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电磁学第二章

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电磁学02静电场中的导体与介质

电磁学02静电场中的导体与介质

A q -q
-q+q
UA
q'
4 0 R0
q ' 4 0R1
q q '
4 0 R2
0
可得 q ( q) 1(9略)
例4 接地导体球附近有一点电荷,如图所示。
求:导体上感应电荷的电量
R
解: 接地 即 U0
o
感应电荷分布在表面，
l
q
电量设为:Q’（分布不均匀！）
由导体等势，则内部任一点的电势为0
选择特殊点：球心o计算电势，有：
1) Dds
S
1 (
r
1) q0内
l i mq内
V0V
1 (
r
1) limq0内 V0V
1 (
r
1)0
00 0。 40
[例2] 一无限大各向同性均匀介质平板厚度为 d
表明：腔内的场与腔外(包括壳的外表面)
物理 内涵
的电荷及分布无关。
在腔内 E 腔 外表 E 腔 面外 0带
电 量 的电 体 的
二.腔内有带电体时
q
① 带电量： Q腔内 q （用高斯定理易证）
表面
23
② 腔内的电场： 不为零。
由空腔内状况决定，取决于：
*腔内电量q；
*腔内带电体及腔内壁的 几何因素、介质。
平行放置一无限大的不带电导体平板。
0 1 2 求：导体板两表面的面电荷密度。
E２ • E１ 解: 设导体电荷密度为 1、 2 ，
E0 电荷守恒： 1 + 2 = 0
(1)
导体内场强为零：E0 +E1‐E2 = 0
0 1 2 0 20 20 20
（1）、（2）解得：

大学物理电磁学第二章 导体周围的静电场汇总

大学物理电磁学第二章 导体周围的静电场汇总

VO
q
4
0l
dS q 1 S 4 0R 4 ol 4 0R
dS 1 q Q
S
4 0 l R
例5 求金属球的感生电荷。
q
S R
仿上题解题技巧，可得
l
O
V0
1
4
0
q l
q/ R
0
q/
R l
q
q/
2.1.5 平行板导体组例题
解: 根据静电平衡条件有:
例1 求每板表面的电荷密度 在A内:
第二章 有导体时的静电场
本章主要内容：
导体的静电平衡及静电平衡条件，静电场中导体 的电学性质； 电容器及其联接； 电场的能量； 简单介绍静电的应用。
§2.1 静电场中的导体
2.1.1 静电平衡
本节讨论的导体主要是指金属导体，金属导体内部有大量 的自由电子，自由电子时刻作无规则的热运动。
导体刚放入电场
(2) 两球间的电势差(电压)绝
对值与球形电容器的电荷Q成正比，
证明如下。
球壳间
E
Q
4 0r 2
eˆr
-
-
+ + r+
-
-
R2
+ +
R1
-
+
+ +
-
-
-
U
Q R2
R1 4 0
dr r2
Q
4
0
1 R1
1 R2
2、平行板电容器
A
(1) 电荷在两平板相对面内 均匀分布，两面电荷等值异号。
(2) 两枝间的电压与板内壁的 B
+
+Q C -Q

电磁学(新概念)第二章恒磁场2008

电磁学(新概念)第二章恒磁场2008
电流元的线元也用矢量dl1和 dl2来表示，它们指向各自的 电流方向。
先看两电流元共面的情
况，设dl1和dl2成夹角q1,则
dF12 sinq1 这表明：
d l1
//
r12时，θ＝1 0，电流元1对电流元2无作用；
当d l1
r12时，θ＝1 π2，
作用力最大。
普遍情况：dl2不在dl1和r12组成的平面P内。令dl2与P平面的法线n成夹角q2，则
0=4x10-7 牛顿/安培2. 这样确定的电流强度的单位为安培。
对于平行电流元，采用上述比例系数：
dF12
k
I1I 2 dl2
(dl1 r122
rˆ12 )
写成
dF12
0 4
I1 I 2 dl1dl2 r122
这表明：
dl2 P时，q2＝0， 电流元1对电流元 2无作用；
当
dl2在P平面时，q
＝
2
2
，
作用力最大。
dF12 sinq2
2020/10/1
7
将上述三式归纳，有
dF12
I1dl1 sin q1I2dl2
r122
s in q 2
可写成：
dF12
k
I1dl1 sin q1I2dl2
r122
sin q2
（3）dF12的方向在dl1和r12组成的P平面内，并与dl2垂直，上式 可写成矢量式：
dF12
k
I1I 2 dl2
(dl1 r122
rˆ12
)
,
rˆ12是沿r12方向的单位矢量。
式中
矢积dl1
r12的大小为dl1
rˆ12
sinq1
dl1

