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二项式定理第一课时公开课

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人教版高中数学选择性必修3《二项式定理》第1课时课件

人教版高中数学选择性必修3《二项式定理》第1课时课件

(a b)(a b)(a b)(a b)
b4 (a b)(a b)(a b)(a b)
探 探究3 仿照上述过程，推导 (a b)4 的展开式.
究 (a b)4 (a b)(a b)(a b)(a b)
归 ① 项： a4 a3b a2b2 ab3 b4 a4-kbk (k=0,1,2,3,4)
猜想：
(a b)n C0nan C1na b n1 1 Cnk ankbk Cnnbn (n N ).
探 究
探究4 分析 (a b)n的展开过程，证明猜想.
(a b)n (a b)(a b)(a b) (a b)
归 纳
n个
① 项： an a b n1 1 ankbk bn an-kbk (k=0,1,2,…,n)
分析 a2b (a b)(a b)(a b)
(a b)(a b)(a b) C13 (a b)(a b)(a b)
探 探究2 推导 (a b)3的展开式.
究 (a b)3 (a b)(a b)(a b)
归 ① 项： a3 a2b ab2 b3 纳 ② 系数：1 C13 C32
纳 ② 系数：1
C13
C32
C
3 3
a3-kbk ,其中k=0,1,2,3
探 探究2 推导 (a b)3的展开式. 究 (a b)3 (a b)(a b)(a b)
归 ① 项： a3 a2b ab2 b3
纳 ② 系数：C130 C13
C32
C
3 3
a3-kbk ,其中k=0,1,2,3 C3k ,其中k=0,1,2,3
探 究
探究3 仿照上述过程，推导 (a b)4 的展开式.
(a b)4 (a b)(a b)(a b)(a b)

《二项式定理》公开课课件

《二项式定理》公开课课件

n
展开式的二项式系数和为
64.
（1）求 n （2）求展开式中的常数项 （3）求展开式中所有的有理项
小结
(a b)n Cn0an C1nan1b Crnanrbr Cnnbn
———二项式定理 (n N )
二项式系数
展开式特征
通项公式
系数
谢谢大家！
敬请各位老师指导！
2
(a+b)32= (a+b) (a+b) (a+b)
项
a23 a12b11 ab1b2 2 b3
系数
都取 取 取
不一 两 三
取个 个 个
b
b
b
b
C302 C213 C232 C33
结果：(a+b)32=C320a32+C312a2bb++CC223b2a2b2+C33b3
合情推理
(a+b)2=C20a2+C21a1b1+C22b2 (a+b)3=C30a3+C31a2b1+C23a1b2+C33b3 (a+b)4 =C40a4+C41a3b1+C24a2b2+C34a1b3+C44b4 (a+b)n= Cn0an+Cn1an-1b1+ … +Cnran-rbr + … +Cnnbn
解:(1)依题意 Cn0 C1n Cn2 Cnn 2n 64 , ∴n=6
通项公式为
T r
1＝C6r
3
x
6r
2
1
3
x
r
Cr6
r 62r
1 x 3 2

二项式定理第一课时公开课

二项式定理第一课时公开课
2 随机变量的分布
二项式定理与随机变量的分布有密切关联，可以帮助我们理解随机事件的概率分布。
3 经典投币实验的应用
二项式定理可以解释经典的投币实验中正面朝上的次数与投掷次数之间的关系。
证明二项式定理
1 小学阶段证明
我们可以通过组合数的计算和简单的数学推理，向小学生展示二项式定理的证明思路。
2 高中阶段证明
3 拆解公式：二项式定理公式如何
解释？
4 二项式系数：如何计算二项式系
数？
该公式表示了二项式 (a+b)^n 的展开结果， 其中 C(n, k) 表示二项式系数。
二项式系数可以通过组合数公式 C(n, k) = n! / (k!*(n-k)!) 计算得出。
二项式定理的应用
1 排列组合问题中的应用
二项式定理可以帮助我们计算在排列组合问题中的各种情况。
二项式定理第一课时公开 课
二项式定理是一个重要的数学概念，本公开课将为您详细介绍二项式定理的 基本概念、应用以及相关证明，带您深入了解这一知识。
引言
1 什么是二项式定理？
二项式定理是数学中的一个公式，用于展开二项式的幂。
2 为什么需要学习二项式定理？
二项式定理在排列组合、随机变量分布、经典投币实验等领域都有广泛应用。
二项式定理的基本概念么？
二项式是指形如 (a+b)^n 的表达式，其中 a 和 b 是任意常数，n 是非负整数。
二项式定理公式为 (a+b)^n = C(n, 0)*a^n + C(n, 1)*a^(n-1)*b + ... + C(n, n)*b^n。
总结
1 重点回顾
2 下一步学习计划
回顾二项式定理的基本概念、公式以及应 用，巩固所学知识。

