复杂结构航天器的柔性多体动力学分析

收稿日期:20010226作者简介:仲　昕(1973-),女(汉),山东,博士生E 2m ail :xinzhong 99@sina .com 仲　昕文章编号:100328728(2002)0320387203多柔体系统动力学建模理论及其应用仲　昕,杨汝清,徐正飞,高建华(上海交通大学机器人研究所,上海　200030)摘　要:以往对机械系统进行动力学分析,要么将其抽象为集中质量—弹簧—阻尼系统,要么将其中的每个物体都看作是不变形的刚性体,但如果系统中有一些物体必须计及其变形,就必须对机械系统建立多柔体模型。

本文阐述了柔性体建模理论,并用汽车前悬架多柔体模型进行举例说明。

结果表明多柔体模型的仿真结果较多刚体动力学模型的仿真结果更接近道路试验数据结果,充分验证了多柔体建模的必要性和有效性。

关　键　词:多柔体模型;柔性体建模理论中图分类号:TH 122 文献标识码:AD ynam ic M odeli ng of M ulti -Flex ible Syste m ——Theory and Applica tionZHON G X in ,YAN G R u 2qing ,XU Zheng 2fei ,GAO J ian 2hua (In stitu te of Robo tics ,Shanghai J iao tong U n iversity ,Shanghai 200030)Abstract :In dynam ic analyses of a m echan ical system ,it is often ab stracted as a cen tralized m ass 2sp ring 2damper system ,o r every part in the system is regarded as a rigid body .How ever ,if som e parts defo rm obvi ou sly and their defo rm ati on m u st be taken in to con siderati on ,the m echan ical system m u st be modeled as a m u lti 2flex ib le body .In th is paper ,the flex ib le body modeling theo ry is demon strated firstly .T hen ,an examp le of modeling a k ind of au tomob ile’s fron t su spen si on as a m u lti 2flex ib le system is show n .F inally ,it is show n that the si m u lati on resu lts of m u lti 2flex ib le dynam ic model agree w ith the road test data mo re than tho se of m u lti 2rigid dynam ic model do .T hu s ,it is fu lly testified that u sing m u lti 2flex ib le body theo ry to model is necessary and effective .Key words :M u lti 2flex ib le body ;F lex ib le body modeling theo ry 机械系统一般是由若干个物体组成,通过一系列的几何约束联结起来以完成预期动作的一个整体,因此也可以把整个机械系统叫做多体系统。

