(完整版)八年级数学三角形中位线培优专题训练

三角形中位线专项训练(30道)(解析版)三角形中位线专项训练(30道)(解析版)1. 题目解析三角形中位线是指连接一个三角形的两个非邻边中点的线段。

在这个专项训练中，我们将解答30道关于三角形中位线的问题，并提供详细的解析，帮助你更好地理解和掌握相关概念和解题方法。

2. 题目设置2.1 第一类题目：中位线长度计算2.1.1 题目1：已知一个三角形的三边长度分别为a, b, c，求其中位线长度。

解析：根据中位线定义，连接三角形的两个非邻边中点可以得到一个平行四边形。

利用平行四边形的性质，可以计算出中位线长度为(c²+a²-0.5b²)/(2c)。

2.1.2 题目2：已知一个等边三角形的边长为a，求其中位线长度。

解析：等边三角形中位线长等于边长的一半，即中位线长度为a/2。

2.1.3 题目3：已知一个等腰三角形的底边长度为a，腰长为b，求其中位线长度。

解析：根据中位线定义，连接三角形的两个非邻边中点可以得到一个平行四边形。

利用平行四边形的性质，可以计算出中位线长度为(a²+b²)/(2a)。

2.2 第二类题目：中位线位置关系2.2.1 题目4：在一个等边三角形中，证明中位线与底边垂直且分割底边的比例为2:1。

解析：根据等边三角形的性质，中位线和底边垂直。

利用中位线定义和几何性质，可以证明中位线分割底边的比例为2:1。

2.2.2 题目5：已知在一个等腰三角形中，中位线长为x，底边长为y，求腰长。

解析：根据中位线定义，连接三角形的两个非邻边中点可以得到一个平行四边形。

利用平行四边形的性质，可以得到腰长为2x-y。

2.2.3 题目6：已知在一个一般三角形中，中位线等分了三角形的面积，证明这个三角形是等腰三角形。

解析：假设中位线等分了三角形的面积，利用三角形面积公式可以得到一个关于中位线和底边的方程。

通过求解这个方程，可以证明这个三角形是等腰三角形。

3. 题目变体上述题目只是针对三角形中位线的一部分问题进行了训练和解析。

2022-2023学年初二数学第二学期培优专题14 三角形斜边中线与中位线结合【例题讲解】（1）如图1，已知△ABC中，F是BC上一点，AB＝BF，BE⊥AF，垂足是E，D是AC的中点，请说明FC和DE有怎样的关系？（请写出详细的推理过程）（2）如图2，在△ABC中，M、D分别是边AB、AC的中点，E是线段MD上的一点．连接AE、BE，∠AEB ＝90°，且AB＝8，BC＝14，则DE的长是______．解：（1）12DE FC DE FC=∥，，理由如下：∵AB=BF，BE⊥AF，∴AE=EF，即点E是AF的中点，又∵D是AC的中点，∴DE是△ACF的中位线，∴12DE FC DE FC=∥，；（2）∵M、D分别是AB、AC的中点，∴MD是△ABC的中位线，∴172MD BC==，∵∠AEB=90°，AB=8，M是AB的中点，∴142ME AB==，∴DE=MD-ME=3．【综合演练】1．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，BF是AC边上的中线，DE是△ABC的中位线，若DE＝10，则BF的长为（）A ．10B ．5C ．8D ．62．如图，在ABC 中，BF 平分ABC ∠，AF BF ⊥于点F ，D 为AB 的中点，连接DF 延长交AC 于点.E 若10AB =，=16BC ，则线段EF 的长为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．53．如图，在RtΔABC 中，∠ACB =90，AC =6、BC =4，点F 为射线CB 上一动点，过点C 作CM ⊥AF 于M 交AB 于E ， D 是AB 的中点，则DM 长度的最小值是( )A ．3B ．2C ．1D ．6-24．如图，在正方形ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点O ，E 为BC 上一点，CE ＝5，F 为DE 的中点．若△CEF 的周长为18，则OF 的长为( )A ．3B ．4C ．52D ．72第II 卷（非选择题）请点击修改第II 卷的文字说明二、填空题(共0分)5．已知，如图，在△ABC 中，D 、E 、F 分别是各边的中点，AH 是高，已知AB ＝6cm ，AC ＝8cm ，7cm 3CH BH -=，则△DHE 的周长为________cm ．6．如图，在Rt ABC 中，90ACB ∠=︒，30A ∠=︒，D ，E ，F 分别为AB ，AC ，AD 的中点，若6BC =，则EF 的长度为 _____．7．如图，菱形ABCD 中，DE AB ⊥，垂足为E ，点F 、G 分别为边AD 、DC 的中点，5,8EF FG ==，则ABCD S =菱形___________．8．如图，在ABC 和ABD △中，90ACB ADB ∠=∠=︒，E 、F 、G 分别为AB 、AC 、BC 的中点，若1DE =，则FG =_________．9．如图，在正方形ABCD 中，F 在AB 上，E 在BC 的延长线上，AF ＝CE ，连接DF 、DE 、EF ，EF 交对角线BD 于点N ，M 为EF 的中点，连接MC ，下列结论：①△DEF 为等腰直角三角形；②∠FDB ＝∠FEC ；③直线MC 是BD 的垂直平分线；④若BF ＝2，则MC ＝2；其中正确结论的有_______．10．如图，ABC ∆中，90ACB ∠=，D 为AC 边上的中点，E 为AB 边上一点，4AB BE =，连接CE DE 、，延长DE 交CB 延长线于F ，若3BF =，10AB =，则CE =________．11．如图，在Rt ABC 中，90,8,6ACB AC BC ∠=︒==，点P 是平面内一个动点，且4AP =，Q 为BP 的中点，在P 点运动过程中，设线段CQ 的长度为m ，则m 的取值范围是_______．三、解答题(共0分)12．如图，在四边形ABCD 中，∠ABC =90°，AC=AD ，M ，N 分别是AC ，CD 的中点，连接BM ，MN ，BN ．(1)求证：BM=MN；(2)若∠BAD=60°，AC平分∠BAD，AC=2．①求∠BMN的度数；②求BN的长．13．如图，D、E、F分别是△ABC三边中点，AH⊥BC于H．求证：（1）∠BDF＝∠BAC；（2）DF＝EH．14．在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，BD=2AB，点E、F分别是OA、BC的中点，连接BE、EF．BC；(1)求证：EF=12(2)在上述条件下，若AC=BD，G是BD上一点，且BG:GD=3:1，连接EG、FG，试判断四边形EBFG的形状，并证明你的结论．15．如图，在平面直角坐标系中，A（0，4），B（4，0），C（6，2），连接AB，BC，平移BC至AD（点B 与点A对应，点C与点D对应），连接CD．(1)①直接写出点D的坐标为．②判断四边形ABCD的形状，并证明你的结论；(2)如图1，点E为AB边上一点，连接DE，DF平分∠EDC交BC于F，连接EF，若∠DFE＝45°，求BE 的长；(3)如图2，N为BC边的中点，若∠AMC＝90°，连接MN，请直接写出MN的取值范围．16．已知，在△ABC中，以△ABC的两边BC，AC为斜边向外测作Rt△BCD和Rt△ACE，使∠CAE=∠CBD，取△ABC边AB的中点M，连接ME，MD．特例感知：（1）如图1，若AC=BC，∠ACB=60°，∠CAE=∠CBD=45°，取AC，BC的中点F，G，连接MF，MG，EF，DG，则ME与MD的数量关系为______，∠EMD=______；（2）如图2，若∠ACB=90°，∠CAE=∠CBD=60°，取AC，BC的中点F，G，连接MF，MG，EF，DG，请猜想ME与MD的数量关系以及∠EMD的度数，并给出证明；类比探究：（3）如图3，当△ABC是任意三角形，∠CAE=∠CBD=α时，连接DE，请猜想△DEM的形状以及∠EMD 与α的数量关系，并说明理由．中，D为BC中点，BE、CF与射线AE分别相交于点E、F（射线AE不经过点D）．17．在ABC(2)如图②，当BE⊥AE于点E，CF⊥AE于点F时，分别取AB、AC的中点M、N，连接ME、MD、NF、ND．求证：AM=AN(3)如图②，当BE⊥AE于点E，CF⊥AE于点F时，分别取AB、AC的中点M、N，连接ME、MD、NF、ND．求证：∠EMD=∠FND．18．（1）如图1，已知△ABC中，F是BC上一点，AB＝BF，BE⊥AF，垂足是E，D是AC的中点，请说明FC和DE有怎样的关系？（请写出详细的推理过程）（2）如图2，在△ABC中，M、D分别是边AB、AC的中点，E是线段MD上的一点．连接AE、BE，∠AEB ＝90°，且AB＝8，BC＝14，则DE的长是______．答案与解析【例题讲解】（1）如图1，已知△ABC中，F是BC上一点，AB＝BF，BE⊥AF，垂足是E，D是AC的中点，请说明FC和DE有怎样的关系？（请写出详细的推理过程）（2）如图2，在△ABC中，M、D分别是边AB、AC的中点，E是线段MD上的一点．连接AE、BE，∠AEB ＝90°，且AB＝8，BC＝14，则DE的长是______．解：（1）12DE FC DE FC=∥，，理由如下：∵AB=BF，BE⊥AF，∴AE=EF，即点E是AF的中点，又∵D是AC的中点，∴DE是△ACF的中位线，∴12DE FC DE FC=∥，；（2）∵M、D分别是AB、AC的中点，∴MD是△ABC的中位线，∴172MD BC==，∵∠AEB=90°，AB=8，M是AB的中点，∴142ME AB==，∴DE=MD-ME=3．【综合演练】1．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，BF是AC边上的中线，DE是△ABC的中位线，若DE＝10，则BF的长为（）A．10 B．5 C．8 D．6【分析】根据三角形中位线定理求出AC ，根据直角三角形的斜边上的中线等于斜边的一半计算，得到答案．【解答】解：∵DE 是△ABC 的中位线，若DE =10，∴AC =2DE =20，在Rt △ABC 中，∠ABC =90°，BF 是AC 边上的中线，∴BF =12AC =10，故选：A ． 【点评】本题考查的是三角形中位线定理、直角三角形的性质，掌握三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半是解题的关键．2．如图，在ABC 中，BF 平分ABC ∠，AF BF ⊥于点F ，D 为AB 的中点，连接DF 延长交AC 于点.E 若10AB =，=16BC ，则线段EF 的长为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．5 【答案】B【分析】先求出152DF AB AD BD ====，然后证明DE BC ∥，根据平行线分线段成比例可得=AE EC ，再根据三角形中位线定理求出DE 即可．【解答】解：AF BF ⊥，90AFB ∴∠=︒，10AB =，D 为AB 中点，152DF AB AD BD ∴====， ABF BFD ∠∠∴=，又BF 平分ABC ∠，ABF CBF ∠∠∴=，CBF DFB ∠∠∴=，∴DE BC ∥，∴=AD AE DB EC，182DE BC ∴==， 853EF DE DF ∴=-=-=，故选：B ．【点评】本题考查了直角三角形斜边中线的性质，等腰三角形的判定和性质，平行线的判定，平行线分线段成比例定理以及三角形中位线定理等知识，证明DE BC ∥是解答本题的关键．3．如图，在RtΔABC 中，∠ACB =90，AC =6、BC =4，点F 为射线CB 上一动点，过点C 作CM ⊥AF 于M 交AB 于E ， D 是AB 的中点，则DM 长度的最小值是( )A ．3B ．2C ．1D ．6-2【答案】C【分析】取AC 的中点T ，连接DT ，MT ．利用三角形的中位线定理求出DT ，利用直角三角形的中线的性质求出MT ，再根据DM MT DT ≥-，可得结论．【解答】解：如图，取AC 的中点T ，连接DT ，MT ．∵AD DB =，AT TC =，∴122DT BC ==． ∵CE AF ⊥，∴90AMC ∠=︒，∴132TM AC ==， ∴点M 的运动轨迹是以T 为圆心，TM 为半径的圆，∴321DM TM DT ≥-=-=，∴DM 的最小值为1，故选：C ．【点评】本题考查点与圆的位置关系，三角形中位线定理，直角三角形斜边中线的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造三角形中位线，直角三角形斜边中线解决问题．4．如图，在正方形ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点O ，E 为BC 上一点，CE ＝5，F 为DE 的中点．若△CEF 的周长为18，则OF 的长为( )A ．3B ．4C ．52D ．72 【答案】D【分析】先根据直角三角形的性质求出DE 的长，再由勾股定理得出CD 的长，进而可得出BE 的长，由三角形中位线定理即可得出结论．【解答】∵CE=5，△CEF 的周长为18，∴CF+EF=18-5=13．∵F 为DE 的中点，∴DF=EF ．∵∠BCD=90°，∴CF=12DE ，∴EF=CF=12DE=6.5，∴DE=2EF=13，∴CD=2212DE CE -=，∵四边形ABCD是正方形，∴BC=CD=12，O为BD的中点，∴OF是△BDE的中位线，∴OF=12(BC－CE)=12(12－5)=3.5，故选D．【点评】本题考查的是正方形的性质，涉及到直角三角形的性质、三角形中位线定理等知识，难度适中．使用勾股定理是解决这个问题的关键．5．已知，如图，在△ABC中，D、E、F分别是各边的中点，AH是高，已知AB＝6cm，AC＝8cm，7 cm 3CH BH-=，则△DHE的周长为________cm．【答案】496##186【分析】根据直角三角形斜边上的中线的性质求出DH，根据三角形中位线定理求出DE，根据三角形的周长公式计算，得到答案．【解答】解：∵AH是△ABC的高，∴∠AHB=90°，∵点D是AB的中点，∴DH=12AB=12×6=3cm，∵D、E分别是BA、BC的中点，∴DE是△ABC的中位线，∴DE=12AC=12×8=4cm，∵BE=EC，CH-BH=73 cm，∴HE=76 cm，∴△DHE的周长=DH+DE+HE=496cm，故答案为：496．【点评】本题考查的是三角形中位线定理、直角三角形斜边上的中线的性质，掌握三角形中位线等于第三边的一半是解题的关键．6．如图，在Rt ABC 中，90ACB ∠=︒，30A ∠=︒，D ，E ，F 分别为AB ，AC ，AD 的中点，若6BC =，则EF 的长度为 _____．【答案】3【分析】根据含30°的直角三角形的性质求出CD ，根据直角三角形的性质求出CD ，根据三角形中位线定理计算，得到答案．【解答】解：∵∠ACB ＝90°，∠A ＝30°，∴AB ＝2BC ＝12．∵∠ACB ＝90°，D 为AB 的中点，∴CD ＝12AB ＝6，∵E ，F 分别为AC ，AD 的中点，∴EF 为△ACD 的中位线，∴EF ＝12CD ＝3．故答案为：3．【点评】本题考查的是三角形中位线定理、直角三角形的性质，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键．7．如图，菱形ABCD 中，DE AB ⊥，垂足为E ，点F 、G 分别为边AD 、DC 的中点，5,8EF FG ==，则ABCD S =菱形___________．【答案】96【分析】连接,AC BD ，交于点O ，先根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得10AD =，再根据三角形的中位线定理可得16AC =，然后根据菱形的性质和勾股定理可得12BD =，最后利用菱形的面积公式即可得．【解答】解：如图，连接,AC BD ，交于点O ，,5DE AB EF ⊥=，且点F 为边AD 的中点，210AD EF ∴==，点,F G 分别为边,AD DC 的中点，8FG =，216AC FG ∴==，四边形ABCD 是菱形，1,8,22AC BD OA AC BD OD ∴⊥===， 226OD AD OA ∴=-=，12BD ∴=，1116129622ABCD S AC BD ∴=⋅=⨯⨯=菱形， 故答案为：96．【点评】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半、三角形的中位线定理、勾股定理、菱形的性质，熟练掌握菱形的性质是解题关键．8．如图，在ABC 和ABD △中，90ACB ADB ∠=∠=︒，E 、F 、G 分别为AB 、AC 、BC 的中点，若1DE =，则FG =_________． 【答案】1【分析】由直角三角形斜边中线的性质得出AB =2DE ，再由三角形中位线的性质可得FG 的长；【解答】解：∵Rt △ABC 中，点E 是AB 的中点，DE =1，∴AB =2DE =2，∵点F 、G 分别是AC 、BC 中点，∴112FG AB ==，故答案为：1【点评】本题考查了直角三角形的性质及三角形中位线的性质等知识；熟练掌握中位线定理是解题的关键． 9．如图，在正方形ABCD 中，F 在AB 上，E 在BC 的延长线上，AF ＝CE ，连接DF 、DE 、EF ，EF 交对角线BD 于点N ，M 为EF 的中点，连接MC ，下列结论：①△DEF 为等腰直角三角形；②∠FDB ＝∠FEC ；③直线MC 是BD 的垂直平分线；④若BF ＝2，则MC ＝2；其中正确结论的有_______．【答案】①②③④【分析】先根据SAS 定理证出ADF CDE ≅，再根据全等三角形的性质可得,DF DE ADF CDE =∠=∠，然后根据等腰直角三角形的判定即可判断①；先根据等腰直角三角形的性质可得45DEF DFE ∠=∠=︒，再根据对顶角相等可得DNF BNE ∠=∠，然后根据三角形的内角和定理即可得判断②；连接BM DM ,，先根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得12BM DM EF ==，再根据线段垂直平分线的判定即可判断③；取BE 的中点O ，连接MO ，先根据三角形中位线定理可得11,2MO BF MO BF ==∥，再根据等腰三角形的三线合一可得1452BCM BCD ∠=∠=︒，然后在Rt MOC 中，利用勾股定理即可得．【解答】解：四边形ABCD 是正方形，,90,45AB AD CD BC A ABC BCD ADC CBD ∴===∠=∠=∠=∠=︒∠=︒，在ADF △和CDE 中，90AD CD A DCE AF CE =⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩，()SAS ADF CDE ∴≅，,DF DE ADF CDE ∴=∠=∠，90EDF CDE CDF ADF CDF ADC ∴∠=∠+∠=∠+∠=∠=︒，DEF ∴为等腰直角三角形，结论①正确；45DEF DFE ∴∠=∠=︒，又45,CBD DNF BNE ∠=︒∠=∠，180180DNF CBD BN E E DF ∴︒-∠=︒-∠-∠∠-，即FDB FEC ∠=∠，结论②正确；如图，连接BM DM ,，M 为Rt DEF △和Rt BEF △斜边EF 上的中点，12BM DM EF ∴==， 又BC CD =，∴直线MC 是BD 的垂直平分线，结论③正确；如图，取BE 的中点O ，连接MO ，1121,22MO BF MO BF ∴==⨯=∥，90MOC ABC ∴∠=∠=︒，直线MC 是BD 的垂直平分线，BC CD =，1452BCM BCD ∴∠=∠=︒（等腰三角形的三线合一）， Rt COM ∴是等腰直角三角形，且1OC MO ==，222MC MO OC ∴=+=，结论④正确；综上，正确结论的有①②③④，故答案为：①②③④．【点评】本题考查了正方形的性质、三角形全等的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理、线段垂直平分线的判定、三角形中位线定理等知识点，熟练掌握各判定与性质是解题关键．10．如图，ABC ∆中，90ACB ∠=，D 为AC 边上的中点，E 为AB 边上一点，4AB BE =，连接CE DE 、，延长DE 交CB 延长线于F ，若3BF =，10AB =，则CE =________．【答案】972【分析】取AB 的中点G ，连接DG ，则AB ＝2BG ，可得BE ＝EG ，再利用三角形中位线定理得BC ＝2DG ，DG BF ∥，利用ASA 证明△GDE ≌△BFE ，得DG ＝BF ＝3，DE ＝EF ，从而解决问题．【解答】解：取AB 的中点G ，连接DG ，则AB ＝2BG ，∵AB ＝4BE ，∴BE ＝EG ，∵D 为AC 边上的中点，G 为AB 的中点，∴DG 为△ABC 的中位线，∴BC ＝2DG ，DG BF ∥， ∴∠GDE ＝∠F ，在△GDE 和△BFE 中，GDE F DEG FEB GE BE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△GDE ≌△BFE （ASA ），∴DG ＝BF ＝3，DE ＝EF ，∴BC ＝6，∴CF ＝9，由勾股定理得，AC ＝8，∴CD ＝4，在Rt △CDF 中，由勾股定理得，DF ＝22224997CD CF +=+=，∵∠ACB ＝90°，EF ＝DE ，∴CE ＝12DF ＝972， 故答案为：972． 【点评】本题主要考查了勾股定理，三角形中位线定理，全等三角形的判定与性质，直角三角形斜边上中线的性质等知识，证明点E 是DF 的中点是解题的关键．11．如图，在Rt ABC 中，90,8,6ACB AC BC ∠=︒==，点P 是平面内一个动点，且4AP =，Q 为BP 的中点，在P 点运动过程中，设线段CQ 的长度为m ，则m 的取值范围是_______．【答案】3m 7≤≤【分析】取AB 的中点M ，连接QM 、CM ，得到QM 是△APB 的中位线，CM 是Rt ABC 斜边上的中线，求得QM 、CM 的长，在△QMC 中利用三角形三边关系得到CQ 的范围即可．【解答】取AB 的中点M ，连接QM 、CM ，∴QM 是△APB 的中位线，CM 是Rt ABC 斜边上的中线，∴122QM AP ==，12CM AB =， 在Rt ABC 中，90,8,6ACB AC BC ∠=︒==，∴226810AB =+=，∴CM =5，∵点P 是平面内一个动点，∴点Q 是动点，且点Q 以点M 为圆心，QM 长为半径的圆上运动，∴C 、Q 、M 可以三点共线，∴CM -MQ ≤CQ ≤CM +MQ ，∴3m 7≤≤，故答案为：3m 7≤≤．【点评】本题考查勾股定理、直角三角形斜边中线的性质，中位线定理、三角形三边关系等知识，分析点Q 的运动是解题的关键．12．如图，在四边形ABCD 中，∠ABC =90°，AC=AD ，M ，N 分别是AC ，CD 的中点，连接BM ，MN ，BN ．(1)求证：BM=MN ；(2)若∠BAD =60°，AC 平分∠BAD ，AC =2．①求∠BMN 的度数；②求BN 的长．题的关键是灵活应用三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．13．如图，D、E、F分别是△ABC三边中点，AH⊥BC于H．求证：（1）∠BDF＝∠BAC；（2）DF＝EH．【答案】（1）见解析；（2）见解析．【分析】（1）根据三角形中位线定理得到DF//AC，根据平行线的性质证明结论；AC，等量代换证明结论．（2）根据直角三角形的性质得到EH＝12【解答】（1）∵D、F分别是△ABC两边中点，∴DF是△ABC的中位线，AC，∴DF//AC，DF＝12∴∠BDF＝∠BAC；（2）∵AH⊥BC于H，E是AC的中点，AC，∴EH＝12由（1）得，DF＝12 AC，∴DF＝EH．【点评】本题考查的是三角形中位线定理、直角三角形的性质，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键．14．在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，BD=2AB，点E、F分别是OA、BC的中点，连接BE、EF．BC；(1)求证：EF=12(2)在上述条件下，若AC=BD，G是BD上一点，且BG:GD=3:1，连接EG、FG，试判断四边形EBFG的形状，并证明你的结论．∴EBFG是平行四边形，连接CG，∵G是OD的中点，而CO=12AC=12BD=AB=CD，∴CG⊥OD，而F是BC的中点，∴GF=12BC=BF，∴平行四边形EBFG是菱形．【点评】本题考查了平行四边形的性质和判定，矩形性质，菱形性质，三角形的中位线，直角三角形斜边上中线性质，等腰三角形的性质等知识点，主要考查学生综合运用定理进行推理的能力，注意：直角三角形斜边上中线等于斜边的一半．15．如图，在平面直角坐标系中，A（0，4），B（4，0），C（6，2），连接AB，BC，平移BC至AD（点B 与点A对应，点C与点D对应），连接CD．(1)①直接写出点D的坐标为．②判断四边形ABCD的形状，并证明你的结论；(2)如图1，点E为AB边上一点，连接DE，DF平分∠EDC交BC于F，连接EF，若∠DFE＝45°，求BE 的长；(3)如图2，N为BC边的中点，若∠AMC＝90°，连接MN，请直接写出MN的取值范围．段CD上取一点G，使DG=DE，∵∠FDE=∠FDG，DF=DF，∴△DFE≌△DFG（SAS），∴∠DFE=∠DFG=45°，EF=GF，∴∠EFG=90°，∵∠EFB+∠GFC=90°，∠GFC+∠FGC=90°，∴∠EFB=∠FGC，∵∠EBF=∠FCG=90°，EF=GF，∴△EBF≌△FCG（AAS），∴EB=FC，BF=CG，设EB=FC=x，则22BF CG BC x x==-=-，∴222222(42)(22)DE AE AD x DG=+=-+=，∵222()(4222)DG CD GC x=-=-+，∴222 (4222)(42)(22)x x-+=-+，解得：423x，即423BE=；（3）解：如图，连接AC，取AC的中点H，连接MH，NH，∵点A（0，4），B（4，0），D（2，6），∴42,210AB AC==，∵H为AC的中点，N为BC边的中点，∴1122,1022NH AB HM AC====，∵HM-NH≤MN≤HM+NH，∴MN的取值范围为10222210MN-≤≤+．【点评】本题是四边形综合题，主要考查了平行四边形和矩形的性质、三角形全等、勾股定理的运用，直角三角形的性质，三角形中位线定理等，综合性强，难度较大，熟练掌握相关知识点是解题的关键．16．已知，在△ABC中，以△ABC的两边BC，AC为斜边向外测作Rt△BCD和Rt△ACE，使∠CAE=∠CBD，取△ABC 边AB 的中点M ，连接ME ，MD ．特例感知：（1）如图1，若AC =BC ，∠ACB =60°，∠CAE =∠CBD =45°，取AC ，BC 的中点F ，G ，连接MF ，MG ，EF ，DG ，则ME 与MD 的数量关系为______，∠EMD =______；（2）如图2，若∠ACB =90°，∠CAE =∠CBD =60°，取AC ，BC 的中点F ，G ，连接MF ，MG ，EF ，DG ，请猜想ME 与MD 的数量关系以及∠EMD 的度数，并给出证明；类比探究：（3）如图3，当△ABC 是任意三角形，∠CAE =∠CBD =α时，连接DE ，请猜想△DEM 的形状以及∠EMD 与α的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）ME=MD ，∠EMD=90°；（2）ME=MD ，∠EMD=120°；（3）△DEM 是等腰三角形，∠EMD=2α．【分析】（1）如图1，证明△EAM ≌△DBM ，可得EM=DM ，先根据三角形的中位线得：11FM AC MG BC 22===，由直角三角形斜边中线等于斜边一半可得12EF AC =，得EF=FM ，且顶角∠EFM=150°，得∠FEM=∠FME=15°，同理∠DMG=15°，相加可得结论；（2）如图2，证明△MEF ≌△DMG ，可得EM=DM ，∠EMF=∠MDG=15°，相加可得∠EMD=120°；（3）如图，作辅助线，取AC ，BC 的中点F ，G ，连接MF ，MG ，EF ，DG ，同理可证出EF=MG ，DG=FM ，∠3=2∠2，∠4=2∠1，证明△MEF ≌△DMG ．则EM=DM ，∠EMF=∠MDG ．表示∠EMD=∠MDG+∠DMG+∠ACB ，代入可得结论．【解答】解：（1）ME=MD ，∠EMD=90°；理由是：如图1，∵AC=BC ，∠ACB=60°，∴△ABC 是等边三角形，∴∠CAB=∠CBA=60°，在 Rt △BCD 和Rt △ACE 中，∠CAE=∠CBD=45°，∴AC=2AE，BC=2BD，∴AE=BD，∵M是AB的中点，∴AM=BM，∵∠EAM=45°+60°=105°，∠DBM=45°+60°=105°，∴∠EAM=∠DBM，∴△EAM≌△DBM，∴EM=DM，∵F、G分别是AC、BC的中点，∴FM=MG=12AC=CF=CG，∴四边形CFMG是菱形，∴∠FMG=∠BCA=60°，Rt△ACE中，∵F是斜边AC的中点，∴EF=12AC=FM，∵∠EFM=90°+60°=150°，∴∠FEM=∠FME=15°，同理∠DMG=15°，∴∠EMD=60°+15°+15°=90°，故答案为EM=DM，90°；（2）ME=MD，∠EMD=120°；证明：∵F，G，M是△ABC的三边AC，BC，AB的中点，∴FM=12BC=CG，FM∥BC，MG=12AC=CF，MG∥AC．∴四边形CFMG是平行四边形，∴∠AFM=∠FMG=∠ACB=∠MGD=90°．∵∠AEC=∠BDC=90°，F，G是AC，BC的中点，∴EF=AF=FC=12AC，CG=BG=DG=12BC．∴∠2=∠CEF，∠1=∠CDG，EF=MG，DG=FM．∴∠3=∠2+∠CEF=2∠2，∠4=∠1+∠CDG=2∠1.∵∠2+∠EAC=90°，∠1+∠CBD=90°，∠CAE=∠CBD=60°，∴∠1=∠2=30°．∴∠3=∠4=60°．∴∠EFM=∠3+∠AFM=150°，∠DGM=∠4+∠CGM=150°∴∠EFM=∠DGM．又∵EF=MG，FM=DG，∴△MEF≌△DMG．∴EM=DM，∠EMF=∠MDG=15°．∴∠EMD=90°+2×15°=90°30°=120°；（3）△DEM是等腰三角形，∠EMD=2α．证明：取AC，BC的中点F，G，连接MF，MG，EF，DG，同（2）证法相同，可证出EF=MG，DG=FM，∠3=2∠2，∠4=2∠1．∵∠2+∠EAC=90°，∠1+∠CBD=90°，∠CAE=∠CBD=α，∴∠1=∠2=90°-α．∴∠3=∠4=2（90°-α）．∴∠EFM=∠3+∠AFM=∠3+∠ACB，∠DGM=∠4+∠BGM=∠4+∠ACB．∴∠EFM=∠DGM．又∵EF=MG，FM=DG，∴△MEF≌△DMG．∴EM=DM，∠EMF=∠MDG．∴△DEM是等腰三角形；∵∠EMD=∠FME+∠FMG+∠DMG，由（2）知∠FMG=∠ACB，∴∠EMD=∠MDG+∠DMG+∠ACB．∵∠MDG+∠DMG=180°-∠DGM=180°-（∠4+∠ACB ）=180°-2（90°-α）-∠ACB=2α-∠ACB．∴∠EMD=2α-∠ACB+∠ACB=2α．【点评】本题是三角形的综合题，考查了三角形全等的性质和判定、三角形中位线定理、直角三角形斜边中线的性质、平行四边形的性质、等边三角形的性质等知识，并运用了类比的思想依次解决问题．∆中，D为BC中点，BE、CF与射线AE分别相交于点E、F（射线AE不经过点D）．17．在ABC(1)如图①，当BE∥CF时，连接ED并延长交CF于点H. 求证：四边形BECH是平行四形；(2)如图②，当BE⊥AE于点E，CF⊥AE于点F时，分别取AB、AC的中点M、N，连接ME、MD、NF、ND．求证：AM=AN(3)如图②，当BE⊥AE于点E，CF⊥AE于点F时，分别取AB、AC的中点M、N，连接ME、MD、NF、ND．求证：∠EMD=∠FND．【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析(3)证明见解析【分析】（1）根据两直线平行内错角相等求得∠DBE=∠DCH，然后依据ASA求得BDE≅CDH得出ED=HD，最后根据有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形求得．（2）连接FD、ED，延长ED交CF于点H，根据直角三角形斜边的中线定理和三角形的中位线定理求得ME=DN，MD=NF，从而证得AM=AN；（3）在（2）的条件下根据SSS 即可证明MED ≅NDF ，最后根据全等三角形的对应角相等求得∠EMD =∠FND ． （1）如图①，∵D 为BC 的中点，∴BD =CD ，∵BE ∥CF ，∴∠DBE =∠DCH ，在BDE 与CDH 中，DBE DCH BD CD BDE CDH ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， ∴BDE ≅CDH (AAS )，∴ED =HD ，∴四边形BECH 是平行四边形；（2）如图②连接FD 、ED ，延长ED 交CF 于点H ，∵BE ⊥AE ，CF ⊥AE ，）可知BDE≅CDHRt EHFRt AEBRt ACF在MED与NDF∴MED≅NDF。

