中线与中位线(培优)

九年级数学中位线知识点中位线是数学中一个重要的概念，它在统计学和几何学中都有广泛的应用。

本文将详细介绍九年级数学中位线的相关知识点，包括定义、性质和求解方法等方面。

一、定义中位线是指一条线段，它连接平面上一个三角形的一个顶点和对边中点的线段。

具体来说，对于三角形ABC，若D是边AB的中点，则CD被称为三角形ABC的中位线。

二、性质1. 中位线的长度：中位线的长度等于对边的一半。

即，在三角形ABC中，若D为边AB的中点，则CD = 1/2 AB。

2. 中位线的位置：三角形ABC的三条中位线所交于一点，我们称之为重心（G）。

重心是三角形的一个重要特殊点，它将三角形分成六个小三角形，每个小三角形的面积相等。

3. 中位线的关系：在三角形中，任意两条中位线的交点都在第三条中位线上。

这个交点将每条中位线分成两个部分，其中一个部分是另一条中位线的2倍。

三、求解方法1. 已知三角形的顶点坐标：若已知三角形的顶点坐标A（x1, y1）、B（x2, y2）、C（x3, y3），求中位线CD的方法如下：a) 计算边AB的中点坐标D，D的坐标为（(x1+x2)/2,(y1+y2)/2）；b) 通过点D和顶点C的坐标，可以得到中位线CD的方程；c) 求解中位线CD的相关参数，如长度、斜率等。

2. 已知三角形的边长：若已知三角形的边长a、b、c，求中位线CD的方法如下：a) 根据已知边长，利用海伦公式计算三角形的面积S；b) 根据面积S和三角形的高公式，计算三角形的高h；c) 通过三角形高的性质，计算出中位线CD的长度。

四、例题解析为了更好地理解中位线的概念和求解方法，我们将通过例题来进行解析：例题1：已知三角形ABC的坐标为A（2, 4）、B（6, 8）、C （8, 2），求中位线CD的长度。

解析：首先计算边AB的中点坐标D，D的坐标为（(2+6)/2, (4+8)/2）= (4, 6)。

然后根据两点间的距离公式，计算出CD的长度：CD = √[(8-4)^2 + (2-6)^2] = √[(4^2) + (-4)^2] = √(16+16) = √32 = 4√2例题2：已知三角形的边长分别为a = 5 cm，b = 12 cm，c = 13 cm，求中位线CD的长度。

《三角形的中位线》知识清单一、三角形中位线的定义连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。

需要注意的是，一个三角形共有三条中位线。

二、三角形中位线定理三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半。

这个定理是解决与三角形中位线相关问题的重要依据。

为了更好地理解这个定理，我们可以通过以下方式来证明：如图，在△ABC 中，D、E 分别是 AB、AC 的中点，连接 DE。

延长 DE 到点 F，使得 EF ＝ DE，连接 CF。

因为 AE ＝ EC，∠AED ＝∠CEF，DE ＝ EF，所以△ADE ≌△CFE（SAS）所以 AD ＝ CF，∠ADE ＝∠F所以 AB ／／ CF又因为 AD ＝ BD所以 BD ＝ CF所以四边形 BCFD 是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）所以 DF ／／ BC，DF ＝ BC因为 DE ＝ 1/2 DF所以 DE ／／ BC，DE ＝ 1/2 BC通过以上证明，我们得出了三角形中位线定理。

三、三角形中位线定理的应用1、证明线段平行如果已知一条线段是三角形的中位线，那么可以直接得出这条线段与三角形的第三边平行。

例如，在△ABC 中，D、E 分别是 AB、AC 的中点，连接 DE，则DE ／／ BC。

2、证明线段的数量关系可以利用中位线等于第三边的一半来证明线段之间的倍数关系。

比如，已知△ABC 中，DE 是中位线，那么 DE ＝ 1/2 BC。

3、计算线段的长度在一些几何计算题中，如果能找到三角形的中位线，就可以利用中位线定理求出相关线段的长度。

例如，在△ABC 中，AB ＝ 10，D、E 分别是 AB、AC 的中点，那么 DE ＝ 5。

4、求图形的面积通过中位线与底边的关系，可以求出相关三角形的面积比。

假设△ABC 中，DE 是中位线，△ADE 的面积为 S1，△ABC 的面积为 S2。

因为 DE ／／ BC，所以△ADE ∽△ABC，相似比为 1 ： 2。

2022-2023学年初二数学第二学期培优专题14 三角形斜边中线与中位线结合【例题讲解】（1）如图1，已知△ABC中，F是BC上一点，AB＝BF，BE⊥AF，垂足是E，D是AC的中点，请说明FC和DE有怎样的关系？（请写出详细的推理过程）（2）如图2，在△ABC中，M、D分别是边AB、AC的中点，E是线段MD上的一点．连接AE、BE，∠AEB ＝90°，且AB＝8，BC＝14，则DE的长是______．解：（1）12DE FC DE FC=∥，，理由如下：∵AB=BF，BE⊥AF，∴AE=EF，即点E是AF的中点，又∵D是AC的中点，∴DE是△ACF的中位线，∴12DE FC DE FC=∥，；（2）∵M、D分别是AB、AC的中点，∴MD是△ABC的中位线，∴172MD BC==，∵∠AEB=90°，AB=8，M是AB的中点，∴142ME AB==，∴DE=MD-ME=3．【综合演练】1．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，BF是AC边上的中线，DE是△ABC的中位线，若DE＝10，则BF的长为（）A ．10B ．5C ．8D ．62．如图，在ABC 中，BF 平分ABC ∠，AF BF ⊥于点F ，D 为AB 的中点，连接DF 延长交AC 于点.E 若10AB =，=16BC ，则线段EF 的长为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．53．如图，在RtΔABC 中，∠ACB =90，AC =6、BC =4，点F 为射线CB 上一动点，过点C 作CM ⊥AF 于M 交AB 于E ， D 是AB 的中点，则DM 长度的最小值是( )A ．3B ．2C ．1D ．6-24．如图，在正方形ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点O ，E 为BC 上一点，CE ＝5，F 为DE 的中点．若△CEF 的周长为18，则OF 的长为( )A ．3B ．4C ．52D ．72第II 卷（非选择题）请点击修改第II 卷的文字说明二、填空题(共0分)5．已知，如图，在△ABC 中，D 、E 、F 分别是各边的中点，AH 是高，已知AB ＝6cm ，AC ＝8cm ，7cm 3CH BH -=，则△DHE 的周长为________cm ．6．如图，在Rt ABC 中，90ACB ∠=︒，30A ∠=︒，D ，E ，F 分别为AB ，AC ，AD 的中点，若6BC =，则EF 的长度为 _____．7．如图，菱形ABCD 中，DE AB ⊥，垂足为E ，点F 、G 分别为边AD 、DC 的中点，5,8EF FG ==，则ABCD S =菱形___________．8．如图，在ABC 和ABD △中，90ACB ADB ∠=∠=︒，E 、F 、G 分别为AB 、AC 、BC 的中点，若1DE =，则FG =_________．9．如图，在正方形ABCD 中，F 在AB 上，E 在BC 的延长线上，AF ＝CE ，连接DF 、DE 、EF ，EF 交对角线BD 于点N ，M 为EF 的中点，连接MC ，下列结论：①△DEF 为等腰直角三角形；②∠FDB ＝∠FEC ；③直线MC 是BD 的垂直平分线；④若BF ＝2，则MC ＝2；其中正确结论的有_______．10．如图，ABC ∆中，90ACB ∠=，D 为AC 边上的中点，E 为AB 边上一点，4AB BE =，连接CE DE 、，延长DE 交CB 延长线于F ，若3BF =，10AB =，则CE =________．11．如图，在Rt ABC 中，90,8,6ACB AC BC ∠=︒==，点P 是平面内一个动点，且4AP =，Q 为BP 的中点，在P 点运动过程中，设线段CQ 的长度为m ，则m 的取值范围是_______．三、解答题(共0分)12．如图，在四边形ABCD 中，∠ABC =90°，AC=AD ，M ，N 分别是AC ，CD 的中点，连接BM ，MN ，BN ．(1)求证：BM=MN；(2)若∠BAD=60°，AC平分∠BAD，AC=2．①求∠BMN的度数；②求BN的长．13．如图，D、E、F分别是△ABC三边中点，AH⊥BC于H．求证：（1）∠BDF＝∠BAC；（2）DF＝EH．14．在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，BD=2AB，点E、F分别是OA、BC的中点，连接BE、EF．BC；(1)求证：EF=12(2)在上述条件下，若AC=BD，G是BD上一点，且BG:GD=3:1，连接EG、FG，试判断四边形EBFG的形状，并证明你的结论．15．如图，在平面直角坐标系中，A（0，4），B（4，0），C（6，2），连接AB，BC，平移BC至AD（点B 与点A对应，点C与点D对应），连接CD．(1)①直接写出点D的坐标为．②判断四边形ABCD的形状，并证明你的结论；(2)如图1，点E为AB边上一点，连接DE，DF平分∠EDC交BC于F，连接EF，若∠DFE＝45°，求BE 的长；(3)如图2，N为BC边的中点，若∠AMC＝90°，连接MN，请直接写出MN的取值范围．16．已知，在△ABC中，以△ABC的两边BC，AC为斜边向外测作Rt△BCD和Rt△ACE，使∠CAE=∠CBD，取△ABC边AB的中点M，连接ME，MD．特例感知：（1）如图1，若AC=BC，∠ACB=60°，∠CAE=∠CBD=45°，取AC，BC的中点F，G，连接MF，MG，EF，DG，则ME与MD的数量关系为______，∠EMD=______；（2）如图2，若∠ACB=90°，∠CAE=∠CBD=60°，取AC，BC的中点F，G，连接MF，MG，EF，DG，请猜想ME与MD的数量关系以及∠EMD的度数，并给出证明；类比探究：（3）如图3，当△ABC是任意三角形，∠CAE=∠CBD=α时，连接DE，请猜想△DEM的形状以及∠EMD 与α的数量关系，并说明理由．中，D为BC中点，BE、CF与射线AE分别相交于点E、F（射线AE不经过点D）．17．在ABC(2)如图②，当BE⊥AE于点E，CF⊥AE于点F时，分别取AB、AC的中点M、N，连接ME、MD、NF、ND．求证：AM=AN(3)如图②，当BE⊥AE于点E，CF⊥AE于点F时，分别取AB、AC的中点M、N，连接ME、MD、NF、ND．求证：∠EMD=∠FND．18．（1）如图1，已知△ABC中，F是BC上一点，AB＝BF，BE⊥AF，垂足是E，D是AC的中点，请说明FC和DE有怎样的关系？（请写出详细的推理过程）（2）如图2，在△ABC中，M、D分别是边AB、AC的中点，E是线段MD上的一点．连接AE、BE，∠AEB ＝90°，且AB＝8，BC＝14，则DE的长是______．答案与解析【例题讲解】（1）如图1，已知△ABC中，F是BC上一点，AB＝BF，BE⊥AF，垂足是E，D是AC的中点，请说明FC和DE有怎样的关系？（请写出详细的推理过程）（2）如图2，在△ABC中，M、D分别是边AB、AC的中点，E是线段MD上的一点．连接AE、BE，∠AEB ＝90°，且AB＝8，BC＝14，则DE的长是______．解：（1）12DE FC DE FC=∥，，理由如下：∵AB=BF，BE⊥AF，∴AE=EF，即点E是AF的中点，又∵D是AC的中点，∴DE是△ACF的中位线，∴12DE FC DE FC=∥，；（2）∵M、D分别是AB、AC的中点，∴MD是△ABC的中位线，∴172MD BC==，∵∠AEB=90°，AB=8，M是AB的中点，∴142ME AB==，∴DE=MD-ME=3．【综合演练】1．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，BF是AC边上的中线，DE是△ABC的中位线，若DE＝10，则BF的长为（）A．10 B．5 C．8 D．6【分析】根据三角形中位线定理求出AC ，根据直角三角形的斜边上的中线等于斜边的一半计算，得到答案．【解答】解：∵DE 是△ABC 的中位线，若DE =10，∴AC =2DE =20，在Rt △ABC 中，∠ABC =90°，BF 是AC 边上的中线，∴BF =12AC =10，故选：A ． 【点评】本题考查的是三角形中位线定理、直角三角形的性质，掌握三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半是解题的关键．2．如图，在ABC 中，BF 平分ABC ∠，AF BF ⊥于点F ，D 为AB 的中点，连接DF 延长交AC 于点.E 若10AB =，=16BC ，则线段EF 的长为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．5 【答案】B【分析】先求出152DF AB AD BD ====，然后证明DE BC ∥，根据平行线分线段成比例可得=AE EC ，再根据三角形中位线定理求出DE 即可．【解答】解：AF BF ⊥，90AFB ∴∠=︒，10AB =，D 为AB 中点，152DF AB AD BD ∴====， ABF BFD ∠∠∴=，又BF 平分ABC ∠，ABF CBF ∠∠∴=，CBF DFB ∠∠∴=，∴DE BC ∥，∴=AD AE DB EC，182DE BC ∴==， 853EF DE DF ∴=-=-=，故选：B ．【点评】本题考查了直角三角形斜边中线的性质，等腰三角形的判定和性质，平行线的判定，平行线分线段成比例定理以及三角形中位线定理等知识，证明DE BC ∥是解答本题的关键．3．如图，在RtΔABC 中，∠ACB =90，AC =6、BC =4，点F 为射线CB 上一动点，过点C 作CM ⊥AF 于M 交AB 于E ， D 是AB 的中点，则DM 长度的最小值是( )A ．3B ．2C ．1D ．6-2【答案】C【分析】取AC 的中点T ，连接DT ，MT ．利用三角形的中位线定理求出DT ，利用直角三角形的中线的性质求出MT ，再根据DM MT DT ≥-，可得结论．【解答】解：如图，取AC 的中点T ，连接DT ，MT ．∵AD DB =，AT TC =，∴122DT BC ==． ∵CE AF ⊥，∴90AMC ∠=︒，∴132TM AC ==， ∴点M 的运动轨迹是以T 为圆心，TM 为半径的圆，∴321DM TM DT ≥-=-=，∴DM 的最小值为1，故选：C ．【点评】本题考查点与圆的位置关系，三角形中位线定理，直角三角形斜边中线的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造三角形中位线，直角三角形斜边中线解决问题．4．如图，在正方形ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点O ，E 为BC 上一点，CE ＝5，F 为DE 的中点．若△CEF 的周长为18，则OF 的长为( )A ．3B ．4C ．52D ．72 【答案】D【分析】先根据直角三角形的性质求出DE 的长，再由勾股定理得出CD 的长，进而可得出BE 的长，由三角形中位线定理即可得出结论．【解答】∵CE=5，△CEF 的周长为18，∴CF+EF=18-5=13．∵F 为DE 的中点，∴DF=EF ．∵∠BCD=90°，∴CF=12DE ，∴EF=CF=12DE=6.5，∴DE=2EF=13，∴CD=2212DE CE -=，∵四边形ABCD是正方形，∴BC=CD=12，O为BD的中点，∴OF是△BDE的中位线，∴OF=12(BC－CE)=12(12－5)=3.5，故选D．【点评】本题考查的是正方形的性质，涉及到直角三角形的性质、三角形中位线定理等知识，难度适中．使用勾股定理是解决这个问题的关键．5．已知，如图，在△ABC中，D、E、F分别是各边的中点，AH是高，已知AB＝6cm，AC＝8cm，7 cm 3CH BH-=，则△DHE的周长为________cm．【答案】496##186【分析】根据直角三角形斜边上的中线的性质求出DH，根据三角形中位线定理求出DE，根据三角形的周长公式计算，得到答案．【解答】解：∵AH是△ABC的高，∴∠AHB=90°，∵点D是AB的中点，∴DH=12AB=12×6=3cm，∵D、E分别是BA、BC的中点，∴DE是△ABC的中位线，∴DE=12AC=12×8=4cm，∵BE=EC，CH-BH=73 cm，∴HE=76 cm，∴△DHE的周长=DH+DE+HE=496cm，故答案为：496．【点评】本题考查的是三角形中位线定理、直角三角形斜边上的中线的性质，掌握三角形中位线等于第三边的一半是解题的关键．6．如图，在Rt ABC 中，90ACB ∠=︒，30A ∠=︒，D ，E ，F 分别为AB ，AC ，AD 的中点，若6BC =，则EF 的长度为 _____．【答案】3【分析】根据含30°的直角三角形的性质求出CD ，根据直角三角形的性质求出CD ，根据三角形中位线定理计算，得到答案．【解答】解：∵∠ACB ＝90°，∠A ＝30°，∴AB ＝2BC ＝12．∵∠ACB ＝90°，D 为AB 的中点，∴CD ＝12AB ＝6，∵E ，F 分别为AC ，AD 的中点，∴EF 为△ACD 的中位线，∴EF ＝12CD ＝3．故答案为：3．【点评】本题考查的是三角形中位线定理、直角三角形的性质，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键．7．如图，菱形ABCD 中，DE AB ⊥，垂足为E ，点F 、G 分别为边AD 、DC 的中点，5,8EF FG ==，则ABCD S =菱形___________．【答案】96【分析】连接,AC BD ，交于点O ，先根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得10AD =，再根据三角形的中位线定理可得16AC =，然后根据菱形的性质和勾股定理可得12BD =，最后利用菱形的面积公式即可得．【解答】解：如图，连接,AC BD ，交于点O ，,5DE AB EF ⊥=，且点F 为边AD 的中点，210AD EF ∴==，点,F G 分别为边,AD DC 的中点，8FG =，216AC FG ∴==，四边形ABCD 是菱形，1,8,22AC BD OA AC BD OD ∴⊥===， 226OD AD OA ∴=-=，12BD ∴=，1116129622ABCD S AC BD ∴=⋅=⨯⨯=菱形， 故答案为：96．【点评】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半、三角形的中位线定理、勾股定理、菱形的性质，熟练掌握菱形的性质是解题关键．8．如图，在ABC 和ABD △中，90ACB ADB ∠=∠=︒，E 、F 、G 分别为AB 、AC 、BC 的中点，若1DE =，则FG =_________． 【答案】1【分析】由直角三角形斜边中线的性质得出AB =2DE ，再由三角形中位线的性质可得FG 的长；【解答】解：∵Rt △ABC 中，点E 是AB 的中点，DE =1，∴AB =2DE =2，∵点F 、G 分别是AC 、BC 中点，∴112FG AB ==，故答案为：1【点评】本题考查了直角三角形的性质及三角形中位线的性质等知识；熟练掌握中位线定理是解题的关键． 9．如图，在正方形ABCD 中，F 在AB 上，E 在BC 的延长线上，AF ＝CE ，连接DF 、DE 、EF ，EF 交对角线BD 于点N ，M 为EF 的中点，连接MC ，下列结论：①△DEF 为等腰直角三角形；②∠FDB ＝∠FEC ；③直线MC 是BD 的垂直平分线；④若BF ＝2，则MC ＝2；其中正确结论的有_______．【答案】①②③④【分析】先根据SAS 定理证出ADF CDE ≅，再根据全等三角形的性质可得,DF DE ADF CDE =∠=∠，然后根据等腰直角三角形的判定即可判断①；先根据等腰直角三角形的性质可得45DEF DFE ∠=∠=︒，再根据对顶角相等可得DNF BNE ∠=∠，然后根据三角形的内角和定理即可得判断②；连接BM DM ,，先根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得12BM DM EF ==，再根据线段垂直平分线的判定即可判断③；取BE 的中点O ，连接MO ，先根据三角形中位线定理可得11,2MO BF MO BF ==∥，再根据等腰三角形的三线合一可得1452BCM BCD ∠=∠=︒，然后在Rt MOC 中，利用勾股定理即可得．【解答】解：四边形ABCD 是正方形，,90,45AB AD CD BC A ABC BCD ADC CBD ∴===∠=∠=∠=∠=︒∠=︒，在ADF △和CDE 中，90AD CD A DCE AF CE =⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩，()SAS ADF CDE ∴≅，,DF DE ADF CDE ∴=∠=∠，90EDF CDE CDF ADF CDF ADC ∴∠=∠+∠=∠+∠=∠=︒，DEF ∴为等腰直角三角形，结论①正确；45DEF DFE ∴∠=∠=︒，又45,CBD DNF BNE ∠=︒∠=∠，180180DNF CBD BN E E DF ∴︒-∠=︒-∠-∠∠-，即FDB FEC ∠=∠，结论②正确；如图，连接BM DM ,，M 为Rt DEF △和Rt BEF △斜边EF 上的中点，12BM DM EF ∴==， 又BC CD =，∴直线MC 是BD 的垂直平分线，结论③正确；如图，取BE 的中点O ，连接MO ，1121,22MO BF MO BF ∴==⨯=∥，90MOC ABC ∴∠=∠=︒，直线MC 是BD 的垂直平分线，BC CD =，1452BCM BCD ∴∠=∠=︒（等腰三角形的三线合一）， Rt COM ∴是等腰直角三角形，且1OC MO ==，222MC MO OC ∴=+=，结论④正确；综上，正确结论的有①②③④，故答案为：①②③④．【点评】本题考查了正方形的性质、三角形全等的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理、线段垂直平分线的判定、三角形中位线定理等知识点，熟练掌握各判定与性质是解题关键．10．如图，ABC ∆中，90ACB ∠=，D 为AC 边上的中点，E 为AB 边上一点，4AB BE =，连接CE DE 、，延长DE 交CB 延长线于F ，若3BF =，10AB =，则CE =________．【答案】972【分析】取AB 的中点G ，连接DG ，则AB ＝2BG ，可得BE ＝EG ，再利用三角形中位线定理得BC ＝2DG ，DG BF ∥，利用ASA 证明△GDE ≌△BFE ，得DG ＝BF ＝3，DE ＝EF ，从而解决问题．【解答】解：取AB 的中点G ，连接DG ，则AB ＝2BG ，∵AB ＝4BE ，∴BE ＝EG ，∵D 为AC 边上的中点，G 为AB 的中点，∴DG 为△ABC 的中位线，∴BC ＝2DG ，DG BF ∥， ∴∠GDE ＝∠F ，在△GDE 和△BFE 中，GDE F DEG FEB GE BE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△GDE ≌△BFE （ASA ），∴DG ＝BF ＝3，DE ＝EF ，∴BC ＝6，∴CF ＝9，由勾股定理得，AC ＝8，∴CD ＝4，在Rt △CDF 中，由勾股定理得，DF ＝22224997CD CF +=+=，∵∠ACB ＝90°，EF ＝DE ，∴CE ＝12DF ＝972， 故答案为：972． 【点评】本题主要考查了勾股定理，三角形中位线定理，全等三角形的判定与性质，直角三角形斜边上中线的性质等知识，证明点E 是DF 的中点是解题的关键．11．如图，在Rt ABC 中，90,8,6ACB AC BC ∠=︒==，点P 是平面内一个动点，且4AP =，Q 为BP 的中点，在P 点运动过程中，设线段CQ 的长度为m ，则m 的取值范围是_______．【答案】3m 7≤≤【分析】取AB 的中点M ，连接QM 、CM ，得到QM 是△APB 的中位线，CM 是Rt ABC 斜边上的中线，求得QM 、CM 的长，在△QMC 中利用三角形三边关系得到CQ 的范围即可．【解答】取AB 的中点M ，连接QM 、CM ，∴QM 是△APB 的中位线，CM 是Rt ABC 斜边上的中线，∴122QM AP ==，12CM AB =， 在Rt ABC 中，90,8,6ACB AC BC ∠=︒==，∴226810AB =+=，∴CM =5，∵点P 是平面内一个动点，∴点Q 是动点，且点Q 以点M 为圆心，QM 长为半径的圆上运动，∴C 、Q 、M 可以三点共线，∴CM -MQ ≤CQ ≤CM +MQ ，∴3m 7≤≤，故答案为：3m 7≤≤．【点评】本题考查勾股定理、直角三角形斜边中线的性质，中位线定理、三角形三边关系等知识，分析点Q 的运动是解题的关键．12．如图，在四边形ABCD 中，∠ABC =90°，AC=AD ，M ，N 分别是AC ，CD 的中点，连接BM ，MN ，BN ．(1)求证：BM=MN ；(2)若∠BAD =60°，AC 平分∠BAD ，AC =2．①求∠BMN 的度数；②求BN 的长．题的关键是灵活应用三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．13．如图，D、E、F分别是△ABC三边中点，AH⊥BC于H．求证：（1）∠BDF＝∠BAC；（2）DF＝EH．【答案】（1）见解析；（2）见解析．【分析】（1）根据三角形中位线定理得到DF//AC，根据平行线的性质证明结论；AC，等量代换证明结论．（2）根据直角三角形的性质得到EH＝12【解答】（1）∵D、F分别是△ABC两边中点，∴DF是△ABC的中位线，AC，∴DF//AC，DF＝12∴∠BDF＝∠BAC；（2）∵AH⊥BC于H，E是AC的中点，AC，∴EH＝12由（1）得，DF＝12 AC，∴DF＝EH．【点评】本题考查的是三角形中位线定理、直角三角形的性质，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键．14．在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，BD=2AB，点E、F分别是OA、BC的中点，连接BE、EF．BC；(1)求证：EF=12(2)在上述条件下，若AC=BD，G是BD上一点，且BG:GD=3:1，连接EG、FG，试判断四边形EBFG的形状，并证明你的结论．∴EBFG是平行四边形，连接CG，∵G是OD的中点，而CO=12AC=12BD=AB=CD，∴CG⊥OD，而F是BC的中点，∴GF=12BC=BF，∴平行四边形EBFG是菱形．【点评】本题考查了平行四边形的性质和判定，矩形性质，菱形性质，三角形的中位线，直角三角形斜边上中线性质，等腰三角形的性质等知识点，主要考查学生综合运用定理进行推理的能力，注意：直角三角形斜边上中线等于斜边的一半．15．如图，在平面直角坐标系中，A（0，4），B（4，0），C（6，2），连接AB，BC，平移BC至AD（点B 与点A对应，点C与点D对应），连接CD．(1)①直接写出点D的坐标为．②判断四边形ABCD的形状，并证明你的结论；(2)如图1，点E为AB边上一点，连接DE，DF平分∠EDC交BC于F，连接EF，若∠DFE＝45°，求BE 的长；(3)如图2，N为BC边的中点，若∠AMC＝90°，连接MN，请直接写出MN的取值范围．段CD上取一点G，使DG=DE，∵∠FDE=∠FDG，DF=DF，∴△DFE≌△DFG（SAS），∴∠DFE=∠DFG=45°，EF=GF，∴∠EFG=90°，∵∠EFB+∠GFC=90°，∠GFC+∠FGC=90°，∴∠EFB=∠FGC，∵∠EBF=∠FCG=90°，EF=GF，∴△EBF≌△FCG（AAS），∴EB=FC，BF=CG，设EB=FC=x，则22BF CG BC x x==-=-，∴222222(42)(22)DE AE AD x DG=+=-+=，∵222()(4222)DG CD GC x=-=-+，∴222 (4222)(42)(22)x x-+=-+，解得：423x，即423BE=；（3）解：如图，连接AC，取AC的中点H，连接MH，NH，∵点A（0，4），B（4，0），D（2，6），∴42,210AB AC==，∵H为AC的中点，N为BC边的中点，∴1122,1022NH AB HM AC====，∵HM-NH≤MN≤HM+NH，∴MN的取值范围为10222210MN-≤≤+．【点评】本题是四边形综合题，主要考查了平行四边形和矩形的性质、三角形全等、勾股定理的运用，直角三角形的性质，三角形中位线定理等，综合性强，难度较大，熟练掌握相关知识点是解题的关键．16．已知，在△ABC中，以△ABC的两边BC，AC为斜边向外测作Rt△BCD和Rt△ACE，使∠CAE=∠CBD，取△ABC 边AB 的中点M ，连接ME ，MD ．特例感知：（1）如图1，若AC =BC ，∠ACB =60°，∠CAE =∠CBD =45°，取AC ，BC 的中点F ，G ，连接MF ，MG ，EF ，DG ，则ME 与MD 的数量关系为______，∠EMD =______；（2）如图2，若∠ACB =90°，∠CAE =∠CBD =60°，取AC ，BC 的中点F ，G ，连接MF ，MG ，EF ，DG ，请猜想ME 与MD 的数量关系以及∠EMD 的度数，并给出证明；类比探究：（3）如图3，当△ABC 是任意三角形，∠CAE =∠CBD =α时，连接DE ，请猜想△DEM 的形状以及∠EMD 与α的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）ME=MD ，∠EMD=90°；（2）ME=MD ，∠EMD=120°；（3）△DEM 是等腰三角形，∠EMD=2α．【分析】（1）如图1，证明△EAM ≌△DBM ，可得EM=DM ，先根据三角形的中位线得：11FM AC MG BC 22===，由直角三角形斜边中线等于斜边一半可得12EF AC =，得EF=FM ，且顶角∠EFM=150°，得∠FEM=∠FME=15°，同理∠DMG=15°，相加可得结论；（2）如图2，证明△MEF ≌△DMG ，可得EM=DM ，∠EMF=∠MDG=15°，相加可得∠EMD=120°；（3）如图，作辅助线，取AC ，BC 的中点F ，G ，连接MF ，MG ，EF ，DG ，同理可证出EF=MG ，DG=FM ，∠3=2∠2，∠4=2∠1，证明△MEF ≌△DMG ．则EM=DM ，∠EMF=∠MDG ．表示∠EMD=∠MDG+∠DMG+∠ACB ，代入可得结论．【解答】解：（1）ME=MD ，∠EMD=90°；理由是：如图1，∵AC=BC ，∠ACB=60°，∴△ABC 是等边三角形，∴∠CAB=∠CBA=60°，在 Rt △BCD 和Rt △ACE 中，∠CAE=∠CBD=45°，∴AC=2AE，BC=2BD，∴AE=BD，∵M是AB的中点，∴AM=BM，∵∠EAM=45°+60°=105°，∠DBM=45°+60°=105°，∴∠EAM=∠DBM，∴△EAM≌△DBM，∴EM=DM，∵F、G分别是AC、BC的中点，∴FM=MG=12AC=CF=CG，∴四边形CFMG是菱形，∴∠FMG=∠BCA=60°，Rt△ACE中，∵F是斜边AC的中点，∴EF=12AC=FM，∵∠EFM=90°+60°=150°，∴∠FEM=∠FME=15°，同理∠DMG=15°，∴∠EMD=60°+15°+15°=90°，故答案为EM=DM，90°；（2）ME=MD，∠EMD=120°；证明：∵F，G，M是△ABC的三边AC，BC，AB的中点，∴FM=12BC=CG，FM∥BC，MG=12AC=CF，MG∥AC．∴四边形CFMG是平行四边形，∴∠AFM=∠FMG=∠ACB=∠MGD=90°．∵∠AEC=∠BDC=90°，F，G是AC，BC的中点，∴EF=AF=FC=12AC，CG=BG=DG=12BC．∴∠2=∠CEF，∠1=∠CDG，EF=MG，DG=FM．∴∠3=∠2+∠CEF=2∠2，∠4=∠1+∠CDG=2∠1.∵∠2+∠EAC=90°，∠1+∠CBD=90°，∠CAE=∠CBD=60°，∴∠1=∠2=30°．∴∠3=∠4=60°．∴∠EFM=∠3+∠AFM=150°，∠DGM=∠4+∠CGM=150°∴∠EFM=∠DGM．又∵EF=MG，FM=DG，∴△MEF≌△DMG．∴EM=DM，∠EMF=∠MDG=15°．∴∠EMD=90°+2×15°=90°30°=120°；（3）△DEM是等腰三角形，∠EMD=2α．证明：取AC，BC的中点F，G，连接MF，MG，EF，DG，同（2）证法相同，可证出EF=MG，DG=FM，∠3=2∠2，∠4=2∠1．∵∠2+∠EAC=90°，∠1+∠CBD=90°，∠CAE=∠CBD=α，∴∠1=∠2=90°-α．∴∠3=∠4=2（90°-α）．∴∠EFM=∠3+∠AFM=∠3+∠ACB，∠DGM=∠4+∠BGM=∠4+∠ACB．∴∠EFM=∠DGM．又∵EF=MG，FM=DG，∴△MEF≌△DMG．∴EM=DM，∠EMF=∠MDG．∴△DEM是等腰三角形；∵∠EMD=∠FME+∠FMG+∠DMG，由（2）知∠FMG=∠ACB，∴∠EMD=∠MDG+∠DMG+∠ACB．∵∠MDG+∠DMG=180°-∠DGM=180°-（∠4+∠ACB ）=180°-2（90°-α）-∠ACB=2α-∠ACB．∴∠EMD=2α-∠ACB+∠ACB=2α．【点评】本题是三角形的综合题，考查了三角形全等的性质和判定、三角形中位线定理、直角三角形斜边中线的性质、平行四边形的性质、等边三角形的性质等知识，并运用了类比的思想依次解决问题．∆中，D为BC中点，BE、CF与射线AE分别相交于点E、F（射线AE不经过点D）．17．在ABC(1)如图①，当BE∥CF时，连接ED并延长交CF于点H. 求证：四边形BECH是平行四形；(2)如图②，当BE⊥AE于点E，CF⊥AE于点F时，分别取AB、AC的中点M、N，连接ME、MD、NF、ND．求证：AM=AN(3)如图②，当BE⊥AE于点E，CF⊥AE于点F时，分别取AB、AC的中点M、N，连接ME、MD、NF、ND．求证：∠EMD=∠FND．【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析(3)证明见解析【分析】（1）根据两直线平行内错角相等求得∠DBE=∠DCH，然后依据ASA求得BDE≅CDH得出ED=HD，最后根据有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形求得．（2）连接FD、ED，延长ED交CF于点H，根据直角三角形斜边的中线定理和三角形的中位线定理求得ME=DN，MD=NF，从而证得AM=AN；（3）在（2）的条件下根据SSS 即可证明MED ≅NDF ，最后根据全等三角形的对应角相等求得∠EMD =∠FND ． （1）如图①，∵D 为BC 的中点，∴BD =CD ，∵BE ∥CF ，∴∠DBE =∠DCH ，在BDE 与CDH 中，DBE DCH BD CD BDE CDH ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， ∴BDE ≅CDH (AAS )，∴ED =HD ，∴四边形BECH 是平行四边形；（2）如图②连接FD 、ED ，延长ED 交CF 于点H ，∵BE ⊥AE ，CF ⊥AE ，）可知BDE≅CDHRt EHFRt AEBRt ACF在MED与NDF∴MED≅NDF。

