大学数学基础(2)mooc-行列式计算方法(1)

行列式的几种计算方法
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行列式是线性代数的基本概念，它具有重要的应用价值。

它的计算方法也有很多，下面主要介绍几种行列式计算的方法。

一、展开式法
把行列式的每一行的元素乘以其所在的代数余子式的值，再将所有的积相加，得到的结果就是行列式的值。

这种方法理论上可以计算任何n阶的行列式，但当n阶较大时，展开比较繁琐，耗时也较长。

二、余子式法
计算第i行列式的方法是：取行列式的第i行，取其余行，去掉第i列，再找出这些行的代数余子式，再将每一行所对应的代数余子式乘以该行第i位置上的元素，再将所有的乘积之和，得到的结果就是行列式的值。

三、乘法法
若用行列式的乘法法来计算三阶行列式，则将行列式的三行分别乘以它们的代数余子式，将结果相加。

其中要用到符号乘，只要熟悉符号乘的规则，就可以简单地进行计算。

四、分块法
分块法是将行列式分解成几个临时的小行列式，再用余子式或展开式算出小行列式的值，再将小行列式的值按一定的规则组合起来，就得到原行列式的值了。

分块法优点是计算过程不复杂，缺点是分解成的小行列式的值计算比较复杂。

五、行变换法
用行变换法计算行列式的方法是：先将行列式的几行或几列进行线性变换，使行列式某一行或某一列为0，再将变换后的行列式化简为方阵或三角阵，再求解，之后再换回原行列式，则可以得出原行列式的值。

以上就是常用的几种行列式计算方法，不同的方法各有优劣，使用者可根据具体情况选择合适的方法用于行列式计算。

计算行列式的方法行列式是一种重要的数学工具，用于描述线性方程组、线性变换等一系列问题。

本文将介绍行列式的定义、性质以及计算方法。

一、行列式的定义给定一个n×n的矩阵A，其中元素可以是实数或复数。

这个矩阵的行列式记作，A，或det(A)。

行列式的值用来描述与矩阵A相关联的线性变换的性质。

行列式的定义可以通过以下两种方式之一：1.代数余子式定义：对于2×2的矩阵A，行列式的定义为，A，=a11*a22-a12*a21、其中，a11、a12、a21、a22分别是矩阵A的元素。

2.对角线定义：对于n×n的矩阵A，行列式的定义可以通过以下递归步骤得到：a)当n=1时，行列式的值即为A的唯一元素。

b) 当n>1时，行列式的定义为，A， = a11*，A1 - a12*A2 +a13*A3 - ... + (-1)^(n+1)*a1n*An。

其中，ajk是第一行第k列的元素，A1 - a12*A2 + a13*A3 - ... + (-1)^(n+1)*a1n*An是从第2行开始的矩阵。

二、行列式的性质行列式具有许多重要的性质，以下列举其中一些常用的性质：1.第i行或第j列有一项为0时，行列式的值为0。

2.两行（两列）互换，行列式的值取负。

3.若两行（两列）相同，则行列式的值为0。

4.行按一行（一列）展开，行列式的值等于该行每个元素与其对应代数余子式相乘的和。

5.行列式转置不变，即，A，=，A^T。

6.若矩阵A的其中一行（其中一列）元素全为0，行列式的值为0。

1.按行（列）展开法按行（列）展开法是根据行列式展开式的定义，将行列式分解成代数余子式与对应元素相乘再求和的形式进行计算。

例如，对于一个3×3的矩阵A，展开式为：A，=a11*A11-a12*A12+a13*A13其中，A11、A12、A13分别是与a11、a12、a13对应的代数余子式。

2.三角形式法三角形式法是将行列式通过一系列初等变换，逐步化简为三角形式的计算方法。

行列式的计算方法总结行列式是线性代数中的重要概念，它在矩阵理论、方程组求解、向量空间等许多领域都有广泛的应用。

计算行列式的方法有很多种，下面我们来总结一下常见的计算行列式的方法。

1.代数余子式法：代数余子式法是计算行列式的一种经典方法。

对于n*n阶行列式A，可以按照第一行（或第一列）的元素展开得到n个代数余子式，然后按照代数余子式定义计算行列式。

具体步骤如下：（1）选择行列式A的第一行（或第一列）的所有元素，记作a11,a12,...,a1n。

（2）计算n个代数余子式，第i个代数余子式记作A(i,1)（或A(1,i)）。

A(i,1)等于元素a1i所在行与列组成的n-1阶子行列式的行列式值。

（3）用代数余子式计算行列式，行列式的值等于各代数余子式与元素a1i的乘积之和：det(A) = a11*A(1,1) - a12*A(2,1) + a13*A(3,1) - ... + (-1)^(n+1)*a1n*A(n,1)。

