量，以便描述子问题的状 态和决策。
划分阶段，确定状态变量和决策变量
01
根据问题的阶段划分，将问题分解为若干个子问题。
02
确定状态变量和决策变量，以便描述子问题的状态 和决策。
02
将子问题的最优解组合起来，得到原问题的最优解。
对最优解进行验证和性能评估，确保其满足问题的要求。
03
04
动态规划算法的优化技巧
分支定界法
分支定界法是一种求解优化问题的算 法，它通过不断生成问题的分支并确 定每个分支的界限，来寻找最优解。 在动态规划中，分支定界法可以用来 优化状态转移方程，减少计算量。
详细描述
多目标规划问题在实际生活中应用广泛，如资源分配、项目计划、城市规划等领 域都有涉及。常用的求解多目标规划的方法包括权重和法、帕累托最优解等。
多阶段决策问题
总结词
多阶段决策问题是动态规划中的一类，解决的问题需要在多个阶段做出决策，每个阶段的决策都会影响到后续阶 段的决策。
详细描述
多阶段决策问题在实际生活中应用广泛，如生产计划、库存管理、路径规划等领域都有涉及。常用的求解多阶段 决策问题的方法包括递归法、动态规划等。
特点
动态规划算法具有最优子结构、重叠 子问题和最优解性质等特征。
动态规划算法的应用领域
计算机科学
在计算机科学中，动态规划算法广泛应用于字符 串处理、排序、数据压缩和机器学习等领域。
电子工程
在电子工程中，动态规划算法用于信号处理、通 信和控制系统等领域。
A03_2
int j=i+r-1;
m[i][j] = m[i+1][j]+ p[i-1]*p[i]*p[j]; //k==i s[i][j] = i; for (int k = i+1; k < j; k++) {// i<k<j int t = m[i][k] + m[k+1][j] + p[i-1]*p[k]*p[j]; if (t < m[i][j]) { m[i][j] = t; s[i][j] = k;} } }}
1. 最长公共子序列的结构
设序列X={x1,x2,…,xm}和Y={y1,y2,…,yn}的最长公共子序列为 Z={z1,z2,…,zk} ，则 (1)若xm=yn，则zk=xm=yn，且Zk-1是Xm-1和Yn-1的最长公共子序 列。 (2)若xm≠yn且zk≠xm，则Z是Xm-1和Y的最长公共子序列。 (3)若xm≠yn且zk≠yn，则Z是X和Yn-1的最长公共子序列。 由此可见，2个序列的最长公共子序列包含了这2个序列的前缀 的最长公共子序列。因此，最长公共子序列问题具有最优子结 构性质。
例如：
三、备忘录方法
•备忘录方法的控制结构与直接递归方法的控制结构相同，区别 在于备忘录方法为每个解过的子问题建立了备忘录以备需要时 查看，避免了相同子问题的重复求解。另外，备忘录方法的递 归方式是自顶向下的，而动态规划算法是自底向上递归的。 •为了区分子问题未被计算过，首先初始化m[i][j]的值为0。
public static int recurMatrxiChain(int I,int j) { if(i==j) return 0; int u=recurMatrixChain(i+1,j)+p[i-1]*p[i]*p[j]; s[i][j]=i; for(int k=i+1;k<j;k++){ int t=recurMatrixChain(i,k)+recurMatrixChain(k+1,j)+p[i-1]*p[k]*p[j]; } if(t<u){ u=t; s[i][j]=k;} return u; }
动态规划讲解大全(含例题及答案)
基本模型
多阶段决策过程的最优化问题。 在现实生活中，有一类活动的过程，由于它的特殊性，可将过程分成若干个互相联系的阶段，在 它的每一阶段都需要作出决策，从而使整个过程达到最好的活动效果。当然，各个阶段决策的选取不 是任意确定的，它依赖于当前面临的状态，又影响以后的发展，当各个阶段决策确定后，就组成一个 决策序列，因而也就确定了整个过程的一条活动路线，如图所示：（看词条图） 这种把一个问题看作是一个前后关联具有链状结构的多阶段过程就称为多阶段决策过程，这种问 题就称为多阶段决策问题。