【拔尖特训】2022-2023学年八年级数学下册尖子生培优必刷题【北师大版】专题6.3三角形的中位线专项提升训练（重难点培优）班级：___________________ 姓名：_________________ 得分：_______________注意事项：本试卷满分120分，试题共24题，其中选择10道、填空6道、解答8道．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（2021秋•岱岳区期末）如图，在△ABC中，点D、E分别是AB、AC边的中点，∠B＝60°，则∠ADE 的度数为（）A．60°B．70°C．80°D．50°2．（2022秋•长沙期中）如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC的中点，F，G分别是AD，AE的中点，且FG＝2cm，则BC的长度是（）A．4cm B．6cm C．8cm D．10cm3．（2022秋•射洪市期中）如图，A、B两点被一座山隔开，M、N分别是AC、BC中点，测量MN的长度为30m，那么AB的长度为（）A．30m B．60m C．120m D．160m4．（2022春•开福区校级期中）如图，在四边形ABCD中，点E、F分别是AB、AC的中点，连接EF，若EF＝4，则BC的长为（）A．2B．4C．6D．85．（2022春•南岗区校级期中）如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC的中点，连接ED，F是ED延长线上一点，连接AF、CF，若∠AFC＝90°，DF＝1，AC＝6，则BC的长度为（）A．2B．3C．4D．56．（2022春•鹿城区校级期中）如图，在△ABC中，D，E分别是BC，AC的中点，F是AB边上的一个动点，连结DE，EF，FD．若△ABC的面积为20，则△DEF的面积是（）A．3B．4C．5D．67．（2021秋•潍坊期末）如图，已知△ABC中，∠BAC＝80°，AD平分∠BAC，BD⊥AD，垂足为D，点E 为BC的中点，连结DE．则∠BDE的度数为（）A．130°B．125°C．120°D．100°8．（2022春•大足区期末）如图，在Rt△ABC中∠ACB＝90°，∠A＝30°，点D，E分别是边AB，AC的中点，延长BC到点F，使CF＝BC，若EF＝2，则DE的长为（）A．2B．1C．D．9．（2022春•朝天区期末）如图，在△ABC中，AB＝BC＝10，BD平分∠ABC交AC于点D，点F在BC上，且BF＝4，连接AF，E为AF的中点，连接DE，则DE的长为（）A．1B．2C．3D．410．（2022春•乐陵市期末）数学课上，大家一起研究三角形中位线定理的证明，小丽和小亮在学习思考后各自尝试作了一种辅助线，如图1，2．其中辅助线作法能够用来证明三角形中位线定理的是（）图1为小丽的辅助线作法：延长DE到F，使EF＝DE，连接DC、AF、FC．图2为小亮的辅助线作法：过点E作GE∥AB，过点A作AF∥BC，GE与AF交于点F．A．小丽和小亮的辅助线作法都可以B．小丽和小亮的辅助线作法都不可以C．小丽的辅助线作法可以，小亮的不可以D．小亮的辅助线作法可以，小丽的不可以二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）请把答案直接填写在横线上11．（2022秋•思明区校级月考）如图，在△ABC中，BC＝4cm，点D是AB的中点，过点D作DE∥BC交AC于点E，则DE＝cm．12．（2022秋•普陀区期中）如图，在△ABC中，CD平分∠ACB，且CD⊥AB于点D，DE∥BC交AC于点E，BC＝3cm，AB＝2cm．那么△ADE的周长为cm．13．（2022秋•思明区校级期中）如图，在△ABC中，AB＝8，BC＝14，D，E分别是边AB，AC的中点，点F在DE上，且∠AFB＝90°，则EF的长是．14．（2021秋•新泰市期末）如图，在△ABC中，CE是中线，CD是角平分线，AF⊥CD交CD延长线于点F，EF＝1，BC＝4，则AC的长为．15．（2022秋•镇平县期中）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，点N是BC边上一点，点M为AB边上的动点，点D、E分别为CN，MN的中点，则DE的最小值是．16．（2022秋•南昌期中）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝60°，D，E分别是AC，AB的中点．将线段DE绕着点E逆时针能转角α（0°＜α≤180°）得到线段ED'，连接BD′，若△D'BE是直角三角形，则α＝°．三、解答题（本大题共8小题，共72分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（2022•扬州模拟）如图，在△ABC中，点D是AC的中点，DE∥BC交AB于点E，DF∥AB交BC于点F，说明△ADE与△DCF全等的理由．18．（2022春•望城区期末）如图，Rt△ABC，∠BAC＝90°，D，E分别为AB，BC的中点，点F在CA的延长线上，∠FDA＝∠B．（1）求证：AF＝DE；（2）若AC＝6，BC＝10，求四边形AEDF的周长．19．（2017秋•岱岳区期末）如图，在四边形ABCD中，AD＝BC，E，F，G，H分别是AB，CD，AC，EF 的中点，求证：GH⊥EF．20．已知如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，BC＞AD，BD平分∠ABC，E、F分别是BD、AC的中点．求证：（1）AE⊥BD（2）EF＝．21．（2022春•东莞市期中）如图，在四边形ABCD中，AD＝BC，P是BD的中点，M是DC的中点，N是AB的中点．请判断△PMN的形状，并说明理由．22．（2022春•江油市期中）如图，在△ABC中，点D，E分别是AC，AB的中点，点F是CB延长线上的一点，且CF＝3BF，连接DB，EF．若∠ACB＝90°，AC＝12cm，DE＝4cm．（1）求证：DE＝BF；（2）求四边形DEFB的周长．23．（2022秋•郸城县期中）如图，在四边形ABCD中，E，F分别是AD，BC的中点．（1）若AB＝10，CD＝24，∠ABD＝30°，∠BDC＝120°，求EF的长．（2）若∠BDC﹣∠ABD＝90°，求证：AB2+CD2＝4EF2．24．（2022秋•安溪县期中）在四边形ABCD中，AB＝CD，点E，F分别是边AD，BC的中点．（1）如图1，点P为对角线BD的中点，连接PE，PF，若∠PEF＝26°，则∠EPF＝度；（2）如图2，直线EF分别与BA，CD的延长线交于点M，N．求证：∠BMF＝∠CNF．。

初中数学八年级下三角形中位线定理专项训练题集二一、单选题1、如图，在△ABC中，点D，E分别是边AB，AC的中点，AF⊥BC，垂足为点F，∠ADE=30°，DF=4，则BF的长为（）A、4B、8C、D、2、如图，在△ABC中，中线BE，CD相交于点O，连接DE，下列结论：其中正确的个数有（）A、1个B、2个C、3个D、4个3、如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=8，AB=10，DE垂直平分AC交AB于点E，则DE的长为（）A、6B、5C、4D、34、如图，已知E、F、G分别是△ABC各边的中点，△EBF的面积为2，则△ABC 的面积为[ ]A、2B、4C、6D、85、下列长度的三条线段，能组成三角形的是[ ]A、1cm，2cm，3cmB、2cm，3cm，6cmC、4cm，6cm，8cmD、5cm，6cm，12cm6、下列说法中正确的有①等边三角形有三条对称轴；②四边形有四条对称轴；③等腰三角形的一边长为4，另一边长为9，则它的周长是17或22；④一个三角形中三个不同顶点的外角中至少有两个锐角[ ]A、4个B、3个C、2个D、1个7、现有两根棍子长分别为3厘米，5厘米，若要选第三根棍子，使其与前两根拼成一个三角形，则它的长可为[ ]A、1厘米B、2厘米C、5厘米D、10厘米8、有5根小木棒，长度分别为2cm、3cm、4cm、5cm、6cm，任意取其中的3根小木棒首尾相接搭三角形，可搭出不同的三角形的个数为[ ]A、5个B、6个C、7个D、8个9、将一张三角形纸片沿中位线剪开，拼成一个新的图形，这个新的图形可能是（）A、三角形B、平行四边形C、矩形D、正方形10、如果一个四边形的对角线相等，那么顺次连接这个四边形各边中点所得的四边形一定是（）A、梯形B、矩形C、菱形D、正方形11、已知△ABC中，动点P在BC边上由点B向点C运动，若动点P运动的速度为2cm/s，则线段AP的中点Q运动的速度为（）A、1cm/sB、2cm/sC、3cm/sD、4cm/s12、顺次连接四边形ABCD各边中点所成的四边形为菱形，那么四边形ABCD 的对角线AC和BD只需满足的条件是（）A、相等B、互相垂直C、相等且互相垂直D、相等且互相平分13、顺次连接等腰梯形各边中点所得的四边形一定是（）A、等腰梯形B、矩形C、菱形D、正方形二、填空题1、如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=AC，BC=20，DE是△ABC的中位线，点M 是边BC上一点，BM=3，点N是线段MC上的一个动点，连接DN，ME，DN 与ME相交于点O．若△OMN是直角三角形，则DO的长是_______________．2、如图，在△ABC中，∠ACB=90°，M、N分别是AB、AC的中点，延长BC至点D，使CD=BD，连接DM、DN、MN．若AB=6，则DN= .3、请用割补法作图，将一个锐角三角形经过一次或两次分割后，重新拼成一个与原三角形面积相等的平行四边形（只要求用一种方法画出图形，把相等的线段作相同的标记）．4、如图，在△ABC中，D、E分别是边AB、AC的中点，BC=8，则DE=_____________．5、如图所示，D，E分别为AB，AC的中点，BC=8cm，则DE=（）cm．6、如图所示，在△ABC中，AC=6cm，BC=8cm，AB=10cm，D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，则△DEF的面积为（）cm2．7、如下图，AB是⊙O的直径，D是AC的中点，OD∥BC，若BC=8，则OD=（）。

