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第二章 晶体学基础

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材第二章_晶体学基础

材第二章_晶体学基础

25
12 简单立方点阵
a=b=c，α=β=γ =90°
26
13 体心立方点阵
a=b=c，α=β=γ =90°
27
14 面心立方点阵
a=b=c，α=β=γ =90°
28
2.3、晶向指数和晶面指数
晶向——通过晶体中任意两个原子中心连成直 线 来表示晶体结构的空间的各个方向。 晶面——晶体结构一系列原子所构成的平面。
8
2.2 布拉菲点阵
点阵（晶格）模型
晶胞
代表性的基本单元（最小平行六面体）
9
c
b
a
空间点阵及晶胞的不同取法
10
选取晶胞的原则： 1.要能充分反映整个空间点成的周期性和对称性； 2.在满足1的基础上，单胞要具有尽可能多的直角； 3.在满足上条件，晶胞应具有最小的体积。
1
2
6
3
4 5
晶体学选取晶胞的原则
47
描述晶胞从以下几个方面： 晶胞中原子的排列方式 (原子所处的位置) 点阵参数 (晶格常数和晶轴间夹角) 晶胞中原子数 原子半径 R(原子的半径和点阵常数关系) 配位数和致密度 密排方向和密排面 晶体结构中间隙 (大小和数量) 原子的堆垛方式
48
三种典型金属晶体结构刚球模型
间隙有两种:四面体间隙和八面体间隙 八面体间隙: 位于晶胞体中心和每个棱边的中点， 由 6 个面心原子所围成,大小rB=0.414R，rB为间隙半径， R为原子半径，间隙数量为4个。
面心立方八面体间隙
55
面心立方四面体间隙
四面体间隙:由一个顶点原子和三个面心原子围成，其大 小：rB=0.225R，间隙数量为8个。
42
晶带定理的应用

晶体学基础

晶体学基础

图 六方晶系的一些晶向指数与晶面指数
4.晶带
相交于某一晶向直线或平行于此直线的晶面构成一个晶带， 此直线称为晶带轴 设晶带轴的指数为[uvw]，则晶带中任何一个晶面的指数 （hkl）都必须满足：hu+kv+lw=0，满足此关系的晶面都属 于以[uvw]为晶带轴的晶带。→晶带定律 （a） 由两晶面(h1k1l1) (h2k2l2)求其晶带轴[uvw]：
简单晶胞计算公式
正交晶系
dhkl
1 h k l a b c
2 2 2
立方晶系
d hkl
d hkl
a h k l
2 2 2

六方晶系
1 4 h hk k l 2 3 a c
2 2 2 2
的一组晶向，用<uvw>表示。数字相同，但排列顺序不
同或正负号不同的晶向属于同一晶向族。
eg： 立方晶系中
[111 ], [1 11], [1 1 1], [11 1][11 1], [1 11][1 1 1], [111 ] 八个晶向是立方体中
四个体对角线的方向，其原子排列完全相同，属同一晶向族，故用<111>表示。
六方晶系的晶向指数和晶面指
数同样可以应用上述方法标定，
这时取a1，a2，c为晶轴，而 a1轴与a2轴的夹角为120度，c 轴与a1，a2轴相垂直。但这种 方法标定的晶面指数和晶向指 数，不能显示六方晶系的对称 性，同类型 晶面和晶向，其指 数却不相雷同，往往看不出他 们的等同关系。
根据六方晶系的对称特点，对六 方晶系采用a1，a2，a3及c四个
§2.2.2 晶系和布拉菲点阵
1.七个晶系
2. 十四种布拉菲点阵 按照“每个阵点的周围环境相同”的要求，最先是布拉菲 （A. Bravais）用数学方法证明了只能有14种空间点阵。通 常人们所说的点阵就是指布拉菲点阵。

第二章 晶体学基本理论

第二章 晶体学基本理论
第四十一页，共55页
2.7.1 倒易点阵定义
倒易点阵： 是用 a*. b*和c*基矢量描述的三维空间，与a.b.c描
述的正空间互为倒易
倒易点阵满足 a*b=a*c=b*a=b*c=c*.a=c*.b=0---(1) a*a = b*b = c*.c =1--- (2)
第四十二页，共55页
2.7.1 倒易点阵定义
这些空间位向性质完全相同的晶面属于同族等同晶 面，用{hkl}表示
例如：立方晶系中
{ 1 0 0 } ( 1 0 0 ) ( 0 1 0 ) ( 0 0 1 )
{ 1 1 1 } ( 1 1 1 ) ( 1 1 1 ) ( 1 1 1 ) ( 1 1 1 )
第二十八页，共55页
晶向指数的确定
由原点o指向任意一个倒易结点所连接的矢量hakblchkl为整数倒易矢量的方向垂直正点阵的hkl面或平行于晶面的法线hkl晶体点阵经过倒易变换建立相应的倒易点阵晶体中的晶面与其对应倒易点阵结点的关系立方晶系倒易点阵示意图立方晶系倒易点阵100110010001011021020120121101102uvw倒易结点的指数用它所代表的晶面的面指数表示272倒易点阵的性质则正点阵中的晶面在倒易点阵中可以用一个倒易结点表示273倒易点阵的几何意义正点阵中的一组平行晶面hkl相当于倒易点阵中的一个该组晶面间距的倒数
上还有一个阵点，
阵点坐标 000 ， 110,101,011
22 2 2 22
第十七页，共55页
强调：晶体结构和空间点阵的区别
空间点阵是晶体中质点排列的几何学抽象，用以 描述和分析晶体结构的周期性和对称性，由于各阵点 的周围环境相同，它只能有14中类型
晶体结构是晶体中实际质点（原子、离子或 分子）的具体排列情况，它们能组成各种类型的 排列，实际存在的晶体结构是无限的

