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三角形中位线培优复习课题三角形中位线培优F M E C B A P F E D C B A F N M E C B A例题2：BE 、CF 是△ABC 的角平分线，AN ⊥BE 于N ，AM ⊥CF 于M 。
求证：MN ∥BC练习：如图，在∆ABC 中，AB=BC ，∠ABC=90°，F 为BC 上一点，M 为AF 的中点，BE 平分∠ABC ，且EF ⊥BE ，求证：CF=2ME 。
方法二、【取中点构造中位线】例题1：如图，在四边形ABCD 中，AD=BC ，∠CBD=20°，∠BDA=110°，E 、F 、P 分别为AB 、CD 、BD 的中点，探索PF 与EF 的数量关系.练习：如图，在∆ABC 中，∠C=90°，CA=CB ，E ，F 分别为CA ，CB 上一点，CE=CF ，M ，N 分别为AF ，BE 的中点，求证：AE=2MNNM D C B A 例题2：如图，四边形ABCD 中，M ，N 分别为AD ，BC 的中点，边BD ，若AB=10，CD=8，求MN 的取值范围。
练习：已知：如图，在四边形ABCD 中，AD ＝BC ，E 、F 分别是DC 、AB 边的中点，FE的延长线分别与AD 、BC 的延长线交于H 、G 点．求证：∠AHF ＝∠BGF ．方法三、【借助平行四边形的性质】例题：如图，（1）E 、F 为△ABC 的中点，G 、H 为AC 的两个三等分点，连接EG 、FH 并延长交于D ， 连接AD 、CD. 求证：四边形ABCD 是平行四边形.练习：已知：如图，在□ABCD 中，E 是CD 的中点，F 是AE 的中点，FC 与BE 交于G ．求证：GF ＝GC ．课后作业1.如图，在△ABC 中，AB=10，BC=7，BE 平分∠ABC ，AE ⊥BE ，点F 为AC 的中点，连接EF ，求EF 的长度.3.如图，AD 是△ABC 的中线，E 是AD 的中点，F 是BE 延长线与AC 的交点。
专题22 三角形中位线定理应用问题1．三角形中位线的定义：连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。
2．三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于它的一半。
3.对三角形中位线的深刻理解（1）三角形有三条中位线，每一条与第三边都有相应的位置关系与数量关系.（2）三角形的三条中位线把原三角形分成可全等的4个小三角形.因而每个小三角形的周长为原三角形周长的，每个小三角形的面积为原三角形面积的. （3）三角形的中位线不同于三角形的中线.【例题1】（2020•福建）如图，面积为1的等边三角形ABC 中，D ，E ，F 分别是AB ，BC ，CA 的中点，则△DEF 的面积是（ ）A ．1B ．12C ．13D ．14 【答案】D【解析】根据三角形的中位线定理和相似三角形的判定和性质定理即可得到结论．∵D ，E ，F 分别是AB ，BC ，CA 的中点，1214∴DE =12AC ，DF =12BC ，EF =12AB ，∴DF BC =EF AB =DE AC =12，∴△DEF ∽△ABC ，∴S △DEFS △ABC =（DE AC ）2＝（12）2=14， ∵等边三角形ABC 的面积为1，∴△DEF 的面积是14.【对点练习】（2019内蒙古赤峰）如图，菱形ABCD 周长为20，对角线AC 、BD 相交于点O ，E 是CD 的中点，则OE 的长是（ ）A ．2.5B ．3C ．4D ．5【答案】A ．【解析】∵四边形ABCD 为菱形，∴CD ＝BC ＝＝5，且O 为BD 的中点， ∵E 为CD 的中点，∴OE 为△BCD 的中位线，∴OE ＝CB ＝2.5。
【点拨】掌握菱形特点，根据三角形中位线定理解决问题。
【例题2】（2020•临沂）如图，在△ABC 中，D 、E 为边AB 的三等分点，EF ∥DG ∥AC ，H 为AF 与DG 的交点．若AC ＝6，则DH ＝ ．【解析】1．【分析】由三等分点的定义与平行线的性质得出BE ＝DE ＝AD ，BF ＝GF ＝CG ，AH ＝HF ，DH 是△AEF 的中位线，易证△BEF ∽△BAC ，得EF AC =BE AB ，解得EF ＝2，则DH =12EF ＝1． 【解析】∵D 、E 为边AB 的三等分点，EF ∥DG ∥AC ，∴BE ＝DE ＝AD ，BF ＝GF ＝CG ，AH ＝HF ，∴AB ＝3BE ，DH 是△AEF 的中位线，∴DH =12EF ，∵EF ∥AC ，∴△BEF ∽△BAC ，∴EF AC =BE AB ，即EF 6=BE 3BE ，解得：EF ＝2，∴DH =12EF =12×2＝1，【对点练习】（2019广西梧州）如图，已知在△ABC 中，D 、E 分别是AB 、AC 的中点，F 、G 分别是AD 、AE 的中点，且FG ＝2cm ，则BC 的长度是 cm ．【答案】8．【解析】利用三角形中位线定理求得FG＝DE，DE＝BC．如图，∵△ADE中，F、G分别是AD、AE的中点，∴DE＝2FG＝4cm，∵D，E分别是AB，AC的中点，∴DE是△ABC的中位线，∴BC＝2DE＝8cm【点拨】连续两次应用三角形中位线定理处理本题，是关键。
专题9.13 三角形的中位线（知识讲解）【学习目标】4. 理解三角形的中位线的概念，掌握三角形的中位线定理．【要点梳理】要点一、三角形的中位线1．连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线.2．定理：三角形的中位线平行于三角形的第三边，且等于第三边的一半.要点诠释：（1）三角形有三条中位线，每一条与第三边都有相应的位置关系与数量关系.（2）三角形的三条中位线把原三角形分成可重合的4个小三角形.因而每个小三角形的周长为原三角形周长的，每个小三角形的面积为原三角形面积的.=4;(2).S S S S ABC DEF ADF CEF BDE DEF ABC D E F AB BC AC DE EF DF ABC ∆∆∆∆∆∆∆∆===如图：在中，、、分别为、、三边的中点，则、、为中位线，则有如下结论：(1).S S（3）三角形的中位线不同于三角形的中线.1214【典型例题】类型一、三角形中位线有关的求解问题1．如图，Rt ABC V 中，90ACB Ð=°，点D ，E 分别是,AB AC 的中点，点F 在BC 的延长线上，且CEF A Ð=Ð．（1）求证：四边形DCFE 是平行四边形；（2）若26,==BC AB ，求四边形DCFE 的周长．【解析】（1）利用两组对边分别平行的四边形是平行四边形证明即可；（2）分别利用中位线定理和直角三角形斜边中线性质得到DE 和CD ，从而计算结果．（1）证明：∵∠ACB=90°，AD=DB ，∴CD=DA=DB ，∴∠DAC=∠DCA ，∵∠CEF=∠A ，∴∠CEF=∠DCE ，∴CD ∥EF ，∵AD=DB ，AE=EC ，∴DE ∥CF ，∴四边形DCEF 是平行四边形．（2）∵D 、E 分别是AB 、AC 的中点，26,==BC AB ，∴DE=12BC=1，CD=12AB=3，∴四边形DCFE 的周长为（1+3）×2=8．【点拨】本题考查平行四边形的判定和性质，直角三角形斜边中线的性质和中位线定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．举一反三【变式】已知，如图，CD 是Rt △FBE 的中位线，A 是EB 延长线上一点，且AB=12BE ． （1）证明：四边形ABCD 是平行四边形；（2）若∠E=60°，AD=3cm ，求BE 的长．（1）证明：∵CD 是Rt △FBE 的中位线，∴CD ∥BE ，CD=12BE ，∴AB=12BE ，∴AB=CD ，∴四边形ABCD 是平行四边形；（2）解：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴BC=AD=3cm ，∵CD 是Rt △FBE 的中位线，∴BC=CE=12EF ，∵∠E=60°，∴△BCE 是等边三角形，∴BE=BC=3cm ．【点拨】此题考查了平行四边形的判定与性质、直角三角形的性质、等边三角形的判定与性质以及三角形中位线的性质．注意利用三角形中位线的性质，证得CD ∥AB ，CD=AB 是解此题的关键．类型二、三角形中位线与面积问题2．如图，AD 为ABC ∆的中线，BE 为ABD ∆的中线．（1）15ABE Ð=°，40BAD Ð=°，求 BED Ð的度数；（2）若ABC ∆的面积为40，5BD =，则E 到BC 边的距离为多少．【答案】（1）55°；（2）4．【分析】（1）根据三角形内角与外角的性质解答即可；（2）过E 作BC 边的垂线即可得：E 到BC 边的距离为EF 的长，然后过A 作BC 边的垂线AG ，再根据三角形中位线定理求解即可．解：（1）BED ÐQ 是ABE ∆的外角，154055BED ABE BAD \Ð=Ð+Ð=°+°=°；（2）过E 作BC 边的垂线，F 为垂足，则EF 为所求的E 到BC 边的距离，过A 作BC 边的垂线AG ，AD ∴为ABC ∆的中线，5BD =，22510BC BD ∴==´=，ABC ∆Q 的面积为40，∴1402BC AG =g ，即110402AG ´=g ，解得8AG =，∵AD 为ABC ∆的中线，∴11402022ABD ABC S S D D ==´=，又∵BE 为ABD ∆的中线，∴11201022EBD ABD S S D D ==´=，则有：1151022BD EF EF =´=g 4EF ∴=．即E 到BC 边的距离为4．【点拨】本题考查了三角形外角的性质、三角形中位线的性质及三角形的面积公式，添加适当的辅助线是解题的关键．举一反三【变式】如图，等腰三角形ABC 中，AB=AC ，点E 、F 分别是AB 、AC 的中点，CE ⊥BF 于点O ．（1）求证：四边形EBCF 是等腰梯形；（2）EF=1，求四边形EBCF 的面积．（1）证明：∵点E 、F 分别是AB 、AC 的中点，∴EF//BC ，BE=12AB=12AC=CF ，∴四边形EBCF 是等腰梯形；（2）如图，延长BC 至点G ，使CG=EF ，连接FG ，∵EF//BC ，即EF//CG ，且CG=EF ，∴四边形EFGC 是平行四边形，又∵四边形EBCF 是等腰梯形，∴FG=EC=BF ，∵EF=CG ，FC=BE ，∴△EFB ≌△CGF （SSS ），∴BFG EBCF S S V 四边形，∵GC=EF=1，且EF=12 BC，∴BC=2，∴BG=BC+CG=1+2=3．∵FG//EC，∴∠GFB=∠BOC=90°，∴FH=12BG=32，∴BFGEBCF 1393224S S==´´=V四边形．【点拨】本题考查了等腰梯形的判定，全等三角形的判定和性质，平行四边形的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．类型三、与三角形有关的证明3．已知：如图AB＝AC，AB⊥AC，AD＝AE，AD⊥AE，点M为CD的中点求证：2AM＝BE【分析】作CN∥AM，交DA延长线于N，根据AM∥CN，点M是CD的中点，得到AM是△DCN的中位线，推出CN=2AM，AE=AN，根据∠BAC=∠DAE=90°证出∠CAN=∠BAE，证得△BAE≌△CAN，推出BE=CN，由此得到结论．证明：如图，作CN∥AM，交DA延长线于N，∵AM∥CN，点M是CD的中点，∴AM是△DCN的中位线，∴CN=2AM，AD=AN，∴AE=AN，∵AD⊥AE，AB⊥AC，∴∠BAC=∠DAE=90°∴∠EAN=90°，∴∠CAE+∠EAN=∠BAC+∠CAE，∴∠CAN=∠BAE，∵AB=AC，AE=AN，∴△BAE≌△CAN，∴BE=CN，∴2AM=BE．．【点拨】此题考查全等三角形的判定及性质，三角形中位线的性质，题中辅助线的引出是解题的关键，在三角形中，已知一边中点时，通常是利用中点构造全等三角形解决问题．举一反三【变式】如图，点E，F，G，H分别为四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA的中点，试判断四边形EFGH的形状，并证明你的结论．证明：四边形EFGH是平行四边形，理由如下连接AC，如图．∵E ，F 分别是AB ，BC 的中点，∴EF 是△ABC 的中位线，∴EF ∥AC ，且EF=12AC ，同理HG ∥AC ，且HG=12AC ，∴EF ∥HG ，且EF=HG ．∴四边形EFGH 是平行四边形．【点拨】本题主要考查平行四边形的判定，解题的关键是灵活应用三角形中位线定理，学会添加常用辅助线．类型四、三角形中位线的应用4．在Rt ABC ∆中，90BAC Ð=o ，,E F 分别是,AB AC 上的点，且//EF BC ，作EG 平分AEF Ð交于点G ，在EF 上取点D ，使ED EA =，连接DG 并延长，交BA 的延长线于点P ，连接PF .（1）求证：PD EF ^；（2）若ED DF =，求B Ð的大小（3）在（2）的条件下，若四边形AEDG 的面积为S ，请直接写出PEF ∆的面积（用含S 的式子表示）【分析】（1）由已知证明AEG DEG ∆@∆可得出GAE GDE Ð=Ð=90°，即PD EF^（2）根据已知由中垂线性质可得GE GF =，即GEF GFE AEG Ð=Ð=Ð，由//EF BC 即可得出60B AEF Ð=Ð=o .(3)由已知可推出3PEF S S ∆=.