2016年浙江省数学高考模拟精彩题选 平面向量 含答案

2016浙江精彩题选——解析几何小题1.（2016丽水一模7）已知1F ，2F 分别为双曲线C ：12222=-by a x 的左、右焦点， 若存在过1F 的直线分别交双曲线C 的左、右支于A ，B 两点，使得122F BF BAF ∠=∠，则双曲线C 的离心率e 的取值范围是 （ C ）A ．()+∞,3B ．()521+,C ．()523+, D ．()31, 解：由三角形相似，222112BF AF AB k BF BF F F ===，则1122122AB BF AF kBF BF kBF AF k c =-=⎧⎪=⎨⎪=⋅⎩，1211122(1)2BF BF aBF kBF a k BF a-=⎧⎪-=⎨⎪-=⎩112BF AF kBF -=，112AF BF kBF =-，22112AF a BF k BF -=-21,3ak e c a∴=<∴>- 12(1)2a BF a c a -=-，12()3a c a BF c a c a-=≥+-，2e ∴≤+ 此题为2016离心率难度之最2.（2016宁波十校 14） 已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点分别是12,F F ，过2F 的直线交双曲线的右支于,P Q 两点，若112||||PF F F =，且223||2||PF QF =，则该双曲线的离心率为 75.3（2016嘉兴二模7）．如图，双曲线)0,(12222>=-b a by a x 的右顶点为A ，左右焦点分别为21,F F ,点P 是双曲线右支上一点，1PF 交左支于点Q ，交渐近线x aby =于点R ．M 是PQ 的中点，若12PF RF ⊥，且1PF AM ⊥，则双曲线的离心率是 （ C ） A ．2B ．3C ．2D ．5分析：由222b y x a x y c ⎧=⎪⎨⎪+=⎩得，(,)R a b ，2F R b k a c =-，1F Rb k ac =+， 由1MF A ∆与12RF F ∆相似得，1122M R y F A a c y F F c +==，2M a cy b c+=⋅，由R 、M 、F 1三点共线（第7题）可求M 的横坐标，再由点差法122F R OM b k k a⋅=建立等量关系。

第四章 平面向量一．基础题组1. 【2015年温州市高三第二次适应性测试 理7】在ABC V 中，5BC =，G ，O 分别为ABC V 的重心和外心，且5OG BC ⋅=uuu r uu u r，则ABC V 的形状是（ ▲ ） A ．锐角三角形 B ．钝角三角形C ．直角三角形D ．上述三种情况都有可能 【答案】B考点： 向量的运算2. 【浙江省2015届高三第二次考试五校联考 理4】已知A 、B 、C 为直线l 上不同的三点，点O ∉直线l ，实数x 满足关系式220x OA xOB OC ++=，有下列结论中正确的个数有 （ ）① 20OB OC OA -⋅≥ ； ② 20OB OC OA -⋅<；③ x 的值有且只有一个； ④x 的值有两个；⑤ 点B 是线段AC 的中点．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 【答案】C考点：平面向量及应用.3. 【2015诸暨市高中毕业班教学质量检测试题 理2】已知(2,2),(1,2)a b λλ→→=+=-，若a →与b →共线，则λ=（ ）A ．1-B ．1C ．2-D ．2 【答案】A .考点：1、共线定理；4. 【绍兴市2014-2015学年高三第一学期期末教学质量调测 理2】已知向量()1,2a = ，()//a b b +，则b可以为（ ）A ．()1,2B ．()1,2-C ．()2,1D ．()2,1- 【答案】A考点：向量共线的条件5. 【2014学年度第一学期五校联考高三数学期中试卷 理1】已知向量(1,2)a =- ，1(,)2b y =- ，若b a //，则y =（ ）A. 1B. 1-C. 2D. 2-【答案】A.【解析】由题意，得1)21(2=-⨯-=y . 考点：平面向量平行的判定.6. 【浙江省嘉兴市2015届高三下学期教学测试（一）理3】已知向量)2,cos 3(α=与向量)sin 4,3(α=平行，则锐角α等于A ．4πB ．6πC ．3πD ．125π【答案】A 【解析】试题分析：因为向量)2,cos 3(α=a 与向量)sin 4,3(α=b 平行， 所以12sin 6cos sin 12=⇒=ααα，又因为α是锐角，所以=α4π考点：向量平行的坐标运算.7. 【2015届鄞州区高考数学模拟试题 理5】已知0AB BC ⋅= ，1AB = ，2BC =，0AD DC ⋅= ，则BD的最大值为A.B. 2C.D. 【答案】C考点：1.向量数量积的几何意义；2.向量模的几何意义.8. 【浙江省绍兴市2015年高三教学质量检查 理7】【答案】B 【解析】考点：1.平面向量的坐标运算；2.平面向量的夹角.9. [浙江省重点中学协作体2015届第二次适应性测数学试题 理7 ]已知O 为ABC ∆的外心，=16AB uu u v，=10AC uuu vy x +=，且32x +2525y =，则=OA uu v （ ）。

浙江省2017届高三数学理一轮复习专题突破训练平面向量一、选择、填空题1、（2016年浙江省高考）已知向量a 、b, ｜a ｜ =1，｜b ｜ =2，若对任意单位向量e ，均有 ｜a·e ｜+｜b·e ｜≤,则a·b 的最大值是 ． 2、（2015年浙江省高考）已知12,e e 是空间单位向量，1212e e ⋅= ，若空间向量b 满足1252,2b e b e ⋅=⋅= ，且对于任意,x y R ∈，12010200()()1(,)b x e y e b x e y e x y R -+≥-+=∈，则0x = ，0y = ，b =．3、（嘉兴市2016届高三下学期教学测试（二））如图，设正BCD ∆的外接圆O 的半径为1(2R R <<，点A 在BD 下方的圆弧上，则()AB AD AO AC AB AD--∙的最小值为________.4、（金华、丽水、衢州市十二校2017届高三8月联考）.已知123,,A A A 为平面上三个不共线的定点，平面上点M 满足()11213A M A A A A λ=+ （λ是实数），且123MA MA MA ++ 是单位向量，则这样的点M 有（ ） A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．无数个5、（金华十校2016届高三上学期调研）已知ABC ∆的外心为O ，c b a ,,分别为C B A ∠∠∠,,的对边，且0632AO BC BO CA CO AB⋅⋅⋅++=，则c b a ,,的关系为_____，B ∠的取值范围为______.6、（浙江省名校协作体2017届高三上学期9月联考）已知点)0,1(m A -，)0,1(m B +，若圆03188:22=+--+y x y x C 上存在一点P 使得0PA PB ⋅=，则正实数．．．