在前面的例子中，第一个阶段就是点 A，而第二个阶段就是点 A 到点 B，第三个阶段是点 B 到点 C，而第四个阶段是点 C 到点 D。
状态：状态表示每个阶段开始面临的自然状况或客观条件，它不以人们的主观意志为转移，也称 为不可控因素。在上面的例子中状态就是某阶段的出发位置，它既是该阶段某路的起点，同时又是前 一阶段某支路的终点。
fout.close(); return 0; }
USACO 2.3 Longest Prefix
题目如下： 在生物学中，一些生物的结构是用包含其要素的大写字母序列来表示的。生物学家对于把长的序 列分解成较短的（称之为元素的）序列很感兴趣。 如果一个集合 P 中的元素可以通过串联（允许重复；串联，相当于 Pascal 中的 “+” 运算符） 组成一个序列 S ，那么我们认为序列 S 可以分解为 P 中的元素。并不是所有的元素都必须出现。 举个例子，序列 ABABACABAAB 可以分解为下面集合中的元素： {A, AB, BA, CA, BBC} 序列 S 的前面 K 个字符称作 S 中长度为 K 的前缀。设计一个程序，输入一个元素集合以及一 个大写字母序列，计算这个序列最长的前缀的长度。 PROGRAM NAME: prefix INPUT FORMAT 输入数据的开头包括 1..200 个元素（长度为 1..10 ）组成的集合，用连续的以空格分开的字 符串表示。字母全部是大写，数据可能不止一行。元素集合结束的标志是一个只包含一个 “.” 的行。 集合中的元素没有重复。接着是大写字母序列 S ，长度为 1..200,000 ，用一行或者多行的字符串 来表示，每行不超过 76 个字符。换行符并不是序列 S 的一部分。 SAMPLE INPUT (file prefix.in) A AB BA CA BBC . ABABACABAABC OUTPUT FORMAT 只有一行，输出一个整数，表示 S 能够分解成 P 中元素的最长前缀的长度。 SAMPLE OUTPUT (file prefix.out) 11 示例程序如下： #include <stdio.h>
多阶段决策过程的最优化问题。 在现实生活中，有一类活动的过程，由于它的特殊性，可将过程分成若干个互相联系的阶段，在 它的每一阶段都需要作出决策，从而使整个过程达到最好的活动效果。当然，各个阶段决策的选取不 是任意确定的，它依赖于当前面临的状态，又影响以后的发展，当各个阶段决策确定后，就组成一个 决策序列，因而也就确定了整个过程的一条活动路线，如图所示：（看词条图） 这种把一个问题看作是一个前后关联具有链状结构的多阶段过程就称为多阶段决策过程，这种问 题就称为多阶段决策问题。
在前面的例子中，第一个阶段就是点 A，而第二个阶段就是点 A 到点 B，第三个阶段是点 B 到点 C，而第四个阶段是点 C 到点 D。
状态：状态表示每个阶段开始面临的自然状况或客观条件，它不以人们的主观意志为转移，也称 为不可控因素。在上面的例子中状态就是某阶段的出发位置，它既是该阶段某路的起点，同时又是前 一阶段某支路的终点。
fout.close(); return 0; }
USACO 2.3 Longest Prefix