（1）证明：EG Q 平分AEF Ð，AEG DEG ∴Ð=Ð，在AEG ∆和DEG ∆中，ED EA AEG DEGEG EG =ìïÐ=Ðíï=î()AEG DEG SAS ∴∆@∆GAE GDE∴Ð=Ð90EAG Ð=oQ 90GDE ∴Ð=o ，即PD EF ^；（2）,ED DF PD EF =^Q ，∴由中垂线性质得：GE GF =，GEF GFE AEG∴Ð=Ð=Ð∴在Rt AEF ∆中，30,60GEF GFE AEG AEF Ð=Ð=Ð=Ð=o o ，又//EF BC Q ，60B AEF ∴Ð=Ð=o（3）由已知可得：3PEF S S ∆=.【点拨】本题考查三角形中位线定理，熟练掌握三角形中位线定理的性质及判定是解题关键.举一反三【变式】如图，直线1:3l y x =-+与x 轴相交于点A ，直线2:l y kx b =+经过点31-（，），与x 轴交于点()6,0B ，与y 轴交于点C ，与直线1l 相交于点D ．()1求直线2l 的函数关系式；()2点P 是2l 上的一点，若ABP △的面积等于ABD △的面积的2倍，求点P 的坐标．()3设点Q 的坐标为3m （，） ，是否存在m 的值使得QA QB +最小？若存在，请求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）y=13x-2；（2）（212 ，32）或（32，−32 ）；（3）（92，3）．【分析】（1）把点（3，-1），点B （6，0）代入直线l 2，求出k 、b 的值即可；（2）设点P 的坐标为（t ，13t-2），求出D 点坐标，再由S △ABP =2S △ABD 求出t 的值即可；（3）作直线y=3，作点A 关于直线y=3的对称点A′，连结A′B ，利用待定系数法求出其解析式，根据点Q （m ，3）在直线A′B 上求出m 的值，进而可得出结论．解：（1）由题知：1306k b k b-+ìí+î＝＝ 解得：213b k -ìïíïî＝＝，故直线l 2的函数关系式为：y=13x-2；（2）由题及（1）可设点P 的坐标为（t ，13 t-2）．解方程组1233y x y x ì-ïíï-+î＝＝ ，得15434x y ìïïíï-ïî＝＝ ，∴点D 的坐标为（154，-34）．∵S △ABP =2S △ABD ，∴12AB•|13t-2|=2×12AB•|-34|，即|13t-2|=32，解得：t=212或t=32，∴点P 的坐标为（212 ，32）或（32，−32 ）；（3）作直线y=3（如图），再作点A 关于直线y=3的对称点A′，连结A′B ．由几何知识可知：A′B与直线y=3的交点即为QA+QB最小时的点Q．∵点A（3，0），∴A′（3，6）∵点B（6，0），∴直线A′B的函数表达式为y=-2x+12．∵点Q（m，3）在直线A′B上，∴3=-2m+12解得：m=92，故存在m的值使得QA+QB最小，此时点Q的坐标为（92，3）．【点拨】此题考查一次函数综合题，涉及到一次函数图象上点的坐标特点，轴对称最短路线问题，三角形的面积公式，解题关键在于在解答（3）时要注意作出辅助线，利用轴对称的性质求解．。
三角形中位线讲义【要点梳理】要点一、三角形的中位线1．定义：连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线.2．定理：三角形的中位线平行于三角形的第三边，且等于第三边的一半.特别说明：（1）三角形有三条中位线，每一条与第三边都有相应的位置关系与数量关系.（2）三角形的三条中位线把原三角形分成可重合的4个小三角形.因而每个小三角形的周长为原三角形周长的，每个小三角形的面积为原三角形面积的. （3）三角形的中位线不同于三角形的中线.要点二、中点三角形 定义：中点三角形就是把一个三角形的三边中点顺次连接起来的一个新三角形.性质：（1）这个新三角形的各个边长分别是原来三角形三边长的一半且分别平行，角的度数与原三角形分别相等，4个三角形都全等（2）中点三角形周长是原三角形的周长一半。
（3）中点三角形面积是原三角形面积的四分之一。
补充：中点三角形与原三角形不仅相似，而且位似。
要点三、中点四边形 定义：依次连接任意四边形各边中点所得的四边形称为中点四边形。
中点四边形的形状与原四边形的对角线的数量和位置关系有关。
性质（1）不管原四边形的形状怎样改变，中点四边形的形状始终是平行四边形。
题型一：与三角形中位线有关的线段求解问题【例1】如图，ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ，点 E ， F ，G ，H 分别是OA 、OB 、OC 、OD 的中点，顺次连接EFGH ．（1）求证：四边形EFGH 是平行四边形（2）若ABCD 的周长为2（AB +BC ）=32，则四边形EFGH 的周长为__________【解答】 （1）证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴OA =OC ，OB =OD ， ∵点 E 、 F 、G 、H 分别是OA 、OB 、OC 、OD 的中点，∴1111,,,2222OE OA OF OB OG OC OH OD ====， ∴OE =OG ，OF =OH ，1214∴四边形EFGH 是平行四边形；（2）∵点 E 、 F 、G 、H 分别是OA 、OB 、OC 、OD 的中点， ∴11,22EF AB FG BC ==， ∴()12EF FG AB BC +=+ ， ∵ABCD 的周长为2（AB +BC ）=32，∴16AB BC += ，∴8EF FG += ，由（1）知：四边形EFGH 是平行四边形， ∴四边形EFGH 的周长为()22816EF FG +=⨯= ．【变式1-1】如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，AD ⊥BC 于点D ．（1）若DE ∥AB 交AC 于点E ，证明：△ADE 是等腰三角形；（2）若BC ＝12，DE ＝5，且E 为AC 中点，求AD 的值．【解答】 （1）证明：∵在△ABC 中，AB ＝AC ，∴△ABC 为等腰三角形，∵AD ⊥BC 于点D ，∴由“三线合一”知：∠BAD=∠CAD ，∵DE ∥AB 交AC 于点E ，∴∠BAD=∠ADE ，∴∠CAD=∠ADE ，即：∠ADE=∠EAD ，∴AE=DE ，∴△ADE 是等腰三角形；（2）解：由“三线合一”知：BD=CD ，∵BC=12，∴DC=6，∵E 为AC 中点，∴DE 为△ABC 的中位线，∴AB=2DE ，∴AC=AB=2DE=10，在Rt △ADC 中，22221068AD AC DC =−−=，∴AD=8．【变式1-2】如图，四边形ABCD 中，∠A ＝90°，AB ＝12，AD ＝5，点M 、N 分别为线段BC 、AB 上的动点（含端点，但点M 不与点B 重合），点E 、F 分别为DM 、MN 的中点，则EF 长度的可能为（ ）A ．2B ．5C ．7D ．9 【解答】解：连接DN ，∵ED ＝EM ，MF ＝FN ，∴EF =12DN ，∴DN 最大时，EF 最大，DN 最小时，EF 最小，∵N 与B 重合时DN 最大，此时DN ＝DB =√AD 2+BD 2=√52+122=13，∴EF 的最大值为6.5．∵∠A ＝90°，AD ＝5，∴DN ≥5，∴EF ≥2.5，∴EF 长度的可能为5；故选：B ．【变式1-3】如图，在△ABC 中，AB ＝CB ＝6，BD ⊥AC 于点D ，F 在BC 上且BF ＝2，连接AF ，E 为AF 的中点，连接DE ，则DE 的长为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【解答】解：∵CB ＝6，BF ＝2，∴FC ＝6﹣2＝4，∵BA ＝BC ，BD ⊥AC ，∴AD ＝DC ，∵AE ＝EF ，∴DE 是△AFC 的中位线，∴DE =12FC =12×4＝2，故选：B ． 题型二、与三角形中位线有关的面积问题【例2】如图，在ABC 中，D ，E 分别为AB ，AC 的中点，延长BC 至点F ，使12CF BC =，连接CD 和EF ．（1）求证：四边形DCFE 是平行四边形．（2）若四边形DCFE 的面积为4，求ABC 的面积．【解答】()1证明：∵D ，E 分别为AB ，AC 的中点，∴DE 为ABC 的中位线，∴//DE BC ，12DE BC =． ∵12CF BC =，∴DE CF =．∵//DE CF ， ∴四边形DCFE 是平行四边形； ()2解：∵四边形DCFE 是平行四边形，∴DEC 的面积ECF =的面积2=．∵E 是AC 的中点，∴ADE 的面积DEC =的面积2=．∵D 是AB 的中点，∴BDC 的面积ADC =的面积4=，∴ABC 的面积4228=++=．【变式2-1】如图1，在四边形ABCD 中，E 、F 、G 、H 分别是AD 、BC 、BD 、AC 的中点． （1）求证：四边形EGFH 是平行四边形；（2）如图2，延长BA 、CD 相交于点P ，连接PG 、PH 、GH ，若1PGH S =△，求四边形ABCD 的面积．【解答】 证明：（1）,E G 分别是,AD BD 的中点，1,//2EG AB EG AB ∴=，同理可得：1,//2FH AB FH AB =， ,//EG FH EG FH ∴=，∴四边形EGFH 是平行四边形；（2）如图，连接,,,PE AG BH DH ，,E G 分别是,AD BD 的中点，//EG AB ∴，AEG PEG S S ∴=（同底等高），同理可得：DEH PEH S S =，1AEG EGH DEH PEG EGH PEH PGH AGHD S S S S S S S S ∴=++=++==四边形，又G 是BD 的中点，BG DG ∴=，,ABG ADG HBG HDG SS S S ∴==（等底同高）， 2()22ABG ADG HBG HDG ADG HDG ABHD AGHD S S S S S S S S ∴=+++=+==四边形四边形，同理可得：2224ABCD ABHD S S ==⨯=四边形四边形，即四边形ABCD 的面积为4．【变式2-2】如图所示，在△ABC 中，D 是BC 边上任一点，F,G,E 分别是AD,BF,CF 的中点，连结GE ，若△FGE 的面积为6,则ABC 的面积为( )A.32B.48C.64D.72【变式2-3】如图，已知在△ABC 中，点D 、E 分别是边AB 、AC 的中点。
第二十三讲三角形中位线定理【要点梳理】要点一、三角形的中位线1．连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线.2．定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半.要点诠释：（1）三角形有三条中位线，每一条与第三边都有相应的位置关系与数量关系.（2）三角形的三条中位线把原三角形分成可全等的4个小三角形.因而每个小三角形的周长为原三角形周长的12，每个小三角形的面积为原三角形面积的14.（3）三角形的中位线不同于三角形的中线.要点二、顺次连接任意四边形各边中点得到的四边形的形状顺次连接任意四边形各边中点得到的四边形是平行四边形.【典型例题】类型一、三角形的中位线例1、如图，已知P、R分别是长方形ABCD的边BC、CD上的点，E、F分别是PA、PR的中点，点P 在BC上从B向C移动，点R不动，那么下列结论成立的是（）A．线段EF的长逐渐增大B．线段EF的长逐渐变小C．线段EF的长不变D．无法确定【答案】C；【解析】连AR，由E、F分别为PA，PR的中点知EF为△PAR的中位线, 则12EF AR，而AR长不变，故EF大小不变.【总结升华】当条件中含有中点的时候，要将它与中位线联系起来，进行联想，必要时添加辅助线，构造中位线图形．举一反三：【变式】在△ABC中，中线BE、CF交于点O，M、N分别是BO、CO中点，则四边形MNEF是什么特殊四边形？并说明理由．【答案】5；解：四边形MNEF是平行四边形．理由如下：∵BE、CF是中线，∴E、F分别是AC、AB的中点，∴EF是△ABC的中位线，∴EF∥BC且EF=BC，∵M、N分别是BO、CO中点，∴MN是△OBC的中位线，∴MN∥BC且MN=BC，∴EF∥MN且EF=MN，∴四边形MNEF是平行四边形．例2、如图，△ABC中，D、E分别是BC、AC的中点，BF平分∠ABC，交DE于点F，若BC＝6，则DF的长是（）A．2 B．3 C.52D．4【思路点拨】利用中位线定理，得到DE∥AB，根据平行线的性质，可得∠EDC＝∠ABC，再利用角平分线的性质和三角形内角外角的关系，得到DF＝DB，进而求出DF的长．【答案解析】解：在△ABC中，D、E分别是BC、AC的中点∴DE∥AB∴∠EDC＝∠ABC∵BF平分∠ABC∴∠EDC＝2∠FBD在△BDF中，∠EDC＝∠FBD＋∠BFD∴∠DBF＝∠DFB∴FD＝BD＝12BC＝12×6＝3．【总结升华】三角形的中位线平行于第三边，当出现角平分线，平行线时，一般可构造等腰三角形，进而利用等腰三角形的性质解题．例3、如图所示，在△ABC中，M为BC的中点，AD为∠BAC的平分线，BD⊥AD于D，AB＝12，AC ＝18，求MD的长．【思路点拨】本题中所求线段MD 与已知线段AB 、AC 之间没有什么联系，但由M 为BC 的中点联想到中位线，另有AD 为角平分线和垂线，根据等腰三角形“三线合一”构造等腰三角形ABN ，D 为BN 的中点，DM 即为中位线，不难求出MD 的长度．【答案与解析】解：延长BD 交AC 于点N ．∵ AD 为∠BAC 的角平分线，且AD ⊥BN ，∴ ∠BAD ＝∠NAD ，∠ADB ＝∠ADN ＝90°，在△ABD 和△AND 中，BAD NAD AD =ADADB ADN ∠∠⎧⎪⎨⎪∠∠⎩＝＝ ∴ △ABD ≌△AND(ASA)∴ AN ＝AB ＝12，BD ＝DN ．