m 的最小值为 .7、（宁波市2016届高三上学期期末考试）已知向量(2,3),(1,2)a b ==- ，若2a b - 与非零向量ma nb +共线，则n m等于 （ ▲ ）A ．2- B.2 C.12-D.128、（绍兴市柯桥区2016届高三教学质量调测（二模））如图, 四棱锥O ABCD -中，AC 垂直平分BD .2,1OB OD == ，则()()OA OC OB OD +-的值是 ．9、（温岭市2016届高三5月高考模拟）已知四个点A ，B ，C ，D ，满足1AC BD ⋅=，2AB DC ⋅= ，则AD BC ⋅=▲ .10、（温州市2016届高三第二次适应性考试）如图，矩形ABCD 中，3,4AB AD ==，,M N 分别为线段,BC CD 上的点，且满足22111CM CN +=，若A C x A M yA N =+ ，则x y +的最小值为_________.11、（浙江省五校2016届高三第二次联考）已知向量,a b满足：2a = ，向量b 与a b - 夹角为23π，则a b的取值范围是 12、（诸暨市2016届高三5月教学质量检测）已知ABC ∆中，BC AC AB AC ⊥==,4,2,点P 满足,21A P x A C y A B x y =++=，则()PA PB PC ⋅+最小值等于（ ）A. 2-B. 928-C. 825-D. 27-13、（慈溪中学2016届高三高考适应性考试）正方体1111ABCD A BC D -棱长为1，,P Q 是平面11D B C 内的两个动点，且||AP AQ += 133AP AQ ∙=，则动点,P Q 在平面11D B C 内运动所形成的区域的面积为（ ）A ．9πB ．8πC ．4πD ．π14、（杭州市学军中学2016届高三5月模拟考试）在AOB ∆中，已知1,45OB AB AOB ==∠=︒ ,若OP OA OB λμ=+,且22λμ+=,则OA 在OP 上的投影的取值范围是 ．15、（金丽衢十二校2016届高三第二次联考）已知非零平面向量a ，b ，c 满足a ·c=b ·c=3，|a-b|=|c|=2，则向量a 在向量c 方向上的投影为 ▲ ，a ·b 的最小值为 ▲．二、解答题1、（温州市2016届高三第二次适应性考试）在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知AB AC BA BC ∙=∙，sin A =.（1）求sin C 的值；（2）设D 为AC 的中点，若ABC ∆的面积为，求BD 的长.2、已知两个向量()()2221log ,log ,log ,1a x x b x =+=r r（1）若a b ⊥r r，求实数x 的值；（2）求函数1(),,24f x a b x ⎡⎤=⋅∈⎢⎥⎣⎦r r 的值域。

第四章 平面向量一．基础题组1.【浙江省绍兴市第一中学2016届高三上学期期中考试数学（文）试题】若||||2||a b a b a +=-= ，则向量a b + 与a 的夹角为（ ）2．【浙江省台州市九峰高中2016届高考数学适应性试卷（文科）】已知向量，满足（+2）•（﹣）=﹣6，且||=1，||=2，则在上的投影为 ．二．能力题组1.【浙江省嘉兴市第一中学2016届高三上学期能力测试数学（文）试题】已知平面向量,,a b c 满足(,)x y x y =+∈R c a b ，且0⋅>a c ，0⋅>b c （ ）A. 若0⋅<a b ，则0x >，0y >B. 若0⋅<a b ，则0x <，0y <C. 若0⋅>a b ，则0x <，0y <D. 若0⋅>a b ，则0x >，0y >2．【浙江省临海市台州中学2016届高三上学期第三次统练数学（文）试题】已知平面向量,,a b c 满足c xa yb =+ （,R x y ∈），且0a c ⋅> ，0b c ⋅> ． A. 若0a b ⋅< ，则0x >，0y >B. 若0a b ⋅< ，则0x <，0y <C. 若0a b ⋅> ，则0x <，0y <D. 若0a b ⋅> ，则0x >，0y >3.【浙江省慈溪中学2016届高三上学期期中考试数学（文）试题】如图，四边形OABC ，ODEF ，OGHI且OP xa yb =+ ，x ，y R ∈， x y +的最大值为( )A ．3B ．4 C.5 D. 64.【浙江省绍兴市第一中学2016届高三上学期期中考试数学（文）试题】边长为2的正三角形ABC 内(包6.【浙江省嘉兴市第一中学2016届高三上学期能力测试数学（文）试题】已知向量,a b 及实数t满足7．【浙江省嘉兴市第一中学2016届高三上学期期中考试文数试题解析】如图，在等腰直角三角形ABC 中，AC ＝BC ＝1，点M ，N 分别是AB ，BC 的中点，点P 是△ABC （包括边界）内任一点．则AN MP ⋅ 的取值范：。

一．基础题组1。

【浙江省嘉兴市第一中学2016届高三上学期能力测试数学（理）试题】已知单位向量12,e e 满足1212⋅=e e．若1212(54)()()k k -⊥+∈R e e e e ，则k =_______，12k +=e e _______．【答案】2,7考点：1、平面向量垂直的充要条件；2、向量的模． 【技巧点睛】平面向量中对模的处理主要是利用公式22||a aa a ==进行转化，即实现平面向量的运算与代数运算的转化，本题已知两个向量,a b 的模与夹角求由两个向量,a b 构成的向量线性关系ma nb +的模,就是主要是利用公式22||a aa a ==进行转化．2.【浙江省绍兴市第一中学2016届高三上学期期中考试数学（理）试题】边长为2的正三角形ABC 内（包括三边）有点P ,1PB PC ⋅=，求AP AB ⋅的范围 。

【答案】35[5]2。

【解析】试题分析:如下图所示，建立平面直角坐标系，∴3)A ，(1,0)B -,(1,0)C ，(1,)PB x y =---，(1,)PC x y =--,∴22221112PB PC x y x y ⋅=⇒-+=⇒+=，即点P 的轨迹为圆222xy +=夹在三角形ABC 内及其边界的一段圆弧，在ADO ∆中，有23235cos 6223AD AD AD π+--=⇒=⋅，又∵||||cos ,2||cos ,[,2]AP AB AB AP AP AB AP AP AB AD AD ⋅=⋅⋅<>=⋅<>∈，即AP AB ⋅的取值范围是35[,35]2--．考点：平面向量数量积．【思路点睛】平面向量的综合题常与角度与长度结合在一起考查，在解题时运用向量的运算，数量积的几何意义，同时,需注意挖掘题目中尤其是几何图形中的隐含条件,常利用数形结合思想将问题等价转化为利用几何图形中的不等关系将问题简化,一般会与函数，不等式等几个知识点交汇，或利用平面向量的数量积解决其他数学问题是今后考试命题的趋势. 3．