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数学：3.5《导数及其应用-小结》课件(新人教A版选修1-1)

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2014年人教A版选修1-1课件 第三章小结(导数及其应用)

2014年人教A版选修1-1课件 第三章小结(导数及其应用)

例2. 已知函数 f ( x ) a ln x b , 曲线 yf(x) 在点 x 1 x (1, f(1)) 处的切线方程为 x2y30. (1) 求 a, b 的值; (2) 证明: 当 x>0 且 x≠1 时, f(x)> ln x . x 1 分析: (1) 求曲线在点(1, f(1))处的切线方程, 与 x2y30 比较系数即可.
左负右正 左正右负
a b co
d
e
x
左负右正
y 8. 用导数求函数的极值 (1) 求导数 f(x). (2) 解导数不等式 f (x)≥0. (3) 确定极值点和极值: a o b x
如果函数连续, 在 f (x)≥0 的左端点处取 得极小值, 右端点处取得极大值.
9. 函数的最大值与最小值 如果函数在区间 [a, b] 上的图象是一条连 续不断的曲线, 那么它必有最大值和最小值.
3. 导数的意义 (1) 函数 yf(x) 在 x0 处的导数的几何意义是 函数过这点的切线的斜率. (2) 导数为正, 函数增; 导数为负, 函数减.
(3) 导数的绝对值大时, 函数增减变化快, 图 象陡峭; 导数绝对值小时, 函数增减变化慢, 图象 较平缓.
(4) 运动函数的导数是瞬时速度, 速度函数的 导数是加速度.
6. 导数与函数的单调性 在区间 (a, b) 内, 若 f(x)>0, 则 f (x) 在 这个区间内是增函数;
反之, 若 f(x)<0, 则 f(x) 在这个区域内
是减函数.
7. 导数与极值 极值点处的导数 等于0 . 极大值左边的导数 大于0 , 右边的导数 小于0 . 极小值左边的导数 小于0 , 右边的导数 大于0 . y 左正右负 左正右负

人教A版高中数学选修1-1 第三章 导数及其应用复习课说课教学课件 (共32张PPT)

人教A版高中数学选修1-1 第三章 导数及其应用复习课说课教学课件 (共32张PPT)
x [3， )有三个零点，求实数t的取值范围。
2.6【畅所欲言------说反思】
出题者的意图想考我们求导知识，极值与零点概念、分 类讨论思想，数形结合思想等，所以我们平时要加强这 方面知识，同时它也反应出用导数知识解决函数问题的 基本题型与基本步骤，其它的可根据个人依不同角度总
结。你体会到了吗？比如：
2.3【各抒己见------说解法】(1)
例1：已知函数f(x)=(x2+ax+a)gex, (a R)。
（1）求函数f(x)的单调区间与极值；
2.3【各抒己见------说解法】（2)
例1：已知函数f(x)=(x2 +ax+a)gex, (a R)。
(2)设g(x)=f (x) t, (t R, a 2), 若函数g(x)在
x [3， )有三个零点，求实数t的取值范围。
分类讨论是否重复或遗漏？ 定义域优先考虑了吗？ 隐含条件注意了吗？ 分类讨论后“综上所述”了吗？ 计算过程都正确吗？ 有谁可以把错解拿来辨析吗？ 有没有其他方法？
2.5【引申拓展------说变式】 例1：已知函数f(x)=(x2+ax+a)gex, (a R)。 （1）求函数f(x)的单调区间与极值； (2)设g(x)=f (x) t, (t R, a 2),若函数g(x)在
f(-a)
f(-3)
-2 -3 -a
f(-2)
a2 (3) 3 a 解得a ？ 至多两个零点，不合题意
f(-a)
f(-3)
-2 -a -3
f(-2)
2.3【各抒己见------说解法】（3）
2.4【精益求精------说检验】
例1：已知函数f(x)=(x2+ax+a)gex, (a R)。 （1）求函数f(x)的单调区间与极值； (2)设g(x)=f (x) t, (t R, a 2),若函数g(x)在

