第05章漩涡理论

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第05章漩涡理论

ωdσ＝ const.
36
结论：涡管不能在流体中以尖端形式终止或
开始，否则ｄσ→０时有ω→∞。因为 n d const

涡管存在的形式：要么终止
于流体边界或固体边界，要么自行封闭形成涡环。
不可能的情况
37
海姆霍兹第二定理海姆霍兹第二定理——涡管保持定理
正压、理想流体在有势质量力作用下，涡管永远由相同的流体质点所组成。涡管
问题
已知速度场可由式（3-39）和（3-40）求偏导来确定旋涡场。
已知旋涡场，能否确定速度场？这是本节要讨论的问题．
问题的前提：流场中只存在一部分旋涡，其
它区域全为无旋区。例如流场中有若干弧立涡丝，必然影响周围无旋区的速度分布。由涡丝引起的速度称为 41 旋涡诱导速度场。
涡丝诱导的速度场的计算: 为了求涡丝诱导速度场，现将电磁场中
(5-2)

n
d
为dσ 上的旋涡强度-涡通量
沿σ 面积分得旋涡强度：
J nd

(5-3)
若σ 是涡管的截面，则Ｊ称为涡管强度,或涡通量。Ｊ表征流场中旋涡强弱和分布面积大小的物理量
21 问题：式（5-3）与前面学过的什么公式类似？
二、速度环量二、速度环量（velocity circulation）速度环量：速度矢在积分路径方向的分量沿该
Γ
AB＝－Γ BA
（5－5)
速度环量的其他表示形式：
AB
V ds
AB
AB
V cos(V , ds )ds
Vx dx Vy dy Vz dz AB
23
沿封闭周线C的速度环量

第五章漩涡理论基础

第五章不可压缩流体的二维流动引言：在前面几章主要讨论了理想流体和黏性流体一维流动，为解决工程实际中存在的一维流动问题打下了良好的基础。

本章讨论理想不可压流体的二维有势流动以及二维黏性流体绕物体流动的基本概念。

第一节有旋流动和无旋流动刚体的运动可分解为移动和转动两种运动形式，流体具有移动和转动两种运动形式。

另外，由于流体具有流动性，它还具有与刚体不同的另外一种运动形式，即变形运动(deformationmotion)。

本节只介绍流体旋转运动即有旋流动(rotation—alflow)和无旋流动(irrotational flow)。

一、有旋流动和无旋流动的定义流体的流动是有旋还是无旋，是由流体微团本身是否旋转来决定的。

流体在流动中，如果流场中有若干处流体微团具有绕通过其自身轴线的旋转运动，则称为有旋流动，如果在整个流场中各处的流体微团均不绕自身轴线的旋转运动，则称为无旋流动。

强调“判断流体流动是有旋流动还是无旋流动，仅仅由流体微团本身是否绕自身轴线的旋转运动来决定，而与流体微团的运动轨迹无关。

”举例虽然流体微团运动轨迹是圆形，但由于微团本身不旋转，故它是无旋流动；在图5—1(b)中，虽然流体微团运动轨迹是直线，但微团绕自身轴线旋转，故它是有旋流动。

在日常生活中也有类似的例子，例如儿童玩的活动转椅，当转轮绕水平轴旋转时，每个儿童坐的椅子都绕水平轴作圆周运动，但是每个儿童始终是头向上，脸朝着一个方向，即儿童对地来说没有旋转。