已知ABC ∆1,3,1===CA BC AB ，则=⋅BC AB ▲ ,又设D 是BC 边中线AM 上一动点,则=⋅BC BD ▲ ． 【答案】23-， 23;二．能力题组1．【浙江省杭州市五校联盟2016届高考数学一诊试卷（理科）】在矩形ABCD中，AB=，BC=，P为矩形内一点，且AP=，若=λ+μ（λ,μ∈R），则λ+μ的最大值为（）A．B．C． D．【考点】平面向量的基本定理及其意义．【专题】计算题；数形结合；数形结合法;平面向量及应用．【分析】设P（x，y），B（，0)，C（，),D（0,），推导出，，由此能求出λ+μ的最大值．【解答】解：如图,设P（x,y），B(，0)，C（，)，D（0，），∵AP=，∴,点P满足的约束条件为:,∵=λ+μ（λ，μ∈R），∴（x，y)=，∴,∴,∵==，当且仅当x=y时取等号,∴λ+μ=x+y的最大值为．故选：B．【点评】本题考查代数式的最大值的求法，是中档题,解题时要认真审题，注意数形结合思想的合理运用．2．【浙江省杭州市五校联盟2016届高考数学一诊试卷(理科）】在等腰梯形ABCD中,已知AB∥CD,AB=4,BC=2，∠ABC=60°，动点E和F分别在线段BC和DC上，且=λ，=,则•当λ=时有最小值为．【考点】平面向量数量积的运算．【专题】综合题；转化思想；向量法；平面向量及应用．【分析】利用等腰梯形的性质结合向量的数量积公式将所求表示为关于λ的代数式，根据具体的形式求最值．【解答】解：由题意，得到AD=BC=CD=2，所以=（+)•（+），=（+）（+)，=•+λ++•，=4×2×cos60°+λ×2×2×cos60°+×4×2+×2×2×cos120°, =+2λ+≥+2×2=，（当且仅当λ=时等号成立）．故答案为:，．【点评】本题考查了等腰梯形的性质以及向量的数量积公式的运用、基本不等式求最值;关键是正确表示所求，利用基本不等式求最小值．3。

2016年高考数学文试卷分类汇编平面向量一、选择题1、（2016年四川高考）已知正三角形ABC 的边长为32，平面ABC 内的动点P ，M 满足，则的最大值是 (A)443 (B) 449 (C)43637+ (D)433237+ 【答案】B2、（2016年天津高考）已知△ABC 是边长为1的等边三角形，点E D ,分别是边BC AB ,的中点，连接DE 并延长到点F ，使得EF DE 2=，则AF BC •u u u r u u u r 的值为（ ）（A ）85- （B ）81 （C ）41 （D ）811【答案】B3、（2016年全国III 卷高考）已知向量13(,)22BA =uu v ,31(,),22BC =uu u v 则ABC ∠= (A)300 (B) 450 (C) 600 (D)1200【答案】A二、填空题1、（2016年北京高考）已知向量=(1,3),(3,1)=a b ，则a 与b 夹角的大小为_________.【答案】30.o2、（2016年江苏省高考）如图，在△ABC 中，D 是BC 的中点，E ，F 是AD 上的两个三等分点，4BC CA ⋅=u u u r u u u r ，1BF CF ⋅=-u u u r u u u r ，则BE CE ⋅u u u r u u u r 的值是 ▲ .【答案】783、（2016年山东高考）已知向量a =(1,–1)，b =(6,–4)．若a ⊥(ta +b )，则实数t 的值为________．【答案】5-4、（2016年上海高考）如图，已知点O (0,0),A (1.0),B (0,−1),P 是曲线21y x =-上一个动点，则OP BA ×uu u r uu r 的取值范围是.【答案】[2]-5、（2016年全国I 卷高考）设向量a =(x ，x +1)，b =(1，2)，且a ⊥b ，则x =. 【答案】23- 6、（2016年全国II 卷高考）已知向量a =(m ,4)，b =(3,-2)，且a ∥b ，则m =___________.【答案】6-7、（2016年浙江高考）已知平面向量a ，b ，|a |=1，|b |=2，a ·b =1．若e 为平面单位向量，则|a ·e |+|b ·e |的最大值是______．7。

2016年浙江省湖州市高考数学模拟试卷（理科）（5月份）一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．（5分）已知集合A={x|x2﹣4x＞0}，B={x|x＞1}，则（∁R A）∩B=（）A．{x|x＞4或x＜0}B．{x|1＜x＜4}C．{x|1＜x≤4}D．{x|1≤x≤4}2．（5分）在斜三角形ABC中，“A＞”是“tanA＞1”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件3．（5分）已知{a n}是公比大于1的等比数列，若2a1，a2，a3成等差数列，则=（）A．B．C．D．24．（5分）若实数x和y满足，则x2+y2的最小值是（）A．2 B．C．3 D．45．（5分）已知函数f（x）=a x﹣b的图象如图所示，则函数g（x）=ax+b的图象可能是（）A．B．C．D．6．（5分）已知三棱柱ABC﹣A1B1C1的所有棱长相等，若∠AA1B1=∠AA1C1=60°，则异面直线A1C与AB1所成角的余弦值是（）A．B．C．D．7．（5分）若f（x）是定义在（﹣1，1）上的减函数，则下列不等式正确的是（）A．f（sinx）＞f（cosx）B．f（）＞f（x）C．f（）≥f（）D．f（）≥f（）8．（5分）已知抛物线y2=2px（p＞0）的焦点为F，准线为l，过点F的直线交抛物线于A，B两点，点A在l上的射影为A1．若|AB|=|A1B|，则直线AB的斜率为（）A．±3 B．±2C．±2 D．±二、填空题（本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分．）9．（6分）已知tanα=2，则tan（α+）=，cos2α=，=．10．（6分）已知函数f（x）=则f（f（﹣2））=；若f（x）≥2，则实数x的取值范围是．11．（6分）已知函数f（x）=2cos2x+cos（﹣2x），则函数f（x）的最小正周期是，值域是．12．（6分）一个几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积是cm3，该几何体的表面积是cm2．13．（4分）已知双曲线﹣y2=1（a＞0）的右焦点为F，过点F作一条渐近线的垂线，垂足为P．若点P的纵坐标为，则该双曲线的离心率是．14．（4分）已知单位向量，的夹角为120°，|x+y|=（x，y∈R），则|x﹣y|的取值范围是．15．（4分）在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠A=90°，AB=2AD，若将△ABD沿直线BD 折成△A′BD，使得A′D⊥BC，则直线A′B与平面BCD所成角的正弦值是．三、解答题（本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）16．