2.拉普拉斯展开法：拉普拉斯展开法也是计算行列式的一种常用方法。

具体步骤如下：（1）选择行列式A的其中一行（或其中一列），记作第k行（或第k列）。

（2）计算代数余子式，第i行第j列元素所对应的代数余子式记作A(i,j)（或A(j,i)）。

A(i,j)等于元素aij所在行与列组成的n-1阶子行列式的行列式值。

（3）用代数余子式计算行列式，行列式的值等于各代数余子式与元素aij的乘积之和：det(A) = a1k*A(1,k) - a2k*A(2,k) + a3k*A(3,k) - ... + (-1)^(k+1)*ank*A(n,k)。

3.克莱姆法则：克莱姆法则是计算线性方程组的一个重要方法，也可以用来计算行列式。

对于n个未知数的n个线性方程组Ax = b，其中A是一个n*n阶矩阵，x和b都是n维列向量。

如果矩阵A是非奇异的（即行列式det(A)≠0），则可以用克莱姆法则求解方程组。

具体步骤如下：（1）将线性方程组的系数矩阵A按列分成n个子矩阵A1,A2,...,An，其中第i个子矩阵Ai将系数矩阵A的第i列替换为等号右边的向量b。

行列式的计算方法总结行列式的计算方法有哪些呢?可能大部分同学并不知道。

为了普及知识。

下面是由小编为大家整理的“行列式的计算方法总结”，仅供参考，欢迎大家阅读。

行列式的计算方法总结第一、行列式的计算利用的是行列式的性质，而行列式的本质是一个数字，所以行列式的变化都是建立在已有性质的基础上的等量变化，改变的是行列式的“外观”。

第二、行列式的计算的一个基本思路就是通过行列式的性质把一个普通的行列式变化成为一个我们可以口算的行列式(比如，上三角，下三角，对角型，反对角，两行成比例等)第三、行列式的计算最重要的两个性质：(1)对换行列式中两行(列)位置，行列式反号(2)把行列式的某一行(列)的倍数加到另一行(列)，行列式不变对于(1)主要注意：每一次交换都会出一个负号;换行(列)的主要目的就是调整0的位置，例如下题，只要调整一下第一行的位置，就能变成下三角。

拓展阅读：行列式的性质有哪些?行列式与它的转置行列式相等;互换行列式的两行(列)，行列式变号;行列式的某一行(列)的所有的元素都乘以同一数k，等于用数k乘此行列式;行列式如果有两行(列)元素成比例，则此行列式等于零;若行列式的某一列(行)的元素都是两数之和，则这个行列式是对应两个行列式的和;把行列式的某一列(行)的各元素乘以同一数然后加到另一列(行)对应的元素上去，行列式不变。

n阶行列式实质上是一个n^2元的函数，当把n^2个元素都代上常数时，自然得到一个数。

当我们写的时候，写成一个表是为了方便的反映函数的物性。

当然，决不是指任何n^2元函数都是行列式，具体的行列式函数定义你找书一看看。

为了让你自己觉得好理解一些，你可以试着照行列式的定义把行列式写成多项式和的常见形式，当然那个形式比较复杂，但本质上与行列式是一样的，只是写成行列式易于直观的做各种运算处理。

行列式计算方法行列式的计算是线性代数中的重要内容，有以下几种常用的方法：1. 代数余子式法：给定一个n阶矩阵A，取A的第i行第j列元素a_ij为基准，计算它的代数余子式A_ij的值。

代数余子式的定义是，在A中划去第i行和第j列后，剩余元素构成的(n-1)阶子矩阵的行列式。

然后，根据代数余子式的符号规律，求得A_ij*(-1)^(i+j)，再将所有的代数余子式乘以对应位置的元素，再求和即可得到行列式的值。

2. 拉普拉斯展开法：选择A的任意一行或一列，例如第i行，根据拉普拉斯展开定理，将行列式的计算转化为n个(n-1)阶行列式的计算，然后依次递归地计算(n-1)阶行列式，最后累加得到行列式的值。

3. 对角线法则：对于一个n×n的矩阵A，按照对角线上的元素（从左上角到右下角）出现的顺序，将对应的元素乘积相加，再减去按照对角线下方的元素（从左上角到右下角）出现的顺序，将对应的元素乘积相加。