∵ AC ＝18，∴ NC ＝AC －AN ＝18－12＝6，∵ D 、M 分别为BN 、BC 的中点，∴ DM ＝12CN ＝162⨯＝3． 【总结升华】当条件中含有中点的时候，可以将它与等腰三角形的“三线合一”、三角形的中线、中位线等联系起来，进行联想，必要时添加辅助线，构造中位线等图形．举一反三：【变式】（2015春•泗洪县校级期中）如图，BE ，CF 是△ABC 的角平分线，AN ⊥BE 于N ，AM ⊥CF 于M ，求证：MN ∥BC ．【答案】证明：延长AN 、AM 分别交BC 于点D 、G ．∵BE 为∠ABC 的角平分线，BE ⊥AG ，∴∠BAG=∠BGA ，∴△ABG 为等腰三角形，∴BN也为等腰三角形的中线，即AN=GN．同理AM=DM，∴MN为△ADG的中位线，∴MN∥BC．例4、（1）如图1，在四边形ABCD中，E、F分别是BC、AD的中点，连接EF并延长，分别与BA、CD的延长线交于点M、N，则∠BME=∠CNE，求证：AB=CD．（提示取BD的中点H，连接FH，HE 作辅助线）（2）如图2，在△ABC中，且O是BC边的中点，D是AC边上一点，E是AD的中点，直线OE交BA 的延长线于点G，若AB=DC=5，∠OEC=60°，求OE的长度．【思路点拨】（1）连结BD，取DB的中点H，连结EH、FH，证明出EH∥AB，EH=AB，FH∥CD，FH=CD，证出HE=HF，进而证出AB=CD；（2）连结BD，取DB的中点H，连结EH、OH，证明出EH=OH，可证明证出△OEH是等边三角形，进而求出OE=．【答案与解析】（1）证明：连结BD，取DB的中点H，连结EH、FH．∵E、F分别是BC、AD的中点，∴EH∥AB，EH=AB，FH∥CD，FH=CD，∵∠BME=∠CNE，∴HE=HF，∴AB=CD；（2）解：连结BD，取DB的中点H，连结EH、OH，∵AB=CD，∴HO=HE，∴∠HOE=∠HEO，∵∠OEC=60°，∴∠HEO=∠AGO=60°，∴△OEH是等边三角形，∵AB=DC=5，∴OE=．【总结升华】本题考查了三角形的中位线定理、全等三角形的判定与性质，解答本题的关键是参考题目给出的思路，作出辅助线，有一定难度．举一反三：【变式】如图，AB∥CD，E，F分别为AC，BD的中点，若AB=5，CD=3，则EF的长是（）A．4 B．3 C．2 D．1【答案】D；解：连接DE并延长交AB于H，∵CD∥AB，∴∠C=∠A，∠CDE=∠AHE，∵E是AC中点，∴AE=CE，∴△DCE≌△HAE，∴DE=HE，DC=AH，∵F是BD中点，∴EF是△DHB的中位线，∴EF=12 BH，∴BH=AB-AH=AB-DC=2，∴EF=1．类型二、中点四边形例5、如图，点O是△ABC外一点，连接OB、OC，线段AB、OB、OC、AC的中点分别为D、E、F、G，连接DE、EF、FG、GD．（1）判断四边形DEFG的形状，并说明理由；（2）若M为EF的中点，OM=2，∠OBC和∠OCB互余，求线段DG的长．【答案与解析】解：（1）四边形DEFG是平行四边形，理由是：∵线段AB、OB、OC、AC的中点分别为D、E、F、G，∴EF∥BC，EF=BC，DG=BC，DG∥BC，∴EF∥DG，EF=DG，∴四边形DEFG是平行四边形；（2）∵∠OBC和∠OCB互余，∴∠OBC+∠OCB=90°，∴∠BOC=180°﹣90°=90°，∵M为EF的中点，OM=2，∴EF=2OA=4，∵EF=DG，∴DG=4．【总结升华】本题考查了中点四边形形状的判定，主要是利用中位线定理得出一组对边平行且相等，从而判定是平行四边形.【巩固练习】一.选择题1.已知△ABC 的各边长度分别为3cm ，4cm ，5cm ，则连结各边中点的三角形的周长为（ ）A ．2cmB ．7cmC ．5cmD ．6cm2. 如图，点D 、E 、F 分别为△ABC 三边的中点，若△DEF 的周长为10，则△ABC 的周长为（ ）A ．5B ．10C ．20D ．403. 在△ABC 中，AB=3，BC=4，AC=2，D 、E 、F 分别为AB 、BC 、AC 中点，连接DF 、FE ，则四边形DBEF 的周长是（ ）A ．5B ．7C ．9D ．114．如图，△ABC 的中线BD 、CE 交于点O ，连接OA ，点G 、F 分别为OC 、OB 的中点，BC=8，AO=6，则四边形DEFG 的周长为（ ）A ．12B ．14C ．16D ．185. 如图所示，在△ABC 中，AB ＝AC ，M ，N 分别是AB ，AC 的中点，D ，E 为BC 上的点，连接DN 、EM ，若AB ＝5cm ，BC ＝8cm ，DE ＝4cm ，则图中阴影部分的面积为（ ）A ．12cmB ．1.52cmC ．22cmD ．32cm（第5题） （第6题）6. 如图，在四边形ABCD 中，AB ∥CD ，点E 、F 、G 分别是BD 、AC 、DC 的中点.已知两底的差是6，两腰的和是12，则△EFG 的周长是（ ）A.8B.9C.10D.12二.填空题7. 顺次连接一个四边形各边中点得到的四边形是_________________.8. 如图, E 、F 分别是口ABCD 的两边AB 、CD 的中点, AF 交DE 于P, BF 交CE 于Q,则PQ 与AB 的关系是 .9. 如图，E 、F 、G 、H 分别是四边形ABCD 各边的中点，对角线AC 、BD 的长分别为7和9，则四边形EFGH 的周长是______.第8题第9题 第10题 10.如图，四边形ABCD 中，∠A=90°，AB=3，AD=3，点M ，N 分别为线段BC ，AB 上的动点（含端点，但点M 不与点B 重合），点E ，F 分别为DM ，MN 的中点，则EF 长度的最大值为 ．11.如图，△ABC 的周长为26，点D ，E 都在边BC 上，∠ABC 的平分线垂直于AE ，垂足为Q ，∠ACB的平分线垂直于AD ，垂足为P ，若BC=10，则PQ 的长 ．第11题 第12题12.如图，在△ABC 中，∠ABC 和∠ACB 的平分线相交于点O ，过点O 作EF ∥BC 交AB 于E ，交AC 于F ，过点O 作OD ⊥AC 于D ．下列三个结论：①∠BOC ＝90°＋12∠A ；②设OD ＝m ，AE ＋AF ＝n ，则AEF S mn △；③EF 不能成为△ABC 的中位线．其中正确的结论是_______.三.解答题13.如图，四边形ABCD 中，AD ∥BC ，M 、N 、P 、Q 分别为AD 、BC 、BD 、AC 的中点．求证：MN 和PQ 互相平分．14.已知：在△ABC 中，BC ＞AC ，动点D 绕△ABC 的顶点A 逆时针旋转，且AD ＝BC ，连接DC ．过AB 、DC 的中点E 、F 作直线，直线EF 与直线AD 、BC 分别相交于点M 、N ．（1）如图1，当点D 旋转到BC 的延长线上时，点N 恰好与点F 重合，取AC 的中点H ，连接HE 、HF ，根据三角形中位线定理和平行线的性质，可得结论∠AMF ＝∠BNE （不需证明）；（2）当点D 旋转到图2或图3中的位置时，∠AMF 与∠BNE 有何数量关系？请分别写出猜想，并任选一种情况证明．15.已知，如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D为AB中点，连接CD．点E为边AC上一点，过点E作EF∥AB，交CD于点F，连接EB，取EB的中点G，连接DG、FG．（1）求证：EF=CF；（2）求证：FG⊥DG．【答案与解析】一.选择题1.【答案】D ；【解析】由中点和中位线定义可得新三角形的各边长为原三角形各边长的一半，即可求其周长．2.【答案】C ；【解析】根据中位线定理可得BC ＝2DF ，AC ＝2DE ，AB ＝2EF ，继而结合△DEF 的周长为10，可得出△ABC 的周长．3.【答案】B ；【解析】∵D 、E 、F 分别为AB 、BC 、AC 中点，∴DF=12BC=2，DF ∥BC ，EF=12AB=32，EF ∥AB ， ∴四边形DBEF 为平行四边形， ∴四边形DBEF 的周长=2（DF+EF ）=2×（2+32）=7． 故选B ．4.【答案】B ；【解析】解：∵BD ，CE 是△ABC 的中线，∴ED ∥BC 且ED=BC ，∵F 是BO 的中点，G 是CO 的中点，∴FG ∥BC 且FG=BC ，∴ED=FG=BC=4，同理GD=EF=AO=3，∴四边形DEFG 的周长为3+4+3+4=14．故选B ．5.【答案】B ；【解析】连接MN ，作AF ⊥BC 于F ．∵AB ＝AC ，∴BF ＝CF ＝12BC ＝12×8＝4，在Rt △ABF 中，AF ＝22AB BF -＝2254-＝3，∵M 、N 分别是AB ，AC 的中点，∴MN 是中位线，即平分三角形的高且MN ＝8÷2＝4，∴NM ＝12BC ＝DE ，∴△MNO ≌△EDO ，O 也是ME ，ND 的中点，∴阴影三角形的高是12AF÷2＝1.5÷2＝0.75，∴S 阴影＝4×0.75÷2＝1.5．6.【答案】B；【解析】连接AE，延长交CD于H，可证AB＝DH，CH＝两底的差，EF是△AHC的中位线，EF＝1 2两底的差，EG＋FG＝12两腰的和，故△EFG的周长是9.二.填空题7.【答案】平行四边形；8.【答案】PQ∥AB，PQ＝12 AB；【解析】P，Q分别是AF，BF的中点.9.【答案】16；【解析】根据三角形中位线的性质得出HG 12AC，EF12AC，HE12DB，GF12BD，进而得出HE＝GF＝12BD，HG＝FE＝12AC，即可得出答案．10.【答案】3；【解析】解：∵ED=EM，MF=FN，∴EF=DN，∴DN最大时，EF最大，∵N与B重合时DN最大，此时DN=DB==6，∴EF的最大值为3．故答案为3．11.【答案】3；【解析】∵△ABC的周长是26，BC=10，∴AB+AC=26﹣10=16，∵∠ABC的平分线垂直于AE，∴在△ABQ和△EBQ中，，∴△ABQ≌△EBQ，∴AQ=EQ，AB=BE，同理，AP=DP，AC=CD，∴DE=BE+CD﹣BC=AB+AC﹣BC=16﹣10=6，∵AQ=DP，AP=DP，∴PQ是△ADE的中位线，∴PQ=12DE=3．故答案是：3．12.【答案】①，③；【解析】①根据三角形内角和定理求解；②根据△AEF的面积＝△AOE的面积＋△AOF的面积求解；③若此三角形为等边三角形，则EF即为中位线．三.解答题13.【解析】证明：连接MP，PN，NQ，QM，∵AM＝MD，BP＝PD，∴PM是△ABD的中位线，∴PM∥AB，PM＝12 AB；同理NQ＝12AB，NQ∥AB，∴PM＝NQ，且PM∥NQ．∴四边形MPNQ是平行四边形．∴MN与PQ互相平分．14.【解析】解：图1：∠AMF＝∠ENB；图2：∠AMF＝∠ENB；图3：∠AMF＋∠ENB＝180°．证明：如图2，取AC的中点H，连接HE、HF．∵F是DC的中点，H是AC的中点，∴HF∥AD，HF＝12 AD，∴∠AMF＝∠HFE，同理，HE∥CB，HE＝12 CB，∴∠ENB＝∠HEF．∵AD＝BC，∴HF＝HE，∴∠HEF＝∠HFE，∴∠ENB＝∠AMF．如图3：取AC的中点H，连接HE、HF．∵F是DC的中点，H是AC的中点，∴HF∥AD，HF＝12 AD，∴∠AMF＋∠HFE＝180°，同理，HE∥CB，HE＝12 CB，∴∠ENB＝∠HEF．∵AD＝BC，∴HF＝HE，∴∠HEF＝∠HFE，∴∠AMF＋∠ENB＝180°．15.【解析】证明：（1）如图，∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D为AB中点，∴CD是斜边AB上的中线，∴CD=AD=BD=AB．又EF∥AB，∴=，∴==1，∴EF=CF；（2）如图，延长EF交BC于点M，连接GM．∵EF∥AB，∴∠CMF=∠CBD．又∵AD=BD=AB，∴∠DCM=∠CBD，即∠FCM=∠CBD，∴∠CMF=∠FCM，∴CF=MF．又由（1）知，EF=CF，∴EF=FM，即点F是EM的中点，又∵EF∥AB，则FM∥AB∴EM是△ABC的中位线，则点M是BC的中点，∵点G是BE的中点，∴DG是△AEB的中位线，GM是△BEC的中位线，∴GD∥AE，GM∥EC，∴点D、G、M三点共线，∴FG是△CDM的中位线，∴FG∥CM．又∵MC⊥EC，∴FG⊥DG．。
、定理1.三角形的中位线平行于第三边(不与中位线接触)，并且等于第三边的一半。
2.连接三角形两边中点的线段，叫做三角形的中位线。
逆定理逆定理一：在三角形内，与三角形的两边相交，平行且等于三角形第三边一半的线段是三角形的中位线。
逆定理二：在三角形内，经过三角形一边的中点，且与另一边平行的线段，是三角形的中位线。
注意：在三角形内部，经过一边中点，且等于第三边一半的线段不一定是三角形的中位线。
（微课精讲）三角形中的三条重要线段：中线、角平分线、高线概念中线在三角形中，连接一个顶点与它对边中点的线段，叫做这个三角形的中线（median）。
三角形的三条中线交于一点，这点称为三角形的重心。
如图，AD是边BC上的中线，BE是边AC上的中线，CF是边AB上的中线三条中线交于点O，点O称为△A BC的重心角平分线在三角形中，一个内角的角平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫做三角形的角平分线。
如图，AD平分∠BAC，BE平分∠ABC，CF平分∠ACB，三角形三条角平分线交于点O点O称为△ABC的内心高线从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，定点和垂足之间的线段叫做三角形的高线，简称三角形的高。