晶体学基础(第二章)

晶体学基础(第二章)

2.1 面角守恒定律
双圈反射测角仪： 双圈反射测角仪：晶体位于二旋转 轴的交点。 轴的交点。。当观测镜 筒中出现“信号” 筒中出现“信号”时，我们便可以 在水平圈上得到一个读数ρ 极距角) 在水平圈上得到一个读数ρ(极距角)， 并在竖圈上得到一个读数ϕ 方位角) 并在竖圈上得到一个读数ϕ(方位角)， ρ和ϕ这两个数值犹如地球上的纬度 和经度，是该晶面的球面坐标 球面坐标。 和经度，是该晶面的球面坐标。
使用很简单，但精度较差，且不适于测量小晶体。 使用很简单，但精度较差，且不适于测量小晶体。
2.1 面角守恒定律
单圈反射测角仪， 单圈反射测角仪，精度可达 0.5′ l′-0.5′。但缺点是晶体安置 好之后只能测得一个晶带( 好之后只能测得一个晶带(指 晶棱相互平行的一组晶面) 晶棱相互平行的一组晶面)上 的面角数据。 的面角数据。若欲测另一晶 带上的面角时， 带上的面角时，必须另行安 置一次晶体。测量手续复杂。 置一次晶体。测量手续复杂。
2.1 面角守恒定律 晶体测量(goniometry)又称为测角法。 晶体测量(goniometry)又称为测角法。根据测角 (goniometry)又称为测角法 的数据，通过投影， 的数据，通过投影，可以绘制出晶体的理想形态 图及实际形态图。 图及实际形态图。在这一过程中还可以计算晶体 常数，确定晶面符号(见第四章) 同时， 常数，确定晶面符号(见第四章)，同时，还可以 观察和研究晶面的细节(微形貌) 观察和研究晶面的细节(微形貌)。晶体测量是研 究晶体形态的一种最重要的基本方法。 究晶体形态的一种最重要的基本方法。 为了便于投影和运算， 为了便于投影和运算，一 般所测的角度不是晶面的 夹角， 夹角，而是晶面的法线 plane)夹角 (normals to plane)夹角 (晶面夹角的补角)，称为 晶面夹角的补角) 面角(interfacial angle)。 面角(interfacial angle)。

晶体学基础(第二章)

晶体学基础(第二章)

晶体学基础(第二章)第二章晶体的投影2.1面角守恒定律2.2晶体的球面投影及其坐标2.3极射赤平投影和乌尔夫网2.4乌尔夫网的应用举例2.1面角守恒定律面角守恒定律(lawofcontancyofangle),斯丹诺于面角守恒定律(angle)斯丹诺定律(Steno)1669年提出亦称斯丹诺定律年提出，1669年提出，亦称斯丹诺定律(lawofSteno)。

同种晶体之间，对应晶面间的夹角恒等。

这里夹角一般指同种晶体之间，对应晶面间的夹角恒等。

的是面角面角(angle)即晶面法线之间的夹角。

的是面角(interfacialangle),即晶面法线之间的夹角。

晶面角守恒定律告诉我们：晶面角守恒定律告诉我们：将一种物质的一个晶体的m1面与另一晶体的相应面m1´平行放置，则这两个晶体其它的相平行放置，也互相平行，应晶面m2与m2´,…………,mn与mn´也互相平行，即同一种，物质的相应晶面间夹角不变。

物质的相应晶面间夹角不变。

2.1面角守恒定律2.1面角守恒定律成分和结构相同的晶体，成分和结构相同的晶体，常常因生长环境条件变化的影响，而形成不同的外形，影响，而形成不同的外形，或者偏离理想的形态而形成所谓的“歪晶”成所谓的“歪晶”。

2.1面角守恒定律面角守恒定理起源于晶体的格子构造。

面角守恒定理起源于晶体的格子构造。

因为同种晶体具有完全相同的格子构造，晶体具有完全相同的格子构造，格子构造中的同种面网构成晶体外形上的同种晶面。

种面网构成晶体外形上的同种晶面。

晶体生长过程中，晶面平行向外推移，程中，晶面平行向外推移，故不论晶面大小形态如何，对应晶面间的夹角恒定不变。

如何，对应晶面间的夹角恒定不变。

面角守恒定律的确立，使人们从晶形千变万化的面角守恒定律的确立，使人们从晶形千变万化的实际晶体中，找到了晶体外形上所固有的规律性，实际晶体中，找到了晶体外形上所固有的规律性，得以根据面角关系来恢复晶体的理想形状，得以根据面角关系来恢复晶体的理想形状，从而奠定了几何结晶学的基础，奠定了几何结晶学的基础，并促使人们进一步去探索决定这些规律的根本原因。