电磁学习题第二章答案

电磁学习题第二章答案

电磁学习题第二章答案电磁学习题第二章答案电磁学是物理学中的重要分支，研究电荷和电流所产生的电场和磁场以及它们之间的相互作用。

在电磁学的学习过程中，我们经常会遇到一些习题，通过解答这些习题可以更好地理解电磁学的原理和应用。

本文将针对电磁学习题第二章的答案进行探讨和解析。

第二章主要涉及电场的基本概念和性质，包括电场的定义、电场强度、电势、电场线等。

下面我们将逐个习题进行解答。

1. 一个点电荷Q在真空中产生的电场强度E与距离r的关系是什么？根据库仑定律，点电荷Q产生的电场强度E与距离r的关系为E = kQ/r^2，其中k为库仑常数。

2. 两个相同大小的正电荷相距一定距离，它们之间的电场强度是多少？由于两个正电荷的电场强度方向相同，根据叠加原理，它们之间的电场强度等于每个电荷单独产生的电场强度的矢量和。

所以，两个相同大小的正电荷之间的电场强度是2倍每个电荷单独产生的电场强度。

3. 一个带电粒子在电场中沿电场线运动，它的电势能是增加还是减少？当带电粒子沿电场线方向运动时，电场力对其做功，使得粒子的电势能增加。

因此，带电粒子在电场中沿电场线运动时，它的电势能是增加的。

4. 两个带电粒子之间的电势差与它们的电势能有什么关系？两个带电粒子之间的电势差等于其中一个粒子的电势能减去另一个粒子的电势能。

所以，两个带电粒子之间的电势差与它们的电势能有直接的关系。

5. 一个电荷在电场中沿闭合路径运动，它的电势能是否发生变化？当一个电荷在电场中沿闭合路径运动时，它的电势能不发生变化。

这是因为电势能是与位置有关的，而沿闭合路径运动的电荷回到起始位置时，位置没有发生改变，所以电势能也不发生变化。

通过以上习题的解答，我们对电场的基本概念和性质有了更深入的理解。

电场是电荷所产生的一种物理场，它可以通过电场强度和电势来描述。

电场强度是电场在某一点的力的大小，而电势则是电场在某一点的能量。

了解电场的性质和特点对于理解电磁学的其他内容非常重要。

第2章电磁学

第2章电磁学

1.000021 1.000012 1.000180
250 4000 105
与介质的电性能一样，媒质的磁性能也有均匀与非均 匀，线性与非线性、各向同性与各向异性等特点。
若媒质的磁导率不随空间变化，则称为均匀媒质，反
之，则称为非均匀媒质。若磁导率与外加磁场强度的大 小及方向均无关，磁感应强度与磁场强度成正比，则称 为各向同性的线性媒质。否则，称为各向异性的媒质。
2π r
a
0
y
x

r≤a时
14 8 3 I ( r 4 r ) 2 rdr r r 0 2 3
r 2
a 2
14 8 3 r>a时 I ( r 4 r ) 2 rdr a a 0 2 3
例：内、外半径分别为a和b的圆筒形磁介质中，沿轴向有电流密度为 J e zJ 0 的传导电流。设磁介质的磁导率为μ，求各处的B和H以及磁介质的 磁化强度M。 z
c
S
2
S
1
真空电容器中通过的时变电流是什么？
i
不是由电子运动形成的传导电流或运流电 流，而是人为定义的位移电流。
静电场的高斯定律
q J d S S t

S
D d Sq 同样适用于时变电场。代入
，得
D J S 0 d S t
相应的微分形式为 显然，上式中
2.5.2 位移电流
按载流子的有无及其在不同材料中的运动情况，电流可 分为：传导电流，运流电流及位移电流。 传导电流是媒介中的自由电子(或正负离子)在电场作用下 穿过媒介原子晶格形成的电荷位移。
运流电流是电荷在真空中运动或者依附在运动物体上为 其所搬运而形成的电荷位移。