如图，AD⊥BC，BE⊥AC，CF⊥AB三角形三条高线交于点O点O称为△ABC的垂心以上是我们在初一时所学的三角形三条重要线段，今天，我们将学习三角形中第四条重要的线段——中位线（知识点精讲)中位线概念：连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线性质：三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半。
如图，E、F分别是三角形AB、AC边上的中点，所以，EF是三角形BC 边所对的中位线，则EF∥BC且EF=1/2BC三角形的中位线衍生出很多重要的图形，其中最重要的就是中点四边形（微课堂精讲）中点四边形任意画一个四边形，以四边形的中点为顶点组成一个新四边形，这个新四边形称为——中点四边形中点四边形一定是平行四边形证明：连接AC因为E、F分别为AB、BC的中点，所以EF平行且等于AC的一半同理，GH平行且等于AC的一半因此，EF∥HG，EF=HG所以，四边形EFGH是平行四边形思考：四边形ABCD满足什么条件时，四边形EFGH是菱形？矩形？正方形？三角形中位线的解题策略三角形的中位线定理，既有线段的位置关系，又有线段的数量关系，它是一个在三角形中遇到中点，必须联想到的重要定理之一。
第7讲三角形的中位线专题探究类型一三角形中位线定理知识点睛：三角形中位线定理的应用（1）证明平行问题;（2）证明一边是另一边的2倍或（3）解决"中点问题".注意∶在处理这些问题时，要求出现三角形及其中位线：①有中点连线而无三角形，要作辅助线产生三角形;②有三角形而无中位线，要作中点的连线或过中点作平行线.类题训练1．（2021春•罗湖区校级期末）如图，△ABC的面积是16，点D、E、F、G分别是BC、AD、BE、CE的中点，则△AFG的面积是（）A．6B．7C．8D．9【分析】根据中线的性质，可得：△AEF的面积＝×△ABE的面积＝×△ABD的面积＝×△ABC的面积＝2，△AEG的面积＝2，根据三角形中位线的性质可得△EFG的面积＝×△BCE的面积＝2，进而得到△AFG的面积．【解答】解：∵点D是BC的中点，∴AD是△ABC的中线，∴△ABD的面积＝△ADC的面积＝×△ABC的面积，同理得：△AEF的面积＝×△ABE的面积＝×△ABD的面积＝×△ABC的面积＝×16＝2，△AEG的面积＝2，△BCE的面积＝×△ABC的面积＝8，又∵FG是△BCE的中位线，∴△EFG的面积＝×△BCE的面积＝×8＝2，∴△AFG的面积是2×3＝6，故选：A．2．（2021秋•寿光市期末）如图，DE是△ABC的中位线，∠ABC的角平分线交DE于点F，AB＝8，BC＝12，则EF的长为（）A．1B．1.5C．2D．2.5【分析】延长AF交BC于H，由三角形中位线定理得到DE∥BC，DE＝BC＝6，AF ＝FH，再证△BF A≌△BFH（AAS），得BH＝AB＝8，然后由三角形中位线定理得DF＝4，求解即可．【解答】解：连接AF并延长交BC于H，如图所示：∵点D、E分别为边AB、AC的中点，∴DE∥BC，DE＝BC＝6，AF＝FH，在△BF A和△BFH中，，∴△BF A≌△BFH（AAS），∴BH＝AB＝8，∵AD＝DB，AF＝FH，∴DF是△ABH的中位线，∴DF＝BH＝4，∴EF＝DE﹣DF＝2，故选：C．3．（2021秋•海阳市期末）如图，△ABC中，点D，E在边BC上，∠ABC的平分线垂直AE，垂足为点N，∠ACB的平分线垂直AD，垂足为点M，连接MN．若BC＝7，MN＝，则△ABC的周长为（）A．17B．18C．19D．20【分析】利用ASA定理证明△BNA≌△BNE，根据全等三角形的性质得到BE＝BA，AN ＝NE，同理得到CD＝CA，AM＝MD，根据三角形中位线定理求出DE，根据三角形的周长公式计算，得到答案．【解答】解：在△BNA和△BNE中，，∴△BNA≌△BNE（ASA），∴BE＝BA，AN＝NE，同理，CD＝CA，AM＝MD，∵AM＝MD，AN＝NE，MN＝，∴DE＝2MN＝3，∵BE+CD﹣BC＝DE，∴AB+AC＝BC+DE＝10，∴△ABC的周长＝AB+AC+BC＝10+7＝17，故选：A．4．（2018春•江干区期末）如图，△ABC中，D是BC边的中点，AE平分∠BAC，BE⊥AE 于E，已知AB＝10，AC＝18，则DE的长为（）A．4B．5C．6D．7【分析】延长BE交AC于F，证明△AEF≌△AEB，根据全等三角形的性质得到AF＝AB ＝10，BE＝EF，根据三角形中位线定理计算即可．【解答】解：延长BE交AC于F，∵BE⊥AE，∴∠AEB＝∠AEF＝90°，在△AEF和△AEB中，，∴△AEF≌△AEB（ASA）∴AF＝AB＝10，BE＝EF，∴CF＝AC﹣AF＝8，∵BE＝EF，BD＝DC，∴DE＝CF＝4，故选：A．5．（2021•吴兴区二模）如图，在△ABC中，点D、E、F分别是各边的中点，若△ABC的面积为4cm2，则△DEF的面积是（）cm2．A．0.5B．1C．2D．4【分析】根据三角形中位线定理得到EF＝AB，ED＝AC，DF＝BC，进而证明△EFD∽△ABC，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方计算即可．【解答】解：∵点D、E、F分别是各边的中点，∴EF＝AB，ED＝AC，DF＝BC，∴＝＝＝，∴△EFD∽△ABC，且相似比为，∴＝（）2＝，∵△ABC的面积为4cm2，∴△DEF的面积是1cm2，故选：B．6．（2021秋•广饶县期末）如图，AD是△ABC的中线，E是AD的中点，F是BE延长线与AC的交点，若AC＝4，则AF＝（）A．B．C．1D．【分析】取BF的中点H，连接DH，根据三角形中位线定理得到DH＝FC，DH∥AC，证明△AEF≌△DEH，根据全等三角形的性质得到AF＝DH，计算即可．【解答】解：取BF的中点H，连接DH，∵BD＝DC，BH＝HF，∴DH＝FC，DH∥AC，∴∠HDE＝∠F AE，在△AEF和△DEH中，，∴△AEF≌△DEH（ASA），∴AF＝DH，∴AF＝FC，∵AC＝4，∴AF＝，故选：B．7．（2021秋•龙口市期末）如图，△ABC的周长为a，以它的各边的中点为顶点作△A1B1C1，再以△AB1C1各边的中点为顶点作△A2B2C2，…如此下去，则△A n B n∁n的周长为（）A．a B．a C．a D．a【分析】根据三角形中位线定理得到△A1B1C1的周长＝a，△A2B2C2的周长＝a＝a，总结规律，根据规律解答即可．【解答】解：∵点A1、B1、C1分别为BC、AC、AB的中点，∴B1C1＝BC，A1C1＝AC，A1B1＝AB，∴△A1B1C1的周长＝a，同理，△A2B2C2的周长＝a＝a，……则△A n B n∁n的周长＝a，故选：A．8．（2021秋•东莞市校级期末）如图，已知△ABC中AB＝AC，AD是∠BAC的平分线，AE 是∠BAC的外角平分线，ED∥AB交AC于点G，下列结论：①AD⊥BC；②AE∥BC；③AE＝AG；④∠DAE＝90°．其中正确结论的个数是（）A．1B．2C．3D．4【分析】连接EC，根据等腰三角形的性质得出AD⊥BC，即可判断①；求出∠F AE＝∠B，再根据平行线的性质得出AE∥BC，即可判断②；求出四边形ABDE是平行四边形，根据平行四边形的性质得出AE＝BD，求出AE＝CD，根据矩形的判定推出四边形ADCE 是矩形，根据矩形的性质得出AC＝DE，AG＝CG，DG＝EG，求出DG＝AG＝CG＝EG，根据勾股定理判断④即可；根据AE＝BD＝BC和AG＝AC判断③即可．【解答】解：连接EC，∵AB＝AC，AD是∠BAC的平分线，∴AD⊥BC，故①正确；∵AB＝AC，∴∠B＝∠ACB，∵AE平分∠F AC，∴∠F AC＝2∠F AE，∵∠F AC＝∠B+∠ACB，∴∠F AE＝∠B，∴AE∥BC，故②正确；∵AE∥BC，DE∥AB，∴四边形ABDE是平行四边形，∴AE＝BD，∵AB＝AC，AD⊥BC，∴CD＝BD，∴AE＝CD，∵AE∥BC，∠ADC＝90°，∴四边形ADCE是矩形，∴∠DAE＝90°，故④正确；∵AE＝BD＝BC，AG＝AC，∴AG＝AE错误（已知没有条件AC＝BC），故③错误；即正确的个数是3个，故选：C．类型二三角形中位线在四边形中的应用知识点睛：四边形中中位线的构造（1）四边形边上有中点时，取其对角线中点构造三角形中位线;（2）四边形对角线上有中点时，取边的中点构造三角形中位线.此类中位线的构造常出现在等对边四边形或等对角线四边形题目中，用于判断线段关系或由线段引发的角度关系。
§18.1.2.2 三角形的中位线一、教学目标1. 理解三角形中位线的概念，掌握三角形的中位线定理；2. 能利用三角形的中位线定理解决有关证明和计算问题.二、教学重难点1. 理解三角形中位线的概念，掌握三角形的中位线定理.（重点）2. 能利用三角形的中位线定理解决有关证明和计算问题.(难点)三、教学过程（一）情景导入1.平行四边形的性质和判定有哪些？ 边：①AB ∥CD,AD____BC ②AB=CD,AD____BC 平行四边形ABCD ③AB ∥CD,AB_____CD角：∠BAD____∠BCD ，∠ABC____∠ADC对角线：AO____CO,DO____BO（二）合作探究知识点1 三角形的中位线1. 三角形中位线的定义：连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线数学语言：,AD BD AE CE ==，DE ∴是ABC ∆的中位线2. 三角形的中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半数学语言：DE 是ABC ∆的中位线，1//,2DE BC DE BC ∴=例1. 如图，点D 、E 分别是ABC 边BA 、BC 的中点，3AC =，则DE 的长为（ ）A ．2B ．43C ．3D ．32【答案】D 【分析】根据三角形中位线定理求DE 的长.【详解】根据三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于它的一半，可求得12DE AC = ， 性 质判 定故选D．【点睛】本题考查三角形的中位线定理.（三）题型精讲题型一利用三角形中位线定理求线段长度例2.如图，在△ABC中，D是AB上一点，AD＝AC，AE⊥CD，垂足为点E，F是BC的中点，若BD＝16，则EF的长为（）A．32B．16C．8D．4【答案】C【分析】根据等腰三角形的性质和中位线的性质求解即可．【详解】∵AD＝AC，∴ACD△是等腰三角形，∵AE⊥CD，∵CE DE=，∵E是CD的中点，∵F是BC的中点，∵EF是∵BCD的中位线，∴1116822EF BD==⨯=，故答案为：C．【点睛】本题考查了三角形的线段长问题，掌握等腰三角形的性质和中位线的性质是解题的关键．变式2-1已知ABC∆的周长为16，点D，E，F分别为ABC∆三条边的中点，则DEF∆的周长为（）A．8B．22C．16D．4【答案】A方法点拨：一个三角形有3条中位线，三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半【分析】由D ，E ，F 分别为ABC ∆三条边的中点，可知DE 、EF 、DF 为ABC ∆的中位线，即可得到DEF ∆的周长．【详解】解：如图，∵D ，E ，F 分别为ABC ∆三条边的中点， ∵12DF BC =，12DE AC =，12EF AB =， ∵16BC AC AB ++=， ∵()1116822DF DE EF BC AC AB ++=++=⨯=， 故选：A ．【点睛】本题考查了三角形的中位线，熟练掌握三角形的中位线平行于第三边且是第三边的一半是解题的关键．变式2-2 如图：在△ABC 中，AB=13，BC=12，点D ，E 分别是AB ，BC 的中点，连接DE ，CD ，如果DE=2.5，那么△ACD 的周长是_____．【答案】18【分析】根据三角形中位线定理得到AC=2DE=5，AC∵DE ，根据勾股定理的逆定理得到∵ACB=90°，根据线段垂直平分线的性质得到DC=BD ，根据三角形的周长公式计算即可．【详解】∵D ，E 分别是AB ，BC 的中点，∵AC=2DE=5，AC∵DE ，AC 2+BC 2=52+122=169，AB 2=132=169，∵AC 2+BC 2=AB 2，∵∵ACB=90°，∵AC∵DE ，∵∵DEB=90°，又∵E 是BC 的中点，∵直线DE 是线段BC 的垂直平分线，∵DC=BD ，∵∵ACD 的周长=AC+AD+CD=AC+AD+BD=AC+AB=18，故答案为18．【点睛】本题考查的是三角形中位线定理、线段垂直平分线的判定和性质，掌握三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半是解题的关键．变式2-3 如图，ABCD 的顶点C 在等边BEF 的边BF 上，点E 在AB 的延长线上，G 为DE 的中点，连接CG ．若3AD =，2AB CF ==，则CG 的长为_______．【答案】32【分析】延长DC 交EF 于点M （图见详解），根据平行四边形与等边三角形的性质，可证∵CFM 是等边三角形，BF=BE=EF=BC+CF=5，可求出CF=CM=MF=2，可得C 、G 是DM 和DE 的中点，根据中位线的性质，可得出CG=12EM ，代入数值即可得出答案． 【详解】解：如下图所示，延长DC 交EF 于点M ，3AD =，2AB CF ==，平行四边形ABCD 的顶点C 在等边BEF 的边BF 上，//DM AE ∴，CMF ∴是等边三角形，2AB CF CM MF =∴===．在平行四边形ABCD 中，2AB CD ==，3AD BC ==， 又BEF 是等边三角形，325BF BE EF BC CF ===+=+=∴，523EM EF MF =∴=--=．