二、旋转角速度(rotationalangularvelocity)为了简化讨论，先分析流体微团的平面运动。

如图5—2所示有一矩形流体微团ABCD在XOY平面内，经丛时间后沿一条流线运动到另一位置，微团变形成A，B，C，D。

流体微团在Z周的旋转角速度定义为流体微团在XOY平面上的旋转角速度的平均值速度环量是一个标量，但具有正负号。

速度环量的正负号与速度方向和积分时所取的绕行方向有关。

第五章：旋涡理论

11．若流场不是静止的，具有均匀速度 V，毕奥——沙伐尔诱导速度场的计算公式所计算出
的速度是否包含有均匀速度 V？
12．圆柱形涡，在 r< R 和 r>R 两个流场中，压力和速度分布如何？
13.已知平面流动的速度分布为：
u = x2 − y2 + x
v = −2xy − y
证明沿曲线 R2 = x2 + y2 的速度环量和流量均为零。
6.B-S 定理只适用于（
）
A）理想流体
B）不可压缩流体
C）粘性流体
D）理想流体或粘性流体
7．为什么涡线不能在流场中终止，只能终止在固体边界，或者流体边界，或者首尾相接形
成涡环。
8.对于无旋流场，存在速度势，是否存在环量Γ？为什么？
9．流体周线与流线有何差别？
10．涡线所诱导的速度场都是无旋场吗？为什么？
3.海姆霍兹定理
定理一：同一瞬时，涡管各截面上的涡管强度不变，
即 ∫∫ωndσ = ∫∫ ωndσ = const
σ1
σ2
定理二：前提为理想、正压流体，质量力有势，涡管永远由相同的流体质点所组成，又称
涡管保持定理。
定理三：前提为理想、正压流体，质量力有势，任何涡管的旋涡强度不随时间变化，又称
涡管强度保持定理。
推论二：无旋场内有一物体，则包含该物体在内的任意封闭曲线的环量不变。
速度环量Γ的计算：归纳如下：
（1）沿任意闭曲线的速度环量
对于无旋场：
∫ ∫ ∫ Γ =
B
A Vx dx + Vy dy + Vz dy =
B ∂ϕ dx + ∂ϕ dy + ∂ϕ dy =
A ∂x

流体力学漩涡理论

A
V Vs
B
ds
漩涡理论
速度环量的其他表示形式：
AB V ds
AB
V cos(V , ds )ds
AB
Vxdx Vydy Vzdz AB
A
速度环量单位为
m2 /s
V Vs
B
ds
漩涡理论
沿封闭周线C的速度环量
c c V s d s
V
α Vs
ds C
cV ds
V
c
xdx
V
ydy
1 2
VR2
p2(x2 2y2)c1 2V 2c
pp0 12V2VR2
结论：
旋涡外部压力分布：
pR
p0
1 2
V2
旋涡内部压力分布： pp012V2VR2
旋涡中心 r0, V 0
旋涡中心的相对压力为
pp0 VR2
旋涡外部:速度越大压力越小旋涡内部:速度越小压力越小
兰金涡:
（Rankine）
r<R内为旋转抛物面
3.速度环量的计算：（1）直接由定义计算（2）由斯托克斯定理，计算漩涡强度
4.毕奥－沙伐尔定理的应用— —诱导速度场的计算
作业 105页 1（1），8，11，15
dt
漩涡理论
汤姆逊定理和斯托克斯定理说明：
1) 推论: 流场中原来没有旋涡和速度环量的, 就永远无旋涡和速度环量。原来有旋涡和速度环量的，永远有旋涡并保持环量不变
2）在理想流体中,速度环量和旋涡不生不灭。因为不存在切向应力，不能传递旋转运动。
2）流场中漩涡的产生起因于：粘性，非正压
流场，非有势力。
第五章：旋涡理论(vortex theory) 1.旋涡场的基本概念（涡线，涡管，旋涡强

流体力学--漩涡理论 ppt课件

17
2 有限平面
C 2 n d 2 J

（单连通区域）
单连通区域： C 所包围的区域σ 内全部是流
体，没有固体或空洞。
3 任面
PPT课件
C
18
复连通域(多连通域)：
C的内部有空洞或者包含其他的物体。双连通域的斯托克斯定理
ABDB ' A' EA AB C BA L
该处的速度
v vx i v y j vz k
流速与流线相切
dx dy dz vx ( x, y, z, t ) vy ( x, y, z, t ) vz ( x, y, z, t )
v
ds
PPT课件
ds
8
涡管vortex tube
流管
元流截面积为无限小的涡束截面积为无限小的流束称为元流称为涡索（涡丝）。 PPT课件 9
AB Vx dx Vy dy Vz dz dx dy dz x y z AB AB
B
d B A
A
V
Vs
B
对于有旋场:
AB V ds Vx dx Vy dy Vz dz
AB AB
PPT课件
Ｂˊ Ａˊ ＢＡ
σ
C
Ｌ
Ｅ
AB BA
C L 2 n d