多体系统的动力学模型简化方法研究在工程和科学的众多领域中，多体系统的研究具有极其重要的地位。

从机械工程中的复杂机械结构到航空航天领域的飞行器，从生物力学中的人体运动分析到机器人技术的应用，多体系统无处不在。

然而，由于多体系统的复杂性，直接对其进行精确建模和分析往往计算量巨大，甚至在某些情况下是不现实的。

因此，寻求有效的动力学模型简化方法成为解决实际问题的关键。

多体系统动力学模型的复杂性主要源于其组成部分的多样性和相互作用的复杂性。

一个典型的多体系统可能包括刚体、柔体、关节、约束以及各种力和力矩的作用。

在建立模型时，需要考虑物体的几何形状、质量分布、惯性特性等诸多因素，这使得模型的自由度通常非常高，计算难度极大。

为了简化多体系统的动力学模型，一种常见的方法是集中质量法。

这种方法将系统中的物体看作具有集中质量的质点，通过忽略物体的形状和内部结构，大大减少了模型的自由度。

例如，在研究机械臂的运动时，可以将每个连杆视为一个集中质量点，只考虑其质心的运动。

虽然这种方法在一定程度上简化了模型，但也会导致精度的损失，尤其是在物体的形状和质量分布对系统性能有重要影响的情况下。

另一种简化方法是模态综合法。

该方法基于系统的模态特性，将系统的运动分解为一系列模态的叠加。

通过选取主要的模态，可以在保持一定精度的同时显著降低模型的复杂度。

例如，在分析桥梁的振动时，可以只考虑前几阶对振动贡献较大的模态，而忽略高阶模态的影响。

然而，模态综合法的应用需要准确地获取系统的模态信息，这在一些复杂的多体系统中可能并非易事。

子结构法也是一种有效的简化策略。

它将多体系统划分为若干个子结构，分别对每个子结构进行建模和分析，然后通过连接条件将子结构组合起来。

这种方法可以将复杂的系统分解为相对简单的部分进行处理，提高了建模和计算的效率。

比如，在汽车悬架系统的分析中，可以将悬架的各个部件作为子结构进行单独研究。

在实际应用中，还常常采用等效模型的方法。

航天器结构设计与动力学分析方法研究概述：航天器结构设计与动力学分析是航天工程中至关重要的步骤。

结构设计确保航天器在各种工作条件下具有足够的稳定性和强度，而动力学分析则涉及航天器在各种环境下的运动行为和振动特性。

本文将探讨航天器结构设计与动力学分析的方法研究。

一、航天器结构设计方法研究：1. 结构设计的目标：航天器的结构设计主要目标是确保在各种工作条件下具有足够的强度、稳定性和刚度。

为了实现这一目标，可以采用不同的设计方法，如金属结构设计、复合材料结构设计以及混合结构设计。

这些设计方法需要综合考虑载荷、材料特性和制造工艺等因素。

2. 结构设计的流程：航天器结构设计通常遵循以下步骤：(1) 确定设计要求：包括载荷、振动频率、刚度和稳定性等要求。

(2) 选择材料：根据航天器的工作条件和设计要求选择适当的材料，如铝合金、钛合金和碳纤维复合材料等。

(3) 组织结构：设计结构的总体布局和关键连接方式，确保合适的强度和稳定性。

(4) 进行有限元分析：利用有限元分析方法对设计进行验证，评估结构在不同载荷下的应力和变形情况。

(5) 优化设计：根据有限元分析结果对设计进行修改和优化，以满足设计要求。

(6) 制造和测试：根据设计结果制造实际的航天器结构，并进行实验验证。

3. 结构设计的关键技术：航天器结构设计涉及多个关键技术，包括以下几个方面：(1) 强度计算：根据载荷和结构的几何尺寸，进行强度计算，确保结构在各种工况下不产生破坏。