八下数学思维解法技巧培优小专题【典例丄】（2019-赤壁市模拟）如图，在四边形肋CD 中，点分别是边AB 、AD 的中点，若BC=15, CD=9, EF=6, ZAFE=55° ,则ZQC= 145 °・【点拨】连接BD •根据三角形中位线定理得到肋=2£F=12, £F 〃肋，根据勾股定理的逆定理得到ZBDC=9Q° ,结合图形计算即可.【解析】解：连接BD ，T 点F 分别是边AB. AD 的中点，:.BD=2EF=12, EF//BD.:• ZADB= ZAFE=55° ,BD 2+CD 2=225, 卅=225,:.BD 2+CD 2=BC 19:.ZBDC=90° ,••• ZADC= ZADB+ZBDC= 145° ,故答案为:145. 连接两点构造中位线中佞线的构31A・100°B. 120° C. 140°D・160°【典例2】（2019・宁波期末）如图，在0BC中D E分别是.IB, AC的中点，点F, G在BC上,且BC=4BF=4CG, £F 与DG 相交于点O,若ZDFE=40° , ZZ）GE=80°,那么ZDOE的度数是（）A【点拨】连接皿利用中位线的性质，可得DE=；BC,由BC=4BF=4CG可得FG= *BC,易得DE //FGRDE=FG,易得四边形DEFG为平行四边形，可得DF//EG,利用平行线的性质可得ZDGE= Z FDG,由外角的性质可得结果.【解析】解：连接DE,TD, E分别是.IB, AC的中点，:.DE//BC且9：BC=4BF=4CG,:.FG=^BC,.•・四边形DEFG为平行四边形，:.DF//EG.:• ZDGE= ZFDG=W ,V ZP/T=40°,I CDCZD利用"••• ZDOE=80° +40° =120° ,【典例3】（2019・钦州期末）如图，MBC中，M是EC中点…Q平分ZBAC. ED丄“10于D,若AB=12, JC=16,则MD等于2・【点拨】延长他交zlC于H 根据等腰三角形的性质得到BD=DH.根据三角形中位线定理计算即可.【解析】解：延长交JC于H,T.1D 平分ABAC. BDW:・BD=DH、AH=4B=\2,:.HC=AC-AH=4.TM 是EC 中点，BD=DH,:.MD=字CH=2,故答案为：2.AB【典例4】（2019・南开区期中）如图，HABC中一3是中线,AE是角平分线，CF丄于F」B=5,AC=2.则DF的长为（）A. 3B. 2.5 C・ 1.5 D・1【点拨】延长CF交肋于证明MFCs/XAFH可得CF=FH, AH=4C,然后求岀EH,再根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半可得詁丹.【解析】解：如图，延长CF交肋于H,•••一匹是角平分线，A ZCAF= ZHAF.TCF 丄A ZJFC=Z.4FH=90° ,在△JFC和厶1?7/中.Z.CAF =乙HAFT AF =AF ,LAFC=乙AFH•••△zLFCPZUFH （如），:・CF=FH・ AH=AC,:.BH=AB - .1H=AB - AC=5・2 = 3,又•••.ID是中线，•••DF是的中位线, :.DF=^BH=^x3 = 1.5. 故选：C.区中点构造中位线【典例5】（2019-成都期末）已知：如图一Q、恥分别是厶拐C的中线和角平分线—3丄BE, AD=BE3^5-2 —【点拨】过D点作DF//BE，则DF=^BE=\. F为EC中点.在RtZ^WF中求岀的长度，根据已知条件易知G为3中点，因此E为廿中点，贝ij AC= |jF.【解析】解：过刀点作DF//BE.•••・!□是AABC的中线,AD丄BE,：・F为EC中点,AD丄DF,【典例6]（2019-福田如图，已知在3=24,点E是BC上一点,BE=10,连接DE、\\1D=BE=2,则DF=X V22 + 12 =屈「BE是AABC的角平分线，.10丄PE•••△dEG 幻△DEG,•••G为中点,•••E为M中点,:・AE=EF=CF,故答案为：芋【点拨】连接取加的中点F,连接MF、NF,证明NF、分别是△PDE、肋的中位线，由三角形中位线定理得出NF〃恥，MF//AD、NF= ^BE=5. MF=^AD= 12.证出AF丄MF,在Rt/\MNF中，由勾股龙理即可得出答案・CB【解析】解：连接取肋的中点F,连接MF、NF、如图所示：TM、N、F分别是DE、BD的中点，:・NF、妙分别是△$£）£、厶血的中位线，:.NF//BE. MF//AD, NF=；BE=5,临=訓=\2.V ZJCB=90° ,•••JD 丄BC、\9MF//AD.•••MF 丄BC.•:NFUBE、•••NF 丄MF.在Rt^MNF中，由勾股宦理得：MN= \NF2 + MF2=^52 + 122 =13；故答案为:13.【典例刀（2019-成都校级月考）如图，41BC中，ZJ5C=90° , BA=BC.△BEF为等腰直角三角形, ZBEF=9L , M为2F的中点，求证:ME=^CF・E【点拨】延长EF到D, DE=EF,连接JD、BD,判断岀是等腰直角三角形，根据等峻血角三角形的性质可得加=BF,再求出ZCBF= ZABD,然后利用“边角边”证明&BD和ZkCBF全等，根据全等三角形对应边相等可得.3=CF,再根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半可得ME=i W,从而得到ME= i-CF・【解析】证明：如图，延长EF到D，l-li DE=EF,连接肋、BD,••仏BEF为等腰直角三角形，ZBEF=9L ,•••ZBFE=45° , BE丄DF,•••恥垂直平分DF,A ZBDE=45° ,:・、BDF是等腰直角三角形，:・BD=BF. ZDBF=90° ,V ZCBF+Z.1BF= Z ABC= 90° ,ZABLH ZABF= ZDBF= 90c,:.ZCBF=Z.1BD.在HABD和ZkCBF 中,AB = BC乙CBF = J LABD^BD = BF:.AABD^ACBF (SAS).:・AD=CF.•・・M为.IF的中点，DE=EF,:.ME是ZUDF的中位线，：.ME=【典例8】（2019-成都校级月考）如图，点P为'ABC的边EC的中点，分别以AC为斜边作RtZD 和RtAJC£> 且ZB3=Za(E,求证：PD=PE.【点拨】如图，分别取肿、JC的中点M M连接DM、PM、PN、NE,构建三角形中位线，利用三角形中位线左理和直角三角形斜边的中线等于斜边的一半证得3DP沁NPE (SJS),则该全等三角形的对应边相等：PD=PE・【解析】证明：如图，分别取肿、2C的中点M、N,连接DM、PM、PN、NE.•・•点P为HABC的边BC的中点，.・.PM为/\ABC的中位线，:.PM=扣C・又TWE为直角斜边上的中线，:・NE=AN=扣C.:・MP=NE・同理DM=RV・TD忆=桃AZ1 = Z3,・・・Z5=2Z1 (三角形外角定理).同理，Z6=2Z2.又Z1 = Z2,AZ5=Z6.又PM//AC, PN//AB,AZ7=Z9, Z8=Z9,AZ7=Z &•••Z5+Z7=Z6〒Z8,即ZDMP= ZPNE,DM = PM:.在\MDP与ANPE中，乙DMP =厶PNE,MP = NE:.HMDPS HNPE（SAS）,:・PD=PE・1.（2019・武汉）如图，在△.ISC中，ZJCB=60°C=l, D是边，毎的中点，E是边BC上一点.若^平分△磁的周长，则DE的长是_亨_.【点拨】延长BC至使CM=CA,连接MM,作CN丄于M 根据题意得到ME=£P,很据三角形中位线宦理得到根据等腰三角形的性质求岀厶1CN,根据正弦的概念求岀汁算即可.【解析】解：延长BC至M,使CM=CA.连接凡皿作CN丄凡“于N,•••DE平分ZU5C的周长，:.ME=EB.又AD=DB,B. 20C. 12 D ・10:.DE= jjM, DE//AM.V ZJCB=60° ,A ZJCM= 120° ,VCM=G4,A ZJCV=60°、AN=MN 、：..4N=AC^mZACN=学\/3t• nr — J3• • DE — •故答案为：■-—・22・（2019・宽城区期末）如图，D 是ZUBC 内一点，BD 丄CD, E 、F 、G 、H 分别是边AB 、BD 、CD. AC 的中点.若-W=10, BD=J CD=6,则四边形EFGH 的周长是（ ）【点拨】利用勾股定理列式求出BC 的长,再根据三角形的中位线平行于第滋并且等于第三边的一半A. 24求出EH=FG= ^BC. EF=GH=*1D,然后代入数据进行讣算即可得解.【解析】解：•:BD1CD,肋=8, 3=6,:・BC= \BD2 +CD2 = V 82+ 62=10,•:E、F、G、H分别是AB. AC. CD、的中点，:・EH=FG=专BC, EF=GH=4D,•••四边形EFGH的周长=EH+GH+FG+EF=AD-BC,又mo,•••四边形EFGH的周长=10+10=20,故选：B.3・(2019・英徳市期末)如图，在中，BF平分ZABC, AG丄BF,垂足为点交BC于点G, E为/C的中点，连结DE, DE=2.5cm, AB=4cm,则BC的长为9 期・【点拨】由条件“BF平分AG丄肿•'可判怎三角形肋G是等腰三角形(AB=GB).再由条件临为HC的中点”，可判怎a是三角形的中位线，由此可得GC=2DE 进而可求出BC的长.【解析】解：TEF 平分ZABC. AG丄BF.:./\ABG是等腰三角形,A. 3 D ・4AB ~ GB =4d ♦•:BF 平分 ZABC.：..4D=DG.YE 为dC 的中点，.・.D£是ZUGE 的中位线,:.DE= *CG,:.CG=2DE=5cm.:.BC=BG+CG=4+5 = 9m ,故答案为：94. （2019-通川区期末）如图，/\ABC 中，D 、E 分别是BC 、AC 的中点，平分ZABC,交DE 于点、F, 若BC=6、则DF 的长是（ ）【点拨】利用中位线怎理，得到DE 〃肋，根据T •行线的性质，可得ZEDC=ZABC 、再利用角平分线 的性质和三角形内角外角的关系，得到进而求出DF 的长.【解析】解：在△肋C 中，D 、E 分别是BC 、AC 的中点,:.DE//AB,:.ZEDC= ZABC. 2•：BF平分ZABC.:.ZEDC=2ZFBD・在△BDF 中，ZEDC= ZFBD+ZBFD.:.ZDBF=ZDFB・:.FD=BD= ；BC= | x6 = 3・故选：2.5.（2019-松北区一模）如图，和BE分别为三角形MC的中线和角平分线，.Q丄BE,若AD=BE=4,则FC的长」【点拨】过D点作〃恥，则F为EC中点,在RtAADF中求出2F的长度，根据已知条件易知6为3中点，因此E为廿中点，则AC=【解析】解：过D点作DF〃EE,如图所示：•••JD是ZUBC的中线,AD丄BE,；・F为EC中点，AD丄DF,\\1D=BE=4.则DF=2, AF= \!AD2 + DF2 =2>/5,•:BE是HABC的角平分线…ID丄:.HABG 竺4DBG,:.AC= |jF=3 洛.故答案为：3尽6.（2019-垦利区期末）如图，在四边形ABDC中，E、F、G、H分别为」B、BC、CD、的中点，并且E、F、G、H四点不共线.当AC=6, BD=*时，四边形EFGF的周长是一14 .【点拨】根据三角形中位线宦理得到FG〃EH, FG=£H根据平行四边形的判左龙理和周长解答即可.【解析】解：TF，G分别为BC, CD的中点，:.FG= FG//BD.VE, H分别为AB, D」的中点，•••EH=$BD=4, EH//BD.:.FG//EH. FG=EH,•••四边形EFGH为平行四边形,:.EF=GH=^1C=3.•••四边形EFGH的周长=3+3+4+4 =14,故答案为：147.(2019・怀化)已知：如图，在HABC中，DE、DF是/XABC的中位线，连接EF. AD,其交点为O・求证：(1)HCDE9HDBF；(2)O4 = OD・【点拨】(1〉根据三角形中位线，可得DF打CE的关系，DB 口 DC的关系，根据SAS.可得答案;(2)根据三角形的中位线，可得DF与AE的关系，根据平行四边形的判定与性质，可得答案.【解析】证明：(1)•:DE、DF是ZL3C的中位线，:.DF=CE. DF//CE. DB=DC・•: DF"CE、:•乙C=ZBDF ・DC = BD住HCDE和△DBF中厶C=乙BDF.CE = DF:.△ CDE9 /XDBF(SJS)：(2) •:DE、DF是WBC的中位线,:.DF=AE, DF//AE,•••四边形DE.1F是平行四边形,•：EF 口.10 交于O 点，:.AO=OD8・（2019-尚志市期中）如图在直角HABC中，ZBAC=9Q Q,点D是BC中点,连接,3,点E为.Q的中点，过点/作AF//BC 交线段恥的延长线于点F,连接CF.（1）求iiE： -1F=DC；（2）在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出所有而积等于ZUEF而枳2倍的三角形.【点拨】（1）由“MS”町证HAFE皿DBE；（2）根据等髙模型即可解决问题.【解析】证明：（1）•:AF〃BC、:.ZAFE= ZDBE•••△4BC是宜角三角形，.3是BC边上的中线，E是的中点,：..1E=DE. BD=CD在和△DBE中，LAFE =乙DBELAEF =乙BED，AE = DE:.^AFE^ADBE (zUS)：(2)解：•:AE=DE・•: S ABD=2S「.BDE=2S• AEF・•:DB=DC、BD=AF, ：..1F=CD9/.四边形ADCF是平行四边形,S； ADC=s； dCF=s(ABF；•••而积等于而枳2倍的三角形有：0CD, £\ABD、ZUCF. “AFB.。