题目如下： 在生物学中，一些生物的结构是用包含其要素的大写字母序列来表示的。生物学家对于把长的序 列分解成较短的（称之为元素的）序列很感兴趣。 如果一个集合 P 中的元素可以通过串联（允许重复；串联，相当于 Pascal 中的 “+” 运算符） 组成一个序列 S ，那么我们认为序列 S 可以分解为 P 中的元素。并不是所有的元素都必须出现。 举个例子，序列 ABABACABAAB 可以分解为下面集合中的元素： {A, AB, BA, CA, BBC} 序列 S 的前面 K 个字符称作 S 中长度为 K 的前缀。设计一个程序，输入一个元素集合以及一 个大写字母序列，计算这个序列最长的前缀的长度。 PROGRAM NAME: prefix INPUT FORMAT 输入数据的开头包括 1..200 个元素（长度为 1..10 ）组成的集合，用连续的以空格分开的字 符串表示。字母全部是大写，数据可能不止一行。元素集合结束的标志是一个只包含一个 “.” 的行。 集合中的元素没有重复。接着是大写字母序列 S ，长度为 1..200,000 ，用一行或者多行的字符串 来表示，每行不超过 76 个字符。换行符并不是序列 S 的一部分。 SAMPLE INPUT (file prefix.in) A AB BA CA BBC . ABABACABAABC OUTPUT FORMAT 只有一行，输出一个整数，表示 S 能够分解成 P 中元素的最长前缀的长度。 SAMPLE OUTPUT (file prefix.out) 11 示例程序如下： #include <stdio.h>
《动态规划》课件
特点
动态规划具有最优子结构和重叠子问题的特点，能够通过保存已解决的子问题来避免重复计 算。
应用场景
动态规划广泛应用于路线规划、资源分配、序列匹配等问题，能够有效地解决复杂的优化和 决策问题。
动态规划的优缺点
1 优点
动态规划能够提供最优的解决方案，同时能够高效地解决问题，避免重复计算。
2 缺点
使用动态规划解决问题需要设计状态转移方程，对于复杂问题可能需要较高的思维和计 算复杂度。
《动态规划》PPT课件
欢迎来到《动态规划》PPT课件! 本课程将深入探讨动态规划的应用和技巧， 帮助你理解这一强大的问题求解方法。
什么是动态规划
动态规划是一种通过将问题拆分为更小的子问题，并根据子问题的解来求解 原问题的方法。它可以应用于许多领域，包括优化、组合数学和图论。动态规划的特点 Nhomakorabea应用场景
参考资料
• 经典教材 • 学术论文 • 网络资源
确定问题的初始状态和结束条件，作为动态规划的边界。
4
确定优化方向
选择最优的状态转移路径，以达到问题的最优解。
经典问题解析
斐波那契数列
通过动态规划求解斐波那契数列，可以有效 地避免重复计算，提高计算效率。
最长公共子序列
使用动态规划求解最长公共子序列，可以在 时间复杂度为O(n*m)的情况下找到最长公共 子序列。
最优子结构
定义
最优子结构表示一个问题的最优解可以通过子 问题的最优解来构建。
举例
在路径规划问题中，通过求解子问题的最短路 径，可以获得整个路径规划的最短路径。
重叠子问题
定义
重叠子问题表示一个问题的子问题会被重复计 算多次。
举例
在斐波那契数列中，计算每个数字需要依赖于 前两个数字，导致重复计算了相同的子问题。
动态规划具有最优子结构和重叠子问题的特点，能够通过保存已解决的子问题来避免重复计 算。
应用场景
动态规划广泛应用于路线规划、资源分配、序列匹配等问题，能够有效地解决复杂的优化和 决策问题。
动态规划的优缺点
1 优点
动态规划能够提供最优的解决方案，同时能够高效地解决问题，避免重复计算。
2 缺点
使用动态规划解决问题需要设计状态转移方程，对于复杂问题可能需要较高的思维和计 算复杂度。
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参考资料
• 经典教材 • 学术论文 • 网络资源
确定问题的初始状态和结束条件，作为动态规划的边界。
4
确定优化方向
选择最优的状态转移路径，以达到问题的最优解。
经典问题解析
斐波那契数列
通过动态规划求解斐波那契数列，可以有效 地避免重复计算，提高计算效率。
最长公共子序列
使用动态规划求解最长公共子序列，可以在 时间复杂度为O(n*m)的情况下找到最长公共 子序列。
最优子结构
定义