这个过程可以用一个式子来表示：det(A) = a_11 * a_22 * ... * a_nn - a_21 * a_32 * ... * a_n1。

4. 公式法：对于一个3阶矩阵A，可以利用公式来计算行列式的值。

行列式的计算可以表示为：det(A) = a_11 * a_22 * a_33+ a_12 * a_23 * a_31 + a_13 * a_21 * a_32 - a_31 * a_22 * a_13 - a_32 * a_23 * a_11 - a_33 * a_21 * a_12。

对于4阶及以上的矩阵，复杂度较高，通常情况下不会直接使用公式法计算，而是选择其他方法。

以上是几种常用的求行列式的方法，不同的方法适用于不同的情况，在实际计算中可以根据需要选择合适的方法来求解。

行列式计算方法行列式是线性代数中的一个重要概念，广泛应用于数学、物理、工程等领域。

在本文中，我们将探讨行列式的计算方法，包括最简单的2阶行列式和高阶行列式的计算。

一、2阶行列式的计算2阶行列式是最简单的行列式，可以通过交叉相乘后相减的方法来计算。

设有一个2阶行列式：$\begin{vmatrix}a &b \\c & d\end{vmatrix}$计算方法为：$\begin{vmatrix}a &b \\c & d\end{vmatrix}= ad - bc$二、3阶行列式的计算3阶行列式的计算稍微复杂一些，可以使用“Sarrus法则”来计算。

设有一个3阶行列式：$\begin{vmatrix}a &b &c \\d &e &f \\g & h & i\end{vmatrix}$计算方法为：$\begin{vmatrix}a &b &c \\d &e &f \\g & h & i\end{vmatrix}= aei + bfg + cdh - ceg - bdi - afh$三、n阶行列式的计算对于高阶行列式，可以通过辅助行列式的方法来计算。

设有一个n 阶行列式：$\begin{vmatrix}a_{11} & a_{12} & \ldots & a_{1n} \\a_{21} & a_{22} & \ldots & a_{2n} \\\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\a_{n1} & a_{n2} & \ldots & a_{nn}\end{vmatrix}$计算方法为：$\begin{vmatrix}a_{11} & a_{12} & \ldots & a_{1n} \\a_{21} & a_{22} & \ldots & a_{2n} \\\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\a_{n1} & a_{n2} & \ldots & a_{nn}\end{vmatrix}= a_{11}A_{11} - a_{12}A_{12} + a_{13}A_{13} - \ldots + (-1)^{n+1}a_{1n}A_{1n}$其中，$A_{ij}$ 表示元素 $a_{ij}$ 的代数余子式，即将 $a_{ij}$ 所在的行和列划去后，剩余元素构成的行列式。

行列式的计算方法-计算行列式的格式行列式是线性代数中的一个重要概念，它在数学、物理、工程等领域都有广泛的应用。

计算行列式是线性代数中的一项基本技能，掌握正确的计算格式对于准确求解行列式至关重要。

接下来，让我们详细探讨一下计算行列式的格式。

首先，我们需要明确什么是行列式。

行列式是一个由数值排列成的方形矩阵经过特定运算得到的一个数值。

例如，对于一个二阶行列式：＼＼begin{vmatrix}a ＆b ＼＼c ＆ d＼end{vmatrix}＼其值为＼（ad bc\）。

在计算行列式时，第一步是要确定行列式的阶数。

行列式的阶数就是其行数或列数。

常见的行列式有二阶、三阶等。

对于二阶行列式，我们已经知道其计算公式为＼（ad bc\）。

对于三阶行列式：＼＼begin{vmatrix}a_{11} ＆ a_{12} ＆ a_{13} ＼＼a_{21} ＆ a_{22} ＆ a_{23} ＼＼a_{31} ＆ a_{32} ＆ a_{33}＼end{vmatrix}＼我们可以按照以下格式进行计算：＼＼begin{align}＆a_{11} ＼times ＼begin{vmatrix}a_{22} ＆ a_{23} ＼＼a_{32} ＆ a_{33}＼end{vmatrix} a_{12} ＼times ＼begin{vmatrix} a_{21} ＆ a_{23} ＼＼a_{31} ＆ a_{33}＼end{vmatrix} ＋ a_{13} ＼times ＼begin{vmatrix}a_{21} ＆ a_{22} ＼＼a_{31} ＆ a_{32}＼end{vmatrix}＼＼＝＆a_{11}（a_{22}a_{33} a_{23}a_{32}） a_{12}（a_{21}a_{33} a_{23}a_{31}）＋ a_{13}（a_{21}a_{32} a_{22}a_{31}）＼end{align}＼在书写计算过程时，要清晰地标明每一步的运算，并且使用适当的括号来区分不同的运算顺序。