初中数学知识归纳三角形的中线与中位线初中数学知识归纳：三角形的中线与中位线在初中数学中，我们学习了许多三角形的性质和相关定理。

其中，三角形的中线与中位线是三角形研究中非常重要的概念。

它们不仅可以帮助我们理解三角形的特性，还可以应用于解决实际问题。

本文将对三角形的中线与中位线进行归纳，帮助我们更好地理解和应用这些知识。

一、三角形的中线1. 定义：三角形的中线是连接三角形任意两个顶点与对边中点的线段。

2. 性质：a. 三角形的三条中线交于一点，称为重心。

三角形的重心离三角形的各顶点的距离满足重心判定定理，即离重心的距离比离顶点的距离小两倍。

b. 重心将各中线分成两比一的部分，即重心到中点的距离是中心到对边两个端点的距离的两倍。

3. 应用：中线的性质在许多三角形问题中都有重要应用，如：a. 判断三角形形状：如果三角形的中线相等，则该三角形是等边三角形。

b. 计算面积：可以利用中线分割三角形，将大三角形的面积拆分成三个小三角形的面积之和，进而进行计算。

二、三角形的中位线1. 定义：三角形的中位线是连接三角形任意两个中点的线段。

2. 性质：a. 三角形的三条中位线交于一点，称为重心。

与中线的性质相同，重心将各中位线按照两比一的比例分成两部分。

b. 三角形的中位线和中线互称，即可称中线为中位线，也可称中位线为中线。

3. 应用：中位线的性质同样在解决三角形问题中具有重要作用：a. 判断三角形形状：如果三角形的中位线相等，则该三角形是等边三角形。

b. 计算面积：利用中位线将大三角形分割成三个小三角形，可以计算出大三角形的面积。

三、中线与中位线的关系1. 中线和中位线的共点：三角形的中线和中位线都经过三角形的重心，即共点于重心。

2. 中线与中位线的比例关系：a. 在任意三角形中，重心到顶点的距离与重心到中点的距离之比是2:1。

b. 重心到中位线的交点的距离与重心到顶点的距离之比也是2:1。

综上所述，初中数学中关于三角形的中线与中位线的知识归纳如上。

全等三角形判定（考试重点）姓名： 班级： 分数： 1．已知AC =BD ，AE =CF ，BE =DF ，证明：AE ∥CF 。

2、已知在四边形ABCD 中，AB =CD ，AD =CB ，证明：AB ∥CD 。

3、已知CD ∥AB ，DF ∥EB ，DF =EB ，证明：AF =CE 。

4、已知ED ⊥AB ，EF ⊥BC ，BD =EF ，证明：BM =ME 。

ACBDEFBADC EF BAC M EFBD5、点C 是AB 的中点，CD ∥BE ，且CD =BE ，证明：∠D =∠E 。

6、在⊿ABC 中，高AD 与BE 相交于点H ，且AD =BD ，证明：⊿BHD ≌⊿ACD 。

7已知AD =AE ，∠B =∠C ，证明：AC =AB 。

8、已知CE ⊥AB ，DF ⊥AB ，CE =DF ，AE =BF ，证明：⊿CEB ≌⊿DF A 。

ABCE HD ADEBCBACDEFD A ECB 129、如图：在△ABC 中，∠C=90°，AC=BC ，过点C 在△ABC 外作直线MN ，AM ⊥MN 于M ，BN ⊥MN 于N 。

求证：MN=AM+BN 。

10、已知，AC ⊥CE ，AC =CE ， ∠ABC =∠DEC =900，求证：BD =AB +ED 。

11、已知AD 是⊿ABC 的中线，BE ⊥AD ，CF ⊥AD ，求证：BE =CF 。

12、已知∠BAC =∠DAE ，∠1=∠2，BD =CE ，求证：ABD ≌⊿ACE 。

NMCBAABCDEABCD FEADEBC12【知识点梳理】知识点一：全等三角形的概念——能够完全重合的两个三角形叫全等三角形.知识点二：全等三角形的性质.（1）全等三角形的对应边相等. （2）全等三角形的对应角相等.知识点三：判定两个三角形全等的方法.（1）SSS （2）SAS （3）ASA （4）AAS （5）HL（只对直角三形来说）知识点四：寻找全等三形对应边、对应角的规律.①全等三角形对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边.②全等三角形对应边所对的角是对应角，两个对应边所夹的角是对应角.③有公共边的，公共边一定是对应边. ④有公共角的，公共角一定是对应角.⑤有对顶角的，对顶角是对应角.⑥全等三角形中的最大边（角）是对应边（角），最小边（角）是对应边（角）.知识点五：找全等三角形的方法.（1）一般来说，要证明相等的两条线段（或两个角），可以从结论出发，看它们分别落在哪两具可能的全等三角形中.（常用的办法）（2）可以从已知条件出发，看已知条件可以确定哪两个三角形相等.（3）可以从已知条件和结论综合考虑，看它们能否一同确定哪两个三角形全等.（4）如无法证证明全等时，可考虑作辅助线的方法，构造成全等三角形.知识点六：角平分线的性质及判定.（1）角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等.（2）角平分线的判定：在角的内部到角的两边距离相等的点在角平分线上.（3）三角形三个内角平分线性质：三角形三条角平分线交于一点，且到三角形三边距离相等.知识点七：证明线段相等的方法.（重点）（1）中点性质（中位线、中线、垂直平分线）（2）证明两个三角形全等，则对应边相等（3）借助中间线段相等.知识点八：证明角相等的方法.（重点）（1）对顶角相等；（2）同角或等角的余角（或补角）相等；（3）两直线平行，内错角相等、同位角相等；（4）角平分线的定义；（5）垂直的定义；（6）全等三角形的对应角相等；（7）三角形的外角等于与它不相邻的两内角和.。

1 求证：CD = AB 2
证明：延长CD到E使DE=CD， 连结AE、BE. ∵AD = BD ， DE =CD ∴四边形ACBE是平行四边形 又∵∠ACB = 90° ∴ □ACBE是矩形 ∴CE = AB（ ?
A
D
E
C
B
） AB
1 由于CD= 2
CE
1 所以CD = 2
简单应用
A
已知△ABC是Rt△，∠ABC=Rt∠， BD是斜边AC上的中线
A
E
F
B
C
2
THANK
YOU
SUCCESS
•
三角形中位线定理：
有何作用？
三角形的中位线平行于三角形的第三 边，且等于第三边的一半。
A
D
E
符号语言： ∵DE是△ABC的中位线， （ ∵AD=BD, AE=CE )
B
C
1 ∴DE∥BC且DE= BC 2
这个定理提供了证明线段平行以及 线段成倍分关系的根据.
A
1 DE // BC =2
O
E
DE // GF
∴四边形DGFE是□
=
B
G
F
C
1、证明平行的定理有哪些？
同位角相等、内错角相等、同旁内角互补两直线平行 平行于同一直线、垂直于同一直线的两直线平行 平行四边形（矩形、菱形、正方形）的对边平行 三角形的中位线平行第三边
2、证明线段二倍关系定理有哪些？
30度所对直角边是斜边的一半 三角形的中位线等于第三边的一半 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.
1、探索并掌握“直角三角形斜边上的中线性质定理” 2．理解中位线概念，明确中线与中位线的 区别与联系； 3、探索并掌握“三角形的中位线定理” 4、进一步理解转化思想（线段的倍分 要转化为相等问题来解决）.

八年级数学三角形中位线培优专题训练一、内容提要1. 三角形中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半。

梯形中位线平行于两底，并且等于两底和的一半。

2. 中位线性质定理的结论，兼有位置和大小关系，可以用它判定平行，计算线段的长度，确定线段的和、差、倍关系。

3. 运用中位线性质的关键是从出现的线段中点，找到三角形或梯形，包括作出辅助线。

4. 中位线性质定理，常与它的逆定理结合起来用。

它的逆定理就是平行线截比例线段定理及推论，①一组平行线在一直线上截得相等线段，在其他直线上截得的线段也相等 ②经过三角形一边中点而平行于另一边的直线，必平分第三边 ③经过梯形一腰中点而平行于两底的直线，必平分另一腰 5. 有关线段中点的其他定理还有： ①直角三角形斜边中线等于斜边的一半②等腰三角形底边中线和底上的高，顶角平分线互相重合 ③对角线互相平分的四边形是平行四边形 ④线段中垂线上的点到线段两端的距离相等 因此如何发挥中点作用必须全面考虑。

二、例题例1. 已知：△ABC 中，分别以AB 、AC 为斜边作等腰直角三角形ABM 和CAN ，P 是BC 的中点。

求证：PM ＝PN证明：作ME ⊥AB ，NF ⊥AC ，垂足E ，F ∵△ABM 、△CAN 是等腰直角三角形∴AE ＝EB＝ME ，AF ＝FC ＝NF ，根据三角形中位线性质 PE ＝21AC ＝NF ，PF ＝21AB ＝MEPE ∥AC ，PF ∥AB∴∠PEB ＝∠BAC ＝∠PFC 即∠PEM ＝∠PFN∴△PEM ≌△PFN ∴PM ＝PN例2.已知△ABC 中，AB ＝10，AC ＝7，AD 是角平分线，CM ⊥AD 于M ，且N 是BC 的中点。