最优子结构表示一个问题的最优解可以通过子 问题的最优解来构建。
举例
在路径规划问题中，通过求解子问题的最短路 径，可以获得整个路径规划的最短路径。
重叠子问题
定义
重叠子问题表示一个问题的子问题会被重复计 算多次。
举例
在斐波那契数列中，计算每个数字需要依赖于 前两个数字，导致重复计算了相同的子问题。
动态规划(完整)
(3) 决策、决策变量
所谓决策就是确定系统过程发展的方案，
决策的实质是关于状态的选择，是决策者
从给定阶段状态出发对下一阶段状态作出
的选择。
用以描述决策变化的量称之决策变量， 和状态变量一样，决策变量可以用一个数， 一组数或一向量来描述．也可以是状态变量
的函数，记以 xk xk (sk ) ，表示于 k 阶段状
动态规划的分类:
• 离散确定型 • 离散随机型 • 连续确定型 • 连续随机型
动态规划的特点:
• 动态规划没有准确的数学表达式和定义 精确的算法, 它强调具体问题具体分析,
依赖分析者的经验和技巧。
• 与运筹学其他方法有很好的互补关系, 尤 其在处理非线性、离散性问题时有其独 到的特点。
通常多阶段决策过程的发展是通过状态的一系列变换来 实现的。一般情况下，系统在某个阶段的状态转移除与本阶 段的状态和决策有关外，还可能与系统过去经历的状态和决 策有关。因此，问题的求解就比较困难复杂。而适合于用动 态规划方法求解的只是一类特殊的多阶段决策问题，即具有 “无后效性”的多阶段决策过程。
4 6
C1
3
B2 3
4T
3 3
C2
阶段指标函数：
vk sk , xk cskxk
5
A3
B3
过程指标（阶段递推）函数:
fk(sk ) min
vk (sk , xk )
fk
1
(sk
1 )
k= 4
f4 (C1) = 3, f4 (C2) = 4
2
k=3
f3(B1)=min{1+f4(C1)=4*, 4+f4(C2)=8}=4
(6) 指标函数
用来衡量策略或子策略或决策的效果的 某种数量指标，就称为指标函数。它是定义 在全过程或各子过程或各阶段上的确定数量 函数。对不同问题，指标函数可以是诸如费 用、成本、产值、利润、产量、耗量、距离、 时间、效用，等等。
《动态规划算法》课件
总结词
多阶段决策优化
详细描述
背包问题是一个经典的动态规划问题，通过将问题分解 为多个阶段，并为每个阶段定义状态和状态转移方程， 我们可以找到最优解。在背包问题中，我们使用一个二 维数组来存储每个状态的最优解，并逐步更新状态以找 到最终的最优解。
最长公共子序列求解
总结词
字符串匹配优化
详细描述
最长公共子序列问题是一个经典的动态规划问题，用 于找到两个序列的最长公共子序列。通过动态规划， 我们可以避免在寻找公共子序列时进行冗余比较，从 而提高算法效率。在动态规划中，我们使用一个二维 数组来存储子问题的最优解，并逐步构建最终的最长 公共子序列。
动态规划的基本思想
01
将问题分解为子问 题
将原始问题分解为若干个子问题 ，子问题的解可以构成原问题的 解。
02
保存已解决的子问 题
将已解决的子问题的解保存起来 ，以便在求解其他子问题时重复 使用。
03
递推求解
从子问题的解逐步推导出原问题 的解，通常采用自底向上的方式 求解。
02
动态规划算法的步骤
可并行化
动态规划算法可以并行化执行，以提高计算效率，这对于 大规模问题的求解非常有利。
缺点
• 空间复杂度高：动态规划算法需要存储大量的中间状态，因此其空间复杂度通常较高，有时甚至会超过问题规 模的一个指数倍。
• 问题规模限制：由于动态规划算法的空间复杂度较高，因此对于大规模问题的求解可能会遇到困难。 • 可能产生大量重复计算：在动态规划算法中，对于每个子问题，可能会被多次计算和存储，这会导致大量的重复计算和存储空间浪费。 • 不易发现：动态规划算法的应用范围有限，对于一些非最优子结构问题或没有重叠子问题的优化问题，动态规划算法可能不适用。因此，在解决问题时需要仔细分析问题特性，判断是
