第二章二维线性系统解析

第二章 二维线性系统第二章内容为傅里叶光学课程的理论基础。

主要介绍了线性系统理论，在一定条件下光学系统可看作线性系统，利用线性系统的叠加性质，可先将复杂的输入信号分解为若干个基本信号，求出每个基本信号的响应，再将所有响应进行线性组合即得到原信号经光学系统的响应。

在选取δ函数为基元函数时的响应就是系统的脉冲响应。

对于线性不变系统，系统的输出就是输入函数与系统脉冲响应的卷积。

也可选取复指数函数作为基元函数，这样的分解就是傅里叶分解。

脉冲响应的傅里叶变换称为系统的传递函数或频率响应。

常用基元函数：δ函数、阶跃函数、余弦函数、复指数函数。

δ函数常用于描述点光源；复指数函数常用于描述平行光。

○1以δ函数为基元函数时：在空间域讨论问题 脉冲分解：()()(),,,d d f x y f x y ξηδξηξη∞=--⎰⎰定义系统脉冲响应 ()(){},;,,h x y L x y ξηδξη=--对于空间不变的线性系统，脉冲响应()(),;,=;h x y h x y ξηξη--()()()(),,,d d (,),g x y f h x y f x y h x y ξηξηξη∞=--=*⎰⎰所以对于线性不变系统，系统的输出就是输入函数与系统脉冲响应的卷积。

○2以复指数函数作为基元函数时：在频率域计算 将()()(),,,g x y f x y h x y =*转换为频率域关系得()()(),,,x y x y x y G f f F f f H f f = 定义系统传递函数：()(){},,x y H f f h x y =传递函数描述了系统在频率域的特性。

线性不变系统的作用：。

二维线性系统分析二维线性系统是指由两个线性方程组成的系统。

它是线性代数中的重要概念，在许多领域的数学研究中都有重要应用，如电路分析、控制理论、信号处理等。

本文将介绍二维线性系统的基本定义和性质，以及分析该系统的方法。

首先，我们来定义二维线性系统。

一个二维线性系统可以表示为以下形式的方程组：```x'(t)=Ax(t)+Bu(t)y(t)=Cx(t)+Du(t)```其中，`x(t)`是一个二维列向量，表示系统的状态；`u(t)`是一个输入列向量；`y(t)`是一个输出列向量；`A`、`B`、`C`、`D`是常数矩阵，分别表示系统的状态转移矩阵、输入矩阵、输出矩阵和直接通过矩阵。

接下来，我们将介绍二维线性系统的性质和特点。

1.线性性：二维线性系统是由线性方程组成的，因此它满足叠加和比例原理。

如果输入`u1(t)`对应的状态响应是`x1(t)`，输入`u2(t)`对应的状态响应是`x2(t)`，那么对于任意常数`a`和`b`，`a*u1(t)+b*u2(t)`对应的状态响应是`a*x1(t)+b*x2(t)`。

2.齐次性：当输入为零时，系统的状态满足齐次方程`x'(t)=Ax(t)`。

这意味着零输入条件下的系统响应只取决于初始状态`x(0)`。

3.稳定性：二维线性系统的稳定性可以通过判断状态转移矩阵`A`的特征值来确定。

如果所有特征值的实部都小于零，则系统是渐进稳定的。

接下来，我们将介绍如何分析二维线性系统。

1.状态方程求解：给定初始状态`x(0)`和输入`u(t)`，我们可以通过状态方程求解系统的状态响应。

通过对状态方程进行拉普拉斯变换，可以得到系统的传递函数：```X(s)=(sI-A)^(-1)*B*U(s)Y(s)=C*(sI-A)^(-1)*B*U(s)+D*U(s)```其中，`X(s)`和`U(s)`分别是`x(t)`和`u(t)`的拉普拉斯变换，`I`是单位矩阵。

2.频域分析：通过对传递函数进行频域分析，可以得到系统的频率响应和稳定性。

第2章 标量衍射的角谱理论光的传播是光学研究的基本问题之一,也是光能够记录、存储、处理和传送信息的基础。

众所周知，几何光学的基本定律——光沿直线传播，是光的波动理论的近似。

作为电磁波的光的传播要用衍射理论才能准确说明。

衍射，按照索末菲定义是“不能用反射或折射来解释的光线对直线光路的任何偏离”。

衍射是波动传播过程的普遍属性，是光具有波动性的表现。

电磁波是矢量波，精确解决光的衍射问题，必须考虑光波的矢量性。

用矢量波处理衍射过程非常复杂，这是因为电磁场矢量的各个分量通过麦克斯韦方程联系在一起，不能单独处理。

但是在光的干涉、衍射等许多现象中，只要满足：（1）衍射孔径比波长大很多，（2）观察点离衍射孔不太靠近；不考虑电磁场矢量的各个分量之间的联系，把光作为标量处理的结果与实际极其接近。

在本书涉及的情况下这些条件基本上是满足的，因此只讨论光的标量衍射理论。

经典的标量衍射理论最初是1678年惠更斯提出的。

他设想波动所到达的面上每一点是次级子波源，每一个次级波源发出的次级球面波向四面八方扩展，所有这些次级波的包络面形成新的波前。

1818年菲涅耳引入干涉的概念补充了惠更斯原理，考虑到子波源是相干的，认为空间光场是子波干涉的结果。

而后1882年基尔霍夫利用格林定理，采用球面波作为求解波动方程的格林函数，导出了严格的标量衍射公式。

在基尔霍夫衍射理论中，球面波是传播过程的基元函数。

由于任意光波场可以展开为平面波的叠加，因此用平面波作为基元函数也可以来描述衍射现象，这就是研究衍射的角谱方法。

光学课程中已经由基尔霍夫公式出发详细讨论了菲涅耳衍射公式，本章将采用平面波角谱理论导出同样的衍射公式，说明光的传播过程作为线性系统用频谱（角谱）方法在频域中分析，与用脉冲响应（点光源传播）方法在空域中分析是等价的。

进而用角谱方法讨论菲涅耳衍射和夫琅和费衍射。

最后，本章还要介绍分数傅里叶变换以及用分数傅里叶变换来表示菲涅耳衍射的优越性。