求MN 的长。

分析：N 是BC 的中点，若M 是另一边中点， 则可运用中位线的性质求MN 的长， 根据轴称性质作出△AMC 的全等三角形即可。

辅助线是：延长CM 交AB 于E （证明略 例3.如图已知：△ABC 中，AD 是角平分线，BE ＝CF ，M 、N 分别是BC 和EF 的中点 求证：MN ∥AD 证明一：连结EC ，取EC 的中点P ，连结PM 、PNP NMP ∥AB ，MP ＝21AB ，NP ∥AC ，NP ＝21AC ∵BE ＝CF ，∴MP ＝NP∴∠3=∠4=2MPN-180∠∠MPN ＋∠BAC ＝180（两边分平行的两个角相等或互补）∴∠1=∠2=2MPN-180∠ ， ∠2=∠3∴NP ∥AC ∴MN ∥AD证明二：连结并延长EM 到G ，使MG ＝ME 连结CG ，FG则MN ∥FG ，△MCG ≌△MBE ∴CG ＝BE ＝CF ∠B ＝∠BCG∴AB ∥CG ，∠BAC ＋∠FCG ＝180∠CAD ＝21（180－∠FCG ） ∠CFG ＝21（180－∠FCG ）=∠CAD ∴ MN ∥AD 例4. 已知：△ABC 中，AB ＝AC ，AD 是高，CE 是角平分线，EF ⊥BC 于F ，GE ⊥CE交CB 的延长线于G 求证：FD ＝41CG 证明要点是：延长GE 交AC 于H ， 可证E 是GH 的中点过点E 作EM ∥GC 交HC 于M ，则M 是HC 的中点，EM ∥GC ，EM ＝21GC由矩形EFDO 可得FD ＝EO ＝21EM ＝41GC三、练习1. 如图11，M 、P 分别为△ABC 的AB 、AC 上 的点，且AM=BM ，AP=2CP ，BP 与CM 相交于N ，已知PN=1，则PB 的长为 ( ) A. 2 B. 3 C .4 D. 52. 如图12，△ABC 中，∠B =2∠C ，AD ⊥BC 于D ，M 为BC 的中点，AB=10，则MD 的长为 ( )A. 10B. 8 C .6 D. 53. 如图13，△ABC 是等边三角形，D 、E 、F 分别是AB 、BC 、AC 的中点，P 为不同于B 、E 、C 的BC 上的任意一点，△DPH 为等边三角形.连接FH ，则EP 与FH 的大小关系是 ( ) A. E P>FH B. EP=FH C. EP<FH D.不确定4. 如图14，在△ABC 中，AD 平分∠BAC ，BD ⊥AD ，DE ∥AC ，交AB 于E ,若AB=5，则DE 的长为 .C5. 如图15，△ABC中，AB=4，AC=7，M为BC的中点，AD平分∠BAC，过M作MF∥AD，交AC于F，则FC的长等于.6. 如图25，P为△ABC内一点，∠P AC=∠PBC，PM⊥AC于M，PN⊥BC于N.D是AB的中点.求证：DM=DN7. 如图16，在△ABC中，D、E是AB、AC上的点，且BD=CE，M、N分别是BE、CD的中点，直线MN分别交AB、AC于P、Q.求证：AP=AQ8. 如图17，BE、CF是△ABC的角平分线，AN⊥BE于N，AM⊥CF于M.求证：MN∥BC.9. 如图18，在△ABC中，AD平分∠BAC，AD=AB，CM⊥AD于M.求证：AB+AC=2AM10.如图19，四边形ABCD中，G、H分别是AD、BC的中点，AB=CD.BA、CD的延长线交HG的延长线于E、F.求证：∠BEH=∠CFH.1. 如图20，在△ABC中，∠ABC=2∠C，AD平分∠BAC，过BC的中点M作ME⊥AD，交BA的延长线于E，交AD的延长线于F.求证：12BE BD.2. 如图21，在△ABC中，AB<AC，P为AC上的点，CP=AB，K为AP的中点，M为BC的中点，MK的延长线交BA的长线于N.求证：AN=AK.3. 如图22，分别以△ABC的边AC、BC为腰，A、B为直角顶点，作等腰直角△ACE和等腰直角△BCD，M为ED的中点.求证：AM⊥BM.4. 如图23，点O是四边形ABCD内一点，∠AOB=∠COD=1200，AO=BO，CO=DO，E、F、G分别为AB、CD、BC的中点.求证：△EFG为等边三角形.5. 如图24，△ABC中，M是AB的中点，P是AC的中点，D是MB的中点，N是CD的中点，Q是MN的中点，直线PQ交MB于K.求证：K是DB的中点.6. 如图25，P为△ABC内一点，∠P AC=∠PBC，PM⊥AC于M，PN⊥BC于N.D是AB的中点.求证：DM=DN图21 图22 图23 图24 图257. 如图26，AP是△ABC的角平分线，D、E分别是AB、AC上的点，且BD=CE.又G、H分别为BC、DE的中点.求证：HG∥AP.8. 如图27，已知△ABD和△ACE都是直角三角形，且∠ABD=∠ACE=900，如图(a)，连接DE，设M为DE的中点.(1)求证：MB=MC;(2)设∠BAD=∠CAE，固定△ABD，让Rt△ACE绕顶点A在平面内旋转到图(b)的位置，试问MB=MC是否成立?并证明其结论.9. 已知△ABC面积为S，作直线l∥BC，交AB于D，交AC于E，若△BED的积为K.求证：S≥4K.10.如图28，在△ABC中，AB=AC，D是BC边上的一点，E是线段AD上的一点．且∠BED=2∠CED=∠BAC.求证：BD=2CD.图26 图27。

中位线非常讲解课前引入同学们好！今天我们所要学习的知识是初中几何的一个重要知识要点，可以这样说，正因为有了它，才使我们许多几何题目更富有趣味性和探究性，它就是我们要学习的三角形中位线.希望同学们喜欢它，学好它.新课讲解三角形的中位线1.定义：连结三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线.如图1.在△ABC 中，点E，F分别是AB、AC的中点，则线段EF就是ABC的一条中位线.图12.定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半.用符号语言表述为：如图1，在△ABC中，点E，F分别是AB、AC的中点，则EF∥BC，并且12EF BC.3.注意：（1）三角形的中位线与三角形的中线是两个不同的概念，三角形的中线是连结一个顶点与它对边中点的线段，而三角形的中位线是连结三角形两边中点的线段.显然，三角形的中位线与三角形的中线都是线段，一个三角形有三条中位线和三条中线.（2）三角形中位线定理是证明两线段平行和线段的倍数关系的一个重要理论依据.这也即是三角形中位线定理的作用，在应用该定理时，应找出符合定理条件的基本图形.4.应用.例1.如图2所示，在△ABC中，D、E分别是AB、AC上的点，且BD=CE，M，N分别是BE、CD的中点，过M、N的直线交AB于P，交AC于点Q.求证：AP=AQ.图2 图3分析：欲证AP=AQ ，可考虑证明APQ AQP ∠=∠.根据题设条件，可取BC 的中点F ，连结FM ，FN ，（如图3）则MF 、NF 分别是BCE 和BCD 的中位线.利用BD=CE 易证FM=FN ，从而12∠=∠，由平行线的性质可知1,2APQ AQP ∠=∠∠=∠，于是APQ AQP ∠=∠成立，进而结论成立.证明：取BC 的中点F ，连结FM ，FN ，（如图3）由条件知：MF 、NF 分别是BCE 和BCD 的中位线所以FM ∥AC ，FN ∥BD ，11,22FM CE FN BD == 所以1,2APQ AQP ∠=∠∠=∠又因为BD=CE ，所以 FM=FN所以，12∠=∠，所以APQ AQP ∠=∠，所以 AP=AQ评注：若已知条件中又中点，常取某一边中点，构造三角形的中位线，运用三角形中位线性质定理得到某些线段相等或角相等.。

初中中位线知识点总结一、中位线的概念及作用1. 中位线是一条线段，它将一个几何图形分成两个面积相等的部分。

2. 在三角形和四边形中，中位线与其它中线交点的位置可以用于解决一些几何问题。

3. 中位线可用于解决实际问题，如计算房屋地面面积、农田面积等。

二、三角形中的中位线1. 三角形中位线定义：通过三角形的一个顶点，作对边中点连线。

2. 中位线的性质：三角形中位线相等，即三角形中的三条中位线相等。

这是因为三角形的三边相等。

3. 中位线的作用：在三角形中，中位线可以用来证明三角形的面积、证明三角形的角平分线等。

三、四边形中的中位线1. 四边形中位线定义：四边形的对角线中点连线。

2. 中位线的性质：四边形中的中位线相等，即四边形的两对对角线中的中位线相等。

3. 中位线的作用：中位线可以用来证明四边形的面积、证明四边形的性质。

四、中位线的应用1. 实际问题：中位线可用于计算几何图形的面积，如计算房屋地面面积、农田面积等。

2. 定理证明：中位线可用于证明几何定理，如证明三角形的角平分线，证明四边形的面积等。

3. 建筑设计：在建筑设计中，中位线可用于布局、规划和设计。

五、中位线的计算1. 中位线长度的计算：中位线的长度等于对角线中点间的距离。

2. 中位线的数学公式：中位线的长度等于两个对角线中点的距离的一半。

3. 计算实例：根据给定的对角线长度，可以计算四边形中位线的长度。

六、中位线与中心线的区别1. 中位线是一条几何图形中的线段，它具有等长性质。

2. 中心线是几何图形的中心轴线，它与图形的对称轴或对称中心有关。

七、中位线与平行四边形1. 中位线是平行四边形的对角线的中点连线，它将平行四边形分成两个面积相等的部分。

2. 中位线的性质：平行四边形的两条对角线中的中位线相等，即平行四边形中的两条中位线相等。

八、中位线与菱形1. 中位线是菱形的对角线的中点连线，它将菱形分成两个面积相等的部分。

2. 中位线的性质：菱形的两条对角线中的中位线相等，即菱形中的两条中位线相等。

中线与中位线(培优)收集于网络，如有侵权请联系管理员删除直角三角形斜边上的中线的应用知识储备：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.根据这个性质可知，直角三角形被分割成两个顶角互补、底角互余的等腰三角形.灵活运用此性质在解答一些与中点或中线有关的问题时，常能收到事半功倍之效. 例1 如图1，已知△ABC 中，∠ACB =90°，OA =OC ,求证：OB =OC基本结论：①若OA =OB ，则OA =OB =OC , ②若OA =OC ，则OB =OC ，③若OB =OC ，则OA =OC .例2（1）如图1，已知△ABC 和△ABD 中，∠ACB =∠ADB =90°，点O 是AB 的中点，求证：OC =OD（2）在上述条件下，如图2，（1）中结论还成立吗？为什么？基本结论：若OA =OB ，则OA =OB =OC =OD例3 如图，∠DBC =∠BCE =90°，M 为DE 的中点，求证：MB =MCDE例4 如图,在△ABC 中，AB =AC ，∠ABC =90°，点E ，F 分别在AB ，AC 上，且AE =EF ，点M 分别为AF ，CE 的中点，求证：（1）OM =12CE ；（2）OBOM例5 如图，△ABC 中，AB =AC ，∠ABD =∠CBD . DE ⊥BD ,DE 交BC 于E .求证：CD =12BE.例6 如图，在△ABC 中，BD ⊥AC 于D ,CE ⊥AB 于E ,点M ,N 分别是BC ，DE 的中点，（1）求证：MN ⊥DE ；（2）连ME ，MD ，若∠A =60°，求MNDE的值.图1图2例7 △BCD和△BCE中，∠BD C=∠BEC=90°，O为BC的中点，BD，CE交于A，（1）如图1，若∠BAC=120°，求证：DE=OE.（2）如图2，若∠BAC=135°，求证：DEOE.（3）若∠BAC=α，则∠EOD的度数为 .（用α表示）构造三角形中位线知识储备：三角形中位线定理：三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半.这个定理的特点是：同一题设下，有两个结论，一个结论表明位置关系，另一个结论表明数量关系.应用这一定理时，不一定同时用到两个结论，有时用到平行关系，有时用到倍分关系.常用构造三角形中位线的方法处理中点问题. 题型一利用角平分线和垂直构造中位线例1 如图，在△ABC中，AB=BC，∠ABC=90°，F为BC上一点，M为AF的中点，BE平分∠ABC，且EF⊥BE，求证：CF=2ME.题型二倍长构造三角形中位线例2如图，在△ABC中，∠ABC=90°，BA=BC，△BEF为等腰直角三角形，∠BEF=90°，M 为AF的中点，求证：ME=12CF题型三取中点构造三角形中位线例3 如图，在△ABC中，∠C=90°，CA=CB，E，F分别为CA，CB上的一点，CE=CF，M，N分别为AF，BE的中点，求证：AE=MN.EF图1 图2收集于网络，如有侵权请联系管理员删除题型四连接两点构造三角形中位线例4 如图，在△ABC中，∠B=2∠A，CD⊥AB于D,点E，F分别为AB，BC的中点.求证：DE=DFA例5 已知∠ACB=∠BCD=90°，AC=BC，CD=CE.（1）如图1，AE与BD的大小关系为，位置关系为 .（2）如图2，点P，M,N分别为AB，AD，BE的中点，试探究：PM与PN之间的数量关系和位置关系；（3）将图2中的△CDE绕点C旋转至如图3所示的位置，其余条件不变，则MN与PN的数量关系为 .图1 图3图2收集于网络，如有侵权请联系管理员删除例7 如图，在△ABC中，∠B=2∠C，AD⊥BC于D，M是BC的中点.求证：AB=2DM.例5 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°.AD∥BC，∠ABE=2∠CBE.求证：DE=2AB.（提示：取DE的中点F，连接AF）DB收集于网络，如有侵权请联系管理员删除。

D. 1
第6题图
模型六 遇到三角形一边垂线过这边中点时，利用垂直平分线的性质 模型分析
如图，当三角形一边垂线过这边中点时，可以考虑用垂直平分线的性质得到AE＝BE， 证明线段间的数量关系．
针对演练 7．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝3，AC＝4，点D是AB的中点，过点D
7 作DE ⊥AB交BC的延长线于点E，则CE 的长为____6____．
第7题图
8．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝6，AB的垂直平分线交AB于D，交AC 25
于E，若CD＝5，则AE＝_____4____.
第8题图
模型七 遇到圆中弦(或弧)的中点，利用垂径定理及圆周角定理 模型分析
如图，(1)O是直径的中点，常与已知中点连接，或过点O作一边的平行线或垂线构造中 位线； (2)圆中遇到弦的中点，联想“垂径定理”，出现“四中点一垂直”解决相应问题； (3)圆中遇到弧的中点，利用“一等四等”、“垂径定理”解决相应问题．
微专题 中点问题七大模型
(绵阳：2考；宜宾：3考；眉山：4考) 中点问题常用性质及常见辅助线作法： 1. 多个中点或平行＋中点 联 想构造中位线； 2. 直角＋斜边中点 联 想直角三角形斜边中线； 3. 中线或与中点有关的线段 联 想 倍长中线构造全等； 4. 等腰＋底边中点 联 想 等腰三角形“三线合一”； 5. 三角形面积＋中点 联 想 被中线分割成的两个小三角形面积相等； 6. 同一边遇垂直＋中点 联 想 垂直平分线性质； 7. 圆＋弦或弧的中点 联 想 垂径定理及圆周角定理
第10题图
W
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针对演练
9. 如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上的一点，OD⊥BC于点D，AC＝6，则OD的长