C
区域在走向的左侧
PPT课件 19
漩涡理论
推论一单连域内的无旋运动，流场中处处为零，则沿任意封闭周线的速度环量为零
c 2 n d 2 0d 0

沿某闭周线的速度环量为零，不一定无旋。
vx ( )dxdy x y vy

流体力学第五章：旋涡理论_OK

问题：式（5-3）与前面学过的什么公式类似？ 13
二、速度环量（velocity circulation）
速度环量：速度矢在积分路径方向的分量沿该
路径的线积分。
定义 AB ABVsds
（5－4）
某瞬时在流场中任取曲线AB
V Vs
B
微元弧 ds
Vs : v 在 ds 向的投影
ds
A
14
速度环量是标量，速度方向与积分AB曲线方
或 c cVs ds 2 nd
环量与旋涡强度通过线积分与面积分联系起来了。
（5－11）
n
d
C 19
证明:
流场中取微元矩形abcd
d abcda
vxdx
(vy
vy x
dx)dy
(vx
vx y
dy)dx
vydy
(vy vx )dxdy x y
y
d
vx
vx y
dy
c
而
( vy x
vx y
27
而积分式
d d dt dt
c vds
c
dv dt
ds
c
v
d dt
ds
由欧拉方程
dv
1
第一项积分可写成 c dt ds c (F p)ds
若质量力有势则
若流体正压则 p p P
c
dv dt
ds
c (U
P)ds
c d (U
P)
0
所以 d 0
dt
证毕
28
汤姆逊定理和斯托克斯定理说明：
式中：
ｒ: ds离场点P的矢径
θ: 是ds与ｒ的夹角
dH的方向: 垂直于ds和ｒ所在的平面，按右手法则确定。

2010-第五章旋涡理论流体力学

∂ω x ∂ω y ∂ω z + + =0 ∂x ∂y ∂z
∂a x ∂a y ∂a z + + =0 ∂x ∂y ∂z
1 ∂a z ∂a y − vx = ∂z 2 ∂y 1 ∂a x ∂a z v = − y ∂x 2 ∂z 1 ∂a y ∂a x v = z 2 ∂x − ∂y
∫
B
A
ϕ ϕB − ϕ A d=
Γ AB = ∫ V ⋅ ds =
AB
对于有旋场: 由公式
AB
∫ V dx + V dy + V dz
x y
计算 z
2. 若已知速度场，求沿一条闭曲线的速度环量
对于无旋场:
Γc
∂ϕ ∂ϕ ∂ϕ = z dz ∫ c Vx dx + Vy dy + V ∫ c ∂x dx + ∂y dy + ∂z dz dϕ ∫=
n n
1 2
结论：涡管不能在流体中以尖端形式终止或开始，否则ｄσ→０时有ω→∞。涡管存在的形式：要么终止于流体边界或固体边界，要么自行封闭形成涡环。不可能的情况
由该定理得到：涡管（涡线）本身首尾相接，形成一封闭的涡环或涡圈；涡管（涡线）两端可以终止于所研究流体的边壁上（固体壁面或自由面）。
例5.1 已知速度分布，求涡线方程。
ω=const
方法（详见p146）：
例5.2 已知漩涡强度, 求速度环量。
例5.4 已知速度向量，求绕圆心的速度环量。
方法（详见p146）：由速度环量定义，式（5-1-9），直接积分求得。
旋涡运动基本定理

流体力学5-漩涡理论

5.毕奥－沙伐尔定理
6.兰金组合涡
§５-１旋涡运动的基本概念
旋涡场: 存在旋涡运动的流场有旋运动： ω x,ω y,ω z在流场场中的旋涡
园球绕流尾流场中的旋涡
园柱绕流尾流场中的旋涡
有攻角机翼绕流尾流场中的旋涡
一、涡线,涡管,旋涡强度涡线(vortex line)：流线(streamline)：
Ｂˊ Ａˊ ＢＡ
σ
C
Ｌ
Ｅ
AB BA
C L 2 n d

C
区域在走向的左侧
漩涡理论
推论一单连域内的无旋运动，流场中处处为零，则沿任意封闭周线的速度环量为
零
c 2 n d 2 0d 0

沿某闭周线的速度环量为零，不一定无旋。
c

————斯托克斯定理
漩涡理论
三、斯托克斯定理
沿任意闭曲线的速度环量等于该曲线为边界的曲面内的旋涡强度的两倍,即 Γｃ＝２J 或
c Vs ds 2 n d
c

n
d C

漩涡理论
斯托克斯定理证明三步曲：
1、微元矩形abcd
d abcda vx vx dx (vy dx)dy (vx dy)dx v y dy x y
x A a, yA 4 a t xB a ,
yB 4 a t
4 a
t c4
两点涡相对位置保持不变，它们同时沿ｙ方向等速向下移动。
情况 ( b )
dx A Ａ点： xA v 0 dt dxB 0 B点： vxB dt
A t 2 4 a
（1）理想流体；