高中数学 导数的应用课件 新人教A版选修1

高中数学 导数的应用课件 新人教A版选修1
结论: 函数的极大值、极小值未必是函数的最大值、最小值.即:极大值不一定等于最大值， 极小值不一定等于最小值，极小值不一定比极大值小.
思考2:
y b
求函数f(x)在[a,b]上的最大值与最小值的步骤： ⑴求f(x)在[a,b]内的极值； ⑵将f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)、f(b)比较，其中最大的一个是最大值， 最小的一个是最小值，得出函数在[a,b]上的最值 .
解析：f ( x) 3 x 2 3a 3( x 2 a)， 当a 0时，对x R, 恒有f ( x) 0, a 0时，f ( x)的单调增区间为（ ， ）， 当a 0时,由f ( x) 0解得x a或x a ;由f ( x) 0解得 a x a , 综上，可知当a 0时,f ( x)的单调增区间为(, a ), ( a , ); f ( x)的单调减区间为（- a , a )， 当a 0时，f ( x)的单调增区间为（ ， ）
导数的应用
一、学习目标
1.会用导数求函数的单调区间或者判断函数 的单调性. 2.会用导数求函数给定区间上的极值和最值.
二、诊断补偿
1.求下列函数的导数: （1）y (2 x 3) ； (2) y ln( x 1)； (3) y e
5 2 2 x 3
π ； (4) y sin(2 x ). 3
解：（）由 1 f ( x) x3 ax 2 bx c, 得f ( x) 3x 2 2ax b. 当x 1时，切线l的斜率为3，可得2a b 0， ① ② 2 2 当x 时，y f ( x)有极值，则f ( ) 0，得： 4a 3b 4 0， 3 3 由①②得a 2, b 4. 由于切点的横坐标为x 1, f (1 ） 4. 1 a b c 4, c 5.

人教A版高中数学选修1-1课件-函数的最大(小)值与导数

人教A版高中数学选修1-1课件-函数的最大(小)值与导数

∴当 x＝－23时， f(x)有极大值2227＋c. 又 f(－1)＝12＋c，f(2)＝2＋c， ∴当 x∈[－1,2]时， f(x)的最大值为 f(2)＝2＋c. ∵当 x∈[－1,2]时， f(x)<c2 恒成立． ∴c2>2＋c，解得 c<－1 或 c>2， ∴c 的取值范围是(－∞，－1)∪(2，＋∞)．
[解析] (1)解：f′(x)＝－ax2＋2eax－1x＋2，f′(0)＝2. 因此曲线 y＝f(x)在(0，－1)处的切线方程是 2x－y－1＝0. (2)证明：当 a≥1 时，f(x)＋e≥(x2＋x－1＋ex＋1)e－x. 令 g(x)＝x2＋x－1＋ex＋1，则 g′(x)＝2x＋1＋ex＋1. 当 x<－1 时，g′(x)<0，g(x)单调递减； 当 x>－1 时，g′(x)>0，g(x)单调递增． 所以 g(x)≥g(－1)＝0.因此 f(x)＋e≥0.
4．函数 f(x)＝sin x＋cos x 在 x∈[－2π，π2]上的最大值为___2___，最小值为 ___－__1__.
[解析] f′(x)＝cos x－sin x， 令 f′(x)＝0，即 cos x＝sin x， ∵x∈[－π2，2π]，∴x＝4π. f(4π)＝ 2，f(－2π)＝－1，f(2π)＝1， ∴f(x)在区间[－2π，π2]上的最大值为 2，最小值为－1.
[思路分析] 本题主要考查导数的几何意义，极值的逆用和不等式的恒成立问题，求解第(2)小题的关 键是求出函数f(x)在[－1,2]上的最大值．
[解析] (1)f′(x)＝3x2－x＋b, f(x)的图象上有与 x 轴平行的切线，则 f′(x)＝ 0 有实数解，
即方程 3x2－x＋b＝0 有实数解， ∴Δ＝1－12b≥0，解得 b≤112. 故 b 的取值范围为(－∞，112]．