9.5 三角形的中位线同步培优讲练综合三角形的中位线1．连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线.2．定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半.顺次连接特殊的平行四边形各边中点得到的四边形的形状（1）顺次连接平行四边形各边中点得到的四边形是平行四边形.（2）顺次连接矩形各边中点得到的四边形是菱形.（3）顺次连接菱形各边中点得到的四边形是矩形.（4）顺次连接正方形各边中点得到的四边形是正方形.一、三角形中位线有关的求解问题【例1】如图，为测量位于一水塘旁的两点A，B间的距离，在地面上确定点O，分别取OA，OB的中点C，D，量得10=，则A，B之间的距离是()CD mA.5m B．10mC．20m D．40m【例2】如图，在ABC∆中，点D、E分别是边AB、AC的中点，连接DE，ABC∠的平分线BF交DE于点F，若4AB=，6BC=，则EF的长为．【例3】如图，在四边形ABCD 中，点P 是对角线BD 的中点，点E 、F 分别是AB 、CD 的中点，AD BC =，30PEF ∠=︒，则EPF ∠的度数是 ．【例4】在ABC 中，120AB AC BAC =∠=︒，，D 为ABC 形内一点，以AD 为腰作等腰DAE ，使DAE BAC ∠=∠，连接BE CD 、，若M N 、分别是DE BC 、的中点，1MN =，则CD 的长为_______．【例5】有一块梯形形状的土地，现要平均分给两个农户种植（即将梯形面积两等分），试设计两种方案，并说明理由．（平分图案画在备用图上，保留作图痕迹）【例6】如图，在ABC ∆中，点D ，E ，F 分别是边AB ，BC ，CA 上的中点，且10AB cm =，16AC cm =，则四边形ADEF 的周长等于 cm ．【例7】如图，四边形ABCD 中，1AB =，4CD =，M 、N 分别是AD 、BC 的中点，则线段MN 的取值范围是( )A ．35MN <<B ．35MN <C ．3522MN <<D ．3522MN <【例8】如图，Rt ABC △中，90BAC ∠=︒，6AB =，10BC =，AD 、AE 分别是其角平分线和中线，过点B 作BG AD ⊥于G ，交AC 于F ，连接EG ，则线段EG 的长为（ ）A ．12 B ．1 C ．32 D ．2二、三角形中位线相关的面积问题【例1】如图，在ABC ∆中，D 、E 、F 分别是BC 、AC 、AD 的中点，若ABC ∆的面积是40，则四边形BDEF 的面积是( )A ．10B ．12.5C ．15D ．20【例2】E 、F 是线段AB 上的两点，且16AB =，2AE =，4BF =，点G 是线段EF 上的一动点，分别以AG 、BG 为斜边在AB 同侧作两个等腰直角三角形，直角顶点分别为D 、C ，如图所示，连接CD 并取中点P ，连接PG ，点G 从E 点出发运动到F 点，则线段PG 扫过的图形面积为______．【例3】如图，在ABC 中，D ，E ，F 分别是BC AD CE ，，的中点，22cm BCF S =，则ABC S =_____2cm【例4】如图，ABC 三边的中线AD ，BE ，CF 的公共点为G ，且:2:1AG GD =，若12ABC S =△，则图中阴影部分的面积是_____．【例5】如图，在Rt ABC △中，90BAC ∠=︒，,E F 分别是,BC AB 的中点，延长CA 到点D ，使得2AC AD =，连接,,,,DE DF AE EF AF 与DE 交于点O ．5,13AB BC ==，求四边形AEFD 的面积．三、与三角形中位线有关的应用和证明【例1】在ABC ∆中，点M 是边BC 的中点，AD 平分BAC ∠，BD AD ⊥，BD 的延长线交AC 于点E ，12AB =，20AC =．（1）求证：BD DE =；（2）求DM 的长．【例2】如图，ABC ∆中，AH BC ⊥于点H ，点D ，E 分别是AB ，AC 的中点，连接DH ，EH ，DE ．（1）求证：AD DH =；（2）若四边形ADHE 的周长是30，ADE ∆的周长是21，求BC 的长．【例3】如图，在四边形ABCD 中，P 是对角线BD 的中点，E 、F 分别是AB 、CD 的中点，AD BC =，20PEF ∠=︒，求PFE ∠的度数．【例4】在Rt ABC 中，90BAC ∠=︒，E 、F 分别是BC 、AC 的中点，延长BA 到点D ，使2AB AD =，连接DE 、DF 、AE 、EF ，AF 与DE 交于点O ．(1)试说明AF 与DE 互相平分；(2)若8AB =，12BC =，求DO 的长．四、梯形中位线【例1】已知一个梯形的中位线长为5cm ，其中一条底边的长为6cm ，那么该梯形的另一条底边的长是 cm ．【例2】如图，已知直角梯形ABCD 的一条对角线把梯形分为一个直角三角形和一个边长为8cm 的等边三角形，则梯形ABCD 的中位线长为( )A. 4cm B ．6cmC ．8cmD ．10cm【例3】如图，梯形ABCD 的两底长为6AD =，10BC =，中位线为EF ，且90B ∠=︒，若P 为AB 上的一点，且PE 将梯形ABCD 分成面积相同的两区域，则EFP ∆与梯形ABCD 的面积比为 ．五、中点四边形【例1】顺次连接四边形四条边的中点，所得的四边形是菱形，则原四边形一定是( )A ．平行四边形B ．对角线相等的四边形C ．矩形D ．对角线互相垂直的四边【例2】若顺次连接四边形ABCD 各边的中点所得到的四边形是矩形，则原四边形必定是（ ）A ．正方形B ．对角线相等的四边形C ．菱形D ．对角线互相垂直的四边形【例3】依次连接下列四边形四条边的中点得到四边形不是菱形的是（ ）A ．矩形B ．菱形C ．正方形D ．等腰梯形【例4】如图，四边形ABCD 中，AC a =，BD b =．且AC BD ⊥，顺次连接四边形ABCD 各边中点，得到四边形1111D C B A ，再顺次连接四边形1111D C B A 各边中点，得到四边形2222,A B C D ⋅⋅⋅，如此进行下去，得到四边形n n n n A B C D ．下列结论正确的是（ ）①四边形2222A B C D 是矩形；②四边形4444A B C D 是菱形；③四边形5555A B C D 的周长是4a b+，④四边形n n n n A B C D 的面积是12n ab+．A ．①②③B ．②③④C ．①②D ．②③1、如图，在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，5AC =，12BC =．若D ，E 分别为边AC ，BC 的中点，则DE 的长为( )A ．5B ．5.5C ．6D ．6.52、如图是屋架设计图的一部分，其中30A ∠=︒，点D 是斜梁AB 的中点，BC 、DE 垂直于横梁AC ，16AB m =，则DE 的长为( )A. 8mB ．4mC ．2mD ．6m3、如图，点D 、E 、F 分别是AC 、BC 、AB 中点，且BD 是ABC ∆的角平分线．求证：BE AF =．4．如图，平行四边形ABCD 中，对角线AC ，BD 相交于O ，2BD AD =，E ， F ， G 分别是OC ， OD ，AB 的中点，下列结论中：①BE AC ⊥；②四边形BEFG 是平行四边形；③EG GF =；④EA 平分GEF ∠，正确的是（ ）A ．①②B ．①②④C ．①②③D ．②③④5．如图，四边形ABCD 中，对角线AC BD ⊥，且8AC =，4BD =，各边中点分别为1A ，1B ，1C ，1D ，顺次连接得到四边形1111D C B A ；再取各边中点2A ，2B ，2C ，2D ，顺次连接得到四边形2222A B C D ；依此类推，这样得到四边形n n n n A B C D ，则四边形n n n n A B C D 的面积为____．6．已知一个对角线长分别为12cm 和16cm 的菱形，顺次连接它的四边中点得到的四边形的面积是______．7．如图，在ABC 和ABD △中，90ACB ADB ∠=∠=︒，E 、F 、G 分别为AB 、AC 、BC 的中点，若1DE =，则FG =________．8、如图，在ABC ∆中，90ACB ∠=︒，M 、N 分别是AB 、AC 的中点，延长BC 至点D ，使13CD BD =．连接DM 、DN 、MN ．若6AB =，求DN 的长．9．如图，在四边形ABCD 中，E ，F 分别是AD BC ，的中点．(1)若102430120AB CD ABD BDC ==∠=︒∠=︒，，，，求EF 的长．(2)若90BDC ABD ∠-∠=︒，求证：2224AB CD EF +=．10．已知：如图，四边形ABCD 四条边上的中点分别为E 、F 、G 、H ，顺次连接EF 、FG 、GH 、HE ，得到四边形(EFGH 即四边形ABCD 的中点四边形)．(1)四边形EFGH 的形状是______，请证明你的结论；(2)当四边形ABCD 的对角线满足______条件时，四边形EFGH 是菱形；(3)你学过的哪种特殊的平行四边形的中点四边形是菱形？请写出一种．11．定义：既相等又垂直的两条线段称为“等垂线段”，如图1，在Rt ABC △中，90A ∠=︒，AB AC =，点D 、E 分别在边AB 、AC 上，AD AE =，连接DE 、DC ，点M 、P 、N 分别为DE 、DC 、BC 的中点，且连接PM 、PN ．(1)观察猜想线段PM 与PN ______填（“是”或“不是”）“等垂线段”．(2)ADE 绕点A 按逆时针方向旋转到图2所示的位置，连接BD ，CE ，试判断PM 与PN 是否为“等垂线段”，并说明理由．(3)拓展延伸把ADE 绕点A 在平面内自由旋转，若2DE =，4BC =，请直接写出PM 与PN 的积的最大值．9.5 三角形的中位线同步培优讲练综合三角形的中位线1．连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线.2．定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半.顺次连接特殊的平行四边形各边中点得到的四边形的形状（1）顺次连接平行四边形各边中点得到的四边形是平行四边形.（2）顺次连接矩形各边中点得到的四边形是菱形.（3）顺次连接菱形各边中点得到的四边形是矩形.（4）顺次连接正方形各边中点得到的四边形是正方形.一、三角形中位线有关的求解问题【例1】如图，为测量位于一水塘旁的两点A，B间的距离，在地面上确定点O，分别取OA，OB的中点CD m，则A，B之间的距离是()C，D，量得10B.5m B．10mC．20m D．40m【答案】C【解析】解：点C，D分别是OA，OB的中点，220()AB CD m ∴==，故选：C ．【例2】如图，在ABC ∆中，点D 、E 分别是边AB 、AC 的中点，连接DE ，ABC ∠的平分线BF 交DE 于点F ，若4AB =，6BC =，则EF 的长为 ．【答案】1【解析】解：连接AF 并延长交BC 于H ，点D 、E 分别为边AB 、AC 的中点，//DE BC ∴，132DE BC ==，FH =， 在BFA ∆和BFH ∆中，ABF HBF AFB HFB FA FH ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()BFA BFH AAS ∴∆≅∆，4BH AB ∴==，AD DB =，AF FH =，122DF BH ∴==， 1EF DE DF ∴=-=，故答案为：1．【例3】如图，在四边形ABCD 中，点P 是对角线BD 的中点，点E 、F 分别是AB 、CD 的中点，AD BC =，30PEF ∠=︒，则EPF ∠的度数是 ．【答案】120【解析】 解：点P 是对角线BD 的中点，点E 、F 分别是AB 、CD 的中点，12PF BC ∴=，12PE AD =，又AD BC =， PE PF ∴=，30PFE PEF ∴∠=∠=︒，120EPF ∴∠=︒，故答案为：120︒．【例4】在ABC 中，120AB AC BAC =∠=︒，，D 为ABC 形内一点，以AD 为腰作等腰DAE ，使DAE BAC ∠=∠，连接BE CD 、，若M N 、分别是DE BC 、的中点，1MN =，则CD 的长为_______．【答案】2【解析】解：如图，连接BD ，取BD 的中点F ，连接FM FN ，，∵BAC EAD ∠=∠，BAC EAD ∠=∠， ∴BAC BAD EAD BAD ∠-∠=∠-∠，即BAE CAD ∠=∠，在AEB △和ADC △中，AE AD BAE CADAB AC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴AEB ADC SAS ≌（），∴BE CD =，∵M 是ED 的中点，F 是BD 的中点，∴FM 是BED 的中位线， ∴12FM BE =，FM BE ∥，∴DFM EBD ∠=∠， 同理得，1 2FN CD =，FN CD ，FM FN FNB DCB ∴=∠=∠，，∵DFN DBC FNB DBC DCB ∠=∠+∠=∠+∠，∴18012060MFN DFM DFN EBD DBC DCB ∠=∠+∠=∠+∠+∠=︒-︒=︒，∴FMN 是等边三角形，∴1MN FN ==，∴2CD =．故答案为：2．【例5】有一块梯形形状的土地，现要平均分给两个农户种植（即将梯形面积两等分），试设计两种方案，并说明理由．（平分图案画在备用图上，保留作图痕迹）【答案】见解析【解析】解：设梯形上、下底分别为a 、b ，高为h ．方案一：如图1，连接梯形上、下底的中点E 、F ，则()4ABFE EFCD a b h S S +==四边形四边形；方案二：如图2，连接AC ，取AC 的中点E ，连接BE ED 、，则图中的四边形ABED 的面积=梯形ABCD 的面积的一半，∵AE EC =，∴ABE BEC S S =，AED ECD S S =， ∴ABE AED BEC ECD S S S S +=+，∴四边形ABED 的面积=梯形ABCD 的面积的一半．方案三：如图3，分别量出梯形上、下底a 、b 的长，在下底BC 上截取2a b BE +=，连接AE ， ∴()1•24ABE a b h S BE h +==，()()()244ABE AECD ABCD a b h a b h a b h S S S +++=-=-=四边形梯形，则()4ABE AECD a b h S S +==四边形．【例6】如图，在ABC ∆中，点D ，E ，F 分别是边AB ，BC ，CA 上的中点，且10AB cm =，16AC cm =，则四边形ADEF 的周长等于 cm ．【答案】26【解析】解：点D ，E ，F 分别是边AB ，BC ，CA 上的中点，DE ∴，EF 都是ABC ∆的中位线，182DE AC cm ∴==，//DE AC ，152EF AB cm ==，//EF AB ， ∴四边形ADEF 是平行四边形，∴四边形ADEF 的周长2()21326()DE EF cm =+=⨯=．故答案为：26．【例7】如图，四边形ABCD 中，1AB =，4CD =，M 、N 分别是AD 、BC 的中点，则线段MN 的取值范围是( )A ．35MN <<B ．35MN <C ．3522MN <<D ．3522MN < 【答案】D【解析】解：连接AC ，取AC 的中点H ，连接MH 、NH ，M 、H 分别是AD 、AC 的中点，122MH CD ∴==， 同理可得，1122NH AB ==， 在MHN ∆中，MH NH MN MH NH -<<+，即3522MN <<， 当H 在MN 上时，52MN MH NH =+=，∴3522MN <， 故选：D ．【例8】如图，Rt ABC △中，90BAC ∠=︒，6AB =，10BC =，AD 、AE 分别是其角平分线和中线，过点B 作BG AD ⊥于G ，交AC 于F ，连接EG ，则线段EG 的长为（ ）A ．12 B ．1 C ．32 D ．2【答案】B【解析】解：Rt ABC △中，6AB =，10BC =，∴8AC ==，∵BG AD ⊥，∴AGB AGF ∠=∠．∵AD 平分BAC ∠，∴BAG FAG ∠=∠， 在AGB 和AGF 中BAG FAG AG AGAGB AGF ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴AGB AGF ≌∴6,AB AF BG FG ===，∴2CF =，∵AE 是ABC 的中线，∴BE CE =，∴EG 是BCF △的中位线，∴112EG CF ==，故选：B ．二、三角形中位线相关的面积问题【例1】如图，在ABC ∆中，D 、E 、F 分别是BC 、AC 、AD 的中点，若ABC ∆的面积是40，则四边形BDEF 的面积是( )A ．10B ．12.5C ．15D ．20 【答案】C【解析】解：D 、E 、F 分别是BC 、AC 、AD 的中点，12ADE ADC S S ∆∆∴=，12ADC ABC S S ∆∆=，12DEF ADE S S ∆∆=， 1140588DEF ABC S S ∆∆∴==⨯=， D 、E 、F 分别是BC 、AC 、AD 的中点，11402022ABD ABC S S ∆∆∴==⨯=， 11201022BDF ADB S S ∆∆∴==⨯=， ∴四边形BDEF 的面积15BDF DEF S S ∆∆=+=，故选：C ．【例2】E 、F 是线段AB 上的两点，且16AB =，2AE =，4BF =，点G 是线段EF 上的一动点，分别以AG 、BG 为斜边在AB 同侧作两个等腰直角三角形，直角顶点分别为D 、C ，如图所示，连接CD 并取中点P ，连接PG ，点G 从E 点出发运动到F 点，则线段PG 扫过的图形面积为______．【答案】30【解析】解：分别延长AD 、BC 相交于点H ，连接PH ，EH ，FH ，∵ADG △、GCB △为等腰直角三角形，∴45DGA CGB A B ∠=∠=∠=∠=︒，∴90DGC ∠=︒，∴AH GC ∥，又∵90HCG ∠=︒，∴90HCG DGC ∠=∠=︒，∴DG HB ∥，∴四边形DGCH 为矩形，∵点P 为DC 中点，∴点G 、P 、H 三点共线，且P 为HG 的中点，过P 作MN AB ∥分别交EH 、FH 与M 、N ，∴MN 为HEF 的中位线，且MN 即为点P 的运动轨迹， ∴GP 扫过的图形即为梯形MEFN ，∵16AB =，2AE =，4BF =，∴162410EF =--=， ∴152MN EF ==，过点H 作HO 垂直AB 于O ，∵45A B ∠=∠=︒，∴AH BH =，180454590AHB ∠=︒-︒-︒=︒， ∴182HO AO BO AB ====，∵MN 为HEF 的中位线， ∴118422PO HO ==⨯=，即梯形的高为4， ∴()14105302MEFN S =⨯⨯+=梯形，即线段PG 扫过的图形面积为30．故答案为：30．【例3】如图，在ABC 中，D ，E ，F 分别是BC AD CE ，，的中点，22cm BCF S =，则ABC S =_____2cm【答案】8【解析】解：如图，连接BE ，∵E 是AD 的中点， ∴12ABE ABD S S =△△，12ACE ACD S S =， ∴()11112222ABE ACE ABD ACD ABD ACD ABC S S S S S S S +++===， ∴12CBE ABC S S =，∵F 是CE 的中点， ∴1124FBC EBC ABC S S S ==， 而22cm BCF S =， ∴28cm ABC S =． 故答案为：8．【例4】如图，ABC 三边的中线AD ，BE ，CF 的公共点为G ，且:2:1AG GD =，若12ABC S =△，则图中阴影部分的面积是_____．【答案】4【解析】解：∵ABC 的三条中线AD ，BE ，CF 交于点G ，:2:1AG GD =，∴AE CE =， ∴13CGE AGE ACF S S S ==△△△，13BGF BGD BCF S S S ==，∵1112622ACF BCF ABC S S S ===⨯=△△△，∴231316CGE ACF S S ==⨯=，231316BGF BCF S S ==⨯=， ∴4CGE BGF S S S +==阴影．故答案为：4．【例5】如图，在Rt ABC △中，90BAC ∠=︒，,E F 分别是,BC AB 的中点，延长CA 到点D ，使得2AC AD =，连接,,,,DE DF AE EF AF 与DE 交于点O ．5,13AB BC ==，求四边形AEFD 的面积．【答案】15【解析】解：∵,E F 分别是,BC AB 的中点，∴EF 是ABC 的中位线，∴EF AC ∥，2AC EF =，∵2AC AD =，∴AD EF =，又∵AD EF ∥，∴四边形ADFE 是平行四边形，在Rt ABC △中，90BAC ∠=︒，5,13AB BC ==，∴12AC =，162EF AC AD ===， ∴1522AF AB ==， ∴56152ADFE S AD AF ==⨯=⨯平行四边形．与三角形中位线有关的应用和证明【例1】在ABC ∆中，点M 是边BC 的中点，AD 平分BAC ∠，BD AD ⊥，BD 的延长线交AC 于点E ，12AB =，20AC =．（1）求证：BD DE =；（2）求DM 的长．【答案】见解析【解析】（1）证明：AD 平分BAC ∠，BAD DAE ∴∠=∠．