（15分）在△ABC中，内角A，B，C的所对边分别为a，b，c．已知a2+b2+5abcosC=0，sin2C=sinAsinB．（Ⅰ）求角C的大小；（Ⅱ）若△ABC的面积为，求sinA的值．17．（15分）在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠ACB=90°，AC1⊥平面ABC，BC=CA=AC1．（Ⅰ）求证：AC⊥平面AB1C1；（Ⅱ）求二面角A1﹣BB1﹣C的余弦值．18．（15分）已知点C（x0，y0）是椭圆+y2=1上的动点，以C为圆心的圆过点F（1，0）．（Ⅰ）若圆C与y轴相切，求实数x0的值；（Ⅱ）若圆C与y轴交于A，B两点，求|FA|•|FB|的取值范围．19．（15分）已知函数f（x）=x2+3|x﹣a|（a∈R）．（Ⅰ）若f（x）在[﹣1，1]上的最大值和最小值分别记为M（a），m（a），求M（a）﹣m （a）；（Ⅱ）设b∈R，若|f（x）+b|≤3对x∈[﹣1，1]恒成立，求3a+b的取值范围．20．（14分）在数列{a n}中，a1=a（a∈R），a n+1=（n∈N*），记数列{a n}的前n项和是S n．（Ⅰ）若对任意的n∈N*，都有a n+1＞，求实数a的取值范围；（Ⅱ）若a=1，求证：S n＜+1（n∈N*）．2016年浙江省湖州市高考数学模拟试卷（理科）（5月份）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．（5分）（2016•湖州模拟）已知集合A={x|x2﹣4x＞0}，B={x|x＞1}，则（∁R A）∩B=（）A．{x|x＞4或x＜0}B．{x|1＜x＜4}C．{x|1＜x≤4}D．{x|1≤x≤4}【分析】求出集合A，然后求解（∁R A）∩B．【解答】解：集合A={x|x2﹣4x＞0}={x|x＞4或x＜0}，B={x|x＞1}，则（∁R A）∩B={x|0≤x≤4}∩{x|x＞1}={x|1＜x≤4}．故选：C．【点评】本题考查集合的基本运算，考查计算能力．2．（5分）（2016•湖州模拟）在斜三角形ABC中，“A＞”是“tanA＞1”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【分析】要判断“A＞”是“tanA＞1”的什么条件，只要判断，其中一个成立时，另一个是否也成立即可，我们可以利用举反例进行判断；【解答】解：当A=时，tanA=﹣，所以△ABC中，“A＞”推不出“tanA＞1”；在斜三角形ABC中，当tanA＞1，可得A＞，满足tanA＞1，推出A＞，∴“A＞”是“tanA＞1”的必要不充分条件，故选：B．【点评】本题考查了充要条件的判断，做题时一定要细心，此题利用特殊值法进行判断会比较简单，是一道基础题；3．（5分）（2016•湖州模拟）已知{a n}是公比大于1的等比数列，若2a1，a2，a3成等差数列，则=（）A．B．C．D．2【分析】设等比数列{a n}的公比为q（q＞1），由已知列式求得公比，然后代入等比数列的通项公式及前n项和求得答案．【解答】解：设等比数列{a n}的公比为q（q＞1），由2a1，a2，a3成等差数列，得，解得q=1（舍）或q=2．则=．故选：C．【点评】本题考查等比数列的性质，考查了等比数列的前n项和，是基础的计算题．4．（5分）（2016•湖州模拟）若实数x和y满足，则x2+y2的最小值是（）A．2 B．C．3 D．4【分析】作出不等式组对应的平面区域，根据点到直线的距离公式进行转化求解即可．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域，z=x2+y2的几何意义是区域内的点到原点的距离的平方，由图象知O到直线AB：3x+2y﹣6=0的距离最小，此时d==，则x2+y2的最小值为z=d=（）2=，故选：B．【点评】本题主要考查线性规划的应用，结合点到直线的距离公式进行转化求解是解决本题的关键．5．（5分）（2016•湖州模拟）已知函数f（x）=a x﹣b的图象如图所示，则函数g（x）=ax+b 的图象可能是（）A．B．C．D．【分析】根据指数函数图象递减可知0＜a＜1，再有平移可知向右平移了小于1个单位，得出0＜b＜1，可得出选项．【解答】解：根据指数函数图象和平移可知：0＜a＜1，0＜b＜1，故一次函数g（x）=ax+b的图象为A．故选：A．【点评】考查了指数函数，图象的平移和一次函数的图象．属于基础题型，应熟练掌握．6．（5分）（2016•湖州模拟）已知三棱柱ABC﹣A1B1C1的所有棱长相等，若∠AA1B1=∠AA1C1=60°，则异面直线A1C与AB1所成角的余弦值是（）A．B．C．D．【分析】设，再设三棱柱ABC﹣A1B1C1的棱长为m，利用平面向量的数量积运算求出cos，则异面直线A1C与AB1所成角的余弦值可求．【解答】解：设，再设三棱柱ABC﹣A1B1C1的棱长为m，则，，，∴==．=，=m．∴cos==．则异面直线A1C与AB1所成角的余弦值是．故选：A．【点评】本题考查异面直线所成的角，考查了空间想象能力和思维能力，训练了利用平面向量的数量积运算求夹角，是中档题．7．（5分）（2016•湖州模拟）若f（x）是定义在（﹣1，1）上的减函数，则下列不等式正确的是（）A．f（sinx）＞f（cosx）B．f（）＞f（x）C．f（）≥f（）D．f（）≥f（）【分析】由三角函数线可判断出时，sinx＞cosx，根据f（x）的单调性便可判断选项A的正误，而对于B，C，D各选项可通过对自变量的值进行作差，配方，通分及提取公因式等方法，根据x的范围及指数函数的单调性便可判断出自变量值的大小关系，从而由f（x）的单调性即可判断出对应函数值的大小关系，从而判断选项的正误．【解答】解：A．x∈时，sinx＞cosx；∵f（x）在（﹣1，1）上为减函数；∴f（sinx）＜f（cosx），∴该选项错误；B．x∈（﹣1，1）；∴＞0；∴，且f（x）在（﹣1，1）上单调递减；∴，∴该选项错误；C.=；∵x∈（﹣1，1）；∴x∈（﹣1，0）时，；∴，且f（x）在（﹣1，1）上为减函数；∴，∴该选项错误；D.=；∴①x∈（﹣1，0]时，；∴；②x∈（0，1）时，；∴；∴综上得，；∵f（x）为（﹣1，1）上的减函数；∴，∴该选项正确．故选D．【点评】考查根据三角函数线比较sinx，cosx大小的方法，减函数的定义，作差法比较两个式子的大小，配方法的应用，以及指数函数的单调性．8．（5分）（2016•湖州模拟）已知抛物线y2=2px（p＞0）的焦点为F，准线为l，过点F的直线交抛物线于A，B两点，点A在l上的射影为A1．若|AB|=|A1B|，则直线AB的斜率为（）A．±3 B．±2C．±2 D．±【分析】设A，B到准线的距离分别为2a，a，由抛物线的定义可得|AB|=3a，利用锐角三角函数的定义即可得出直线AB的斜率．【解答】解：设A在第一象限，直线AB的倾斜角为α．过B作准线的垂线BB′，作AA′的垂线BC，∵|AB|=|A1B|，∴C是AA′的中点．