高中数学第三章导数及其应用32导数的计算课件新人教A版选修1

高中数学第三章导数及其应用32导数的计算课件新人教A版选修1

sin x
x
，f′(x)为函数f(x)的导函数，则f′
(π)＝________．
解析：因为f′(x)＝（sin
x）′x－sin x2
x·（x）′
＝x·cosxx2－sin x
所以f′(π)＝π·cos
π－sin π2
π＝－ππ－2 0＝－π1 .
答案：－π1
5．曲线 y＝ln x 在 x＝a 处的切线倾斜角为π4，则 a ＝____．
(2)准确记忆公式． (3)根式、分式求导时，应将根式、分式转化为幂的 形式． 2．解决函数求导的问题，应先分析所给函数的结构 特点，选择正确的公式和法则．对较为复杂的求导运算， 在求导之前应先将函数化简，然后求导，以减少运算量．
结束
语 同学们，你们要相信梦想是价值的源泉，相信成
功的信念比成功本身更重要，相信人生有挫折没 有失败，相信生命的质量来自决不妥协的信念，
x x
＋
1－ 1＋
x x
＝
（1＋ x）2 1－x
＋
（11－－xx）2＝2（11－＋xx）＝1－4 x－2，
所以
y′
＝
1－4 x－2
′
＝
4′（1－x）－4（1－x）′ （1－x）2
＝
4 （1－x）2.
类型 3 导数的应用(巧思妙解) [典例 3] 求抛物线 y＝x2 上的点到直线 x－y－2＝0 的最短距离． [常规解法]设与抛物线 y＝x2 相切且与直线 x－y－2 ＝0 平行的直线 l 的方程 x－y＋m＝0(m≠－2)，
1．基本初等函数的导数公式
原函数
导函数
f(x)＝c f(x)＝xa(a∈Q*)
f(x)＝sin x f(x)＝cos x

导数及其应用课件新人教A版选修

导数及其应用课件新人教A版选修

2．对函数在某点处导数的认识 (1)函数在某点处的导数是一个定值，是函数在该点的函数 值改变量与自变量的改变量比值的极限，不是变量． (2)函数在x0处的导数f′(x0)只与x0有关，与Δx无关． (3)导数可以描述任何事物的瞬时变化率，应用非常广泛．
1．已知函数y＝f(x)＝x2＋1，则在x＝2，Δx＝0.1时，Δy的
f1＋Δx－f1 Δx
＝ lim (2＋Δx)＝2.
6分
Δx→0
(2)因为ΔΔxy＝fa＋ΔΔxx－fa
＝a＋Δx2＋Δ3x－a2＋3＝2a＋Δx，
f′(a)＝ lim Δx→0
fa＋ΔΔxx－fa＝Δlixm→0
(2a＋Δx)＝2a.
8分 12 分
利用导数定义求导数的三步曲： (1)求函数的增量 Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)； (2)求平均变化率ΔΔxy＝fx0＋ΔΔxx－fx0； (3)取极限，得导数 f′(x0)＝Δlixm→0 ΔΔxy. 简记为：一差，二比，三趋近． 特别提醒：取极限前，要注意化简ΔΔyx，保证使 Δx→0 时， 分母不为 0.
时间 日最高气温
3月18日 3.5 ℃
4月18日 18.6 ℃
4月20日 33.4 ℃
观察：3月18日到4月18日与4月18日到4月20日的温度变 化，用曲线图表示为：
[问题1] “气温陡增”是一句生活用语，它的数学意义是 什么？(形与数两方面)
[提示1] 曲线上BC之间一段几乎成了“直线”，由此联 想如何量化直线的倾斜程度．
函数的变化率
平均 变化
率
瞬时 变化
率
定义
实例
作用
函数 y＝f(x)从 x1 到 x2 的 ①平均速度；
平均变化率为

