2020届高考文科数学大二轮复习冲刺经典专题第一编讲方法第2讲数形结合思想练习2

2020版新高考文科数学二轮冲刺复习解答题的解法研究技巧一数形结合思想方法数形结合思想包含“以形助数”和“以数辅形”两方面的内容：一是借助形的生动性和直观性来阐明数之间的联系，即以形作为手段，数作为目的，比如应用函数的图象来说明函数的性质；二是借助于数的精确性来阐明形的某些属性，即以数作为手段，形作为目的，比如应用曲线的方程来精确的阐明曲线的几何性质．我们在解决数学问题时，应将抽象的数学语言与直观的图形结合起来，使抽象思维和形象思维结合起来，实现抽象概念与具体形象的互化，从而得到原题的解．总体目标：通过数形结合，抽象问题具体化，复杂问题简单化．解题途径：根据问题的条件和结论之间的内在联系，既分析其代数意义，又揭示其几何直观，使数量精确刻划与空间形式的直观形象巧妙、和谐地结合在一起，充分利用这种结合，寻找解题思路，使问题化难为易、化繁为简．常见的手段：构造法、转化法、数形结合、分离变量法等等．典例1记实数x1，x2，…，x n中最小数为min{x1，x2，…，x n}，求定义在区间[0，＋∞)上的函数f(x)＝min{x2＋1，x＋3,13－x}的最大值．【方法点睛】 利用函数的图象求最值，避免分段函数的讨论，正确作出函数的图象是解决此类问题的关键，数形结合应以快和准为原则．典例2 关于x 的方程sin2x ＋3cos2x ＝a ＋1在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，2π3上有两个不同的根，求实数a 的取值范围．【方法点睛】 本题要解的是一个带参数的三角方程，直接解比较困难，可以从函数的角度来研究本方程的解．通过变形，左边看成函数y 1＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图象的一部分，右边看成y 2＝a ＋12的图象．因此，方程的解可通过“数形结合”方法轻松获得．对于三角方程的解的个数问题，经常可考虑此思想方法解决．典例3 在平面直角坐标系xOy 中，点B 与点A (－1,1)关于原点O 对称，P是动点，且直线AP 与BP 的斜率之积等于－13.(1)求动点P 的轨迹方程；(2)设直线AP 和BP 分别与直线x ＝3交于点M ，N ，问：是否存在点P 使得△P AB 与△PMN 的面积相等？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，说明理由．【方法点睛】本题的想法看似简单，即设P(x0，y0)，分别写出直线AP和BP的方程，根据已知条件用x0，y0分别表示出△P AB与△PMN的面积，从而得到x0，y0的一个关系式，再结合点P(x0，y0)在椭圆x2＋3y2＝4上，得到第二个方程，从而问题转化为解方程组，这是很多学生很容易想到的做法，可是这看似简单的想法计算却非常不简单．如果能先作出图形，根据△P AB与△PMN的面积相等，得到M是NC中点，易知B为AC中点，从而AM，BN都是中线，因此P为△ANC的重心，而A，N，C三点横坐标易求得，故P点的横坐标也就易求出来了．代入椭圆，很快求出P点的纵坐标．在解析几何求解过程中，如果适当考虑其中的几何关系，计算量将大大减少，“数形结合”，事半功倍，提高解题效率．典例4已知函数f(x)＝|2x－3|－|x＋1|.(1)若不等式f(x)≤a的解集是空集，求实数a的取值范围；(2)若存在x0∈R，使得2f(x0)≤－t2＋4|t|成立，求实数t的取值范围．【方法点睛】本题如果从不等式角度进行考虑，非常不好描述，而且不易求出正确解．根据题意，将不等式恒成立问题和存在性问题转化为函数值域与参数的比较问题，思路清晰明了，再通过数形结合，很快求出相关函数的值域，继而求出参数的取值范围．在求解过程中，“数形结合”大大简化了计算量．二转化与化归思想数学思想中的一条重要原则是转化与化归，不断地变更数学问题，使要解决的问题化难为易，或变未知为已知，或把某一数学分支中的问题转化为另外一个数学分支中的问题，最终求出原题的解．总体目标：化难为易，化生为熟，化繁为简．解题途径：函数、方程、不等式间的转化；数与形间的转化；一般与特殊的转化；整体与局部的转化；正面与反面的转化等等．常见的方法：换元法、数形结合法、构造法、设参法、特殊法，拆分与整合等．典例1设f(x)是定义在R上的单调增函数，若f(1－ax－x2)≤f(2－a)对任意a∈[－1,1]恒成立，求x的取值范围．【方法点睛】将不等式恒成立问题转化为求函数的值域问题，在转化过程中，用到了构造函数法，次元、主元调换法，最后通过解不等式得到答案．典例2(2017·浙江高考)已知向量a，b满足|a|＝1，|b|＝2，求|a＋b|＋|a－b|的最小值和最大值．【方法点睛】 一般问题特殊化，使问题处理变得直接、简单．特殊问题一般化，可以使我们从宏观整体的高度把握问题的一般规律，从而达到成批处理问题的效果．典例3 已知函数f (x )＝x ＋1e 2x .(1)当x ≥0时，f (x )≤m 2x ＋1(m >0)恒成立，求实数m 的取值范围； (2)求证：f (x )ln x <x ＋1ex ＋2.【方法点睛】对于恒成立问题和存在性问题，经常可考虑用分离变量的办法将不等式问题转化为两个函数值域的问题．在求函数值域时，经常用构造法，通过导数来分析单调性，求得函数的值域，继而建立与参数有关的不等式，最终求得参数的取值范围．当然在本题中导函数的零点不易求出，我们用了设而不求的方法，间接解决问题．实际上，在解决数学题时“无处不转化”．典例4已知椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的四个顶点所构成的菱形面积为6，且椭圆的焦点为抛物线y＝x2－8与x轴的交点．(1)求椭圆C的方程；(2)设直线l与椭圆C交于A，B两点，若AD⊥BD，且D(3,0)，求△ABD面积的最大值．