第六章平行四边形6.3三角形的中位线一、单选题A．1【答案】C【分析】根据三角形的中位线等于第三边的一半进行计算即可．【详解】解：∵D，EA．20m B【答案】D【分析】根据中位线定理可得：【详解】解：D∵是ACA．5B【答案】D的长，再根据中位线的性质即可求解．A．4B．6【答案】AABCA．1.5B．2【答案】B【分析】根据三角形中位线定理解答即可．A．6米B．7米【答案】C【分析】直接使用中位线定理得出结果．【详解】E∵、F分别是边AB、二、填空题7．（2022秋·八年级单元测试）如图，在ABC 中，D ，E 分别为AB ，AC 边的中点，若3DE ，则BC 的长为______．【答案】6【分析】直接根据三角形中位线定理即可得．【详解】解：∵在ABC 中，D ，E 分别为AB ，AC 边的中点，且3DE ，26BC DE 故答案为：6．【点睛】本题考查了三角形中位线定理，熟练掌握三角形中位线定理是解题关键．8．（2022春·湖南常德·八年级统考期中）如图，A ，B 两地被一座小山阻隔，为测量A ，B 两地之间的距离，在地面上选一点C ，连接CA ，CB ，分别取CA ，CB 的中点D ，E ，测得DE 的长度为380米，则A ，B 两地之间的距离是________米．【答案】760【分析】利用三角形中位线定理解决问题即可．【详解】解：∵D 、E 分别是CA ，CB 的中点，【答案】1【分析】利用三角形中位线定理解答即可．【详解】解：∵F ，M 分别为边∴11FM AB ，【答案】4【分析】根据三角形中位线定理即可求出四边形周长．【详解】解：∵点E，F分别是三、解答题∴A CDE ，在ABC 和DCE △中，AB CD A CDE AC DE，∴()ABC DCE SAS △△，∴BC CE ．【点睛】本题考查了三角形中位线定理、平行线的性质、三角形全等的判定定理与性质，熟练掌握三角形中位线定理是解题关键．一、填空题1．（2023春·陕西西安·八年级高新一中校考阶段练习）如图，M 是ABC 的边BC 的中点，AN 平分BAC ，BN AN 于点N ，延长BN 交AC 于点D ，已知10AB ，15BC ，4MN ，则ABC 的周长是__________．【答案】43【分析】证明ABN ADN ≌ ，得到10AD AB ，BN DN ，根据三角形中位线定理求出CD ，计算即可．【详解】解：∵AN 平分BAC ，∴BAN DAN ，在ABN 和ADN △中，【答案】4【分析】利用三角形的中位线定理并结合条件可证明进而证明四边形AEFD∴AD EF ∥，1AD EF ，∴四边形AEFD 是平行四边形，∴1AE DF ，∴四边形AEFD 的周长为11114AE EF DF AD ．故答案为：4．【点睛】本题考查了三角形的中位线定理，平行四边形的判定与性质等知识，证明四边形AEFD 是平行四边形是解题的关键．3．（2023·山东烟台·统考二模）如图，ABCD Y 中，4660AB AD A ，，，点E 在AB 的延长线上，F 为DE 的中点，连接CF ，若10BE ，则CF 的长为__________．【答案】3【分析】延长BC 至G ，使10BG BE ，连接GE ，延长DC 交GE 于点H ，得到GBE 是等边三角形，推出GCH △是边长为4等边三角形，证明CF 是DEH △的中位线，根据三角形中位线定理即可求解．【详解】解：∵ABCD Y 中，60A ，∴60GBE A ，延长BC 至G ，使10BG BE ，连接GE ，延长DC 交GE 于点H ，∵60GBE ，∴GBE 是等边三角形，∴10BG BE GE ，【答案】5【分析】取AB的中点G，连接边的一半求出EG、FG，并求出【详解】解：如图，取AB的中点【答案】201612【分析】根据三角形中位线定理求出第二个三角形的周长、得到答案．【详解】解：根据三角形中位线定理得到第二个三角形三边长是即第二个三角形的周长为12二、解答题6．（2022秋·八年级单元测试）如图所示，在四边形ABCD 中，对角线AC 、BD 交于点O ，E ，F 分别是AB 、CD 的中点，且AC BD ．求证：OM ON ．【答案】见解析【分析】取AD 的中点G ，连接EG ，FG ，构造三角形的中位线，根据三角形的中位线定理进行证明即可．【详解】证明：如图所示，取AD 的中点G ，连接EG ，FG ，G ∵、F 分别为AD 、CD 的中点，GF 是ACD 的中位线，12GF AC ，同理可得，12GE BD ，AC BD ∵，1122GF GE AC BD ．GFN GEM ，(1)求证：BD CE ；(2)若2AB ，且CE AD ，求【答案】(1)见解析(2)3。

三角形的中位线专题训练22，梯形ABCD中，，点在上，连与的延长线交于点BCAB∥CDABFDF G．求证：；（2）当点F是BC的中点时，过F BGF△CDF∽△（1）作EF∥CD交于点，若，求的长．三CD，EF4cm??AB6cm EAD角形中位线的性质例1、求证:三角形的一条中位线与第三边上的中线互相平分.例2、如图，三角形三条中位线组成的图形与原三角形的形状、大小（面积和周长）有怎样的关系？四边形ADEF的周长与AB+AC的关系如何？ADFCBEEFH是、分别是、中，ABCDAB=CD，EF、GBD、ACBC的中点，已知在四边形、例3GH. 求证：的中点.EF⊥DAEHFCBG.、DA的中点分别是AB、BC、CDHABCD例4、已知：如图，在四边形中，E、F、G、. 求证：四边形EFGH是平行四边形AHDEGCFB梯形中位线的性质一、）1、已知等腰梯形的中位线和腰长相等，都等于8cm，这个等腰梯形的周长为（40 cm、32 cm C、24 cm D、A16 cm B、，求中位线BD⊥AC，又BC ∥AD，AB=DC的等腰梯形，10是高为ABCD、已知四边形2．EF的长。

DAO FEBC1、在梯形ABCD中，AD∥BC，E、F分别是AB、CD的中点，E、F分别交BD、AC于点G、1H，求证：GH=(BC-AD).2DA O FEHGBCACBD、FF中，AD∥BC，E、分别是AB、CD的中点，E、分别交ABCD变式一：在梯形 FHHG、，AD=a，BC=b，求EF、、GH的长。

于点DA O FEHGBCABCD是梯形的中点，求证：EFHG、分别是BF、ACBCABCD变式二：在梯形中，AD ∥，的中位线。

DA OFE HG BCAD4、在梯形ABCD中，AD∥BC，∠BAD与∠ABC的平分线交于CD中点E.求证：ECB．AD+BC=AB.5、口ABCD的顶点B，AA'⊥l，CC'⊥l，DD线直l过'⊥l,试证明AA'+ CC'= DD' DA ClD'C'A'B直角三角形和中位线二、1、1的AC分别是BC、ED，使AD=AB，、F°，延长△在RtABC中，∠BAC=90BA 到2中点。

初二数学三角形中位线练习题一．选择题（共5小题）1．如图，为了测量池塘边A、B两地之间的距离，在线段AB的同侧取一点C，连结CA并延长至点D，连结CB并延长至点E，使得A、B分别是CD、CE的中点，若18DE m=，则线段AB的长度是()A．9m B．12m C．8m D．10m2．已知三角形的周长是16，它的三条中位线围成的三角形的周长是()A．16B．12C．8D．43．如图，在四边形ABCD中，点P是边CD上的动点，点Q是边BC上的定点，连接AP，PQ，E，F分别是AP，PQ的中点，连接EF．点P在由C到D运动过程中，线段EF的长度() A．保持不变B．逐渐变小C．先变大，再变小D．逐渐变大4．如图，在四边形ABCD中，P是对角线BD的中点，E、F分别是AB、CD的中点，AD BC=，∠的度数是()∠=︒，则EFPEPF136A．68︒B．34︒C．22︒D．44︒5．如图，D是ABC⊥，E、F、G、H分别是边AB、BD、CD、AC的中点．若∆内一点，BD CDCD=，则四边形EFGH的周长是()BD=，6AD=，810A．24B．20C．12D．10第3题图第4题图第5题图二．填空题（共5小题）6．某直角三角形的两条边长分别是10和24，则连接两条直角边中点的线段的长是．7．如图，在Rt ABCABC∠=︒，点D、E、F分别是AB、AC，∆中，90BE=，则DF=．BC边上的中点，连结BE，DF，已知58．如图，在四边形ABCD中，220∠+∠=︒，E、F分别是AC、ADC BCDBD 的中点，P 是AB 边上的中点，则EPF ∠= ︒．9．如图，在四边形ABCD 中，//AB CD ，E ，F 分别是AC ，BD 的中点，已知12AB =，6CD =，则EF = ．10．如图，在ABC ∆中，8AB =，6AC =，AM 平分BAC ∠，CM AM ⊥于点M ，N 为BC 的中点，连结MN ，则MN 的长为 ．第8题图 第9题图 第10题图三．解答题（共3小题）11．如图所示，在ABC ∆中，点D 在BC 上且CD CA =，CF 平分ACB ∠，AE EB =，求证：12EF BD =．12．如图：D 、E 是ABC ∆边AB ，AC 的中点，O 是ABC ∆内一动点，F 、G 是OB ，OC 的中点．判断四边形DEGF 的形状，并证明．13．已知：如图，在四边形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于O ，且AC BD =，E 、F 分别是AB 、CD 的中点，E 、F 分别交BD 、AC 于点G 、H ．求证：OG OH =．答案与解析一．选择题（共5小题）1．如图，为了测量池塘边A 、B 两地之间的距离，在线段AB 的同侧取一点C ，连结CA 并延长至点D ，连结CB 并延长至点E ，使得A 、B 分别是CD 、CE 的中点，若18DE m =，则线段AB 的长度是( )A ．9mB ．12mC ．8mD ．10m【分析】根据三角形的中位线定理解答即可． 【解答】解：A 、B 分别是CD 、CE 的中点， ∴AB 是△CDE 的中位线，192AB DE m ∴==， 故选：A ．2．已知三角形的周长是16，它的三条中位线围成的三角形的周长是( ) A ．16 B ．12 C ．8 D ．4【分析】由中位线定义可得新三角形的各边长为原三角形各边长的一半，即可得出其周长等于原三角形周长的一半．【解答】解：三角形的周长是16，∴它的三条中位线围成的三角形的周长是11682⨯=． 故选：C ．3．如图，在四边形ABCD 中，点P 是边CD 上的动点，点Q 是边BC 上的定点，连接AP ，PQ ，E ，F 分别是AP ，PQ 的中点，连接EF ．点P 在由C 到D 运动过程中，线段EF 的长度( )A ．保持不变B ．逐渐变小C ．先变大，再变小D ．逐渐变大 【分析】连接AQ ，根据三角形中位线定理解答即可． 【解答】解：如图所示，连接AQ ， 点Q 是边BC 上的定点， AQ ∴的大小不变，E ，F 分别是AP ，PQ 的中点， ∴EF 是△APQ 的中位线， 12EF AQ ∴=， ∴线段EF 的长度保持不变，故选：A ．4．如图，在四边形ABCD 中，P 是对角线BD 的中点，E 、F 分别是AB 、CD 的中点，AD BC =，136EPF ∠=︒，则EFP ∠的度数是( )A ．68︒B ．34︒C ．22︒D ．44︒【分析】根据三角形中位线定理得到12PE AD =，12PF BC =，根据等腰三角形的性质、三角形内角和定理计算即可．【解答】解：P 是BD 的中点，E 是AB 的中点， ∴EP 是△BCD 的中位线， 12PE AD ∴=， 同理，12PF BC =， AD BC =， PE PF ∴=，1(180)222EFP EPF ∴∠=⨯︒-∠=︒，故选：C ． 5．如图，D 是ABC ∆内一点，BD CD ⊥，E 、F 、G 、H 分别是边AB 、BD 、CD 、AC 的中点．若10AD =，8BD =，6CD =，则四边形EFGH 的周长是( )A ．24B ．20C ．12D ．10【分析】利用勾股定理列式求出BC 的长，再根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半求出12EH FG BC ==，12EF GH AD ==，然后代入数据进行计算即可得解． 【解答】解：BD CD ⊥，8BD =，6CD =，22228610BC BD CD ∴=+=+，E 、F 、G 、H 分别是AB 、AC 、CD 、BD 的中点，12EH FG BC ∴==，12EF GH AD ==，∴四边形EFGH 的周长EH GH FG EF AD BC =+++=+， 又10AD =，∴四边形EFGH 的周长101020=+=， 故选：B ．二．填空题（共5小题）6．某直角三角形的两条边长分别是10和24，则连接两条直角边中点的线段的长是 13或12 ． 【分析】根据勾股定理求出AB ，根据三角形中位线定理计算，得到答案． 【解答】解：分两种情况讨论：①当24是直角边时，由勾股定理得，斜边2222241026AB AC BC =+=+=，M 、N 分别为CA 、CB 的中点， ∴MN 是△ABC 的中位线，1132MN AB ∴==，②当24是斜边时，1122MN AB ==，故答案为：13或12．7．如图，在Rt ABC ∆中，90ABC ∠=︒，点D 、E 、F 分别是AB 、AC ，BC 边上的中点，连结BE ，DF ，已知5BE =，则DF = 5 ．【分析】已知BE 是Rt ABC ∆斜边AC 的中线，那么12BE AC =；DF 是ABC ∆的中位线，则12DF AC =，则5DF BE ==． 【解答】解：ABC ∆是直角三角形，BE 是斜边的中线， 12BE AC ∴=， 又DF 是ABC ∆的中位线，12DF AC ∴=， 5DF BE ∴==． 故答案为5．8．如图，在四边形ABCD 中，220ADC BCD ∠+∠=︒，E 、F 分别是AC 、BD 的中点，P 是AB 边上的中点，则EPF ∠= 40 ︒．【分析】依据四边形内角和即可得到140BAD ABC ∠+∠=︒，再根据三角形中位线定理即可得到BPF BAD ∠=∠，APE ABC ∠=∠，进而得出140APE BPF ∠+∠=︒，即可得到EPF ∠的度数． 【解答】解：四边形ABCD 中，220ADC BCD ∠+∠=︒， 360220140BAD ABC ∴∠+∠=︒-︒=︒，E 、F 分别是AC 、BD 的中点，P 是AB 边上的中点， PE ∴是ABC ∆的中位线，PF 是ABD ∆的中位线， //PE BC ∴，//PF AD ，BPF BAD ∴∠=∠，APE ABC ∠=∠，140APE BPF BAD ABC ∴∠+∠=∠+∠=︒， 18014040EPF ∴∠=︒-︒=︒，故答案为：40．9．如图，在四边形ABCD 中，//AB CD ，E ，F 分别是AC ，BD 的中点，已知12AB =，6CD =，则EF = 3 ．【分析】连接CF 并延长交AB 于G ，证明FDC FBG ∆≅∆，根据全等三角形的性质得到6BG DC ==，CF FG =，求出AG ，根据三角形中位线定理计算，得到答案． 【解答】解：连接CF 并延长交AB 于G ， //AB CD ，FDC FBG ∴∠=∠， 在FDC ∆和FBG ∆中， FDC FBG FD FBDFC BFG ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， ()FDC FBG ASA ∴∆≅∆ 6BG DC ∴==，CF FG =， 1266AG AB BG ∴=-=-=， CE EA =，CF FG =， ∴EF 是△ACG 的中位线， 132EF AG ∴==， 故答案为：3． 10．如图，在ABC ∆中，8AB =，6AC =，AM 平分BAC ∠，CM AM ⊥于点M ，N 为BC 的中点，连结MN ，则MN 的长为 1 ．【分析】延长CM 交AB 于H ，证明AMH AMC ∆≅∆，根据全等三角形的性质得到6AH AC ==，CM MH =，根据三角形中位线定理解答． 【解答】解：延长CM 交AB 于H ， 在AMH ∆和AMC ∆中， 90MAH MAC AM AMAMH AMC ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠=︒⎩， ()AMH AMC ASA ∴∆≅∆6AH AC ∴==，CM MH =， 2BH AB AH ∴=-=， CM MH =，CN BN =， ∴MN 是△BCH 的中位线， 112MN BH ∴==， 故答案为：1． 三．解答题（共3小题）11．如图所示，在ABC ∆中，点D 在BC 上且CD CA =，CF 平分ACB ∠，AE EB =，求证：12EF BD =．【分析】首先根据等腰三角形的性质可得F 是AD 中点，再根据三角形的中位线定理可得12EF BD =．【解答】证明：CD CA =，CF 平分ACB ∠， F ∴是AD 中点， AE EB =， E ∴是AB 中点，EF ∴是ABD ∆的中位线， 12EF BD ∴=． 12．如图：D 、E 是ABC ∆边AB ，AC 的中点，O 是ABC ∆内一动点，F 、G 是OB ，OC 的中点．判断四边形DEGF 的形状，并证明．【分析】根据三角形中位线定理得到12DE BC =，//DE BC ，12FGT BC =，//FG BC ，得到DE FG =，//DE FG ，根据平行四边形的判定定理证明结论． 【解答】解：四边形DEGF 是平行四边形， 理由：D 、E 是ABC ∆边AB ，AC 的中点， ∴DE 是△ABC 的中位线，12DE BC ∴=，//DE BC ， F 、G 是OB ，OC 的中点， ∴FG 是△BCO 的中位线，12FG BC ∴=，//FG BC ，DE FG ∴=，//DE FG∴四边形DEGF 是平行四边形．13．已知：如图，在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于O，且AC BD=，E、F分别是AB、CD的中点，E、F分别交BD、AC于点G、H．求证：OG OH=．【分析】取BC边的中点M，连接EM，FM，则根据三角形的中位线定理，即可证得EMF∆是等腰三角形，根据等边对等角，即可证得MEF MFE∠=∠，然后根据平行线的性质证得OGH OHG∠=∠，根据等角对等边即可证得．【解答】解：取BC边的中点M，连接EM，FM，M、F分别是BC、CD的中点，∴MF是△BCD的中位线，//MF BD ∴，12MF BD=，同理：//ME AC，12ME AC=，AC BD=ME MF∴=MEF MFE∴∠=∠，//MF BD，MFE OGH∴∠=∠，同理，MEF OHG∠=∠，OGH OHG∴∠=∠OG OH∴=．。

