现代数学基础

现代数学基础1《代数与编码》（第三版）万哲先编著2《应用偏微分方程讲义》姜孔尚孔德兴陈志浩编著3《实分析》（第二版）程民德邓东皋龙瑞麟编著4《高等概率论及其应用》胡迪鹤著5《线性代数与矩阵论》许以超编著6《矩阵论》詹兴致7《可靠性统计》茆诗松汤银才王玲玲编著8《泛函分析第二教程》（第二版）夏道行严绍宗舒五昌童裕孙编著9《无限维空间上的测度和积分—抽象调和分析》（第二版）夏道行著10《奇异摄动问题中的渐近理论》倪明康林武忠11《整体微分几何初步》（第三版）沈一兵编著12《数论Ⅰ—Ferma的梦想和类域论》加藤和也黑川信重斋藤毅著胥鸣伟印林生译13《数论Ⅱ—岩泽理论和自守形式》加藤和也栗原将人斋藤毅著印林生胥鸣伟译14《微分方程与数学物理问题》[瑞典]Nail H. lbragimov 著卢琦杨凯罗朝俊胡享平译15《有限群表示论》（第二版）曹锡华时俭益16《实变函数论与泛函分析》（上册·第二版修订本）夏道行吴卓人严绍宗舒五昌编著17《实变函数论与泛函分析》（下册·第二版修订本）夏道行吴卓人严绍宗舒五昌编著18《现代极限理论及其在随机结构中的应用》苏淳冯群强刘杰著19《偏微分方程》孔德兴20《几何与拓扑的概念导引》古志鸣编著21《控制论中的矩阵计算》徐树方著22《多项式代数》王东明牟晨琪李晓亮杨静金萌黄艳丽编著23 《矩阵计算六讲》徐树芳钱江著24《变分学讲义》张恭庆编著25《现代极小曲面讲义》Frederico Xavier·潮小李26《群表示论》丘维声编著27《可靠性数学引论》（修订版）曹晋华程侃著28《次正常算子解析理论》夏道行著28《复变函数专题选讲》余家荣路见可主编余家荣柏盛桄肖修治何育赞路见可编30《数论—从同余的观点出发》蔡天新31《多复变函数论》萧荫堂陈志华钟家庆著32《工程数学的新方法》蒋耀林33《现代芬斯勒几何初步》沈一兵沈忠民34《数论基础》潘承洞著展涛刘建亚校35《Toeplitz 系统预处理方法》金小庆著庞宏奎译36《索伯列夫空间》王明新37《伽罗瓦理论—天才的激情》章璞著38《李代数》(第二版) 万哲先编著39《实分析中的反例》汪林40《泛函分析中的反例》汪林著41《拓扑线性空间与算子谱理论》刘培德编著42《旋量代数与李群、李代数》戴建生43《格论导引》方捷著44《李群讲义》项武义侯自新孟道骥著45《古典几何学》项武义王申怀潘养廉著46《黎曼几何初步》伍鸿熙沈纯理虞言林著47《高等线性代数学》黎景辉白正简周国晖编著48《实分析与泛函分析(续论)》(上册) 匡继昌51《阶的估计基础》潘承洞于秀源52《非线性泛函分析》(第三版) 郭大钧著复习题1. 判断下面方程的类型并把它化成标准型：4520.xx xy yy x y u u u u u +++++=证明：因为判别式,0942〉=-=∆ac b 故方程为双曲型。

现代数学基础学习报告可修复人机系统解的渐进稳定性分析摘要本文通过分析系统算子的谱点分布及特征值,进而得出系统解的渐进稳定性. 人机系统是对作为主体的人和所控制的各种类型机器的统称.伴随着人机系统的日益庞大和复杂化,新技术及新材料应用速度不断加快,而预防设备并没有及时达到完善.因此,提高系统(包括硬件系统和软件系统)的稳定性一直以来都是工程学及其相应学科所迫切需要解决的问题.文献[1]中作者运用Laplace变换研究此模型,并指出了系统稳定解的存在性.文献[2]证明了系统动态非负解是存在唯一的.1泛函分析介绍泛函分析是20世纪30年代形成的数学分科，是从变分问题，积分方程和理论物理的研究中发展起来的。

