2015年清华大学金秋营数学基础试题及解答

2015年清华大学领军计划自主招生数学试题说明：本试卷共30小题，共100分。

在每小题给出的四个选项中，有一个或多个选项是符合题目要求的。

选不选对，得满分；选对但不全的，得部分分；有选错的，得0分。

1.设复数22cossin 33z i ππ=+，则21111z z +=-- （ ） A.0 B.1 C.12 D.322.设{}n a 为等差数列，,,,p q k l 为正整数，则“p q k l +>+”是“p q k l a a a a +>+”的（ ）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件 3.设,A B 是抛物线2y x =上的两点，O 是坐标原点，若OA OB ⊥，则 （ ）A.||||2OA OB ⋅≥B.||||OA OB +≥C.直线AB 过抛物线2y x =的焦点D.O 到直线AB 的距离小于等于1 4.设函数()f x 的定义域为(1,1)-，且满足：①()0,(1,0)f x x >∈-； ②()()(),1x yf x f y f xy++=+,(1,1)x y ∈-。

则()f x 为 （ ） A.奇函数 B.偶函数 C.减函数 D.有界函数 5.如图，已知直线y kx m =+与曲线()y f x =相切于两点，则()()F x f x kx =-有（ ）A.2个极大值点B.3个极大值点C.2个极小值点D.3个极小值点 6.ABC ∆的三边长分别为,,a b c 。

若2,3c C π=∠=，且sin sin()2sin20C B A A +--=，则（ ）A.2b a =B.ABC ∆的周长为2+C.ABC ∆D.ABC ∆ 7.设函数2()(3)xf x x e =-，则 （ ） A.()f x 有极小值，但无最小值 B.()f x 有极大值，但无最大值C.若方程()f x b =恰有一个实根，则36b e>D.若方程()f x b =恰有三个不同实根，则360b e<<8.已知222222{(,)|},{(,)|()()}A x y x y r B x y x a y b r =+==-+-=，已知1122{(,),(,)}A B x y x y =，则 （ ）A.22202a b r <+< B.1212()()0a x x b y y -+-= C.1212,x x a y y b +=+= D.221122a b ax by +=+9.已知非负实数,,x y z 满足2224423x y z z +++=，则543x y z ++的最小值为 （ ） A.1 B.2 C.3 D.4 10.设数列{}n a 的前n 项和为n S ，若对任意正整数n ，总存在正整数m ，使得n m S a =，则（ ） A.{}n a 可能为等差数列 B.{}n a 可能为等比数列C.{}n a 的任意一项均可写成{}n a 的两项之差D.对任意正整数n ，总存在正整数m ，使得n m a S =11.运动会上，有6名选手参加100米比赛，观众甲猜测：4道或5道的选手得第一名；观众乙猜测：3道的选手不可能得第一名；观众丙猜测：1，2，6道选手中的一位获得第一名；观众丁猜测：4，5，6道的选手都不可能获得第一名。

2015年清华大学夏令营试题解析01一质量为m 、长为L 的柔软绳自由悬垂，下端恰与一台秤的秤盘接触，如图1所示.某时刻放开柔软绳上端，求台秤的最大读数.解析 设t 时刻落到秤盘的绳长为x ，此时绳速为v =在(0)t t ∆∆→时间内，有质量为m x ρ∆=∆的绳落到盘秤上，其中ρ为绳的线密度.取向上为正方向，根据动量定理，有0()F t m v x v ρ∆=--∆⋅=∆⋅（忽略微元段绳本身的重力冲量）.解得22xF vv gx tρρρ∆===∆. 故3N F gx gx ρρ=+=.所以台秤的最大读数为3mg ，出现在软绳将要全部掉到盘秤上时.02单位面积带电量为σ的无限大均匀带电平板，从其中间挖去一半径为R 的圆板，如图2所示.求圆孔轴线上任意一点Q （坐标为x ）的电场强度.解析 无限大平板挖去一个圆板所产生的场强E 可以等效为一个无限大平板产生的场强1E 减去一个半径为R 的圆板产生的场强2E .根据高斯定理，有102E σε=. 由积分可求得带电圆板产生的场强为20(12E σε=. 所以合场强为120001222E E E σσσεεε⎛⎫=-=-= ⎝.03如图3所示，一对等量异号点电荷q +和q -的间距为l ，求两电荷延长线上一点1P 和中垂面上一点2P 的场强，1P 和2P 到两电荷连线中点O 的距离都是r .解析 1P 点的场强为12211()()22E kq l l r r ⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢-+⎥⎣⎦ 2P 点的场强为2222232222cos 244.()4l q q E kkl l r r qlkl r θ=⋅⋅=⋅++=+对于电偶极子，q ±之间的距离l 远比场点到它们的距离r 小得多.当l r <<时，有 222222232211222222224l l r r lr l r l l l l l r r r r r ⎛⎫⎛⎫+-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭-==≈⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 332224l l rl r ≈⎛⎫+ ⎪⎝⎭. 所以在电偶极子延长线上，1E 的大小为132qlE kr ≈. 在中垂面上，2E 的大小为23ql E kr ≈. 04推导点电荷的电势表达式.解析 在正点电荷Q 的电场中，把正试探电荷q 沿电场线从a 点移到b 点，我们来计算在此过程中库仑力所做的功.我们把ab 分成很多足够小的小段，其中任一小段的两端到场源电荷的距离分别为1i r -和i r ，则试探电荷在该段所受的平均力为1i i iQqF kr r -=. 于是库仑力在这一小段里做的功为11111()i i i i i i i i i QqW F r kr r kQq r r r r ---⎛⎫=∆=⋅-=- ⎪⎝⎭.对各小段的功求和，就得到库仑力对试探电荷所做的总功，即11111i i i a b W W kQq kQq r r r r -⎛⎫⎛⎫==-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∑∑.于是a 、b 两点的电势差为11a b ab a b WU kQ q r r ϕϕ⎛⎫-===- ⎪⎝⎭. 规定离场源电荷无穷远处（即b r →∞）为电势零点，则在离场源电荷()a r r r =处的电势为Qkrϕ=. 05如图4所示，某质子加速器使每个质子获得动能k E ，很细的质子束射向一个远离加速器、半径为r 的金属球，从球心到质子束延长线的垂直距离为2rd =.假定质子与金属球相碰后将其电荷q 全部交给金属球，经足够长时间后，求金属球的最高电势值（以无穷远处的电势为零）.解析 设质子初速度为0v ，当金属球充电到电势为U 时，质子与金属球相切而过，此时速度设为v.由于质子在向金属球运动时，只受库仑力且力的方向沿球径向，故质子对球心O 的角动量守恒，有0mv d mvr =. 解得2v v =. 根据动能定理，有2201122qU mv mv -=-. 解得20313424k U mv E q q=⋅=.06如图5所示，质量为M 的足够长金属导轨abcd 放在光滑的绝缘水平面上.一电阻不计、质量为m 的导体棒PQ 放置在导轨上，始终与导轨接触良好，PQbc 构成矩形.棒与导轨间的动摩擦因数为μ，棒左侧有两个固定于水平面的立柱.导轨bc 段长为L ，开始时PQ 左侧导轨的总电阻为R ，右侧导轨单位长度的电阻为0R 。

清华强基数学试题及答案一、选择题（每题3分，共30分）1. 下列哪个数列是等差数列？A. 1, 3, 5, 7, 9B. 2, 4, 8, 16, 32C. 1, 2, 4, 8, 16D. 3, 5, 7, 11, 13答案：A2. 函数f(x) = x^2 - 4x + 4的最小值是多少？A. 0B. 1C. 4D. -1答案：B3. 已知集合A={1, 2, 3}，B={2, 3, 4}，求A∩B。

A. {1, 2, 3}B. {2, 3}C. {1, 4}D. {3, 4}答案：B4. 求极限lim(x→0) (sin(x)/x)的值。

A. 0C. π/2D. ∞答案：B5. 以下哪个函数是奇函数？A. f(x) = x^2B. f(x) = x^3C. f(x) = x^4D. f(x) = x^5答案：B6. 已知向量a=(1, 2)和向量b=(-1, 2)，求向量a和向量b的点积。