设|BB′|=a，则|AA′|=2a，∴|AB|=|AA′|+|BB′|=3a．∴cosα=cos∠BAC==，∴tanα=2，由抛物线的对称性可知当A在第四象限时，tanα=﹣2．∴直线AB的斜率为±2．故选：B．【点评】本题考查抛物线的定义，考查直线的斜率的计算，考查学生的计算能力，属于中档题．二、填空题（本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分．）9．（6分）（2016•湖州模拟）已知tanα=2，则tan（α+）=﹣3，cos2α=，=．【分析】由已知，利用特殊角的三角函数值及两角和的正切函数公式可求tan（α+）的值，利用同角三角函数基本关系式即可计算求得cos2α，的值．【解答】解：∵tanα=2，∴tan（α+）===﹣3；cos2α====；===．故答案为：﹣3，，．【点评】本题主要考查了特殊角的三角函数值及两角和的正切函数公式，同角三角函数基本关系式在三角函数化简求值中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．10．（6分）（2016•湖州模拟）已知函数f（x）=则f（f（﹣2））=2；若f（x）≥2，则实数x的取值范围是x≥1或x≤﹣4．【分析】根据分段函数的表达式利用代入法进行求解即可．【解答】解：由分段函数的表达式得f（﹣2）=log22=1，f（1）=21=2，则f（f（﹣2））=2；若x≥0，由f（x）≥2得2x≥2，得x≥1，若x＜0，由f（x）≥2得log2（﹣x）≥2，得﹣x≥4，则x≤﹣4，综上x≥1或x≤﹣4，故答案为：2，x≥1或x≤﹣4．【点评】本题主要考查函数值的计算，以及分段函数的表达式的应用，注意变量的取值范围．11．（6分）（2016•湖州模拟）已知函数f（x）=2cos2x+cos（﹣2x），则函数f（x）的最小正周期是π，值域是[1﹣，1] ．【分析】利用三角函数恒等变换的应用化简函数解析式为f（x）=sin（2x+）+1，利用三角函数周期公式可求最小正周期，利用正弦函数的图象和性质可得sin（2x+）∈[﹣1，1]，从而可求f（x）的值域．【解答】解：∵f（x）=2cos2x+cos（﹣2x）=1+cos2x+sin2x=sin（2x+）+1，∴函数f（x）的最小正周期T==π，∵sin（2x+）∈[﹣1，1]，∴f（x）=sin（2x+）+1∈[1﹣，1]．故答案为：π，[1﹣，1]．【点评】本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，三角函数周期公式的应用，正弦函数的图象和性质的应用，考查了转化思想和数形结合思想，属于基础题．12．（6分）（2016•湖州模拟）一个几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积是6cm3，该几何体的表面积是cm2．【分析】根据几何体的三视图得该几何体是一个底面为直角梯形的四棱柱，由三视图求出几何元素的长度，由梯形的面积公式、柱体的体积公式求出该几何体的体积，由四棱柱的各个面的长度求出几何体的表面积．【解答】解：根据几何体的三视图得：该几何体是一个底面为直角梯形的四棱柱，其底面是正视图中的直角梯形，上底为1cm，下底为2cm，高为2cm，由侧视图知四棱柱的高为2cm，所以该几何体的体积V==6（cm3），由正视图可知直角梯形斜腰是，则该几何体的表面积S表面积=2×+=（cm2），故答案为：6；．【点评】本题考查三视图求几何体的体积以及表面积，由三视图正确复原几何体是解题的关键，考查空间想象能力．13．（4分）（2016•湖州模拟）已知双曲线﹣y2=1（a＞0）的右焦点为F，过点F作一条渐近线的垂线，垂足为P．若点P的纵坐标为，则该双曲线的离心率是．【分析】设右焦点F（c，0），设双曲线的一条渐近线方程为l：y=，由两直线垂直的条件：斜率之积为﹣1，可得直线PF的方程，联立渐近线方程求得P的纵坐标，由条件结合离心率公式计算即可得到所求值．【解答】解：设右焦点F（c，0），且c==，设双曲线的一条渐近线方程为l：y=，由PF⊥l，可得直线PF的方程为y=﹣a（x﹣c），联立消去x，可得y=，即有y===，由点P的纵坐标为，可得=，即有e=．故答案为：．【点评】本题考查双曲线的离心率的求法，注意运用双曲线的渐近线方程和两直线垂直的条件：斜率之积为﹣1，考查运算能力，属于基础题．14．（4分）（2016•湖州模拟）已知单位向量，的夹角为120°，|x+y|=（x，y∈R），则|x﹣y|的取值范围是[1，3] ．【分析】由已知求得．再由|x+y|=得到x2+y2﹣xy=3．然后利用配方法及换元法分别求得|x﹣y|的最大值及最小值即可．【解答】解：∵，且，的夹角为120°，∴．∴|x+y|==．即x2+y2﹣xy=3．∴3=x2+y2﹣xy≥2xy﹣xy=xy，即xy≤3；则|x﹣y|==；令x+y=t，则（x+y）2=x2+y2+2xy=t2，∴3+xy+2xy=t2，则，∴|x﹣y|====．∴|x﹣y|的取值范围是[1，3]．故答案为：[1，3]．【点评】本题考查平面向量的数量积运算，考查了数学转化思想方法，训练了利用配方法及换元法求函数的最值，属难题．15．（4分）（2016•湖州模拟）在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠A=90°，AB=2AD，若将△ABD沿直线BD折成△A′BD，使得A′D⊥BC，则直线A′B与平面BCD所成角的正弦值是．【分析】过D作DE⊥BC于E，连结A′E，过A′作A′O⊥DE，连结A′O．则可证明A′O⊥平面BCD，于是∠A′BO为直线A′B与平面BCD所成的角．设AD=1，在直角梯形中根据平面几何知识解出DO，从而得出A′O，得出线面角的正弦值．【解答】解：过D作DE⊥BC于E，连结A′E，过A′作A′O⊥DE，连结A′O．∵BC⊥A′D，BC⊥DE，A′D∩A′O=A′，∴BC⊥平面A′DE，∵A′O⊂平面A′DE，∴BC⊥A′O，又A′O⊥DE，BC∩DE=E，∴A′O⊥平面BCD．∴∠A′BO为直线A′B与平面BCD所成的角．在直角梯形ABCD中，过A作AO⊥BD，交BD于M，交DE于O，设AD=1，则AB=2，∴BD=，∴AM==，∴DM==．由△AMD∽△DMO得，即，∴DO=．∴A′O==．∴sin∠A′BO==．故答案为．【点评】本题考查了线面角的作法与计算，根据条件构造线面垂直得出线面角是解题关键．三、解答题（本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）16．（15分）（2016•湖州模拟）在△ABC中，内角A，B，C的所对边分别为a，b，c．已知a2+b2+5abcosC=0，sin2C=sinAsinB．（Ⅰ）求角C的大小；（Ⅱ）若△ABC的面积为，求sinA的值．