第2章 贵金属材料晶体学基础

第2章 贵金属材料晶体学基础

每个面心立方结构晶胞中实际只有 1/8×8+1/2 ×6=4 晶格常数只用晶胞的棱边长a一个数值表示，原 子间最小距离为两个原子中心的距离，等于原子的 直径d： d=√2/2a 面心立方结构n=4 致密度：K=nv/V K=n×原子球体体积/晶胞体积 = 4 ×(4/3πR3）/a3 =0.74=74%
c 密排六方结构
每个面心立方结构晶胞中实际只有： 1/6×12+1/2×2+3=6 晶格常数有2个，六方底面的边长a与上下底面的间 距c（即六方柱的高度），它们之比c/a称为密排六方 结构的轴比,理想轴比为1.633。 原子的直径d与a的关系为： d=a
K=nv/V =0.74=74% 配位数为12 最密排面为{0001}面 密排六方结构和面心立方结构的配位数 和致密度都相等，因为都为最紧密堆积， 从晶体化学来看还有很多相似的性质。
第2章 贵金属材料晶 体学基础
第1节晶体结构及晶体结构间隙
1 晶体 晶体是内部质点（原子、离子或分子）在三维 空间周期性地重复排列构成的固体物质 晶体具有自限性、均一性、各项异性、对称性、最 小内能性 （1） 晶体与非晶体 晶体 非晶体 内部构造 宏观外形 方向性 具有格子构造 具有规则的几何外 形 各向异性 不具格子构造 不具有规则的几 何外形 各向同性
1 固溶体 固溶体是原子溶入固体溶剂中所形成的均一的 结晶相。固溶体的一个特点是成分可以在一定范围 内连续变化，这种变化不引起原来溶剂金属的点阵 类型发生改变 固溶体 置换固溶体 间隙固溶体
（1）置换固溶体 溶质原子置换了溶剂结构中的一些溶剂原子
影响固溶体固溶度的因素： a 组员的晶体结构因素 b 原子尺寸因素 c 化学亲和力因素
（1）正常价化合物 一般有AB,A2B(AB2),A3B2三种类型，分 子式对应相同类型分子的离子化合物。

第2章 晶体学基础

第2章 晶体学基础

晶向指数的确定
建立坐标系，结点为原点， 1. 建立坐标系，结点为原点，三 棱为方向， 棱为方向，点阵常数为单位 ； 2. 在晶向上任两点的坐标 (x1,y1,z1) (x2,y2,z2)。(若 (x2,y2,z2)。 平移晶向或坐标， 平移晶向或坐标，让在第一点 在原点则下一步更简单) 在原点则下一步更简单)； 3. 计算x2-x1 ： y2-y1 ： z2计算x2y2z2x2 z1 ； 化成最小、整数比u 4. 化成最小、整数比u：v：w ； 放在方括号[uvw] [uvw]中 5. 放在方括号[uvw]中，不加逗 号，负号记在上方 。
习 题
分别为3， ， （1）截距 、s、t分别为 ，3，5 ）截距r、 、 分别为 （2）1/r : 1/s : 1/t = 1/3 : 1/3 : 1/5 ） （3）最小公倍数 ， ）最小公倍数15， （4）于是，1/r，1/s，1/t分别 ）于是， ， ， 分别 得到5， ， ， 乘15得到 ，5，3， 得到 因此，晶面指标为（ 因此，晶面指标为（553）。 ）。 c a b y
红线由两个结点的坐标之差确定
2.2.2 晶面及晶面指标
在点阵中由结点构成的平面称为晶面。 在点阵中由结点构成的平面称为晶面。 晶面 空间点阵划分为平面点阵的方式是多种多 样的. 不同的划法划出的晶面(点阵面 点阵面)的 样的 不同的划法划出的晶面 点阵面 的阵点密 度是不相同的. 意味着不同面上的作用力不相 是不相同的 所以给不同面以相应的指标(hkl)，代表一 同. 所以给不同面以相应的指标 ， 组平行的晶面。 组平行的晶面。
学习要点
⑴ ⑵ ⑶ (4) 晶体结构周期性与点阵。 晶体结构周期性与点阵。 7个晶系和14种Bravias空间格子。 个晶系和14种Bravias空间格子。 14 空间格子 晶胞，晶带，晶向，晶面，晶面间距，晶面夹角。 晶胞，晶带，晶向，晶面，晶面间距，晶面夹角。 倒易点阵