AD BD ⊥，90ADB ADE ∴∠=∠=︒．在ADB ∆与ADE ∆中，BAD EAD AD ADADB ADE ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩ADB ADE ∴∆≅∆，BD DE ∴=．（2）ADB ADE ∆≅∆，12AE AB ∴==，8EC AC AE ∴=-=． M 是BC 的中点，BD DE =，142DM EC ∴==． 【例2】如图，ABC ∆中，AH BC ⊥于点H ，点D ，E 分别是AB ，AC 的中点，连接DH ，EH ，DE ．（1）求证：AD DH =；（2）若四边形ADHE 的周长是30，ADE ∆的周长是21，求BC 的长．【答案】见解析【解析】解：（1）AH BC ⊥，90AHB ∴∠=︒，点D 是AB 的中点，12AD DH AB ∴==； （2）AH BC ⊥，90AHB AHC ∴∠=∠=︒，点D ，E 分别是AB ，AC 的中点，12AD DH AB ∴==，12AE HE AC ==， 四边形ADHE 的周长是30，130152AD AE ∴+=⨯=， ADE ∆的周长是21，21156DE ∴=-=，点D ，E 分别是AB ，AC 的中点，DE ∴是ABC ∆的中位线，212BC DE ∴==．【例3】如图，在四边形ABCD 中，P 是对角线BD 的中点，E 、F 分别是AB 、CD 的中点，AD BC =，20PEF ∠=︒，求PFE ∠的度数．【答案】20【解析】解：P 是BD 的中点，E 是AB 的中点，PE ∴是ABD ∆的中位线，12PE AD ∴=， 同理，12PF BC =， AD BC =，PE PF ∴=，20PFE PEF ∴∠=∠=︒．【例4】在Rt ABC 中，90BAC ∠=︒，E 、F 分别是BC 、AC 的中点，延长BA 到点D ，使2AB AD =，连接DE 、DF 、AE 、EF ，AF 与DE 交于点O ．(1)试说明AF 与DE 互相平分；(2)若8AB =，12BC =，求DO 的长．【答案】(1)见解析 【解析】（1）∵E 、F 分别是BC 、AC 的中点，∴EF 是ABC 的中位线，∴EF AB ∥且12EF AB =．又2AB AD =，即12AD AB =， ∴AD EF ，AD EF =，∴四边形AEFD 是平行四边形，∴AF 与DE 互相平分；（2）∵在Rt ABC 中，90BAC ∠=︒，8AB =，12BC =，∴由勾股定理得AC又由（1）知，OA OF =，且AF CF =，∴14OA AC =∴在AOD △中，90DAO ∠=︒，142AD AB ==，OA∴由勾股定理得 DO ==三、梯形中位线【例1】已知一个梯形的中位线长为5cm ，其中一条底边的长为6cm ，那么该梯形的另一条底边的长是 cm ．【答案】4【解析】解：设梯形的另一条底边为xcm ，由题意得：625x +=⨯，解得4x =．即梯形的另一条底边的长为4cm ．故答案为：4．【例2】如图，已知直角梯形ABCD 的一条对角线把梯形分为一个直角三角形和一个边长为8cm 的等边三角形，则梯形ABCD 的中位线长为( )B. 4cmB ．6cmC ．8cmD ．10cm【答案】B【解析】解：DBC ∆是等边三角形，8DB DC BC cm ∴===，60DBC ∠=︒，90ABC ∠=︒，30ABD ∴∠=︒，90A ∠=︒，142AD BD cm ∴==，∴梯形ABCD 的中位线是11()(48)622AD BC cm cm cm +=⨯+=， 故选：B ．【例3】如图，梯形ABCD 的两底长为6AD =，10BC =，中位线为EF ，且90B ∠=︒，若P 为AB 上的一点，且PE 将梯形ABCD 分成面积相同的两区域，则EFP ∆与梯形ABCD 的面积比为 ．【答案】1：16【解析】 解：梯形ABCD 的两底长为6AD =，10BC =，11()(610)822EF AD BC ∴=+=⨯+=，()()11610822ABCD S AD BC AB AB AB ∴=+⨯=⨯+⨯=梯形．()()1117682242AFED S AD EF AB AB AB =+⨯=+⨯=梯形，1714222EFP ABCD AFED S S S AB AB AB ∆∴=-=-=梯形梯形，1::81:162EFP ABCD S S ∆∴==梯形．故答案为：1:16．四、中点四边形【例1】顺次连接四边形四条边的中点，所得的四边形是菱形，则原四边形一定是() A ．平行四边形 B ．对角线相等的四边形C ．矩形D ．对角线互相垂直的四边【答案】B【解析】 解：四边形EFGH 是菱形，1122EH FG EF HG BD AC ∴=====，故AC BD =．故选：B ．【例2】若顺次连接四边形ABCD 各边的中点所得到的四边形是矩形，则原四边形必定是（）A ．正方形B ．对角线相等的四边形C ．菱形D ．对角线互相垂直的四边形【答案】D【解析】 解：如图， 四边形EFGH 是矩形90FEH ∴∠=︒点E 、F 的分别是AD 、AB 的中点EF ∴是ABD ∆的中位线EF BD ∴∥90FEH OMH ∴∠=∠=︒点E 、H 的分别是AD 、CD 的中点EH ∴是ACD ∆的中位线EH AC ∴90OMH COB ∴∠=∠=︒AC BD ∴⊥．故选：D【例3】依次连接下列四边形四条边的中点得到四边形不是菱形的是（ ）A ．矩形B ．菱形C ．正方形D ．等腰梯形【答案】B【解析】解：如图所示，依次连接四边形四条边的中点，∵矩形ABCD ，∴AB CD ，AD BC ∥，AB CD =，AD BC =，且点E ，F ，G ，H 分别为四边的中点，∴AEF BGF CGH DEH △≌△≌△≌△， ∴EF GF GH EH ===，∴EFGH 是菱形；∴A 选项不符合题意；如上图所示，由A 选项结论得菱形EFGH ，点O ，P ，Q ，R 分别为四边的中点，∴EO OF FP PG QG QH HR ER =======，且菱形的对角相等，∴(SAS)EOR GPQ △≌△，(SAS)OFP HQR △≌△，∴OR PQ =，OP QR =，∴四边形OPRQ 是平行四边形，不一定是菱形；∴B 选项符合题意；如下图所示，正方形ABCD ，点E ，F ，G ，H 分别为四边的中点，∴AE AF FB BG GC CH HD DE =======，且90A B C D ∠=∠=∠=∠=︒，∴AEF BGF CGH DEH △≌△≌△≌△， ∴EF GF GH EH ===，∴EFGH 是菱形；∴C 选项不符合题意；如下图所示，等腰梯形ABCD ，点E ，F ，G ，H 分别为四边的中点，∴AE DE =，AF DH =，A D ∠=∠，∴(SAS)AEF DEH △≌△，∴EF EH =，同理可得，FG GH =，连接AC ，在ACD ，ACB △中，点E ，F ，G ，H 分别为四边的中点，根据三角形的中位线的性质可知，FG AC ，12FG AC =，EH AC ，12EH AC =，∴FG EH =，FG EH ∥，∴四边形EFGH 是平行四边形，又∵EF EH =，FG GH =，∴EFGH 是菱形；∴D 选项不符合题意．故选：B ．【例4】如图，四边形ABCD 中，AC a =，BD b =．且AC BD ⊥，顺次连接四边形ABCD 各边中点，得到四边形1111D C B A ，再顺次连接四边形1111D C B A 各边中点，得到四边形2222,A B C D ⋅⋅⋅，如此进行下去，得到四边形n n n n A B C D ．下列结论正确的是（ ）①四边形2222A B C D 是矩形；②四边形4444A B C D 是菱形；③四边形5555A B C D 的周长是4a b+，④四边形n n n n A B C D 的面积是12n ab+．A ．①②③B ．②③④C ．①②D ．②③【答案】B【解析】解：①连接A 1C 1，B 1D 1．∵在四边形ABCD 中，顺次连接四边形ABCD 各边中点，得到四边形A 1B 1C 1D 1，∴A 1D 1∥BD ，B 1C 1∥BD ，C 1D 1∥AC ，A 1B 1∥AC ；∴A 1D 1∥B 1C 1，A 1B 1∥C 1D 1，∴四边形A 1B 1C 1D 1是平行四边形；∵AC ⊥BD ，∴四边形A 1B 1C 1D 1是矩形，∴B 1D 1=A 1C 1（矩形的两条对角线相等）；∴A 2D 2=C 2D 2=C 2B 2=B 2A 2（中位线定理），∴四边形A 2B 2C 2D 2是菱形；故①错误；②由①知，四边形A2B2C2D2是菱形；∴根据中位线定理知，四边形A4B4C4D4是菱形；故②正确；③根据中位线的性质易知，A 5B 5=12A 3B 3=1122⨯A 1B 1=111222⨯⨯AC ， B 5C 5=12B 3C 3=1122⨯B 1C 1=111222⨯⨯BD ， ∴四边形A 5B 5C 5D 5的周长是()1284a b a b +⨯+=故③正确；④∵四边形ABCD 中，AC=a ，BD=b ，且AC ⊥BD ，∴S 四边形ABCD=12ab ； 由三角形的中位线的性质可以推知，每得到一次四边形，它的面积变为原来的一半，四边形AnBnCnDn 的面积是12n ab+故④正确；综上所述，②③④正确．故选：B ．1、如图，在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，5AC =，12BC =．若D ，E 分别为边AC ，BC 的中点，则DE 的长为( )A ．5B ．5.5C ．6D ．6.5【答案】D【解析】解：90C ∠=︒，5AC =，12BC =，13AB ∴=，AD DC =，CE EB =，1 6.52DE AB ∴==， 故选：D ．2、如图是屋架设计图的一部分，其中30A ∠=︒，点D 是斜梁AB 的中点，BC 、DE 垂直于横梁AC ，16AB m =，则DE 的长为( )B. 8mB ．4mC ．2mD ．6m 【答案】B【解答】解：30A ∠=︒，16AB m =，1116822BC AB m ∴==⨯=， BC 、DE 垂直于横梁AC ，//BC DE ∴，点D 是斜梁AB 的中点，118422DE BC m ∴==⨯=． 故选：B ．3、如图，点D 、E 、F 分别是AC 、BC 、AB 中点，且BD 是ABC ∆的角平分线．求证：BE AF =．【答案】见解析【解析】【解答】证明：连接DE ，点D 、E 、F 分别是AC 、BC 、AB 中点．//DE AB ∴，//EF AC ，∴四边形ADEF 是平行四边形，AF DE ∴=， BD 是ABC ∆的角平分线，ABD DBE ∴∠=∠，DBE BDE ∴∠=∠，BE DE ∴=，BE AF ∴=．4．如图，平行四边形ABCD 中，对角线AC ，BD 相交于O ，2BD AD =，E ， F ， G 分别是OC ，OD ，AB 的中点，下列结论中：①BE AC ⊥；②四边形BEFG 是平行四边形；③EG GF =；④EA 平分GEF ∠，正确的是（ ）A ．①②B ．①②④C ．①②③D ．②③④【答案】B【解析】解：如图，四边形ABCD 是平行四边形BO DO ∴==12BD ，AD BC =，AB CD =，又2BD AD =，OB BC OD DA ∴===，且点E 是OC 中点，BE AC ∴⊥，故①正确，E 、F 分别是OC 、OD 的中点，∴EF CD ∥，EF =12CD ，点G 是Rt ABE △斜边AB 上的中点，GE ∴=12AB AG BG ==EG EF AG BG ∴===，无法证明GE GF =，故③错误，BG EF =，BG EF CD ∥∥∴四边形BEFG 是平行四边形故②正确，EF CD AB ∥∥，BAC ACD AEF ∠∠∠∴==，AG GE =，GAE AEG ∠∠∴=，EF CD ∥AEF ACD ∴∠=∠,AB CD ∥，GAE ACD ∴∠=∠，AEG AEF ∠∠∴=，AE ∴平分GEF ∠，故④正确；故选：B ．5．如图，四边形ABCD 中，对角线AC BD ⊥，且8AC =，4BD =，各边中点分别为1A ，1B ，1C ，1D ，顺次连接得到四边形1111D C B A ；再取各边中点2A ，2B ，2C ，2D ，顺次连接得到四边形2222A B C D ；依此类推，这样得到四边形n n n n A B C D ，则四边形n n n n A B C D 的面积为____．【答案】162n【解析】∵四边形ABCD 中，对角线AC BD ⊥，且8AC =，4BD = ∴11841622=⨯⨯=⨯⨯=ABCD S AC BD∵中点四边形的面积是原四边形面积的一半 ∴11111162==⨯A B C D ABCD S S222221162==⨯A B C D ABCD S S 以此类推，1161622==⨯=n n n n A B C D ABCD n n S S6．已知一个对角线长分别为12cm 和16cm 的菱形，顺次连接它的四边中点得到的四边形的面积是______．【答案】48【解析】解：E 、F 、G 、H 分别为各边中点，EF GH AC ∴∥∥，2EF GH AC ==，12EH FG BD ==，EH FG BD ∥∥，DB AC ⊥， EF EH ∴⊥，∴四边形EFGH 是矩形， 16cm 2EH BD ==，18cm 2EF AC ==，∴矩形EFGH 的面积26848cm EH EF =⨯=⨯=，故答案为：248cm ．7．如图，在ABC 和ABD △中，90ACB ADB ∠=∠=︒，E 、F 、G 分别为AB 、AC 、BC 的中点，若1DE =，则FG =________．【答案】1【解析】解：Rt ABC 中，点E 是AB 的中点，1DE =，22AB DE ∴==，点F 、G 分别是AC 、BC 中点， ∴112FG AB ==，故答案为：18、如图，在ABC ∆中，90ACB ∠=︒，M 、N 分别是AB 、AC 的中点，延长BC 至点D ，使13CD BD =．连接DM 、DN 、MN ．若6AB =，求DN 的长．【答案】3【解析】解：连接CM ，90ACB ∠=︒，M 是AB 的中点，132CM AB ∴==， M 、N 分别是AB 、AC 的中点，12MN BC ∴=，//MN BC ， 13CD BD =，MN CD ∴=，又//MN BC ，∴四边形NDCM 是平行四边形，3DN CM ∴==．9．如图，在四边形ABCD 中，E ，F 分别是AD BC ，的中点．(1)若102430120AB CD ABD BDC ==∠=︒∠=︒，，，，求EF 的长．(2)若90BDC ABD ∠-∠=︒，求证：2224AB CD EF +=．【答案】（1）13 （2）见解析【解析】（1）如图，取BD 的中点P ，连接EP FP 、，∵E ，F 分别是AD BC 、的中点，1024AB CD ==，，∴PE AB ∥，且152PE AB ==，PF CD ∥，且1122PF CD ==．又∵30120ABD BDC ∠=︒∠=︒，，∴3018060EPD ABD DPF BDC ∠=∠=︒∠=︒-∠=︒，，∴90EPF EPD DPF ∠=∠+∠=︒．在Rt EPF中，13EF ===．（2）证明：如图，取BD 的中点P ，连接EP FP 、．∵E ，F 分别是AD BC 、的中点，∴PE AB ，且12PE AB =，PF CD ∥，且12PF CD =．∴180EPD ABD DPF BDC ∠=∠∠=︒-∠，．∵90BDC ABD ∠-∠=︒，∴90∠=︒+∠BDC ABD ，∴180EPF EPD DPF ABD BDC ∠=∠+∠=∠+︒-∠180(90)90ABD ABD =∠+︒-︒+∠=︒， ∴222221122PE PF AB CD EF ⎛⎫⎛⎫+=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ∴2224AB CD EF +=．10．已知：如图，四边形ABCD 四条边上的中点分别为E 、F 、G 、H ，顺次连接EF 、FG 、GH 、HE ，得到四边形(EFGH 即四边形ABCD 的中点四边形)．(1)四边形EFGH 的形状是______，请证明你的结论；(2)当四边形ABCD 的对角线满足______条件时，四边形EFGH 是菱形；(3)你学过的哪种特殊的平行四边形的中点四边形是菱形？请写出一种．【答案】(1)平行四边形．证明见解析(2)AC BD =；(3)矩形的中点四边形是菱形．【解析】（1）四边形EFGH 的形状是平行四边形．理由如下：如图1，连接BD ．E 、H 分别是AB 、AD 中点，EH BD ∴∥，12EH BD =，同理FG BD ∥，12FG BD =，EH FG ∴∥，EH FG =，∴四边形EFGH 是平行四边形；故答案为：平行四边形；（2）当四边形ABCD 的对角线满足AC BD =的条件时，四边形EFGH 是菱形．理由如下： 如图2，连接AC 、BD ．E 、F 、G 、H 分别为四边形ABCD 四条边上的中点，EH BD ∴∥，HG AC ∥，1=2EH BD ，12HG AC =，AC BD =，EH HG ∴=， 又四边形EFGH 是平行四边形∴平行四边形EFGH 是菱形；故答案为：AC BD =；（3）矩形的中点四边形是菱形．理由如下：连接AC 、BD ．E 、F 、G 、H 分别为四边形ABCD 四条边上的中点，EH BD ∴∥，HG AC ∥，FG BD ∥，EF AC ∥，12FG EH BD ==，12EF HG AC ==，四边形ABCD 是矩形，AC BD ∴=，EH BD HG AC ===，∴四边形EFGH 是菱形．11．定义：既相等又垂直的两条线段称为“等垂线段”，如图1，在Rt ABC △中，90A ∠=︒，AB AC =，点D 、E 分别在边AB 、AC 上，AD AE =，连接DE 、DC ，点M 、P 、N 分别为DE 、DC 、BC 的中点，且连接PM 、PN ．(1)观察猜想线段PM 与PN ______填（“是”或“不是”）“等垂线段”．(2)ADE 绕点A 按逆时针方向旋转到图2所示的位置，连接BD ，CE ，试判断PM 与PN 是否为“等垂线段”，并说明理由．(3)拓展延伸把ADE 绕点A 在平面内自由旋转，若2DE =，4BC =，请直接写出PM 与PN 的积的最大值．【答案】】(1)是(2)是，答案见解析(3)92【解析】（1）解：线段PM 与PN 是“等垂线段”．理由如下：∴12MP EC =，12PN BD =，∵AB AC =，AD AE =，∴AB AD AC AE -=-，即BD CE =，∴MP PN =．∵点M 、P 、N 分别为DE 、DC 、BC 的中点，∴MP EC ∥，PN BD ∥，∵在Rt ABC △中，90A ∠=，AB AC =，∴45B ACB ∠=∠=︒，∴45ACD DCB ∠=︒-∠，180135BDC B DCB DCB ∠=︒-∠-∠=︒-∠，∵MP EC ∥，PN BD ∥，∴45MPD ACD DCB ∠=∠=︒-∠，()180********DPN BDC DCB DCB ∠=︒-∠=︒-︒-∠=︒+∠， ∴454590MPD DPN DCB DCB ∠+∠=︒-∠+︒+∠=︒，∴MP PN ⊥，即线段PM 与PN 是“等垂线段”，故答案为：是．（2）解：线段PM 与PN 是“等垂线段”，理由如下：∵ADE 绕点A 按逆时针方向旋转到图2所示的位置，∴AD AE =，=90DAE ∠︒，∵90BAC ∠=︒，∴BAC DAC DAE DAC ∠-∠=∠-∠，即BAD CAE ∠=∠，在ABD △与ACE △中，∵AB AC BAD CAE DA EA =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴()SAS ABD ACE △≌△， ∴BD CE =，∴12MP EC =，12PN BD =，∵BD CE =，∴MP PN =．∵点M 、P 、N 分别为DE 、DC 、BC 的中点，∴MP EC ∥，PN BD ∥，∵在Rt ABC △中，90BAC ∠=，AB AC =，∴45ABC ACB ∠=∠=︒，∴45ACD DCB ∠=︒-∠，45DBC ABD ∠=︒-∠，()180********BDC DBC DCB ABD DCB ABD DCB ∠=︒-∠-∠=︒-︒-∠-∠=︒+∠-∠ ∵MP EC ∥，PN BD ∥，∴MPD ECD ECA ACD ∠=∠=∠+∠，∵()SAS ABD ACE △≌△，∴ABD ACE ∠=∠，即MPD ECD ABD ACD ∠=∠=∠+∠()18018045DPN BDC ABD DCB ABD DCB ∠=︒-∠=︒-︒+∠-∠=︒-∠+∠， ∴45454590MPD DPN ABD ACD ABD DCB ∠+∠=∠+∠+︒-∠+∠=︒+︒=︒， ∴MP PN ⊥．∵MP PN =，MP PN ⊥．故线段PM 与PN 是“等垂线段”．（3）解：由（2）可知，MP PN =，MP PN ⊥， 故222MN PM PN PM ⨯==， 当MN 取最大值时，PM 与PN 的积有最大值．∵把ADE 绕点A 在平面内自由旋转，∴当N 、A 、M 三点共线，且点A 在NM 之间时，MN 取最大值．∴此时MN NA AM =+．∵在Rt ABC △中，90BAC ∠=，AB AC =，4BC =，N 为BC 的中点， ∴122NA BC ==， 同理可得，112MA DE ==， ∴MN 的最大值为3，PM 与PN 的积有最大值92．。