【高中数学】二项式定理(第1课时) 高二数学同步精讲课件(人教A版2019选择性必修第三册)

【高中数学】二项式定理(第1课时) 高二数学同步精讲课件(人教A版2019选择性必修第三册)
6.3.1 二项式定理
问题导入
上一节学习了排列数公式和组合数公式，本节我们用它们解决一个在数学上有
着广泛应用的( + ) 展开的问题.
问题1：我们知道，
( + )2 = 2 + 2 + 2 ，
( + )3 = 3 + 32 + 3 2 + 3 .
(1)观察以上展开式，分析其运算过程，你能发现什么规律？
答案：2.
解：依题意，注意到( +
1 10
) 的展开式的通项公式是+1

=

10
10− 1
∙
( )

1

=

10
∙ 10−2 ，( + )10 的展开式中含 4 (当 = 3时)、 6 (当 = 2时)项的系数分别为
3
3
2
2
10
、10
，因此由题意得10
− 10
练习
变1.(1)若() = ( − 1)4 +4( − 1)3 +6( − 1)2 +4( − 1) + 4，则
(2020) − (−2020)的值为______.
解：根据的解析式，逆用二项式定理，得() = [( − 1) + 1]4 +3 = 4 + 3.
显然(−) = ()，即()为偶函数，
的.由于选定后，的选法也随之确定，因此，出现的次数相当于从2个( + )
中取1个的组合数21 ，即共有2个.
当 = 2时，2− = 2 ，这是由2个( + )中都选得到的.因此， 2 出现的
次数相当于从2个( + )中选取2个(不取)的组合数22 ，即 2 只有1个.

二项式定理(一)课件

二项式定理(一)课件

03 二项式定理的扩展与推广
二项式定理的扩展形式
01
02
03
04
二项式定理的扩展形式包括二 项式定理的逆用、二项式定理 的变形以及二项式定理的推广
。
二项式定理的逆用是指将二项 式定理中的幂次和系数互换，
从而得到新的等式。
二项式定理的变形是指通过改 变二项式定理中的幂次或系数
，从而得到新的等式。
二项式定理的推广是指将二项 式定理应用到更广泛的情况， 例如应用到多项式、分式等。
解析
根据二项式定理，$(a + b)^{2}$ 可以展开为 $a^{2} + 2ab + b^{2}$，与给定的等式一致。
习题二：证明题
题目
证明 $(a - b)(a + b) = a^{2} - b^{2}$。
解析
首先展开 $(a - b)(a + b)$，得到 $a^{2} - b^{2}$，与给定的等式一致。
习题三：综合应用题
题目
计算 $(a + b + c)^{3}$ 的展开式。
解析
根据二项式定理，$(a + b + c)^{3}$ 可以展开为 $a^{3} + 3a^{2}b + 3ab^{2} + b^{3} + c^{3} + 3ac^{2} + 3bc^{2} + 3ab^{2}c + 3ac^{2}b$。
利用组合数的性质和二项式展开式的 性质来推导公式。
公式证明的过程
基础步骤
当$n=0$和$n=1$时，公式成立。
归纳步骤
假设当$n=k$时公式成立，证明当$n=k+1$时公式也成立。