高中数学第三章导数及其应用3.2导数的计算课件新人教A版选修1_1

④ 紧跟老师的推导过程抓住老师的思路。老师在课堂上讲解某一结论时，一般有一个推导过程，如数学问题的来龙去脉、物理概念的抽象归纳、语 文课的分析等。感悟和理解推导过程是一个投入思维、感悟方法的过程，这有助于理解记忆结论，也有助于提高分析问题和运用知识的能力。
⑤ 搁置问题抓住老师的思路。碰到自己还没有完全理解老师所讲内容的时候，最好是做个记号，姑且先把这个问题放在一边，继续听老师讲后面的 内容，以免顾此失彼。来自：学习方法网
x2
-
1
1
x2
.
22
(2)y′=(
ln
x
)′=
(ln
x)x

x ln
x
=
1 x

x

ln
x
x
x2
x2
= 1 ln x . x2
(3)y=tan x; (4)y=3xex-2x+e.
解:(3)y′=( sin x )′= (sin x)cos x sin x(cos x)
cos x
cos2 x
课堂探究 素养提升
题型一 利用导数公式求函数的导数
【例 1】 求下列函数的导数:
(1)y=x8;(2)y=
5
x2
;(3)y=4x;(4)y= log1
2
x;(5)y=sin(x+
π 2
);(6)y=sin
π 3
.
解:(1)y′=(x8)′=8x8-1=8x7.
(2)y′=(
5
x2
)′=(
2
x 5 )′=
编后语
老师上课都有一定的思路，抓住老师的思路就能取得良好的学习效果。在上一小节中已经提及听课中要跟随老师的思路，这里再进一步论述听课时如何 抓住老师的思路。

第3章 导数及其应用章末归纳总结课件 新人教A版选修1-1课件

∴Δ＝1－12b≥0，得 b≤112.
(2)由题意知 x＝1 是方程 3x2－x＋b＝0 的一个根．
设另一个根为 x0，则xx00×＋11＝＝b313
，解得x0＝－23 . b＝－2
∴f(x)＝x3－12x2－2x＋c. f′(x)＝3x2－x－2＝(3x＋2)(x－1)．
当 x∈(－23，1)时，f′(x)<0； 当 x∈(－1，－23)和(1,2]时，f′(x)>0. ∴当 x＝－23时，f(x)有极大值2227＋c. 当 x＝1 时，f(x)有极小值－32＋c.
1.注意区分“曲线在点 P 处的切线”与“过点 P 的曲线的 切线”．
2．导数公式与导数的四则运算法则． (1)要注意公式的适用范围．如(xn)′＝nxn－1 中，n∈N＋，若 n∈Q 且 n≠0，则应有 x>0. (2)注意公式不要用混，如(ax)′＝axlna，而不是(ax)′＝xax －1.还要特别注意(uv)′≠u′v′，uv′≠uv′ ′.
5．讨论含参数的函数的单调性时，必须注意分类讨论． 6．极值与最值的区别和联系 (1)函数的极值不一定是最值，需对极值和区间端点的函数 值进行比较，或者考察函数在区间内的单调性. (2)如果连续函数在区间(a，b)内只有一个极值，那么极大 值就是最大值，极小值就是最小值. (3)可导函数的极值点导数为零，但是导．数．为．零．的．点．不．一．定． 是．极．值．点．．． (4)极值是一个局．部．概念，极大值不．一．定．比极小值大．
x
(－∞，3)
3
(3，＋∞)
g′(x)
－
0
＋
g(x)
减
极小值－e13
增
故函数 g(x)在 x＝3 处取得极小值，亦即最小值，