行列式一般计算方法行列式是线性代数中的一个非常重要的概念，它可以用来求解线性方程组的解，以及描述线性变换对向量的影响。

计算行列式的方法有多种，下面将分别介绍其一般计算方法。

一、按行列式定义法计算行列式按行列式定义法计算行列式的过程是比较繁琐的，但是却是最基本的计算方法。

其步骤如下：1. 先将行列式按行或按列展开，选择展开方向根据具体情况而定。

2. 按照“代数和减差积”的方法计算每一项的值。

3. 将所有项的值相加，得出行列式的值。

二、按初等变换法计算行列式按初等变换法计算行列式的前提是行列式的值不变，即任何两行或两列的互换或倍乘不改变行列式的值。

其计算方法如下：1. 对行列式进行初等变换，即交换行或列，或用一个数乘以某一行或某一列。

2. 对变换后的行列式按行列式定义法进行计算。

三、按行列式的性质计算行列式按行列式的性质计算行列式是一种更加简便的计算方法，其前提是必须知道行列式的性质。

常用的行列式性质有以下几条：1. 行列式的某一行（列）中所有元素成比例，行列式的值等于其中一个元素乘以其他行（列）中对应元素的代数和。

2. 行列式的某一行（列）中所有元素都为0，行列式的值等于0。

3. 行列式的两行（列）互换，行列式的值变号。

4. 行列式的某一行（列）加上另一行（列）的 t 倍，行列式的值不变。

基于以上行列式的性质，可以运用三个简单的步骤来计算行列式：1. 将行列式化为上、下三角形。

2. 计算三角形对角线上各元素的乘积之和，再将这些值相乘。

3. 根据行列式性质调整符号和值。

这种计算方法比较适用于行列式的规模较大的情况，可以大大简化计算过程。

综上所述，计算行列式的方法比较丰富，可以根据具体情况选择不同的方法来计算。

行列式的计算是线性代数中的重要内容，对于理解线性代数的概念和方法有着巨大的帮助。

计算行列式的方法方法一，按定义展开计算。

行列式的定义展开计算是最直接的方法，但对于较大的矩阵来说，计算量会非常大。

行列式的定义展开计算是通过对矩阵的某一行或某一列进行展开，然后利用代数余子式的概念进行计算。

这种方法需要耐心和细心，但是可以保证结果的准确性。

方法二，利用性质简化计算。

行列式有一些性质，可以利用这些性质来简化计算。

比如，行列式的某一行（列）乘以一个数然后加到另一行（列）上，行列式的值不变；行列式的两行（列）对换，行列式的值取相反数等。

通过利用这些性质，可以将一个复杂的行列式化简为一个或多个简单的行列式的和或差，从而简化计算的过程。

方法三，高斯消元法。

高斯消元法是一种利用矩阵的初等变换将矩阵化为阶梯形矩阵或行最简形矩阵的方法。

通过高斯消元法，可以将一个矩阵化为上（下）三角矩阵，然后再计算行列式的值。

这种方法在计算较大的矩阵的行列式时，具有较高的效率和准确性。

方法四，利用特殊矩阵的性质。

对于一些特殊的矩阵，比如对角矩阵、三角矩阵等，它们的行列式的计算可以通过直接取主对角线上元素的乘积来得到。

这种方法适用于特殊结构的矩阵，可以大大简化计算的过程。

方法五，利用行列式的几何意义。

行列式在几何学中有着重要的几何意义，它可以表示向量的数量积、平行四边形的面积、三角形的有向面积等。

通过利用行列式的几何意义，可以将行列式的计算问题转化为几何性质的计算问题，从而得到行列式的值。

综上所述，计算行列式的方法有很多种，每种方法都有其适用的场景和特点。

在实际应用中，我们可以根据具体的情况选择合适的方法来计算行列式，以达到高效、准确地求解行列式的目的。

希望以上内容对您有所帮助。

行列式的计算方法总结行列式是矩阵的一个重要的数值性质，它将一个矩阵映射为一个数。

行列式的计算方法有多种，包括按定义展开、按行（列）展开、按特定行（列）展开、按相似行变化展开、按行列变换展开等等。

下面将总结行列式的计算方法。

1. 按定义展开法：行列式的定义是通过求和的形式给出的，具体计算步骤如下：a. 对于1×1的矩阵，直接返回矩阵元素的值。

b. 对于n×n的矩阵A，选择第一行或第一列，如第一行，则有det(A) = a_{11} * det(A_{11}) - a_{12} * det(A_{12}) + ... + (-1)^(1+n) * a_{1n} * det(A_{1n})，其中A_{ij}表示删去第i行第j列后的（n-1）×（n-1）的矩阵。