二项式定理(一)课件

二项式定理(一)课件
二项式定理可以简化解决二项式相关问题的计 算过程。
概率统计
二项分布可以通过二项式定理得到，应用于概 率和统计学中的相关计算。
组合数学
二项式系数与组合数密切相关，可用于求解排 列组合问题。
数学建模
二项式定理可以应用于数学建模中的各类排列 组合问题求解。
二项式定理的证明
1
几何证明
通过几何方法，如组合图形等，可以证明二项式定理的几何意义。
二项式定理(一)课件
本课件将详细介绍二项式定理及其应用。
二项式定理的定义
1 简介
二项式定理是描述二项式的求解过程的数学公式。
2 公式
二项式定理的公式表达为(a + b)^n = C(n, 0) * a^n * b^0 + C(n, 1) * a^(n-1) * b^1 + ... + C(n, n) * a^0 * b^n。
3 含义
二项式定理告诉我们，当一个二项式被提升到一个非负整数次幂时，它展开后的每一项 的系数可以通过组合数C(n, k)来计算。
二项式系数的求解
1
计算公式
二项式系数可以使用组合数公式计算：C(n, k) = n! / (k! * (n-k)!)。
2
性质
二项式系数具有对称性，即C(n, k) = C(n, n-k)。
3
例题演练
通过实例演示如何计算二项式系数，加深理解和培养计算能力。
二项式的展开
公式展开
二项式定理提供了展开二项式的 公式，可以将二项式展开为一系 列项的加和。
计算方法
通过依次计算每一项的系数，可 以逐步展开二项式。
常见模式
展开后的二项式常见模式有等差 数列模式、幂函数模式等。

二项式定理-PPT课件

1.3 二项式定理 1.3.1 二项式定理
1
问题提出
1.(a＋b)2和(a＋b)3展开后分别等 于什么？
(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2，
(a＋b)3＝a3＋3a2b＋3ab2＋b3.
2
问题提出
2.对于a＋b，(a＋b)2，(a＋b)3， (a＋b)4，(a＋b)5等代数式，数学上统 称为二项式，其一般形式为(a＋b)n
7
问题探究
根据归纳推理，你能猜测出
(a＋b)n(n∈N*)的展开式是什么
吗？
(a b)n
Cn0an Cn1an 1b Cn2an 2b2
C
n n
1abn
1
C nnb n
如何证明这个猜想？
8
大家学习辛苦了，还是要坚持
继续保持安静
9
形成结论
(a b)n Cn0an Cn1an 1b
Cnkan kbk
C nnb n
叫做二项式定理，等式右边叫做二项展
开式，其中各项的系数
C
k n
(k＝0，1，2，
…，n)叫做二项式系数.
10
问题探究
共有n＋1项；字母a的最高次
数为n且按降幂排列；字母b的最高
次数为n且按升幂排列；各项中a与
b的指数幂之和都是n；各项的二项
式系数依次为 b无关.
C
n0,C
n1,C
n2,
13
问题探究
在(a＋b)n的二项展开式中，
Tk 1 Cnkan kbk 叫做二项展开式的通
项，那么(a－b)n的二项展开式的通项
是什么？
Tk 1 ( 1)kCnkan kbk
14
问题探究
(2x＋3y)20的二项展开式的通项是什 么？

6.3.1二项式定理课件(人教版)(1)

字母a按降幂排序，
2
C
2 1.
字母b按升幂排序.
共4项
（a 或 b）相乘.
取出一个字母
系数
a 3、a 2b、ab 2、b3；
C30 1，C13 3，
字母a按降幂排序， 2
3
C

3,
C
3
3 1.
字母b按升幂排序.
从3个括号中各
取出一个字母
字母组成
4
3
2 2
3
4
环节三 提出猜想，归纳定理
(a b) 2 (a b)( a b) aa ab ba bb a 2 2ab b 2
3
(a b) (a b)(a b)(a b)
aaa aba baa bba aab abb bab bbb
3
2
2
3
a 3a b 3ab b
问题3-2：类比以上分析，你能运用计数原理推导 + 4 的展开式吗？
分析：（1）类比上述展开式的推理过程，可以得：
(a b) (a b)(a b)(a b)(a b) ...... _ _ a _ _ a b _ _ a b _ _ ab _ _ b
用计数原理分析，得到展开式中的一项需要三步：
第一步从第一个括号中选 或 ，有C21 种选法；
第二步从第二个括号中选 或 ，有C21 种选法；
第三步从第三个括号中选 或 ，有C21 种选法；
由分步乘法计数原理，合并前共有 C21 × C21 × C21 =23 种选法．
进一步分析 + 3 = + + + = 3 + 32 + 3 2 + 3 的生成过程:

课件1：§3.3 第1课时　二项式定理


[跟进训练]
1．(1)求3 x＋ 1x4的展开式；
(2)化简：1＋2C1n＋4C2n＋…＋2nCnn. [解] (1)法一：3 x＋ 1x4＝C04(3 x)4＋C14(3 x)3·1x＋
C24(3
x)2· 1x2＋C34(3
x)
1x3＋C44
1 4 x
＝81x2＋108x＋54＋1x2＋x12.
学以致用
1．在(x－ 3)10 的展开式中，含 x6 的项的系数是( )Байду номын сангаас
A．－27C610 C．－9C610
B．27C410 D．9C410
【解析】含 x6 的项是 T5＝C410x6(－ 3)4＝9C410x6. 【答案】D
2．在2x－31x8的展开式中常数项是( C )
A．－28
B．－7
C．7
4．化简：C0n2n＋C1n2n－1＋…＋Ckn2n－k＋…＋Cnn＝________. 【解析】原式＝(1＋2)n＝3n. 【答案】3n
5．设(x－ 2)n 的展开式中第二项和第四项的系数之比为 1∶2，求含 x2 的项．
[解] (x－ 2)n 的展开式中第二项和第四项分别为： T2＝C1n·xn－1(－ 2)＝－ 2nxn－1， T4＝C3n·xn－3·(－ 2)3＝－2 2C3nxn－3.
(2)Tr＋1＝Cr9x9－r·－1xr＝(－1)r·Cr9·x9－2r， 令 9－2r＝3，∴r＝3，即展开式中第四项含 x3， 其系数为(－1)3·C39＝－84.
规律方法 1．二项式系数都是组合数 Crn(r＝0,1,2，…，n)，它与二项展 开式中某一项的系数不一定相等，要注意区分“二项式系 数”与二项式展开式中“项的系数”这两个概念． 2．第 r＋1 项的系数是此项字母前的数连同符号，而此项的 二项式系数为 Crn.例如，在(1＋2x)7 的展开式中，第四项是 T4 ＝C3717－3(2x)3，其二项式系数是 C37＝35，而第四项的系数是 C3723＝280.