电磁学第二章

电磁学第二章

第二章 导体周围的静电场重点1、电场与物质相互作用:2、本章: 金属导体， 静电场3、根据: 高斯定理、环路定理§1 静电场中的导体1. 导体的电性质 (经典观点)导体静电平衡：无宏观电流, 电荷分布不再改变——静电场宏观电荷分布—带电2. 导体静电平衡条件E 内=E 外+E ’=03. 导体静电平衡时的性质导体内部无电荷，电荷在表面层(面密度σ)导体为等位体, 表面为等位面导体表面外附近电场 ⊥ 表面导体表面场强为: E 表=σε0n 4. 静电场问题的唯一性定理1 唯一性定理唯一性问题:(1)电荷自动调整，电场唯一吗？(2)边界条件确定, 域内电荷分布不变, 域内电场唯一吗？唯一性定理: 适当的物理条件确定之后，在给定区域V 内电场的稳定分布（静电平衡下的分布）是唯一的．适当的物理条件: U ⎪S or E n ⎪S 确定; V 内除导体外电荷分布确定；导体总电荷or 电位确定 2 唯一性定理意义(1)若有一个解就是 唯一的解.(2)指出决定解的因素.(3)V 外电荷分布改变(上述条件不变)则解不变3 唯一性定理简略证明(介绍)U ⎪S 给定的边界条件设在同一条件下有两解,证明两解相同对导体第一种情况的证明5. 例＂猜出＂可能的解, 就是唯一的真的解1. 已知孤立导体总电荷q ，求: 电荷分布σ(1)半径为R 的球体总电荷q“猜”：q 均匀分布在球的外表面上σ=q/4πR 2则：E 内=0是解，且唯一(2)无限大带电导体平板 “猜”：qE 总=σ/ε0=q/(2ε0S)E 总=0所猜即为解(3)一般形状 ——由实验测量2. 外电场中的中性导体匀强电场中的球形导体当σ(θ)=σ0cos θ 时, 导体内电场匀强为E’内= -σ0 z/3ε0 若σ0=3ε0 E 0 E 内=E 0+E ’=0 此即唯一解3. 外电场中的带电导体导体大平板A 、B, 面积S, 带电为Q A 、Q B . 设: 电荷在表面均匀分布 (σ1-σ2-σ3-σ4)/2ε0=0 (σ1+σ2+σ3-σ4)/2ε0=0 S(σ1+σ2)=Q A S (σ3+σ4)=Q B σ1=σ4=(Q A +Q B ) /2 σ2= -σ3=(Q A -Q B )/26. 电象法简介个别点电荷情况下，计算导体上感应电荷的一种简单方法——电象法 例1: 半径为R 的接地导体球，点电荷q 距导体球中心d.保持导体表面为零等位面, 球面外部的场不变, q’代替感应电荷对外部场的作用(1) 确定q’U(r=R)=q/(4πε0b)+q’/(4πε0b ’)=0R 1234b/b ’= -q/q’≡常数C由点G 和H 得:a=R 2/d q’= -Rq/d验证:b ’2=R 2+a 2-2Racos θ’=R 2(R 2+d 2-2Rdcos θ’)/d 2=R 2b 2/d 2即 b/b ’=d/R(2)计算电场由导体性质, 球内E 内=0球面外任意点P(r,θ)U P (r ) =04q πε(1/b-R/b ’d) E r = -∂U/∂r =04qπε[(r -dcos θ)/b 3-R(r -acos θ)/(b ’3d)]E θ= -1r(∂U /∂θ)=q 40πε d sin θ[1/b 3-(R/b ’d)3] E φ=0(3)表面上的电荷分布σ(R,θ) = -q(d 2-R 2)/[4πR(R 2+d 2-2Rd cos θ)3/2]q 感=⎰σ(R,θ)ds= -Rq/d=q’(4)作用到q 的力等于q’对q 的作用力∴F=qq’/4πε0(d -a)2=Rdq 2/4πε0(d 2-R 2)2§2利用导体构造和影响电场1. 静电透镜2. 闭合导体壳内外电场. 静电屏蔽1.q 外⊕σ外1 ⇒E 里=E 空=02 中性闭合导体壳部分屏蔽内部场(q 内的场)空腔 里 外3 接地闭合导体壳完全屏蔽内部场(q内的场) 3. 电容和电容器1. 电容概念导体电位与电量成正比，即U ∝ q ⇒电容概念电容C表达导体(组)容纳电荷的能力(1)孤立单导体U ∝ h ∝ q定义：常数C=qU为孤立导体电容例: 孤立导体球(R)设带电q, U=q/(4πε0R)C=q/U=4πε0R(2)带等量异号电荷的双导体设带电±q , ∆U ∝ qC=q/∆U2. 自屏蔽下的电容器实用的电容器都要屏蔽外界影响，为带等量异号电荷的双导体(1)球形电容器(球半径R1 ,壳内半径R2)C=4πε0R1R2/(R2-R1)(2) 圆柱形电容器(中心圆柱R1 , 壳体R2)C=2πε0L / [ln (R2/R1)](3)平行板电容器C=ε0S/d3. 电容器的串并联串联: Q相同V=∑V i等效电容C-1=∑ C i-1并联: V相同Q=∑Q i等效电容C=∑C i§3 静电能电荷观点: 带电体(点电荷系)具有电(势)能电场观点：电能储存在电场中静电场情况下，两种观点等效1. 点电荷系统静电能W取电荷相距无限远为电势能的零点W：从∞克服场力聚为现状所做功(积累能量)从现状分散到∞处场力所做功(放出能量)N个点电荷的系统依次将q1、q2、…、q N-1 移到∞ .W=q1U1(q2,…,q N)+…+q i U i(q i+1,…,q N) +…+q N-1U N-1(q N)依次将q N、q N-1、…q2移到∞ .W=q N U N(q1,…,q N-1)+…+q i U i(q1,…,q i-1) +…+q2U 2(q1)W= ∑12q i U iU i≡U i(q1,…,q N; -q i)2. 连续分布带电体静电能1.一般情况W=12⎰Udq说明:P0=∞对全部电荷积分U为全部电荷在dq处的电位W为全部电能(自能和互能) 2. 导体组W=∑12⎰Udq =∑12U i q i3. 电容器的静电能W=(q+U++q-U-)/2＝12q∆U=12C∆U2例: 求半径R的均匀带电球体的静电能E=ρr/(3ε0) r<RE=q r/(4πε0r3)r>RU(r<R)=ρ(3R2-r2)/(6ε0)W=12⎰Udq=3q2/(20πεR)3. 互能与自能自能：带电体（子系统）具有的能量；互能: 带电体之间具有的能量两个带电体W=W自1+W自2+W互⎰q1U(q2)dq = ⎰q2 U(q1)dq =W互4. 电场的能量——场的观点真空中电场能量密度w =12ε0E2q112q2W= ⎰ wdV=⎰1ε0E2dV2例2. 均匀带电球体E内= qr/4πε0R3E外=q/4πε0r2 W = ⎰内ε0E内2dV/2+⎰外ε0E外2dV/2 =3q2/20πε0R。