【方法点睛】在求椭圆方程时，经常把条件转化为方程组，方程组解出来即得到椭圆方程．在解答圆锥曲线相关问题时，经常借助相关点的坐标来研究相关性质，如定点、共线、最值等问题．转化的基本方向：消元，降次，化简．三分类整合思想方法在解某些数学问题时，我们常常会遇到这样一种情况：解到某一步之后，发现问题的发展是按照不同的方向进行的．当被研究的问题包含了多种情况时，就必须抓住主导问题发展方向的主要因素，在其变化范围内，根据问题的不同发展方向，划分为若干部分分别研究，这就是分类整合思想方法．分类整合是一种逻辑方法，是一种重要的数学思想，同时也是一种重要的解题策略，有关分类讨论思想的数学问题具有明显的逻辑性、综合性、探索性，能训练学生的思维条理性和概括性，因此在高考试题中占有重要的位置．总体目标：大化小，整体化为部分，一般化为特殊．解题途径：根据问题的不同发展方向，划分为若干部分分别进行研究，研究的基本方向是“分”，但分类解决问题之后，还必须把它们整合在一起．常见的方法：化整为零、积零为整、构造法、转化法、数形结合、分离变量法等等．典例1(2018·全国卷Ⅰ)已知f(x)＝|x＋1|－|ax－1|.(1)当a＝1时，求不等式f(x)>1的解集；(2)若x∈(0,1)时不等式f(x)>x成立，求a的取值范围．【方法点睛】本题(1)(2)问都涉及到绝对值不等式，要把绝对值去掉，解答才得以继续进行，在第(1)问中，通过对变量x进行分类讨论，绝对值不等式转化为一次不等式，原不等式从而得到解答；(2)问中对参数a进行讨论，去掉绝对值，求出参数范围．典例2设b∈R，数列{a n}的前n项和S n＝3n＋b，试判断{a n}是否是等比数列？并说明理由．【方法点睛】本题中参数b的值影响着a1的值，进而影响着数列的通项公式．因此需要对参数b分类讨论，并以a1的值是否满足a n＝2·3n－1为标准．典例3设a>0，求f(x)＝2a(sin x＋cos x)－sin x cos x－2a2的最大值和最小值．【方法点睛】本题通过作变量代换t＝sin x＋cos x，将原函数变成关于t 的二次函数(带参数a)，然后根据对称轴和区间的关系进行分类讨论，继而求出原函数的最大值．典例4已知f(x)＝x－a e x(a∈R，e为自然对数的底数)．(1)讨论函数f(x)的单调性；(2)若f(x)≤e2x对x∈R恒成立，求实数a的取值范围．【方法点睛】参数的变化取值导致不同的结果，需对参数进行讨论，如含参数的方程、不等式、函数等．分类讨论要标准明确、统一，层次分明，分类要做到“不重不漏”．四函数与方程思想函数思想，是指用函数的概念和性质去分析问题、转化问题和解决问题．方程思想，是从问题的数量关系入手，运用数学语言将问题中的条件转化为数学模型(方程、不等式、或方程与不等式的混合组)，然后通过解方程(组)或不等式(组)来使问题获解．有时，还实现函数与方程的互相转化，达到解决问题的目的．总体目标：动态化静态，抽象化具体，函数方程相互转化．解题途径：根据研究问题的需要，通过构造方程或函数，然后研究方程和函数的性质，从而解决原问题．常见的方法：构造法、转化法、动静结合、数形结合、分离变量法等等．典例1(2018·全国卷Ⅱ)记S n为等差数列{a n}的前n项和，已知a1＝－7，S3＝－15.(1)求{a n}的通项公式；(2)求S n，并求S n的最小值．【方法点睛】 本题已知数列的属性(等差或等比数列)，因此可以构造关于a 1和d (q )的方程组，通过a 1和d (q )，从而求出数列的通项公式，将前n 项和S n 表示为n 的函数，继而求出其最小值．求解过程体现方程思想和函数思想．典例2 已知sin θ＋cos θ＝15，θ∈(0，π)，求tan θ的值．【方法点睛】 本题表面看是一个未知数θ，但是很难直接求出其大小．本题通过韦达定理构造一个一元二次方程，其两根分别为sin θ，cos θ，求出方程的两个解(也就是sin θ，cos θ的值)，从而求出tan θ的值．典例3 (2018·全国卷Ⅱ)已知函数f (x )＝e x －ax 2.(1)若a＝1，证明：当x≥0时，f(x)≥1；(2)若f(x)在(0，＋∞)只有一个零点，求a.【方法点睛】 本题第(1)问是个不等式问题，我们将其转化为函数问题解决．通过构造函数，分析函数的单调性，求出函数的最大值为0，从而证明了原不等式，充分体现了函数思想的应用．第(2)问是函数零点个数问题，通过构造函数，分析函数的单调性，求出函数的最值，从而讨论出不同a 的值得到不同的零点个数．典例4 设椭圆中心在坐标原点，A (2,0)，B (0,1)是它的两个顶点，直线y ＝kx (k ＞0)与AB 相交于点D ，与椭圆相交于E ，F 两点．(1)若ED→＝6DF →，求k 的值； (2)求四边形AEBF 面积的最大值．【方法点睛】几何中的最值是高考的热点，在圆锥曲线的综合问题中经常出现，求解此类问题的一般思路为在深刻认识运动变化的过程之中，抓住函数关系，将目标量表示为一个(或者多个)变量的函数，然后借助于函数最值的求法来求解，这是求面积、线段长最值(范围)问题的基本方法．典例5(2017·全国卷Ⅰ)在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝3cos θ，y ＝sin θ(θ为参数)，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝a ＋4t ，y ＝1－t (t 为参数)．(1)若a ＝－1，求C 与l 的交点坐标；(2)若C 上的点到l 距离的最大值为17，求a .【方法点睛】 本题第(1)问先将直线和椭圆的参数方程化为普通方程，然后联立，求出交点坐标．第(2)问先将C上的点到直线的距离用θ表示出来，判断3cosθ＋4sinθ的范围，讨论a，去掉绝对值得到距离的最大值的方程，求得a 最后结果．。