高中数学第三章导数及其应用3.1.1变化率问题3.1.2导数的概念课件新人教A版选修1_1


[思路点拨]
思路一：
求Δy
―→
求ΔΔyx
―→
求 lim
Δx→0
Δy Δx
思路二： 求f x ―→ 求f
解析： 方法一：Δy＝2(3＋Δx)2＋4(3＋Δx)－(2×32＋4×3)
＝12Δx＋2(Δx)2＋4Δx＝2(Δx)2＋16Δx，
∴ΔΔyx＝2Δx2Δ＋x 16Δx＝2Δx＋16.
y′|x＝3＝ lim Δx→0
7分
lim
Δt→0
ΔΔst ＝liΔmt→0
(－1－Δt)＝－1，
8分
∴当 t＝2 时，物体的瞬时速度为－1.
(3)当 t∈[0,2]时，Δt＝2－0＝2. Δs＝s(2)－s(0) ＝(3×2－22)－(3×0－02)＝2. v ＝ΔΔst＝22＝1. ∴在 0 到 2 之间，物体的平均速度为 1.
＝3f′(x0)＝1，
所以 f′(x0)＝13，故选 D.
【错因】 错解虽然注意到了系数关系，但却忽略了分子 Δy 与 分 母 Δx 的 对 应 关 系 ． 在 导 数 的 定 义 f′(x0) ＝ lim
Δx→0
fx0＋ΔΔxx－fx0中，Δx 是分子 f(x0＋Δx)与 f(x0)中的两个自变量的 差，即(x0＋Δx)－x0.初学者在求解此类问题时容易忽略分子与分 母相应的符号或 Δx 系数的一致性．
求平均变化率的步骤： (1)先计算函数值的改变量 Δy＝f(x1)－f(x0)． (2)再计算自变量的改变量 Δx＝x1－x0. (3)求平均变化率ΔΔyx＝fxx11－ －fx0x0.
1．在函数 y＝2x2＋1 中，分别求函数在 x＝1,2,3 附近的平均
变化率，取 Δx 的值均为14，问哪一点附近的平均变化率最大？ 解析： ΔΔyx＝2x0＋Δx2＋Δx1－2x20＋1＝4x0＋2Δx 当 x0＝1，Δx＝14时，函数在[1,1.25]上的平均变化率为 k1＝4×1＋2×14＝4.5.