A. 3B. -3C. 0D. 5答案：C7. 已知椭圆方程为x^2/9 + y^2/4 = 1，求该椭圆的离心率。

A. 1/3B. √2/3C. √3/2D. 2/3答案：B8. 求定积分∫(0 to π) sin(x) dx的值。

B. 0C. -2D. π答案：B9. 已知双曲线方程为x^2/a^2 - y^2/b^2 = 1，当a=2，b=1时，该双曲线的渐近线方程是什么？A. y = ±x/2B. y = ±2xC. y = ±xD. y = ±1/2x答案：A10. 求二项式(1+x)^5的展开式中x^3的系数。

A. 10B. 20C. 25D. 30答案：B二、填空题（每题4分，共20分）11. 已知等比数列的首项为2，公比为3，求该数列的第5项。

答案：48612. 计算行列式|1 2; 3 4|的值。

答案：-213. 已知函数f(x) = 2x - 3，求f(5)的值。

2011年清华金秋营数学试题及解答1.求sinn πsin Λn π2sin nn π)1(-的值。

解：设ni n ππεsin cos +=（i 为虚数单位）,则1,)1(22,,-n εεεΛ为012=-nx 的根。

kk k k i i n k εεεεπ212sin 2-=-=-，sin n πsin Λn π2sin nn π)1(-=)1(2111)1(2422)1()1)(1(-------n n n n n i εεεεΛ =211)1(2421)(2)1()1)(1()1(--------n n n n i εεεΛ=1)1(2422)1()1)(1(-----n n εεεΛ,而)())(()1(224222----n x x x εεεΛ=12)2(2)1(2+++--x x x n n Λ,n n =---∴-)1()1)(1()1(242εεεΛ12)1(sin 2sinsin-=-∴n n n n n nπππΛ 2.定义符号Ord p (n)(其中n 为整数，p 为素数）满足：若Ord p (n)= m ，则表示p m|n,并且p1+m ҂n ,定义S p (n)表示n 在p 进制表示下各位数字之和.（1)求证：Ord p (n!)=1)(--P n S n P（2)利用（1）的结论证明：)!1(!)!2(+n n n 为整数.（3)利用（1）的结论证明：)!1()!())!1((++n mn m n 为整数.证明：（1）设n=a k p k+11--k k pa +Λ+a 0,a i ∈{0,1,Λ,p-1}则Ord p （n!)=⎥⎦⎤⎢⎣⎡∑∞+=i p n i 1=a k p1-k +21--k k pa +Λ+a 2p+a 1 +a k p2-k +31--k k pa +Λ+a 2+Λ+a k=11--p p a k k +1111----p p a k k +Λ+1122--p p a +1111--p p a=1)()(0110111-+++-+++---p a a a a a p a p a p a k k k k k k ΛΛ=1)(--P n S n P(2)设p α||(n+1) (P 为n+1的任一素 因子) 即n+1=a k p k+ a 1-k p 1-k +Λa αp α(0≤a i ≤p-1,且1≤a α≤p-1)则n=a k p k+a 1-k p1-k +Λ+(a α-1)p α+(p-1)p1-α+(p-1)p2-α+Λ+(p-1)2n=2a k p k +2a 1-k p1-k +Λ+2(a α-1)p α+2(p-1)p1-α+2(p-1)p2-α+Λ+2(p-1)显然*∈+=+N C n C n n n n n n n 22,1)!1(!)!2(S p (n)=a k +a 1-k +Λ+(a α-1)+α(p-1)S p (2n)=2(a k +a 1-k +Λ+(a α-1))-α(p-1)-t(p-1) (t ≥0)Ord p （C nn 2)=Ord p （2n!)-2Ord p （n!)=1)2()(2--p n S n S p p =1)1()1(--+-p p t p α=αα≥+tnn C p 2|α∴, 即)!1(!)!2(+n n n *∈N .(3).由题知：若p 为n+1的素因子，且)1(||+n p α,则（p,m)=(1,(p,n))=1, 设n+1=a k p k+ a 1-k p1-k +Λa αp α(a α)1≥mn=b k p k + b 1-k p1-k +Λb 0(b 0)1≥ 则，n=a k p k+ a 1-k p1-k +Λ(a α-1)p α+(p-1)p1-α+Λ+(p-1)mn+n=(a k +b k )p k+(a 1-k +b 1-k )p1-k +Λ(a α+b α-1)p α+(b 1-α+p-1)p1-α+Λ(b 0+p-1)S p (n)=a k + a 1-k +Λ(a α-1)+α(p-1)S p (mn)=b k + b 1-k +Λb 0,10≥b Θ,S p (mn+n)=(a k +b k )+(a 1-k +b 1-k )+Λ(a α+b α-1)-)1()1(---p t p α (其中a k +b k ,a 1-k +b 1-k ,+Λa α+b α,共有t 次进位）显然1)!1()!())!1((+=+++n C n mn m n n n mn ，=∴+)(nn mn p C Ord Ord p （（mn+n)!)-Ord p （n!)-Ord p （(mn)!) =1)()()(-+-+p n mn S n S mn S p p p=αα≥+tnn mn C p +∴|α,即)!1()!())!1((++n mn m n *∈N 。