姓名，年级：时间：专题突破练2函数与方程思想、数形结合思想一、选择题1.(2019安徽江淮十校高三三联,文4）已知数列｛a n｝满足a n+1-a nn =2，a1=20，则a nn的最小值为()A。

4√5B。

4√5-1 C。

8 D.92。

椭圆x24+y2=1的两个焦点为F1，F2，过F1作垂直于x轴的直线与椭圆相交，其一交点为P，则|PF2｜=(）A.√32B.√3 C.72D。

43.若f(x)+3f(—x)=x3+2x+1对x∈R恒成立,则曲线y=f（x）在点(1，f（1))处的切线方程为()A。

5x+2y—5=0 B。

10x+4y-5=0C。

5x+4y=0 D。

20x-4y-15=04。

（2019安徽皖南八校高三三联,文12）已知函数f（x)=2sin2x+π6，若对任意的a∈（1,2),关于x的方程｜f(x）｜-a=0（0≤x<m）总有两个不同的实数根，则m的取值范围为（)A。

π2,2π3B。

π3,π2C。

π2,2π3D.π6,π35。

（2019河北衡水中学高三六模,理9）已知函数f(x）=x+1e x—ax有两个极值点，则实数a的取值范围是(）A.-1e,+∞B。

（—1,+∞)C。

(—1,0) D。

—1e，06.已知在正四棱锥S-ABCD中,SA=2√3,则当该棱锥的体积最大时，它的高为（)A.1 B。

√3C。

2 D。

37.已知f(x）=sin（ωx+φ）(0<ω≤π2,|φ|<π2)满足f(1—x）=f(x）,且f(x+2）=-f(x),对于定义域内满足f(x1）=f(x2）=√32的任意x1，x2∈R，x1≠x2,当|x1-x2|取最小值时，f（x1—x2）的值为（)A.√6-√24或√6+√24B.√6+√24或√2-√64C.23D.√328.(2019陕西延安高三一模，理12)已知函数f（x）=|lg(x—1）|,若1〈a<b且f （a）=f（b）,则实数2a+b的取值范围是（）A.［3+2√2，+∞）B。