【分析】（Ⅰ）由余弦定理，正弦定理化简已知可得：7（a2+b2）=5c2，c2=ab，从而利用余弦定理可求cosC=﹣，结合范围C∈（0，π）即可求得∠C的值．（Ⅱ）利用三角形面积公式可求ab=2，由（Ⅰ）知，c2=7，a2+b2=5，联立可求a，b的值，利用正弦定理即可求得sinA的值．【解答】解：（Ⅰ）由题意及余弦定理得，a2+b2+5ab=0，即7（a2+b2）=5c2，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（2分）由题意及正弦定理得，c2=ab，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（4分）故cosC===﹣，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（6分）因为C∈（0，π），∠C=，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（7分）（Ⅱ）因为S△ABC=absinC=，即ab=2 ①．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（9分）由（Ⅰ）知，c2=7，a2+b2=5 ②．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（11分）联立①②得，或．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（13分）由正弦定理得，sinA=或sinA=．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（15分）【点评】本题主要考查了正弦定理，余弦定理，三角形面积公式在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．17．（15分）（2016•湖州模拟）在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠ACB=90°，AC1⊥平面ABC，BC=CA=AC1．（Ⅰ）求证：AC⊥平面AB1C1；（Ⅱ）求二面角A1﹣BB1﹣C的余弦值．【分析】（Ⅰ）推导出BC∥B1C1，AC⊥B1C1，AC1⊥ACC，由此能证明AC⊥平面AB1C1．（Ⅱ）分别取BB1，CC1的中点M、N，连结AM，MN，AN，则∠AMN为二面角A1﹣BB1﹣C的平面角，由此能求出二面角A1﹣BB1﹣C的余弦．【解答】证明：（Ⅰ）因为三棱柱ABC﹣A1B1C1，所以BC∥B1C1．又因为∠ACB=90°，所以AC⊥B1C1，（3分）因为AC1⊥平面ABC，所以AC1⊥ACC，（6分）因为AC1∩B1C1=C1，所以AC⊥平面AB1C1．（7分）解：（Ⅱ）因为点A1在平面A1ABB1内，故只需求A﹣BB1﹣C的二面角．分别取BB1，CC1的中点M、N，连结AM，MN，AN，所以AM⊥BB1．因为AC1⊥平面ABC，∠ACB=90°，所以BC⊥CC1，即平行四边形BCC1B1为矩形，所以MN⊥BB1，所以∠AMN为二面角的平面角．（11分）设BC=CA=AC1=1，则AB=AB1=BB1=，所以AM=，MN=1，AN=．由余弦定理得，cos∠AMN==，所以二面角A1﹣BB1﹣C的余弦值为．（15分）【点评】本题考查线面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．18．（15分）（2016•湖州模拟）已知点C（x0，y0）是椭圆+y2=1上的动点，以C为圆心的圆过点F（1，0）．（Ⅰ）若圆C与y轴相切，求实数x0的值；（Ⅱ）若圆C与y轴交于A，B两点，求|FA|•|FB|的取值范围．【分析】（Ⅰ）当圆C与y轴相切时，|x0|=，再由点C在椭圆上，得，由此能求出实数x0的值．（Ⅱ）圆C的方程是（x﹣x0）2+（y﹣y0）2=（x0﹣1）2+，令x=0，得y2﹣2y0y+2x0﹣1=0，由此利用根的判别式、韦达定理，结合已知条件能求出|FA|•|FB|的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）当圆C与y轴相切时，|x0|=，（2分）又因为点C在椭圆上，所以，（3分）解得，（5分）因为﹣，所以．（6分）（Ⅱ）圆C的方程是（x﹣x0）2+（y﹣y0）2=（x0﹣1）2+，令x=0，得y2﹣2y0y+2x0﹣1=0，设A（0，y1），B（0，y2），则y1+y2=2y0，y1y2=2x0﹣1，（8分）由，及得﹣2﹣2＜x0＜﹣2+2，又由P点在椭圆上，﹣2≤x0≤2，所以﹣2≤，（10分）|FA|•|FB|=•=（12分）===，（14分）所以|FA|•|FB|的取值范围是（4，4]．（15分）【点评】本题考查实数值的求法，考查两线段乘积的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意根的判别式、韦达定理、圆、椭圆性质的合理运用．19．（15分）（2016•湖州模拟）已知函数f（x）=x2+3|x﹣a|（a∈R）．（Ⅰ）若f（x）在[﹣1，1]上的最大值和最小值分别记为M（a），m（a），求M（a）﹣m （a）；（Ⅱ）设b∈R，若|f（x）+b|≤3对x∈[﹣1，1]恒成立，求3a+b的取值范围．【分析】（Ⅰ）利用分段函数，结合[﹣1，1]，分类讨论，即可求M（a）﹣m（a）；（Ⅱ）问题转化为3﹣b≤f（x）≤3﹣b对x∈[﹣1，1]恒成立，分类讨论，即可求3a+b的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）f（x）=x2+3|x﹣a|=，①当a≥1时，f（x）=x2﹣3x+3a在x∈[﹣1，1]单调递减，则M（a）=f（﹣1）=4+3a，m（a）=f（1）=﹣2+3a，此时M（a）﹣m（a）=6；②当a≤﹣1时，f（x）=x2+3x﹣3a在x∈[﹣1，1]单调递增，则M（a）=f（1）=4﹣3a，m（a）=f（﹣1）=﹣2﹣3a，此时M（a）﹣m（a）=6；③当﹣1＜a＜1时，f（x）=，此时f（x）在x∈[﹣1，a]单调递减，在x∈[a，1]单调递增，则m（a）=f（a）=a2，M（a）=max{f（﹣1），f（1）}=max{4+3a，4﹣3a}=4+|3a|，此时M（a）﹣m（a）=4+|3a|﹣a2；因此M（a）﹣m（a）=，（Ⅱ）原问题等价于﹣3﹣b≤f（x）≤3﹣b，由（Ⅰ）知①当a≥1时，则，即，此时3a+b=﹣1；②当a≤﹣1时，则，即，此时b﹣3a=﹣1，此时3a+b≤﹣7；③当﹣1＜a＜1时，则m（a）=f（a）=a2，，即﹣a2﹣3≤b≤﹣|3a|﹣1，此时﹣a2+3a﹣3≤3a+b≤3a﹣|3a|﹣1；由﹣1＜a＜1得﹣a2+3a﹣3＞﹣7和3a﹣|3a|﹣1≤﹣1，此时﹣7＜3a+b≤﹣1，因此3a+b≤﹣1．【点评】本题考查导数的综合运用，考查函数的最值，考查分类讨论、化归与转化的数学思想，难度大．20．