专题18.6 三角形的中位线（专项练习）一、单选题1．如图，AD 为△ABC 中△ BAC 的外角平分线，BD△AD 于D ，E 为BC 中点，DE=5，AC=3，则AB 长为（）A ．8.5B ．8C ．7.5D ．72．顺次连接矩形各边中点得到的四边形是（ ）A ．平行四边形B ．矩形C ．菱形D ．正方形 3．如图，在四边形ABCD 中，AD BC =，BC ，E 、F 、G 分别是AB 、CD 、AC 的中点，若10DAC ∠=︒，66ACB ∠=︒，则FEO ∠等于（ ）A ．76°B ．56°C ．38°D ．28° 4．如图，在四边形ABCD 中，点P 是边CD 上的动点，点Q 是边BC 上的定点，连接AP PQ ，，EF ，分别是AP PQ ，的中点，连接EF .点P 在由C 到D 运动过程中，线段EF 的长度（ ）A ．保持不变B ．逐渐变小C ．先变大，再变小D ．逐渐变大5．ABC 中，D 、E 分别为AB 、AC 边的中点，若BC=8cm ，则DE 为（ ） A ．16cm B ．8cm C ．4cm D ．2cm6．在Rt ABC △中，90,13,5ACB AB AC ︒∠===，点D 是AB 上一动点，作//DE AC ，且2DE =，连结,BE CD P Q ,,分别是BE DC 、的中点连结PQ ，则PQ 长为（ ）A B ．C ．6 D ．6.57．如图，已知△ABC 中，点M 是BC 边上的中点，AN 平分△BAC ，BN△AN 于点N ，若AB ＝8，MN ＝2，则AC 的长为（ ）A ．12B ．11C ．10D ．98．如图，将三角形纸片ABC 沿过,AB AC 边中点D 、E 的线段DE 折叠，点A 落在BC 边上的点F 处，下列结论中，一定正确的个数是（ ）△BDF 是等腰三角形 △12DE BC = △四边形ADFE 是菱形 △2BDF FEC A ∠+∠=∠A ．1B ．2C ．3D ．4二、填空题9．如图，在Rt ABC 中，90ACB ∠=︒，30A ∠=︒，点D ，E 分别是AB 和AC 边的中点，若4CD =，则DE =__________．10．如图，,,D E F 分别是ABC ∆各边的中点，AH 是高，,5AB AC ED ≠=，判断AD ________AH （大小），FHC ∆是___________（类别），四边形AEDF 是______________________（类别）11．如图，在Rt △ABC 中，△ACB =90°，点D 、E 、F 分别为AB 、AC 、AD 的中点，若AB =12，则EF 的长为__________．12．如图，CD 是ABC ∆的中线，点E 、F 分别是AC 、DC 的中点，3BD =，则EF =_________．13．如图，在ABC中，AB=AC，AM BC⊥，延长AC到点D，连接BD，取BD的中点N，连接MN．若AB=3，AD=5，则MN=_______________．14．如图，在△ABC中，D是AC边的中点，且BD△AC，ED△BC，ED交AB于点E，若AC＝4，BC＝6，则△ADE的周长为______．15．如图，△ABC的中位线DE＝6cm，把△ABC沿DE折叠，使点A落在边BC上的点F处，若A、F两点间的距离是8cm，则△ABC的面积为_____cm2．16．如图，在ABC中，△ACB＝90°，M、N分别是AB、AC的中点，延长BC至点D，使CD＝13BD，连接DM、DN、MN．若AB＝4，则DN＝_____．17．如图，在ABC∆中，D、E分别为BC、AC的中点，且ABC的面积为16，则ADE 的面积是______．18．如图，面积为16的菱形ABCD 中，点O 为对角线的交点，点E 是边BC 的中点，过点E 作EF BD ⊥ 于点F ，EG AC ⊥于点G ，则四边形EFOG 的面积为__．19．如图，在菱形ABCD 中，45B ∠=︒，BC =E ，F 分别是边CD ，BC 上的动点，连接AE ，EF ，G ，H 分别为AE ，EF 的中点，连接GH ，则GH 的最小值为________．20．如图，有一块形状为Rt △ABC 的斜板余料，△A ＝90°，AB ＝6cm ，AC ＝8cm ，要把它加工成一个形状为□DEFG 的工件，使GF 在边BC 上,D 、E 两点分别在边AB 、AC 上，若点D 是边AB 的中点，则DEFG 的面积为_________2cm ．21．如图，在平行四边形纸片ABCD 中，2cm AB =，将纸片沿对角线AC 对折至CF ，交AD 边于点E ，此时BCF △恰为等边三角形，则图中折叠重合部分的面积是________．22．如图，在ABC 中，点D E 、分别在边AB 、 AC 上，//DE BC ，将ADE 沿直线DE 翻折后与 FDE 重合，DF 、EF 分别与边BC 交于点M 、N ，如果 8DE =，23AD AB =，那么MN 的长是 _____ ．23．如图，△ABC 是边长为1的等边三角形，取BC 边中点E ，作ED △AB ，EF △AC ，得到四边形EDAF ，它的周长记作C 1；取BE 中点E 1，作E 1D 1△FB ，E 1F 1△EF ，得到四边形E 1D 1FF 1，它的周长记作C 2．照此规律作下去，则C 2020＝__．24．如图，在Rt ABC △中，90A ︒∠=，2AB =，点D 是BC 边的中点，点E 在AC 边上，若45DEC ︒∠=，那么DE 的长是__________．三、解答题25．在正方形ABCD 中，点E 是边CD 的中点，点P 是边AD 上一点（与点A 、D 不重合），射线PE 与BC 的延长线交于点Q ．（1）如图，求证：PE QE =；（2）如图，连接PB ，PB PQ =，过点E 作//EF BC 交PB 于点F ，连接AF ，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出与线段AF 相等的所有线段．26．如图，在ABC 中，AB AC =，E ，F 分别是BC ，AC 的中点，连接EF ，以AC 为斜边作直角三角形ADC ，连接DE 、DF ．（1）求证：FE FD =．（2）若24CAD CAB ∠=∠=︒，求EDF ∠的度数．27．如图，在△ABC 中，点D ，E 分别是BC ，AC 的中点，延长BA 至点F ，使得AF ＝12AB ，连接DE ，AD ，EF ，DF ．（1）求证：四边形ADEF 是平行四边形；（2）若AB ＝6，AC ＝8，BC ＝10，求EF 的长．28．如图，等边ABC ∆中，D ，E 分别是AB ，AC 的中点，延长BC 到点F ，使12CF BC =，连结DE ，CD ，EF ．（1）求证：四边形DCFE 是平行四边形；（2）若等边ABC ∆的边长为6，求EF 的长．29．如图，在ABC 中，D E 、分别是AB AC 、的中点，延长DE 到点,F 使得,EF BE =连接CF ．若EC 平分BEF ∠．（1）求证：四边形BCFE 是菱形；（2）若8,120AC BCF =∠=︒，求菱形BCFE 的面积．参考答案1．D【分析】延长BD、CA交于点F，易证△ADF≌△ADB（ASA），则BD=DF，AB=AF，得到点D为BF中点，即DE为△BCF的中位线，再根据已知线段的长度，即可顺利求得AB的长．【详解】解：如图，分别延长BD、AC交于点F，△AD为△ABC中△BAC的外角平分线，△△FAD=△BAD，△BD△AD，△△FDA=△BDA=90°，在△BDA和△FDA中，FAD BAD AD ADFDA BDA ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，△△BDA≌△FDA（ASA），△AB=AF，BD=FD，即D为BF的中点，△E为BC中点，△DE为△BCF的中位线，△DE=5，AC=3，△CF=2DE=2⨯5=10，△AF=CF-AC=10-3=7．△AB=AF=7．故选D．【点拨】本题考查三角形的综合，涉及的知识点有全等三角形的判定，中位线定理等，难度一般，是中考的常考知识点，正确作出辅助线并证明全等是顺利解题的关键．2．C【分析】根据三角形的中位线定理，得新四边形各边都等于原四边形的对角线的一半，进而可得连接对角线相等的四边形各边中点得到的四边形是菱形．【详解】解：如图，矩形ABCD 中，,AC BD ∴=,,,E F G H 分别为四边的中点，1//,,2EF BD EF BD ∴=1//,,2GH BD GH BD = 1,2FG AC = //,,EF GH EF GH ∴=∴ 四边形ABCD 是平行四边形， 11,,,22AC BD EF BD FG AC === ,EF FG ∴=∴ 四边形EFGH 是菱形．故选C ．【点拨】本题主要考查了矩形的性质、菱形的判定，以及三角形中位线定理，关键是掌握三角形的中位线定理及菱形的判定．3．D 【分析】利用EG 、FG 分别是ABC ∆和ADC ∆两个三角形的中位线，求出EG FG =，从而得出FGC ∠和EGC ∠，再根据EG FG =，利用三角形内角和定理即可求出FEG ∠的度数．【详解】解：△E 、F 、G 分别是AB 、CD 、AC 的中点， △EG 、FG 分别是ABC ∆和ADC ∆两个三角形的中位线， △//EG BC ，//FG AD ，且22AD BCEG FG ===， △10FGC DAC ∠=∠=︒，180114EGC ACB ∠=︒-∠=︒， △124EGF FGC EGC ∠=∠+∠=︒， 又△EG FG =， △()()111801801242822FEG EGF ∠=-∠=-︒=︒︒︒． 故本题答案为：D ． 【点拨】本题考查了三角形内角和定理，等腰三角形的判定与性质，三角形中位线定理.解决本题的关键是正确理解题意，熟练掌握三角形中位线定理，通过等腰三角形的性质找到相等的角． 4．A 【分析】连接AQ ，则可知EF 为△PAQ 的中位线，可知EF ＝12AQ ，可知EF 不变． 【详解】 如图，连接AQ ，△E 、F 分别为PA 、PQ 的中点， △EF 为△PAQ 的中位线， △EF ＝12AQ ， △Q 为定点，△AQ 的长不变， △EF 的长不变， 故选：A ．【点拨】本题主要考查三角形中位线定理，掌握三角形中位线平行第三边且等于第三边的一半是解题的关键． 5．C 【分析】先画出图形，再根据三角形的中位线定理即可得． 【详解】由题意，画出图形如下：点D 、E 分别为AB 、AC 边的中点，DE ∴是ABC 的中位线， 1184()22DE BC cm ∴==⨯=， 故选：C ． 【点拨】本题考查了三角形的中位线定理，熟记三角形的中位线定理是解题关键． 6．A 【分析】由勾股定理得出，取BD 中点F ，连接PF 、QF ，证出PF 是△BDE的中位线，FQ是△BCD的中位线，由三角形中位线定理得出PF△ED，PF=12DE＝1，FQ△BC，FQ=12BC＝6，证出PF△FQ，再由勾股定理求出PQ即可．【详解】解：△△ACB＝90°，AB＝13，AC＝5，，取BD中点F，连接PF、QF，如图所示：△P、Q分别是BE、DC的中点，△PF是△BDE的中位线，FQ是△BCD的中位线，△PF△ED，PF=12DE＝1，FQ△BC，FQ=12BC＝6，△DE△AC，AC△BC，△PF△FQ，==故选：A．【点拨】本题考查了三角形中位线定理、勾股定理、平行线的性质；熟练掌握勾股定理，由三角形中位线定理得出PF△ED，FQ△BC是解题的关键．7．A【分析】延长BN交AC于D，证明△ANB△△AND，根据全等三角形的性质、三角形中位线定理计算即可．【详解】解：延长BN交AC于D，在△ANB 和△AND 中，90NAB NAD AN ANANB AND ∠∠⎧⎪⎨⎪∠∠︒⎩＝＝＝＝， △△ANB△△AND ， △AD=AB=8，BN=ND ， △M 是△ABC 的边BC 的中点， △DC=2MN=4， △AC=AD+CD=12， 故选：A ． 【点拨】本题考查的是三角形中位线定理，三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半． 8．C 【分析】根据菱形的判定和等腰三角形的判定，采用排除法，逐条分析判断． 【详解】 解：△△DE △BC ，△△ADE ＝△B ，△EDF ＝△BFD ， 又△△ADE △△FDE ，△△ADE ＝△EDF ，AD ＝FD ，AE ＝CE ， △△B ＝△BFD ，△△BDF 是等腰三角形，故△正确； 同理可证，△CEF 是等腰三角形， △BD ＝FD ＝AD ，CE ＝FE ＝AE ， △DE 是△ABC 的中位线，△DE =12BC ，故△正确； △△B ＝△BFD ，△C ＝△CFE ，又△△A +△B +△C ＝180°，△B +△BFD +△BDF ＝180°，△C +△CFE +△CEF ＝180°， △△BDF +△FEC ＝2△A ，故△正确．而无法证明四边形ADFE 是菱形，故△错误． 所以一定正确的结论个数有3个， 故选：C ． 【点拨】本题考查了菱形的判定，中位线定理，等腰三角形的判定和性质，菱形的判别方法是说明一个四边形为菱形的理论依据，常用三种方法：△定义；△四边相等；△对角线互相垂直平分．具体选择哪种方法需要根据已知条件来确定． 9．2 【分析】由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得出28AB CD ==，又因为30A ∠=︒，所以4BC =，由三角形的中位线定理可得出122DE BC ==． 【详解】解：△CD 是Rt ABC 中斜边上的中线，4CD = △28AB CD ==△90ACB ∠=︒，30A ∠=︒ △4BC =△点D ，E 分别是AB 和AC 边的中点 △122DE BC == 故答案为：2． 【点拨】本题考查的知识点是三角形的中位线定理，由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得出28AB CD ==，是解此题的关键． 10．> 等腰三角形 平行四边形 【分析】（1）连接AD 可知，在Rt ADH 中，AH 为直角边，AD 为斜边，可得AH 与AD 大小关系；（2）在Rt AHC 中，11,22HF AC FC AC ==，可得HF FC =，可得FHC 为等腰三角形；（3）根据中位线的性质，可得//,//DE AF AE DF ，可得AEDF 的形状 【详解】（1）连接AD ，在Rt ADH 中，AH 为直角边，AD 为斜边，得AD AH >； 故答案为：>（2）在Rt ADC 中，F 为AC 中点 △11,22HF AC FC AC ==， △HF FC =，△FHC 为等腰三角形； 故答案为：等腰三角形（3）△,,D E F 分别是ABC ∆各边的中点 △//,//DE AF AE DF△四边形AEDF 为平行四边形 故答案为：平行四边形 【点拨】本题考查了直角三角形的边角关系，以及中点的应用，熟知中点的作用是解题的关键． 11．3 【分析】根据直角三角形的性质求出CD ，根据三角形中位线定理计算即可． 【详解】在Rt△ABC中，△ACB=90°，D为AB的中点，△CD12=AB=6△E，F分别为AC，AD的中点，△EF12=CD=3．故答案为：3【点拨】本题考查的是三角形中位线定理、直角三角形的性质，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键．12．1.5【分析】先由中线知BD=AD，求出AD，再利用三角形中位线是性质即可解答．【详解】解：△CD是ABC的中线，3BD=△AD=BD= 3△点E、F分别是AC、DC的中点，△EF是ACD的中位线，△EF=12AD=1.5，故答案为：1.5．【点拨】本题考查了三角形的中线和中位线，熟练掌握三角形中位线的性质是解答的关键．13．1【分析】由题意易得BM=MC，则有MN△CD，12MN CD=，进而可求解．【详解】解：AB=AC，AM BC⊥，∴BM=MC，BN=ND，∴MN△CD，12MN CD=，AB=3，AD=5，∴CD=2，∴MN=1；故答案为1．【点拨】本题主要考查等腰三角形的性质及三角形中位线，熟练掌握等腰三角形的性质及三角形中位线是解题的关键．14．8【分析】根据线段垂直平分线的性质得到AB＝BC＝6，根据三角形中位线定理求出DE，根据直角三角形的性质求出AE，根据三角形的周长公式计算，得到答案．【详解】△D是AC边的中点，BD△AC，△BD是线段AC的垂直平分线，AD12=AC＝2，△AB＝BC＝6，△D是AC边的中点，ED△BC，△点E是AB的中点，DE12=BC＝3，在Rt△ADB中，点E是AB的中点，△DE12=AB＝3，△△ADE的周长＝AE+DE+AD＝8，故答案为：8．【点拨】本题考查的是三角形中位线定理、直角三角形的性质，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键．15．48【分析】根据对称轴垂直平分对应点连线，可得AF即是△ABC的高，再由中位线的性质求出BC，继而可得△ABC的面积．【详解】解：连接AF，△DE是△ABC的中位线，△DE△BC，BC＝2DE＝12cm；由折叠的性质可得：AF△DE，△AF△BC，△S△ABC＝12BC×AF＝12×12×8＝48cm2．故答案为：48．【点拨】本题考查了翻折变换的性质及三角形的中位线定理，解答本题的关键是得出AF是△ABC的高．16．2【分析】连接CM，根据直角三角形的性质求出CM，根据三角形中位线定理得到MN＝12BC，MN//BC，证明四边形NDCM是平行四边形，根据平行四边形的性质解答．【详解】解：连接CM，△△ACB＝90°，M是AB的中点，△CM＝12AB＝2，△M、N分别是AB、AC的中点，△MN＝12BC，MN//BC，△CD＝13 BD，△CD=12 BC，△MN＝CD，又MN//BC，△四边形NDCM是平行四边形，△DN＝CM＝2，故答案为：2．【点拨】本题考查直角三角形斜边的中线定理、三角形中位线定理、平行四边形的判定与性质等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．17．4【分析】先根据D点是BC的中点，E点是AC的中点，得出S△ADE=14×S△ABC，即可得出答案．【详解】△D点是BC的中点，△S△ABD=S△ADC=12S△ABC，△E点是AC的中点，△S△ADE=S△DCE=12S△ADC=14×S△ABC△S△ABC=16，△S△ADE=4，故答案为：4．【点拨】本题考查了三角形中线的性质，得出S△ADE=14×S△ABC是解题关键．18．2【分析】由菱形的性质得出OA＝OC，OB＝OD，AC△BD，面积＝12AC×BD，证出四边形EFOG是矩形，EF//OC，EG//OB，得出EF、EG都是△OBC的中位线，则EF＝12OC＝14AC，EG ＝12OB ＝14BD ，由矩形面积即可得出答案． 【详解】解：△四边形ABCD 是菱形，△OA ＝OC ，OB ＝OD ，AC△BD ，面积＝12AC×BD=16， △AC×BD=32△EF△BD 于F ，EG△AC 于G ，△四边形EFOG 是矩形，EF//OC ，EG//OB ，△点E 是线段BC 的中点，△EF 、EG 都是△OBC 的中位线，△EF ＝12OC ＝14AC ，EG ＝12OB ＝14BD ， △矩形EFOG 的面积＝EF×EG ＝14AC×14BD ＝116×32＝2； 故答案为：2．【点拨】本题考查了菱形的性质、矩形的判定与性质、三角形中位线定理等知识；熟练掌握菱形的性质和矩形的性质是解题的关键．19．2【分析】连结AF ，利用中位线的性质GH=12AF ，要使GH 最小，只要AF 最小，由点F 在BC ，当AF△BC 时，AF 最小，利用菱形性质求出AB =45B ∠=︒确定△ABF 为等腰直角三角形，得出AF=BF ，由勾股定理得：22222AB BF AF AF =+=求出AF 即可．【详解】连结AF ，△G ，H 分别为AE ，EF 的中点，△GH△AF ，且GH=12AF ， 要使GH 最小，只要AF 最小，由点F 在BC ，当AF△BC 时，AF 最小，在菱形ABCD 中，BC = △AB =在Rt△ABF 中，45B ∠=︒，△△ABF 为等腰直角三角形，△AF=BF ，由勾股定理得：22222AB BF AF AF =+=，△(22=2AF ，△AFGH 最小=12【点拨】本题考查动点图形中的中位线，菱形的性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理应用问题，掌握中位线的性质，菱形性质，等腰直角三角形的性质， 点F 在BC 上，AF 最短，点A 到BC 直线的距离最短时由点A 向直线BC 作垂线，垂线段AF 为最短是解题关键． 20．12【分析】作AH BC ⊥交BC 于H 点，交DE 于I 点，根据90,6,8A AB cm AC cm 可得BC 10cm =，根据D 是边AB 的中点可知DE 是ABC 的中位线，得12AIIH AH ，利用三角形面积1122ABC S AC AB BC AH ，可得245AH =，11225IH AH ，则根据DEFG S DE IH ，计算可得结果．【详解】如图示，作AH BC ⊥交BC 于H 点，交DE 于I 点，△90,6,8A AB cm AC cm△BC 10cm =△D 是边AB 的中点，//DE BC ，△DE 是ABC 的中位线，5DE cm = △12AIIH AH ， 又△1122ABCS AC AB BC AH ， 即有6810AH ， △245AH =， △1124122255IHAH ， △2125125DEFG S DE IHcm ， 故答案为：12．【点拨】本题考查了三角形中位线的应用，勾股定理，三角形的面积和平行四边形的面积，熟悉相关性质定理是解题的关键．中位线定理：三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半．212cm【分析】BCF △为等边三角形，点A 为BF 的中点，可得90BAC ∠=︒，求得12ACD S AC CD =，再证明出点E 为AD 的中点，得到12ACE ACD S S =，可求出面积． 【详解】解：ABC 折叠至ACF 处，∴AB=AF=2cm ，BC=BF=CF=4cm ，BCF △为等边三角形，AC BF ∴⊥，90BAC ∠=︒， 又四边形ABCD 为平行四边形，∴//AB CD ，90ACD ∴∠=︒，AC ==，CD=AB=2cm ，12ACD S AC CD ∴==212⨯=2cm ， 点A 为BF 的中点，//AE BC ，∴AE 为BCF △的中位线，1122AE BC AD ∴==， ∴点E 为AD 的中点， 12ACE ACD S S ∴==12⨯2cm 为折叠重合部分的面积，2cm ．【点拨】本题考查了折叠问题以及等边三角形和平行四边形的综合问题，还涉及勾股定理，需要有一定的推理论证能力，熟练掌握等边三角形和平行四边形的性质是解题的关键．22．4【分析】设3AB a =，从而可得2,a AD a BD ==，先根据平行线的性质可得,ADE B EDM BMD ∠=∠∠=∠，再根据翻折的性质可得,2ADE EDM DF AD a ∠=∠==，从而可得B BMD ∠=∠，然后根据等腰三角形的判定可得DM BD a ==，从而可得FM a =，最后根据三角形的中位线定理即可得．【详解】设3AB a =，则2,BD D a A a A AB D =-==，//DE BC ，,ADE B EDM BMD ∠=∠∠=∠∴，由翻折的性质得：,2ADE EDM DF AD a ∠=∠==，B BMD ∴∠=∠，DM BD a ∴==，FM DF DM a DM ∴=-==，即点M 是DF 的中点，又//DE BC ，MN ∴是FDE 的中位线，118422MN DE ∴==⨯=， 故答案为：4．【点拨】本题考查了翻折的性质、等腰三角形的判定、三角形的中位线定理等知识点，熟练掌握翻折的性质是解题关键．23．201812【分析】先计算出C 1、C 2的长，进而得到规律，最后求出C 2020的长即可．【详解】解：△E 是BC 的中点，ED △AB ，△DE 是△ABC 的中位线，△DE ＝12AB ＝12，AD ＝12AC ＝12， △EF △AC ，△四边形EDAF 是菱形，△C 1＝4×12， 同理C 2＝4×12×12=4×212， …C n ＝4×12n ， △20202020201811422C =⨯=． 故答案为：201812．【点拨】本题考查了中位线的性质，菱形的判定与性质，根据题意得到规律是解题关键．24【分析】过D作DF△AC于F，得到AB△DF，求得AF＝CF，根据三角形中位线定理得到DF=12 AB＝1，根据等腰直角三角形的性质即可得到结论．【详解】解：过D作DF△AC于F，△△DFC＝△A＝90°，△AB△DF，△点D是BC边的中点，△BD＝DC，△AF＝CF，△DF=12AB＝1，△△DEC＝45°，△△DEF是等腰直角三角形，△DE DF，【点拨】本题考查了三角形的中位线定理，平行线的判定和性质，等腰直角三角形的性质，正确的作出辅助线构造等腰直角三角形是解题的关键．25．（1）见解析；（2）BF、PF、PE、QE．【分析】（1）根据正方形的性质及对顶角相等利用ASA即可证明PDE QCE≌，再利用全等三角形的性质即可得证；（2）根据三角形中位线的判定及性质定理、直角三角形斜边上的中线即可得出答案．【详解】（1）证明：如图，△四边形ABCD 是正方形△90D ECQ ∠=∠=︒，△E 是CD 的中点△DE CE =，又△DEP CEQ ∠=∠△()PDE QCE ASA ≌△△△PE QE =（2）如图，BF 、PF 、PE 、QE,//PB PQ EF BC =,PE QE =∴EF 为PBQ △的中位线PF FB PE EQ ∴===，四边形ABCD 为正方形，90BAP ∴∠=︒，∴AF 为BAP Rt △斜边的中线12AF BP BF PF ∴=== ∴与线段AF 相等的所有线段为：BF 、PF 、PE 、QE ．【点拨】本题考查了正方形的性质、三角形中位线的判定及性质定理、直角三角形斜边上的中线、全等三角形的判定及性质，熟练掌握性质定理是解题的关键．26．（1）见解析；（2）54︒【分析】（1）根据三角形中位线定理推出12FE AB =，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半推出12FD AC =，即可证明FE FD =； （2）根据三角形中位线定理推出24EFC BAC ∠=∠=︒，根据直角三角形斜边上的中线的性质结合三角形的外角性质推出48DFC ∠=︒，利用（1）的结论结合三角形内角和定理即可求得EDF ∠的度数．【详解】（1）△E ，F 分别是BC ，AC 的中点， △12FE AB =， △F 是AC 的中点，90ADC ∠=︒， △12FD AC =， △AB AC =，△FE FD =；（2）△E ，F 分别是BC ，AC 的中点，△//FE AB ，△24EFC BAC ∠=∠=︒，△F 是AC 的中点，90ADC ∠=︒，△FD AF =，△24ADF CAD ︒∠=∠=，△48DFC ∠=︒，△72EFD ∠=︒，△FE FD=，△18072542FED EDF︒-︒∠=∠==︒．【点拨】本题考查了三角形中位线定理，直角三角形斜边上的中线等于斜边一半，平行线的性质，三角形的外角性质等，灵活运用有关定理来分析、判断、推理或解答是解题的关键．27．（1）见解析；（2）EF＝5．【分析】（1）利用三角形的中位线的性质与等量代换得出DE＝AF，DE△AF，从而得出结论．（2）先利用（1）中的结论得出EF＝AD，再利用勾股定理的逆定理，求出△ABC是直角三角形，再利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求出。