第二章电磁学PPT课件


E10 (rR3)
-q
q
E24πq0r2 (R3rR2)
R3
E 30 (R 1rR 2)
E4 4π2q0r2
.
(R1r)
R2 R1
3U 8 O4π q0(R 1 3-R 1 2R 2 1)2.3 1 130 V
第二章 静电场中的导体和电介质
§2-1 静电场中的导体 §2-2 电容和电容器 §2-3 电介质 §2-4 电场的能量和能量密度
外表面所带的电量由电荷守恒定律决定。
.
31
三 静电屏蔽
1 屏蔽外电场
E
E
外电场
空腔导体屏蔽外电场
空腔导体可以屏蔽外电场, 使空腔内物体不受外电 场影响.这时,整个空腔导体和腔内的电势也必处处相等.
.
32
2 屏蔽腔内电场
接地空腔导体 将使外部空间不受 空腔内的电场影响.
接地导体电势为零
+
+
+
q
别带上电荷量q和Q.试求：
(1)小球的电势UR，球壳内、外表面的电势； (2)两球的电势差； (3)若球壳接地，再求小球与球壳的电势差。
解：小球在球壳内外表面感应出电荷-q、q
球壳外总电荷为q+Q。
Q
R2
q
R R1
.
35
(1)小球的电势UR，球壳内、外表面的电势
UR410(R q-R q1qR 2Q)
＋
-＋
R2
＋
-
-
＋-
R
1
＋ ＋
-
＋
＋-*P-
R2 ,
C4π .
R 450 1
孤立导体球电容
例3 两半径为 R的平行长直导线中心间距为d ，