(2) 稳定性分析：通过分析结构的稳定性，预测结构在压力和振动环境下的固有频率和振动形态。

(3) 动态响应分析：通过分析结构在受到外部力或激励时的响应情况，预测结构在运行时的振动和应力特性。

(4) 振动控制技术：对于需要控制振动的航天器结构，可以采用主动振动控制或者被动振动控制技术，减小振动的影响。

二、航天器动力学分析方法研究：1. 动力学分析的目标：航天器的动力学分析主要目标是研究航天器在不同工况下的运动行为和振动特性。

多体系统的动力学分析动力学是研究物体的运动及其产生的原因的学科，对于多体系统的动力学分析，我们需要探究不同物体之间的相互作用以及它们的运动规律。

在这篇文章中，我们将介绍多体系统的动力学分析方法，以及它在不同领域的应用。

1. 多体系统的描述多体系统是由多个物体组成的系统，物体之间可以通过各种相互作用力进行作用。

为了对多体系统进行动力学分析，我们首先需要对每个物体的位置、质量、速度等进行描述。

在经典力学中，可以通过使用牛顿第二定律 F = ma 来描述物体的运动，其中 F 是物体所受的合外力，m 是物体的质量，a 是物体的加速度。

2. 多体系统的相互作用在多体系统中，物体之间可以通过万有引力、电磁力、弹性力等多种相互作用力进行作用。

这些相互作用力是决定多体系统运动规律的重要因素。

在进行动力学分析时，我们需要考虑物体之间的相互作用力，并利用牛顿定律求解物体的运动轨迹。

3. 动力学分析方法在对多体系统进行动力学分析时，我们可以采用多种方法来求解物体的运动规律。

其中，最常用的方法之一是利用微分方程求解。

我们可以根据牛顿第二定律及物体之间的相互作用力建立运动微分方程，然后通过求解微分方程得到物体的位置、速度、加速度的函数关系。

另外，还有一些其他的动力学分析方法，如拉格朗日方法、哈密顿方法等。

这些方法可以根据系统的自由度来建立系统的拉格朗日函数或哈密顿函数，并利用变分原理求解系统的运动方程。

4. 多体系统的应用多体系统的动力学分析在物理学、工程学、天文学、生物学等众多领域都具有重要应用。

在物理学中，通过对多体系统的分析，可以研究宏观物体的运动规律，如行星运动、机械振动等。

在工程学中，动力学分析可以用于设计复杂结构的机械系统、车辆运动仿真等。

在天文学中，动力学分析可以研究星系、恒星运动，以及天体之间的相互作用。

在生物学中，动力学分析可以用于模拟生物体的运动、神经信号传递等。

总结：多体系统的动力学分析是研究物体运动及其相互作用的重要工具。

第29卷　第2期1999年5月25日力　学　进　展ADVANCES IN M ECHAN ICS Vol.29　No.2May 25,1999柔性多体系统动力学的若干热点问题3于　清　洪嘉振上海交通大学工程力学系,上海　200030摘　要　全面综述了柔性多体系统动力学近年来的研究成果.对建模方法、模态选取及模态综合、动力刚化及柔性多体系统动力学中微分-代数方程的数值方法等研究热点进行了详细的阐述,并简要展望了柔性多体系统动力学今后的发展趋势.关键词　柔性多体系统动力学,建模方法,模态,模态综合,动力刚化,微分2代数方程,数值方法1　前　言柔性多体系统动力学研究由刚体和柔性体组成的复杂机械系统在经历大范围空间运动时的动力学行为,是多刚体系统动力学的自然延伸和发展.它主要研究柔性体的变形与其大范围空间运动之间的相互作用或相互耦合,以及这种耦合所导致的动力学效应.柔性体的变形运动与柔性体大范围空间运动的同时出现及其相互耦合是柔性多体系统动力学的本质特征,这个特征使其动力学模型不仅区别于多刚体系统动力学,也区别于结构动力学,是两者的结合与推广.柔性多体系统动力学是与经典动力学、结构动力学、控制理论及计算机技术紧密相联的一门新兴交叉学科,在航空航天、机器人、高速机构及车辆等各个领域有着广泛的应用,成为目前理论和应用力学最活跃的分支之一.虽然柔性多体系统动力学的模型可分别退化为多刚体系统动力学模型和结构动力学模型,但并非二者的简单结合.柔性体大范围空间运动与其弹性变形之间耦合的机理仍需深入研究,且这种耦合给动力学建模及数值计算带来了许多困难,使柔性多体系统与上述两种系统有本质不同的动力学特性.