三角形中位线练习题
填空题
（1）顺次连结任意四边形各边中点所得的图形是__平行四边形
（2）顺次连结矩形各边中点所得图形是______.
（3）顺次连结等腰梯形各边中点所得的图形是______.
（4）顺次连结对角线相等的四边形各边中点所得的图形是_____.
（5）顺次连结菱形各边中点所得的图形是_______.
（6）顺次连结对角线互相垂直的四边形各边中点所得的图形是_____.
（7）顺次连结正方形各边中点所得的图形是______.
选择题
1．顺次连结下列各四边形中点所得的四边形是矩形的是（）.
A．等腰梯形 B．矩形 C．平行四边形 D．菱形或对角线互相垂直的四边形2．已知三角形的3条中位线分别为3cm、4cm、6cm，则这个三角形的周长是（）.
A．3cm B．26cm C．24cm D．65cm
解答题
1．已知三角形3条中位线的比为3：5：6，三角形的周长是112cm，求三条中位线长。

2．如图所示，中，中线BD、CE相交于O，F、G分别为OB、OC的中点。

求证：四边形DEFG为平行四边形。

提示：
第1题先求出三条中位线组成三角形的周长。

第2题运用三角形中位线定理证明ED FG。

八年级数学下册《三角形的中位线》练习题及答案(北师大版)一、单选题 1．如图，在△ABC 中，D ，E 分别是AB ，BC 的中点，AE ，CD 相交于点F ，连接BF ，DE ，下列线段中，是△ABC 的中位线的是（ ）A ．DEB ．AEC ．CD D ．BF2．如图，△ABC 的边AB ，BC ，CA 的中点分别是D ，E ，F ，已知AB ＝8，AC ＝10，则四边形ADEF 的周长是（ ）A ．8B ．9C ．10D ．183．如图，A ，B 两地被池塘隔开，小明通过下面的方法估测出了A ，B 间的距离：先在AB 外选一点C ，然后步测出AC ，BC 的中点M ，N ，并步测出MN 的长为12米，由此他就知道A ，B 间的距离是（ ）A ．6米B ．12米C ．24米D ．48米4．如图，等腰梯形ABCD 的对角线长为13，点E 、F 、G 、H 分别是边AB 、BC 、CD 、DA 的中点，则四边形EFGH 的周长是（ ）A ．13B ．26C ．36D ．395．如图，DE 是△ABC 的中位线，ABC ∠的角平分线交DE 于点F ，10AB =，BC=16，则EF 的长为（ ）A．2 B．3 C．6 D．8．如图，在平行四边形则COE的周长是（A．4 B．6 C．8 D．10．如图，在A．16 B．20 C．18 D．2290，∠ABC=60,BC=2cm, D的方向运动，设E点的运动时间为A．2 B．2.5或3.5 C．2.5或3.5或4.5 D．2或3.5或4.55二、填空题11．如图，梯形ABCD 中，AD∥BC，AD=6 BC=14， P 、Q 分别为BD 、AC 的中点，则PQ= ____.12．如图，在平行四边形ABCD 中，对角线AC ，BD 相交于点O ，点E ，F 分别是AD ，OD 的中点，若2EF =，则AC 的长是______．14．如图，在△ABC 中，,,D E F 分别是,,AB BC CA 的中点，连接,DE DF ，若12,BC cm AC ==10cm ，则四边形DECF 的周长是_____．15．在平行四边形ABCD 中，点O 是对角线AC 、BD 的交点，点E 是边CD 的中点，且5AB =，BC=6，则OE =______．三、解答题16．在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=2BC, 将△ABC绕点O按逆时针方向旋转90°得到△DEF，点A,B,C的对应点分别是点D,E,F.请仅用无刻度直尺分别在下面图中按要求画出相应的点（保留画图痕迹）．（1）．如图1，当点O为AC的中点时，画出BC的中点N；(2).如图2，旋转后点E恰好落在点C,点F落在AC上,点N是BC的中点,画出旋转中心O.17．若D，E分别是AB，AC的中点，则只需测量出DE的长，就可以求出池塘的宽BC．你知道为什么吗？18．已知：如图，在等边三角形ABC中，D，E，F分别为各边的中点．求证：四边形DEFB是平行四边形．19．如图，在Rt△ABC 中，90,6,8,ACB AC BC AE ∠=︒==平分,CAB CE AE ∠⊥于点E ，延长CE 与AB 交于点D ．（1）求证：CE DE =；（2）若点F 为BC 的中点，求EF 的长．20．已知：矩形ABCD 中，AB=10，AD=8，点E 是BC 边上一个动点，将△ABE 沿AE 折叠得到△AB′E．（1）如图(1)，点G 和点H 分别是AD 和AB′的中点，若点B′在边DC 上．①求GH 的长；②求证：△AGH≌△B′CE；（2）如图(2)，若点F 是AE 的中点，连接B′F，B′F∥AD，交DC 于I ．①求证：四边形BEB′F 是菱形；②求B′F 的长．参考答案1．A2．D3．C4．B5．B6．C7．C8．A9．D【详解】证明：∵D E、分别为ABC各边的中点为ABC的中位线，DE AB∥BD∥DEFB是平行四边形．）证明：AE平分,CAB,CAE BAE∴∠=∠CD AE⊥AEC∴∠=在AEC△CAEAE AEAEC∠=⎧⎪=⎨⎪∠=⎩AEC AED ASA ∴≌（）CE DE ∴=； Rt ABC 中 6,AC BC =2210AB AC BC =+=,AEC AED ≌6,AD AC ∴==4,BD AB AD ∴=-= 点E 为CD 中点，点F 为BC ∴122EF BD ==20． 【详解】（1）①∵将△ABE。

《三角形中位线》习题一、填空题1. 如图，D 、E 、F 分别为AABC 三边上的中点.① _______________________ 线段AD 叫做ZXABC 的 _______ ,线段DE 叫做AABC 的 , DE 与AB 的位置和数量关系是② 图中全等三角形有 _________________________ ;③ 图中平行四边形有 _________________________ .2. _______________________________________________________________ 三角形各边长为8、11、15,则连结各边中点所构成的三角形的周长是 __________________________3D=8cm, E, F, G H 分别是边 AB BC, CD DA 的中点, 则四边形EFGH 的周长为 _________ ■5.如图，A 、B 两处被池塘隔开，为了测量A 、B 两处的距离，在AB 外选一适当的点C,连接 AC 、BC,并分别取线段AC 、BC 的中点E 、F,测得EF=22m,则AB 二 _____________ m. 二、选择题 1. AABC 中，D 、E 分别是AB 、AC 边上的中点，若BC=8,则DE 等于（）A. 5B.4C. 3D.22. 三角形的三条中位线长分别为3cm, 4cm, 6cm,则原三角形的周长为（）A. 6. 5cmB. 34cm C 26cm D. 52cm3. 如图,在四边形ABCD 中，AB=CD, M, N, P 分别AD, BC, BD 的中点,若ZMPN=130°, 则 ZNMP=（）A. 25°B. 30°C. 35。

D. 50°4•在四边形ABCD 中，4C=6cm, 3.顺次连结任意四边形各边中点 F 4题3心"丿疋疋^ ___________________________A ・ 4 B. 4.5 C ・ 6 D. 9三、证明题：1. 如图，四边形各边中点及对角线屮点共六个点屮，任取四个点连成四边形屮，最多可以有儿个平 行四边形，证明你的结论.2•如图,在梯形ABCD 中,AD 〃BC, E 是DC 的中点,3•如图，ZXA3C 中，D 是AB ±一点，R AD=AC, AE 丄CD 于& F 是3C 中点求证：BD=2EF. 「4.如图，AD 是ZBAC 的外角平分线，CDLAD 于 点、D, E 是3C 的中点.求证：DE=-(AB+AC).交BC 于F,若EF=4,求AB 的长.EF 〃AB25•如图，在屮，AD丄BC于点D, E, F, G分别是BG AC, AB的中点.若9AB=-BC=3DE=[2,3求四边形DEFG的周长.参考答案一、填空题1.答案：①屮线，中位线，DE〃AB, DE=-AB.2②Z\AEF 竺ZXDEF 空△FBD^AEDC.③GFDE, DFBDE, OFDCE.解析：【解答】解：(1) D、E、F分别为AABC三边上的中点，根据中线的定义知，线段AD叫做AABC的中线，根据中位线的定义知，线段DE叫做AABC的中位线，再根据中位线的性质知，中位线的长是第三边的长的一半且平行于第三边，・・・DE〃AB, DE=-AB；2(2) TDE, DF, EF 是三角形的中位线，ADF//AC, DE〃AB, EF〃BC,二四边形AEDF, BFED, CEFD 是平行四边形，・\DE=AF=BF, DF=AE=EC, EF=BD=DC,AAAEF^ADEF^AFBD^AEDC.故答案为：(1)中点，中位线，DE〃AB, DE=-AB； (2)2AAEF^ADEF^AFBD^AEDC； (3) 口AFDE, Z J FBDE, Z3FDCE.【分析】根据三角形的中线、中位线的定义以及中位线的性质可知答案2.答案：17；解析：【解答】丄(8+11 + 15)=17,故答案为17.2【分析】直接运用三角形中位线的性质即可.3.答案：平行四边形；解析：【解答】•・•这个四边形的两组对边分别是原4边形对角线连线构成的三角形的中位线，・••这个四边形两对边相等・•・四边形一定是平行四边形【分析】直接运用三角形中位线的性质即可.4.答案：14cm；解析：【解答】T四边形ABCD中，AC=6cm, BD=8cm, E、F、G、H分别是边AB、BC、CD、DA的中点，1 1EH=FG= - BD, EF=HG=- AC,2 2・•・四边形EFGH 的周氏为：(EH+FG) + (EF+HG) =-x2BD+ 丄x2AC二BD+AC=8+62 2= 14.故答案为14.【分析】直接运用三角形中位线的性质即可.5.答案:44.解析：【解答】TE、F是AC, AB的中点，・・・EF是AABC的屮位线，1・・・EF=-AB2VEF=22cm,,-,AB=44cm.故答案为44.【分析】直接运用三角形屮位线的性质即可.二、选择题1.答案：C解析：【解答】ZkABC中,D、E分别是AB、AC边上的中点,ADE是△ ABC的中位线,又T BC=8, ・・・DE=4,故选C.【分析】直接运用三角形中位线的性质即可.2.答案：C解析：【解答】T三角形的三条中位线分别为4cm、5cm、8cm,•I三角形的三边分别为8cm, 10cm, 16cm,・•・这个三角形的周长二8+10+16=34cm.故选B.【分析】直接运用三角形中位线的性质即可.3.答案：A解析：【解答】•・•在四边形ABCD中，M、N、P分别是AD、BC、BD的屮点，・・・PN, PM分别是ACDB与厶DAB的中位线，1 1・・・PM=-AB, PN二一DC,2 2TAB二CD,・•・ PM=PN,•••△PMN是等腰三角形，VPM//AB, PN〃DC,AZMPD=ZABD=35°, ZBPN=ZBDC=85°,・•・ Z MPN= Z MPD+ ZNPD=35°+95°= 130°,A ZPMN=25°,故选A.【分析】运三角形中位线的性质，先证WAPMN是等腰三角形，然后在求出ZPMN=25唧可.4.答案：D解析：【解答】・・•点E、F分别定ZXABC屮AC、AB边的中点，BE、CF相交于点G,・・・G为AABC的重心，・・・2FG=GC,VFG=3, ・・・GC二6, ACF=9.故选D..【分析】三、证明题1.答案：3个.解析：【解答】在四边形ABCD屮F,G,H,E,M,N分别是AB,BC,CD,DA,BD,AC的中点(1) FG〃AC,EH〃AC； FG = 1/2AC,EH= 1/2AC・・・FG〃EH,FG = EH・•・四边形FGHE是平行四边形⑵MG 〃CD,EN // CD;MG = 1 /2CD,EN = 1 /2CD・・・MG〃EN,MG = EN・•・四边形MGNE是平行四边形⑶ FM〃AD,NH〃AD； FM= 1/2AD,NH= 1/2ADAFM/7NH； FM = NH・•・四边形FMHN是平行四边形・•・最多可以有3个平行四边形【分析】直接运用三角形屮位线性质定理即可.2.答案：8解析：【解答】过D作DG〃AB交BC于G,・.・AD〃BC, AB〃DG,・•・四边形ABGD是平行四边形，・•・AB二DG. gVEF/7AB, AEF/7DG, VDE=CE, A GF=CF.•••EF是MDG的中位线，，.EF石DG.ADG=2EF=8,即AB=8.【分析】过D作DG〃AB交BC于G,利用三角形中位线性质定理即可.3 .答案：证明过程见解析.解析：【解答】证明：VAD=AC, AE丄CD, /.CE=DE.又J F是BC中点，・•・BD=2EF.【分析】要证BD=2EF,由于F是BC的中点，根据三角形的中位线定理只需证E是CD中点即可，这易从己知证得.4.答案：证明过程见解析.解析：【解答】证明：延长CD与BA交于F点.VAD是ZBAC的外角平分线，・•・ZCAD=ZEAD.TCD丄AD, /. ZADC=ZADF=90°, AZACD=ZF,・・・AC=AF,・・・CD=DF.TE 是BC 的中点，ADE二丄BF=丄(AB+AC).2 2【分析】直接证明DE二丄(AB+AC)比较困难，注意到E是BC的屮点，联想到三角形的屮位线定2 *理，于是延长CD与BA交于F点，只需证D是CF的中点及AF=AC即可，这容易从题设证得. 5.答案:252解析：【解答】・・施严沁=2,・・・B5, DE=4.VAD丄BC, G 是AB 的中点,ADG=-AB=6.2VE, F, G分别是BC, AC, AB的中点，AFG二丄BC=9, EF二丄AB=6.2 2•••四边形DEFG的周氏为4+6+9+6=25・【分析】貢接运用三角形中位线性质定理求岀GE和EF的值，利用直角三角形的性质求出DG的值，即可求出周长.赠:我的写字心得体会从小开始练习写字，几年来我认认真真地按老师的要求去练习写字。