高中数学 第三章 导数及其应用单元总结课件 新人教A版选修1-1

1．关于函数的平均变化率，应该注意函数f(x)在x1处有 定义，变量Δx≠0，但可正可负．
2．理解“函数f(x)在点x0处的导数”“导函数”“导数 ”三者之间的区别与联系．
3．熟练掌握导数的几何意义、物理意义，并能利用导 数解决函数中的一系列问题以及生活中的最优化问题．
休息时间到啦
同学们，下课休息十分钟。现在是休息时间，你们休息一 看看远处，要保护好眼要相信梦想是价值的源泉，相信成
功的信念比成功本身更重要，相信人生有挫折没 有失败，相信生命的质量来自决不妥协的信念， 考试加油。
复习课件
高中数学 第三章 导数及其应用单元总结课件 新人教A版选修1-1
本章主要内容有变化率与导数、导数的计算、导数在研 究函数中的应用、生活中的优化问题举例．通过该模块的学习 ，学生将体会导数的思想及其丰富内涵，感受导数在解决实际 问题中的作用．
导数概念是微积分的核心概念之一，它有极其丰富的实 际背景和广泛的应用．要学好导数及其应用，应该特别注意以 下几个问题：
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(1) 物体在时间区间[2,2.1]上的平均速度；
(2) 物体在时间区间[2,2.01]上的平均速度；
(3) 物体在t=2(s)时的瞬时速度.
解:
__ s
1
v 2g g(t)
t
2
(1)将 Δt=0.1代入上式，得: __
v 2.05g 20.5m / s.
(2)将 Δt=0.01代入上式，得: __ v 2.005g 20.05m / s.
❖ [教学方法]
❖ 1.采用“学案导学”方式进行教学。
❖ 2.讨论法、启发式、自主学习、合作探究式教 学方法的综合运用。
❖ [教学流程]：独立完成基础回顾，合作交流纠错, 老师点评；然后通过题目落实双基，根据学生 出现的问题有针对性的讲评.
❖ [教学重点和难点]
❖ 教学重点：导数的概念、四则运算、常用函数 的导数，导数的应用理解运动和物质的关系、
应用：
❖ 例3．质量为１０kg的物体，按照s(t)=3t2+t+4的规 律做直线运动，
（１）求运动开始后４s时物体的瞬时速度；
（２）求运动开始后４s时物体的动能。
(E 1 mv2 ) 2
练习:
❖ 求函数y=3x2在x=1处的导数.
分析：先求Δf=Δy=f(１＋Δx)-f(１)
=6Δx+(Δx)2
（3）求极限
f '(x0 ) lim x0
y x
作业：
❖ 课本86页 A 1，2，3。
(单位:dm)之间的函数关系是 V
(r)
4 r3
3
❖ 如果将半径r表示为体积V的函数,那么 r(V ) 3 3V
4
❖ 当V从0增加到1时,气球半径增加了 r(1) r(0) 0.62(dm)
气球的平均膨胀率为 r(1) r(0) 0.62(dm / L)
1 0
❖ 当V从1增加到2时,气球半径增加了 r(2) r(1) 0.16(dm
导数是微积分的核心概念之一它是研究函数 增减、变化快慢、最大（小）值等问题最一 般、最有效的工具。
3.5.1变化率问题
❖ 问题1 气球膨胀率
我们都吹过气球回忆一下吹气球的过程,可以 发现,随着气球内空气容量的增加,气球的半径增加 越来越慢.从数学角度,如何描述这种现象呢?
我们来分析一下:
❖ 气球的体积V(单位:L)与半径r
❖ 教学难点：导数的定义，导数在求函数的单调 区间、极值、最值、证明中的应用
第三章 导数及其应用
微积分主要与四类问题的处理相关:
❖ 一、已知物体运动的路程作为时间的函数, 求物体在任意时刻的速度与加速度等;
❖ 二、求曲线的切线; ❖ 三、求已知函数的最大值与最小值; ❖ 四、求长度、面积、体积和重心等。
❖ 在高台跳水运动中,平均速度不能反映他在这 段时间里运动状态，需要用瞬时速度描述运 动状态。我们把物体在某一时刻的速度称为 瞬时速度.
又如何求 瞬时速度呢?
如何求（比如， t=2时的）瞬时速度？
： 当Δt趋近于0时,平均
通过列表看出平均速度的变化速度趋有势什么变化趋势?
❖ 我们用
瞬时速度?
lim h(2 t) h(2) 13.1
t0
t
表示 “当t=2, Δt趋近于0时,平均速度趋于确定值13.1”.
❖ 那么,运动员在某一时刻t0的瞬时速度?
lim h(t0t)h(t0)
t0 t
导数的定义:
从函数y=f(x)在x=x0处的瞬时变化率是:
应用：
例1 物体作自由落体运动,运动方程为：s