二项式定理课件


展开式的性质
二项式定理的展开式具有一些重要的性质，这些性质在后续 的应用中非常重要。
例如，二项式定理的展开式中的每一项都是正整数幂次的乘 积，而且每一项的系数都是组合数。此外，二项式定理的展 开式具有对称性，即第i+1项和第n-i+1项是相等的。
03
二项式定理的扩展
二项式定理的推广
推广到多项式
详细描述
通过二项式定理，可以计算出多个独立事件的概率和期望值，这在概率论中非常重要，如计算彩票中奖概率、股 票投资风险评估等领域都有应用。
微积分中的二项式定理应用
总结词
在微积分中，二项式定理常用于求幂级数的展开式。
详细描述
利用二项式定理，可以求出幂级数的展开式，这在微积分中非常重要，如求解微分方程、积分变换等 领域都有应用。
04
二项式定理的应用实例
组合数学中的二项式定理应用
总结词
在组合数学中，二项式定理常用于计 算组合数和排列数。
详细描述
利用二项式定理，可以快速计算出给 定集合的组合数或排列数，这些计算 在组合数学中非常重要，如排列组合 问题、概率论等领域都有广泛应用。
概率论中的二项式定理应用
总结词
在概率论中，二项式定理常用于计算概率和期望值。
二项式定理在组合数学、概率论和统计学 等领域有广泛的应用。
二项式定理的定义
01
二项式定理描述了一个二项式展 开后的系数规律，即$(a+b)^n$ 的展开式中的每一项系数。
02
二项式定理的系数可以用组合数 表示，即$C(n, k)$，表示从n个 不同项中选取k个的组合方式数目 。
二项式定理的应用场景
组合数的性质
二项式定理中的组合数具有一些重要的性质，如对称性、递推关系等，这些性 质在解决数学问题时非常有用。
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n
0 n 1 n1 k n k k n n = C a C a b C a b C a b n n n nb
二项式定理的公式特征：
n+1 项 1、项数：共有____
减到__ n递__ 0 ； 降幂排列，次数由__ 字母a按____ 2、次数： 升幂排列，次数由__ 0递__ 增到__ 字母b按____ n； n 各项的次数都等于____.
有何性质。
1、展开式的第三项的二项式系数是多少？ 思考： 2、展开式的第三项的系数是多少？ 3、你能否直接求出展开式的第三项？
T3
C6 2 x
2
1
4
2
= 240 x 2
◆ 区分三个概念：项、项的系数、项的二项式系数；
课堂小结：
1、知识方面：
a b =
n
0 n 1 n1 k n k k n n Cn a Cn a b Cn a b Cn b
变一变：
1 x =
5
1 C 50 C 5 x C 52x 2 C 53x 3 C 54x 4 C 55x 5
a b
4
= C a C a b C a b C a b C b
0 4 4 1 3 4 2 2 4 2 3 4 3 4 4
= a1b1 a1b2 a2 b1 a2 b2
a1 a2 b1 b2 c1 c2 = a1b1c1 a1b2c1 a2b1c1 a2b2c1
a1b1c2 a1b2c2 a2b1c2 a2b2c2
展开式中项的形成规律：每个因式中取一项作乘积
0 4 4 1 4 3 2 4 2 2 3 4 3 4 4
4
问题四：
仿照以上形式，你能得到
a b
n
的展开式吗？
a b =
n
0 n 1 n1 k n k k n n Cn a Cn a b Cn a b Cn b
上述公式叫做二项式定理
总结提炼：
2、数学思想方面：
从特殊到一般的思维方式、用计数原理分析二项 式的展开过程、换元的方法。
课堂检测：
X
1
10
的展开式的第6项的二项式系数为？
作业：
巩固型作业：课本36页习题1.3A组 1、2、3
0 2 n 、 C1 、 C 、 、 C 思维拓展型作业：二项式系数 C n n n n
4
= a 4 4a 3b 6a 2b 2 4ab 3 b 4 注意使用换元的思想!
巩固提高 n 0 n 1 n1 k n k k n n a b = Cn a Cn a b Cn a b Cn b
例： 求
2
x 1

6
的展开式
二项式定理
研究(a+b)ຫໍສະໝຸດ 的展开式检测复习 情境导入：
问题一：
A组有两名男生，B组有两名女生，现 从每组中选一名学生，组成一男一女去 完成一项任务，有几种选择的方法？
检测复习 情境导入： 问题二：展开下列多项式，观察、对比两个展开式， 并用乘法原理分析项的形成有怎样的规律？
a1 a2 b1 b2
自主学习 合作探究： (a＋ b)2 ＝ ( a ＋ b ) ( a ＋ b )
＝a2＋ab＋ba＋ b2 ＝a2＋2ab＋b2 ＝C
两个因式中 有0个选b
0 2
能解释组合数 上标、下标的 含义吗？
a2＋
2 2 C C ab＋ 2 b 1 2
两个因式中有 1个选b
两个因式中有 2个选b
问题三： 1、找出展开式中的同类项，并结合“乘法原理”
分析其如何形成？ 2、三种项的个数怎样计算？ 3、能用组合数表示系数吗？
总结提炼： 试一试:不运算,直接写出展开式.
a b 4 a b
3
0 3 1 2 2 3 3 = C3 a C3 a b C3 ab2 C3 b
= C a C a b C a b C ab C b
0 2 n 3、二项式系数：C n 、 C1 、 C 、 、 C n n n
k C 即 n (k=0,1,2,…,n)
k n k k = T 4、二项展开式的通项： K 1 Cn a b
展开式的 第k+1项
反馈练习 n 1 n1 k n k k n n a b = Cn0 a n Cn a b Cn a b Cn b