八年级数学提优训练——中位线1．如图，在四边形ABCD中，AD＝BC，E，F，G分别是AB，CD，AC的中点，若∠DAC＝20°，∠ACB＝84°，则∠FEG等于（）A．32°B．38°C．64°D．30°2．如图，△ABC的周长为32，点D，E都在边BC上，∠ABC的平分线垂直于AE，垂足为Q，∠ACB的平分线垂直于AD，垂足为P，若BC＝12，则PQ的长为（）A．2 B．3 C．4 D．53．如图，△ABC中，AB＞AC，AD，AE分别是其角平分线和中线，过点C作CG⊥AD于点F，交AB于点G，连接EF，则①EF∥AB；②∠BCG＝（∠ACB﹣∠ABC）；③EF＝（AB﹣AC）；④（AB﹣AC）＜AE＜（AB+AC）．其中正确的是（）A．①②③④B．①②C．②③④D．①③④4．已知△ABC的周长为1，连接其三边中点构成第二个三角形，再连接第二个三角形的中点构成第三个三角形，以此类推，则第2012个三角形的周长为（）A．B．C．D．5．如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC的中点，AC＝10，F是DE上一点，连接AF，CF，DF＝1．若∠AFC ＝90°，则BC的长度为（）A．10 B．12 C．14 D．166．已知：四边形ABCD中，AB＝2，CD＝3，M、N分别是AD，BC的中点，则线段MN的取值范围是（）A．1＜MN＜5 B．1＜MN≤5 C．＜MN＜D．＜MN≤7．如图，在△ABC中，BF平分∠ABC，AG⊥BF，垂足为点D，交BC于点G，E为AC的中点，连结DE，DE＝2.5cm，AB＝4cm，则BC的长为cm．8．如图，DE是△ABC的中位线，F是DE的中点，CF的延长线交AB于G，AB＝6，则AG＝．9．如图，顺次连结△ABC三边的中点D，E，F得到的三角形面积为S1，顺次连结△CEF三边的中点M，G，H得到的三角形面积为S2，顺次连结△CGH三边的中点得到的三角形面积为S3．设△ABC的面积为S，则S1+S2+S3＝．10．如图，在R△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝3，AC＝4，点M为边AC的中点，点N为边BC上任意一点，若点C关于直线MN的对称点C′恰好落在△ABC的中位线上，则CN的长为．11．如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC的中点，F是线段DE上一点，连接AF，BF，若AB＝16，EF＝1，∠AFB＝90°，则BC的长为．12．如图，在△ABC中，AE平分∠BAC，BE⊥AE于点E，点F是BC的中点．（1）如图1，BE的延长线与AC边相交于点D，求证：EF＝（AC﹣AB）；（2）如图2，请直接写出线段AB、AC、EF的数量关系．13．如图所示，在△ABC中，AD是BC边的中线，F是AD的中点，连接BF并延长交AC于E，求证：EC＝2AE．14．探索与证明如图，在△ABC中，BD、CE分别是边AC、AB上的中线，BD与CE相交于点O，M、N分别是BO、CO的中点，顺次连接E、M、N、D四点．（1）求证：EMND是平行四边形；（2）探索：BC边上的中线是否过点O？为什么？15．已知△ABC（如图所示）．（1）在图中找出重心O；（2）设BC，AC，AB边的中点为M，N，G，度量OM和OA，ON与OB，OG与OC，根据度量的结果，猜想三角形的重心到三角形顶点的距离与到对边中点的距离之间的距离，并给予证明．16．如图，AD为△ABC的中线，BE为△ABD的中线．（1）在△BED中作BD边上的高，垂足为F；（2）若△ABC的面积为20，BD＝5．①△ABD的面积为，②求△BDE中BD边上的高EF的长；（3）过点E作EG∥BC，交AC于点G，连接EC、DG且相交于点O，若S△ABC＝2m，又S△COD＝n，求S△GOC．（用含m、n的代数式表示）17．如图，四边形ABCD中，已知AB＝CD，点E、F分别为AD、BC的中点，延长BA、CD，分别交射线FE于P、Q两点．求证：∠BPF＝∠CQF．参考答案1． A．2． C．3． A．4． C．5． B．6． D．7．9 8． 2 9．S．10．或． 11． 1812．（1）证明：如图1中，∵AE⊥BD，∴∠AED＝∠AEB＝90°，∴∠BAE+∠ABE＝90°，∠DAE+∠ADE＝90°，∵∠BAE＝∠DAE，∴∠ABE＝∠ADE，∴AB＝AD，∵AE⊥BD，∴BE＝DE，∵BF＝FC，∴EF＝DC＝＝（AC﹣AB）．（2）结论：EF＝（AB﹣AC），理由：如图2中，延长AC交BE的延长线于P．∵AE⊥BP，∴∠AEP＝∠AEB＝90°，∴∠BAE+∠ABE＝90°，∠PAE+∠APE＝90°，∵∠BAE＝∠PAE，∴∠ABE＝∠ADE，∴AB＝AP，∵AE⊥BD，∴BE＝PE，∵BF＝FC，∴EF＝PC＝（AP﹣AC）＝（AB﹣AC）．13．证明：∵AD是BC边的中线，F是AD的中点，∴点D是BC的中点，DF＝AF．如图，过E作DG∥AC交BE于点G．∵DG∥AC，且AD是BC边的中线．∴DG是△BEC的中位线，△DGF∽△AEF，∴DG＝EC，＝＝1∴DG＝AE，∴AE＝EC．即EC＝2AE．14．（1）证明：△ABC的边AC、AB上的中线BD、CE相交于点O，M、N分别是BO、CO的中点，∴ED∥BC且ED＝BC，MN∥BC且MN＝BC，∴ED∥MN且ED＝MN，∴四边形MNDE是平行四边形．（2）BC边上的中线过点O，理由如下：作BC边上的中线AF，交BD于M，连接DF，∵BD、AF是边AC、BC上的中线，∴DF∥BA，DF＝BA．∴△MDF∽△MBA，∴＝，即BD＝3DM，∵BO＝BD，∴O和M重合，即BC边上的中线一定过点O．15．证明：如图所示，取BO，CO的中点K，H，连接KH，HN，NG，KG，∵G，N分别是AB，AC的中点，∴GN平行且等于BC．又∵K，H分别是OB，OC边的中点，∴KH平行且等于BC．∴GN平行且等于KH．∴四边形KHNG是平行四边形．∴GO＝OH，NO＝KO．而BK＝KO，CH＝HO，∴BO＝2ON，CO＝2OG．若取AO的中点R，同理，可证AO＝2OM．∴AO＝2OM，BO＝2ON，CO＝2OG．16．解：（1）作EF⊥BD垂足为F，（2）①∵AD为△ABC的中线，∴S△ABD＝S△ABC，∵△ABC的面积为20，∴△ABD的面积为10；②∵BE为△ABD的中线，∴S△BDE＝S△ABD＝5，∵BD＝5，∴EF的长＝2；③∵EG∥BC，BE为△ABD的中线，∴EG是△ACD的中位线，∴DG是△ACD的中线，∴S△BDE＝S△CDG，S△BDE＝S△CDG＝S△ABD＝S△ABC＝，∴S△GDC＝，又∵S△COD＝n，∴S△GOC＝S△GDC﹣S△COD＝．17．证明：如图，连接BD，作BD的中点M，连接EM、FM．∵点E是AD的中点，∴在△ABD中，EM∥AB，EM＝AB，∴∠MEF＝∠P同理可证：FM∥CD，FM＝CD．∴∠MFQ＝∠CQF，又∵AB＝CD，∴EM＝FM，∴∠MEF＝∠MFE，∴∠P＝∠CQF．．。

浙教版数学八年级下册4.5《三角形的中位线》精选练习一、选择题1.△ABC中，D、E分别是AB、AC边上的中点，若BC=8，则DE等于（）A.5B.4C.3D.22.如图，在四边形ABCD 中，AB=CD，M，N，P分别AD，BC，BD的中点，若∠MPN=130°，则∠NMP=（）A.25°B.30°C.35°D.50°3.如图，△ABC的周长为19，点D，E在边BC上，∠ABC的平分线垂直于AE，垂足为N，∠ACB的平分线垂直于AD，垂足为M，若BC=7，则MN的长度为( )A.15 B．2 C.2.5 D．34.如图，在△ABC中，∠B=90°，AB=8，BC=6.若DE是△ABC的中位线，延长DE交△ABC的外角∠ACM的平分线于点F，则线段DF的长为（）A.7B.8C.9D.105.如图，点A，B为定点，定直线l∥AB，P是l上一动点，点M，N分别为PA，PB的中点.对下列各值：①线段MN的长；②△PAB的周长；③△PMN的面积；④直线MN，AB之间的距离；⑤∠APB的大小.其中会随点P的移动而变化的是（）A.②③B.②⑤C.①③④D.④⑤6.如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，点E是AD的中点，过点E作垂线交BC于点F，已知BC=10，△ABD的面积为12，则EF的长为( )A．4.8 B．3.6 C．2.4 D．1.27.如图，已知四边形ABCD是平行四边形，对角线AC，BD相交于点O，E是BC的中点，以下说法错误的是( )A.2OE=DCB.OA=OCC.∠BOE=∠OBAD.∠OBE=∠OCE二、填空题8.如图，CD是△ABC的中线，点E、F分别是AC、DC的中点，EF=1，则BD= .9.已知三角形的三边长分别是4，5，6，则它的三条中位线围成的三角形的周长是________.10.如图，在△ABC中，D，E分别是边AB，AC的中点，若BC=6，则DE= ．11.如图，A、B两处被池塘隔开，为了测量A、B两处的距离，在AB外选一适当的点C，连接AC、BC，并分别取线段AC、BC的中点E、F，测得EF=22m，则AB=________m.12.如图，∠ACB=90°，D为AB中点，连接DC并延长到点E，使4CE=CD，过点B作BF∥DE交AE的延长线于点F，若BF=10，则AB的长为____.13.已知,在四边形ABCD中,AB=CD,E是BC的中点,G是AD的中点,EG交AC于点F，∠ACD=30°，∠CAB=70°,则∠AFG的度数是．14.如图，在△ABC中，AB=6cm，AC=10cm，AD平分∠BAC，BD⊥AD于点D，BD的延长线交AC于点F，E为BC的中点，则DE的长为 cm；15.如图，在四边形ABCD中，∠A=90°，AB=3，AD=3，点M，N分别在边AB，BC上，点E，F分别为MN，DN的中点，连接EF，则EF长度的最大值为．16.如图，△ABC中，D、E分别是BC、AC的中点，BF平分∠ABC，交DE于点F，若BC=6，则DF的长是17.如图,已知AB=12,AB⊥BC于B,AB⊥AD于A,AD=5,BC=10.点E是CD的中点,则AE长是．18.如图,△ABC 中,∠C=90°,AC=BC=2,取BC 边中点E,作ED ∥AB,EF ∥AC,得到四边形EDAF,它的面积记作S 1；取BE 中点E 1，作E 1D 1∥FB ，E 1F 1∥EF,得到四边形E 1D 1FF 1，它的面积记作S 2，照此规律作下去,则S 1= ，S 2017= ．三、解答题19.如图，在□ABCD 中，点O 是对角线AC ，BD 的交点，点E 是边CD 的中点，点F 在BC 的延长线上，且CF=12BC ，求证：四边形OCFE 是平行四边形.20.如图，在△ABC 中，AB=5，AC=3，AD ，AE 分别为△ABC 的中线和角平分线，过点C 作CH ⊥AE于点H ，并延长交AB 于点F ，连接DH ，求线段DH 的长.22.如图所示，在△ABC中，D是边BC的中点，点E在△ABC内，AE平分∠BAC，CE⊥AE，点F在边AB上，EF∥BC.(1)求证：四边形BDEF是平行四边形．(2)线段BF，AB，AC的数量之间具有怎样的关系？证明你所得到的结论．23.如图，△ABC中，AB=AC，E、F分别是BC、AC的中点，以AC为斜边作Rt△ADC．（1）求证：FE=FD；（2）若∠CAD=∠CAB=24°，求∠EDF的度数．参考答案1.答案为：C2.答案为：A3.C4.答案为：D.5.答案为：B.6.答案为：C7.答案为：D ；8.答案为：2.9.答案为：7.510.答案为：3．11.答案为：44.12.答案为：8；13.答案为50°．14.答案为：2；15.答案为：3．16.答案为：3.17.答案为：6.5．18.答案为：1；．19.证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴点O 是BD 的中点.又∵点E 是边CD 的中点，∴OE 是△BCD 的中位线.∴OE ∥BC ，且OE=12BC. 又∵CF=12BC ， ∴OE=CF.又∵点F 在BC 的延长线上，∴OE ∥CF.∴四边形OCFE 是平行四边形.20.解：∵AE 为△ABC 的角平分线，∴∠FAH=∠CAH.∵CH ⊥AE ，∴∠AHF=∠AHC=90°.在△AHF 和△AHC 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠FAH ＝∠CAH ，AH ＝AH ，∠AHF ＝∠AHC ，∴△AHF ≌△AHC(ASA).∵AC=3，AB=5，∴AF=AC=3，BF=AB －AF=5－3=2.∵AD 为△ABC 的中线，∴DH 是△BCF 的中位线.∴DH=12BF=1.21.解：(1)证明：延长CE 交AB 于点G ，∵AE ⊥CE ，∴∠AEG=∠AEC=90°.在△AGE 和△ACE 中，∵∠GAE=∠CAE,AE=AE,∠AEG=∠AEC∴△AGE ≌△ACE(ASA)．∴GE=EC.∵BD=CD ，∴DE 为△CGB 的中位线，∴DE ∥AB.∵EF ∥BC ，∴四边形BDEF 是平行四边形．(2)解：BF=0.5(AB －AC)．证明如下：∵四边形BDEF 是平行四边形，∴BF=DE.∵D ，E 分别是BC ，GC 的中点，∴BF=DE=0.5BG.∵△AGE ≌△ACE ，∴AG=AC ，∴BF=0.5(AB －AG)=0.5(AB －AC)．22.（1）证明：∵E 、F 分别是BC 、AC 的中点，∴FE=0.5AB ，∵F 是AC 的中点，∠ADC=90°，∴FD=0.5AC ，∵AB=AC ，∴FE=FD ；（2）解：∵E 、F 分别是BC 、AC 的中点，∴FE ∥AB ，∴∠EFC=∠BAC=24°，∵F 是AC 的中点，∠ADC=90°，∴FD=AF ．∴∠ADF=∠DAF=24°，∴∠DFC=48°，∴∠EFD=72°， ∵FE=FD ，∴∠FED=∠EDF=54°．。

八年级数学下册《三角形的中位线》练习题及答案(北师大版)班级姓名考号一选择题（共11小题）1. 如图在中BC=4 点D 分别为AB AC 的中点则A. B. C. D.2. 如图在中沿图中虚线截去则A. B. C. D.3. 我们把顺次连接四边形各边中点所得的四边形叫做中点四边形．若一个任意四边形的面积为则它的中点四边形面积为A. B. C. D.4. 如图在中边的垂直平分线分别交AB BC 于点D E 边的垂直平分线分别交于点．若BC=4 则的周长为A. B. C. D.5. 如图在中的面积为垂直平分交于点交于点E DE=3 则的周长为A. B. C. D.6. 为估计池塘两岸间的距离杨阳在池塘一侧选取了一点测得PA=16m PB=12m那么间的距离不可能是A. B. C. D.7. 如图在中点分别是的中点∠B=50°∠AED=60°则的度数为A. B. C. D.8. 如图在边长为的正方形中为边的中点延长至点使以为边作正方形点在边上则的长为A. B. C. D.9. 已知点 D E F 分别为各边的中点若的周长为则的周长为A. B. C. D.10. 如图在中点分别为的中点是上一点连接和．若DF=1 AC=6 则的长度为A. B. C. D.11. 若a b c 是三角形的三边则代数式的值是A. 正数B. 负数C. 等于零D. 不能确定二填空题（共6小题）12. 已知是的中位线则和的面积之比是．13. 如图两点被池塘隔开在外选一点连接和并分别找出它们的中点和．如果测得则两点间的距离为14. 顺次连接四边形各边中点所得的四边形是顺次连接菱形各边中点所得的四边形是顺次连接矩形各边中点所得的四边形是顺次连接等腰梯形各边中点所得的四边形是．15. 六边形的外角和等于度．16. 连接三角形各边中点得到的三角形它的周长为原三角形周长的面积为原三角形面积的．17. 如图是内一点AD=6 BD=4 CD=3 E F G H 分别是AB BD CD AC 的中点则四边形的周长为．三解答题（共5小题）18. 如图在中BD CE 分别是边上的中线与交于点OM N 分别是的中点连接DN．求证（1）（2）19. 如图所示在中（1）画出边上的高和中线．（2）若∠B=30度求和的度数．20. 请回答下列问题（1）三角形的中位线的定义连接三角形两边叫做三角形的中位线（2）三角形的中位线定理三角形的中位线第三边并且等于．21. 如图在菱形中AB=2 ∠ABC=60°对角线相交于点将对角线所在的直线绕点顺时针旋转角后得直线直线与两边分别相交于点和点．（1）求证（2）当时求线段的长度．22. 【测试】如图四边形中点分别为边的中点．若四边形的面积为24 AC+BD=14 求的长．参考答案一1. D2. B3. A4. D5. D6. D7. C【解析】点分别是的中点是的中位线故选C．8. D【解析】由题意知9. D【解析】D E F 分别为各边的中点DE DF EF 都是的中位线故D正确．故选D．10. D11. B【解析】二12. 略13. 3014. 略略略略15. 36016. 略略17. 11三18. （1）略（2）略19. （1）如图（2）20. （1）中点的线段（2）平行于三角形的第三边的一半21. （1）四边形是菱形在和中（）（2）是等边三角形此时当时在中由（1）22. 如图取边的中点连接四边形面积为24又F分别为的中点是的中位线是的中位线又AC=8FG=3在直角中由用勾股定理得即的长度是．。