c. 迭代调用行列式计算函数，直到矩阵规模变为1×1，然后返回最终的计算结果。

2. 按行（列）展开法：选择任意一行（列），对于这一行（列）的每个元素aij，计算aij*（-1）^(i+j)*Det(Aij)，其中Det(Aij)表示矩阵A删去第i行第j列后的（n-1）×（n-1）的矩阵的行列式。

将所有结果相加即可获得行列式的值。

3. 按特定行（列）展开法：对于任意一行（列）i，选择元素a_{ik}，其中k≤n。

根据特定行（列）展开的性质，行列式的值可以表示为det(A) =a_{ik} * C_{ik}，其中C_{ik}表示A中删去第i行第k列后的（n-1）×（n-1）的矩阵的行列式。

简而言之，即选取矩阵中的某个元素，用这个元素乘以它的代数余子式（或称余子式）再相加。

4. 按相似行变化展开法：相似行是指行向量的倍数，对于具有相似行的矩阵A，其行列式的值为零。

因此，可以选择特定的行对矩阵进行行变换，使得相似行变成0，从而简化计算。

这需要根据具体的矩阵进行分析，选择合适的行变换方式。

5. 按行列变换展开法：行列变换可以通过交换两行（列）或某行（列）乘以一个非零数加到另外一行（列）上进行。

行列式的几种计算方法行列式是线性代数中重要的概念之一，它可以用来判断线性方程组的解的情况，也可以应用在向量空间、线性变换等诸多领域。

行列式的计算方法主要有初等变换法、代数余子式法和特征值法等。

初等变换法是最常用的计算行列式的方法之一。

它的基本思想是通过对行列式进行一系列的初等行变换，将其化为一个简单的行列式进行求解。

初等行变换包括互换两行、某一行乘以非零常数、将某一行的常数倍加到另一行等操作。

对于一个2×2的行列式A，其计算公式为：| A | = a11* a22 - a12 * a21而对于一个n×n的行列式A，可以通过将其化为上三角矩阵或者对角矩阵，从而简化计算。

代数余子式法是另一种计算行列式的方法。

它的基本思想是将行列式的展开式转化为代数余子式相加的形式。

代数余子式是指除去行列式中的某一行和某一列后，剩下的元素按原来的顺序构成的一个新的行列式。

通过将行列式展开为代数余子式的和，可以将计算行列式的问题转化为计算若干个较小规模的行列式的问题。

代数余子式的计算比较繁琐，需要使用递归的方法，但对于规模较大的行列式，代数余子式法是比较有效的方法。

特征值法是通过求解方程组的特征值和特征向量来计算行列式。

特征值是一个方阵A 的线性变换在某个特征方向上的伸缩因子，特征向量是对应于特征值的一个非零向量。

特征值和特征向量可以通过求解方程组A-λI=0来获得，其中I为单位矩阵。

而行列式的计算公式为行列式的特征值等于其主对角线上元素的乘积。

通过求解特征值和特征向量，可以将行列式的计算问题转化为求解方程组的问题。

除了以上常用的计算方法外，还有一些其他的特殊情况下的行列式计算方法。

对于三角矩阵来说，其行列式等于主对角线上元素的乘积。

对于对称矩阵来说，可以通过对角化将其化为对角矩阵，从而简化计算。

行列式的计算方法有很多种，初等变换法、代数余子式法和特征值法是比较常见的几种方法。

根据不同的问题和矩阵的性质，选择合适的计算方法可以简化问题，并提高计算的效率。

行列式的计算方法综述目录1.定义法（线性代数释疑解难参考）2.化三角形法（线性代数释疑解难参考）3.逐行（列）相减法（线性代数释疑解难参考）4.升降法（加边法）（线性代数释疑解难参考）5.利用范德蒙德行列式（线性代数释疑解难参考）6.递推法（线性代数释疑解难参考）7.数学归纳法（线性代数释疑解难参考）8.拆项法（课外辅导书上参考）9.换元方法（课外辅导书上参考）10.拆因法（课外辅导书上参考）线性代数主要内容就是求解多元线性方程组，行列式的计算其中起重要作用。