第2讲 数形结合思想「思想方法解读」 数形结合是根据数量与图形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的一种重要思想方法．数形结合思想体现了数与形之间的沟通与转化，它包含“以形助数”和“以数解形”两个方面．数形结合的实质是把抽象的数学语言与直观的图形语言结合起来，即将代数问题几何化、几何问题代数化．数形结合思想常用来解决函数零点问题、方程根与不等式问题、参数范围问题、立体几何模型研究代数问题，以及解析几何中的斜率、截距、距离等模型问题．热点题型探究热点1 数形结合化解方程问例1(1)(2019·聊城市高三一模)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x x －1，x ≤0，ln xx ，x ＞0，若关于x 的方程f (x )＝x ＋a 无实根，则实数a 的取值范围为( )A ．(－∞，0)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，1B ．(－1,0) C.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1e D ．(0,1)答案 B解析因为函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧xx －1，x ≤0，ln xx ，x ＞0，所以关于x 的方程f (x )＝x ＋a 无实根等价于函数y ＝f (x )的图象与直线y ＝x ＋a 无交点，设直线y ＝x ＋a 与f (x )＝ln xx (x >0)切于点P (x 0，y 0)，由f ′(x )＝1－ln x x 2，由已知得1－ln x 0x 20＝1，解得x 0＝1，则P (1,0)，则切线方程为y ＝x －1，作出函数f (x )与直线y ＝x ＋a 的图象如图所示．由图知函数y ＝f (x )的图象与直线y ＝x ＋a 无交点时实数a 的取值范围为－1<a <0，故选B.(2)已知函数f (x )＝⎩⎨⎧2－x －1(x ≤0)，f (x －1)(x ＞0)，若方程f (x )＝x ＋a 有且只有两个不相等的实数根，则实数a 的取值范围为( )A ．(－∞，0]B ．[0,1)C ．(－∞，1)D ．[0，＋∞)答案 C解析 函数f (x )＝⎩⎨⎧2－x －1(x ≤0)，f (x －1)(x ＞0)的图象如图所示，当a <1时，函数y ＝f (x )的图象与函数y ＝x ＋a 的图象有两个交点，即方程f (x )＝x ＋a 有且只有两个不相等的实数根．用图象法讨论方程(特别是含参数的指数、对数、根式、三角等复杂方程)的解(或函数零点)的个数是一种重要的思想方法，其基本思想是先把方程两边的代数式看作是两个熟悉函数的表达式(不熟悉时，需要作适当变形转化为两个熟悉的函数)，然后在同一坐标系中作出两个函数的图象，图象的交点个数即为方程解(或函数零点)的个数．1．(2019·天津市重点中学毕业班联考(一))已知函数f (x )＝⎩⎨⎧x 2＋4x ，－3≤x ≤0，2x －3，x ＞0，若方程f (x )＋|x －2|－kx ＝0有且只有三个不相等的实数解，则实数k 的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎭⎪⎫－23，3－22B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫－23，3＋22 C.⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－23 D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－23，16 答案 A解析 f (x )＋|x －2|－kx ＝0有且只有三个不相等的实数根，等价于y ＝f (x )＋|x －2|与y ＝kx 的图象有三个交点，画出y ＝f (x )＋|x －2|＝⎩⎨⎧x 2＋3x ＋2，－3≤x ≤0，x －1，0＜x ≤2，3x －5，x ＞2与y ＝kx 的图象如图，y ＝kx 与y ＝x 2＋3x ＋2相切时，k ＝3－22，y ＝kx 过(－3,2)时，k ＝－23，∴根据图象可知，－23≤k <3－22时，两函数图象有三个交点，∴若方程f (x )＋|x －2|－kx ＝0有且只有三个不相等的实数解，则实数k 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫－23，3－22，故选A. 2．将函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x ＋π3的图象向右平移π8个单位后，再将所有点的横坐标伸长为原来的2倍，得到g (x )的图象，若g (x )＋k ＝0在x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上有且只有一个实数根，则k 的取值范围是( )A ．k ≤12 B ．－1≤k ＜－12 C ．－12＜k ≤12 D ．－12＜k ≤12或k ＝－1答案 D解析 将f (x )的图象向右平移π8个单位得到h (x )＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤4⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π8＋π3＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x －π6，再将所有点的横坐标伸长为原来的2倍得到g (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6.所以g (x )＋k ＝0，即为方程sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6＋k ＝0.令2x －π6＝t ，因为x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，所以－π6≤t ≤5π6.若g (x )＋k ＝0在x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上有且只有一个实数根，即g (t )＝sin t 与y ＝－k 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，5π6上有且只有一个交点.如图所示，由正弦函数的图象可知－12≤－k ＜12或－k ＝1，即－12＜k ≤12或k ＝－1.热点2 数形结合化解不等式问题例2(1)(2019·安徽省江南十校高三联考)已知x ，y 满足⎩⎨⎧x ≥0，x ＋2y ≥3，2x ＋y ≤3，z ＝xy的最小值、最大值分别为a ，b ，且x 2－kx ＋1≥0对x ∈[a ，b ]恒成立，则k 的取值范围为( )A ．－2≤k ≤2B ．k ≤2C ．k ≥－2D ．