2015年普通高等学校招生全国统一考试课标全国Ⅰ理科数学注意事项:1.本试题分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,第Ⅰ卷1至3页,第Ⅱ卷3至5页.2.答题前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置.3.全部答案在答题卡上完成,答在本试题上无效.4.考试结束后,将本试题和答题卡一并交回.第Ⅰ卷一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.(2015课标全国Ⅰ,理1)设复数z满足1+z=i,则|z|=()A.1B.2C.3D.2答案:A解析:∵1+z=i,∴z=i−1=(i−1)(−i+1)=i,∴|z|=1.2.(2015课标全国Ⅰ,理2)sin 20°cos 10°-cos 160°sin 10°=()A.-32B.32C.-12D.12答案:D解析:sin20°cos10°-cos160°sin10°=sin20°cos10°+cos20°sin10°=sin(10°+20°)=sin30°=12.3.(2015课标全国Ⅰ,理3)设命题p:∃n∈N,n2>2n,则p为()A.∀n∈N,n2>2nB.∃n∈N,n2≤2nC.∀n∈N,n2≤2nD.∃n∈N,n2=2n答案:C解析:∵p:∃n∈N,n2>2n,∴p:∀n∈N,n2≤2n.故选C.4.(2015课标全国Ⅰ,理4)投篮测试中,每人投3次,至少投中2次才能通过测试.已知某同学每次投篮投中的概率为0.6,且各次投篮是否投中相互独立,则该同学通过测试的概率为()A.0.648B.0.432C.0.36D.0.312答案:A解析:由条件知该同学通过测试,即3次投篮投中2次或投中3次.故P=C320.62(1-0.6)+C330.63=0.648.5.(2015课标全国Ⅰ,理5)已知M(x0,y0)是双曲线C:x 22-y2=1上的一点,F1,F2是C的两个焦点.若MF1·MF2<0,则y0的取值范围是()A. −3,3B. −3,3C. −22,22D. −23,23答案:A解析:由条件知F1(-3,0),F2(3,0),∴MF1=(-3-x0,-y0),MF2=(3-x0,-y0),∴MF1·MF2=x02+y02-3<0.①又∵x022−y02=1,∴x02=2y02+2.代入①得y02<13,∴-3<y0<3. 6.(2015课标全国Ⅰ,理6)《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著,书中有如下问题:“今有委米依垣内角,下周八尺,高五尺.问:积及为米几何?”其意思为:“在屋内墙角处堆放米(如图,米堆为一个圆锥的四分之一),米堆底部的弧长为8尺,米堆的高为5尺,问米堆的体积和堆放的米各为多少?”已知1斛米的体积约为1.62立方尺,圆周率约为3,估算出堆放的米约有( ) A .14斛 B .22斛 C .36斛 D .66斛 答案:B解析:设底面圆半径为R ,米堆高为h.∵米堆底部弧长为8尺,∴14·2πR=8,∴R=16π.∴体积V=1×1·πR 2h=1×π× 16 2×5.∵π≈3,∴V ≈3209(尺3). ∴堆放的米约为3209×1.62≈22(斛).7.(2015课标全国Ⅰ,理7)设D 为△ABC 所在平面内一点,BC =3CD ,则( )A .AD =-1AB +4AC B .AD =1AB −4AC C .AD =43AB +13AC D .AD=43AB −13AC 答案:A解析:如图:∵AD =AB +BD,BC =3CD , ∴AD =AB +43BC =AB +43(AC −AB )=-13AB +43AC. 8.(2015课标全国Ⅰ,理8)函数f (x )=cos(ωx+φ)的部分图像如图所示,则f (x )的单调递减区间为( ) A . kπ−1,kπ+3 ,k ∈Z B . 2kπ−1,2kπ+3 ,k ∈Z C . k −14,k +34 ,k ∈Z D . 2k −1,2k +3 ,k ∈Z 答案:D解析:不妨设ω>0,由函数图像可知,其周期为T=2× 54−14=2,所以2πω=2,解得ω=π. 所以f (x )=cos(πx+φ).由图像可知,当x=12 14+54=34时,f (x )取得最小值,即f 3 =cos3π+φ =-1,解得3π4+φ=2k π+π(k ∈Z ),解得φ=2k π+π4(k ∈Z ).令k=0,得φ=π,所以f (x )=cos πx +π.令2k π≤πx+π≤2k π+π(k ∈Z ),解得2k-14≤x ≤2k+34(k ∈Z ).所以函数f (x )=cos πx +π4的单调递减区间为 2k−14,2k +34(k ∈Z ).结合选项知应选D .9.(2015课标全国Ⅰ,理9)执行下面的程序框图,如果输入的t=0.01,则输出的n=( )A .5B .6C .7D .8答案:C解析:∵S=1,n=0,m=1,t=0.01,∴S=S-m=12,m=m 2=14,n=n+1=1,S>0.01,∴S=14,m=18,n=2,S>0.01,∴S=1,m=1,n=3,S>0.01,∴S=1,m=1,n=4,S>0.01,∴S=132,m=164,n=5,S>0.01,∴S=1,m=1,n=6,S>0.01,∴S=1,m=1,n=7,S<0.01,∴n=7.10.(2015课标全国Ⅰ,理10)(x 2+x+y )5的展开式中,x 5y 2的系数为( ) A .10 B .20 C .30 D .60 答案:C解析:由于(x 2+x+y )5=[(x 2+x )+y ]5,其展开式的通项为T r+1=C 5r (x 2+x )5-r y r (r=0,1,2,…,5),因此只有当r=2,即T 3=C 52(x 2+x )3y 2中才能含有x 5y 2项.设(x 2+x )3的展开式的通项为S i+1=C 3i (x 2)3-i ·x i =C 3i x 6-i(i=0,1,2,3),令6-i=5,得i=1,则(x 2+x )3的展开式中x 5项的系数是C 31=3,故(x 2+x+y )5的展开式中,x 5y 2的系数是C 52·3=10×3=30. 11.(2015课标全国Ⅰ,理11)圆柱被一个平面截去一部分后与半球(半径为r )组成一个几何体,该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示.若该几何体的表面积为16+20π,则r=( ) A .1 B .2 C .4 D .8 答案:B解析:由条件知,该几何体是由一个圆柱被过圆柱底面圆直径的平面所截剩下的半个圆柱及一个半球拼接而成,其表面积是一个矩形面积、两个半圆面积、圆柱侧面积的一半、球表面积的一半相加所得,所以表面积为S 表=2r×2r+2×12πr 2+πr×2r+12×4πr 2=5πr 2+4r 2=16+20π,解得r=2.12.(2015课标全国Ⅰ,理12)设函数f (x )=e x (2x-1)-ax+a ,其中a<1,若存在唯一的整数x 0使得f (x 0)<0,则a 的取值范围是( )A. −32e ,1B. −32e,34C.32e ,34D.32e,1答案:D解析:设g(x)=e x(2x-1),h(x)=a(x-1),则不等式f(x)<0即为g(x)<h(x).因为g'(x)=e x(2x-1)+2e x=e x(2x+1),当x<-12时,g'(x)<0,函数g(x)单调递减;当x>-12时,g'(x)>0,函数g(x)单调递增.所以g(x)的最小值为g −1.而函数h(x)=a(x-1)表示经过点P(1,0),斜率为a的直线.如图,分别作出函数g(x)=e x(2x-1)与h(x)=a(x-1)的大致图像.显然,当a≤0时,满足不等式g(x)<h(x)的整数有无数多个.函数g(x)=e x(2x-1)的图像与y轴的交点为A(0,-1),与x轴的交点为D1,0.取点C −1,−3e.由图可知,不等式g(x)<h(x)只有一个整数解时,须满足k PC≤a<k PA.而k PC=0−−3e=3,k PA=0−(−1)=1,所以32e ≤a<1.故选D.第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分.第13题~第21题为必考题,每个试题考生都必须做答.第22题~第24题为选考题,考生根据要求做答.二、填空题:本大题共4小题,每小题5分.13.(2015课标全国Ⅰ,理13)若函数f(x)=x ln(x+ a+x2)为偶函数,则a=.答案:1解析:∵f(x)是偶函数,∴f(-1)=f(1).又f(-1)=-ln(-1+a+1)=ln a+1+1a,f(1)=ln(1+a+1),因此ln(a+1+1)-ln a=ln(a+1+1),于是ln a=0,∴a=1.14.(2015课标全国Ⅰ,理14)一个圆经过椭圆x 2+y2=1的三个顶点,且圆心在x轴的正半轴上,则该圆的标准方程为.答案: x−32+y2=25解析:由条件知圆经过椭圆的三个顶点分别为(4,0),(0,2),(0,-2),设圆心为(a,0)(a>0),所以(a−0)2+(0−2)2=4-a,解得a=32,故圆心为32,0,此时半径r=4-32=52,因此该圆的标准方程是 x−322+y2=254.15.(2015课标全国Ⅰ,理15)若x,y满足约束条件x−1≥0,x−y≤0,x+y−4≤0,则yx的最大值为.答案:3解析:画出约束条件对应的平面区域(如图),点A为(1,3),要使y最大,则y−0最大,即过点(x,y),(0,0)两点的直线斜率最大,由图形知当该直线过点A时,yx max =3−01−0=3.16.(2015课标全国Ⅰ,理16)在平面四边形ABCD 中,∠A=∠B=∠C=75°,BC=2,则AB 的取值范围是 . 答案:( 6− 2, 6+ 2) 解析:如图.作CE ∥AD 交AB 于E ,则∠CEB=75°,∠ECB=30°. 在△CBE 中,由正弦定理得,EB= − 延长CD 交BA 的延长线于F ,则∠F=30°. 在△BCF 中,由正弦定理得,BF= 6+ 2, 所以AB 的取值范围为( 6− 2, 6+ 2).三、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.(本小题满分12分)(2015课标全国Ⅰ,理17)S n 为数列{a n }的前n 项和.已知a n >0,a n 2+2a n =4S n +3. (1)求{a n }的通项公式; (2)设b n =1a n a n +1,求数列{b n }的前n 项和.解:(1)由a n 2+2a n =4S n +3,可知a n +12+2a n+1=4S n+1+3.可得a n +12−a n 2+2(a n+1-a n )=4a n+1,即2(a n+1+a n )=a n +12−a n 2=(a n+1+a n )(a n+1-a n ). 由于a n >0,可得a n+1-a n =2.又a 12+2a 1=4a 1+3,解得a 1=-1(舍去),a 1=3.