下面由我介绍几种常见的计算行列式的方法：1.定义法由定义看出，n级行列式有!n个项。

n较大时，!n是一个很大的数字。

直接用定义来计算行列式是几乎不可能的事。

但在n 级行列式中的等于零的项的个数较多时，它展开式中的不等于零的项就会少一些，这时利用行列式的定义来计算行列式较方便。

例1.算上三角行列式1112122200n nnna a a a a a解：展开式的一般项为()()1212121n nj j j j j nj a a a τ-11121222112200n n nn nna a a a a a a a a =同样，可以计算下三角行列式的值。

112122112212000nnn n nna a a a a a a a a =2.化三角形法画三角形法是先利用行列式的性质将原行列式作某种保值变形，化为上（下）三角形行列式，再利用上（下）三角形行列式的特点（主对角线上元素的乘积）求出值。

例2.计算n a b b bb ab b D b b ab b b ba =解：各行加到第一行中()()()111n a n b a n b a n bb a b D bba+-+-+-=()11111b a bba nb b b ab b b ba=+-⎡⎤⎣⎦ 把第二列到第n 列都分别加上第一列的()1-倍，有()()()110000110000n b a b a n b a n b a b bab bab--=⎡+-⎤=⎡+-⎤--⎣⎦⎣⎦-3.逐行（列）相减法有这样一类行列式，每相邻两行（列）之间有许多元素相同，且这些相同元素都集中在某个角上。

关于行列式的计算方法行列式是线性代数中非常重要的一个概念，它在矩阵和线性方程组的求解中都有广泛的应用。

本文将介绍关于行列式的定义、计算方法及其性质，以及一些常用的行列式计算技巧。

一、行列式的定义行列式是一个方阵（只有行数和列数相等的矩阵才有行列式）所具有的一个确定的数值。

对于一个n阶的方阵，其行列式记作det(A)，其中A 表示矩阵。

行列式的计算方法主要有三种：代数余子式法、按行（列）展开法和逆序数法。

二、代数余子式法对于一个n阶方阵A，它的第i行第j列元素的代数余子式表示为Mij，定义为：将A的第i行和第j列元素划去，然后找出剩余元素所形成的n-1阶方阵的行列式。

即：Mij = det(Aij)其中Aij表示由第i行和第j列元素删去后所得到的(n-1)阶方阵。

根据代数余子式的定义，行列式的计算可以通过以下公式进行求解：det(A) = a11M11 - a12M12 + a13M13 - ... + (-1)^(i+j)aijMij + ...其中a11,a12,a13,...是第一行元素，M11,M12,M13,...是它们对应的代数余子式。

三、按行（列）展开法按行（列）展开法是行列式计算中最常用的一种方法。

对于一个n阶方阵A，选择其中任意一行或者一列，然后按照一定规律展开计算。

以按第一行展开为例，按照以下规律进行展开：det(A) = a11C11 + a12C12 + a13C13 + ... + a1nC1n其中Cij表示第一行第j列元素aij的余子式，定义为：将A的第一行和第j列元素划去，然后找出剩余元素所形成的(n-1)阶方阵的行列式。

将Cij的计算公式中的行列式再按行（列）展开，可以得到更小阶的余子式，直到降阶为2阶方阵时，余子式的计算直接是两个元素之差。

四、逆序数法逆序数法是行列式计算中的另一种方法。

对于一个n阶方阵A，按照以下步骤进行计算：1.首先，将方阵A展开至最小的单位（1阶方阵）。

行列式怎么计算
1、利用行列式定义直接计算：行列式是由排成n阶方阵形式的n²个数aij（i,j=1,2,...n）确定的一个数，其值为n项之和。

2、利用行列式的性质计算。

3、化为三角形行列式计算：若能把一个行列式经过适当变换化为三角形，其结果为行列式主对角线上元素的乘积。

因此化三角形是行列式计算中的一个重要方法。

行列式
行列式在数学中，是一个函数，其定义域为det的矩阵A，取值为一个标量，写作det(A)或|A|。

无论是在线性代数、多项式理论，还是在微积分学中（比如说换元积分法中），行列式作为基本的数学工具，都有着重要的应用。

行列式可以看做是有向面积或体积的概念在一般的欧几里得空间中的推广。

或者说，在n维欧几里得空间中，行列式描述的是一个线性变换对“体积”所造成的影响。

行列式的性质
①行列式A中某行(或列)用同一数k乘,其结果等于kA。

②行列式A等于其转置行列式AT(AT的第i行为A的第i列)。

③若n阶行列式|αij|中某行(或列);行列式则|αij|是两个行列式的和，这两个行列式的第i行(或列),一个是b1,b2,…,bn；另一个是с1，с2,…,сn；其余各行（或列）上的元与|αij|的完全一样。