方法点拨：三角形的三条中位线将原三角形分割成四个全等三角形，每个小三角形的周长都是原三角形周长的一半G 为DE 的中点，2CD CM ==，C ∴是DM 的中点，且CG 是DEM △的中位线，1322CG EM =∴=． 故答案为：32．【点睛】本题考查了平行四边形的性质、等边三角形的性质、中位线等知识点，延长DC 交EF 于点M ，利用平行四边形、等边三角形性质求出相应的线段长，证出CG 是DEM △的中位线是解题的关键．题型二 利用三角形中位线定理求面积 例3. 如图，在△ABC 中，点D 、E 、F 分别是各边的中点，若△ABC 的面积为16cm 2，则△DEF 的面积是（ ）cm 2．A ．2B ．4C ．6D ．8【答案】B 【分析】根据三角形中位线定理判定四边形BEFD 是平行四边形，然后可证明∵BDE ∵∵FED ，同理可证：∵DAF ∵∵FED ，∵EFC ∵∵FED ，从而这四个三角形彼此全等，它们的面积也相等，所以可求得△DEF 的面积．【详解】∵点D 、F 分别是AB ，AC 的中点，∵//DF BC ，DF ＝12BC ，∵//DF BE ，∵E 是BC 的中点，∵BE ＝12BC ，∵DF ＝BE ，∵四边形BEFD 是平行四边形，∵BD ＝EF ，在∵BDE 和∵FED 中，BE DF BD EF DE ED =⎧⎪=⎨⎪=⎩，∵∵BDE ∵∵FED （SSS ），同理可证∵DAF ∵∵FED ，∵EFC ∵∵FED ，即∵BDE ∵∵DAF ∵∵EFC ∵∵FED ，∵S △DEF ＝14S △ABC ＝14×16＝4（cm 2）， 故选：B ．【点睛】本题考查了三角形的中位线定理、三角形全等的判定等知识．变式3-1 如图,在∵ABC 中,已知点D,E,F 分别为边BC,AD,CE 的中点, 且∵ABC 的面积是32,则图中阴影部分面积等于 （ ）A ．16B ．8C ．4D ．2【答案】B 【分析】由点E 为AD 的中点，可得△ABC 与△BCE 的面积之比，同理可得△BCE 和△EFB 的面积之比，即可解答出．【详解】∵E 为AD 的中点，∵S △ABC ：S △BCE =2：1，同理可得，S △BCE ：S △EFB =2：1，∵S △ABC =32，∵S △EFB =14S △ABC =14×32=8． 故选B ．【点睛】本题主要考查了三角形面积及三角形面积的等积变换，三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分．变式3-2 如图，在ABC 中，13AB AC ==，10BC =．M ，N 分别是AB ，AC 的中点，D ，E 为BC 上的动点，且5DE =．连接DN ，EM ，则图中阴影部分的面积和为______．【答案】30【分析】连接MN ，根据题意可以得到MN 是三角形ABC 的中位线，过点A 作AF 垂直于BC 与点F ，进而求解面积即可；【详解】连接MN ，∵ M 、N 分别是AB 、AC 的中点，∵ MN 为三角形ABC 的中位线，∵BC=10， ∵ 152MN BC == ， 过点A 作AF 垂直于BC 与点F ，∵AB=AC=13，∵点F 为BC 的中点， ∵152BF BC ==， ∵22=135=12AF - ，∵阴影部分的高为12，∵MN=DE=5，∵1=512=302S⨯⨯阴影，故答案为：30．【点睛】本题考查了三角形的面积和中位线的性质，掌握数形结合的方法是解题的关键；题型三利用三角形中位线定理进行证明例4.如图，在Rt∵ABC中，∵ACB＝90°，点D，E分别是边AB，AC的中点，延长BC到点F，使CF＝12BC．连结CD、EF，那么CD与EF相等吗？请证明你的结论．【分析】根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半可得DE∵BC且DE12=BC，然后证得四边形DEFC是平行四边形，再根据平行四边形的对边相等即可说明．【详解】解：结论：CD=EF．理由如下：∵D、E分别是边AB、AC的中点，∵DE∵BC，DE12=BC．∵CF12=BC，方法点拨：三角形的三条中位线将原三角形分割成四个全等三角形，每个小三角形的面积都是原三角形面积的14∵DE =CF ，∵四边形DEFC 是平行四边形，∵CD =EF ．【点睛】本题主要考查了三角形的中位线和平行四边形的判定与性质，掌握三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半成为解答本题的关键．变式4 如图，等边△ABC 的边长是2，D 、E 分别为AB 、AC 的中点，延长BC 至点F ，使12CF BC =，连接CD 和EF ．（1）求证：DE =CF ；（2）求EF 的长．【分析】（1）直接利用三角形中位线定理得出12DE BC =，∥DE BC ，进而得出DE =FC ； （2）利用平行四边形的判定与性质得出DC =EF ，进而利用等边三角形的性质以及勾股定理得出EF 的长【详解】（1）证明：∵D 、E 分别为AB 、AC 的中点， ∵12DE BC =，∥DE BC ， ∵延长BC 至点F ，使12CF BC =， ∵DE FC =，DE FC ∥；（2）解：∵DE FC =，DE FC ∥，∵四边形DEFC 是平行四边形，∵DC =EF ，∵D 为AB 的中点，等边△ABC 的边长是2，∵AD =BD =1，CD ∵AB ，BC =2， ∵22213DC EF =-．【点睛】本题主要考查了三角形中位线定理；等边三角形的性质；平行四边形的判定与性质（四）板书设计三角形中位线的定义：连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线数学语言：,AD BD AE CE ==，DE ∴是ABC ∆的中位线三角形的中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半数学语言：DE 是ABC ∆的中位线，1//,2DE BC DE BC ∴= 方法点拨：在进行证明中，需要充分利用三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半，在必要的时候，可以根据定理构造三角形中位线。
课题三角形中位线培优FMEC B APF E DCB AFN MECBA例题2：BE 、CF 是△ABC 的角平分线，AN ⊥BE 于N ，AM ⊥CF 于M 。
求证：MN ∥BC练习：如图，在∆ABC 中，AB=BC ，∠ABC=90°，F 为BC 上一点，M 为AF 的中点，BE 平分∠ABC ，且EF ⊥BE ，求证：CF=2ME 。
方法二、【取中点构造中位线】例题1：如图，在四边形ABCD 中，AD=BC ，∠CBD=20°，∠BDA=110°，E 、F 、P 分别为AB 、CD 、BD 的中点，探索PF 与EF 的数量关系.练习：如图，在∆ABC 中，∠C=90°，CA=CB ，E ，F 分别为CA ，CB 上一点，CE=CF ，M ，N 分别为AF ，BE 的中点，求证：AE=2MNNMD C B A例题2：如图，四边形ABCD 中，M ，N 分别为AD ，BC 的中点，边BD ，若AB=10，CD=8，求MN 的取值范围。
练习：已知：如图，在四边形ABCD 中，AD ＝BC ，E 、F 分别是DC 、AB 边的中点，FE 的延长线分别与AD 、BC 的延长线交于H 、G 点．求证：∠AHF ＝∠BGF ．方法三、【借助平行四边形的性质】 例题：如图，（1）E 、F 为△ABC 的中点，G 、H 为AC 的两个三等分点，连接EG 、FH 并延长交于D ， 连接AD 、CD. 求证：四边形ABCD 是平行四边形.练习：已知：如图，在□ABCD 中，E 是CD 的中点，F 是AE 的中点，FC 与BE 交 于G ．求证：GF ＝GC ．课后作业1.如图，在△ABC 中，AB=10，BC=7，BE 平分∠ABC ，AE ⊥BE ，点F 为AC 的中点，连接EF ，求EF 的长度.3.如图，AD 是△ABC 的中线，E 是AD 的中点，F 是BE 延长线与AC 的交点。
9.5 三角形的中位线同步培优讲练综合三角形的中位线1．连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线.2．定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半.顺次连接特殊的平行四边形各边中点得到的四边形的形状（1）顺次连接平行四边形各边中点得到的四边形是平行四边形.（2）顺次连接矩形各边中点得到的四边形是菱形.（3）顺次连接菱形各边中点得到的四边形是矩形.（4）顺次连接正方形各边中点得到的四边形是正方形.一、三角形中位线有关的求解问题【例1】如图，为测量位于一水塘旁的两点A，B间的距离，在地面上确定点O，分别取OA，OB的中点C，D，量得10=，则A，B之间的距离是()CD mA.5m B．10mC．20m D．40m【例2】如图，在ABC∆中，点D、E分别是边AB、AC的中点，连接DE，ABC∠的平分线BF交DE于点F，若4AB=，6BC=，则EF的长为．【例3】如图，在四边形ABCD 中，点P 是对角线BD 的中点，点E 、F 分别是AB 、CD 的中点，AD BC =，30PEF ∠=︒，则EPF ∠的度数是 ．【例4】在ABC 中，120AB AC BAC =∠=︒，，D 为ABC 形内一点，以AD 为腰作等腰DAE ，使DAE BAC ∠=∠，连接BE CD 、，若M N 、分别是DE BC 、的中点，1MN =，则CD 的长为_______．【例5】有一块梯形形状的土地，现要平均分给两个农户种植（即将梯形面积两等分），试设计两种方案，并说明理由．（平分图案画在备用图上，保留作图痕迹）【例6】如图，在ABC ∆中，点D ，E ，F 分别是边AB ，BC ，CA 上的中点，且10AB cm =，16AC cm =，则四边形ADEF 的周长等于 cm ．【例7】如图，四边形ABCD 中，1AB =，4CD =，M 、N 分别是AD 、BC 的中点，则线段MN 的取值范围是( )A ．35MN <<B ．35MN <C ．3522MN <<D ．3522MN <【例8】如图，Rt ABC △中，90BAC ∠=︒，6AB =，10BC =，AD 、AE 分别是其角平分线和中线，过点B 作BG AD ⊥于G ，交AC 于F ，连接EG ，则线段EG 的长为（ ）A ．12 B ．1 C ．32 D ．2二、三角形中位线相关的面积问题【例1】如图，在ABC ∆中，D 、E 、F 分别是BC 、AC 、AD 的中点，若ABC ∆的面积是40，则四边形BDEF 的面积是( )A ．10B ．12.5C ．15D ．20【例2】E 、F 是线段AB 上的两点，且16AB =，2AE =，4BF =，点G 是线段EF 上的一动点，分别以AG 、BG 为斜边在AB 同侧作两个等腰直角三角形，直角顶点分别为D 、C ，如图所示，连接CD 并取中点P ，连接PG ，点G 从E 点出发运动到F 点，则线段PG 扫过的图形面积为______．【例3】如图，在ABC 中，D ，E ，F 分别是BC AD CE ，，的中点，22cm BCF S =，则ABC S =_____2cm【例4】如图，ABC 三边的中线AD ，BE ，CF 的公共点为G ，且:2:1AG GD =，若12ABC S =△，则图中阴影部分的面积是_____．【例5】如图，在Rt ABC △中，90BAC ∠=︒，,E F 分别是,BC AB 的中点，延长CA 到点D ，使得2AC AD =，连接,,,,DE DF AE EF AF 与DE 交于点O ．5,13AB BC ==，求四边形AEFD 的面积．三、与三角形中位线有关的应用和证明【例1】在ABC ∆中，点M 是边BC 的中点，AD 平分BAC ∠，BD AD ⊥，BD 的延长线交AC 于点E ，12AB =，20AC =．（1）求证：BD DE =；（2）求DM 的长．【例2】如图，ABC ∆中，AH BC ⊥于点H ，点D ，E 分别是AB ，AC 的中点，连接DH ，EH ，DE ．（1）求证：AD DH =；（2）若四边形ADHE 的周长是30，ADE ∆的周长是21，求BC 的长．【例3】如图，在四边形ABCD 中，P 是对角线BD 的中点，E 、F 分别是AB 、CD 的中点，AD BC =，20PEF ∠=︒，求PFE ∠的度数．【例4】在Rt ABC 中，90BAC ∠=︒，E 、F 分别是BC 、AC 的中点，延长BA 到点D ，使2AB AD =，连接DE 、DF 、AE 、EF ，AF 与DE 交于点O ．(1)试说明AF 与DE 互相平分；(2)若8AB =，12BC =，求DO 的长．四、梯形中位线【例1】已知一个梯形的中位线长为5cm ，其中一条底边的长为6cm ，那么该梯形的另一条底边的长是 cm ．【例2】如图，已知直角梯形ABCD 的一条对角线把梯形分为一个直角三角形和一个边长为8cm 的等边三角形，则梯形ABCD 的中位线长为( )A. 4cm B ．6cmC ．8cmD ．10cm【例3】如图，梯形ABCD 的两底长为6AD =，10BC =，中位线为EF ，且90B ∠=︒，若P 为AB 上的一点，且PE 将梯形ABCD 分成面积相同的两区域，则EFP ∆与梯形ABCD 的面积比为 ．五、中点四边形【例1】顺次连接四边形四条边的中点，所得的四边形是菱形，则原四边形一定是( )A ．平行四边形B ．对角线相等的四边形C ．矩形D ．对角线互相垂直的四边【例2】若顺次连接四边形ABCD 各边的中点所得到的四边形是矩形，则原四边形必定是（ ）A ．正方形B ．对角线相等的四边形C ．菱形D ．