所以{a n }是首项为3,公差为2的等差数列,通项公式为a n =2n+1. 6分(2)由a n =2n+1可知b n =1n n +1=1=11−1.设数列{b n }的前n 项和为T n ,则 T n =b 1+b 2+…+b n=12 13−15 + 15−17 +⋯+12n +1−12n +3=n . 12分18.(本小题满分12分)(2015课标全国Ⅰ,理18)如图,四边形ABCD 为菱形,∠ABC=120°,E ,F 是平面ABCD 同一侧的两点,BE ⊥平面ABCD ,DF ⊥平面ABCD ,BE=2DF ,AE ⊥EC.(1)证明:平面AEC ⊥平面AFC ;(2)求直线AE 与直线CF 所成角的余弦值. 解:(1)连结BD ,设BD ∩AC=G ,连结EG ,FG ,EF.在菱形ABCD 中,不妨设GB=1. 由∠ABC=120°,可得AG=GC=由BE ⊥平面ABCD ,AB=BC ,可知AE=EC. 又AE ⊥EC ,所以EG= 3,且EG ⊥AC. 在Rt △EBG 中,可得BE= 2,故DF= 2. 在Rt △FDG 中,可得FG= 62.在直角梯形BDFE 中,由BD=2,BE= 2,DF= 22,可得EF=3 22. 从而EG 2+FG 2=EF 2,所以EG ⊥FG. 又AC ∩FG=G ,可得EG ⊥平面AFC.因为EG ⊂平面AEC ,所以平面AEC ⊥平面AFC. 6分(2)如图,以G 为坐标原点,分别以GB ,GC 的方向为x 轴、y 轴正方向,|GB |为单位长,建立空间直角坐标系G-xyz.由(1)可得A (0,- E (1,0, F −1,0,2,C (0, 3,0),所以AE =(1, 3, 2),CF= −1,− 3, 2 . 10分故cos <AE ,CF >=AE ·CF|AE ||CF|=- 33. 所以直线AE 与直线CF 所成角的余弦值为 3.12分19.(本小题满分12分)(2015课标全国Ⅰ,理19)某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费,需了解年宣传费x (单位:千元)对年销售量y (单位:t)和年利润z (单位:千元)的影响.对近8年的年宣传费x i 和年销售量y i (i=1,2,…,8)数据作了初步处理,得到下面的散点图及一些统计量的值.表中w i = x i ,w =18∑i =18w i. (1)根据散点图判断,y=a+bx 与y=c+d x 哪一个适宜作为年销售量y 关于年宣传费x 的回归方程类型?(给出判断即可,不必说明理由)(2)根据(1)的判断结果及表中数据,建立y 关于x 的回归方程;(3)已知这种产品的年利润z 与x ,y 的关系为z=0.2y-x.根据(2)的结果回答下列问题: ①年宣传费x=49时,年销售量及年利润的预报值是多少? ②年宣传费x 为何值时,年利润的预报值最大?附:对于一组数据(u 1,v 1),(u 2,v 2),…,(u n ,v n ),其回归直线v=α+βu 的斜率和截距的最小二乘估计分别为β^=∑i =1n(u i −u )(v i −v )∑i =1n(u i −u )2,α^=v −β^u .解:(1)由散点图可以判断,y=c+d x 适宜作为年销售量y 关于年宣传费x 的回归方程类型.2分(2)令w= x ,先建立y 关于w 的线性回归方程.由于d ^=∑i =18(w i −w )(y i −y )∑i =18(w i −w )2=108.81.6=68, c ^=y −d ^w =563-68×6.8=100.6,所以y 关于w 的线性回归方程为y ^=100.6+68w ,因此y 关于x 的回归方程为y ^=100.6+68 x . 6分(3)①由(2)知,当x=49时,年销售量y 的预报值y ^=100.6+68 49=576.6,年利润z 的预报值z ^=576.6×0.2-49=66.32. 9分②根据(2)的结果知,年利润z 的预报值z ^=0.2(100.6+68 x )-x=-x+13.6 x +20.12.所以当 x =13.6=6.8,即x=46.24时,z ^取得最大值.故年宣传费为46.24千元时,年利润的预报值最大.12分20.(本小题满分12分)(2015课标全国Ⅰ,理20)在直角坐标系xOy 中,曲线C :y=x 24与直线l :y=kx+a (a>0)交于M ,N两点.(1)当k=0时,分别求C 在点M 和N 处的切线方程;(2)y 轴上是否存在点P ,使得当k 变动时,总有∠OPM=∠OPN ?说明理由. 解:(1)由题设可得M (2 a ,a ),N (-2 a ,a ),或M (-2 a ,a ),N (2 a ,a ).又y'=x 2,故y=x 24在x=2 a 处的导数值为 a ,C 在点(2 a ,a )处的切线方程为y-a= a (x-2 a ),即 a x-y-a=0. y=x 2在x=-2 a 处的导数值为- a ,C 在点(-2 a ,a )处的切线方程为y-a=- a (x+2 a ),即 a x+y+a=0. 故所求切线方程为 a x-y-a=0和 a x+y+a=0. 5分(2)存在符合题意的点,证明如下:设P (0,b )为符合题意的点,M (x 1,y 1),N (x 2,y 2),直线PM ,PN 的斜率分别为k 1,k 2. 将y=kx+a 代入C 的方程得x 2-4kx-4a=0. 故x 1+x 2=4k ,x 1x 2=-4a.从而k 1+k 2=y 1−b x 1+y 2−bx 2=2kx 1x 2+(a−b )(x 1+x 2)x 1x 2=k (a +b )a.当b=-a 时,有k 1+k 2=0,则直线PM 的倾角与直线PN 的倾角互补,故∠OPM=∠OPN ,所以点P (0,-a )符合题意. 12分21.(本小题满分12分)(2015课标全国Ⅰ,理21)已知函数f (x )=x 3+ax+1,g (x )=-ln x.(1)当a 为何值时,x 轴为曲线y=f (x )的切线;(2)用min{m ,n }表示m ,n 中的最小值,设函数h (x )=min{f (x ),g (x )}(x>0),讨论h (x )零点的个数. 解:(1)设曲线y=f (x )与x 轴相切于点(x 0,0),则f (x 0)=0,f'(x 0)=0,即 x 03+ax 0+1=0,3x 02+a =0.解得x 0=1,a=-3.因此,当a=-34时,x 轴为曲线y=f (x )的切线. 5分(2)当x ∈(1,+∞)时,g (x )=-ln x<0,从而h (x )=min{f (x ),g (x )}≤g (x )<0,故h (x )在(1,+∞)无零点. 当x=1时,若a ≥-54,则f (1)=a+54≥0,h (1)=min{f (1),g (1)}=g (1)=0,故x=1是h (x )的零点;若a<-54,则f (1)<0,h (1)=min{f (1),g (1)}=f (1)<0,故x=1不是h (x )的零点.当x ∈(0,1)时,g (x )=-ln x>0.所以只需考虑f (x )在(0,1)的零点个数.(ⅰ)若a ≤-3或a ≥0,则f'(x )=3x 2+a 在(0,1)无零点,故f (x )在(0,1)单调.而f (0)=14,f (1)=a+54,所以当a ≤-3时,f (x )在(0,1)有一个零点;当a ≥0时,f (x )在(0,1)没有零点.(ⅱ)若-3<a<0,则f (x )在 0, −3单调递减,在 −3,1 单调递增,故在(0,1)中,当x= −3时,f (x )取得最小值,最小值为f −a =2a −a +1. ①若f −a >0,即-3<a<0,f (x )在(0,1)无零点; ②若f −a =0,即a=-3,则f (x )在(0,1)有唯一零点;③若f −3 <0,即-3<a<-34,由于f (0)=14,f (1)=a+54,所以当-54<a<-34时,f (x )在(0,1)有两个零点;当-3<a ≤-54时,f (x )在(0,1)有一个零点.10分综上,当a>-3或a<-5时,h (x )有一个零点;当a=-3或a=-5时,h (x )有两个零点;当-5<a<-3时,h (x )有三个零点. 12分请考生在第22、23、24三题中任选一题做答.注意:只能做所选定的题目.如果多做,则按所做的第一个题目计分,做答时请用2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑.22.(本小题满分10分)(2015课标全国Ⅰ,理22)选修4—1:几何证明选讲如图,AB是☉O的直径,AC是☉O的切线,BC交☉O于点E.(1)若D为AC的中点,证明:DE是☉O的切线;(2)若OA=3CE,求∠ACB的大小.解:(1)连结AE,由已知得,AE⊥BC,AC⊥AB.在Rt△AEC中,由已知得,DE=DC,故∠DEC=∠DCE.连结OE,则∠OBE=∠OEB.又∠ACB+∠ABC=90°,所以∠DEC+∠OEB=90°,故∠OED=90°,DE是☉O的切线.5分(2)设CE=1,AE=x,由已知得AB=2,BE=2.由射影定理可得,AE2=CE·BE,所以x2=12−x2,即x4+x2-12=0.可得x=3,所以∠ACB=60°.10分23.(本小题满分10分)(2015课标全国Ⅰ,理23)选修4—4:坐标系与参数方程在直角坐标系xOy中,直线C1:x=-2,圆C2:(x-1)2+(y-2)2=1,以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.(1)求C1,C2的极坐标方程;(2)若直线C3的极坐标方程为θ=π4(ρ∈R),设C2与C3的交点为M,N,求△C2MN的面积.解:(1)因为x=ρcosθ,y=ρsinθ,所以C1的极坐标方程为ρcosθ=-2,C2的极坐标方程为ρ2-2ρcosθ-4ρsinθ+4=0.5分(2)将θ=π4代入ρ2-2ρcosθ-4ρsinθ+4=0,得ρ2-32ρ+4=0,解得ρ1=22,ρ2= 2.故ρ1-ρ2=2,即|MN|= 2.由于C2的半径为1,所以△C2MN的面积为1.10分24.(本小题满分10分)(2015课标全国Ⅰ,理24)选修4—5:不等式选讲已知函数f(x)=|x+1|-2|x-a|,a>0.(1)当a=1时,求不等式f(x)>1的解集;(2)若f(x)的图像与x轴围成的三角形面积大于6,求a的取值范围.解:(1)当a=1时,f(x)>1化为|x+1|-2|x-1|-1>0.当x≤-1时,不等式化为x-4>0,无解;当-1<x<1时,不等式化为3x-2>0,解得2<x<1;当x≥1时,不等式化为-x+2>0,解得1≤x<2.所以f(x)>1的解集为 x2<x<2.5分(2)由题设可得,f(x)=x−1−2a,x<−1,3x+1−2a,−1≤x≤a,−x+1+2a,x>a.所以函数f(x)的图像与x轴围成的三角形的三个顶点分别为A2a−13,0,B(2a+1,0),C(a,a+1),△ABC的面积为2(a+1)2.由题设得23(a+1)2>6,故a>2.所以a的取值范围为(2,+∞).10分。