1 gt 2 2
其
中位 移单位是m,时间单位是s,g=10m/s2.求：
x
x2 x1
思考?
❖ 观察函数f(x)的图象
平均变化率 f(x2 ) f ( x1) y
x x 2
1
f(x2)
Y=f(x) x2-x1 B
表示什么?
直线AB的斜 率
f(x2)-f(x1)
f(x1) O
A
x
x1
x2
做两个题吧!
❖ 1 、已知函数f(x)=-x2+x的图象上的一点A(-1,-
2)及临近一点D B(-1+Δx,-2+Δy),则Δy/Δx=( )
上述问题中的变化率可用式子 f(x2 ) f (x1) 表示 x2 x1
称为函数f(x)从x1到x2的平均变化率
❖ 若设Δx=x2-x1, Δf=f(x2)-f(x1)
则平均变化率为
这里Δx看作是对于x1的一
个“增量”可用x1+Δx代
替x2
f 同样Δf=Δfy(=x=2f()x2)-ff(x(1x)1)
A3
B 3Δx-(Δx)2
C 3-(Δx)2 D 3-Δx
❖ 2、求y=x2在x=x0附近的平均速度。 2x0+Δx
小结：
❖ 1.函数的平均变化率
f f(x2 ) f (x1)
x
x2 x1
❖ 2.求函数的平均变化率的步骤:
(1)求函数的增量Δf=Δy=f(x2)-f(x1);
(2)计算平均变化率
h(t)=-4.9t2+6.5t+10. 如何用运动员在某些时间段内的平t 0.5和1 t 2时的平均速度v :
0 t 0.5和1 t 2时的平均速度v :
请计算
平均速度不能反映他在这段时间里运动状态， 需要用瞬时速度描述运动状态。
平均变化率定义:
再求
f 6 x x
再求 lim y 6 x0 x
小结：
❖ 1求物体运动的瞬时速度：
（1）求位移增量Δs=s(t+Δt)-s(t)
(2)求平均速度
（3）求极限
v
lim x0
s t
s;
t
lim
s(t
x0
t) s(t) . t
❖ 1由导数的定义可得求导数的一般步骤：
（(12）)求求平函均数变的增化量率Δy=xy f(x0+Δt)-f(x0)
f f(x2 ) f (x1)
x
x2 x1
练习：
❖ 过曲线y=f(x)=x3上两点P（1，1）和Q (1+Δx,1+Δy)作曲线的割线，求出当Δx=0.1时 割线的斜率.
K=3Δx+(Δx)2=3+3×0.1+(0.1)2=3.31
作业：
❖ 第二教材P67 A 1、2、4，B 5
3.5.2 导数的概念
气球的平均膨胀率为
r(2) 2
r(1) 1
0.16(dm
/
显然
L)0.62>0.16
思考?
❖ 当空气容量从V1增加到V2时,气球的平均 膨胀率是多少?
r(V2 ) r(V1) V2 V1
问题2 高台跳水
在高台跳水运动中,运动员相对于水面的高度 h(单位：米)与起跳后的时间t（单位：秒）存在函 数关系
应用：
❖ 例2 将原油精练为汽油、柴油、塑胶等各种不同
产品，需要对原由进行冷却和加热。如果第 x(h)
时，原由的温度（单位：0C）为 f(x)=x2-
7x+15(0≤x≤8).计算第2（h) 和第6（h）时，原由
温度的瞬时变化率，并说明它们的意义。
关键是求出：
f x3
x
再求出lim x0
f x
它说明在第2（h)附近，原油 温度大约以3 0C/H的速度下 降；在第6（h)附近，原油温 度大约以5 0C/H的速度上升。
新课标人教版课件系列
《高中数学》
选修1-1
3.5《导数及其应 用-小结》
审校：王伟
教学 目标
❖ 【知能目标】 ❖ 1.了解导数概念的某些实际背景（如瞬时速度，加
速度、光滑曲线切线的斜率等）；掌握函数在一 点处的导数的定义和导数的几何意义；理解导数 的概念。 ❖ 2、熟记基本导数公式：xm(m为有理数)、sinx、 cosx、ex、ax、lnx、logax的导数；掌握两个函 数和、差、积、商的求导法则和复合函数的求导 法则，会求某些简单函数的导数。 ❖ 3、理解可导函数的单调性与其导数的关系；了解 可导函数在某点取得极值的必要条件和充分条件 (导数在极值点两侧异号)；会求一些实际问题(一 般指单峰函数)的最大值和最小值。
(3)当t 0,2 t 2,
O s(2)
s(2+t) s
__
从而平均速度v 的极限为：
__
s
v lim v lim 2g 20m / s.
t 0
t0 t
s
即物体在时刻t0=2(s)的瞬时速度等于20(m/s).
当时间间隔Δt 逐渐变小时,平均速度就越接近
t0=2(s) 时的瞬时速度v=20(m/s).