中科大电磁学课件 第二章


图2.15 平行板电容器
图2.16 同心球面电容器
2、等离子体和超导体
? 部分或完全电离的气体，由大量自由电 子和正离子以及中性原子、分子组成的 电中性物质系统。
? 是有序态最差的聚集态。
? 是宇宙物质存在的主要形态，宇宙中 99.9%的物质是等离子体。
? 超导体 处于电阻为零（10－28 Ωm）的超 导状态的物体。
图2.1 北极光
图2.2太阳风
图2.11 范德格拉夫起电机示意图
图2.10 范德格拉夫 起电机展示图
§2.2.3 导体壳与唯一性定理
（1）腔内无带电体情形 ? 基本性质 ? 当导体腔内无带电体时，静电平衡下，
导体壳的内表面处处无电荷，电荷只分 布在外表面上； ? 空腔内没有电场，空腔内电势处处相等。 ? 法拉第圆筒 内表面无电荷的实验验证。 ? 库仑平方反比定律的精确验证
（2）腔内有带电体情形
? 基本性质
当导体壳腔内有其它带电体时，在静电平衡状 态下，导体壳的内表面所带电荷与腔内电荷的 代数和为0。
? 静电屏蔽
如前所述，导体壳的外表面保护了它所包围的 区域，使之不受导体壳外表面上的电荷或外界 电荷的影响，这个现象称为静电屏蔽。
图2.12 (a) 腔内无电荷
图2.12 (b)腔内有电荷
? 均匀导体的静电平衡条件 导体内的场强处处为零。 “均匀”是指质料均匀，温度均匀。
? 推断其电场分布特点
（1）导体是个等势体，导体表面是个等势面 （2）靠近导体表面外侧处的场强处处与表面垂直
§2.2.2 静电平衡导体上的电荷 分布特点
（1）体内无电荷，电荷只分布在导体表面； （2）导体表面的面电荷密度与该处表面外
附近的场强在数值上成比例：

电磁学第二章习题答案

习题五（第二章 静电场中的导体和电介质）1、在带电量为Q 的金属球壳内部，放入一个带电量为q 的带电体，则金属球壳内表面所带的电量为q ，外表面所带电量为 q +Q 。

2、带电量Q 的导体A 置于外半径为R 的导体 球壳B 内，则球壳外离球心r 处的电场强度大小204/r Q E πε=，球壳的电势R Q V 04/πε=。

3、导体静电平衡的必要条件是导体内部场强为零。

4、两个带电不等的金属球，直径相等，但一个是空心，一个是实心的。

现使它们互相接触，则这两个金属球上的电荷( B )。

(A)不变化 (B)平均分配 (C)空心球电量多 (D)实心球电量多5、半径分别R 和r 的两个球导体(R ＞r)相距很远，今用细导线把它们连接起来，使两导体带电，电势为U 0，则两球表面的电荷面密度之比σR /σr 为 ( B )(A) R/r (B) r/R (C) R 2/r 2 (D) 16、有一电荷q 及金属导体A ，且A 处在静电平衡状态，则( C )(A)导体内E=0，q 不在导体内产生场强；、(B)导体内E ≠0，q 在导体内产生场强； (C)导体内E=0，q 在导体内产生场强； (D)导体内E ≠0，q 不在导体内产生场强。

7、如图所示，一内半径为a ，外半径为b 的金属球壳，带有电量Q ， 在球壳空腔内距离球心为r 处有一点电荷q ，设无限远 处为电势零点。

试求：、(1)球壳外表面上的电荷；(2)球心O 点处由球壳内表面上电荷产生的电势； (3)球心O 点处的总电势。

解: (1) 设球壳内、外表面电荷分别为q 1 , q 2,以O 为球心作一半径为R (a <R <b )的rARQ)O· Q ·b·Oarq B高斯球面S,由高斯定理01εqq dS E S +=⋅⎰⎰ ，根据导体静电平衡条件,当a <R <b 时，0=E。