2015-2016 “金秋杯”数学建模比赛题目当前你是否会遇到以下问题呢?超市排队人员过多,你久久等待…银行业务，半天过后依旧苦练定力！春节回家，隔夜棉袄附上身，只好感叹万里人群何处是归程？周末广州停车，三小时后依旧在行车旅游。

眼下，你是不是为下课的那一秒做好了准备，欲飞奔食堂不回头？
显然，这些生活中的种种现象告诉我们真切的体会是：做好人难，排队更难！因此，本次金秋杯以“排队”为主题，进行一定的建模。

题目如下：已知江高某银行的VIP室只有一个服务窗口，并设有三把等待的椅子；我们假设办理VIP的顾客均是一个人前来的。

当顾客发现无可坐的椅子时，便会自行离去。

另一方面，假设VIP顾客平均到达率为3人/小时，接受服务的平均时间为15分钟。

那么，我们关心的问题有：VIP顾客到达后并能接受服务的可能性有多大？顾客因为满员而自行离开的又有多少？这种设计导致银行VIP室的效率是高还是低？围绕这些问题，请尝试进行一下数学模型的建立与解答：
（1）设
X为第n位顾客接受完服务时正在等待需要服务的顾客n
数;
A表示在第n个顾客被服务期间前来且希望获得服务的顾客数n
()
0,1,2,3, .尝试给出1n X+的表达式。

（2）在一小时内，考虑某一顾客到达就能接受服务的可能性有多大；平均等待的顾客数；一顾客在大厅里平均的逗留时间；
（3）在一小时内，计算可能到来的顾客中自行离开的百分数？并尝试评价该VIP独立室的工作效率，给出相应的改进方案。

附件1：格式与基本事项；。

第十章 算法、统计与概率第3课时 统计初步(2)1. (2013·辽宁卷改)某班的全体学生参加英语测试，成绩的频率分布直方图如图，数据的分组依次为[20，40)，[40，60)，[60，80)，[80，100]．若低于60分的人数是15，则该班的学生人数是________．答案：50解析：由成绩的频率分布直方图可以得到低于60分的频率为0.3，而低于60分的人数为15人，所以该班的总人数为150.3＝50人．2. (2013·湖北)某学员在一次射击测试中射靶10次，命中环数如下：7，8，7，9，5，4，9，10，7，4.则(1) 平均命中的环数为________；(2) 命中环数的标准差为________．答案：(1) 7 (2) 2解析：(1) 平均命中的环数为110×(7＋8＋7＋9＋5＋4＋9＋10＋7＋4)＝7.(2) 命中环数的标准差为110[02＋12＋02＋22＋（－2）2＋（－3）2＋22＋32＋02＋（－3）2] ＝2.3. 在某个容量为300的样本的频率分布直方图中，共有九个小长方形．若中间一个小长方形的面积等于其他八个小长方形面积和的15，则中间一组的频数为________．答案：50解析：在直方图中，小长方形的面积等于这组数的频率，小长方形的面积之和为1. 设中间一个小长方形面积为x ，则x ＝15(1－x)，解得x ＝16，所以中间一组的频数为16×300＝50.4. 甲、乙、丙、丁四人参加奥运会射击项目选拔赛，四人的平均成绩和方差如下表所示：从这四个人中选择一人参加奥运会射击项目比赛，最佳人选是________． 答案：丙解析：乙与丙的平均成绩好于甲与丁的平均成绩，而且丙的方差小于乙的方差，说明丙的成绩比乙稳定，应派丙参加比赛．5. (2013·重庆改)右边茎叶图记录了甲、乙两组各五名学生在一次英语听力测试中的成绩(单位：分)，已知甲组数据的中位数为15，乙组数据的平均数为16.8，则x 、y 的值分别为________．答案：5，8解析：因为甲组数据的中位数为15，由茎叶图可得x ＝5，因乙组数据的平均数为16.8，则15[5＋15＋(10＋y)＋18＋24]＝16.8，解得y ＝8. 6. 为了普及环保知识，增强环保意识，某大学随机抽取30名学生参加环保知识测试，测试成绩(单位：分)如图所示，假设得分值的中位数为m e ，众数为m o ，平均值为x －，则m e 、m o 、x －从小到大排列为___________．答案：m o <m e <x －解析：由图可知，30名学生的得分情况依次为得3分的有2人，得4分的有3人，得5分的有10人，得6分的有6人，得7分的有3人，得8分的有2人，得9分的有2人，得10分的有2人．中位数为第15、16个数(分别为5、6)的平均数，即m e ＝5.5，5出现的次数最多，故m o ＝5，x －＝(2×3＋3×4＋10×5＋6×6＋3×7＋2×8＋2×9＋2×10)/30≈5.97.于是得m o <m e <x －.7. 由正整数组成的一组数据x 1，x 2，x 3，x 4，其平均数和中位数都是2，且标准差等于1，则这组数据为____________．(从小到大排列)答案：1，1，3，3解析：不妨设x 1≤x 2≤x 3≤x 4，x 1，x 2，x 3，x 4∈N *， 依题意得x 1＋x 2＋x 3＋x 4＝8，s ＝14[（x 1－2）2＋（x 2－2）2＋（x 3－2）2＋（x 4－2）2]＝1，即(x 1－2)2＋(x 2－2)2＋(x 3－2)2＋(x 4－2)2＝4，所以x 4≤3，则只能x 1＝x 2＝1，x 3＝x 4＝3，则这组数据为1，1，3，3.8. (2013·安徽联考)已知x 是1，2，3，x ，5，6，7这七个数据的中位数，且1，3，x ，－y 这四个数据的平均数为1，则1x＋y 的最小值为________．答案：103解析：由已知得3≤x ≤5，1＋3＋x －y 4＝1，∴ y ＝x ，∴ 1x ＋y ＝1x ＋x.又函数y ＝1x＋x在[3，5]上单调递增，∴ 当x ＝3时取最小值103.9. 小李拟将1，2，3，…，n 这n 个数输入电脑， 求平均数， 当他认为输入完毕时，电脑显示只输入n －1个数， 平均数为3557， 假设这n －1个数输入无误，则漏输的一个数是________ .答案：56解析：设删去的一个数是x ，1≤x ≤n ，则删去的一个数是1，则平均数不减，平均数为n （n ＋1）2－1n －1＝n ＋22，删去的一个数是n ，则平均数不增，平均数为n （n ＋1）2－n n －1＝n2，所以n 2≤3557≤n ＋22，69<n ≤71.当n ＝71时，n （n ＋1）2－x n －1＝3557，解得x ＝56，当n ＝70时无解，所以x ＝56.10. (2013·金华联考)下图是某市有关部门根据该市干部的月收入情况，作抽样调查后画出的样本频率分布直方图．已知图中第一组的频数为4 000，请根据该图提供的信息解答下列问题：(图中每组包括左端点，不包括右端点，如第一组表示收入在[1 000，1 500)．(1) 求样本中月收入在[2 500，3 500)的人数；(2) 为了分析干部的收入与年龄、职业等方面的关系，必须从样本的各组中按月收入用分层抽样方法抽出100人作进一步分析，则月收入在[1 500，2 000)的这段应抽多少人？(3) 试估计样本数据的中位数．解：(1) ∵ 月收入在[1 000，1 500)的频率为0.000 8×500＝0.4，且有4 000人，∴ 样本的容量n ＝4 0000.4＝10 000；月收入在[1 500，2 000)的频率为0.000 4×500＝0.2； 月收入在[2 000，2 500)的频率为0.000 3×500＝0.15； 月收入在[3 500，4 000)的频率为0.000 1×500＝0.05.∴ 月收入在[2 500，3 500)的频率为1－(0.4＋0.2＋0.15＋0.05)＝0.2. ∴ 样本中月收入在[2 500，3 500)的人数为0.2×10 000＝2 000.(2) ∵ 月收入在[1 500，2 000)的人数为0.2×10 000＝2 000，∴ 再从10 000人中用分层抽样方法抽出100人，则月收入在[1 500，2 000)的这段应抽取100×2 00010 000＝20(人)．(3) 由(1)知月收入在[1 000，2 000)的频率为0.4＋0.2＝0.6＞0.5，∴ 样本数据的中位数为1 500＋0.5－0.40.000 4＝1 500＋250＝1 750(元)．11. 某校拟派一名跳高运动员参加一项校际比赛，对甲、乙两名跳高运动员进行了8次选拔比赛，他们的成绩(单位：m)如下：甲：1.70，1.65，1.68，1.69，1.72，1.73，1.68，1.67； 乙：1.60，1.73，1.72，1.61，1.62，1.71，1.70，1.75.经预测，跳高1.65m 就很可能获得冠军．该校为了获取冠军，可能选哪位选手参赛？若预测跳高1.70m 方可获得冠军呢？解：甲的平均成绩和方差如下：x －甲＝18(1.70＋1.65＋1.68＋1.69＋1.72＋1.73＋1.68＋1.67)＝1.69，s 2甲＝18[(1.70－1.69)2＋(1.65－1.69)2＋…＋(1.67－1.69)2]＝0.0006. 乙的平均成绩和方差如下：x －乙＝18(1.60＋1.73＋1.72＋1.61＋1.62＋1.71＋1.70＋1.75)＝1.68，s 2乙＝18[(1.60－1.68)2＋(1.73－1.68)2＋…＋(1.75－1.68)2]＝0.00315. 显然，甲的平均成绩好于乙的平均成绩，而且甲的方差小于乙的方差，说明甲的成绩比乙稳定．由于甲的平均成绩高于乙，且成绩稳定，所以若跳高1.65m 就很可能获得冠军，应派甲参赛．在这8次选拔赛中乙有5次成绩在1.70m 以上，虽然乙的平均成绩不如甲，成绩的稳定性也不如甲，但成绩突破1.70 m 的概率大于甲，若跳高1.70m 方可获得冠军时，应派乙参加比赛．。