晶体学基础第二章-晶体的宏观对称元素的组合

晶体学基础第二章-晶体的宏观对称元素的组合
2.2 晶体的宏观对称元素的组合
对称元素的组合规律：
cos( / 2) cos( / 2) cos( / 2) sin( / sin( / 2) cos( ) cos ' cos( / 2) cos( / 2) cos( / 2)
sin( / 2)sin( / 2) cos '' cos( / 2) cos( / 2) cos( / 2)
例如: L4 ·L2L44L2 , L3 ·L2L33L2
定理二：Ln ·P LnP C (n为偶数)
逆定理：Ln ·C LnP C (n为偶数) P ·C LnP C (n为偶数)
这一定理说明了L2、P、C三者中任两个可以产生 第三者。
因为偶次轴包含L2 。
定理三：Ln 半）。
·P//
LnnP//（P与P夹角为Ln基转角的一
逆定理：两个P相交，其交线必为一Ln，其基转角为P 夹角的两倍，并导出其他n个包含Ln的P。
思考: 两个对称面相交60°，交线处会产生什么对称轴?
定理四：Lin ·L2或 Lin ·P// Linn/2L2 n/2P// （n为偶数） Lin ·L2 或 Lin ·P// Linn L2 nP//（n为奇数）
sin( / 2)sin( / 2)
对称轴间夹角为特殊角度的对称元素的组合规律： 对称轴间夹角 0°或 90°
定理一：Ln ·L2LnnL2 (L2与L2的夹角是Ln基转角的一半) 逆定理： L2与L2相交，在其交点且垂直两L2会产生Ln，
其基转角是两L2夹角的两倍，并导出其他n-2个 在垂直Ln平面内的L2。
例：四方四面体 Li42L2 2P

2.晶体学基础2

2.晶体学基础2

g* 180-g
School of Physics and Information Technology, SNNU
g
单斜点阵
单斜点阵沿c轴投影图 c
c b bg a
a
r*100
r*010 b g a 110 r*010
r*100 g*
a* = r*100 = 1/d100 = 1/(a· cos[g-90])= 1/(a· sing)
简单点阵
1、简单点阵
r*010=1/d010 r*010
b a
d010
100
000
r*100
School of Physics and Information Technology, SNNU
简单点阵
1、简单点阵
r*110 b a b* 000 d110 010 110 r*110
a*
100
a* = r*100 = 1/d100 = 1/a b* = r*010 = 1/d010 = 1/b
b* = r*010 = 1/d010 = 1/(b· cos[g-90])= 1/(b· sing)
c* = r*001 = 1/d001 = 1/c g* 180-g
School of Physics and Information Technology, SNNU
School of Physics and Information Technology, SNNU
倒易点阵 Reciprocal lattice
定义：对于一个由 的倒易点阵，其基矢满足 定义的正点阵基矢，都有一个对应
（1）
构成倒易点阵（数学）: 由解析几何矢量运算法则得到： （2）

第2章 晶体学基础2.1

第2章 晶体学基础2.1

晶体与非晶体的区别：
1. 原子规排：晶体中原子（分子或离子）在三维空间呈周 期性重复排列，而非晶体的原子无规则排列的。 2. 固定熔点：晶体具有固定的熔点，非晶体无固定的熔点， 液固转变是在一定温度范围内进行。 3. 各向异性：晶体具有各向异性（anisotropy），非晶体为 各向同性。
二、空间点阵和晶胞

晶 格 常 数 示 意 图
3. 空间点阵类型（晶系）

根据６个参数间相关系可将全部空间点阵归为七大类，十四种（称为 布拉菲点阵）。
1）七大晶系
① ② ③ ④ ⑤ ⑥ ⑦
三斜晶系（Triclinic System） 单斜晶系（Monoclinic System） 正交晶系（斜方晶系，Orthogonal System） 四方晶系（正方晶系，Tetragonal System） 立方晶系（Cubic System） 六方晶系（Hexagonal System） 菱形晶系（Rhombohedral System）


晶体结构的微观特征 晶体可看作某种结构单元（基元）在三维空间作周期 性规则排列 质点或基元(basis)：原子、分子、离子或原子团 (组 成、位形、取向均同)
抽象为 质点 抽象为
阵点
质点的三维空间周期排列
空间点阵
1. 空间点阵

空间格子：把晶体中质点的中心用直线联起来构成的空 间格架即空间格子(Lattice)。 晶体点阵：由这些结点构成的空间总体称为晶体点阵。 晶体结点为物质质点的中心位置。 空间点阵中结点仅有几何意义，并不真正代表任何质点。
⑦菱形晶系（RHOMBOHEDRAL SYSTEM） 特点：对称轴和单胞的一个轴 （设a轴）夹角为某一角度α， 另外两个轴和对称轴夹角亦为 α并且长度相等。这三个轴构 成的六面体就是一个菱形单胞。 菱形晶系点阵常数间的关系为：