（14分）（2016•湖州模拟）在数列{a n}中，a1=a（a∈R），a n+1=（n∈N*），记数列{a n}的前n项和是S n．（Ⅰ）若对任意的n∈N*，都有a n+1＞，求实数a的取值范围；（Ⅱ）若a=1，求证：S n＜+1（n∈N*）．【分析】（Ⅰ）由a n+1=（n∈N*），可得=，当a n+1时，a n，且a n，反之也成立．即可得出．（Ⅱ）由（Ⅰ）知，a=1时，a n，从而a n＞0，可得a n+1﹣a n＜0，因此，又==，可得：a n+1．利用递推关系与等比数列的前n项和公式可得S n+．进而得出结论．【解答】（Ⅰ）解：∵a n+1=（n∈N*），∴=，当a n+1时，a n，且a n，反之，当a n时，且a n，可得：a n+1．故，且a．（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）知，a=1时，a n，从而a n＞0，∴a n+1﹣a n==＜0，∴，由=，可得：==，由，得，即a n+1．∴++…+≤=＜．∴S n+．又+1﹣=≥0，∴S n＜+1（n∈N*）．【点评】本题考查了递推关系、等比数列的前n项和公式、不等式的性质、“放缩法”，考查了推理能力与计算能力，属于难题．参与本试卷答题和审题的老师有：qiss；sxs123；maths；洋洋；wkl197822；zhczcb；w3239003；gongjy；双曲线；zlzhan；刘老师；沂蒙松（排名不分先后）菁优网2017年1月11日。

第2讲三角恒等变换与解三角形(建议用时：60分钟)一、选择题1．(2015·新课标全国Ⅰ卷)sin 20°cos 10°－cos 160°sin 10°＝()．A．－32 B.32C．－12 D.12解析sin 20°cos 10°－cos 160°sin 10°＝sin 20°cos 10°＋cos 20°sin 10°＝sin 30°＝1 2.答案 D2．(2015·烟台二模)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a＝1，B＝45°，S△ABC＝2，则b等于()．A．5 B．25 C.41 D．5 2解析∵S＝12ac sin B＝2，∴12×1×c×sin 45°＝2.∴c＝4 2.∴b2＝a2＋c2－2ac cos B＝1＋32－2×1×42×cos 45°. ∴b2＝25，b＝5.答案 A3．(2013·浙江卷)已知α∈R，sin α＋2cos α＝102，则tan 2α等于()．A.43 B.34C．－34D．－43解析∵sin α＋2cos α＝10 2，∴sin2α＋4sin α·cos α＋4cos2α＝5 2.化简，得4sin 2α＝－3cos 2α，∴tan 2α＝sin 2αcos 2α＝－34.答案 C4．(2015·北京东城区期末)在△ABC中，A，B，C为内角且sin A cos A＝sin B cos B，则△ABC是()．A．等腰三角形B．直角三角形C．等腰直角三角形D．等腰或直角三角形解析由sin A cos A＝sin B cos B得sin 2A＝sin 2B＝sin(π－2B)，所以2A＝2B或2A＝π－2B，即A＝B或A＋B＝π2，所以△ABC为等腰或直角三角形．答案 D5．在锐角△ABC中，角A，B所对的边长分别为a，b.若2a sin B＝3b，则角A 等于()．A.π2 B.π6 C.π4 D.π3解析在△ABC中，利用正弦定理得2sin A sin B＝3sin B，∴sin A＝3 2.又A为锐角，∴A＝π3.答案 D6．已知tan β＝43，sin(α＋β)＝513，其中α，β∈(0，π)，则sin α的值为()．A.6365 B.3365C.1365 D.6365或3365解析 依题意得sin β＝45，cos β＝35；注意到sin(α＋β)＝513<sin β，因此有α＋β>π2(否则，若α＋β≤π2，则有0<β<α＋β≤π2，0<sin β<sin(α＋β)，这与“sin(α＋β)<sin β”矛盾)，则cos(α＋β)＝－1213，sin α＝sin[(α＋β)－β]＝sin(α＋β)cos β－cos(α＋β)sin β＝6365. 答案 A7．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c .已知8b ＝5c ，C ＝2B ，则cos C 等于( )．A.725 B ．－725 C ．±725 D.2425解析 先用正弦定理求出角B 的余弦值，再求解． 由b sin B ＝csin C ，且8b ＝5c ，C ＝2B ， 所以5c sin 2B ＝8c sin B ，所以cos B ＝45. 所以cos C ＝cos 2B ＝2cos 2 B －1＝725. 答案 A 二、填空题8．(2015·天津卷)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知 △ABC 的面积为315，b －c ＝2，cos A ＝－14，则a 的值为________． 解析 ∵cos A ＝－14，0＜A ＜π， ∴sin A ＝154，S △ABC ＝12bc sin A ＝12bc ×154＝315， ∴bc ＝24，又b －c ＝2，∴b 2－2bc ＋c 2＝4，b 2＋c 2＝52，由余弦定理得，a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝52－2×24×⎝ ⎛⎭⎪⎫－14＝64，∴a ＝8.答案 89．在△ABC 中，∠ABC ＝π4，AB ＝2，BC ＝3，则sin ∠BAC ＝________. 解析 在△ABC 中，由余弦定理得AC 2＝BA 2＋BC 2－2BA ·BC cos ∠ABC ＝(2)2＋32－2×2×3cos π4＝5.∴AC ＝5，由正弦定理得sin ∠BAC ＝BC ·sin ∠ABCAC＝3×sin π45＝3×225＝31010. 答案3101010．(2015·北京卷)在△ABC 中，a ＝4，b ＝5，c ＝6，则sin 2Asin C ＝________. 解析 由余弦定理：cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝25＋36－162×5×6＝34，∴sin A ＝74，cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝16＋25－362×4×5＝18，∴sin C ＝378， ∴sin 2A sin C ＝2×34×74378＝1.答案 111．若α，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－β2＝32，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2－β＝－12，则cos (α＋β)＝________.