多阶段决策优化
详细描述
背包问题是一个经典的动态规划问题，通过将问题分解 为多个阶段，并为每个阶段定义状态和状态转移方程， 我们可以找到最优解。在背包问题中，我们使用一个二 维数组来存储每个状态的最优解，并逐步更新状态以找 到最终的最优解。
最长公共子序列求解
总结词
字符串匹配优化
详细描述
最长公共子序列问题是一个经典的动态规划问题，用 于找到两个序列的最长公共子序列。通过动态规划， 我们可以避免在寻找公共子序列时进行冗余比较，从 而提高算法效率。在动态规划中，我们使用一个二维 数组来存储子问题的最优解，并逐步构建最终的最长 公共子序列。
动态规划的基本思想
01
将问题分解为子问 题
将原始问题分解为若干个子问题 ，子问题的解可以构成原问题的 解。
02
保存已解决的子问 题
将已解决的子问题的解保存起来 ，以便在求解其他子问题时重复 使用。
03
递推求解
从子问题的解逐步推导出原问题 的解，通常采用自底向上的方式 求解。
02
动态规划算法的步骤
可并行化
动态规划算法可以并行化执行，以提高计算效率，这对于 大规模问题的求解非常有利。
缺点
• 空间复杂度高：动态规划算法需要存储大量的中间状态，因此其空间复杂度通常较高，有时甚至会超过问题规 模的一个指数倍。
• 问题规模限制：由于动态规划算法的空间复杂度较高，因此对于大规模问题的求解可能会遇到困难。 • 可能产生大量重复计算：在动态规划算法中，对于每个子问题，可能会被多次计算和存储，这会导致大量的重复计算和存储空间浪费。 • 不易发现：动态规划算法的应用范围有限，对于一些非最优子结构问题或没有重叠子问题的优化问题，动态规划算法可能不适用。因此，在解决问题时需要仔细分析问题特性，判断是
动态规划的基本概念和基本原理
史的一个完整总结。只有具有无后效性的多阶段决策过程
才适合于用动态规划方法求解。
2 A1
3
5 B1 4
7
6
B2
5
3
2
C1 2 5 6
C2 3
2
C3 1
D3
1
E 5 D
2
B3 2
3.决策（decision）
C4 7
当各阶段的状态选定以后可以做出不同的决定（或选择）从
而确定下一个阶段的状态，这种决定（或选择）称为决策。
5.状态转移方程（state transfer equation） 设第k阶段状态为sk，做出的决策为uk（sk），则第k+1阶段 的状态sk+1随之确定，他们之间的关系可以表示为：
sk+1=Tk（sk，uk） 表示从第k阶段到第k+1阶段状态转移规律的方程称为状态 转移方程，它反映了系统状态转移的递推规律。
f3
(C3
)
min
d d
3 3
(C3 (C3
, ,
D1) D2 )
f4 (D1) f4 (D2 )
2 3
min1
5
5
u3（C3）=D1
f3（C4）= d3（C4，D2）+ f4（D2）=7+5=12
u3（C4）=D2
5
C1 2
2
A
1
3
B1 4
7
6
B2
5
3
2
5 6 C2 3 2
C3 1
D1 3
4.策略（policy）
当各个阶段的决策确定以后，各阶段的决策形成一个决策序 列，称此决策序列为一个策略。
运筹学课件(动态规划)
（二）、动态规划的基本思想 1、动态规划方法的关键在于正确地写出基本的递推 关系式和恰当的边界条件（简称基本方程）。要做到 这一点，就必须将问题的过程分成几个相互联系的阶 段，恰当的选取状态变量和决策变量及定义最优值函 数，从而把一个大问题转化成一组同类型的子问题， 然后逐个求解。即从边界条件开始，逐段递推寻优， 在每一个子问题的求解中，均利用了它前面的子问题 的最优化结果，依次进行，最后一个子问题所得的最 优解，就是整个问题的最优解。
d( B1,C1 ) + f1 (C1 ) 3+1 f2 ( B1 ) = min d( B1,C2 ) + f1 (C2 ) = min 3+3 d( B1,C3 ) + f1 (C3 ) 1+4 4 = min 6 = 4 (最短路线为B1→C1 →D) 5