④行列式A中两行（或列）互换,其结果等于-A。

⑤把行列式A的某行（或列）中各元同乘一数后加到另一行（或列）中各对应元上，结果仍然是A。

行列式的几种计算方法行列式是线性代数中的一种重要概念，也是解线性方程组的基础。

行列式的求解方法有很多，下面介绍几种比较常用的方法。

1. 代数余子式法代数余子式法是求解$n$阶行列式的一种常用方法。

假设有一个$n$阶行列式$A$，它的第$i$行、第$j$列元素为$a_{i,j}$，则记$A_{i,j}$为该行列式除去第$i$行和第$j$列后得到的$(n-1)$阶行列式，即：$$A_{i,j}=(-1)^{i+j}|A_{i,j}|$$其中，$|A_{i,j}|$表示该矩阵的余子式。

在求解行列式的时候，先选择行或列作为基准，计算出每个元素的代数余子式，然后进行相乘相加即可。

具体方法如下：$$det(A)=\sum_{i=1}^{n}a_{i,j}A_{i,j}=\sum_{j=1}^{n}a_{i,j}A_{i,j}$$根据公式可知，代数余子式法的时间复杂度为$O(n!)$，因此只能适用于小规模的行列式求解。

2. 行列式加边法行列式加边法是求解$n$阶行列式的另一种常用方法，它利用了矩阵的运算规律，通过添加等行等列来求解行列式值。

具体方法如下：（1）选择行或列中绝对值最大的元素，将该元素加入到行列式外面新添加一行或一列，然后依次将其它元素按矩阵运算法则进行变换；（2）此时，行列式的值等于新行列式减去外加行列后的新行列式；（3）依次将新加行列的元素还原到原来的位置，然后计算新添加元素的代数余子式求和即可。

这种方法的优点是时间复杂度较低，为$O(n^3)$。

缺点是需要进行大量的矩阵运算，计算过程较为繁琐。

3. 克拉默法则克拉默法则是解决线性方程组的常用方法，也可以用来求解行列式。

假设有一个$n$阶行列式$A$，则克拉默法则的公式为：其中，$D_i$表示以第$i$列为基准的行列式值。

4. 三角分解法三角分解法是求解$n$阶行列式的一种高效方法，它可以分解为上三角和下三角矩阵的乘积，从而降低了计算复杂度。

该方法可以通过高斯列主元消元法来实现，具体流程如下：（1）按列主元消元法，将原始矩阵变换为上三角矩阵$U$；（2）计算对角线上的元素之积，即为行列式的值。

行列式计算方法行列式是线性代数中的一个重要概念，它在矩阵运算和方程组求解中都有着重要的应用。

本文将介绍行列式的计算方法，帮助读者更好地理解和掌握这一概念。

首先，我们来了解一下行列式的定义。

行列式是一个数学对象，它是一个关于矩阵的函数，可以用来描述矩阵的某些性质。

对于一个n阶方阵A，其行列式记作det(A)或|A|，它是一个确定的数值。

行列式的计算方法有多种，接下来我们将介绍其中的两种常用方法。

一、按定义展开法。

按定义展开法是行列式计算的最基本方法，也是最容易理解和掌握的方法。

对于一个3阶方阵A，其行列式计算方法如下：|A| = a11a22a33 + a12a23a31 + a13a21a32 a13a22a31 a12a21a33 a11a23a32。