解析 ∵α，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，∴－π4<α－β2<π2，－π2<α2－β<π4，由cos ⎝⎛⎭⎪⎫α－β2＝32和sin⎝ ⎛⎭⎪⎫α2－β＝－12得α－β2＝±π6，α2－β＝－π6，当α－β2＝－π6，α2－β＝－π6时，α＋β＝0，与α，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2矛盾；当α－β2＝π6，α2－β＝－π6时，α＝β＝π3，此时cos (α＋β)＝－12. 答案 －1212．(2014·四川卷改编)如图，从气球A 上测得正前方的河流的两岸B ，C 的俯角分别为75°，30°，此时气球的高是60 m ，则河流的宽度BC ＝________m.解析 如图，在△ACD 中，∠CAD ＝90°－30°＝60°，AD ＝60 m ，所以CD ＝AD ·tan 60°＝603(m)．在△ABD 中，∠BAD ＝90°－75°＝15°，所以BD ＝AD · tan 15°＝60(2－3)(m)．所以BC ＝CD －BD ＝603－60(2－3)＝120(3－1)(m)．答案 120(3－1) 三、解答题13．已知函数f (x )＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π6(其中ω＞0，x ∈R )的最小正周期为10π.(1)求ω的值；(2)设α，β∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5α＋53π＝－65，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5β－56π＝1617，求cos(α＋β)的值． 解 (1)由题意知f (x )＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π6的最小正周期T ＝10π＝2πω，则ω＝15.(2)由(1)知f (x )＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫15x ＋π6，又α，β∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5α＋5π3＝－65，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5β－5π6＝1617，即cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π2＝－35，cos β＝817，∴sin α＝35，cos α＝45，sin β＝1517， ∴cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β＝45×817－35×1517＝－1385.14．(2015·江苏卷)在△ABC中，已知AB＝2，AC＝3，A＝60°.(1)求BC的长；(2)求sin 2C的值．解(1)由余弦定理知，BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cos A＝4＋9－2×2×3×1 2＝7，所以BC＝7.(2)由正弦定理知，ABsin C＝BCsin A，所以sin C＝ABBC·sin A＝2sin 60°7＝217.因为AB＜BC，所以C为锐角，则cos C＝1－sin2C＝1－37＝277.因此sin 2C＝2sin C·cos C＝2×217×277＝437.15．(2015·陕西卷)△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.向量m＝(a，3b)与n＝(cos A，sin B)平行．(1)求A；(2)若a＝7，b＝2，求△ABC的面积．解(1)因为m∥n，所以a sin B－3b cos A＝0，由正弦定理，得sin A sin B－3sin B cos A＝0，又sin B≠0，从而tan A＝3，由于0＜A＜π，所以A＝π3.(2)法一由余弦定理，得a2＝b2＋c2－2bc cos A，而a＝7，b＝2，A＝π3，得7＝4＋c2－2c，即c2－2c－3＝0，因为c＞0，所以c＝3，故△ABC 的面积为S ＝12bc sin A ＝332. 法二 由正弦定理，得7sin π3＝2sin B ， 从而sin B ＝217， 又由a ＞b ，知A ＞B ， 所以cos B ＝277，故sin C ＝sin(A ＋B )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫B ＋π3＝sin B cos π3＋cos B sin π3＝32114. 所以△ABC 的面积为S ＝12ab sin C ＝332.。

2016浙江精彩题选——平面向量【一、数量积的余弦定理式】1.（2016名校联盟第一次）15．空间四点A ，B ，C ，D 满足|→AB |＝2，|→BC |＝3，|→CD |＝4，|→DA |＝7，则→AC ·→BD的值为___19____. 分析：应用数量积的余弦定理版，AC BD=AB+BC)BD AB BD +BC BD)⋅⋅=⋅⋅（（）（=222222|AB||||||BC||||C |22BD AD BD D +-+--+=192.(2016大联考13).如图，在三棱锥D ABC -中，已知2AB AD ==，1BC =，3AC BD ⋅=-，则CD =分析：22222||||||||||1()322AC AD DC AC AB AC BD AC AD AB AC AD AC AB +-+-⋅=⋅-=⋅-⋅=-=-3.（2016镇海最后卷15）如图，在平面四边形ABCD 中，已知E 、F 、G 、H 分别是棱AB 、BC 、CD 、DA 的中点，若22|EG ||HF |1-=，设|AD|=x,|BC|=y,|AB|=z,|CD|=1,则228x y z ++的最大值是 12A15.解法一：解法二：设AC BD=O四边形EFGH 为平行四边形22EG HF -=22()()4EH EF EH EF EH EF +--=⋅=()()BD AC OD OB OC OA OD OC OD OA OB OC OB OA ⋅=-⋅-=⋅-⋅-⋅+⋅=222||||||2OD OC DC +-222|||||A |2OD OA D +--222||||||2OB OC BC +--222|||||A |2OB OA B +-+=22221(|DC ||||DC ||AB |)2AD -++-=2221(y 1)12x z +--=2223z x y =+-下同4.（2016杭二最后卷4）ABC Δ中,6,8==AC AB ，AD 垂直BC 于点D ，F E ,分别为AC AB ,的中点，若6=•DF DE ， 则=BCA. 132B. 10C. 372D. 14解：. A 。