3
2 A 4 B2 B1 2 1 3
最优策略为（30，20），此时最大利润为105万元。
f 2 ( 40)
g2 ( y) y 0 ,10 ,, 40
max
f1 ( 40 y )
90
最优策略为（20，20），此时最大利润为90万元。
f 2 (30)
g2 ( y) y 0 ,10 , 20 , 30
max
f1 (30 y )
70
最优策略为（20，10），此时最大利润为70万元。
f 2 ( 20) ma 0 ,10 , 20
50
最优策略为（20，0），此时最大利润为50万元。
f 2 (10) maxg 2 ( y ) f1 (10 y )
3 2 A 4 B2 B1 2 3 1 3 1
C1 C2 4 3
动态规划入门(2)
#include <iostream> #include <stdio.h> #include <cstring> using namespace std;
int main() int main() { { int n,m,dp[105],kase,num[105],v[105],p[105]; int n,m,dp[105],kase,num[105],v[105],p[105]; scanf("%d",&kase); scanf("%d",&kase); while( kase--) while( kase--) { { scanf("%d%d",&n,&m); scanf("%d%d",&n,&m); for(int i=0; i<m; i++) for(int i=0; i<m; i++) scanf("%d%d%d",&p[i],&v[i],&num[i]); scanf("%d%d%d",&p[i],&v[i],&num[i]); memset(dp,0,sizeof(dp)); memset(dp,0,sizeof(dp)); for(int i=0; i<m; i++) for(int i=0; i<m; i++) for(int k=1; k<=num[i]; k++) for(int j=n; j>0; j--) for(int j=n; j>0; j--) for(int k=1; k<=num[i]; k++) if(j-p[i]>=0) if(j-p[i]*k>=0) dp[j]=max(dp[j],dp[j-p[i]]+v[i]); dp[j]=max(dp[j],dp[j-p[i]*k]+k*v[i]); printf("%d\n",dp[n]); printf("%d\n",dp[n]); } } return 0; return 0; } }
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一般情况：设SJ，S0=J，则可证
T(S,t) =min{ai+T(S-{Ji} ,bi+ max( t-ai,0))}
Ji S
T(S,t) =min{ai+T(S-{Ji} ,bi+ max( t-ai,0))} 图例
• 情况1 • 情况2
ai ai
M1
M2
t
M1
bi
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
ai-t
M2
t
bi
ai-t
t ji b j bi a j ai max{ t, ai a j b j , a j }
当作业Ji和Jj满足Johnson不等式时，有
max{ bi ,a j } max{ b j ,ai } ai a j max{ bi ,a j } ai a j max{ b j ,ai } max{ ai a j bi , ai } max{ ai a j b j , a j } max{ t , ai a j bi , ai } max{ t , ai a j b j , a j }