两栖动物适应陆地生活的特点鱼鳔的作用群落生态型的概念各维生素的作用海洋硬骨鱼肾小囊和肾小管的发达程度糖类与氨基酸间的转化关系鸟氨酸循环氨基酸间的转化关系生酮氨基酸增加尿液排酮的氨基酸消化酶对氨基酸序列的相对选择性谷氨酸等电点处形成螺旋结构转录因子的作用限制酶PCR圆二色谱仪的作用波长固氮酶疟原虫的生活周期及习性神经干电位细胞培养丙酮酸脱羧14C标记癌细胞的特征真核基因载体基本组成载体选择及宿主选择基因分离定律基因互作基因频率将外源基因导入受体细胞的途径光反应southern杂交酶活力酶促进反应公式及抑制剂米氏常数（三道题，两英文一中文）哪个不是生态型：A. 建群种 B. 优势种 C. 特有种 D. 亚优势种？能增加尿液排酮的氨基酸是哪一种？维持蛋白质三级结构的键是哪个？如果一个人体蛋白在昆虫体内同源表达效果不好，需要截短，截断依据是什么？某同学pcr效果不好，跑出来的片段比预期的小，如何改进？送外源基因入酵母方法有哪些？圆二色性最常用波长是哪个范围？后口、成对附肢、颌、背神经管哪个是最先在鱼类中出现的？两栖动物适应陆地环境的特征是什么？蛋白聚糖的糖可能是什么糖？鳔和肺算不算同源器官？两栖动物有没有荐椎？英文题：蛋白质primary structure取决于什么？CNBr的作用是什么？L-氨基酸组成的右手螺旋，换成D-氨基酸将是什么螺旋？计算题：最后的计算题，题目中会给出公式，中英文均有。

给出蛋白质a 螺旋的螺距和每圈aa数，问长度一定的 a 螺旋所需aa 数。

对米氏方程的全面考察，给出km 值后速度与底物浓度的互推。

分子：分子生化中一些常见的名称均用英文表示，如α-helix，β-strand等；考察现代生物操作技术；PCR的产物应为3.0kb，但结果却为0.2kb和1.8kb，如何才能够改进实验？如何将目的基因转化到酵母菌中？Asp密码子圆二色光谱测α螺旋的负峰（222nm、208nm）DNA Shuffling细胞：主要考察细胞骨架，细胞增殖调控（SCF、APC、cyclin dependent kinase etc…）生化：米氏方程、吸光度（公式已给简单计算）Sanger试剂？微生物：半知菌亚门的命名原因，真菌的有性孢子和无性孢子，青霉、曲霉的形态etc…具有足细胞的真菌是？动生：某个士兵脑部被子弹射击，出现尿崩症。

清华大学2013金秋营试题解答
这里提供另一种证明
熊昌进2015清华大学金秋营试题第1题的解
参考文献:宋庆2015清华大学金秋营数学试题及其解答(2)作者：sqing55
熊昌进 2015清华大学金秋营试题第5题的证明
参考文献:宋庆2015清华大学金秋营数学试题及其解答(2)作者：sqing55熊昌进 2015清华大学金秋营试题第4题的解
参考文献:宋庆2015清华大学金秋营数学试题及其解答(2)作者：sqing55
2014清华大学金秋数学体验营试题及其解答(2014-11-14 08:59:04)
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2014年11月13日18：30 - 21：30
老广清华金秋营试题
转载]2015年清华大学金秋营第4题解答(2015-10-17 21:13:03)
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原文地址：2015年清华大学金秋营第4题解答作者：许康华
2015北大金秋营一道集合试题的解答
标签：高考教育。

清华大学2015年暑期学校测试真题1. ()()2ln ,3f x x x g x x ax ==-+-（1）求()f x 在[](),10m m m +>上的最小值。

（2）对于任意不同两数121,x x e e ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，()()()()1212||||f x f x g x g x -<-恒成立，求a 的取值范围。

【解答】函数单调性的讨论，拉格朗日中值定理 （1） 考虑()f x 的导数：()'ln 1f x x =+。

于是当1x e ≤时，()f x 单调递减；当1x e>时，()f x 单调递增，只需对(0)m m >的大小分类讨论即可：当10m e<≤时，在[],1m m +上()f x 最小值为11f e e ⎛⎫=- ⎪⎝⎭；当1m e>时，在[],1m m +上()f x 最小值为()ln f m m m =。

（2不妨假设12x x <，()()()()1212||||f x f xg x g x -<-221122112211221212|ln ln ||||ln ln ||()(())|x x x x x ax x ax x x x x x x a x x ⇔-<-++-⇔-<--+11221212ln ln ()x x x x a x x x x -⇔<-+- 1122112212121212ln ln ln ln ()()x x x x x x x x a x x a x x x x x x --⇔>++<+---或者在121,x x e e ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦恒成立。

注意221122111222121212ln ln (ln )(ln )()x x x x x x x x x x x x x x x x -+-+++=--，为导函数形式，令()2ln t x x x x=+，由拉格朗日中值定理，存在()12,x x 中的一点0x 使得 ()0't x 等于上式，故只需求()2ln t x x x x=+在1,e e⎡⎤⎢⎥⎣⎦上导数的最大值即可，该最大值在右端取得，同时原式只能无限趋向于该值，所以22a e ≥+。