其中a11、a12、a13分别为A的第一行元素，a21、a22、a23分别为A的第二行元素，a31、a32、a33分别为A的第三行元素。

上式中的加减号交替出现，这是根据行列式的定义展开式中的符号规律确定的。

二、拉普拉斯展开法。

拉普拉斯展开法是另一种常用的行列式计算方法，它通过逐步化简矩阵为小一阶行列式的方式来计算行列式的值。

对于一个n阶方阵A，其行列式计算方法如下：|A| = a11A11 + a12A12 + ... + a1nA1n。

其中Aij为A的余子式，它是将A中第i行和第j列划去后得到的n-1阶方阵的行列式。

通过逐步计算A的余子式，最终可以得到行列式的值。

在实际应用中，我们可以根据具体的矩阵大小和特点选择合适的行列式计算方法。

除了上述两种方法外，还有克拉默法则、三角形行列式等其他计算方法，读者可以根据实际情况选择合适的方法进行计算。

总结起来，行列式是线性代数中的重要概念，它在矩阵运算和方程组求解中有着重要的应用。

行列式的计算方法有多种，包括按定义展开法和拉普拉斯展开法等。

通过掌握这些计算方法，我们可以更好地理解和运用行列式的概念，为解决实际问题提供有力的数学工具。

行列式的计算方法首先，我们来介绍行列式的初等变换法。

初等变换法是通过一系列行变换或列变换来简化行列式的计算。

常见的初等行变换包括交换两行、某行乘以一个非零常数、某行加上另一行的若干倍；而初等列变换则是类似的操作，只是作用在列上。

通过这些变换，我们可以将一个复杂的行列式转化为更简单的形式，从而更容易求解。

其次，展开定理也是计算行列式的重要方法之一。

展开定理是通过将行列式按照某一行或某一列展开成若干个子行列式的和来计算。

这里需要注意的是，展开定理的选择要根据具体情况来确定，通常选择行或列中含有大量零元素的那一行或列进行展开，以减少计算的复杂度。

通过逐步展开子行列式，最终可以得到原行列式的值。

除了初等变换法和展开定理，我们还可以利用行列式的性质来进行计算。

行列式有许多重要的性质，比如行列式对调换行或列的次序，行列式的某一行或某一列乘以一个数然后加到另一行或另一列上，行列式中有两行或两列相同等等。

这些性质在实际计算中非常有用，可以帮助我们简化计算过程，减少出错的可能性。

在实际应用中，我们可以根据具体问题的特点选择合适的计算方法。

有时候初等变换法更方便，有时候展开定理更适合，有时候利用性质法可以更快地求解问题。

因此，熟练掌握各种计算方法，并灵活运用，是十分重要的。

总之，行列式的计算方法包括初等变换法、展开定理和性质法等多种方法，每种方法都有其适用的场合。

通过学习和掌握这些方法，我们可以更好地理解行列式的性质，提高数学建模和工程问题求解的能力。

希望本文能够帮助读者更好地理解行列式的计算方法，为进一步学习和应用打下坚实的基础。

计算n 阶行列式的若干方法举例1．利用行列式的性质计算例： 一个n 阶行列式nij D a =的元素满足,,1,2,,,ij ji a a i j n =-= 则称D n 为反对称行列式， 证明：奇数阶反对称行列式为零. 证明：由ij ji a a =-知ii ii a a =-，即0,1,2,,ii a i n ==故行列式D n 可表示为121311223213233123000n nn n nnna a a a a a D a a a a a a -=-----，由行列式的性质A A '=，1213112232132331230000n n n n nnna a a a a a D a a a a a a -----=-12131122321323312300(1)0n n n n nnna a a a a a a a a a a a -=------(1)n n D =-当n 为奇数时，得D n =－D n ，因而得D n = 0.2．化为三角形行列式例2 计算n 阶行列式1231231231231111nnn na a a a a a a a D a a a a a a a a ++=++． 解 这个行列式每一列的元素，除了主对角线上的外，都是相同的，且各列的结构相似，因此n 列之和全同．将第2，3，…，n 列都加到第一列上，就可以提出公因子且使第一列的元素全是1．[][]()()()()()()1223231223231223231122323211 12,,2,,11111111111111111n n n n n n nn n i n i n nnn i i i i i ni n a a a a a a a a a a a a a a a a aa D a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a ==+-==++++++++++⎛⎫+++++=++ ⎪⎝⎭++++++⎛⎫+ ⎪⎝⎭∑∑3110100111 .001001n n ni i i i a a a ==⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭∑∑例3 计算n 阶行列式ab b b ba b b D bba b bbba= 解：这个行列式的特点是每行（列）元素的和均相等，根据行列式的性质，把第2，3，…，n 列都加到第1列上，行列式不变，得(1)(1)(1)(1)a n b b b ba nb a b bD a n bb a b a n bbba+-+-=+-+-11[(1)]11b b b a b b a n b b a b bba=+- 100[(1)]000bbb a b a n b a b a b-=+---1[(1)]()n a n b a b -=+--例4：浙江大学2004年攻读硕士研究生入学测试试题第一大题第2小题（重庆大学2004年攻读硕士研究生入学测试试题第三大题第1小题）的解答中需要计算如下行列式的值：12312341345121221n n n n D n n n -=--[分析]显然若直接化为三角形行列式，计算很繁，所以我们要充分利用行列式的性质。