ai bi
M2
一般情况-在M1做作业i的情况
在M2上未完成前面作业时，M1上做作业i的情况 • 情况1 M1 M2
t
ai-t ai
• 情况2
ai
M1
bi
M2
t
ai-t
bi
算法分析
• 一般情况 – 设机器M1开始加工S中作业时，机器M2还 在加工其他作业，要等时间 t 后才可使用,完 成S中作业（两道工序）所需的最短时间记 为T(S,t)。 • 流水作业调度问题变为：求最优值为T(J,0)。
Johnson不等式
对递归式的深入分析表明，算法可进一步得到简化。
设是作业集S在机器M2的等待时间为t时的任一最优
调度。若(1)=i, (2)=j。则由动态规划递归式可得:
T(S,t)=ai+T(S-{Ji},bi+max{t-ai,0})=ai+aj+T(S-{Ji,Jj},tij)
其中，
tij b j bj bj bj max{ bi max{ t ai ,0} a j ,0} bi a j max{max{ t ai ,0}, a j bi } bi a j max{ t ai , a j bi ,0} bi a j ai max{ t , ai a j bi , ai }
T'=T(S,b(1))的证明
• 注：T(S,b(1))是完成S中所有作业的最少时间 • 证明：由T '的定义知对特定安排 ，T'T(S,b(1))。 • 若真T'>T(S,b(1))，设'是作业集S=J-{J(1)}在机器 M2的等待时间为b(1)情况下的一个最优调度。则 (1)，' (2)，…，' (n)是J的一个调度'，且该调 度'所需的时间为a(1)+T(S,b(1))<a(1)+T'。 • 这与是J的最优调度矛盾。故T'T(S,b(1))。从而 T'=T(S,b(1))。 • 这就证明了流水作业调度问题具有最优子结构的性 质。
min{ b (i ) , a ( j ) } min{ b ( j ) , a (i ) }
结论：所有满足Johnson法则的调度均为最优调度。
算法描述
流水作业调度问题的Johnson算法 (1)令
N1 {i | ai bi }, N2 {i | ai bi };
(2)将N1中作业依ai的升序排序；将N2中作业依
算法复杂度分析
• 算法的主要计算时间花在对作业集的排序。因 此，在最坏情况下算法所需的计算时间为
O(nlogn)。所需的空间为O(n)。
3.10 0-1背包问题
0-1背包问题
• 假设给定 n 个物体和一个背包，物体 i 的重量为 wi，价值为vi（i=1,2,……,n），背包能容纳的 物体重量为 c ，要从这 n 个物体中选出若干件放 入背包，使得放入物体的总重量小于等于c，而 总价值达到最大 • 如果用xi=1表示将第i件物体放入背包，用xi=0 表示未放入，则问题变为选择一组 xi （ i=0,1 ） 使得 wx=
v1 v0 Vn-1 Vn-2
vk
vk+1
概念
• 多边形的三角剖分：将多边形分割成互不相交 的三角形的弦的集合T。 • 凸多边形最优三角剖分：给定凸多边形P，以及 定义在由多边形的边和弦组成的三角形上的权函 数w。要求确定该凸多边形的三角剖分，使得该 三角剖分中诸三角形上权之和为最小。
凸多边形三角剖分举例
最优三角剖分的递归结构
• 定义t[i][j]，1≤i<j≤n为凸子多边形{vi-1,vi,…,vj}的最 优三角剖分所对应的权函数值，即其最优值。
• 约定：两个顶点的退化多边形{vi-1,vi}具有权值0。
• 问题转化为：计算的凸(n+1)边形P的最优权值为 t[1][n]。
递归关系
当j-i≥1时，凸子多边形{vi-1, vi,…,vj}至少有3个顶点。对 i≤k≤j-1。 t[i][j]的值可递归计算：
bi + bj -ai bj
如果作业Ji和Jj满足min{aj,bi}≥min{ai,bj}，则称 作业Ji和Jj满足Johnson不等式。