它综合运用函数论，几何学，现代数学的观点来研究无限维向量空间上的泛函，算子和极限理论。

它可以看作无限维向量空间的解析几何及数学分析。

泛函分析在数学物理方程，概率论，计算数学等分科中都有应用，也是研究具有无限个自由度的物理系统的数学工具。

泛函分析的特点是它不但把古典分析的基本概念和方法一般化了，而且还把这些概念和方法几何化了。

比如，不同类型的函数可以看作是“函数空间”的点或矢量，这样最后得到了“抽象空间”这个一般的概念。

它既包含了以前讨论过的几何对象，也包括了不同的函数空间。

泛函分析对于研究现代物理学是一个有力的工具。

n维空间可以用来描述具有n个自由度的力学系统的运动，实际上需要有新的数学工具来描述具有无穷多自由度的力学系统。

比如梁的震动问题就是无穷多自由度力学系统的例子。

一般来说，从质点力学过渡到连续介质力学，就要由有穷自由度系统过渡到无穷自由度系统。

现代物理学中的量子场理论就属于无穷自由度系统。

正如研究有穷自由度系统要求n维空间的几何学和微积分学作为工具一样，研究无穷自由度的系统需要无穷维空间的几何学和分析学，这正是泛函分析的基本内容。

因此，泛函分析也可以通俗的叫做无穷维空间的几何学和微积分学。

古典分析中的基本方法，也就是用线性的对象去逼近非线性的对象，完全可以运用到泛函分析这门学科中。

现代数学基础教学的若干认识问题摘要：在当今大学的教学中，数学课程总是呈现出其固有的困难。

本文依据认识论的原理及作者本人的经验，试图科学地揭示出问题的本质与渊源。

文章提出了四个方面的问题：数学的超现实性；数学的认知规律；数学的价值观和教学主导思想；数学的美学内蕴等，并进行了初步的论述。

关键词：现代数学教学；超现实性；认知规律；价值观；美学内蕴在当今的大学里，数学几乎已经进入了一切专业的课堂，其作为基础课程的地位，日重一日。

然而数学在教学上的困难，却并不因为其重要性和地位的加重而有所改善。

几十年来，不少有志的同仁在实践上作出了许多改革尝试，企图改变现状，但均收效甚微。

看来数学教学所呈现的，并不只是技术和方法上的问题，而有其深刻的科学和文化上的渊源，需要我们去作认真的思索与解析。

一、数学的超现实性所谓学习，从心理科学上来看，乃是人的大脑的一种认知活动。

因而说数学难学，就意味着在数学认知上有不同寻常的难度。

为什么会有这个难度?为了探究其缘故，并寻求克服的途径，我们须要考察一下这个认知过程中的客体——数学。

现代抽象数学的任何分支，其内容是完全形式化的，这就是说其符号与语言，没有任何现实的物质含义，这就使得数学呈现出一种“超现实”的品格。

而就是这个“超现实性”，使得人们弄不清数学是从哪里来的?有什么用?它究竟是一种什么“学问”?当这些疑问得不到明白的解答，人们在心理上就会形成一种很大的阻抗，阻滞数学知识的灌注和吸收。

这一切说明做一名数学教师，不是仅仅照本宣科去讲清楚数学推理就够了，他需要自己先去弄明白上面的道理，去给学生疏通数学认知的通道。

现再回过头看数学的“超现实性”。

数学不是从天上掉下来的，它的任何分支都是更初级的内容演化发展的结果，追本溯源，它们都是自现实发端的有源之水，因此数学不可能是真正“超现实”的。

它之所以具有“超现实”的形式，事实上，这是由于它的极端的抽象性，即它对物质的无限高度的概括性，这就造成了它失去了一切物质属性。

现代数学基础习题1 集合与映射 -51 证明R ~)1,1(-，其中R 为实数集。

2 证明：如果M 是无限集，A 是可数集合，则A M M ⋃~。

3 记区间[]1,0中全体无理数所构成集合为D ，证明：[]1,0~D 。

4 证明：[]()1,0~1,0。

5 证明：(){}n i Q r r r r Qi n n≤≤∈=1,:,,,21 是可列集合。

2 实数集的紧理论 -61 设(1) ()∞=⎭⎬⎫⎩⎨⎧-+=1n nn 11A ，则=A inf 0，=A sup 23； (2) (){}π,,sin :0x x y y B ∈==，则=B inf 0，=B sup 1。