清华大学2015年数学金秋营基础试真题1. 已知函数()314sin cos 2sin cos cos 42f x x x x x x =--， (1) 求f (x )的最小正周期及最大值; (2) 求f (x )的单调区间【解答】(1) 因为()424f x x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，所以f (x )的最小正周期为2π,. (2)由复合函数的单调性知当3242,242k x k k Z πππππ+≤+≤+∈时,f (x )递增,解得f (x )的递增区间为5,,k Z 162162k k ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦;递减区间为59,,k Z 162162k k ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦.2. 设函数()()2224ln f x x ax x x =-+,(1) 求函数f (x )的单调区间;(2) 若不等式f (x )>0对x ≥1恒成立,求a 的取值范围. 【解答】(1)()()() '41f x x a lnx =-+.情形一 当a ≤0时, f (x )在10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减,在1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增；情形二 当10a e <<时, f (x )在()10,,a e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭和上单调递增,在1,a e ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减；情形三 当a =1e 时,f (x )在(0,十∞)上单调递增;情形四 当a >1e 时, f (x )在10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭和(),a +∞上单调递增,在1,a e ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减。

(2)由(1)可知,（2）当a ≤1时, f (x )在[1,+∞)上单调递增,故只需满足f (1)>0即可,而此时f (1)=1>0恒成立,所以a ≤1满足题意；当a >1时,只需满足()()212ln 0f a a a =->即可,解得1a <<。

综上所述,若不等式f (x )>0对任意x ∈[1,+∞)恒成立,则a 的取值范围是(-∞。

2015年清华大学自主招生试题注所有选择题均为不定项选择题．1、已知非负实数\(x,y,z\)满足\(4x^2+4y^2+z^2+2z=3\)，求\(5x+4y+3z\)的最大值．2、已知\(x^2+y^2\leqslant 1\)，求\(\left|x^2+2xy-y^2\right|\)的最大值．3、如图所示，已知函数\(f(x)\)与直线\(y=kx+m\)有两个切点，则\(g(x)=kx-f(x)\)有（）A．\(3\)个极大值点B．\(2\)个极小值点C．\(2\)个极大值点D．\(4\)个极小值点4、已知\(x,y,z\in\mathcal Z\)，且\(xy+yz+zx=1\)，则\(\left(1+x^2\right)\left(1+y^2\right)\left(1+z^2\right)\)的值可能是（）A．\(16900\)B．\(17900\)C．\(18900\)D．以上都不对5、一个以\(O\)为圆心的圆上的整数格点（横纵坐标都是整数）的点的个数可能是（）A．\(4\)B．\(6\)C．\(8\)D．\(12\)6、已知\(2x+y=1\)，求\(x+\sqrt{x^2+y^2}\)的最值．7、\(50\)个黑球和\(49\)个白球排成一排，则（）A．必有一个黑球右侧白球的数量等于黑球的数量B．必有一个白球右侧白球的数量等于黑球的数量C．必有一个黑球右侧黑球的数量比白球的数量多\(1\)D．必有一个白球右侧黑球的数量比白球的数量多\(1\)8、已知\(P=\left\{(x,y)\left|x^2+y^2=r^2\right.\right\}\)，\(Q=\left\{(x,y)\left|(x-a)^2+(y-b)^2=r^2\right.\right\}\)，已知\(P\capQ=\left\{(x_1,y_1),(x_2,y_2)\right\}\)，则（）A．\(a(x_1-x_2)+b(y_1-y_2)=0\)B．\(2ax_1+2by_1=a^2+b^2\)C．\(0<a^2+b^2<2r^2\)D．\(x_1+x_2=a\)，\(y_1+y_2=b\)9、一个正十五边形，任取其三个顶点构成三角形，可构成多少个钝角三角形？10、已知\(\overrightarrow{a}=\left(m\cos\theta_1,m\sin\theta_1\right)\)，\(\overrightarrow{b}=\left(m\cos\theta_2,m\cos\theta_2\right)\)，定义\(\overrightarrow{a}^{\frac 12}=\left(\sqrt m\cos\dfrac{\theta_1}{2},\sqrt m\sin\dfrac{\theta_1}{2}\right)\)，\(\overrightarrow{b}^{\frac12}=\left(\sqrt m\cos\dfrac{\theta_2}{2},\sqrtm\sin\dfrac{\theta_2}{2}\right)\)，则（）A．\(\left|\overrightarrow{a}^{\frac 12}\cdot \overrightarrow{b}^{\frac 12}\right|\)B．\(\left|\overrightarrow{a}^{\frac 12}+\overrightarrow{b}^{\frac12}\right|\geqslant 4\sqrt{mn}\cos^2\dfrac{\theta}{2}\)C．\(\left|\overrightarrow{a}^{\frac 12}-\overrightarrow{b}^{\frac12}\right|\geqslant 4\sqrt{mn}\sin^2\dfrac{\theta}{2}\)D．11、一个抛物线\(y^2=2px\)上有两个点\(A\)、\(B\)，则（）A．\(AB\)过抛物线焦点B．\(OA\cdot OB\leqslant ?\)C．\(OA^2+OB^2\leqslant ?\)D．\(O\)到\(AB\)的距离小于\(1\)12、点集\(A=\left\{(x,y)\left|\dfrac{\sin\pi x}{x^2-x+1}=y\right.\right\}\)，则（）A．曲线有对称轴B．\(A\subseteq \left\{(x,y)\left|-\dfrac 12\leqslant y\leqslant \dfrac12\right.\right\}\)C．曲线有对称中心。

2015年清华⼤学⾃主招⽣试题数学试卷含解析2015年清华⼤学⾃主招⽣考试数学试卷⼀．选择题1.设复数z=cos 23π+isin 23π，则2111-1z z +-=（） (A)0 (B)1 (C)12 (D)322.设数列{}n a 为等差数列，p,q,k,l 为正整数，则“p+q>k+l ”是“p q k l a a a a +>+”的( )条件(A)充分不必要 (B)必要不充分 (C)充要 (D)既不充分也不必要3.设A 、B 是抛物线y=2x 上两点，O 是坐标原点，若OA ⊥OB,则( )(A)|OA|·|OB|≥2 (B)|OA|+|OB|≥(C)直线AB 过抛物线y=2x 的焦点 (D)O 到直线AB 的距离⼩于等于14.设函数()f x 的定义域为(-1,1)，且满⾜：①()f x >0,x ∈(-1,0)；②()f x +()f y =()1x y f xy++，x 、y ∈(-1,1)，则()f x 为 (A)奇函数 (B)偶函数 (C)减函数 (D)有界函数5.如图，已知直线y=kx+m 与曲线y=f (x)相切于两点，则F(x)=f (x)?kx 有（）(A)2个极⼤值点 (B)3个极⼤值点 (C)2个极⼩值点 (D)3个极⼩值点6.△ABC 的三边分别为a 、b 、c ．若c=2，∠C=3π，且sinC+sin(B ?A)?2sin2A=0,则有（）(A)b=2a (B)△ABC 的周长为△ABC 的⾯积为3(D)△ABC 的外接圆半径为7.设函数2()(3)x f x x e =-，则（）(A)()f x 有极⼩值，但⽆最⼩值 (B) ()f x 有极⼤值，但⽆最⼤值(C)若⽅程()f x =b 恰有⼀个实根，则b>36e(D)若⽅程()f x =b 恰有三个不同实根，则06e 8.已知A={(x,y)∣222x y r +=}，B={(x,y)∣222()()x a y b r -+-=，已知A∩B={(11,x y ),(22,x y )}，则（）(A)0<22a b +<22r (B)1212()(y )0a x x b y -+-=(C)12x x +=a ，12y y +=b (D)22a b +=1122ax by +9.已知⾮负实数x,y,z 满⾜22244x y z +++2z=3，则5x+4y+3z 的最⼩值为（）(A)1 (B)2 (C)3 (D)410.设数列{n a }的前n 项和为n S ，若对任意正整数n ，总存在正整数m ，使得n S =m a ，则（）（A ）{n a }可能为等差数列（B ）{n a }可能为等⽐数列（C ）{n a }的任意⼀项均可写成{n a }的两项之差(D)对任意正整数n ，总存在正整数m ，使得n a =m S11.运动会上，有6名选⼿参加100⽶⽐赛，观众甲猜测：4道或5道的选⼿得第⼀名；观众⼄猜测：3道的选⼿不可能得第⼀名；观众丙猜测：1,2,6道选⼿中的⼀位获得第⼀名；观众丁猜测：4,5,6道的选⼿都不可能获得第⼀名．⽐赛后发现没有并列名次，且甲、⼄、丙、丁中只有1⼈猜对⽐赛结果，此⼈是（）(A)甲 (B)⼄ (C)丙 (D)丁12.长⽅体ABCD ?1111A B C D 中，AB=2，AD=A 1A =1，则A 到平⾯1A BD 的距离为（）(A)13 (B)23 (C)2。