当作业i和j满足Johnson不等式时
• 如交换作业Ji和作业Jj的加工顺序，得到作业集S的 另一调度，它所需的加工时间为 T' (S,t)=ai+aj+T(S-{Ji,Jj},tji) 其中，
结论
• T(J,0)=a(1)+T(J-{J(1)} ,b(1))
如未知作业J(1)是否应该排在第一位，则应考虑 所有任务
• T(J,0)=min{1in}{ai+T(J-{Ji} ,bi)}
递归关系
• T(J,0)=min{1in}{ai+T(J-{Ji} ,bi)}
• 需要计算：T(J-{Ji} ,bi)
v1
vi-1
vi
vj
vk vk+1
t[i][j]=t[i][k]+t[k+1][j]+(vi-1vkvj的权值) k的确切位臵待定，但k的所有可能位臵只有j-i个，从 中可选出使t[i][j]值达到最小的位臵。
t[i][j]的递归定义
0 i j t[i][ j ] min{t[i][k ] t[k 1][ j ] w(vi 1vk v j )} i j i k j
第3章 动态规划 Part 2
上海大学计算机学院
3.5
凸多边形最优三角剖分
凸多边形最优三角剖分
• 凸多边形：用多边形顶点的逆时针序列表示凸 多边形，即P={v0,v1,…,vn-1}表示具有n条边的 凸多边形。
•弦：若vi与vj是多边形上不相邻的2个顶点，则线 段vivj称为多边形的一条弦。弦将多边形分割成2 个多边形{vi,vi+1,…,vj}和{vj,vj+1,…vi}。
bi的降序排序；
(3)N1中作业接N2中作业构成满足Johnson法则
的最优调度。
算法举例
J1 J2 J3 J4 J5 J6
印刷
装订
3
8
12
10
5
9
2
6
9
3
12
1
• N1={1，3，4}， N2={2，5，6}
• N1按ai升序：J4， J1， J3，
• N2按bi降序：J2， J5， J6 • 合并： J4， J1， J3，J2， J5， J6
开始时的情况
• 设是所给n个流水作业的一个最优调度，即已排好作业调 度： (1)， (2)， …，(n)，其中(k){1,2,…,n}，记i=(1)
最优子结构性质
• 设是所给n个流水作业的一个最优调度，即已排 好作业调度： (1)， (2)， …，(n)，其中(i){1,2,…,n} • 设机器M1开始加工J中第一个作业J(1)时，机器M2 可能在等待，它所需的加工时间为 a(1)+T'，其中T’ 是在机器M2的等待时间为b(1)时、安排作业 J(2)，…，J(n)所需的时间，这是最好的时间。 • 记S=J-{J(1)}，则可证明： T'=T(S,b(1))。
三角剖分的结构及其相关问题
•一个表达式的完全加括号方式相应于一棵完全二叉树，称为 表达式的语法树。例如，完全加括号的矩阵连乘积 ((A1(A2A3))(A4(A5A6)))所相应的语法树如图 (a)所示。
三角剖分的结构及其相关问题
•凸多边形{v0,v1,…vn-1}的三角剖分也可以用语法树表示。例如， 图 (b)中凸多边形的三角剖分可用图 (a)所示的语法树表示。
最优三角剖分最优值计算
• 仿矩阵连乘积问题 • 复杂性：时间O(n3)，空间O(n2)
最优三角剖分构造：略
3.9
流水作业调度
流水作业调度
• 问题描述：n个作业{1，2，…，n}要在由2台机器M1和M2 组成的流水线上完成加工。每个作业加工的顺序都是先在 M1上加工，然后在M2上加工。M1和M2加工作业i所需的时 间分别为ai和bi。 • 流水作业调度问题：要求确定这n个作业的最优加工顺序， 使得从第一个作业在机器M1上开始加工，到最后一个作业 在机器M2上加工完成所需的时间最少。 • 一般流水作业调度问题： n个作业{1，2，…，n}要在由m 台机器M1、M2、…、Mm组成的流水线上完成加工。要求确定 这n个作业的最优加工顺序，使m台机器上作业所需的时间最 少。
tij演算