流体力学5-漩涡理论

对于无旋场:
c cVxdx Vydy Vzdz
c x dx y dy z dz c d 0
对于有旋场:
V
α Vs
ds C
c cVsds2nd
————斯托克斯定理
漩涡理论
15
三、斯托克斯定理
沿任意闭曲线的速度环量等于该曲线为边界的曲面内的旋涡强度的两倍,即 Γｃ＝２J
或 ccVsds2nd
漩涡理论 24
nd const. d 0, n
涡管不能在流体中以尖端形式终止或开始
涡管存在的形式：要么终止于流体边界或固
体边界，要么自行封闭形成涡环。
不可能的情况
25
海姆霍兹第二定理——涡管保持定理
正压、理想流体在有势质量力作用下，涡管永远由相同的流体质点所组成。
即涡管永远由相同的流体质点所组成。但涡管的形状和位置可能随时间变化。
2）流场中漩涡的产生起因于：粘性，非正压
流场，非有势力。
漩涡理论
23
§５-３海姆霍兹定理
海姆霍兹第一定理
（同一涡管各截面上的旋涡强度都相同）
abdbaea 2 nd
涡面上 n 0 abdbaea 0
a b b a 0
ab ba 0
（逆顺）
nd nd
1
2
或 nd const.
A
V Vs
B
ds
漩涡理论
11
速度环量的其他表示形式：
AB V ds
AB
V cos(V , ds )ds
AB
Vxdx Vydy Vzdz AB
A
速度环量单位为
m2 /s
V Vs
B
ds
漩涡理论

流体力学5-漩涡理论

dx)dy
(vx

vx y
dy)dx
vydy
( vy vx )dxdy x y
y
d
vx

vx y
dy
c
而
( v y x

vx y
)

2z
微矩形面积ds上的环量：
v y dy
dx
vy

vy x
dx
a vx
b x
0
d 2zdS 2ndS 2dJ
ab ba 0
Hale Waihona Puke ab ba C 0
（逆顺）
nd nd
1
2
或 nd const.

漩涡理论 24
nd const. d 0, n

涡管不能在流体中以尖端形式终止或开始
2）在理想流体中,速度环量和旋涡不生不灭。因为不存在切向应力，不能传递旋转运动。
2）流场中漩涡的产生起因于：粘性，非正压
流场，非有势力。
漩涡理论
23
§５-３海姆霍兹定理
海姆霍兹第一定理
（同一涡管各截面上的旋涡强度都相同）
abdbaea 2 nd
涡面上 n 0 abdbaea 0
dv