晶体学基础第二章-晶体的32种点群及其符号

晶体学基础第二章-晶体的32种点群及其符号

的反演面，
共2个
群只包含旋转反演轴的点群。 其中
共2个
群 —— 立方点群, 含有48个对称操作 群 —— 正四面体点群, 含有24个对称操作 群 —— 立方点群 的24个纯转动操作 群 —— 正四面体点群 的12个纯转动操作
群
群加上中心反演
晶体的宏观对称只有32个不同类型
晶体点群的国际符号符号：
回转群
只包含一个旋转轴的点群 —— 下标表示是几重旋转轴
—— 4个
双面群
包含一个n重旋转轴和n个与之对应的二重轴的点群 —— 4个
群
群加上中心反演
群
群加上反演面
群
群加上与n重轴垂直的反演面，共4个
群
群加上含有n重轴的反演面，共4个
Dnh群
群
Dn群加上与n重轴垂直且过二重轴的反演面，
共4个
群加上通过n重轴及两根二重轴角平分线
2.3 晶体的32种点群及其符号
一、晶体对称元素的组合：
任何晶体的宏观对称性只能有以下十பைடு நூலகம்对称元素:
1, 2, 3, 4, 6, 1, 2, 3, 4, 6
晶体的对称元素间至少有一点重合。
晶体的全部对称元素对应的对称操作的集合——点群。 晶体对称元素组合的推导：
A类组合：高次轴（n > 2）不多于1个 B类组合：高次轴多于1个
二、晶体的32种点群：
理论证明由10种对称素只能组成32种不同的点群 —— 晶体的宏观对称只有32个不同类型
晶体点群的符号： 国际（Hermann-Mauguin）符号 熊夫利（Schoenflies）符号 C，D，S，T，O i，s，v，h，d
晶体点群的熊夫利符号：
—— 不动操作，只含一个元素，表示没有任何对称性的晶体

第二章晶体化学基础

第二章晶体化学基础
（ el ），e电荷， l 为极化后正、负电荷的中心距
2）主极化：一个离子以其本身的电场作用于周围离子，使其它 离子极化。主极化能力用极化力β来表示，极化力与离子的电 价（W）成正比，与离子半径（r）的平方成反比；
w r2
式中： w为离子的电价， r为离子的半径。极化力反映了极
化周围其它离子的能力。
2
0
2
0
第
二
章
晶
体
化
学
一．等径球体的最紧密堆积
等径球体有六方和面心立方两种最紧密堆积方式。 1．六方密堆
①先将各球排列在一平面上，每个球为6个球所包围，球 间有两空隙：尖角朝下的B空隙▽和尖角朝上的C空隙△； ②第二层球的中心都落在尖角朝下的B空隙▽上； ③第三层球体排列的位置和第一层的球完全相同； ④堆垛顺序为ABABAB……，密排面为（0001）面。
个等径球体堆积而成的系统，四面体空隙应有 n 8 2n个，
4
八面体空隙应有
n 个6 。n
6
八面体空隙：在六方柱内部共6个，四面体空隙有12个： 6(六方柱内部)+2(底心连线上)+6 ×2 ×1/3 (六条棱边上)=12个。
八面体空隙有4个：1(立方体心)+12 ×1/4 (12条棱边中点)=4个； 四面体空隙共有8个：位于8个1/8小立方体的体心。
晶体结构取决于其组成质点的数目、相对大小以及极化性能。
离子晶体： ro=r++r共价晶体： ro=rA+rB 金属晶体： ro=2rm
二．配位数和配位多面体 1.配位数（CN）：一个原子或离子邻近周围的原子个数或异号 离子的个数。
单质晶体： CN=12，非密堆则CN<12，单质金属 共价晶体： CN较低≤4，SiC 离子晶体： CN=4,6，Al2O3 2.配位多面体 以一个阳离子为中心，将其周围与之形成配位关系的阴离子中 心联接起来所得的多面体。

晶体学基础第二章-晶体的对称分类与布拉菲点阵

晶体学基础第二章-晶体的对称分类与布拉菲点阵

2.晶系（crystal system）：7个晶系
三斜晶系：只有 1 或 1
单斜晶系：2 和 m 均不多于一个 正交晶系（斜方晶系）：2 和 m 的总数不少于3个
三方晶系：唯一的一个高次轴是 3 或 3 四方晶系：唯一的一个高次轴是 4 或 4 六方晶系：唯一的一个高次轴是 6 或 6
立方晶系（等轴晶系）：有4个 3
32种点群描述的晶体对称性对应的只有14种布拉菲点阵分为7个晶系沿晶体的对称轴或对称面的法向在一般情况下它们构成斜坐标系三个晶轴之间的夹角二晶体的14种布拉菲点阵布拉菲格子
2.4 晶体的对称分类与布拉菲点阵
一、晶体的对称分类
按晶体的对称性特征晶体分类
1.晶族（crystal category）：3个晶族 低级晶族：无高次轴 中级晶族：只有一个高次轴 高级晶族：高次轴多于一个
3.晶类: 属于同一点群的晶体。32个晶类。
二、晶体的14种布拉菲点阵（布拉菲格子）
—— 32种点群描述的晶体对称性 —— 对应的只有14种布拉菲点阵 —— 分为7个晶系