2015年清华大学夏令营试题解析01一质量为m 、长为L 的柔软绳自由悬垂，下端恰与一台秤的秤盘接触，如图1所示.某时刻放开柔软绳上端，求台秤的最大读数.解析 设t 时刻落到秤盘的绳长为x ，此时绳速为v =在(0)t t ∆∆→时间内，有质量为m x ρ∆=∆的绳落到盘秤上，其中ρ为绳的线密度.取向上为正方向，根据动量定理，有0()F t m v x v ρ∆=--∆⋅=∆⋅（忽略微元段绳本身的重力冲量）.解得22xF vv gx tρρρ∆===∆. 故3N F gx gx ρρ=+=.所以台秤的最大读数为3mg ，出现在软绳将要全部掉到盘秤上时.02单位面积带电量为σ的无限大均匀带电平板，从其中间挖去一半径为R 的圆板，如图2所示.求圆孔轴线上任意一点Q （坐标为x ）的电场强度.解析 无限大平板挖去一个圆板所产生的场强E 可以等效为一个无限大平板产生的场强1E 减去一个半径为R 的圆板产生的场强2E .根据高斯定理，有102E σε=. 由积分可求得带电圆板产生的场强为20(12E σε=. 所以合场强为120001222E E E σσσεεε⎛⎫=-=-= ⎝.03如图3所示，一对等量异号点电荷q +和q -的间距为l ，求两电荷延长线上一点1P 和中垂面上一点2P 的场强，1P 和2P 到两电荷连线中点O 的距离都是r .解析 1P 点的场强为12211()()22E kq l l r r ⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢-+⎥⎣⎦ 2P 点的场强为2222232222cos 244.()4l q q E kkl l r r qlkl r θ=⋅⋅=⋅++=+对于电偶极子，q ±之间的距离l 远比场点到它们的距离r 小得多.当l r <<时，有 222222232211222222224l l r r lr l r l l l l l r r r r r ⎛⎫⎛⎫+-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭-==≈⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 332224l l rl r ≈⎛⎫+ ⎪⎝⎭. 所以在电偶极子延长线上，1E 的大小为132qlE kr ≈. 在中垂面上，2E 的大小为23ql E kr ≈. 04推导点电荷的电势表达式.解析 在正点电荷Q 的电场中，把正试探电荷q 沿电场线从a 点移到b 点，我们来计算在此过程中库仑力所做的功.我们把ab 分成很多足够小的小段，其中任一小段的两端到场源电荷的距离分别为1i r -和i r ，则试探电荷在该段所受的平均力为1i i iQqF kr r -=. 于是库仑力在这一小段里做的功为11111()i i i i i i i i i QqW F r kr r kQq r r r r ---⎛⎫=∆=⋅-=- ⎪⎝⎭.对各小段的功求和，就得到库仑力对试探电荷所做的总功，即11111i i i a b W W kQq kQq r r r r -⎛⎫⎛⎫==-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∑∑.于是a 、b 两点的电势差为11a b ab a b WU kQ q r r ϕϕ⎛⎫-===- ⎪⎝⎭. 规定离场源电荷无穷远处（即b r →∞）为电势零点，则在离场源电荷()a r r r =处的电势为Qkrϕ=. 05如图4所示，某质子加速器使每个质子获得动能k E ，很细的质子束射向一个远离加速器、半径为r 的金属球，从球心到质子束延长线的垂直距离为2rd =.假定质子与金属球相碰后将其电荷q 全部交给金属球，经足够长时间后，求金属球的最高电势值（以无穷远处的电势为零）.解析 设质子初速度为0v ，当金属球充电到电势为U 时，质子与金属球相切而过，此时速度设为v.由于质子在向金属球运动时，只受库仑力且力的方向沿球径向，故质子对球心O 的角动量守恒，有0mv d mvr =. 解得2v v =. 根据动能定理，有2201122qU mv mv -=-. 解得20313424k U mv E q q=⋅=.06如图5所示，质量为M 的足够长金属导轨abcd 放在光滑的绝缘水平面上.一电阻不计、质量为m 的导体棒PQ 放置在导轨上，始终与导轨接触良好，PQbc 构成矩形.棒与导轨间的动摩擦因数为μ，棒左侧有两个固定于水平面的立柱.导轨bc 段长为L ，开始时PQ 左侧导轨的总电阻为R ，右侧导轨单位长度的电阻为0R 。

2015年北京大学金秋营数学试题
1、设△ABC 的垂心为H，中点三角形的内切圆为T，圆心为S。

直线l ‖AB，m‖AC，且都与T相切（AB,l；AC,m分别在S同侧），l与m交于T。

射线AT上一点N满足AN=2AT，Q是优弧（BAC）的中点，点R让四边形AHRQ成为平行四边形。

证明：HR⊥RN。

2、给定整数k＞3.证明：方程mn+nr+rm=k(m+n+r)至少有3k+3
4
3
k⎢⎥
+
⎢⎥
⎣⎦+1组整数解（m, n,
r）.
3、给定正整数k. A,B,C三个人玩一个游戏（A一边,B和C一边）：A先从集合{1，2，…，n}中取k个数交给B，B从这k个数中选择k-1个有序地给C，若C能够确定B没给C的数是什么，则B,C赢了，求最大的正整数n，使B,C有必胜策略。

4、确定全部f∈Z[x](deg f≤2),使存在g∈Z[x],满足x3-1|f(x)g(x)-1.
6、平面上是否存在某个有限点集A和某个有限直线集B，满足A中的每个点恰好在B中三条直线上，且B中每条直线恰好经过A中的三个点。

8、设k∈Z+, S={(m+1
k ,n)|m,n∈Z},T={(m+ ,n)|m+
2
k, n)|m,n∈Z}. 求所有正整数k, 使得存在
a,b,c,d∈R及映射
F:R2→R2, F(x,y)=(ax+by,cx+dy),满足F(S)=T.
【部分试题参考解答】
第1题参考解答
第2题参考解答第5题参考解答。

2017清华大学金秋营数学试题解答（1-5题）****************；*****************许康华老师联系方式：微信（xkh3121）；QQ（1090841758）上海华育中学上海市民办华育中学是由建校已逾150多年的上海中学输送资深管理人员与优秀教师，于1999年6月与华泾实业发展有限公司联合创办的全日制民办初中，是上海中学的初中教学基地及德育教育基地。

2007年3月，学校通过上海市民办中小学依法办学专项评估，为徐汇区唯一获得“优秀”评价的民办初中.全校共有32个教学班。

2010年9月，搬至新校园。

新校园位于龙吟路99号，周围环境安静，适于学习。

新校园占地43亩，与老校园相比，面积扩大约一倍，建筑面积则达到33399平方米，共有5栋主体建筑。

该校的教育教学质量已经赢得社会的广泛赞誉。

建校十五年来，在区教育局组织的各类教学水平监控中，该校教学质量稳居全区前茅；十五年来，该校学生在市级或市级以上各级各类竞赛中，成绩几乎均名列上海市前三名，其中包括近三届全国华罗庚数学金杯赛的金、银牌；05年全国“我爱数学夏令营”团体第一；2011年新知杯上海市初中数学竞赛团体第一；2013、2014年大同杯上海市初中物理竞赛团体第二；2012、2013、2014年天原杯化学竞赛团体第一；近几年上海市古诗文大赛团体前三；连续四届上海市作文竞赛一等奖，连续五届SSP上海市中学生英语竞赛团体一等奖，连续两届徐汇区区政助理等不俗佳绩。

以上各类成绩显示了学校扎实而全面推进素质教育所取得的突出成效。

本解答是上海华育中学一名初三学生给出的，应该学生要求，匿名发表。

感谢该学生提供的优秀答案，也祝愿该学生在以后的学习中取得更大的成绩！。