k ≤14572答案 B解析作出⎩⎨⎧x ≥0，x ＋2y ≥3，2x ＋y ≤3表示的平面区域如图中阴影部分所示，显然z ＝xy的最小值为0，当点(x ，y )在线段x ＋2y ＝3(0≤x ≤1)上时，z ＝xy ＝x ⎝ ⎛⎭⎪⎫32－x 2＝－12x 2＋32x ≤1；当点(x ，y )在线段2x ＋y ＝3(0≤x ≤1)上时， z ＝xy ＝x (3－2x )＝－2x 2＋3x ≤98；即a ＝0，b ＝98； 当x ＝0时，不等式x 2－kx ＋1＝1≥0恒成立， 若x 2－kx ＋1≥0对x ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，98恒成立，则k ≤x ＋1x 在⎝ ⎛⎦⎥⎤0，98上恒成立，又x ＋1x 在(0,1]上单调递减，在⎝ ⎛⎦⎥⎤1，98上单调递增，即⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x min ＝2，即k ≤2. (2)已知关于x 的不等式x ＞ax ＋32的解集为{x |4＜x ＜b }，则ab ＝________. 答案 92解析 设f (x )＝x ，g (x )＝ax ＋32(x ≥0)．因为x ＞ax ＋32的解集为{x |4＜x ＜b }，所以两函数图象在4＜x ＜b 上有f (x )＞g (x )，如图所示．当x ＝4，x ＝b 时，由f (x )＝g (x )，可得⎩⎪⎨⎪⎧4＝4a ＋32，b ＝ab ＋32，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝18，b ＝36，所以ab ＝18×36＝92.数形结合思想处理不等式问题，要从题目的条件与结论出发，着重分析其几何意义，从图形上找出解题思路．因此，往往构造熟知的函数，作出函数图象，利用图象的交点和图象的位置求解不等式．1．(2019·湖南三市高三联考)设f ′(x )是函数f (x )的导函数，若f ′(x )>0，且∀x 1，x 2∈R (x 1≠x 2)，f (x 1)＋f (x 2)<2f ⎝⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22，则下列选项中不一定正确的一项是( )A ．f (2)<f (e)<f (π)B ．f ′(π)<f ′(e)<f ′(2)C ．f (2)<f ′(2)－f ′(3)<f (3)D ．f ′(3)<f (3)－f (2)<f ′(2) 答案 C解析 因为f ′(x )>0，所以f (x )在R 上单调递增．∀x 1，x 2∈R (x 1≠x 2)，恒有f (x 1)＋f (x 2)<2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22，即f (x 1)＋f (x 2)2<f ⎝⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22，所以y ＝f (x )的图象是向上凸起的，如图所示．所以f (2)<f (e)<f (π)，故A 正确；因为f ′(x )反映了函数f (x )图象上各点处的切线的斜率，由图象可知，随着x 的增大，f (x )的图象越来越平缓，即切线的斜率越来越小，所以f ′(π)<f ′(e)<f ′(2)，故B 正确；因为f (3)－f (2)＝f (3)－f (2)3－2，表示点A (2，f (2))与B (3，f (3))连线的斜率，由图可知f ′(3)<k AB <f ′(2)，故D 正确；C 无法推出，故选C.2．∀x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，13，8x ＜log a x ＋1恒成立，则实数a 的取值范围是________．答案 13≤a ＜1解析 当0＜x ＜13时，函数y ＝8x －1的图象如图中实线所示．∵∀x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，13，8x ＜log a x ＋1恒成立， ∴当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，13时，y ＝log a x 的图象恒在y ＝8x －1的图象的上方(如图中虚线所示)．∵y ＝log a x 的图象与y ＝8x－1的图象交于点⎝ ⎛⎭⎪⎫13，1时，a ＝13，∴13≤a ＜1. 热点3 数形结合化解平面向量问题例3 (1)(2019·东北三省三校高三第二次模拟)赵爽是我国古代数学家、天文学家，大约在公元222年，赵爽为《周髀算经》一书作序时，介绍了“勾股圆方图”，亦称“赵爽弦图”(以弦为边长得到的正方形是由4个全等的直角三角形再加上中间的一个小正方形组成的)，类比“赵爽弦图”，可类似地构造如图所示的图形，它是由3个全等的三角形与中间的一个小等边三角形拼成的一个大等边三角形，设DF ＝2AF ，则( )A.AD→＝213AC →＋913AB →B.AD→＝29AC →＋127AB → C.AD→＝313AC →＋613AB →D.AD→＝313AC →＋913AB →答案 D解析 设DF ＝2AF ＝2，因此BD ＝AF ＝1，又由题意可得∠ADB ＝120°， 所以AB 2＝AD 2＋BD 2－2AD ·BD ·cos ∠ADB ＝32＋12－6cos120°＝13，因此AB ＝13；延长AD 交BC 于M ，记∠DAB ＝θ，∠AMB ＝α， 则cos ∠DAB ＝AD 2＋AB 2－BD 22AD ·AB ＝9＋13－1613＝71326，所以sin ∠DAB ＝1－cos 2∠DAB ＝3926； 又由题意易知∠DAB ＝∠DBM ，则α＝120°－θ， 在三角形DBM 中，由正弦定理可得 BM sin ∠MDB ＝DM sin ∠DBM ＝BDsin ∠DMB ，即BM sin60°＝DM sin θ＝1sin (120°－θ)，因此BM ＝sin60°sin (120°－θ)＝3232cos θ＋12sin θ＝134＝14BC ，DM ＝sin θsin (120°－θ)＝sin θ32cos θ＋12sin θ＝14，所以AD ＝33＋14AM ＝1213AM ， 因为BM ＝14BC ，所以BM →＝14BC →，即AM →－AB →＝14(AC →－AB →)，整理得AM →＝34A B →＋14AC →，所以AD →＝1213AM →＝1213⎝ ⎛⎭⎪⎫34AB →＋14AC →＝913AB →＋313AC →.故选D.(2)给定两个长度为1的平面向量OA→和OB→，它们的夹角为2π3.如图所示，点C在以O为圆心的圆弧AB︵上运动．若OC→＝xOA→＋yOB→，其中x，y∈R，则x＋y的最大值为________，此时∠AOC＝________.答案2π3解析由图示和题意可知，A(1,0)，B⎝⎛⎭⎪⎫－12，32.设∠AOC＝α⎝⎛⎭⎪⎫α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，2π3，则C(cosα，sinα)．由OC→＝xOA→＋yOB→，得⎩⎪⎨⎪⎧cosα＝x－12y，sinα＝32y，解得⎩⎪⎨⎪⎧x＝cosα＋33sinα，y＝233sinα，所以x＋y＝cosα＋3sinα＝2sin⎝⎛⎭⎪⎫α＋π6.