对角线互相垂直的四边形【例3】依次连接下列四边形四条边的中点得到四边形不是菱形的是（ ）A ．矩形B ．菱形C ．正方形D ．等腰梯形【例4】如图，四边形ABCD 中，AC a =，BD b =．且AC BD ⊥，顺次连接四边形ABCD 各边中点，得到四边形1111D C B A ，再顺次连接四边形1111D C B A 各边中点，得到四边形2222,A B C D ⋅⋅⋅，如此进行下去，得到四边形n n n n A B C D ．下列结论正确的是（ ）①四边形2222A B C D 是矩形；②四边形4444A B C D 是菱形；③四边形5555A B C D 的周长是4a b+，④四边形n n n n A B C D 的面积是12n ab+．A ．①②③B ．②③④C ．①②D ．②③1、如图，在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，5AC =，12BC =．若D ，E 分别为边AC ，BC 的中点，则DE 的长为( )A ．5B ．5.5C ．6D ．6.52、如图是屋架设计图的一部分，其中30A ∠=︒，点D 是斜梁AB 的中点，BC 、DE 垂直于横梁AC ，16AB m =，则DE 的长为( )A. 8mB ．4mC ．2mD ．6m3、如图，点D 、E 、F 分别是AC 、BC 、AB 中点，且BD 是ABC ∆的角平分线．求证：BE AF =．4．如图，平行四边形ABCD 中，对角线AC ，BD 相交于O ，2BD AD =，E ， F ， G 分别是OC ， OD ，AB 的中点，下列结论中：①BE AC ⊥；②四边形BEFG 是平行四边形；③EG GF =；④EA 平分GEF ∠，正确的是（ ）A ．①②B ．①②④C ．①②③D ．②③④5．如图，四边形ABCD 中，对角线AC BD ⊥，且8AC =，4BD =，各边中点分别为1A ，1B ，1C ，1D ，顺次连接得到四边形1111D C B A ；再取各边中点2A ，2B ，2C ，2D ，顺次连接得到四边形2222A B C D ；依此类推，这样得到四边形n n n n A B C D ，则四边形n n n n A B C D 的面积为____．6．已知一个对角线长分别为12cm 和16cm 的菱形，顺次连接它的四边中点得到的四边形的面积是______．7．如图，在ABC 和ABD △中，90ACB ADB ∠=∠=︒，E 、F 、G 分别为AB 、AC 、BC 的中点，若1DE =，则FG =________．8、如图，在ABC ∆中，90ACB ∠=︒，M 、N 分别是AB 、AC 的中点，延长BC 至点D ，使13CD BD =．连接DM 、DN 、MN ．若6AB =，求DN 的长．9．如图，在四边形ABCD 中，E ，F 分别是AD BC ，的中点．(1)若102430120AB CD ABD BDC ==∠=︒∠=︒，，，，求EF 的长．(2)若90BDC ABD ∠-∠=︒，求证：2224AB CD EF +=．10．已知：如图，四边形ABCD 四条边上的中点分别为E 、F 、G 、H ，顺次连接EF 、FG 、GH 、HE ，得到四边形(EFGH 即四边形ABCD 的中点四边形)．(1)四边形EFGH 的形状是______，请证明你的结论；(2)当四边形ABCD 的对角线满足______条件时，四边形EFGH 是菱形；(3)你学过的哪种特殊的平行四边形的中点四边形是菱形？请写出一种．11．定义：既相等又垂直的两条线段称为“等垂线段”，如图1，在Rt ABC △中，90A ∠=︒，AB AC =，点D 、E 分别在边AB 、AC 上，AD AE =，连接DE 、DC ，点M 、P 、N 分别为DE 、DC 、BC 的中点，且连接PM 、PN ．(1)观察猜想线段PM 与PN ______填（“是”或“不是”）“等垂线段”．(2)ADE 绕点A 按逆时针方向旋转到图2所示的位置，连接BD ，CE ，试判断PM 与PN 是否为“等垂线段”，并说明理由．(3)拓展延伸把ADE 绕点A 在平面内自由旋转，若2DE =，4BC =，请直接写出PM 与PN 的积的最大值．9.5 三角形的中位线同步培优讲练综合三角形的中位线1．连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线.2．定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半.顺次连接特殊的平行四边形各边中点得到的四边形的形状（1）顺次连接平行四边形各边中点得到的四边形是平行四边形.（2）顺次连接矩形各边中点得到的四边形是菱形.（3）顺次连接菱形各边中点得到的四边形是矩形.（4）顺次连接正方形各边中点得到的四边形是正方形.一、三角形中位线有关的求解问题【例1】如图，为测量位于一水塘旁的两点A，B间的距离，在地面上确定点O，分别取OA，OB的中点CD m，则A，B之间的距离是()C，D，量得10B.5m B．10mC．20m D．40m【答案】C【解析】解：点C，D分别是OA，OB的中点，220()AB CD m ∴==，故选：C ．【例2】如图，在ABC ∆中，点D 、E 分别是边AB 、AC 的中点，连接DE ，ABC ∠的平分线BF 交DE 于点F ，若4AB =，6BC =，则EF 的长为 ．【答案】1【解析】解：连接AF 并延长交BC 于H ，点D 、E 分别为边AB 、AC 的中点，//DE BC ∴，132DE BC ==，FH =， 在BFA ∆和BFH ∆中，ABF HBF AFB HFB FA FH ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()BFA BFH AAS ∴∆≅∆，4BH AB ∴==，AD DB =，AF FH =，122DF BH ∴==， 1EF DE DF ∴=-=，故答案为：1．【例3】如图，在四边形ABCD 中，点P 是对角线BD 的中点，点E 、F 分别是AB 、CD 的中点，AD BC =，30PEF ∠=︒，则EPF ∠的度数是 ．【答案】120【解析】 解：点P 是对角线BD 的中点，点E 、F 分别是AB 、CD 的中点，12PF BC ∴=，12PE AD =，又AD BC =， PE PF ∴=，30PFE PEF ∴∠=∠=︒，120EPF ∴∠=︒，故答案为：120︒．【例4】在ABC 中，120AB AC BAC =∠=︒，，D 为ABC 形内一点，以AD 为腰作等腰DAE ，使DAE BAC ∠=∠，连接BE CD 、，若M N 、分别是DE BC 、的中点，1MN =，则CD 的长为_______．【答案】2【解析】解：如图，连接BD ，取BD 的中点F ，连接FM FN ，，∵BAC EAD ∠=∠，BAC EAD ∠=∠， ∴BAC BAD EAD BAD ∠-∠=∠-∠，即BAE CAD ∠=∠，在AEB △和ADC △中，AE AD BAE CADAB AC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴AEB ADC SAS ≌（），∴BE CD =，∵M 是ED 的中点，F 是BD 的中点，∴FM 是BED 的中位线， ∴12FM BE =，FM BE ∥，∴DFM EBD ∠=∠， 同理得，1 2FN CD =，FN CD ，FM FN FNB DCB ∴=∠=∠，，∵DFN DBC FNB DBC DCB ∠=∠+∠=∠+∠，∴18012060MFN DFM DFN EBD DBC DCB ∠=∠+∠=∠+∠+∠=︒-︒=︒，∴FMN 是等边三角形，∴1MN FN ==，∴2CD =．故答案为：2．【例5】有一块梯形形状的土地，现要平均分给两个农户种植（即将梯形面积两等分），试设计两种方案，并说明理由．（平分图案画在备用图上，保留作图痕迹）【答案】见解析【解析】解：设梯形上、下底分别为a 、b ，高为h ．方案一：如图1，连接梯形上、下底的中点E 、F ，则()4ABFE EFCD a b h S S +==四边形四边形；方案二：如图2，连接AC ，取AC 的中点E ，连接BE ED 、，则图中的四边形ABED 的面积=梯形ABCD 的面积的一半，∵AE EC =，∴ABE BEC S S =，AED ECD S S =， ∴ABE AED BEC ECD S S S S +=+，∴四边形ABED 的面积=梯形ABCD 的面积的一半．方案三：如图3，分别量出梯形上、下底a 、b 的长，在下底BC 上截取2a b BE +=，连接AE ， ∴()1•24ABE a b h S BE h +==，()()()244ABE AECD ABCD a b h a b h a b h S S S +++=-=-=四边形梯形，则()4ABE AECD a b h S S +==四边形．【例6】如图，在ABC ∆中，点D ，E ，F 分别是边AB ，BC ，CA 上的中点，且10AB cm =，16AC cm =，则四边形ADEF 的周长等于 cm ．【答案】26【解析】解：点D ，E ，F 分别是边AB ，BC ，CA 上的中点，DE ∴，EF 都是ABC ∆的中位线，182DE AC cm ∴==，//DE AC ，152EF AB cm ==，//EF AB ， ∴四边形ADEF 是平行四边形，∴四边形ADEF 的周长2()21326()DE EF cm =+=⨯=．故答案为：26．【例7】如图，四边形ABCD 中，1AB =，4CD =，M 、N 分别是AD 、BC 的中点，则线段MN 的取值范围是( )A ．35MN <<B ．35MN <C ．3522MN <<D ．3522MN < 【答案】D【解析】解：连接AC ，取AC 的中点H ，连接MH 、NH ，M 、H 分别是AD 、AC 的中点，122MH CD ∴==， 同理可得，1122NH AB ==， 在MHN ∆中，MH NH MN MH NH -<<+，即3522MN <<， 当H 在MN 上时，52MN MH NH =+=，∴3522MN <， 故选：D ．【例8】如图，Rt ABC △中，90BAC ∠=︒，6AB =，10BC =，AD 、AE 分别是其角平分线和中线，过点B 作BG AD ⊥于G ，交AC 于F ，连接EG ，则线段EG 的长为（ ）A ．12 B ．1 C ．32 D ．2【答案】B【解析】解：Rt ABC △中，6AB =，10BC =，∴8AC ==，∵BG AD ⊥，∴AGB AGF ∠=∠．∵AD 平分BAC ∠，∴BAG FAG ∠=∠， 在AGB 和AGF 中BAG FAG AG AGAGB AGF ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴AGB AGF ≌∴6,AB AF BG FG ===，∴2CF =，∵AE 是ABC 的中线，∴BE CE =，∴EG 是BCF △的中位线，∴112EG CF ==，故选：B ．二、三角形中位线相关的面积问题【例1】如图，在ABC ∆中，D 、E 、F 分别是BC 、AC 、AD 的中点，若ABC ∆的面积是40，则四边形BDEF 的面积是( )A ．10B ．12.5C ．15D ．20 【答案】C【解析】解：D 、E 、F 分别是BC 、AC 、AD 的中点，12ADE ADC S S ∆∆∴=，12ADC ABC S S ∆∆=，12DEF ADE S S ∆∆=， 1140588DEF ABC S S ∆∆∴==⨯=， D 、E 、F 分别是BC 、AC 、AD 的中点，11402022ABD ABC S S ∆∆∴==⨯=， 11201022BDF ADB S S ∆∆∴==⨯=， ∴四边形BDEF 的面积15BDF DEF S S ∆∆=+=，故选：C ．【例2】E 、F 是线段AB 上的两点，且16AB =，2AE =，4BF =，点G 是线段EF 上的一动点，分别以AG 、BG 为斜边在AB 同侧作两个等腰直角三角形，直角顶点分别为D 、C ，如图所示，连接CD 并取中点P ，连接PG ，点G 从E 点出发运动到F 点，则线段PG 扫过的图形面积为______．【答案】30【解析】解：分别延长AD 、BC 相交于点H ，连接PH ，EH ，FH ，∵ADG △、GCB △为等腰直角三角形，∴45DGA CGB A B ∠=∠=∠=∠=︒，∴90DGC ∠=︒，∴AH GC ∥，又∵90HCG ∠=︒，∴90HCG DGC ∠=∠=︒，∴DG HB ∥，∴四边形DGCH 为矩形，∵点P 为DC 中点，∴点G 、P 、H 三点共线，且P 为HG 的中点，过P 作MN AB ∥分别交EH 、FH 与M 、N ，∴MN 为HEF 的中位线，且MN 即为点P 的运动轨迹， ∴GP 扫过的图形即为梯形MEFN ，∵16AB =，2AE =，4BF =，∴162410EF =--=， ∴152MN EF ==，过点H 作HO 垂直AB 于O ，∵45A B ∠=∠=︒，∴AH BH =，180454590AHB ∠=︒-︒-︒=︒， ∴182HO AO BO AB ====，∵MN 为HEF 的中位线， ∴118422PO HO ==⨯=，即梯形的高为4， ∴()14105302MEFN S =⨯⨯+=梯形，即线段PG 扫过的图形面积为30．故答案为：30．【例3】如图，在ABC 中，D ，E ，F 分别是BC AD CE ，，的中点，22cm BCF S =，则ABC S =_____2cm【答案】8【解析】解：如图，连接BE ，∵E 是AD 的中点， ∴12ABE ABD S S =△△，12ACE ACD S S =， ∴()11112222ABE ACE ABD ACD ABD ACD ABC S S S S S S S +++===， ∴12CBE ABC S S =，∵F 是CE 的中点， ∴1124FBC EBC ABC S S S ==， 而22cm BCF S =， ∴28cm ABC S =． 