4r 2
sindx
ＭＮ段对Ｐ点的诱导速度：
v

2
sin d
4 R 1

4 R
(cos1

cos2
)
方向垂直于纸面向外
直涡丝ＭＮ
33
1.对于无限长直涡丝： θ１=０ θ２=180°
v

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C 所包围的区域σ内全部是流所包围的区域σ 体，没有固体或空洞。没有固体或空洞。
29
复连通域复连通域(多连通域)：复连通域(多连通域)
C的内部有空洞或者包
含其他的物体。含其他的物体 AB线将切开，线将σ AB线将σ切开，则沿周线 σ EA前进所围的区域 ABB，A，EA前进所围的区域为单连通域。为单连通域。
σ
（5－11） 11）
ωn
dσ C
环量与旋涡强度通过线积分与面积分联系起来了。与面积分联系起来了。
ω
r
28
证明: 略
上述斯托克斯定理只适用于“单连通区域” 上述斯托克斯定理只适用于“单连通区域”
Γc =
∫
c
Vs ds = ∫∫ Ωndσ = J 2 ∫∫ n d
σ
（5－11） 11）
单连通区域：单连通区域：
正压、理想流体在有势质量力作用下，正压、理想流体在有势质量力作用下，涡管永远由相同的流体质点所组成。涡管永远由相同的流体质点所组成。涡管
36
§５-３海姆霍兹定理３
海姆霍兹第一定理 ——涡管强度守恒定理
（同一涡管各截面上的旋涡强度都相同）同一涡管各截面上的旋涡强度都相同）海姆霍兹第一定理说明涡管各截面上的旋涡强度都相同。涡强度都相同。若涡管很小，若涡管很小， ω 垂直于 dσ ，则上式可写成 ωdσ＝ const. ＝
19
涡管（ vortex tube ）：
在旋涡场中任取一微小封闭曲线C 在旋涡场中任取一微小封闭曲线C（不是涡线），过上每一点作涡线，涡线），过C上每一点作涡线，这些涡线形成），的管状曲面称涡管。的管状曲面称涡管。
涡管
涡丝（vortex filament）： filament）：
涡管中充满着作旋转运动的流体，称为涡束。截面积为无流体，称为涡束。涡束限小的涡束称为涡索（涡丝）限小的涡束称为涡索（涡丝）。涡索
∫c ∫c
V s ds
α
r r V ⋅ ds
x y
r ds C
dy + V z dz
Vs
∫ c V dx + V
25
速度环量的计算
1) 已知速度场，求沿一条开曲线的速度环量已知速度场，
对于无旋流场: 对于无旋流场
Γ AB ∂ϕ ∂ϕ ∂ϕ = ∫ Vx dx + Vy dy + Vz dz = ∫ dx + dy + dz ∂x ∂y ∂z AB AB = ∫ dϕ = ϕ B − ϕ A
2
§5-1旋涡运动的基本概念旋涡运动的基本概念
有旋运动： ωx,ωy,ωz在流场中不全为零的流动有旋运动：
一般，整个流场中某些区域为旋涡区，一般，整个流场中某些区域为旋涡区，其余的地方则为无旋区域。的地方则为无旋区域。自然界中如龙卷风, 自然界中如龙卷风,桥墩后面规则的双排涡列等等是经常能观察到的旋涡运动的例子。列等等是经常能观察到的旋涡运动的例子。但在大多数情况下流动中的旋涡肉眼难于察觉。在大多数情况下流动中的旋涡肉眼难于察觉。
ΓC +ΓL = 2∫∫ωndσ
σ
Ｂˊ Ａˊ ＢＡ
Ｌ
Ｅ
C
(5(5-13)
这就是双连通域的斯托克斯定理。这就是双连通域的斯托克斯定理。
31
r 单连域内的无旋运动，单连域内的无旋运动，流场中处处 ω 为推论一零，则沿任意封闭周线的速度环量为零
Γ c = 2 ∫∫ ω n d σ = 2 ∫∫ 0d σ = 0
dΓ =0 dt
（5－14） 14）
34
汤姆逊定理和斯托克斯定理说明：汤姆逊定理和斯托克斯定理说明：在理想正压流体中, 1) 在理想正压流体中,速度环量和旋涡不生不灭。因为不存在切向应力，不能传递旋转运因为不存在切向应力，动。 2) 推论流场中原来有旋涡和速度环量的，永推论: 流场中原来有旋涡和速度环量的，远有旋涡并保持环量不变，原来没有旋涡和远有旋涡并保持环量不变，速度环量的, 就永远无旋涡和速度环量。速度环量的就永远无旋涡和速度环量。例如，从静止开始的波浪运动，例如，从静止开始的波浪运动，由于流体静止时是无旋的，因此产生波浪以后，体静止时是无旋的，因此产生波浪以后，波浪运动是无旋运动。浪运动是无旋运动。 35
C
用斯托克斯定理有: 用斯托克斯定理有:
Ｂˊ Ａˊ ＢＡ
Γ ABB ' A' EA = 2∫∫ ωn dσ
σ
Ｌ
Ｅ
ΓABDB' AEA =ΓAB +ΓC +ΓBA′ +ΓL ′ '