又α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，2π3，所以当α＝π3时，x＋y取得最大值2.建坐标系可以实现平面向量问题的全面运算，即利用平面向量的坐标运算，把问题转化为代数中的函数最值与值域、不等式的解集、方程有解等问题，化繁为简，轻松破解．1．(2019·马鞍山市第二次教学质量监测)已知圆C1，C2，C3是同心圆，半径依次为1,2,3，过圆C 1上点M 作C 1的切线交圆C 2于A ，B 两点，P 为圆C 3上任一点，则P A →·PB→的取值范围为( ) A ．[－8，－4] B ．[0,12] C ．[1,13] D ．[4,16]答案 C解析 设同心圆的圆心为O ，由切线性质可知OM ⊥AB ，又过圆C 1上点M 作C 1的切线交圆C 2于A ，B 两点，∴OA ＝OB ＝2，OM ＝1，在Rt △OAM 中，sin ∠OAM ＝OM OA ＝12，∴∠OAB ＝∠OAM ＝π6，根据OA ＝OB ＝2，可知∠OAB ＝∠OBA ＝π6，∴∠AOB ＝2π3，P A →·PB →＝(PO →＋OA →)·(PO →＋OB →)＝|PO →|2＋PO →·OB →＋OA →·PO →＋OA →·OB →＝9＋PO →·(OB →＋OA →)＋|OA →||OB →|·cos 2π3＝7－OP →·(OB →＋OA →)．∵OM ⊥AB ，OA ＝OB ，∴M 是AB 的中点，根据向量加法的几何意义得OA →＋OB →＝2OM →，代入上式得，P A →·PB →＝7－OP →·(OB →＋OA →)＝7－2OP →·OM →＝7－2|OP →||OM →|cos 〈OP →，OM →〉＝7－6cos 〈OP →，OM →〉，∵〈OP →，OM →〉∈[0，π]，∴cos 〈OP →，OM →〉∈[－1,1]，∴P A →·PB →∈[1,13]，故选C.2．如图，在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，CD ＝2，∠BAD ＝π4，若AB →·AC →＝2AB →·AD →，则AD →·AC→＝________.答案 12解析 解法一：因为AB →·AC →＝2AB →·AD→，所以AB →·AC →－AB →·AD →＝AB →·AD →，所以AB →·DC →＝AB →·AD →. 因为AB ∥CD ，CD ＝2，∠BAD ＝π4， 所以2|AB→|＝|AB →||AD →|cos π4，化简得|AD →|＝2 2.故AD →·AC →＝AD →·(AD →＋DC →)＝|AD →|2＋AD →·DC →＝(22)2＋22×2cos π4＝12. 解法二：如图，建立平面直角坐标系xAy .依题意，可设点D (m ，m )，C (m ＋2，m )，B (n,0)，其中m ＞0，n ＞0， 则由AB →·AC →＝2AB →·AD →，得(n,0)·(m ＋2，m )＝2(n,0)·(m ，m )， 所以n (m ＋2)＝2nm ，化简得m ＝2.故AD →·AC →＝(m ，m )·(m ＋2，m )＝2m 2＋2m ＝12. 热点4 数形结合化解圆锥曲线问题例4 (1)(2019·河南省高三一模)设双曲线的方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)，若双曲线的渐近线被圆M ：x 2＋y 2－10x ＝0所截得的两条弦长之和为12，已知△ABP 的顶点A ，B 分别为双曲线的左、右焦点，顶点P 在双曲线上，则|sin P ||sin A －sin B |的值等于( )A.35B.73 C.53 D.7答案 C解析 双曲线的一条渐近线方程为y ＝ba x ，∵双曲线的渐近线被圆M ：x 2＋y 2－10x ＝0即(x －5)2＋y 2＝25所截得的两条弦长之和为12，设圆心到渐近线的距离为d ，则d ＝25－9＝4.∴5b a 2＋b2＝4，即5b ＝4c ，b ＝45c .∵a 2＝c 2－b 2＝925c 2，∴a ＝35c ，∵A，B分别为双曲线的左、右焦点，点P在双曲线上，∴|AP－BP|＝2a，根据正弦定理可得APsin B＝BPsin A＝ABsin P＝2R，∴sin B＝AP2R，sin A＝BP2R，sin P＝2c2R，∴|sin P||sin A－sin B|＝2c2R⎪⎪⎪⎪⎪⎪BP2R－AP2R＝2c2a＝53，故选C.(2)已知A(1,1)为椭圆x29＋y25＝1内一点，F1为椭圆的左焦点，P为椭圆上一动点，求|PF1|＋|P A|的最大值和最小值．解由x29＋y25＝1可知a＝3，b＝5，c＝2，左焦点F1(－2，0)，右焦点F2(2,0)．由椭圆定义，知|PF1|＝2a－|PF2|＝6－|PF2|，∴|PF1|＋|P A|＝6－|PF2|＋|P A|＝6＋|P A|－|PF2|.如图，由||P A|－|PF2||≤|AF2|＝(2－1)2＋(0－1)2＝2，知－2≤|P A|－|PF2|≤ 2.当点P在AF2的延长线上的点P2处时，取右“＝”，当点P在AF2的反向延长线上的点P1处时，取左“＝”，即|P A|－|PF2|的最大、最小值分别为2，－ 2.于是|PF1|＋|P A|的最大值是6＋2，最小值是6－ 2.与圆锥曲线有关的最值问题，通常是利用函数的观点，建立函数表达式求解．但一味的强调函数观点，有时使思维陷入僵局，此时若能合理利用圆锥曲线的定义，以形助数，会使问题变得特别简单．1．椭圆x25＋y24＝1的左焦点为F，直线x＝m与椭圆相交于点M，N，当△FMN的周长最大时，△FMN的面积是()A.55 B.655 C.855 D.455答案 C解析如图，设椭圆的右焦点为F′，连接MF′，NF′.因为|MF|＋|NF|＋|MF′|＋|NF′|≥|MF|＋|NF|＋|MN|，所以当直线x＝m过椭圆的右焦点时，△FMN的周长最大．此时|MN|＝2b2a＝855，又c＝a2－b2＝5－4＝1，所以此时△FMN的面积S＝12×2×855＝855.故选C.2．(2019·四川省成都市第七中学高三下学期三诊)已知双曲线C：x2a2－4y2＝1(a>0)的右顶点到其一条渐近线的距离等于34，抛物线E：y2＝2px的焦点与双曲线C的右焦点重合，则抛物线E上的动点M到直线l1：4x－3y＋6＝0和l2：x＝－1的距离之和的最小值为()A．1 B．2C．3 D．4答案 B解析 由双曲线方程x 2a 2－4y 2＝1(a >0)可得，双曲线的右顶点为(a,0)，渐近线方程为y ＝±12a x ，即x ±2ay ＝0.∵双曲线的右顶点到渐近线的距离等于34，∴a1＋4a 2＝34，解得a 2＝34，∴双曲线的方程为4x23－4y 2＝1，∴双曲线的焦点为(1,0)．又抛物线E ：y 2＝2px 的焦点与双曲线C 的右焦点重合，∴p ＝2，∴抛物线的方程为y 2＝4x ，焦点坐标为F (1,0)．如图，设点M 到直线l 1的距离为|MA |，到直线l 2的距离为|MB |，则|MB |＝|MF |，∴|MA |＋|MB |＝|MA |＋|MF |.结合图形可得当A ，M ，F 三点共线时，|MA |＋|MB |＝|MA |＋|MF |最小，且最小值为点F 到直线l 1的距离d ＝|4×1＋6|42＋32＝2.故选B.。