2设1R E ⊆，E h sup =，则{}E x n ⊆∃，使得{}h x n →。

3 设121R E E ⊆⊆≠Φ，则21E E inf inf ≥，≤1E sup 2E sup 。

4 设1R E⊆有上(或下)确界，则其上(或下)确界必唯一。

5 证明：1R 中单调有界数列必有极限。

6令∑==n1k nk 1x ，运用Cauchy 收敛准则证明：{}n x 发散。

3 闭区间上连续函数性质-11设连续函数列(){}x f n 在区间[]b a ,上一致收敛于函数()x f ，证明：()()⎰⎰=∞→baban n dx x f dx x f lim4 Lebesgue 可测集 - 41 设(){}c x k i b x a x x x E k i i i n k 1=≠<<=;,:,,,, ，则()0E m =*。

2 设n R E⊆是最多可数集，则()0E m =*。

3 证明：(1) 若()0E m =*，则n m E ∈；(2) 设()0E m=，E F ⊆∀，则n m F ∈，且()0=F m 。

4 设n m E ∈，Z 是零测集，则n m Z E ∈⋃，且()()E m Z E m=⋃。

5 Lebesgue 可测函数 -111 设()x f 是可测集n R E ⊆上的函数，如果对Q r ∈∀，()r fE>都是可测集，则对1R t ∈∀，()t f E >是可测集。

现代数学基础习题解答目录现代数学基础习题解答 (1)1 集合与映射 (2)2 实数集的紧理论 (4)3 闭区间上连续函数性质 (6)4 Lebesgue可测集 (7)5 Lebesgue可测函数 (8)6 Lebesgue积分的定义及性质 (14)7 距离空间的基本概念 (16)8 距离空间中的点集 (25)9 距离空间的完备性 (25)10 赋范线性空间的基本概念 (26)11 群的基本概念 (33)12 环与域的基本概念 (39)1 集合与映射 -51 证明R ~)1,1(-，其中R 为实数集。

证明 ： 设R 11x x f ⨯-∈⊆)},(|{，()f y x ∈,当且仅当21xxy -=， 容易验证，f 是双射。

所以R ~)1,1(-。

2 证明：如果M 是无限集，A 是可数集合，则A M M ⋃~。

证明： 不失一般性，设Φ=⋂A M 。

由于M 是无限集，故M 存在可数子集，设M '是M 的可数子集， 则()M M M M '⋃'-=，()()A M M M A M ⋃'⋃'-=⋃，且 ()Φ='⋂'-M M M ，()()Φ=⋃'⋂'-A M M M ，于是A M ⋃'是可数集合，记{},,,,21n m m m M ='，{},,,,21n a a a A M =⋃'， 令A M M f ⋃→:为：若Φ='-M M ，()n n a m f =； 若Φ≠'-M M ()⎩⎨⎧'-∈==M M x xm x a x f n n ,,，易知f 为双射，故A M M⋃~。

3 记区间[]1,0中全体无理数所构成集合为D ，证明：[]1,0~D 。

证明： 由于D 是无限集，故D 存在可数无线集，记为D '。

令[]Q Q ⋂='1,0，于是()D D D D '⋃'-=，[]()()Q D D D Q D '⋃'⋃'-='⋃=1,0，且()Φ='⋂'-D D D ，()()Φ='⋃'⋂'-Q D D D ，而且Q D '⋃'为可数集，记{},,,,21n d d d D ='，{},,,,21n q q q Q D ='⋃'，令[]1,0:→D f为：()⎩⎨⎧'-∈==D D x xd x q x f n n ,,，易知f 为双射，故[]1,0~D。

现代数学的基础数学除了是工程师的计算工具，物理学家的建模和解释工具，是能够单独存在的，是具有智力审美价值的，不是仅仅只是一些数值计算和逻辑证明，更多的是对人类思想极限的挑战。

当然由于是瞎扯，就不能深入，而且这里不能用数学符号，所以也无法具体介绍过程。

大学工科学习的所谓高等数学，其实还是初等数学，不过是学会了怎么计算初等函数的微分（例如加速度，边际效益等等）和积分（例如体积，面积，重量），也能用行列式解一次方程组，有的可能还能计算傅利叶变换等等，但是也只是掌握一点计算工具而已，大多数学生还是无法了解这些工具是怎么构造的，是怎么来的。