四边形--平行四边形专题培优训练一．选择题（共6小题）1．（2011•孝感）如图，在△ABC中，BD、CE是△ABC的中线，BD与CE相交于点O，点F、G分别是BO、CO 的中点，连接AO．若AO=6cm，BC=8cm，则四边形DEFG的周长是（）A．14cm B．18cm C．24cm D．28cm2．（2011•黔西南州）如图，在平行四边形ABCD中，过对角线BD上一点P，作EF∥BC，HG∥AB，若四边形AEPH和四边形CFPG的面积分另为S1和S2，则S1与S2的大小关系为（）A．S1=S2B．S1＞S2C．S1＜S2D．不能确定3．已知四边形ABCD中，AB∥CD，AB=CD，周长为40cm，两邻边的比是3：2，则较大边的长度是（）A．8cm B．10cm C．12cm D．14cm4．下列说法中错误的是（）A．平行四边形的对角线互相平分B．有两对邻角互补的四边形为平行四边形C．对角线互相平分的四边形是平行四边形D．一组对边平行，一组对角相等的四边形是平行四边形5．如图，△ABC中，∠ABC=∠BAC，D是AB的中点，EC∥AB，DE∥BC，AC与DE交于点O．下列结论中，不一定成立的是（）A．A C=DE B．A B=AC C．A D=EC D．O A=OE6．如图AB∥FD，GE∥AC，EF∥DG，GF∥BC，点O为DF与GE的交点，图中共有平行四边形（）A．3个B．4个C．5个D．6个二．填空题（共6小题）7．如图，在平行四边形ABCD中，AB=2AD，∠A=60°，E，F分别是AB，CD的中点，且EF=1cm，那么对角线BD=_________cm．8．如图，在四边形ABCD中，P是对角线BD的中点，E，F分别是AB，CD的中点，AD=BC，∠PEF=18°，则∠PFE 的度数是_________度．9．如图所示，▱ABCD中，点E在边AD上，以BE为折痕，将△ABE向上翻折，点A正好落在CD上的点F，若△FDE的周长为8，△FCB的周长为22，则FC的长为_________．10．（2011•黔西南州）如图，小红作出了边长为1的第1个正三角形△A1B1C1，算出了正△A1B1C1的面积，然后分别取△A1B1C1三边的中点A2B2C2，作出了第二个正三角形△A2B2C2，算出第2个正△A2B2C2的面积，用同样的方法作出了第3个正△A3B3C3，算出第3个正△A3B3C3的面积，依此方法作下去，由此可得第n次作出的正△A n B n C n的面积是_________．11．在梯形ABCD中，AB∥CD，M，N分别为上底CD，下底AB的中点，则MN_________（AD+BC）．（填“＞”“＜”“=”）12．（2011•黑龙江）如图，四边形ABCD中，对角线AC⊥BD，且AC=8，BD=4，各边中点分别为A1、B1、C1、D1，顺次连接得到四边形A1B1C1D1，再取各边中点A2、B2、C2、D2，顺次连接得到四边形A2B2C2D2，…，依此类推，这样得到四边形A n B n C n D n，则四边形A n B n C n D n的面积为_________．三．解答题（共16小题）13．如图所示．D，E分别在AB，AC上，BD=CE，BE，CD的中点分别是M，N，直线MN分别交AB，AC于P，Q．求证：AP=AQ．14．如图：AD是△ABC的高，M、N、E分别是AB、AC、BC边上的中点．（1）求证：ME=DN；（2）若BC=AD=12，AC=13，求四边形DEMN的面积．15．如图，已知：四边形ABCD中，AD=BC，E、F分别是DC、AB的中点，直线EF分别与BC、AD的延长线相交于G、H．求证：∠AHF=∠BGF．16．（2011•厦门）如图，在四边形ABCD中，∠BAC=∠ACD=90°，∠B=∠D．（1）求证：四边形ABCD是平行四边形；（2）若AB=3cm，BC=5cm，AE=AB，点P从B点出发，以1cm/s的速度沿BC→CD→DA运动至A点停止，则从运动开始经过多少时间，△BEP为等腰三角形？17．已知：如图，D，E，F分别是△ABC各边上的点，且DE∥AC，DF∥AB．延长FD至点G，使DG=FD，连接AG．求证：ED和AG互相平分．18．如图1，已知在△ABC中，AB=AC，点P为底边BC上（端点B、C除外）的任意一点，且PE∥AC，PF∥AB．（1）试问线段PE、PF、AB之间有什么数量关系，并说明理由；（2）如图2，将“点P为底边BC上任意一点”改为“点P为底边BC延长线上任意一点”，其它条件不变，上述结论还成立吗？如果不成立，你能得出什么结论？请说明你的理由．19．如图，△ABC中，AD为中线，E为边BC上一点，过E作EF∥AB交AC于F，交AD于M，EG∥AC交AB 于G．（1）如图1，若E与D重合，写出图中所有与FG相等的线段，并选取一条给出证明．（2）如图纸，若E与D不重合，在（1）中与FG相等的线段中找出一条仍然与FG相等的线段，并给出证明．（3）如图3，若E在BC的延长线上，其它条件不变，作出图形（不写作法），FG=_________．20．在△ABC中，AB=AC，点P为△ABC所在平面内的一点，过点P分别作PE∥AC交AB于点E，PF∥AB交BC于点D，交AC于点F．（1）如图1，若点P在BC边上，∥此时PD=0，猜想并写出PD、PE、PF与AB满足的数量关系，然后证明你的猜想；（2）如图2，当点P在△ABC内，猜想并写出PD、PE、PF与AB满足的数量关系，然后证明你的猜想；（3）如图3，当点P在△ABC外，猜想并写出PD、PE、PF与AB满足的数量关系．（不用说明理由）21．平行四边形ABCD中，AB=2cm，BC=12cm，∠B=45°，点P在边BC上，由点B向点C运动，速度为每秒2cm，点Q在边AD上，由点D向点A运动，速度为每秒1cm，连接PQ，设运动时间为t秒．（1）当t为何值时，四边形ABPQ为平行四边形；（2）设四边形ABPQ的面积为ycm2，请用含有t的代数式表示y的值；（3）当P运动至何处时，四边形ABPQ的面积是▱ABCD面积的四分之三？22．如图a、b在平行四边形ABCD中，∠BAD，∠ABC的平分线AF，BG分别与线段CD两侧的延长线（或线段CD）相交于点F，G，AF与BG相交于点E．（1）在图a中，求证：AF⊥BG，DF=CG；（2）在图b中，仍有（1）中的AF⊥BG，DF=CG成立．请解答下面问题：①若AB=10，AD=6，BG=4，求FG和AF的长；②是否能给平行四边形ABCD的边和角各添加一个条件，使得点E恰好落在CD边上且△ABE为等腰三角形？若能，请写出所给条件；若不能，请说明理由．23．如图（1），BD、CE分别是△ABC的外角平分线，过点A作AF⊥BD，AG⊥CE，垂足分别为F、G，连接FG，延长AF、AG，与直线BC相交于M、N．（1）试说明：FG=（AB+BC+AC）；（2）①如图（2），BD、CE分别是△ABC的内角平分线；②如图（3），BD为△ABC的内角平分线，CE为△ABC 的外角平分线．则在图（2）、图（3）两种情况下，线段FG与△ABC三边又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并对其中的一种情况说明理由．24．小杰遇到这样一个问题：如图1，在▱ABCD中，AE⊥BC于点E，AF⊥CD于点F，连接EF，△AEF的三条高线交于点H，如果AC=4，EF=3，求AH的长．小杰是这样思考的：要想解决这个问题，应想办法将题目中的已知线段与所求线段尽可能集中到同一个三角形中．他先后尝试了翻折、旋转、平移的方法，发现可以通过将△AEH平移至△GCF的位置（如图2），可以解决这个问题．请你参考小杰同学的思路回答：（1）图2中AH的长等于_________．（2）如果AC=a，EF=b，那么AH的长等于_________．25．已知在□ABCD中，AE⊥BC于E，DF平分∠ADC 交线段AE于F．（1）如图1，若AE=AD，∠ADC=60°，请直接写出线段CD与AF+BE之间所满足等量关系；（2）如图2，若AE=AD，你在（1）中得到的结论是否仍然成立，若成立，对你的结论加以证明，若不成立，请说明理由；（3）如图3，若AE：AD=a：b，试探究线段CD、AF、BE之间所满足的等量关系，请直接写出你的结论．26．（2011•北京）在▱ABCD中，∠BAD的平分线交直线BC于点E，交直线DC于点F．（1）在图1中证明CE=CF；（2）若∠ABC=90°，G是EF的中点（如图2），直接写出∠BDG的度数；（3）若∠ABC=120°，FG∥CE，FG=CE，分别连接DB、DG（如图3），求∠BDG的度数．27．（2011•北京）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，D是BC的中点，DE⊥BC，CE∥AD，若AC=2，CE=4，求四边形ACEB的周长．28．已知：如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AD=24cm，BC=30cm，点P自点A向D以1cm/s的速度运动，到D点即停止．点Q自点C向B以2cm/s的速度运动，到B点即停止，直线PQ截梯形为两个四边形．问当P，Q同时出发，几秒后其中一个四边形为平行四边形？参考答案与试题解析一．选择题（共6小题）1．（2011•孝感）如图，在△ABC中，BD、CE是△ABC的中线，BD与CE相交于点O，点F、G分别是BO、CO 的中点，连接AO．若AO=6cm，BC=8cm，则四边形DEFG的周长是（）A．14cm B．18cm C．24cm D．28cm考点：平行四边形的判定与性质；三角形的重心；三角形中位线定理．专题：计算题．分析：主要考查平行四边形的判定以及三角形中位线的运用，由中位线定理，可得EF∥AO，FG∥BC，且都等于边长BC的一半．分析到此，此题便可解答．解答：解：∵BD，CE是△ABC的中线，∴ED∥BC且ED=BC，∵F是BO的中点，G是CO的中点，∴FG∥BC且FG=BC，∴ED=FG=BC=4cm，同理GD=EF=AO=3cm，∴四边形EFDG的周长为3+4+3+4=14（cm）．故选A．点评：本题考查了平行四边形的判定和三角形的中位线定理，三角形的中位线的性质定理，为证明线段相等和平行提供了依据．2．（2011•黔西南州）如图，在平行四边形ABCD中，过对角线BD上一点P，作EF∥BC，HG∥AB，若四边形AEPH和四边形CFPG的面积分另为S1和S2，则S1与S2的大小关系为（）A．S1=S2B．S1＞S2C．S1＜S2D．不能确定考点：平行四边形的判定与性质；全等三角形的判定与性质．分析：根据平行四边形的性质和判定得出平行四边形GBEP、HPFD，证△ABD≌△CDB，得出△ABD和△CDB 的面积相等；同理得出△BEP和△PGB的面积相等，△HPD和△FDP的面积相等，相减即可求出答案．解答：解：∵四边形ABCD是平行四边形，EF∥BC，HG∥AB，∴AD=BC，AB=CD，AB∥GH∥CD，AD∥EF∥BC，∴四边形GBEP、HPFD是平行四边形，∵在△ABD和△CDB中，∴△ABD≌△CDB，即△ABD和△CDB的面积相等；同理△BEP和△PGB的面积相等，△HPD和△FDP的面积相等，∴四边形AEPH和四边形CFPG的面积相等，即S1=S2．故选A．点评：本题考查了平行四边形的性质和判定，全等三角形的性质和判定的应用，解此题的关键是求出△ABD和△CDB的面积相等，△BEP和△PGB的面积相等，△HPD和△FDP的面积相等，注意：如果两三角形全等，那么这两个三角形的面积相等3．已知四边形ABCD中，AB∥CD，AB=CD，周长为40cm，两邻边的比是3：2，则较大边的长度是（）A．8cm B．10cm C．12cm D．14cm考点：平行四边形的判定与性质；解一元一次方程．专题：计算题．分析：由AB∥CD，AB=CD得到平行四边形ABCD，根据平行四边形的性质推出AD=BC，设平行四边形ABCD 的两邻边是3x，2x，得到方程2（3x+2x）=40，解方程求出x，即可求出最大边．解答：解：∵AB∥CD，AB=CD，∴四边形ABCD是平行四边形，∴AD=BC，设平行四边形ABCD的两邻边是3x，2x，∵平行四边形ABCD的周长是40，∴2（3x+2x）=40，解得：x=4，∴较大边的长度是3×4=12．故选C．点评：本题主要考查了平行四边形的性质，解一元一次方程等知识点，解此题的关键是根据题意列出方程．4．下列说法中错误的是（）A．平行四边形的对角线互相平分B．有两对邻角互补的四边形为平行四边形C．对角线互相平分的四边形是平行四边形D．一组对边平行，一组对角相等的四边形是平行四边形考点：平行四边形的判定与性质；平行线的性质．专题：推理填空题．分析：根据平行四边形的性质即可判断A；根据图形和已知不能推出另一组对边也平行，即可判断B；根据平行四边形的判定判断即可；根据平行线性质和已知推出AD∥BC，根据平行四边形的判定判断即可．解答：解：A、根据平行四边形性质得出平行四边形的对角线互相平分，故本选项错误；B、∠A+∠D=180°，同时∠B+∠C=180°，只能推出AB∥CD，不一定是平行四边形，故本选项正确；C、AC于BD交于O，OA=OC，OB=OD，∴四边形ABCD是平行四边形，故本选项错误；D、∵AB∥CD，∴∠B+∠C=180°，∵∠B=∠D，∴∠C+∠D=180°，∴AD∥BC，∴四边形ABCD是平行四边形，故本选项错误；故选B．点评：本题考查了对平行线的性质和平行四边形的性质和判定的应用，能理解性质并应用性质进行说理是解此题的关键，题目较好，但是一道比较容易出错的题目．5．如图，△ABC中，∠ABC=∠BAC，D是AB的中点，EC∥AB，DE∥BC，AC与DE交于点O．下列结论中，不一定成立的是（）A．A C=DE B．A B=AC C．A D=EC D．O A=OE考点：平行四边形的判定与性质；全等三角形的判定与性质．分析：由已知可得四边形BDEC是平行四边形，则BD=CE，∠B=∠E，又因为∠ABC=∠BAC，D是AB的中点可证△AOD≌△EOC，还可证明BC=AC，OA=OD，OE=OC，∴AC=DE，AD=EC，OA=OE．解答：解：∵EC∥AB，DE∥BC，∴四边形BDEC是平行四边形，∴BD=CE，∠B=∠E，又∵∠ABC=∠BAC，∴∠CEO=∠DAO，又D是AB的中点，∴AD=BD，∴AD=CE，∴△AOD≌△EOC，∴AD=CE，OA=OE，∵BC=DE，BC=AC，∴AC=DE．而AB=AC无法证得．故选B．点评：此题综合性比较强，考查了平行四边形的性质和判定，还综合利用了全等三角形的判定，等角对等边．6．如图AB∥FD，GE∥AC，EF∥DG，GF∥BC，点O为DF与GE的交点，图中共有平行四边形（）A．3个B．4个C．5个D．6个考点：平行四边形的判定．分析：此题意在考查平行四边形的判定，根据题中给出的条件，依据两条对边分别平行的四边形为平行四边形，则不难求解．解答：解：因为AB∥FD，GE∥AC，EF∥DG，GF∥BC，所以GFBD，GFEC，EFDG，AGOF均为平行四边形，所以，共有四个平行四边形．故选B．点评：本题主要考查了平行四边形的判定，熟练掌握平行四边形的性质及判定定理是解题的关键．二．填空题（共6小题）7．如图，在平行四边形ABCD中，AB=2AD，∠A=60°，E，F分别是AB，CD的中点，且EF=1cm，那么对角线BD=cm．考点：平行四边形的判定与性质；含30度角的直角三角形；勾股定理．分析：过D作DM⊥AB于M，得出平行四边形AEFD，求出AD=EF=1cm，求出∠ADM，求出AM，DM，求出AB，求出BM，根据勾股定理求出BD即可．解答：解：过D作DM⊥AB于M，则∠DMA=90°，∵∠A=60°，∴∠ADM=30°，∴AD=2AM，∵四边形ABCD是平行四边形，∴DC=AB，DC∥AB，∵F为DC中点，E为AB中点，∴DF=AE，DF∥AE，∴四边形AEFD是平行四边形，∴AD=EF=1cm，∴AM=cm，∵AB=2AD，∴AB=2cm，BM=2cm﹣cm=cm，在Rt△ADM中，由勾股定理得：DM=cm，在Rt△BDM中，由勾股定理得：BD==（cm），故答案为：．点评：本题考查了平行四边形的性质和判定，勾股定理，含30度角的直角三角形等知识点，关键是构造直角三角形，题目比较好，但是有一定的难度．8．如图，在四边形ABCD中，P是对角线BD的中点，E，F分别是AB，CD的中点，AD=BC，∠PEF=18°，则∠PFE 的度数是18度．考点：三角形中位线定理．分析：根据中位线定理和已知，易证明△EPF是等腰三角形．解答：解：∵在四边形ABCD中，P是对角线BD的中点，E，F分别是AB，CD的中点，∴FP，PE分别是△CDB与△DAB的中位线，∴PF=BC，PE=AD，∵AD=BC，∴PF=PE，故△EPF是等腰三角形．∵∠PEF=18°，∴∠PEF=∠PFE=18°．故答案为18．点评：本题考查了三角形中位线定理及等腰三角形的性质，解题时要善于根据已知信息，确定应用的知识．9．如图所示，▱ABCD中，点E在边AD上，以BE为折痕，将△ABE向上翻折，点A正好落在CD上的点F，若△FDE的周长为8，△FCB的周长为22，则FC的长为7．考点：翻折变换（折叠问题）．分析：由平行四边形可得对边相等，由折叠，可得AE=EF，AB=BF，结合两个三角形的周长，通过列方程可求得FC的长，本题可解．解答：解：设DF=x，FC=y，∵▱ABCD，∴AD=BC，CD=AB，∵BE为折痕，∴AE=EF，AB=BF，∵△FDE的周长为8，△FCB的周长为22，∴BC=AD=8﹣x，AB=CD=x+y，∴y+x+y+8﹣x=22，解得y=7．故答案为7．点评：本题考查了平行四边形的性质及图形的翻折问题；解决翻折问题的关键是找着相等的边，利用等量关系列出方程求得答案．10．（2011•黔西南州）如图，小红作出了边长为1的第1个正三角形△A1B1C1，算出了正△A1B1C1的面积，然后分别取△A1B1C1三边的中点A2B2C2，作出了第二个正三角形△A2B2C2，算出第2个正△A2B2C2的面积，用同样的方法作出了第3个正△A3B3C3，算出第3个正△A3B3C3的面积，依此方法作下去，由此可得第n次作出的正△A n B n C n的面积是．考点：三角形中位线定理；等边三角形的性质；相似三角形的判定与性质．专题：计算题；规律型．分析：过A1作A1D⊥B1C1于D，求出高A1D，求出△A1B1C1的面积，根据三角形的中位线求出B2C2=B1C1，A2B2=A1B1，A2C2=A1C1，推出△A2B2C2∽△A1B1C1，得出=同理△A3B3C3∽△A2B2C2，推出=得出规律=，代入求出即可．解答：解：过A1作A1D⊥B1C1于D，∵等边三角形A1B1C1，∴B1D=，由勾股定理得：A1D=，∴△A1B1C1的面积是×1×=，∵C2、B2、A2分别是A1B1、A1C1、B1C1的中点，∴B2C2=B1C1，A2B2=A1B1，A2C2=A1C1，即===，∴△A2B2C2∽△A1B1C1，且面积比是1：4，=同理△A3B3C3∽△A2B2C2，且面积比是1：4，=…∴==×=故答案为：．点评：本题考查了相似三角形的判定和性质，等边三角形，三角形的中位线的应用，解此题的关键是根据求出结果得出规律=，题目比较典型，但有一定的难度．11．在梯形ABCD中，AB∥CD，M，N分别为上底CD，下底AB的中点，则MN＜（AD+BC）．（填“＞”“＜”“=”）考点：三角形中位线定理；三角形三边关系；梯形．分析：由中点，联想到构建中位线，利用三角形的两边之和大于第三边即可得出结论．解答：解：如图，连接BD，作BD的中点，连接ME、NE，则可以知道ME、NE分别为中位线，∴ME=BC、NE=AD，∴ME+NE=（AD+BC），∵MN＜ME+NE，∴MN＜（AD+BC）．故答案为：＜．点评：本题考查了梯形的性质．比较线段的长度可以通过构造三角形，利用三角形的性质求解．12．（2011•黑龙江）如图，四边形ABCD中，对角线AC⊥BD，且AC=8，BD=4，各边中点分别为A1、B1、C1、D1，顺次连接得到四边形A1B1C1D1，再取各边中点A2、B2、C2、D2，顺次连接得到四边形A2B2C2D2，…，依此类推，这样得到四边形A n B n C n D n，则四边形A n B n C n D n的面积为（或或，只要答案正确即可）．考点：三角形中位线定理；菱形的判定与性质；矩形的判定与性质．专题：规律型．分析：根据三角形的面积公式，可以求得四边形ABCD的面积是16；根据三角形的中位线定理，得A1B1∥AC，A1B1=AC，则△BA1B1∽△BAC，得△BA1B1和△BAC的面积比是相似比的平方，即，因此四边形A1B1C1D1的面积是四边形ABCD的面积的，即a2；推而广之，则AC=8，BD=4，四边形A n B n C n D n的面积=．解答：解：∵四边形A1B1C1D1的四个顶点A1、B1、C1、D1分别为AB、BC、CD、DA的中点，∴A1B1∥AC，A1B1=AC．∴△BA1B1∽△BAC．∴△BA1B1和△BAC的面积比是相似比的平方，即．又四边形ABCD的对角线AC=8，BD=4，AC⊥BD，∴四边形ABCD的面积是16．推而广之，则AC=8，BD=4，四边形A n B n C n D n的面积=．故答案为（或或，只要答案正确即可）．点评：此题综合运用了三角形的中位线定理、相似三角形的判定及性质．注意：对角线互相垂直的四边形的面积等于对角线乘积的一半．三．解答题（共16小题）13．如图所示．D，E分别在AB，AC上，BD=CE，BE，CD的中点分别是M，N，直线MN分别交AB，AC于P，Q．求证：AP=AQ．考点：三角形中位线定理．专题：证明题．分析：根据中位线定理证明MH=NH，进而证明∠HMN=∠HNM，∠HMN=∠PQA，所以△APQ为等腰三角形，即AP=AQ．解答：证明：找到BC的中点H，连接MH，NH．如图：∵M，H为BE，BC的中点，∴MH∥EC，且MH=EC．∵N，H为CD，BC的中点，∴NH∥BD，且NH=BD．∵BD=CE，∴MH=NH．∴∠HMN=∠HNM；∵MH∥EC，∴∠HMN=∠PQA，同理∠HNM=∠QPA．∴△APQ为等腰三角形，∴AP=AQ．点评：考查中位线定理在三角形中的应用，考查平行线对角相等，考查等腰三角形的判定．14．如图：AD是△ABC的高，M、N、E分别是AB、AC、BC边上的中点．（1）求证：ME=DN；（2）若BC=AD=12，AC=13，求四边形DEMN的面积．考点：三角形中位线定理；直角三角形斜边上的中线．分析：（1）根据中位线的性质得到四边形MNED是梯形．又因为AD⊥BC，所以MN=BC即ME=DN，那么推出四边形EMND为等腰梯形．（2）利用四边形MECN为平行四边形，可以得到EC=MN=6，利用勾股定理可以求得DC=5，即可得到ED=6﹣5=1，然后利用梯形的面积计算梯形的面积即可．解答：解：（1）证明：∵M、E、N分别是AB、BC、AC的中点∴根据直角三角形斜边上中线等于斜边的一半，得ND=AC，根据三角形中位线定理，得NM=BC．MN∥BC，EM∥AC，∴四边形MECN为平行四边形，∴EM=NC．又∵DE＜EC，∴ED＜MN．∴四边形MEDN是梯形．（3分）又∵AD⊥BC，∴DG=AC．∴EM=DN．（2）∵AD=12，AC=13，∴CD=5，∵四边形MECN为平行四边形，∴EC=MN=6，∴ED=6﹣5=1，∴四边形DEMN的面积==21．点评：此题主要考查了学生对等腰梯形的判定及中位线的性质的掌握情况．15．如图，已知：四边形ABCD中，AD=BC，E、F分别是DC、AB的中点，直线EF分别与BC、AD的延长线相交于G、H．求证：∠AHF=∠BGF．考点：三角形中位线定理；平移的性质．专题：常规题型．分析：根据中位线定理证明MF∥BC，且MF=BC，根据AD=BC证明EM=MF，∠MEF=∠MFE，根据平行线同位角相等，证明∠MEF=∠AHF，∠MFE=∠BGF．可以求证∠AHF=∠BGF．解答：证明：连接AC，作EM∥AD交AC于M，连接MF．如下图：∵E是CD的中点，且EM∥AD，∴EM=AD，M是AC的中点，又因为F是AB的中点∴MF∥BC，且MF=BC．∵AD=BC，∴EM=MF，三角形MEF为等腰三角形，即∠MEF=∠MFE．∵EM∥AH，∴∠MEF=∠AHF∵FM∥BG，∴∠MFE=∠BGF∴∠AHF=∠BGF．点评：考查平行线对角相等，同位角相等，中位线平行且等于对应边，等腰三角形底角相等．16．（2011•厦门）如图，在四边形ABCD中，∠BAC=∠ACD=90°，∠B=∠D．（1）求证：四边形ABCD是平行四边形；（2）若AB=3cm，BC=5cm，AE=AB，点P从B点出发，以1cm/s的速度沿BC→CD→DA运动至A点停止，则从运动开始经过多少时间，△BEP为等腰三角形？考点：平行四边形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；等腰三角形的性质；勾股定理；相似三角形的判定与性质．专题：几何综合题．分析：（1）根据全等三角形判定证△ABC≌△CDA即可；（2）求出AC，当P在BC上时，①BP=EB=2，②BP=PE，作PM⊥AB于M，根据cosB求出BP，③BE=PE=2cm，作EN⊥BC于N，根据cosB求出BN；当P在CD上不能得出等腰三角形；当P在AD上时，过P作PN⊥BA于N，证△QAP∽△ABC，推出PQ：AQ：AP=4：3：5，设PQ=4xcm，AQ=3xcm，在△EPN中，由勾股定理得出方程（3x+1）2+（4x）2=22，求出方程的解即可．解答：（1）证明：∵在△ABC和△CDA中∴△ABC≌△CDA，∴AD=BC，AB=CD，∴四边形ABCD是平行四边形．（2）解：∵∠BAC=90°，BC=5cm，AB=3cm，′由勾股定理得：AC=4cm，即AB、CD间的最短距离是4cm，∵AB=3cm，AE=AB，∴AE=1cm，BE=2cm，设经过ts时，△BEP是等腰三角形，当P在BC上时，①BP=EB=2cm，t=2时，△BEP是等腰三角形；②BP=PE，作PM⊥AB于M，∴BM=ME=BE=1cm∵cos∠ABC===，∴BP=cm，t=时，△BEP是等腰三角形；③BE=PE=2cm，作EN⊥BC于N，则BP=2BN，∴cosB==，∴=，BN=cm，∴BP=，∴t=时，△BEP是等腰三角形；当P在CD上不能得出等腰三角形，∵AB、CD间的最短距离是4cm，CA⊥AB，CA=4cm，当P在AD上时，只能BE=EP=2cm，过P作PQ⊥BA于Q，∵平行四边形ABCD，∴AD∥BC，∴∠QAD=∠ABC，∵∠BAC=∠Q=90°，∴△QAP∽△ABC，∴PQ：AQ：AP=4：3：5，设PQ=4xcm，AQ=3xcm，在△EPQ中，由勾股定理得：（3x+1）2+（4x）2=22，∴x=，AP=5x=cm，∴t=5+5+3﹣=，答：从运动开始经过2s或s或s或s时，△BEP为等腰三角形．点评：本题主要考查对平行四边形的性质和判定，相似三角形的性质和判定．全等三角形的性质和判定，勾股定理，等腰三角形的性质，勾股定理等知识点的理解和掌握，综合运用这些性质进行推理是解此题的关键．17．已知：如图，D，E，F分别是△ABC各边上的点，且DE∥AC，DF∥AB．延长FD至点G，使DG=FD，连接AG．求证：ED和AG互相平分．考点：平行四边形的判定与性质；平行线的性质；全等三角形的判定与性质．专题：证明题．分析：根据平行四边形的判定得出平行四边形AEDF，推出AE=DF=DG，根据平行线的性质推出∠G=∠EAO，∠AEO=∠GDO，根据ASA证△AEO≌△GDO即可．解答：证明：∵DE∥AC，DF∥AB，∴四边形AEDF是平行四边形，∴AE=DF，∵DG=FD，∴AE=DG，∵DF∥AB，∴∠G=∠EAG，∠GDE=∠AED，在△AEO和△GDO中，∴△AEO≌△GDO，∴OE=0D，OA=OG，即ED和AG互相平分．点评：本题考查了平行四边形的性质和判定，全等三角形的性质和判定，平行线的性质等知识点的运用，关键是求出OA=OG，OE=OD，题目较好，难度不大，证明方法不止一个：也可证四边形AEGD是平行四边形．18．如图1，已知在△ABC中，AB=AC，点P为底边BC上（端点B、C除外）的任意一点，且PE∥AC，PF∥AB．（1）试问线段PE、PF、AB之间有什么数量关系，并说明理由；（2）如图2，将“点P为底边BC上任意一点”改为“点P为底边BC延长线上任意一点”，其它条件不变，上述结论还成立吗？如果不成立，你能得出什么结论？请说明你的理由．考点：平行四边形的判定与性质；等腰三角形的性质．专题：证明题．分析：（1）推出平行四边形PEAF，推出PF=AE，∠EPB=∠C，根据等腰三角形的判定和性质推出PE=BE即可；（2）推出平行四边形PEAF，推出PE=AF，∠FPB=∠FCP，根据等腰三角形的判定和性质推出PF=FC即可，解答：（1）结论是PE+PF=AB，理由是：∵PE∥AC，PF∥AB，∴四边形PEAF是平行四边形，∴PF=AE，∠EPB=∠C，∵AC=AB，∴∠B=∠C，∴∠EPB=∠B，∴PE=BE，∵BE+AE=AB，∴PE+PF=AB．（2）结论是PE﹣PF=AB，理由是：∵PE∥AC，PF∥AB，∴四边形PEAF是平行四边形，∴PE=AF，∠FPC=∠ACB=∠FCP，∴PF=FC，PE﹣PF=AC=AB，即PE﹣PF=AB．点评：本题考查了平行四边形的性质和判定和等腰三角形的性质和判定，证此题的关键是证PE=BE和PF=FC，两小题证明过程类似，题型较好，难度适中．19．如图，△ABC中，AD为中线，E为边BC上一点，过E作EF∥AB交AC于F，交AD于M，EG∥AC交AB 于G．（1）如图1，若E与D重合，写出图中所有与FG相等的线段，并选取一条给出证明．（2）如图纸，若E与D不重合，在（1）中与FG相等的线段中找出一条仍然与FG相等的线段，并给出证明．（3）如图3，若E在BC的延长线上，其它条件不变，作出图形（不写作法），FG=BM．考点：平行四边形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；平行线分线段成比例．专题：证明题．分析：（1）BD=DC=FG，根据平行线分线段成比例定理推出AF=CF，BG=AG，根据三角形的中位线求出即可；（2）延长AD至A′，使DA′=AD，连接CA′，推出平行四边形GEFA，得出FM∥A′C，得出、比例式，求出BG=FM，BG∥FM，得出平行四边形BGFM即可；（3）延长AD至A′，使DA′=AD，连接CA′，推出平行四边形GEFA，得出FM∥A′C，得出、比例式，求出BG=FM，BG∥FM，得出平行四边形BGFM即可．解答：解：（1）BD=DC=FG，证明：∵EF∥AB，BD=DC，∴AF=CF，同理BG=AG，∴FG=BC=BD=DC，即BD=FG．（2）BM=FG，理由是：延长AD至A′，使DA′=AD，连接CA′，则△ABD≌△A′CD，∴A′C=AB，A′C∥AB，∵FM∥AB，GE∥AC，∴四边形GEFA为平行四边形，∴FM∥A′C，∴===，∴FM=BG，∵FM∥BG，∴BMFG是平行四边形，∴BM=FG．（3）BM=FG，理由是：延长AD至A′，使DA′=AD，连接CA′，△ABD≌△A′CD，∴A′C=AB，A′C∥AB，∵FM∥AB，GE∥AC，∴四边形GEFA为平行四边形，∴FM∥A′C，GE=AF，∴===，∴FM=BG，∵FM∥BG，∴BMFG是平行四边形，∴BM=FG．故答案为：BM．点评：本题综合考查了全等三角形的性质和判定，平行四边形的性质和判定，平行线分线段成比例定理等知识点，此题难度较大，对学生有较高要求，但出现了类比推理的思想．20．在△ABC中，AB=AC，点P为△ABC所在平面内的一点，过点P分别作PE∥AC交AB于点E，PF∥AB交BC于点D，交AC于点F．（1）如图1，若点P在BC边上，∥此时PD=0，猜想并写出PD、PE、PF与AB满足的数量关系，然后证明你的猜想；（2）如图2，当点P在△ABC内，猜想并写出PD、PE、PF与AB满足的数量关系，然后证明你的猜想；（3）如图3，当点P在△ABC外，猜想并写出PD、PE、PF与AB满足的数量关系．（不用说明理由）考点：平行四边形的判定与性质；等腰三角形的性质．专题：证明题．分析：（1）证平行四边形PEAF，推出PE=AF，PF=AE，根据等腰三角形性质推出∠B=∠C=∠EPB，推出PE=BE 即可；（2）过点P作MN∥BC分别交AB、AC于M、N两点，推出PE+PF=AM，再推出MB=PD即可；（3）过点P作MN∥BC分别交AB、AC于M、N两点，推出PE+PF=AM，再推出MB=PD即可．解答：解：（1）结论是PD+PE+PF=AB，证明：∵PE∥AC，PF∥AB，∴四边形PEAF是平行四边形，∴PF=AE，∵AB=AC，∴∠B=∠C，∵PE∥AC，∴∠EPB=∠C，∴∠B=∠EPB，∴PE=BE，∵AE+BE=AB，∴PE+PF=AB，∵PD=0，∴PD+PE+PF=AB．（2）结论是PD+PE+PF=AB，证明：过点P作MN∥BC分别交AB、AC于M、N两点，由（1）得：PE+PF=AM，∵四边形BDPM是平行四边形，∵MB=PD，∴PD+PE+PF=AM+MB=AB．（3）结论是PE+PF﹣PD=AB．点评：本题综合考查了平行四边形的性质和判定和等腰三角形的性质等知识点，关键是熟练地运用性质进行推理和证明，题目含有一定的规律性，难度不大，但题型较好．21．平行四边形ABCD中，AB=2cm，BC=12cm，∠B=45°，点P在边BC上，由点B向点C运动，速度为每秒2cm，点Q在边AD上，由点D向点A运动，速度为每秒1cm，连接PQ，设运动时间为t秒．（1）当t为何值时，四边形ABPQ为平行四边形；（2）设四边形ABPQ的面积为ycm2，请用含有t的代数式表示y的值；（3）当P运动至何处时，四边形ABPQ的面积是▱ABCD面积的四分之三？考点：平行四边形的性质．专题：动点型．分析：（1）因为在平行四边形ABCD中，AQ∥BP，只要再证明AQ=BP即可，即点P所走的路程等于Q点在边AD上未走的路程．（2）因为四边形ABPQ是梯形，梯形的面积公式（上底+下底）×高÷2，AQ和BP都能用含有t的字母表。