C
30 区域在走向的左侧
ΓＣ：沿外边界逆时针的环量 ΓL ：沿内边界顺时针的环量
ΓAB = ΓB′A′
积分路线相反，抵消掉了。积分路线相反，抵消掉了。最后有
Ｊ表征流场中旋涡强弱和分布面积大小的物理量
问题：式（5-3）与前面学过的什么公式类似？问题：与前面学过的什么公式类似22 ？
二二、速度环量（velocity circulation）速度环量（、速度环量 circulation）速度环量：速度矢在积分路径方向的分量沿该
路径的线积分。路径的线积分。
因素有关。因素有关。流体流过固体壁面时，流体流过固体壁面时，除壁面附近粘性影响严重的一薄层外，重的一薄层外，其余区域的流动可视为理想流体的无旋运动。的无旋运动。
17
旋涡场的几个基本概念：旋涡场的几个基本概念：
一、涡线,涡管,旋涡强度涡线,涡管, 涡线(vortex line)：涡线(vortex line)：
c
对于有旋场: 对于有旋场
Γc =
∫ V ds = 2 ∫∫ ω d σ σ
c s n
（5－11） 11）
27
此式称为斯托克斯定理
三、斯托克斯定理
斯托克斯定理：斯托克斯定理：沿任意闭曲线的速度环量等于该曲线为边界的曲面内的旋涡强度, 强度,即 Γc＝J 或
Γc =
∫
c
Vs ds = ∫∫ பைடு நூலகம்ndσ = J 2 ∫∫ n d
A B
对于有旋场: 对于有旋场
r r 由公式 ΓAB = ∫ V ⋅ ds = ∫ Vxdx +Vy dy +Vz dz
AB AB
计算
26
2. 若已知速度场，求沿一条闭曲线的速度环量若已知速度场，
对于无旋场: 对于无旋场
∂ϕ ∂ϕ ∂ϕ Γc = ∫ Vx dx + Vy dy + Vz dz = ∫ dx + dy + dz c c ∂x ∂y ∂z = ∫ dϕ = 0
第五章：旋涡理论( 第五章：旋涡理论(vortex theory)
第五章课堂提问：为什么处于龙卷风中心会是风平浪静？课堂提问：为什么处于龙卷风中心会是风平浪静？
为什么游泳时应避开旋涡区？为什么游泳时应避开旋涡区？旋涡场: 存在旋涡运动的流场旋涡场:
即流场中
ω≠0
r
本章仅讨论旋涡运动，不涉及力，属于运动学容。本章仅讨论旋涡运动，不涉及力，属于运动学容。旋涡场的特性不同于一般流场，旋涡场的特性不同于一般流场，需要专门进行研究
σ
Ｂˊ Ａˊ ＢＡ
Ｌ
Ｅ
则有：Γｃ＋ΓＬ＝０与积分路径方向一致时) 即 Γｃ＝ΓＬ (与积分路径方向一致时与积分路径方向一致时
C
33
§5-2 汤姆逊定理假设：假设：（1）理想流体；）理想流体；（2）质量力有势；）质量力有势；（3）正压流体（流体密度仅为压力的函数）正压流体（流体密度仅为压力的函数）汤姆逊定理: 汤姆逊定理: 沿流体质点组成的任一封闭流体而变. 周线的速度环量不随时间而变. 即
3
龙卷风1 龙卷风1
4
龙卷风2 龙卷风2
5
海上漩涡
6
海上漩涡
7
飞机漩涡
8
气旋
9
气旋
10
气旋
11
园盘绕流尾流场中的旋涡园盘形阻
12
园球绕流尾流场中的旋涡圆球形阻
13
园柱绕流尾流场中的旋涡圆柱绕流（交替涡）
14
有攻角机翼绕流尾流场中的旋涡
机翼失速 ( 有攻角)
18
由涡线的定义（涡矢量与涡线相切：由涡线的定义（涡矢量与涡线相切：叉积为零）得涡线微分方程式：叉积为零），得涡线微分方程式：
dx dy dz = = ωx (x, y, z, t) ωy (x, y, z, t) ωz (x, y, z, t)
(5(5-1)
积分上式可得涡线。若已知 ω x , ω y , ω z ，积分上式可得涡线。与流线的积分一样，看成参数。与流线的积分一样，将ｔ看成参数。ｔ取定值就得到该瞬时的涡线。值就得到该瞬时的涡线。
涡线上所有流体质点在同瞬时的旋转角速度矢量与此线相切。与此线相切。
ω2
r
ω3
r
ω
r
ω1
r
r ds
涡线微分方程：涡线微分方程：
取涡线上一段微弧长
r r r 该处的旋转角速度 ω = ω x i + ω y j + ω z k r
r r r r d s = d x i + d yj + d zk
定义 Γ AB = ∫AB Vs ds
（5－4）
某瞬时在流场中任取曲线AB 某瞬时在流场中任取曲线AB
r 微元弧 ds
r V Vs
B
Vs
r r :v 在 d s 向的投影 B r r ΓAB = ∫ Vds

第05章漩涡理论

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