—— 单胞的三个基矢
沿晶体的对称轴或对称面
的法向，在一般情况下，它们构成斜坐标系
三个晶轴之间的夹角
7大晶系的形成

晶体学基础

晶体学基础

0.25A-1 020 120 220
b (110)
010 110 210
(100) b* H110
H 210
(210)
100
c
a
c* 000
a*
200
晶体点阵
倒易点阵
立方晶系晶体及其倒易点阵
第三章 X射线衍射方向
自伦琴发出X射线后，许多物理学家都在积极地研究和探索，1905年 和1909年，巴克拉曾先后发现X射线的偏振现象，但对X射线究竟是一 种电磁波还是微粒辐射，仍不清楚。1912年德国物理学家劳厄发现了 X射线通过晶体时产生衍射现象，证明了X射线的波动性和晶体内部结 构的周期性，发表了《X射线的干涉现象》一文。
cosa0 H cos0 K
衍射线
1' X
1
显然，当X射线照射二 维原子网时，X、Y晶轴 方向上的那些同轴的圆 锥面上的衍射线要能够 加强，只有同时满足劳 厄第一和第二方程，才 能发生衍射。
衍射线只能出现在沿X晶轴方向及Y晶轴方向的两系列 圆锥簇的交线上。如果照相的底片平行于原子网，圆 锥在底片上的迹线为双曲线。每对双曲线的交点即为 衍射斑点，也相当于圆锥的交线在底片上的投影。不 同的H，K值，可得到不同的斑点。
劳厄的文章发表不久，就引起英国布拉格父子的关注，他们都是X射 线微粒论者，年轻的小布拉格经过反复研究，成功地解释了劳厄的实 验事实。他以更简结的方式，清楚地解释了X射线晶体衍射的形成， 并提出著名的布拉格公式：nX=2dsino这一结果不仅证明了小布拉格的 解释的正确性，更重要的是证明了能够用X射线来获取关于晶体结构 的信息。老布拉格则于1913年元月设计出第一台X射线分光计，并利 用这台仪器，发现了特征X射线。小布拉格在用特征X射线与其父亲合 作，成功地测定出了金刚石的晶体结构，并用劳厄法进行了验证。金 刚石结构的测定完美地说明了化学家长期以来认为的碳原子的四个键 按正四面体形状排列的结论。这对尚处于新生阶段的X射线晶体学来 说用于分析晶体结构的有效性，使其开始为物理学家和化学家普遍接 受。

晶体学基础第二章-晶体的32种点群及其符号

晶体学基础第二章-晶体的32种点群及其符号

Dnh群
群
Dn群加上与n重轴垂直且过二重轴的反演面，
共4个
群加上通过n重轴及两根二重轴角平分线
的反演面，
共2个
群只包含旋转反演轴的点群。 其中
共2个
群 —— 立方点群, 含有48个对称操作 群 —— 正四面体点群, 含有24个对称操作 群 —— 立方点群 的24个纯转动操作 群 —— 正四面体点群 的12个纯转动操作
群
群加上中心反演
晶体的宏观对称只有32个不同类型
晶体点群的国际符号符号：
晶体的对称元素间至少有一点重合。
晶体的全部对称元素对应的对称操作的集合——点群。 晶体对称元素组合的推导：
A类组合：高次轴（n > 2）不多于1个 B类组合论证明由10种对称素只能组成32种不同的点群 —— 晶体的宏观对称只有32个不同类型
晶体点群的符号： 国际（Hermann-Mauguin）符号 熊夫利（Schoenflies）符号 C，D，S，T，O i，s，v，h，d
晶体点群的熊夫利符号：
—— 不动操作，只含一个元素，表示没有任何对称性的晶体
回转群
只包含一个旋转轴的点群 —— 下标表示是几重旋转轴
—— 4个
双面群
包含一个n重旋转轴和n个与之对应的二重轴的点群 —— 4个
群
群加上中心反演
群
群加上反演面
群
群加上与n重轴垂直的反演面，共4个
群
群加上含有n重轴的反演面，共4个
任何晶体的宏观对称性只能有以下十种对称元素23晶体的32种点群及其符号一晶体对称元素的组合晶体的对称元素间至少有一点重合晶体的全部对称元素对应的对称操作的集合点群晶体对称元素组合的推导
2.3 晶体的32种点群及其符号

2.晶体学基础

2.晶体学基础

三轴和四轴晶向指数之间的关系
1 t (u v) (U V ) 3 w W 2 1 u U V 3 3 2 1 v V U 3 3
2.2 倒易点阵 倒易点阵是在晶体点阵的基础上按照 一定的对应关系建立起来的空间点阵， 是晶体点阵的另一种表达形式[ 之所以称为倒易点阵，是因为它的基 矢量与晶体点阵存在着倒易关系。为 了便于区别，有时将晶体点阵称为正 点阵
引入倒易点阵的作用
利用倒易点阵处理晶体几何关系和衍射
问题，能使几何关系更清楚，数学推演 更简化。 晶体点阵中的二维平面在倒易点阵中只 对应一个零维的倒易阵点，晶面间距和 取向这两个参量在倒易点阵中只用一个 倒易矢量就可以表达。 衍射花样实际上是满足衍射条件的倒易 阵点的投影，从这个意义上讲，倒易点 阵本身就具有衍射属性
为了从（2-9）式得出倒易基矢量的长度，
将（2-9）式改写成其标量形式：
1 1 1 a* b* c* aCos bCos cCos
（2-10） 式中 、ψ、ω分别为a*与a; b*与 b; c* 与c的夹角