故答案为：8．【例4】如图，ABC 三边的中线AD ，BE ，CF 的公共点为G ，且:2:1AG GD =，若12ABC S =△，则图中阴影部分的面积是_____．【答案】4【解析】解：∵ABC 的三条中线AD ，BE ，CF 交于点G ，:2:1AG GD =，∴AE CE =， ∴13CGE AGE ACF S S S ==△△△，13BGF BGD BCF S S S ==，∵1112622ACF BCF ABC S S S ===⨯=△△△，∴231316CGE ACF S S ==⨯=，231316BGF BCF S S ==⨯=， ∴4CGE BGF S S S +==阴影．故答案为：4．【例5】如图，在Rt ABC △中，90BAC ∠=︒，,E F 分别是,BC AB 的中点，延长CA 到点D ，使得2AC AD =，连接,,,,DE DF AE EF AF 与DE 交于点O ．5,13AB BC ==，求四边形AEFD 的面积．【答案】15【解析】解：∵,E F 分别是,BC AB 的中点，∴EF 是ABC 的中位线，∴EF AC ∥，2AC EF =，∵2AC AD =，∴AD EF =，又∵AD EF ∥，∴四边形ADFE 是平行四边形，在Rt ABC △中，90BAC ∠=︒，5,13AB BC ==，∴12AC =，162EF AC AD ===， ∴1522AF AB ==， ∴56152ADFE S AD AF ==⨯=⨯平行四边形．与三角形中位线有关的应用和证明【例1】在ABC ∆中，点M 是边BC 的中点，AD 平分BAC ∠，BD AD ⊥，BD 的延长线交AC 于点E ，12AB =，20AC =．（1）求证：BD DE =；（2）求DM 的长．【答案】见解析【解析】（1）证明：AD 平分BAC ∠，BAD DAE ∴∠=∠．AD BD ⊥，90ADB ADE ∴∠=∠=︒．在ADB ∆与ADE ∆中，BAD EAD AD ADADB ADE ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩ADB ADE ∴∆≅∆，BD DE ∴=．（2）ADB ADE ∆≅∆，12AE AB ∴==，8EC AC AE ∴=-=． M 是BC 的中点，BD DE =，142DM EC ∴==． 【例2】如图，ABC ∆中，AH BC ⊥于点H ，点D ，E 分别是AB ，AC 的中点，连接DH ，EH ，DE ．（1）求证：AD DH =；（2）若四边形ADHE 的周长是30，ADE ∆的周长是21，求BC 的长．【答案】见解析【解析】解：（1）AH BC ⊥，90AHB ∴∠=︒，点D 是AB 的中点，12AD DH AB ∴==； （2）AH BC ⊥，90AHB AHC ∴∠=∠=︒，点D ，E 分别是AB ，AC 的中点，12AD DH AB ∴==，12AE HE AC ==， 四边形ADHE 的周长是30，130152AD AE ∴+=⨯=， ADE ∆的周长是21，21156DE ∴=-=，点D ，E 分别是AB ，AC 的中点，DE ∴是ABC ∆的中位线，212BC DE ∴==．【例3】如图，在四边形ABCD 中，P 是对角线BD 的中点，E 、F 分别是AB 、CD 的中点，AD BC =，20PEF ∠=︒，求PFE ∠的度数．【答案】20【解析】解：P 是BD 的中点，E 是AB 的中点，PE ∴是ABD ∆的中位线，12PE AD ∴=， 同理，12PF BC =， AD BC =，PE PF ∴=，20PFE PEF ∴∠=∠=︒．【例4】在Rt ABC 中，90BAC ∠=︒，E 、F 分别是BC 、AC 的中点，延长BA 到点D ，使2AB AD =，连接DE 、DF 、AE 、EF ，AF 与DE 交于点O ．(1)试说明AF 与DE 互相平分；(2)若8AB =，12BC =，求DO 的长．【答案】(1)见解析 【解析】（1）∵E 、F 分别是BC 、AC 的中点，∴EF 是ABC 的中位线，∴EF AB ∥且12EF AB =．又2AB AD =，即12AD AB =， ∴AD EF ，AD EF =，∴四边形AEFD 是平行四边形，∴AF 与DE 互相平分；（2）∵在Rt ABC 中，90BAC ∠=︒，8AB =，12BC =，∴由勾股定理得AC又由（1）知，OA OF =，且AF CF =，∴14OA AC =∴在AOD △中，90DAO ∠=︒，142AD AB ==，OA∴由勾股定理得 DO ==三、梯形中位线【例1】已知一个梯形的中位线长为5cm ，其中一条底边的长为6cm ，那么该梯形的另一条底边的长是 cm ．【答案】4【解析】解：设梯形的另一条底边为xcm ，由题意得：625x +=⨯，解得4x =．即梯形的另一条底边的长为4cm ．故答案为：4．【例2】如图，已知直角梯形ABCD 的一条对角线把梯形分为一个直角三角形和一个边长为8cm 的等边三角形，则梯形ABCD 的中位线长为( )B. 4cmB ．6cmC ．8cmD ．10cm【答案】B【解析】解：DBC ∆是等边三角形，8DB DC BC cm ∴===，60DBC ∠=︒，90ABC ∠=︒，30ABD ∴∠=︒，90A ∠=︒，142AD BD cm ∴==，∴梯形ABCD 的中位线是11()(48)622AD BC cm cm cm +=⨯+=， 故选：B ．【例3】如图，梯形ABCD 的两底长为6AD =，10BC =，中位线为EF ，且90B ∠=︒，若P 为AB 上的一点，且PE 将梯形ABCD 分成面积相同的两区域，则EFP ∆与梯形ABCD 的面积比为 ．【答案】1：16【解析】 解：梯形ABCD 的两底长为6AD =，10BC =，11()(610)822EF AD BC ∴=+=⨯+=，()()11610822ABCD S AD BC AB AB AB ∴=+⨯=⨯+⨯=梯形．()()1117682242AFED S AD EF AB AB AB =+⨯=+⨯=梯形，1714222EFP ABCD AFED S S S AB AB AB ∆∴=-=-=梯形梯形，1::81:162EFP ABCD S S ∆∴==梯形．故答案为：1:16．四、中点四边形【例1】顺次连接四边形四条边的中点，所得的四边形是菱形，则原四边形一定是() A ．平行四边形 B ．对角线相等的四边形C ．矩形D ．对角线互相垂直的四边【答案】B【解析】 解：四边形EFGH 是菱形，1122EH FG EF HG BD AC ∴=====，故AC BD =．故选：B ．【例2】若顺次连接四边形ABCD 各边的中点所得到的四边形是矩形，则原四边形必定是（）A ．正方形B ．对角线相等的四边形C ．菱形D ．对角线互相垂直的四边形【答案】D【解析】 解：如图， 四边形EFGH 是矩形90FEH ∴∠=︒点E 、F 的分别是AD 、AB 的中点EF ∴是ABD ∆的中位线EF BD ∴∥90FEH OMH ∴∠=∠=︒点E 、H 的分别是AD 、CD 的中点EH ∴是ACD ∆的中位线EH AC ∴90OMH COB ∴∠=∠=︒AC BD ∴⊥．故选：D【例3】依次连接下列四边形四条边的中点得到四边形不是菱形的是（ ）A ．矩形B ．菱形C ．正方形D ．等腰梯形【答案】B【解析】解：如图所示，依次连接四边形四条边的中点，∵矩形ABCD ，∴AB CD ，AD BC ∥，AB CD =，AD BC =，且点E ，F ，G ，H 分别为四边的中点，∴AEF BGF CGH DEH △≌△≌△≌△， ∴EF GF GH EH ===，∴EFGH 是菱形；∴A 选项不符合题意；如上图所示，由A 选项结论得菱形EFGH ，点O ，P ，Q ，R 分别为四边的中点，∴EO OF FP PG QG QH HR ER =======，且菱形的对角相等，∴(SAS)EOR GPQ △≌△，(SAS)OFP HQR △≌△，∴OR PQ =，OP QR =，∴四边形OPRQ 是平行四边形，不一定是菱形；∴B 选项符合题意；如下图所示，正方形ABCD ，点E ，F ，G ，H 分别为四边的中点，∴AE AF FB BG GC CH HD DE =======，且90A B C D ∠=∠=∠=∠=︒，∴AEF BGF CGH DEH △≌△≌△≌△， ∴EF GF GH EH ===，∴EFGH 是菱形；∴C 选项不符合题意；如下图所示，等腰梯形ABCD ，点E ，F ，G ，H 分别为四边的中点，∴AE DE =，AF DH =，A D ∠=∠，∴(SAS)AEF DEH △≌△，∴EF EH =，同理可得，FG GH =，连接AC ，在ACD ，ACB △中，点E ，F ，G ，H 分别为四边的中点，根据三角形的中位线的性质可知，FG AC ，12FG AC =，EH AC ，12EH AC =，∴FG EH =，FG EH ∥，∴四边形EFGH 是平行四边形，又∵EF EH =，FG GH =，∴EFGH 是菱形；∴D 选项不符合题意．故选：B ．【例4】如图，四边形ABCD 中，AC a =，BD b =．且AC BD ⊥，顺次连接四边形ABCD 各边中点，得到四边形1111D C B A ，再顺次连接四边形1111D C B A 各边中点，得到四边形2222,A B C D ⋅⋅⋅，如此进行下去，得到四边形n n n n A B C D ．下列结论正确的是（ ）①四边形2222A B C D 是矩形；②四边形4444A B C D 是菱形；③四边形5555A B C D 的周长是4a b+，④四边形n n n n A B C D 的面积是12n ab+．A ．①②③B ．②③④C ．①②D ．②③【答案】B【解析】解：①连接A 1C 1，B 1D 1．∵在四边形ABCD 中，顺次连接四边形ABCD 各边中点，得到四边形A 1B 1C 1D 1，∴A 1D 1∥BD ，B 1C 1∥BD ，C 1D 1∥AC ，A 1B 1∥AC ；∴A 1D 1∥B 1C 1，A 1B 1∥C 1D 1，∴四边形A 1B 1C 1D 1是平行四边形；∵AC ⊥BD ，∴四边形A 1B 1C 1D 1是矩形，∴B 1D 1=A 1C 1（矩形的两条对角线相等）；∴A 2D 2=C 2D 2=C 2B 2=B 2A 2（中位线定理），∴四边形A 2B 2C 2D 2是菱形；故①错误；②由①知，四边形A2B2C2D2是菱形；∴根据中位线定理知，四边形A4B4C4D4是菱形；故②正确；③根据中位线的性质易知，A 5B 5=12A 3B 3=1122⨯A 1B 1=111222⨯⨯AC ， B 5C 5=12B 3C 3=1122⨯B 1C 1=111222⨯⨯BD ， ∴四边形A 5B 5C 5D 5的周长是()1284a b a b +⨯+=故③正确；④∵四边形ABCD 中，AC=a ，BD=b ，且AC ⊥BD ，∴S 四边形ABCD=12ab ； 由三角形的中位线的性质可以推知，每得到一次四边形，它的面积变为原来的一半，四边形AnBnCnDn 的面积是12n ab+故④正确；综上所述，②③④正确．故选：B ．1、如图，在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，5AC =，12BC =．若D ，E 分别为边AC ，BC 的中点，则DE 的长为( )A ．5B ．5.5C ．6D ．6.5【答案】D【解析】解：90C ∠=︒，5AC =，12BC =，13AB ∴=，AD DC =，CE EB =，1 6.52DE AB ∴==， 故选：D ．2、如图是屋架设计图的一部分，其中30A ∠=︒，点D 是斜梁AB 的中点，BC 、DE 垂直于横梁AC ，16AB m =，则DE 的长为( )B. 8mB ．4mC ．2mD ．6m 【答案】B【解答】解：30A ∠=︒，16AB m =，1116822BC AB m ∴==⨯=， BC 、DE 垂直于横梁AC ，//BC DE ∴，点D 是斜梁AB 的中点，118422DE BC m ∴==⨯=． 故选：B ．3、如图，点D 、E 、F 分别是AC 、BC 、AB 中点，且BD 是ABC ∆的角平分线．求证：BE AF =．【答案】见解析【解析】【解答】证明：连接DE ，点D 、E 、F 分别是AC 、BC 、AB 中点．//DE AB ∴，//EF AC ，∴四边形ADEF 是平行四边形，AF DE ∴=， BD 是ABC ∆的角平分线，ABD DBE ∴∠=∠，DBE BDE ∴∠=∠，BE DE ∴=，BE AF ∴=．4．如图，平行四边形ABCD 中，对角线AC ，BD 相交于O ，2BD AD =，E ， F ， G 分别是OC ，OD ，AB 的中点，下列结论中：①BE AC ⊥；②四边形BEFG 是平行四边形；③EG GF =；④EA 平分GEF ∠，正确的是（ ）A ．①②B ．①②④C ．①②③D ．②③④【答案】B【解析】解：如图，四边形ABCD 是平行四边形BO DO ∴==12BD ，AD BC =，AB CD =，又2BD AD =，OB BC OD DA ∴===，且点E 是OC 中点，BE AC ∴⊥，故①正确，E 、F 分别是OC 、OD 的中点，∴EF CD ∥，EF =12CD ，点G 是Rt ABE △斜边AB 上的中点，GE ∴=12AB AG BG ==EG EF AG BG ∴===，无法证明GE GF =，故③错误，BG EF =，BG EF CD ∥∥∴四边形BEFG 是平行四边形故②正确，EF CD AB ∥∥，BAC ACD AEF ∠∠∠∴==，AG GE =，GAE AEG ∠∠∴=，EF CD ∥AEF ACD ∴∠=∠,AB CD ∥，GAE ACD ∴∠=∠，AEG AEF ∠∠∴=，AE ∴平分GEF ∠，故④正确；故选：B ．