二、数形联合思想以形助数 (数题形解 )以数辅形 ( 形题数解 )借助形的生动性和直观性来论述数之间借助于数的精准性和规范性及严实性来的关系，把数转变为形，即以形作为手段，说明形的某些属性，即以数作为手段，形作数作为目的解决数学识题的数学思想为目的解决问题的数学思想数形联合思想经过 “以形助数，以数辅形 ”，使复杂问题简单化，抽象问题详细化，可以变抽象思想为形象思想，有助于掌握数学识题的实质，它是数学的规律性与灵巧性的有机结合方法一 函数图象数形交流法模型解法函数图象数形交流法，即经过函数图象来剖析和解决函数问题的方法，对于高中数学函数贯穿一直，所以这类方法是最常用的交流方法．破解此类题的重点点：①剖析数理特点，一般解决问题时不可以精准画出图象，只好经过图象的大体性质剖析问题，所以需要确立可否用函数图象解决问题．②画出函数图象，画出对应的函数、转变的函数或结构函数的图象．③数形转变，这个转变实质是借助函数图象将难以解决的数理关系明显化．④得出结论，经过察看函数图象得出相应的结论．典例 1设定义在 R 上的函数 f(x)是最小正周期为2π的偶函数， f ′(x)是 f(x)的导函数．当 x ∈ [0，ππf ′(x)>0. 则函数 y ＝ f(x) －sin x 在 [－ 3π， 3π]上 π]时 ， 0≤f( x) ≤1；当 x ∈ (0，π)且 x ≠时， x －22的零点个数为 ( )A ．4B ． 5C ．6D ．8分析∵当 x ∈ [0， π]时， 0≤f(x) ≤1， f(x) 是最小正周期为 2π的偶函数，∴当 x ∈[ － 3π， 3π]时， 0≤f( x) ≤1.π π∵当 x ∈(0 ，π)且 x ≠ 时，x － 2 f ′(x)>0 ，2∴当 x ∈π时， f(x)为单一减函数；0， 2 当 x ∈ π时， f(x)为单一增函数， 2 ， π∵当 x ∈[0 ，π]时， 0≤f(x) ≤1，定义在 R 上的函数 f(x)是最小正周期为2π的偶函数，在同一坐标系中作出 y ＝ sin x 和 y ＝ f(x)的草图如图，由图知 y＝ f(x)－ sin x 在 [ － 3π，3π]上的零点个数为6，应选 C.答案C思想升华由函数图象的变换能较快画出函数图象，应当掌握平移(上下左右平移 )、翻折 (关于特别直线翻折 )、对称 (中心对称和轴对称 ) 等基本转变法与函数分析式的关系．追踪操练 1 已知函数 f(x)是定义在R上的偶函数，且 f(－ x－ 1)＝ f(x－ 1)，当 x∈ [－ 1,0] 时，f(x)＝－ x3，则对于 x 的方程 f(x)＝ |cos x|π在－5，1上的全部实数解之和为 () 22A．－7B．－ 6C．－ 3D．－ 1答案A分析由于函数 f(x)为偶函数，所以 f(－ x－ 1)＝ f(x＋ 1)＝ f(x－ 1)，所以函数 f(x)的周期为 2，如图，在同一平面直角坐标系内作出函数y＝ f(x) 与 y＝ |cos x|π的图象，由图知对于x 的方程f(x) ＝ |cos πx|在－5，1上的实数解有7 个．不如设7 个解中2 2x1<x2<x3<x4<x5<x6<x7，则由图得x1＋ x2＝－ 4，x3＋ x5＝－ 2，x4＝－ 1，x6＋ x7＝ 0，所以方程f(x)＝ |cos x|π在－514－ 2－ 1＋ 0＝－ 7，应选 A.2，2上的全部实数解的和为－方法二几何意义数形交流法模型解法几何意义数形交流法即在解决问题的过程中对题目中的一些代数式进行几何意义剖析，将其转变为与几何结构有关的问题，经过解决几何问题达到解决代数问题的目的．此方法合用于难以直接解决的抽象问题，可利用图形使其直观化，再经过图形的性质迅速解决问题．破解此类题的重点点：①剖析特点，一般从图形结构、性质等方面剖析代数式能否拥有几何意义．②进行转变，把要解决的代数问题转变为几何问题．③得出结论，将几何问题得出的结论回归到代数问题中，从而得出结论．典例 2假如实数 x ，y 知足 (x － 2)2＋ y 2＝ 3，则 y的最大值为 ()x13 3A. 2B. 3C. 2D. 3分析方程 (x － 2)2＋ y 2＝ 3 的几何意义为坐标平面上的一个圆，圆心为M(2,0) ，半径为 r ＝y ＝ y － 0则表示圆 M 上的点 A(x ， y)与 3(如图 )，而 x x － 0坐标原点 O(0， 0) 的连线的斜率．