数学系的学生当然也要学习计算，但是在整个课程中占的比例极少，可能不到5%，大多数时间，还是在学习如何构造工具现有工具的来龙去脉，但是更重要的是在培养一种精细的思维方式和逻辑结构框架，只有具备了这些思维方式和逻辑框架，人才能超越直觉和常识，进入一种抽象的审美境界（当然达到这个境界的人不多，因为达到了，就是大数学家了）。

下面瞎扯一点基于数学系学生的角度了解的现代数学基础。

数学是什么？我们在中学，学习的数学定义是：数学是研究空间形式和数量关系的科学（也即数学是研究客观规律的科学），其实这个定义是不对的，柯朗就认为数学不能通过语意学定义。

我不认为数学是一种技术（当然可以作为计算工具和计算技术），也不是一门科学（当然可以作为物理学，化学，生物学等等科学的工具存在），数学是独立于所有学科的一个存在（独立于哲学，科学，文学，艺术等等）。

举例来讲，很多学科的基础定理或原则，如果不存在人，可能就不存在，因为依赖于人的参与，甚至物理学也是如此，没有人的观测，物理学的基础可能就不存在，但是数学不同，例如π这个常数，不管是不是有人，甚至是不是有地球，有时间，有宇宙，都是存在的。

所以我认为数学更是一种人类认识世界的思想和一种思维方式。

这种思维方式的特殊性在于他不是实证的，也不是形象类比的，而是基于逻辑的高度抽象，其概念完全可以没有任何现实背景，而仅仅是语义上的概念或凭空定义的概念，完全可以脱离现实而独立存在。

现代数学基础丛书195
【原创版】
目录
1.现代数学基础丛书的概述
2.现代数学基础丛书的内容
3.现代数学基础丛书的价值和影响
正文
现代数学基础丛书是由我国著名数学家、教育家陈省身教授主编的一套数学教材。