9.5 三角形的中位线同步培优讲练综合三角形的中位线1．连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线.2．定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半.顺次连接特殊的平行四边形各边中点得到的四边形的形状（1）顺次连接平行四边形各边中点得到的四边形是平行四边形.（2）顺次连接矩形各边中点得到的四边形是菱形.（3）顺次连接菱形各边中点得到的四边形是矩形.（4）顺次连接正方形各边中点得到的四边形是正方形.一、三角形中位线有关的求解问题【例1】如图，为测量位于一水塘旁的两点A，B间的距离，在地面上确定点O，分别取OA，OB的中点C，D，量得10=，则A，B之间的距离是()CD mA.5m B．10mC．20m D．40m【例2】如图，在ABC∆中，点D、E分别是边AB、AC的中点，连接DE，ABC∠的平分线BF交DE于点F，若4AB=，6BC=，则EF的长为．【例3】如图，在四边形ABCD 中，点P 是对角线BD 的中点，点E 、F 分别是AB 、CD 的中点，AD BC =，30PEF ∠=︒，则EPF ∠的度数是 ．【例4】在ABC 中，120AB AC BAC =∠=︒，，D 为ABC 形内一点，以AD 为腰作等腰DAE ，使DAE BAC ∠=∠，连接BE CD 、，若M N 、分别是DE BC 、的中点，1MN =，则CD 的长为_______．【例5】有一块梯形形状的土地，现要平均分给两个农户种植（即将梯形面积两等分），试设计两种方案，并说明理由．（平分图案画在备用图上，保留作图痕迹）【例6】如图，在ABC ∆中，点D ，E ，F 分别是边AB ，BC ，CA 上的中点，且10AB cm =，16AC cm =，则四边形ADEF 的周长等于 cm ．【例7】如图，四边形ABCD 中，1AB =，4CD =，M 、N 分别是AD 、BC 的中点，则线段MN 的取值范围是( )A ．35MN <<B ．35MN <C ．3522MN <<D ．3522MN <【例8】如图，Rt ABC △中，90BAC ∠=︒，6AB =，10BC =，AD 、AE 分别是其角平分线和中线，过点B 作BG AD ⊥于G ，交AC 于F ，连接EG ，则线段EG 的长为（ ）A ．12 B ．1 C ．32 D ．2二、三角形中位线相关的面积问题【例1】如图，在ABC ∆中，D 、E 、F 分别是BC 、AC 、AD 的中点，若ABC ∆的面积是40，则四边形BDEF 的面积是( )A ．10B ．12.5C ．15D ．20【例2】E 、F 是线段AB 上的两点，且16AB =，2AE =，4BF =，点G 是线段EF 上的一动点，分别以AG 、BG 为斜边在AB 同侧作两个等腰直角三角形，直角顶点分别为D 、C ，如图所示，连接CD 并取中点P ，连接PG ，点G 从E 点出发运动到F 点，则线段PG 扫过的图形面积为______．【例3】如图，在ABC 中，D ，E ，F 分别是BC AD CE ，，的中点，22cm BCF S =，则ABC S =_____2cm【例4】如图，ABC 三边的中线AD ，BE ，CF 的公共点为G ，且:2:1AG GD =，若12ABC S =△，则图中阴影部分的面积是_____．【例5】如图，在Rt ABC △中，90BAC ∠=︒，,E F 分别是,BC AB 的中点，延长CA 到点D ，使得2AC AD =，连接,,,,DE DF AE EF AF 与DE 交于点O ．5,13AB BC ==，求四边形AEFD 的面积．三、与三角形中位线有关的应用和证明【例1】在ABC ∆中，点M 是边BC 的中点，AD 平分BAC ∠，BD AD ⊥，BD 的延长线交AC 于点E ，12AB =，20AC =．（1）求证：BD DE =；（2）求DM 的长．【例2】如图，ABC ∆中，AH BC ⊥于点H ，点D ，E 分别是AB ，AC 的中点，连接DH ，EH ，DE ．（1）求证：AD DH =；（2）若四边形ADHE 的周长是30，ADE ∆的周长是21，求BC 的长．【例3】如图，在四边形ABCD 中，P 是对角线BD 的中点，E 、F 分别是AB 、CD 的中点，AD BC =，20PEF ∠=︒，求PFE ∠的度数．【例4】在Rt ABC 中，90BAC ∠=︒，E 、F 分别是BC 、AC 的中点，延长BA 到点D ，使2AB AD =，连接DE 、DF 、AE 、EF ，AF 与DE 交于点O ．(1)试说明AF 与DE 互相平分；(2)若8AB =，12BC =，求DO 的长．四、梯形中位线【例1】已知一个梯形的中位线长为5cm ，其中一条底边的长为6cm ，那么该梯形的另一条底边的长是 cm ．【例2】如图，已知直角梯形ABCD 的一条对角线把梯形分为一个直角三角形和一个边长为8cm 的等边三角形，则梯形ABCD 的中位线长为( )A. 4cm B ．6cmC ．8cmD ．10cm【例3】如图，梯形ABCD 的两底长为6AD =，10BC =，中位线为EF ，且90B ∠=︒，若P 为AB 上的一点，且PE 将梯形ABCD 分成面积相同的两区域，则EFP ∆与梯形ABCD 的面积比为 ．五、中点四边形【例1】顺次连接四边形四条边的中点，所得的四边形是菱形，则原四边形一定是( )A ．平行四边形B ．对角线相等的四边形C ．矩形D ．对角线互相垂直的四边【例2】若顺次连接四边形ABCD 各边的中点所得到的四边形是矩形，则原四边形必定是（ ）A ．正方形B ．对角线相等的四边形C ．菱形D ．对角线互相垂直的四边形【例3】依次连接下列四边形四条边的中点得到四边形不是菱形的是（ ）A ．矩形B ．菱形C ．正方形D ．等腰梯形【例4】如图，四边形ABCD 中，AC a =，BD b =．且AC BD ⊥，顺次连接四边形ABCD 各边中点，得到四边形1111D C B A ，再顺次连接四边形1111D C B A 各边中点，得到四边形2222,A B C D ⋅⋅⋅，如此进行下去，得到四边形n n n n A B C D ．下列结论正确的是（ ）①四边形2222A B C D 是矩形；②四边形4444A B C D 是菱形；③四边形5555A B C D 的周长是4a b+，④四边形n n n n A B C D 的面积是12n ab+．A ．①②③B ．②③④C ．①②D ．②③1、如图，在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，5AC =，12BC =．若D ，E 分别为边AC ，BC 的中点，则DE 的长为( )A ．5B ．5.5C ．6D ．6.52、如图是屋架设计图的一部分，其中30A ∠=︒，点D 是斜梁AB 的中点，BC 、DE 垂直于横梁AC ，16AB m =，则DE 的长为( )A. 8mB ．4mC ．2mD ．6m3、如图，点D 、E 、F 分别是AC 、BC 、AB 中点，且BD 是ABC ∆的角平分线．求证：BE AF =．4．如图，平行四边形ABCD 中，对角线AC ，BD 相交于O ，2BD AD =，E ， F ， G 分别是OC ， OD ，AB 的中点，下列结论中：①BE AC ⊥；②四边形BEFG 是平行四边形；③EG GF =；④EA 平分GEF ∠，正确的是（ ）A ．①②B ．①②④C ．①②③D ．②③④5．如图，四边形ABCD 中，对角线AC BD ⊥，且8AC =，4BD =，各边中点分别为1A ，1B ，1C ，1D ，顺次连接得到四边形1111D C B A ；再取各边中点2A ，2B ，2C ，2D ，顺次连接得到四边形2222A B C D ；依此类推，这样得到四边形n n n n A B C D ，则四边形n n n n A B C D 的面积为____．6．已知一个对角线长分别为12cm 和16cm 的菱形，顺次连接它的四边中点得到的四边形的面积是______．7．如图，在ABC 和ABD △中，90ACB ADB ∠=∠=︒，E 、F 、G 分别为AB 、AC 、BC 的中点，若1DE =，则FG =________．8、如图，在ABC ∆中，90ACB ∠=︒，M 、N 分别是AB 、AC 的中点，延长BC 至点D ，使13CD BD =．连接DM 、DN 、MN ．若6AB =，求DN 的长．9．如图，在四边形ABCD 中，E ，F 分别是AD BC ，的中点．(1)若102430120AB CD ABD BDC ==∠=︒∠=︒，，，，求EF 的长．(2)若90BDC ABD ∠-∠=︒，求证：2224AB CD EF +=．10．已知：如图，四边形ABCD 四条边上的中点分别为E 、F 、G 、H ，顺次连接EF 、FG 、GH 、HE ，得到四边形(EFGH 即四边形ABCD 的中点四边形)．(1)四边形EFGH 的形状是______，请证明你的结论；(2)当四边形ABCD 的对角线满足______条件时，四边形EFGH 是菱形；(3)你学过的哪种特殊的平行四边形的中点四边形是菱形？请写出一种．11．定义：既相等又垂直的两条线段称为“等垂线段”，如图1，在Rt ABC △中，90A ∠=︒，AB AC =，点D 、E 分别在边AB 、AC 上，AD AE =，连接DE 、DC ，点M 、P 、N 分别为DE 、DC 、BC 的中点，且连接PM 、PN ．(1)观察猜想线段PM 与PN ______填（“是”或“不是”）“等垂线段”．(2)ADE 绕点A 按逆时针方向旋转到图2所示的位置，连接BD ，CE ，试判断PM 与PN 是否为“等垂线段”，并说明理由．(3)拓展延伸把ADE 绕点A 在平面内自由旋转，若2DE =，4BC =，请直接写出PM 与PN 的积的最大值．9.5 三角形的中位线同步培优讲练综合三角形的中位线1．连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线.2．定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半.顺次连接特殊的平行四边形各边中点得到的四边形的形状（1）顺次连接平行四边形各边中点得到的四边形是平行四边形.（2）顺次连接矩形各边中点得到的四边形是菱形.（3）顺次连接菱形各边中点得到的四边形是矩形.（4）顺次连接正方形各边中点得到的四边形是正方形.一、三角形中位线有关的求解问题【例1】如图，为测量位于一水塘旁的两点A，B间的距离，在地面上确定点O，分别取OA，OB的中点CD m，则A，B之间的距离是()C，D，量得10B.5m B．10mC．20m D．40m【答案】C【解析】解：点C，D分别是OA，OB的中点，220()AB CD m ∴==，故选：C ．【例2】如图，在ABC ∆中，点D 、E 分别是边AB 、AC 的中点，连接DE ，ABC ∠的平分线BF 交DE 于点F ，若4AB =，6BC =，则EF 的长为 ．【答案】1【解析】解：连接AF 并延长交BC 于H ，点D 、E 分别为边AB 、AC 的中点，//DE BC ∴，132DE BC ==，FH =， 在BFA ∆和BFH ∆中，ABF HBF AFB HFB FA FH ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()BFA BFH AAS ∴∆≅∆，4BH AB ∴==，AD DB =，AF FH =，122DF BH ∴==， 1EF DE DF ∴=-=，故答案为：1．【例3】如图，在四边形ABCD 中，点P 是对角线BD 的中点，点E 、F 分别是AB 、CD 的中点，AD BC =，30PEF ∠=︒，则EPF ∠的度数是 ．【答案】120【解析】 解：点P 是对角线BD 的中点，点E 、F 分别是AB 、CD 的中点，12PF BC ∴=，12PE AD =，又AD BC =， PE PF ∴=，30PFE PEF ∴∠=∠=︒，120EPF ∴∠=︒，故答案为：120︒．【例4】在ABC 中，120AB AC BAC =∠=︒，，D 为ABC 形内一点，以AD 为腰作等腰DAE ，使DAE BAC ∠=∠，连接BE CD 、，若M N 、分别是DE BC 、的中点，1MN =，则CD 的长为_______．【答案】2【解析】解：如图，连接BD ，取BD 的中点F ，连接FM FN ，，∵BAC EAD ∠=∠，BAC EAD ∠=∠， ∴BAC BAD EAD BAD ∠-∠=∠-∠，即BAE CAD ∠=∠，在AEB △和ADC △中，AE AD BAE CADAB AC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴AEB ADC SAS ≌（），∴BE CD =，∵M 是ED 的中点，F 是BD 的中点，∴FM 是BED 的中位线， ∴12FM BE =，FM BE ∥，∴DFM EBD ∠=∠， 同理得，1 2FN CD =，FN CD ，FM FN FNB DCB ∴=∠=∠，，∵DFN DBC FNB DBC DCB ∠=∠+∠=∠+∠，∴18012060MFN DFM DFN EBD DBC DCB ∠=∠+∠=∠+∠+∠=︒-︒=︒，∴FMN 是等边三角形，∴1MN FN ==，∴2CD =．故答案为：2．【例5】有一块梯形形状的土地，现要平均分给两个农户种植（即将梯形面积两等分），试设计两种方案，并说明理由．（平分图案画在备用图上，保留作图痕迹）【答案】见解析【解析】解：设梯形上、下底分别为a 、b ，高为h ．方案一：如图1，连接梯形上、下底的中点E 、F ，则()4ABFE EFCD a b h S S +==四边形四边形；方案二：如图2，连接AC ，取AC 的中点E ，连接BE ED 、，则图中的四边形ABED 的面积=梯形ABCD 的面积的一半，∵AE EC =，∴ABE BEC S S =，AED ECD S S =， ∴ABE AED BEC ECD S S S S +=+，∴四边形ABED 的面积=梯形ABCD 的面积的一半．方案三：如图3，分别量出梯形上、下底a 、b 的长，在下底BC 上截取2a b BE +=，连接AE ， ∴()1•24ABE a b h S BE h +==，()()()244ABE AECD ABCD a b h a b h a b h S S S +++=-=-=四边形梯形，则()4ABE AECD a b h S S +==四边形．【例6】如图，在ABC ∆中，点D ，E ，F 分别是边AB ，BC ，CA 上的中点，且10AB cm =，16AC cm =，则四边形ADEF 的周长等于 cm ．【答案】26【解析】解：点D ，E ，F 分别是边AB ，BC ，CA 上的中点，DE ∴，EF 都是ABC ∆的中位线，182DE AC cm ∴==，//DE AC ，152EF AB cm ==，//EF AB ， ∴四边形ADEF 是平行四边形，∴四边形ADEF 的周长2()21326()DE EF cm =+=⨯=．故答案为：26．【例7】如图，四边形ABCD 中，1AB =，4CD =，M 、N 分别是AD 、BC 的中点，则线段MN 的取值范围是( )A ．35MN <<B ．35MN <C ．3522MN <<D ．3522MN < 【答案】D【解析】解：连接AC ，取AC 的中点H ，连接MH 、NH ，M 、H 分别是AD 、AC 的中点，122MH CD ∴==， 同理可得，1122NH AB ==， 在MHN ∆中，MH NH MN MH NH -<<+，即3522MN <<， 当H 在MN 上时，52MN MH NH =+=，∴3522MN <， 故选：D ．【例8】如图，Rt ABC △中，90BAC ∠=︒，6AB =，10BC =，AD 、AE 分别是其角平分线和中线，过点B 作BG AD ⊥于G ，交AC 于F ，连接EG ，则线段EG 的长为（ ）A ．12 B ．1 C ．32 D ．2【答案】B【解析】解：Rt ABC △中，6AB =，10BC =，∴8AC ==，∵BG AD ⊥，∴AGB AGF ∠=∠．∵AD 平分BAC ∠，∴BAG FAG ∠=∠， 在AGB 和AGF 中BAG FAG AG AGAGB AGF ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴AGB AGF ≌∴6,AB AF BG FG ===，∴2CF =，∵AE 是ABC 的中线，∴BE CE =，∴EG 是BCF △的中位线，∴112EG CF ==，故选：B ．二、三角形中位线相关的面积问题【例1】如图，在ABC ∆中，D 、E 、F 分别是BC 、AC 、AD 的中点，若ABC ∆的面积是40，则四边形BDEF 的面积是( )A ．10B ．12.5C ．15D ．20 【答案】C【解析】解：D 、E 、F 分别是BC 、AC 、AD 的中点，12ADE ADC S S ∆∆∴=，12ADC ABC S S ∆∆=，12DEF ADE S S ∆∆=， 1140588DEF ABC S S ∆∆∴==⨯=， D 、E 、F 分别是BC 、AC 、AD 的中点，11402022ABD ABC S S ∆∆∴==⨯=， 11201022BDF ADB S S ∆∆∴==⨯=， ∴四边形BDEF 的面积15BDF DEF S S ∆∆=+=，故选：C ．【例2】E 、F 是线段AB 上的两点，且16AB =，2AE =，4BF =，点G 是线段EF 上的一动点，分别以AG 、BG 为斜边在AB 同侧作两个等腰直角三角形，直角顶点分别为D 、C ，如图所示，连接CD 并取中点P ，连接PG ，点G 从E 点出发运动到F 点，则线段PG 扫过的图形面积为______．【答案】30【解析】解：分别延长AD 、BC 相交于点H ，连接PH ，EH ，FH ，∵ADG △、GCB △为等腰直角三角形，∴45DGA CGB A B ∠=∠=∠=∠=︒，∴90DGC ∠=︒，∴AH GC ∥，又∵90HCG ∠=︒，∴90HCG DGC ∠=∠=︒，∴DG HB ∥，∴四边形DGCH 为矩形，∵点P 为DC 中点，∴点G 、P 、H 三点共线，且P 为HG 的中点，过P 作MN AB ∥分别交EH 、FH 与M 、N ，∴MN 为HEF 的中位线，且MN 即为点P 的运动轨迹， ∴GP 扫过的图形即为梯形MEFN ，∵16AB =，2AE =，4BF =，∴162410EF =--=， ∴152MN EF ==，过点H 作HO 垂直AB 于O ，∵45A B ∠=∠=︒，∴AH BH =，180454590AHB ∠=︒-︒-︒=︒， ∴182HO AO BO AB ====，∵MN 为HEF 的中位线， ∴118422PO HO ==⨯=，即梯形的高为4， ∴()14105302MEFN S =⨯⨯+=梯形，即线段PG 扫过的图形面积为30．故答案为：30．【例3】如图，在ABC 中，D ，E ，F 分别是BC AD CE ，，的中点，22cm BCF S =，则ABC S =_____2cm【答案】8【解析】解：如图，连接BE ，∵E 是AD 的中点， ∴12ABE ABD S S =△△，12ACE ACD S S =， ∴()11112222ABE ACE ABD ACD ABD ACD ABC S S S S S S S +++===， ∴12CBE ABC S S =，∵F 是CE 的中点， ∴1124FBC EBC ABC S S S ==， 而22cm BCF S =， ∴28cm ABC S =． 故答案为：8．【例4】如图，ABC 三边的中线AD ，BE ，CF 的公共点为G ，且:2:1AG GD =，若12ABC S =△，则图中阴影部分的面积是_____．【答案】4【解析】解：∵ABC 的三条中线AD ，BE ，CF 交于点G ，:2:1AG GD =，∴AE CE =， ∴13CGE AGE ACF S S S ==△△△，13BGF BGD BCF S S S ==，∵1112622ACF BCF ABC S S S ===⨯=△△△，∴231316CGE ACF S S ==⨯=，231316BGF BCF S S ==⨯=， ∴4CGE BGF S S S +==阴影．故答案为：4．【例5】如图，在Rt ABC △中，90BAC ∠=︒，,E F 分别是,BC AB 的中点，延长CA 到点D ，使得2AC AD =，连接,,,,DE DF AE EF AF 与DE 交于点O ．5,13AB BC ==，求四边形AEFD 的面积．【答案】15【解析】解：∵,E F 分别是,BC AB 的中点，∴EF 是ABC 的中位线，∴EF AC ∥，2AC EF =，∵2AC AD =，∴AD EF =，又∵AD EF ∥，∴四边形ADFE 是平行四边形，在Rt ABC △中，90BAC ∠=︒，5,13AB BC ==，∴12AC =，162EF AC AD ===， ∴1522AF AB ==， ∴56152ADFE S AD AF ==⨯=⨯平行四边形．与三角形中位线有关的应用和证明【例1】在ABC ∆中，点M 是边BC 的中点，AD 平分BAC ∠，BD AD ⊥，BD 的延长线交AC 于点E ，12AB =，20AC =．（1）求证：BD DE =；（2）求DM 的长．【答案】见解析【解析】（1）证明：AD 平分BAC ∠，BAD DAE ∴∠=∠．AD BD ⊥，90ADB ADE ∴∠=∠=︒．在ADB ∆与ADE ∆中，BAD EAD AD ADADB ADE ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩ADB ADE ∴∆≅∆，BD DE ∴=．（2）ADB ADE ∆≅∆，12AE AB ∴==，8EC AC AE ∴=-=． M 是BC 的中点，BD DE =，142DM EC ∴==． 【例2】如图，ABC ∆中，AH BC ⊥于点H ，点D ，E 分别是AB ，AC 的中点，连接DH ，EH ，DE ．（1）求证：AD DH =；（2）若四边形ADHE 的周长是30，ADE ∆的周长是21，求BC 的长．【答案】见解析【解析】解：（1）AH BC ⊥，90AHB ∴∠=︒，点D 是AB 的中点，12AD DH AB ∴==； （2）AH BC ⊥，90AHB AHC ∴∠=∠=︒，点D ，E 分别是AB ，AC 的中点，12AD DH AB ∴==，12AE HE AC ==， 四边形ADHE 的周长是30，130152AD AE ∴+=⨯=， ADE ∆的周长是21，21156DE ∴=-=，点D ，E 分别是AB ，AC 的中点，DE ∴是ABC ∆的中位线，212BC DE ∴==．【例3】如图，在四边形ABCD 中，P 是对角线BD 的中点，E 、F 分别是AB 、CD 的中点，AD BC =，20PEF ∠=︒，求PFE ∠的度数．【答案】20【解析】解：P 是BD 的中点，E 是AB 的中点，PE ∴是ABD ∆的中位线，12PE AD ∴=， 同理，12PF BC =， AD BC =，PE PF ∴=，20PFE PEF ∴∠=∠=︒．【例4】在Rt ABC 中，90BAC ∠=︒，E 、F 分别是BC 、AC 的中点，延长BA 到点D ，使2AB AD =，连接DE 、DF 、AE 、EF ，AF 与DE 交于点O ．(1)试说明AF 与DE 互相平分；(2)若8AB =，12BC =，求DO 的长．【答案】(1)见解析 【解析】（1）∵E 、F 分别是BC 、AC 的中点，∴EF 是ABC 的中位线，∴EF AB ∥且12EF AB =．又2AB AD =，即12AD AB =， ∴AD EF ，AD EF =，∴四边形AEFD 是平行四边形，∴AF 与DE 互相平分；（2）∵在Rt ABC 中，90BAC ∠=︒，8AB =，12BC =，∴由勾股定理得AC又由（1）知，OA OF =，且AF CF =，∴14OA AC =∴在AOD △中，90DAO ∠=︒，142AD AB ==，OA∴由勾股定理得 DO ==三、梯形中位线【例1】已知一个梯形的中位线长为5cm ，其中一条底边的长为6cm ，那么该梯形的另一条底边的长是 cm ．【答案】4【解析】解：设梯形的另一条底边为xcm ，由题意得：625x +=⨯，解得4x =．即梯形的另一条底边的长为4cm ．故答案为：4．【例2】如图，已知直角梯形ABCD 的一条对角线把梯形分为一个直角三角形和一个边长为8cm 的等边三角形，则梯形ABCD 的中位线长为( )B. 4cmB ．6cmC ．8cmD ．10cm【答案】B【解析】解：DBC ∆是等边三角形，8DB DC BC cm ∴===，60DBC ∠=︒，90ABC ∠=︒，30ABD ∴∠=︒，90A ∠=︒，142AD BD cm ∴==，∴梯形ABCD 的中位线是11()(48)622AD BC cm cm cm +=⨯+=， 故选：B ．【例3】如图，梯形ABCD 的两底长为6AD =，10BC =，中位线为EF ，且90B ∠=︒，若P 为AB 上的一点，且PE 将梯形ABCD 分成面积相同的两区域，则EFP ∆与梯形ABCD 的面积比为 ．【答案】1：16【解析】 解：梯形ABCD 的两底长为6AD =，10BC =，11()(610)822EF AD BC ∴=+=⨯+=，()()11610822ABCD S AD BC AB AB AB ∴=+⨯=⨯+⨯=梯形．()()1117682242AFED S AD EF AB AB AB =+⨯=+⨯=梯形，1714222EFP ABCD AFED S S S AB AB AB ∆∴=-=-=梯形梯形，1::81:162EFP ABCD S S ∆∴==梯形．故答案为：1:16．四、中点四边形【例1】顺次连接四边形四条边的中点，所得的四边形是菱形，则原四边形一定是() A ．平行四边形 B ．对角线相等的四边形C ．矩形D ．对角线互相垂直的四边【答案】B【解析】 解：四边形EFGH 是菱形，1122EH FG EF HG BD AC ∴=====，故AC BD =．故选：B ．【例2】若顺次连接四边形ABCD 各边的中点所得到的四边形是矩形，则原四边形必定是（）A ．正方形B ．对角线相等的四边形C ．菱形D ．对角线互相垂直的四边形【答案】D【解析】 解：如图， 四边形EFGH 是矩形90FEH ∴∠=︒点E 、F 的分别是AD 、AB 的中点EF ∴是ABD ∆的中位线EF BD ∴∥90FEH OMH ∴∠=∠=︒点E 、H 的分别是AD 、CD 的中点EH ∴是ACD ∆的中位线EH AC ∴90OMH COB ∴∠=∠=︒AC BD ∴⊥．故选：D【例3】依次连接下列四边形四条边的中点得到四边形不是菱形的是（ ）A ．矩形B ．菱形C ．正方形D ．等腰梯形【答案】B【解析】解：如图所示，依次连接四边形四条边的中点，∵矩形ABCD ，∴AB CD ，AD BC ∥，AB CD =，AD BC =，且点E ，F ，G ，H 分别为四边的中点，∴AEF BGF CGH DEH △≌△≌△≌△， ∴EF GF GH EH ===，∴EFGH 是菱形；∴A 选项不符合题意；如上图所示，由A 选项结论得菱形EFGH ，点O ，P ，Q ，R 分别为四边的中点，∴EO OF FP PG QG QH HR ER =======，且菱形的对角相等，∴(SAS)EOR GPQ △≌△，(SAS)OFP HQR △≌△，∴OR PQ =，OP QR =，∴四边形OPRQ 是平行四边形，不一定是菱形；∴B 选项符合题意；如下图所示，正方形ABCD ，点E ，F ，G ，H 分别为四边的中点，∴AE AF FB BG GC CH HD DE =======，且90A B C D ∠=∠=∠=∠=︒，∴AEF BGF CGH DEH △≌△≌△≌△， ∴EF GF GH EH ===，∴EFGH 是菱形；∴C 选项不符合题意；如下图所示，等腰梯形ABCD ，点E ，F ，G ，H 分别为四边的中点，∴AE DE =，AF DH =，A D ∠=∠，∴(SAS)AEF DEH △≌△，∴EF EH =，同理可得，FG GH =，连接AC ，在ACD ，ACB △中，点E ，F ，G ，H 分别为四边的中点，根据三角形的中位线的性质可知，FG AC ，12FG AC =，EH AC ，12EH AC =，∴FG EH =，FG EH ∥，∴四边形EFGH 是平行四边形，又∵EF EH =，FG GH =，∴EFGH 是菱形；∴D 选项不符合题意．故选：B ．【例4】如图，四边形ABCD 中，AC a =，BD b =．且AC BD ⊥，顺次连接四边形ABCD 各边中点，得到四边形1111D C B A ，再顺次连接四边形1111D C B A 各边中点，得到四边形2222,A B C D ⋅⋅⋅，如此进行下去，得到四边形n n n n A B C D ．下列结论正确的是（ ）①四边形2222A B C D 是矩形；②四边形4444A B C D 是菱形；③四边形5555A B C D 的周长是4a b+，④四边形n n n n A B C D 的面积是12n ab+．A ．①②③B ．②③④C ．①②D ．②③【答案】B【解析】解：①连接A 1C 1，B 1D 1．∵在四边形ABCD 中，顺次连接四边形ABCD 各边中点，得到四边形A 1B 1C 1D 1，∴A 1D 1∥BD ，B 1C 1∥BD ，C 1D 1∥AC ，A 1B 1∥AC ；∴A 1D 1∥B 1C 1，A 1B 1∥C 1D 1，∴四边形A 1B 1C 1D 1是平行四边形；∵AC ⊥BD ，∴四边形A 1B 1C 1D 1是矩形，∴B 1D 1=A 1C 1（矩形的两条对角线相等）；∴A 2D 2=C 2D 2=C 2B 2=B 2A 2（中位线定理），∴四边形A 2B 2C 2D 2是菱形；故①错误；②由①知，四边形A2B2C2D2是菱形；∴根据中位线定理知，四边形A4B4C4D4是菱形；故②正确；③根据中位线的性质易知，A 5B 5=12A 3B 3=1122⨯A 1B 1=111222⨯⨯AC ， B 5C 5=12B 3C 3=1122⨯B 1C 1=111222⨯⨯BD ， ∴四边形A 5B 5C 5D 5的周长是()1284a b a b +⨯+=故③正确；④∵四边形ABCD 中，AC=a ，BD=b ，且AC ⊥BD ，∴S 四边形ABCD=12ab ； 由三角形的中位线的性质可以推知，每得到一次四边形，它的面积变为原来的一半，四边形AnBnCnDn 的面积是12n ab+故④正确；综上所述，②③④正确．故选：B ．1、如图，在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，5AC =，12BC =．若D ，E 分别为边AC ，BC 的中点，则DE 的长为( )A ．5B ．5.5C ．6D ．6.5【答案】D【解析】解：90C ∠=︒，5AC =，12BC =，13AB ∴=，AD DC =，CE EB =，1 6.52DE AB ∴==， 故选：D ．2、如图是屋架设计图的一部分，其中30A ∠=︒，点D 是斜梁AB 的中点，BC 、DE 垂直于横梁AC ，16AB m =，则DE 的长为( )B. 8mB ．4mC ．2mD ．6m 【答案】B【解答】解：30A ∠=︒，16AB m =，1116822BC AB m ∴==⨯=， BC 、DE 垂直于横梁AC ，//BC DE ∴，点D 是斜梁AB 的中点，118422DE BC m ∴==⨯=． 故选：B ．3、如图，点D 、E 、F 分别是AC 、BC 、AB 中点，且BD 是ABC ∆的角平分线．求证：BE AF =．【答案】见解析【解析】【解答】证明：连接DE ，点D 、E 、F 分别是AC 、BC 、AB 中点．//DE AB ∴，//EF AC ，∴四边形ADEF 是平行四边形，AF DE ∴=， BD 是ABC ∆的角平分线，ABD DBE ∴∠=∠，DBE BDE ∴∠=∠，BE DE ∴=，BE AF ∴=．4．如图，平行四边形ABCD 中，对角线AC ，BD 相交于O ，2BD AD =，E ， F ， G 分别是OC ，OD ，AB 的中点，下列结论中：①BE AC ⊥；②四边形BEFG 是平行四边形；③EG GF =；④EA 平分GEF ∠，正确的是（ ）A ．①②B ．①②④C ．①②③D ．②③④【答案】B【解析】解：如图，四边形ABCD 是平行四边形BO DO ∴==12BD ，AD BC =，AB CD =，又2BD AD =，OB BC OD DA ∴===，且点E 是OC 中点，BE AC ∴⊥，故①正确，E 、F 分别是OC 、OD 的中点，∴EF CD ∥，EF =12CD ，点G 是Rt ABE △斜边AB 上的中点，GE ∴=12AB AG BG ==EG EF AG BG ∴===，无法证明GE GF =，故③错误，BG EF =，BG EF CD ∥∥∴四边形BEFG 是平行四边形故②正确，EF CD AB ∥∥，BAC ACD AEF ∠∠∠∴==，AG GE =，GAE AEG ∠∠∴=，EF CD ∥AEF ACD ∴∠=∠,AB CD ∥，GAE ACD ∴∠=∠，AEG AEF ∠∠∴=，AE ∴平分GEF ∠，故④正确；故选：B ．5．如图，四边形ABCD 中，对角线AC BD ⊥，且8AC =，4BD =，各边中点分别为1A ，1B ，1C ，1D ，顺次连接得到四边形1111D C B A ；再取各边中点2A ，2B ，2C ，2D ，顺次连接得到四边形2222A B C D ；依此类推，这样得到四边形n n n n A B C D ，则四边形n n n n A B C D 的面积为____．【答案】162n【解析】∵四边形ABCD 中，对角线AC BD ⊥，且8AC =，4BD = ∴11841622=⨯⨯=⨯⨯=ABCD S AC BD∵中点四边形的面积是原四边形面积的一半 ∴11111162==⨯A B C D ABCD S S222221162==⨯A B C D ABCD S S 以此类推，1161622==⨯=n n n n A B C D ABCD n n S S6．已知一个对角线长分别为12cm 和16cm 的菱形，顺次连接它的四边中点得到的四边形的面积是______．【答案】48【解析】解：E 、F 、G 、H 分别为各边中点，EF GH AC ∴∥∥，2EF GH AC ==，12EH FG BD ==，EH FG BD ∥∥，DB AC ⊥， EF EH ∴⊥，∴四边形EFGH 是矩形， 16cm 2EH BD ==，18cm 2EF AC ==，∴矩形EFGH 的面积26848cm EH EF =⨯=⨯=，故答案为：248cm ．7．如图，在ABC 和ABD △中，90ACB ADB ∠=∠=︒，E 、F 、G 分别为AB 、AC 、BC 的中点，若1DE =，则FG =________．【答案】1【解析】解：Rt ABC 中，点E 是AB 的中点，1DE =，22AB DE ∴==，点F 、G 分别是AC 、BC 中点， ∴112FG AB ==，故答案为：18、如图，在ABC ∆中，90ACB ∠=︒，M 、N 分别是AB 、AC 的中点，延长BC 至点D ，使13CD BD =．连接DM 、DN 、MN ．若6AB =，求DN 的长．【答案】3【解析】解：连接CM ，90ACB ∠=︒，M 是AB 的中点，132CM AB ∴==， M 、N 分别是AB 、AC 的中点，12MN BC ∴=，//MN BC ， 13CD BD =，MN CD ∴=，又//MN BC ，∴四边形NDCM 是平行四边形，3DN CM ∴==．9．如图，在四边形ABCD 中，E ，F 分别是AD BC ，的中点．(1)若102430120AB CD ABD BDC ==∠=︒∠=︒，，，，求EF 的长．(2)若90BDC ABD ∠-∠=︒，求证：2224AB CD EF +=．【答案】（1）13 （2）见解析【解析】（1）如图，取BD 的中点P ，连接EP FP 、，∵E ，F 分别是AD BC 、的中点，1024AB CD ==，，∴PE AB ∥，且152PE AB ==，PF CD ∥，且1122PF CD ==．又∵30120ABD BDC ∠=︒∠=︒，，∴3018060EPD ABD DPF BDC ∠=∠=︒∠=︒-∠=︒，，∴90EPF EPD DPF ∠=∠+∠=︒．在Rt EPF中，13EF ===．（2）证明：如图，取BD 的中点P ，连接EP FP 、．∵E ，F 分别是AD BC 、的中点，∴PE AB ，且12PE AB =，PF CD ∥，且12PF CD =．∴180EPD ABD DPF BDC ∠=∠∠=︒-∠，．∵90BDC ABD ∠-∠=︒，∴90∠=︒+∠BDC ABD ，∴180EPF EPD DPF ABD BDC ∠=∠+∠=∠+︒-∠180(90)90ABD ABD =∠+︒-︒+∠=︒， ∴222221122PE PF AB CD EF ⎛⎫⎛⎫+=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ∴2224AB CD EF +=．10．已知：如图，四边形ABCD 四条边上的中点分别为E 、F 、G 、H ，顺次连接EF 、FG 、GH 、HE ，得到四边形(EFGH 即四边形ABCD 的中点四边形)．(1)四边形EFGH 的形状是______，请证明你的结论；(2)当四边形ABCD 的对角线满足______条件时，四边形EFGH 是菱形；(3)你学过的哪种特殊的平行四边形的中点四边形是菱形？请写出一种．【答案】(1)平行四边形．证明见解析(2)AC BD =；(3)矩形的中点四边形是菱形．【解析】（1）四边形EFGH 的形状是平行四边形．理由如下：如图1，连接BD ．E 、H 分别是AB 、AD 中点，EH BD ∴∥，12EH BD =，同理FG BD ∥，12FG BD =，EH FG ∴∥，EH FG =，∴四边形EFGH 是平行四边形；故答案为：平行四边形；（2）当四边形ABCD 的对角线满足AC BD =的条件时，四边形EFGH 是菱形．理由如下： 如图2，连接AC 、BD ．E 、F 、G 、H 分别为四边形ABCD 四条边上的中点，EH BD ∴∥，HG AC ∥，1=2EH BD ，12HG AC =，AC BD =，EH HG ∴=， 又四边形EFGH 是平行四边形∴平行四边形EFGH 是菱形；故答案为：AC BD =；（3）矩形的中点四边形是菱形．理由如下：连接AC 、BD ．E 、F 、G 、H 分别为四边形ABCD 四条边上的中点，EH BD ∴∥，HG AC ∥，FG BD ∥，EF AC ∥，12FG EH BD ==，12EF HG AC ==，四边形ABCD 是矩形，AC BD ∴=，EH BD HG AC ===，∴四边形EFGH 是菱形．11．定义：既相等又垂直的两条线段称为“等垂线段”，如图1，在Rt ABC △中，90A ∠=︒，AB AC =，点D 、E 分别在边AB 、AC 上，AD AE =，连接DE 、DC ，点M 、P 、N 分别为DE 、DC 、BC 的中点，且连接PM 、PN ．(1)观察猜想线段PM 与PN ______填（“是”或“不是”）“等垂线段”．(2)ADE 绕点A 按逆时针方向旋转到图2所示的位置，连接BD ，CE ，试判断PM 与PN 是否为“等垂线段”，并说明理由．(3)拓展延伸把ADE 绕点A 在平面内自由旋转，若2DE =，4BC =，请直接写出PM 与PN 的积的最大值．【答案】】(1)是(2)是，答案见解析(3)92【解析】（1）解：线段PM 与PN 是“等垂线段”．理由如下：∴12MP EC =，12PN BD =，∵AB AC =，AD AE =，∴AB AD AC AE -=-，即BD CE =，∴MP PN =．∵点M 、P 、N 分别为DE 、DC 、BC 的中点，∴MP EC ∥，PN BD ∥，∵在Rt ABC △中，90A ∠=，AB AC =，∴45B ACB ∠=∠=︒，∴45ACD DCB ∠=︒-∠，180135BDC B DCB DCB ∠=︒-∠-∠=︒-∠，∵MP EC ∥，PN BD ∥，∴45MPD ACD DCB ∠=∠=︒-∠，()180********DPN BDC DCB DCB ∠=︒-∠=︒-︒-∠=︒+∠， ∴454590MPD DPN DCB DCB ∠+∠=︒-∠+︒+∠=︒，∴MP PN ⊥，即线段PM 与PN 是“等垂线段”，故答案为：是．（2）解：线段PM 与PN 是“等垂线段”，理由如下：∵ADE 绕点A 按逆时针方向旋转到图2所示的位置，∴AD AE =，=90DAE ∠︒，∵90BAC ∠=︒，∴BAC DAC DAE DAC ∠-∠=∠-∠，即BAD CAE ∠=∠，在ABD △与ACE △中，∵AB AC BAD CAE DA EA =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴()SAS ABD ACE △≌△， ∴BD CE =，∴12MP EC =，12PN BD =，∵BD CE =，∴MP PN =．∵点M 、P 、N 分别为DE 、DC 、BC 的中点，∴MP EC ∥，PN BD ∥，∵在Rt ABC △中，90BAC ∠=，AB AC =，∴45ABC ACB ∠=∠=︒，∴45ACD DCB ∠=︒-∠，45DBC ABD ∠=︒-∠，()180********BDC DBC DCB ABD DCB ABD DCB ∠=︒-∠-∠=︒-︒-∠-∠=︒+∠-∠ ∵MP EC ∥，PN BD ∥，∴MPD ECD ECA ACD ∠=∠=∠+∠，∵()SAS ABD ACE △≌△，∴ABD ACE ∠=∠，即MPD ECD ABD ACD ∠=∠=∠+∠()18018045DPN BDC ABD DCB ABD DCB ∠=︒-∠=︒-︒+∠-∠=︒-∠+∠， ∴45454590MPD DPN ABD ACD ABD DCB ∠+∠=∠+∠+︒-∠+∠=︒+︒=︒， ∴MP PN ⊥．∵MP PN =，MP PN ⊥．故线段PM 与PN 是“等垂线段”．（3）解：由（2）可知，MP PN =，MP PN ⊥， 故222MN PM PN PM ⨯==， 当MN 取最大值时，PM 与PN 的积有最大值．∵把ADE 绕点A 在平面内自由旋转，∴当N 、A 、M 三点共线，且点A 在NM 之间时，MN 取最大值．∴此时MN NA AM =+．∵在Rt ABC △中，90BAC ∠=，AB AC =，4BC =，N 为BC 的中点， ∴122NA BC ==， 同理可得，112MA DE ==， ∴MN 的最大值为3，PM 与PN 的积有最大值92．。