则0=⋅⎰⎰SdS E ，即01=+q q ,得q q -=1根据电荷守恒定律,金属球壳上的电量为21q q Q +=(qQ q Q q +=-=∴12(2)在内表面上任取一面元,其电量为dq ,在O 点产生的电势adq dV o πε411=q 1在O 点产生的电势aq aq adq dV V o o o πεπεπε4441111-====⎰⎰内内(3) 同理，外球面上的电荷q 2在O 点产生的电势bqQ bq V o o πεπε4422+== 点电荷q 在O 点产生的电势rq V o q πε4=∴ O 点的总点势o q V V V V πε41210=++=(bq Q a q r q ++-) 8、点电荷Q 放在导体球壳的中心，球的内、外半径分别为a 和b ，求场强和电势分布。

电磁场与电磁波第二章

第二章 电磁场的基本规律
第二章 电磁场的基本规律
麦克斯韦提出了“涡旋电场”和“位移电流”两个假说， 进而归纳出一组描述电磁场运动规律的基本方程，即麦克 斯韦方程组，其正确性为日后的实验所确认，是分析解决 电磁场问题的理论基础。 本章将回顾、总结电磁现象基本规律以及介质的极化和 磁化规律，给出涡旋电场和位移电流的概念，在此基础上 建立麦克斯韦方程组，并推导电磁场的边界条件，讨论电 磁场的能量和能流。
dF ′ =
µ 0 I d l × [ I ′ d l ′ × ( r − r ′)]
4π r − r′
3
其中 µ0 为真空的磁导率， r 和 r’ 分 别为电流元 I dl 和 I’ dl’ 的位矢。
第二章 电磁场的基本规律
电流之间的磁相互作用通过磁场传递。电流在其周围空 间产生磁场，磁场的基本性质是对位于其中的电流和运 动电荷有作用力。引入磁感应强度 B 描写磁场的这一基 本性质，将电流元 I dl 在磁场中的受力写为 dF = I dl×B 由此，式（2-3-1）可写为 dF' = I dl×B' 其中
第二章 电磁场的基本规律
dq d F = I dl × B = dl × B = d q v × B dt 即运动电荷所受的磁力为 dF = dq v×B
(2-3-5)
此称洛仑兹力。上式表明洛仑兹力总是垂直于电荷的运动速 度，故洛仑兹力永不作功，它只改变电荷的运动方向。
2.3.2 磁通连续性原理 磁场的散度
dB ′ =
(2-3-2)
µ 0 I ′ d l ′ × ( r − r ′)
4π r − r′
3Байду номын сангаас
（2-3-3)
为电流元 I' dl' 在 r 处产生的磁感应强度。
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6. 点电荷q处在导体球壳的中心，壳的内外半径分别为R1和R2 （见附图）。求场强和电位的分布，并画出E-r和U-r曲线。 (1)由高斯定理与导体静电平衡性质求得电 场分布： q/(4π ε 0 r2) E= 0 q/(4π r<R1 r<R1 R1<r<R2 r>R2 求得： r2)dr+
∫r
R
R2 R1
，则：
r U1-U=∫R λ /(2 πε 0 r)*dr= λ /(2 πε 0 )*ln(r/R1)
1
=2πε 0 (U1-U2)/ln(R2/R1) 故R1<r<R2处的电势
U=U1-(U1-U2)/ln(R2/R1)*ln(r/R1) U-U2= ∫ λ /(2πε 0 r)dr= λ /(2 πε 0 )*ln(R2/r)
{ E d =E d { q d /(ε S)=q d /( ε S) ε
q1+q2=q
1 1
q1+q2=q
1 1 0
2 2
2 2
0
C B
A
q1=q/(1+d1/d2)=q/(1+0.5)=2.0 ×10-7(库仑） 库仑） 库仑 q2=q-q1=1.0 ×10-7(库仑） 库仑） 库仑 板电势： （2）A板电势：UA=E1d1=q1d1/(ε0S) ） 板电势 ε =2.0 ×10-7 × 2.0 × 10-3/(8.85 × 10-12 × 200 × 10-4) =300(伏） 伏
∆U =U1-U2=0