该丛书自 1959 年开始出版，至今已历经数十年，涵盖了现代数学的各个领域，成为了我国数学教育界的重要教材和参考书。

现代数学基础丛书的内容非常丰富，涵盖了代数、几何、分析、拓扑等现代数学的主要领域。

每一本书都是由该领域的专家编写，保证了内容的专业性和权威性。

例如，《线性代数》由陈景润编写，《微积分》由彭实戈编写，《概率论与数理统计》由陈希孺编写等。

这些教材不仅内容严谨，而且叙述清晰，适合各种层次的读者学习。

现代数学基础丛书的价值和影响不言而喻。

首先，该丛书为我国的数学教育提供了一套系统的教材，使得数学教育更加科学、规范。

其次，该丛书也是广大数学爱好者和研究人员的重要参考书，对于推动我国数学研究的发展起到了积极的作用。

最后，该丛书的出版，也展示了我国数学家的学术水平和精神风貌，对于提高我国数学的国际地位也有着重要的意义。

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现代数学基础（高等教育出版社）1《代数与编码》（第三版）万哲先编著2《应用偏微分方程讲义》姜孔尚孔德兴陈志浩编著3《实分析》（第二版）程民德邓东皋龙瑞麟编著4《高等概率论及其应用》胡迪鹤著5《线性代数与矩阵论》许以超编著6《矩阵论》詹兴致7《可靠性统计》茆诗松汤银才王玲玲编著8《泛函分析第二教程》（第二版）夏道行严绍宗舒五昌童裕孙编著9《无限维空间上的测度和积分—抽象调和分析》（第二版）夏道行著10《奇异摄动问题中的渐近理论》倪明康林武忠11《整体微分几何初步》（第三版）沈一兵编著12《数论Ⅰ—Ferma的梦想和类域论》加藤和也黑川信重斋藤毅著胥鸣伟印林生译13《数论Ⅱ—岩泽理论和自守形式》加藤和也栗原将人斋藤毅著印林生胥鸣伟译14《微分方程与数学物理问题》[瑞典]Nail H. lbragimov 著卢琦杨凯罗朝俊胡享平译15《有限群表示论》（第二版）曹锡华时俭益16《实变函数论与泛函分析》（上册·第二版修订本）夏道行吴卓人严绍宗舒五昌编著17《实变函数论与泛函分析》（下册·第二版修订本）夏道行吴卓人严绍宗舒五昌编著18《现代极限理论及其在随机结构中的应用》苏淳冯群强刘杰著19《偏微分方程》孔德兴20《几何与拓扑的概念导引》古志鸣编著21《控制论中的矩阵计算》徐树方著22《多项式代数》王东明牟晨琪李晓亮杨静金萌黄艳丽编著23 《矩阵计算六讲》徐树芳钱江著24《变分学讲义》张恭庆编著25《现代极小曲面讲义》Frederico Xavier·潮小李26《群表示论》丘维声编著27《可靠性数学引论》（修订版）曹晋华程侃著28《次正常算子解析理论》夏道行著28《复变函数专题选讲》余家荣路见可主编余家荣柏盛桄肖修治何育赞路见可编30《数论—从同余的观点出发》蔡天新31《多复变函数论》萧荫堂陈志华钟家庆著32《工程数学的新方法》蒋耀林33《现代芬斯勒几何初步》沈一兵沈忠民34《数论基础》潘承洞著展涛刘建亚校35《Toeplitz 系统预处理方法》金小庆著庞宏奎译36《索伯列夫空间》王明新37《伽罗瓦理论—天才的激情》章璞著38《李代数》(第二版)万哲先编著39《实分析中的反例》汪林40《泛函分析中的反例》汪林著41《拓扑线性空间与算子谱理论》刘培德编著42《旋量代数与李群、李代数》戴建生43《格论导引》方捷著44《李群讲义》项武义侯自新孟道骥著45《古典几何学》项武义王申怀潘养廉著46《黎曼几何初步》伍鸿熙沈纯理虞言林著47《高等线性代数学》黎景辉白正简周国晖编著48《实分析与泛函分析(续论)》(上册)匡继昌51《阶的估计基础》潘承洞于秀源52《非线性泛函分析》(第三版) 郭大钧著。

现代数学基础丛书195摘要：一、现代数学基础丛书的背景与意义1.现代数学的重要性2.丛书的出版目的和定位3.对我国数学研究的影响二、丛书的编辑原则与选材范围1.丛书的编辑原则2.丛书的选材范围三、丛书的分册内容简介1.代数2.几何3.分析4.概率论与数理统计5.计算数学与计算机科学四、丛书的学术价值与应用前景1.学术价值2.应用前景五、总结与展望1.对现代数学发展的贡献2.未来丛书的规划和展望正文：现代数学基础丛书是我国数学界具有重要影响力的出版物之一，全套共195 册。

这套丛书的出版，旨在为我国的数学研究和教学提供全面、系统、权威的教材和参考书，进一步推动我国数学事业的发展。

一、现代数学基础丛书的背景与意义现代数学是科学发展的基础，它在理论研究和实际应用中都发挥着至关重要的作用。

现代数学基础丛书正是为了满足我国数学研究和教学的需要，提高我国数学研究的整体水平而出版的。

这套丛书的出版，对于推动我国数学研究的发展，提高我国数学教育的质量，具有深远的意义。

二、丛书的编辑原则与选材范围现代数学基础丛书的编辑，遵循严谨、全面、系统、创新的原则。

在选材上，丛书广泛涵盖了代数、几何、分析、概率论与数理统计、计算数学与计算机科学等各个数学分支，既有理论研究的基础教材，也有应用研究的专题论述。

三、丛书的分册内容简介现代数学基础丛书共分为五大部分，分别是：代数、几何、分析、概率论与数理统计、计算数学与计算机科学。

1.代数部分：包括线性代数、抽象代数、代数几何等内容，为读者提供了代数学的基本理论和方法。

2.几何部分：包括解析几何、拓扑学、微分几何等内容，为读者展示了几何学的丰富内涵和广泛应用。

3.分析部分：包括实分析、复分析、泛函分析等内容，为读者提供了分析学的基本理论和方法。

4.概率论与数理统计部分：包括概率论、统计学、随机过程等内容，为读者提供了概率论与数理统计的基本理论和方法。

5.计算数学与计算机科学部分：包括数值分析、计算机图形学、符号计算等内容，为读者展示了计算数学与计算机科学在数学研究中的应用。