三角形中位线练习题初二三角形中位线是指连接三角形的一个顶点和对边中点所得到的线段。

在初二数学中，我们学习了关于三角形中位线的性质以及相关的练习题。

接下来，我们将通过几个练习题来加深对三角形中位线的理解。

练习题一:已知三角形ABC，D、E、F分别是BC、AC、AB的中点。

若DE=5cm，EF=8cm，FD=7cm，求三角形ABC的周长。

解析：首先，我们可以根据中位线的定义得出一个结论：三角形的三条中位线相互交于同一点，并且交点到各顶点的距离为中位线长度的二分之一。

根据这一结论，我们可以得出以下等式：DE = EF = FD = (BC + AC + AB) / 2代入已知条件，得到：5 + 8 + 7 = (BC + AC + AB) / 2解方程，得到：20 = BC + AC + AB即三角形ABC的周长为20cm。

练习题二：已知三角形ABC的边长分别为AB = 10cm，BC = 12cm，AC = 8cm，求三角形DEF的周长，其中D、E、F分别是BC、AC、AB的中点。

解析：根据练习题一的结论，我们知道三角形DEF的周长等于三角形ABC的周长的一半。

所以，三角形DEF的周长为10 + 12 + 8 = 30cm。

练习题三：已知三角形ABC的边长分别为AB = 12cm，BC = 9cm，AC = 15cm，O为三角形ABC的重心，求DO的长度。

解析：重心是指三角形的三条中位线相交的点。

根据中位线的性质，重心到各顶点的距离为中位线长度的三分之一。

所以，DO = 12 / 3 = 4cm。

练习题四：在三角形ABC中，AD是BC的中线，且AD = 4cm。

已知AC =12cm，求BD的长度。

解析：中位线的性质告诉我们，中位线等于对边的一半。

所以，BD = BC / 2。

根据题意，可得AC = AD + DC。

代入已知条件，得到12 = 4 + DC。

解方程，得到DC = 8cm。

由BD = BC / 2，又有BC = BD + DC。