U1=U2+ ∆U =0+ ∆U =q/(4πε 0 )*(1/R1-1/R2) U2=1/(4πε 0 )*Q(R3-R1)/(R2R3-R1R3+R1R2)
=9.0*109*1*10-10(1-1/3)*102=60(伏） (5)U1=0
=9.0*109*11*10-10*3*10-2/[(3*4-1*4+1*3)*10-2]=270(伏)
∆U =U1-U2= -270(伏)
10. 假设范德格喇夫起电机的壳与传送带上喷射电荷的尖针 之间的电位差为此。3.0*106伏特，如果传送带迁移电荷到球 壳上的速率为3.0*10-3库仑/秒，则在仅考虑电力的情况下，必 须用多大的工功率来开动传送带？
所用功率： p=W/t=q* V /t=3*10-3*3.0*106=9.0*103(瓦） ∆ （其中q/t=3.0*10-3库仑/秒）
∞
∞ R3
(2)两球电势差：U1-U2=q/(4 πε 0 )*(1/R1-1/R2) (3)此时U1=U2, ∆ U =U1-U2=0 (4)若外球接地 ,U2=0,则:U1-U2=∆ U U1=U2+∆ U =q/(4 πε 0 )*(1/R1-1/R2) (5)若内球接地，电势为零，此时内球电荷为 e,则: U1=+e/(4 πε 0 R1)+(-e)/(4πε 0 R2)+(Q+e)/(4 πε 0 R3)=0 外球：U2=(Q+e)/(4 πε 0 R3) 解之：U2=Q*(R3-R1)/[4 πε 0 (R1R2-R1R3+R2R3)] 两球电势差：U1-U2=0-U2= -U2 (+e)/R1+(-e)/R2+e/R3+Q/R3=0 e=(Q/R3)/(1/R1+1/R2-1/R3)=QR1R2/(R1R3+R2R3-R1R2)
第二章
1.如图所示，一平行板电容器充电后，A、B两板上电荷的面密 如图所示，一平行板电容器充电后， 、 两板上电荷的面密 如图所示 为两板间任一点， 度分别为 σe 和 -σe 。设P为两板间任一点，略去边缘效应（或 σ 为两板间任一点 略去边缘效应（ 者把两板当作无限大也一样）。 者把两板当作无限大也一样）。 解： 1）求A板上的电荷在 点产生的电场 板上的电荷在P点产生的电场 （ ） 板上的电荷在 强度E ； 强度 A； 板上的电荷在P点产生的电场 （2）求B板上的电荷在 点产生的电场 ） 板上的电荷在 强度E ； 强度 B； 两板上的电荷在P点产生 （3）求A，B两板上的电荷在 点产生 ） ， 两板上的电荷在 的电场强度E； 的电场强度 ； 板拿走， 板上的电荷如何 （4）若把 板拿走，A板上的电荷如何 ）若把B板拿走 分布？ 板上的电荷在 板上的电荷在P点产生的电场强度 分布？A板上的电荷在 点产生的电场强度 为多少？ 为多少？ σe
＋ ＋ ＋ ＋ ＋ ＋ ＋
-σe σ P -
解： （1）由高斯定理求得无穷大平板外： ）由高斯定理求得无穷大平板外： E1＝ σe/ 2ε0方向向右。 ε 方向向右。 （2）同理， E2＝ - σe/ 2ε0方向向右。 ）同理， ε 方向向右。 （3）由叠加法得，求得： ）由叠加法得，求得： E＝E1＋E2＝ σe/ε0方向向右。 ＝ ε 方向向右。 板移走， 板电荷仍然均匀分布 板电荷仍然均匀分布。 （4）若B板移走，A板电荷仍然均匀分布。 ） 板移走 E＝ σe/ 2ε0 ，方向向右。 ＝ ε 方向向右。
8. 半径为R1的导体球带有电荷q球内有一个内外半径为R2，R3的 同心导体球壳，壳上带有电荷Q（见附图）。（1）求两球的电位 U1和U2；（2）两球的电位差 ∆U ；（3）以导线把球和壳联接在 一起后，U1，U2和 ∆U 分别是多少？（4）在情形（1），（2） 中，若外球接地，U1 ，U2和 ∆U 为多少？（5）设为球离地面很 远，若内球接地，情况如何？ Q v q (1)电场 R2 分布： 0 r<R1 R3 E=q/(4 r2) R <r<R
R2 r
14 一根长直导线横截面的半径为a，这线外套有内半径为b 的同轴导体圆筒，两者互相绝缘，外筒接地，它的电位为零。 导线电位为U。求导线和筒间的电场强度分布。 设导线单位长度带电量为λ ，则其间电场：