5．如图，四边形ABCD 中，对角线AC BD ⊥，且8AC =，4BD =，各边中点分别为1A ，1B ，1C ，1D ，顺次连接得到四边形1111D C B A ；再取各边中点2A ，2B ，2C ，2D ，顺次连接得到四边形2222A B C D ；依此类推，这样得到四边形n n n n A B C D ，则四边形n n n n A B C D 的面积为____．【答案】162n【解析】∵四边形ABCD 中，对角线AC BD ⊥，且8AC =，4BD = ∴11841622=⨯⨯=⨯⨯=ABCD S AC BD∵中点四边形的面积是原四边形面积的一半 ∴11111162==⨯A B C D ABCD S S222221162==⨯A B C D ABCD S S 以此类推，1161622==⨯=n n n n A B C D ABCD n n S S6．已知一个对角线长分别为12cm 和16cm 的菱形，顺次连接它的四边中点得到的四边形的面积是______．【答案】48【解析】解：E 、F 、G 、H 分别为各边中点，EF GH AC ∴∥∥，2EF GH AC ==，12EH FG BD ==，EH FG BD ∥∥，DB AC ⊥， EF EH ∴⊥，∴四边形EFGH 是矩形， 16cm 2EH BD ==，18cm 2EF AC ==，∴矩形EFGH 的面积26848cm EH EF =⨯=⨯=，故答案为：248cm ．7．如图，在ABC 和ABD △中，90ACB ADB ∠=∠=︒，E 、F 、G 分别为AB 、AC 、BC 的中点，若1DE =，则FG =________．【答案】1【解析】解：Rt ABC 中，点E 是AB 的中点，1DE =，22AB DE ∴==，点F 、G 分别是AC 、BC 中点， ∴112FG AB ==，故答案为：18、如图，在ABC ∆中，90ACB ∠=︒，M 、N 分别是AB 、AC 的中点，延长BC 至点D ，使13CD BD =．连接DM 、DN 、MN ．若6AB =，求DN 的长．【答案】3【解析】解：连接CM ，90ACB ∠=︒，M 是AB 的中点，132CM AB ∴==， M 、N 分别是AB 、AC 的中点，12MN BC ∴=，//MN BC ， 13CD BD =，MN CD ∴=，又//MN BC ，∴四边形NDCM 是平行四边形，3DN CM ∴==．9．如图，在四边形ABCD 中，E ，F 分别是AD BC ，的中点．(1)若102430120AB CD ABD BDC ==∠=︒∠=︒，，，，求EF 的长．(2)若90BDC ABD ∠-∠=︒，求证：2224AB CD EF +=．【答案】（1）13 （2）见解析【解析】（1）如图，取BD 的中点P ，连接EP FP 、，∵E ，F 分别是AD BC 、的中点，1024AB CD ==，，∴PE AB ∥，且152PE AB ==，PF CD ∥，且1122PF CD ==．又∵30120ABD BDC ∠=︒∠=︒，，∴3018060EPD ABD DPF BDC ∠=∠=︒∠=︒-∠=︒，，∴90EPF EPD DPF ∠=∠+∠=︒．在Rt EPF中，13EF ===．（2）证明：如图，取BD 的中点P ，连接EP FP 、．∵E ，F 分别是AD BC 、的中点，∴PE AB ，且12PE AB =，PF CD ∥，且12PF CD =．∴180EPD ABD DPF BDC ∠=∠∠=︒-∠，．∵90BDC ABD ∠-∠=︒，∴90∠=︒+∠BDC ABD ，∴180EPF EPD DPF ABD BDC ∠=∠+∠=∠+︒-∠180(90)90ABD ABD =∠+︒-︒+∠=︒， ∴222221122PE PF AB CD EF ⎛⎫⎛⎫+=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ∴2224AB CD EF +=．10．已知：如图，四边形ABCD 四条边上的中点分别为E 、F 、G 、H ，顺次连接EF 、FG 、GH 、HE ，得到四边形(EFGH 即四边形ABCD 的中点四边形)．(1)四边形EFGH 的形状是______，请证明你的结论；(2)当四边形ABCD 的对角线满足______条件时，四边形EFGH 是菱形；(3)你学过的哪种特殊的平行四边形的中点四边形是菱形？请写出一种．【答案】(1)平行四边形．证明见解析(2)AC BD =；(3)矩形的中点四边形是菱形．【解析】（1）四边形EFGH 的形状是平行四边形．理由如下：如图1，连接BD ．E 、H 分别是AB 、AD 中点，EH BD ∴∥，12EH BD =，同理FG BD ∥，12FG BD =，EH FG ∴∥，EH FG =，∴四边形EFGH 是平行四边形；故答案为：平行四边形；（2）当四边形ABCD 的对角线满足AC BD =的条件时，四边形EFGH 是菱形．理由如下： 如图2，连接AC 、BD ．E 、F 、G 、H 分别为四边形ABCD 四条边上的中点，EH BD ∴∥，HG AC ∥，1=2EH BD ，12HG AC =，AC BD =，EH HG ∴=， 又四边形EFGH 是平行四边形∴平行四边形EFGH 是菱形；故答案为：AC BD =；（3）矩形的中点四边形是菱形．理由如下：连接AC 、BD ．E 、F 、G 、H 分别为四边形ABCD 四条边上的中点，EH BD ∴∥，HG AC ∥，FG BD ∥，EF AC ∥，12FG EH BD ==，12EF HG AC ==，四边形ABCD 是矩形，AC BD ∴=，EH BD HG AC ===，∴四边形EFGH 是菱形．11．定义：既相等又垂直的两条线段称为“等垂线段”，如图1，在Rt ABC △中，90A ∠=︒，AB AC =，点D 、E 分别在边AB 、AC 上，AD AE =，连接DE 、DC ，点M 、P 、N 分别为DE 、DC 、BC 的中点，且连接PM 、PN ．(1)观察猜想线段PM 与PN ______填（“是”或“不是”）“等垂线段”．(2)ADE 绕点A 按逆时针方向旋转到图2所示的位置，连接BD ，CE ，试判断PM 与PN 是否为“等垂线段”，并说明理由．(3)拓展延伸把ADE 绕点A 在平面内自由旋转，若2DE =，4BC =，请直接写出PM 与PN 的积的最大值．【答案】】(1)是(2)是，答案见解析(3)92【解析】（1）解：线段PM 与PN 是“等垂线段”．理由如下：∴12MP EC =，12PN BD =，∵AB AC =，AD AE =，∴AB AD AC AE -=-，即BD CE =，∴MP PN =．∵点M 、P 、N 分别为DE 、DC 、BC 的中点，∴MP EC ∥，PN BD ∥，∵在Rt ABC △中，90A ∠=，AB AC =，∴45B ACB ∠=∠=︒，∴45ACD DCB ∠=︒-∠，180135BDC B DCB DCB ∠=︒-∠-∠=︒-∠，∵MP EC ∥，PN BD ∥，∴45MPD ACD DCB ∠=∠=︒-∠，()180********DPN BDC DCB DCB ∠=︒-∠=︒-︒-∠=︒+∠， ∴454590MPD DPN DCB DCB ∠+∠=︒-∠+︒+∠=︒，∴MP PN ⊥，即线段PM 与PN 是“等垂线段”，故答案为：是．（2）解：线段PM 与PN 是“等垂线段”，理由如下：∵ADE 绕点A 按逆时针方向旋转到图2所示的位置，∴AD AE =，=90DAE ∠︒，∵90BAC ∠=︒，∴BAC DAC DAE DAC ∠-∠=∠-∠，即BAD CAE ∠=∠，在ABD △与ACE △中，∵AB AC BAD CAE DA EA =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴()SAS ABD ACE △≌△， ∴BD CE =，∴12MP EC =，12PN BD =，∵BD CE =，∴MP PN =．∵点M 、P 、N 分别为DE 、DC 、BC 的中点，∴MP EC ∥，PN BD ∥，∵在Rt ABC △中，90BAC ∠=，AB AC =，∴45ABC ACB ∠=∠=︒，∴45ACD DCB ∠=︒-∠，45DBC ABD ∠=︒-∠，()180********BDC DBC DCB ABD DCB ABD DCB ∠=︒-∠-∠=︒-︒-∠-∠=︒+∠-∠ ∵MP EC ∥，PN BD ∥，∴MPD ECD ECA ACD ∠=∠=∠+∠，∵()SAS ABD ACE △≌△，∴ABD ACE ∠=∠，即MPD ECD ABD ACD ∠=∠=∠+∠()18018045DPN BDC ABD DCB ABD DCB ∠=︒-∠=︒-︒+∠-∠=︒-∠+∠， ∴45454590MPD DPN ABD ACD ABD DCB ∠+∠=∠+∠+︒-∠+∠=︒+︒=︒， ∴MP PN ⊥．∵MP PN =，MP PN ⊥．故线段PM 与PN 是“等垂线段”．（3）解：由（2）可知，MP PN =，MP PN ⊥， 故222MN PM PN PM ⨯==， 当MN 取最大值时，PM 与PN 的积有最大值．∵把ADE 绕点A 在平面内自由旋转，∴当N 、A 、M 三点共线，且点A 在NM 之间时，MN 取最大值．∴此时MN NA AM =+．∵在Rt ABC △中，90BAC ∠=，AB AC =，4BC =，N 为BC 的中点， ∴122NA BC ==， 同理可得，112MA DE ==， ∴MN 的最大值为3，PM 与PN 的积有最大值92．。
精品∙三角形的中位线培优练习知识点：1、三角形的中位线定义：连结三角形两边中点的线段.2、三角形中位线定理： ①三角形的中位线 于第三边（位置关系）②三角形的中位线等于 （数量关系）3、三角形中位线特点：①三角形中位线所截的小三角形的周长等于原三角形周长的1/2,面积等于原三角形的1/4②线过三角形一边的中点的直线如平行第三边，则它必经过另一边的中点一、基础练习1. 如图，DE 是△ABC 的中位线，则△ABC 与△ADE 的周长的比是 ( )A ．1:2B ．2:1C ．1:3D ．3:12. 如图，在Rt △ABC 中，∠A=30°，BC=1，点D ，E 分别是直角边BC ，AC 的中点，则DE 的长为（ ）A ．1B ．2C．D ．1+3. 如图，DE 是△ABC 的中位线，过点C 作CF ∥BD 交DE 的延长线于点F ，则下列结论正确的是（ ）A ．EF=CFB ．EF=DEC ．CF ＜BD D ．EF ＞DE4. 一个三角形的周长是36 cm ，则以这个三角形各边中点为顶点的三角形的周长是 ( )A ．6 cmB ．12 cmC ．18 cmD ．36 cm5. 如图，在△ABC 中，∠ABC=90°，AB=8，BC=6．若DE 是△ABC 的中位线，延长DE 交△ABC 的外角∠ACM 的平分线于点F ，则线段DF 的长为（ ） A ．7B ．8C ．9D ．106. 如图，在△ABC 中，∠ACB=90°，AC=8，于点E ，则DE 的长为（ ） A ．6B ．5C ．4D ．37. 如图，在△ABC 中，点D ，E 分别是边AB ，AC 的中点，AF ⊥BC ，垂足为点F ，∠ADE=30°，DF=4，则BF 的长为（ ）A ．4B ．8C ．2D ．48. 在△ABC 中，AB=3，BC=4，AC=2，D 、E 、F 分别为AB 、BC 、AC 中点，连接DF 、FE ，则四边形DBEF 的周长是（ ）A ．5B ．7C ．9D ．119. 如图，在△ABC 中，D 、E 分别是边AB 、AC 的中点，BC=8，则DE= ．(9) (10) (11) (12) (13) (14)10. 如图，小明为了测量学校里一池塘的宽度AB ，选取可以直达A 、B 两点的点O处，再分别取OA 、OB 的中点M 、N ，量得MN=20m ，则池塘的宽度AB 为 m11. 如图，在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，D 、E 、F 分别是AB 、BC 、CA 的中点，若CD=5cm ，则EF= cm ．12. 如图，在△ABC 中，∠ACB=90°，M 、N 分别是AB 、AC 的中点，延长BC 至点D ，FMECB APFEDCBFNMECBANMDCBA使CD=BD，连接DM、DN、MN．若AB=6，则DN= ．13. 如图，M是△ABC的边BC的中点，AN平分∠BAC，且BN⊥AN，垂足为N，且AB ＝6，BC＝10，MN＝1.5，则△ABC的周长是．14. 如图，在△ABC中，点D、E、F分别是边AB、BC、CA上的中点，且AB=6cm，AC=8cm，则四边形ADEF的周长等于cm．二、提高练习【利用角平分线+垂直、必有等腰三角形】例题1：如图，△ABC中，CD平分∠ACB，AD⊥CD，垂足为D点，点E为AB 的中点.（1）求证：DE∥BC；（2）求证：DM=（BC-AC）/2练习：如图，△ABC中，点M为△ABC的边BC的中点，AD为∠BAC的外角平分线，且DB⊥AD,连接DM.（1）求证：MD∥AC；（2）求证：DM=（AB+AC）/2练习：如图，在∆ABC中，AB=BC，∠ABC=90°，F为BC上一点，M为AF的中点，BE平分∠ABC，且EF⊥BE，求证：CF=2ME。