中位线学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________三角形中位线：连接三角形两边中点的线段叫中位线，中位线平行于第三边，且等于第三边的一半中位线性质：三角形的中位线____第三边，并且等于第三边的__________.1．如图，在△ABC中，BC＝2，D，E分别为AB，AC边的中点，则DE的长为___．2．如图，A、B两点被池塘隔开，在AB外选一点C，连结AC和BC，并分别找出它们的中点M、N．若测得MN＝15m，则A、B两点的距离为_______；3．如图，在▱ABCD中，BD为对角线，E、F分别是AD、BD的中点，连接EF．若EF=3，则CD的长为_____________．4．在□ABCD中，对角线AC和BD交于点O，点E是AD的中点，AB=6，BC=8,BD=12，则△DOE的周长是（）A．24 .B．13 .C．10.D．8.中位线2学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________1．如图，平行四边形中，对角线，交于点O，点E是的中点．若，则的长为（）A．B．C．D．11．如图，在▱ABCD中，AC与BD相交与O点，E为AD的中点，连接OE．若OE=2，则CD的长度为（ ）A．1B．2C．3D．412．如图，在平行四边形中，对角线与相交于点，是边的中点，连接.若，，则的度数为（）A．B．C．D．13．如图，在▱ABCD中，AD＝16，点E，F分别是BD，CD的中点，则EF等于( )A．10B．8C．6D．4中线学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________直角三角形中的中线：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半1．如图，在中，，点是的中点，且，则______．2．如图，在中，，点是的中点，，则_______．3．如图，直角三角形两条直角边AC、BC边长分别是3和4，则AB上的中线长为（）A．5B．2.5C．2.4D．34．一个直角三角形两条直角边的长分别为6，8，则其斜边上的中线为（）A．B．10C．D．5参考答案：1．B【分析】由平行四边形的性质和三角形中位线定理即可得出答案．【详解】∵▱ABCD对角线相交于点O，E是AD的中点，∴，AD= =8，，EO是△ABD的中位线，∴，∴△DOE的周长．故选：B．【点睛】本题主要考查平行四边形的性质及三角形中位线的性质的应用,利用三角形中位线定理求得是解题的关键．2．D【分析】根据平行四边形的性质，可得出点O平分AC，则OE是三角形ABC的中位线，则AB＝2OE，继而求出答案．【详解】解：∵四边形ABCD为平行四边形，∴AO＝CO，∵点E是CB的中点，∴OE为△ABC的中位线，∴AB＝2OE，∵OE＝6cm，∴AB＝12cm．故选：D．【点睛】本题考查了平行四边形的性质和三角形的中位线定理，关键是根据平行四边形的性质得出OE为△ABC的中位线．3．D【分析】首先根据平行四边形的性质可得AO=CO，再根据三角形的中位线定理可得EO= CD，进而可得答案．【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AO=CO，∵点E是边CD的中点，∴EO=CD，∵OE=2，∴CD=2OE=4，故选：D．【点睛】此题主要考查了三角形中位线的性质，关键是掌握三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．4．A【分析】利用三角形中位线定理结合平行线的性质得出∠ACB=∠1=40°，根据平行四边形的性质得∠ABC=∠ADC=60°，再利用三角形内角和定理得出∠BAC的度数．【详解】解：∵平行四边形ABCD，∠ADC=60°，∴OB=OD，∠ABC=∠ADC=60°，∵E是边CD的中点，∴OE∥BC∵∠1=40°，∴∠ACB=∠1=40°，∴∠BAC=180°-60°-40°=80°．故选A．【点睛】本题考查平行四边形的性质，三角形内角和定理、三角形中位线定理，平行线的性质，得出EO是△DBC的中位线是解题的关键．5．B【分析】利用三角形的中位线定理即可解决问题．【详解】∵四边形ABCD是平行四边形，∴BC=AD=16．∵点E，F分别是BD，CD的中点，∴EF BC=8．故选B．【点睛】本题考查了平行四边形的性质、三角形的中位线定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考基础题．6．D【分析】先根据中位线定理求出BC的长度，然后利用菱形的性质可求出的长度．【详解】∵四边形ABCD为菱形，∴AB=BC，∵E、F是AB、AC的中点，∴BC=2EF=，∴AB=BC=8．故选：D．【点睛】本题考查了三角形中位线的性质，菱形四边相等的性质，解题的关键是利用三角形中位线定理得出BC的长．7．B【分析】根据三角形中位线定理得出EF=BD=AB，DE=BF=BC，即可得四边形BFED 的周长.【详解】解：DE，EF是△ABC的中位线，∴EF=BD=AB，DE=BF=BC，∴四边形BFED的周长为：EF+BD +DE+BF=AB +BC=10.故选B.【点睛】本题考查三角形的中位线定理，三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半．8．1【分析】根据三角形中位线定理解答即可．【详解】解：∵D、E分别为AB、AC边的中点，∴DE是△ABC的中位线，∴，故答案为：1．【点睛】本题考查的是三角形中位线定理，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键．9．30m/30米【详解】试题分析：根据三角形的中位线定理可得AB=2NM=30m．考点：三角形的中位线定理．10．6．【详解】试题分析：在□ABCD中，BD为对角线，E、F分别是AD，BD的中点，所以EF 是△DAB的中位线，因为EF＝3，所以AB=6，所以DC=6.考点：中位线和平行四边形的性质点评：该题较为简单，主要考查学生对三角形中位线的性质和平行四边形性质的掌握程度．11．平行于一半【分析】根据三角形的中位线性质：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半，即可解答.【详解】三角形的中位线性质：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半，故答案为(1). 平行于(2). 一半.【点睛】本题考查三角形中位线定理.12．3【分析】根据三角形的中位线定理解答即可．【详解】解：∵，分别是，的中点，，∴是的中位线，∴．故答案为：3．【点睛】本题考查的是三角形中位线定理，三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半．理解和运用三角形中位线定理是解题的关键．13．【分析】结合题意，根据三角形中位线定理解答即可．【详解】解：∵D、E分别是PA，PB的中点，∴DE是△PAB的中位线，∴AB＝2DE，∵DE＝16米，∴AB＝32米，故答案为：32．【点睛】本题考查的是三角形中位线定理，掌握三角形中位线等于第三边的一半是解题的关键．14．2【分析】根据中位线的性质得到，可以直接得到答案．【详解】解：∵点D和点E分别是和的中点，∴，∵，∴，故答案为：2．【点睛】本题考查了中位线的性质，解题关键是明确中位线的性质，熟练运中位线的性质进行求解．15．2【分析】根据，利用平行线分线段成比例，得到E是AC的中点再由三角形中位线的性质，即可求解．【详解】解：，点是的中点，，∴,∴,，故答案为：2．【点睛】本题考查了平行线分线段成比例及三角形中位线的性质，熟练掌握知识点是解题的关键．16．6【分析】根据三角形中位线定理得到BC=2DE，计算即可．【详解】解：∵DE是△ABC的中位线，DE=3，∴BC=2DE=6，故答案为6．【点睛】本题考查的是三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．17．5【分析】利用直角三角形斜边上的中线的性质，即可解答．【详解】解：∵点是的中点，，∴，，，故答案为：5．【点睛】本题考查了直角三角形斜边上的中线，熟练掌握直角三角形斜边上的中线性质是解题的关键．18．4【分析】利用直角三角形斜边上的中线性质，即可解答．【详解】解：，点是的中点，，，故答案为：4．【点睛】本题考查了直角三角形斜边上的中线，熟练掌握直角三角形斜边上的中线性质是解题的关键．。