∫ λ /(2 πε 0r)*dr= λ λ =2πε 0 U/ln(b/a)
U=
b a
E= /(2πε 0 r) λ
/(2πε 0 )*ln(b/a)
4.两块带有等量异号电荷的金属板 和b,相距 毫米，两板的面 两块带有等量异号电荷的金属板a和 相距 毫米， 相距5.0毫米 两块带有等量异号电荷的金属板 积都是150平方厘米，电量大小都是 平方厘米， 库仑， 板带正电 积都是 平方厘米 电量大小都是2.66 × 10-8库仑，a板带正电 并接地（见附图）。以地的电位为零，并略去边缘效应， ）。以地的电位为零 并接地（见附图）。以地的电位为零，并略去边缘效应，问： 板的电位是多少？（ 间离a板 毫米处的电位是 （1）b板的电位是多少？（ ）a 、b间离 板1.0毫米处的电位是 ） 板的电位是多少？（2） 间离 多少？ 多少？ ），故 板电势 板电势： （1）两板间电场 ）两板间电场E= σ /ε0 =Q/ （ε0S），故b板电势： ε ）， a v v a Ub =∫ E dx = ∫ − Edx = - Qd/（ε0S） (d= ba ) （ ）
（2）离球心r=1厘米处电势： U=q/(4 )*(1/r-1/R1)+q/(4 R2)
=9.0*109 *4*10-10(1/0.01-1/0.02)+120=3.6*(100-50)+120 =180+120=300(伏） （3）把点电荷移开球心爱厘米，只改变球壳内表面电荷分布， 不影响球壳外表面电荷分布。球壳电势仍为本120伏.
9. 在上题中设q=10-10库，Q=11*10-10库，R1=1厘米，R2=3厘米， ∆U R3=4厘米，试计算各情形中的U1，U2和 ，并画出U-r曲线 来。 (1)U1=q/(4 πε 0 )*(1/R1-1/R2)+(Q+q)/(4πε 0 R3) =9.0*109[10-10/0.01-10-10/0.03+(11+1)*10-10/0.04]=331(伏） U2=(Q+q)/(4πε 0 )=9.0*109*(11+1)*10-10=271(伏） （2） ∆U =U1-U2=331-271=60（伏） （3）U1=U2=271（伏） （4）U2=0
5 . 三平行金属板 B和C，面积都是 三平行金属板A 和 ，面积都是200厘米2，AB相距 毫米， 相距4.0毫米 厘米 相距 毫米， AC相距 毫米，BC两板都接地（见附图）。如果使 板带正 相距2.0毫米 两板都接地（ ）。如果使 相距 毫米， 两板都接地 见附图）。如果使A板带正 库仑，在略去边缘效应时， 板和C板上感应电荷各 电3.0×10-7库仑，在略去边缘效应时，问B板和 板上感应电荷各 × 板和 是多少？以地的电位为零， 板的电位是多少？ 是多少？以地的电位为零，问A板的电位是多少？ 板的电位是多少 解： 1=4.0mm,d2=2.0mm. d (1)A板左边右边电荷分别为 q1,q2, 板左边右边电荷分别为 则:
b
b
= -(2.66 ×10－8 × 5.0 ×10－3 )/(8.85 ×10－12 × 1.5 ×10－2 ) = -1.002 ×102 = -1.0 ×103 (伏) 伏 （2）Up=( Ub /d )d’ =( -1.0 ×103 /5.0) ×1.0= -2.0 ×102 (伏） ） 伏
11。 范德格喇夫起电机的直径为1米，空气的击穿场强30千伏/ 厘米（即球表面的场强超过此值，电荷就会从空气中漏掉）。 这起电机最多能达到多高的电位？ 起电机的球面带电最大极限为Q max 此时电场： E=Qmax/(4 R2)=Umax/R=30*103*102(伏/米） Umax=R*E=0.5*3*106=1.5*106(伏）
R2 q R 1
ε 0r2)
∫
(2)由电势U=
R1<r<R2 r>R2
π ε 0 r2)dr ε 0 )*(1/r-1/R1)+q/(4π ε 0 R2) ∞ R U= ∫r 0*dr+ ∫R q/(4 π ε 0r2)*dr=q/(4π ε 0R2) ∞ U= ∫r q/(4π ε 0 r2)dr=q/(4π ε 0 r)