所以该问题可转变为动点A 在以 M (2,0)为圆心，以 3为半径的圆上移动，求直线 OA 的斜率的最大值．由图可知当∠ OAM 在第一象限，且直线 OA 与圆 M 相切时， OA 的斜率最大，此时 OM ＝ 2，AM ＝3，OA ⊥ AM ，则 OA ＝ OM 2－ AM 2＝ 1，tan ∠AOM ＝AM＝ 3，故 y的最OAx大值为 3，应选 D.答案D思想升华 解决此类问题需熟习几何结构的代数形式，一般从组成几何图形的基本要素进行剖析，主要有(1) 比值 —— 可考虑直线的斜率． (2) 二元一次式 —— 可考虑直线的截距． (3) 根式分式 —— 可考虑点到直线的距离．(4) 根式 —— 可考虑两点间的距离．追踪操练 2 设点 P(x ，y)知足： { x ＋ y － 3≤0， x － y ＋1≥0， x ≥1， y ≥1，y x则 x － y 的取值范围是 ( )33 3A. 2，＋ ∞B. －2， 2C. －3， 1D ． [－ 1,1]2 答案Bx ＋ y － 3≤0，分析x － y ＋ 1≥0，作出不等式组所表示的可行域， 如图暗影部x ≥1，y ≥1分所示 (包含界限 )，此中 A(2,1)， B(1,2)，令 t ＝ y ，f(t)＝t －1，依据 tx t的几何意义可知， t 为可行域内的点与坐标原点连线的斜率，连结OA ，OB ，明显 OA 的斜率 12最小， OB 的斜率 2 最大，即1≤t≤ 2由.于函数1在1332f(t)＝ t－， 2 上单一递加，故－2≤f(t) ≤，即t22y x33x－y的取值范围是－2，2.方法三圆锥曲线数形交流法模型解法圆锥曲线数形交流法是依据圆锥曲线中很多对应的长度、数式等都拥有必定的几何意义，挖掘题目中隐含的几何意义，采纳数形联合思想，迅速解决某些相应的问题．破解此类题的关键点：①画出图形，画出知足题设条件的圆锥曲线的图形，以及相应的线段、直线等．②数形求解，经过数形联合，利用圆锥曲线的定义、性质、直线与圆锥曲线的地点关系、圆与圆锥曲线的地点关系等进行剖析与求解．③得出结论，联合题目条件进行剖析，得出所要求解的结论．典例 3已知点 P 在抛物线 y2＝4x 上，那么点 P 到点 Q(2，－ 1)的距离与点 P 到抛物线焦点的距离之和获得最小值时，点P 的坐标为 ()11A. 4，－1B. 4，1C． (1,2)D． (1，－ 2)分析点 P 到抛物线焦点的距离等于点P 到抛物线准线的距离，如图所示，设焦点为 F ，过点 P 作准线的垂线，垂足为S，则 |PF|＋ |PQ|＝ |PS|＋ |PQ|，故当 S，P， Q 三点共线时获得最小值，此时P， Q 的纵坐标都是－ 1，设点 P 的横坐标为 x ，代入 y2＝ 4x 得 x ＝1，0041故点 P 的坐标为4，－ 1 ，应选 A.答案 A思想升华破解圆锥曲线问题的重点是画出相应的图形，注意数和形的互相浸透，并从有关的图形中发掘对应的信息进行研究．直线与圆锥曲线的地点关系的转变有两种，一种是经过数形联合成立相应的关系式，另一种是经过代数形式转变为二元二次方程组的解的问题进行议论．追踪操练3已知抛物线的方程为 x2＝ 8y，F 是其焦点，点 A(－2,4)，在此抛物线上求一点P，使△ APF 的周长最小，此时点P 的坐标为 ________．1答案－2，2分析2由于 (－ 2) <8×4，所以点 A(－ 2,4)在抛物线 x2＝ 8y 的内部，如下图，设抛物线的准线为l，过点 P 作 PQ⊥ l 于点 Q，过点 A 作 AB⊥ l 于点 B，连结 AQ，由抛物线的定义可知，△APF 的周长为 |PF|＋ |PA|＋ |AF|＝ |PQ |＋ |PA|＋ |AF| ≥|AQ|＋ |AF| ≥|AB|＋ |AF |，当且仅当 P，B，A 三点共线时，△APF 的周长获得最小值，即 |AB|＋ |AF |.由于 A( －2,4)，所以不如设△ APF 的周长最小时，点P 的坐标为 (－ 2， y0)，代入x2＝ 8y，得1y0＝2，1故使△APF 的周长最小的点P 的坐标为－2，2.。