图2-37以倒易基矢量c*为例，画出了它
与正点阵的对应关系 其中OP为c在c*上的投影，同时也是a、 b所构成的（001）晶面的面间距d001 OP=c cosω＝ d001 1 c*= 1/c cosω=
第二章 晶体学基础
2.1 晶体学基础 2.2 倒易点阵 2.3 倒易矢量的基本性质
2.1
晶
体
学 基
础
根据阵胞中阵点位置的不同可将14种布拉菲 点阵分为四类：
（l）简单点阵：用字母P表示。仅在阵胞
的八个顶点上有阵点，每个阵点同时为相 邻的八个平行六面体所共有，因此，每个 阵胞只占有一个阵点。阵点坐标的表示方 法为：以阵胞的任意顶点为坐标原点，以 与原点相交的三个棱边为坐标轴，分别用 点阵周期（a、b、c）为度量单位。阵胞顶 点的阵点坐标为000。
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底心格子（C）：
结点分布在平行六面体的角顶和一对平面的 中心 当该对平面与C轴垂直时为C格子， 与a轴垂直时为A格子， 与b轴垂直时为B格子，
体心格子（I）： (1)结点分布在平行六面体的角顶和平 行六面体的中心。
面心格子（F）： 结点分布在平行六面体的角顶和平行 六面体中每个面的中心 。
14种布拉维点阵的晶胞
空间点阵是晶体中质点排列的几何学抽象， 用以描述和分析晶体结构的周期性和对称性，由于 各阵点的周围环境相同，故它只能有14种类型。 晶体结构是指晶体中实际质点（原子、离子 或分子）的具体排列情况，它们能组成各种类型的 排列，帮实际存在的晶体结构是无限的。
金属的密排六方晶体结构不能看成一种空间点阵！
●
平行六面体：空间格子中的最小单位。
二、晶胞
NaCl空间点阵 / 晶胞
为说明点阵排列的规律和特点，可在点阵中取出一个具有代表性的基本单元 （最小平行六面体）作为点阵的组成单元，称为晶胞。 晶胞作三维的重复堆砌就构成了空间点阵。
晶胞是构成各种晶体构造的最基本单元（最小体积单位）。
如何在空间点阵中选取晶胞？
水 晶
玻 璃
晶体与非晶体中原子排列方式不同，导致性能上出现较大差异：
● 晶体有熔点，而非晶体没有熔点 熔点是晶体物质的结晶态与非结晶态相互转变 的临界温度，一定晶 体其熔点是一恒定值。 固态非晶体是液体冷却时尚未转变为晶体就凝固了，实质上是一种 过冷的液体结构，也称玻璃体，故液固之间的转变温度不固定。 ● 晶体各向异性，而非晶体各向同性 晶体不同方向原子的排列方式不相同，因而其表现的性能也有差异， 称为各向异性。
同一空间点阵可因选取方式不同而得到不相同的晶胞。右图表示在一个二维 点阵中可取出多种不同晶胞。
图2.2 在点阵中选取晶胞
晶胞的选取原则：
1、选取的平行六面体应反映出点阵的最高对称性； 2、平行六面体内的棱和角相等的数目应最多； 3、当平行六面体的棱边夹角存在直角时，直角数目 应最多； 4、在满足上述条件的情况下，晶胞应具有最小的体 积。
相当点（两个条件：1、性质相同，2、周围环境相同。）
5.628Ǻ
2.8148Ǻ
a
b
c
NaCl结构（a、b）及等同点分布（c）
● 等同点：结构中种类、化学性质及周围的环境、方位完全相同的空间位 置。 ● 对NaCl晶体结构，所有Na＋点属于一类等同点，所有Cl－点属于另一类等 同点。等同点位置不限于质点中心，任何位置能引出一类等同点且构成 上图的c图形。
四、14种布拉维点阵
根据结点在单位平行六面体上的分布特征以及平行六面体的划分原则，布拉 维用数学方法推导出能够反映空间点阵全部特征的单位平面六面体只有14种， 这14种空间点阵就称为布拉维点阵 ．
根据结点在单位平行六面体上的分布，空间格子可分为四种：
原始格子（P）： 又称简单格子，结点分布在平行六面体的几个角顶，每 个晶系都有一个原始格子。
若把晶胞角上的一个原子与相应的晶胞
内的一个原子共同组成一个阵点，这样 得出的密排六方结构属于简单六方点阵。
图2.6
密排组成的
具体的晶体结构是多种原子、离子组成的， 使得其重复规律不容易看出来！ 空间点阵就是使其重复规律突出表现出 来。空间格子仅仅是一个体现晶体结构中的 周期重复规律的几何图形，比具体晶体结构 要简单的多。
● 晶轴与轴角：
晶轴是晶格中一个行列的方向，三条晶轴分别 标记为X（或a）轴，Y（或b）轴，Z（或c）轴。 每两个坐标轴之间的交角称为轴角，通常用 、、表示。 对于三方和六方晶系，通常采用四轴定向。
c
c
d
β a γ
a
b
o
b
三轴定向
a
四轴定向
● 轴率与晶体常数：
晶轴是晶格中一个行列的方向，轴单位就是该行 列上的结点间距 X、Y、Z轴上的轴单位分别以a、b、c表示 轴率a:b:c和轴角、、合称晶体几何常数。 它是表示晶体坐标系特征的一组参数。
Cu、NaCl、CaF2结构不同，但同属于面心立方点阵
图2.7
具有相同点阵的晶体结构
Cr和CsCl都是体心立方结构，但是 Cr属于体心立方点阵，CsCl属于简单立方点阵
图2.8
晶体结构相似而点阵不同
作业1： 1、名词解释：晶胞、空间点阵 。 2、(1) a≠b ≠c、α=β=γ=90 的晶体属于什么晶系？ 。 (2) a≠b ≠c、α≠β≠γ=90 的晶体属于什么晶系？ (3)你能否据此确定这2种晶体的布拉维点阵? 思考题： 1、为什么单斜晶系没有F格子？
晶胞（平行六面体）: 结点在三维空间形成的最小单位。 (引出: 晶胞参数：a, b, c; α,β,γ ,也称为轴长与轴角）

a
c
b
三、7大晶系
平行六面体可具有各种不同的形状，各种形状的平行六面体的晶胞参数怎么 样？
平行六面体的形状一共有7种，对应有7套晶胞参数的形式，也对应 7个晶系。
晶系及晶体常数
第二章
晶体学基础
§2.1晶体与非晶体 §2.2 空间点阵 §2.3 晶向指数与晶面指数
§ 2.1 晶体与非晶体
原子排列：无序排列、短程有序、长程有序
无 色 水 晶
食盐
绿 柱 石
玻璃
晶体和非晶体
晶体：
物质质点（分子、原子或离子）在三维空间作有规律的周期性重复排列 所形成的物质。 非晶体： 原子间也靠化学键结合在一起，在整体上是无序的，但在有限小的范 围内有一定规律，可称为近程有序。
布拉维点阵
布拉维点阵 简单三斜 简单单斜 底心单斜 简单正交 底心正交 体心正交 面心正交 简单六方 简单菱方 简单四方 体心四方 简单立方 体心立方 面心立方 晶 系 三斜晶系 单斜晶系
正交晶系
六方晶系 菱方晶系 四方晶系 立方晶系
空间点阵与具体的晶体结构是什么关系？
A、具体的晶体结构与空间点阵是有区别的！
§ 2.2 空间点阵
原子排列在决定固态材料的组织和性能中起着极重要的作用，研究固 态物质内部结构即原子排列和分布规律是了解和掌握材料性能的基础。 一、空间点阵
晶体是内部质点(原子、离子或分子)在三 维空间呈周期性重复排列的固体。
将晶体中的每个质点抽象为规则排列于空间 的几何点。
这些点代表原子、分子或离子的中心，也可
立方晶系没有底心格子?
1.2.3
晶向指数和晶面指数
在材料科学中讨论有关晶体的生长、 形变、相变及性能等问题时，常须涉及晶 体中原子的位置、原子列的方向（称为晶 向）和原子构成的平面（称为晶面）。 为便于确定和区别晶体中不同方位 的晶向和晶面，国际上通常用米勒指数来 统一标定晶向指数和晶面指数。
一、晶体定向 （坐标轴的选择） 晶体定向就是在晶体中按一定规则选择一个 三维坐标系，具体就是选择坐标轴（晶轴）、 晶轴上单位长度（轴单位）及其比值（轴率）
空间格子有下列几种要素存在：
● ●
结点：空间格子中的等同点。
行列：结点在直线上的排列。
行列中相邻结点间的距离称结点间距。同行列方向上结 点间距相等；不同方向的行列，结点间距一般不等。
●
面网：结点在平面上的分布。
单位面积内结点的数目称面网密度；相邻面网间的垂直 距离称面网间距。 相互平行的面网间面网密度和面网间距相等；否则一般 不等且面网密度大的其面网间距亦大。
晶 系 三斜晶系 单斜晶系 正交晶系 六方晶系 三方晶系 四方晶系 立方晶系 轴长及轴角 a b c 90 a b c = = 90，90 a b c = = = 90 a1= a2 = a3 c = = 90, 120 a= b = c = = 90 a= b c = = = 90 a= b= c = = = 90 K2CrO7 β-S，CaSO42H2O α-S，Ga，Fe3C Zn，Cd，Mg，NiAs As，Sb，Bi β-Sn，TiO2 Fe，Cr，Cu，Ag，Au 举 例
是彼此等同的原子群或分子群的中心，各点
的周围环境相同。
这种点在空间规则排列的阵列称为空间点阵， 阵点。
简称点阵，这些点也叫
为便于描述空间点阵的图形，可用许多平行的直线将所有阵点连接起 来，于是就构成一个三维几何格架，称为空间格子，也叫晶格。
导出空间格子的方法：
首先在晶体结构中找出相当点，再将相当点按照一定的规律连接起来就形 成了空间格子。
如何选择晶轴？(应符合晶体固有的对称性）
1）首先要选择对称轴和对称面法线的方向； 若没有对称轴和对称面，则选择平行晶棱 2) 在1)的基础上，应尽可能使晶轴垂直或 趋于垂直，并使轴单位趋近于相等。 即＝＝＝90，a＝b＝c