如何更为准确、高效地建立柔性多体系统的动力学模型,如何对柔性体进行模态选取与模态综合,如何处理柔性体经历大范围空间运动时的动力刚化问题,以及针对柔性多体系统动力学数学模型的数值方法的研究是柔性多体系统动力学的研究热点.本文主要针对上述问题进行详细深入的评述,以期较为全面地反映近年来国内外柔性多体系统动力学的研究现状.2　柔性多体系统动力学的建模方法柔性多体系统动力学的建模方法同多刚体系统动力学相似,也可分为绝对坐标和相对坐标收稿日期:1997209221,修回日期:19982022243国家自然科学基金和教育部高等学校博士点专项科研基金资助项目・541・两种方法,所不同的是在每种方法中均引入了有限元节点坐标或模态坐标以表示柔性体的变形.　A. A.Shabana 等[1]用绝对坐标法建立了柔性多体系统的动力学模型,该方法用一致质量有限元方法对柔性体进行离散,柔性体的大范围转动用Euler 四元数来描述.绝对坐标方法具有程式化好、编程方便的优点,许多学者[2,3]的建模方法与此类似.但该方法广义坐标和约束方程较多,计算工作量较大,尤其对大型复杂系统,计算效率较差. E.J.Haug 在用铰相对坐标建立多刚体系统动力学模型[4]的基础上,根据矢量变分方法(Variational 2Vector Calcu 2lus Method )[5]和虚功原理,采用铰相对坐标加模态坐标的方法,建立了开环及含闭环的柔性多体系统的动力学模型[6,7].该方法对柔性体用集中质量有限元方法进行离散,用Euler 四元数描述柔性体的大范围转动.相对坐标方法具有动力学方程广义坐标和约束方程少、计算效率高的优点,但是程式化较绝对坐标方法差.潘振宽、洪嘉振和刘延柱等[8,9]根据Jourdain 变分原理,建立了绝对坐标下单柔体的动力学方程,利用递推关系,提出了相对坐标形式的树形柔性多体系统动力学的单向递推组集建模方法,并将其发展到含闭环的柔性多体系统中[10,11].该方法充分利用了绝对坐标方法建模的程式化形式,以单向递推组集的方法建立系统的动力学方程,具有较高的计算效率.对于闭环系统,该方法建立了绝对坐标下的切断铰约束库,利用递推关系将其转换到铰相对坐标和模态坐标上,得到了微分-代数形式的闭环柔性多体系统动力学方程.3　模态选取及模态综合 在柔性多体系统动力学中,如何描述柔性体的变形是非常重要的.最初的做法是直接将有限元节点坐标作为柔性体变形的广义坐标,这种做法的缺点是动力学方程中广义坐标的数目庞大,对于复杂的大型结构,这种做法使得数值积分几乎不可能进行.为此需要引入结构动力学中的坐标缩聚技术,使用少量的模态坐标代替节点坐标以降低动力学方程的求解规模.传统的做法是选取若干低阶的正则模态作为模态函数,可直接由有限元方法得到,且用正则模态得到的模态质量阵和模态刚度阵均为对角阵,减少了仿真计算的工作量.但正则模态是通过特征值分析得到的,只能较好地解决自由振动问题,而柔性体的变形是在外力、惯性力及联结铰约束反力等动载荷作用下的强迫振动问题,模态的选取必须考虑到动载荷的大小及其频率特性.W.S.Y oo [12]数值实验的结果表明:当柔性体上存在较大的非结构附加质量或联接铰中存在较大的动约束反力时,必须选取较多的正则模态(特别是高阶模态)来描述柔性体的变形,这使得模态坐标阵的维数和广义坐标数目增大,不利于动力学仿真计算.为了解决上述问题,W.S.Y oo [13]、于清和洪嘉振[11]将结构动力学中的静力校正模态引入到柔性多体系统动力学中.其原理为在柔性体受较大动载荷和外力的节点坐标上施加单位力,将由此得到的静变形作为模态坐标阵的一部分.因正则模态可较好地解决自由振动问题,静力校正模态能够反映柔性体在较大动载荷作用下引起的变形,类似于非齐次常微分方程解的构造,可在变形模态阵中同时选取正则模态和少量的静力校正模态,通过Gram 2Schmidt 正交化方法,使它们相互正交.柔性体的变形可表示为u =Ψn αn +Ψs αs (1)其中Ψn 和Ψs 为正则模态坐标阵及静力校正模态坐标阵,分别由特征值分析和静力分析得到,αn 和αs 为与之对应的模态坐标.柔性体的变形模态坐标阵Ψ为Ψ=[Ψn Ψs ](2)此时的模态质量阵Μm 及模态刚度阵Κm 分别为・641・Μm =ΨT ΜΨ=I nn 00ΨT s ΜΨs ,　Κm =ΨT ΚΨ=Λnn00ΨT s ΚΨs (3)其中Μ和Κ分别为柔性体的质量阵和刚度阵,Λnn 为一对角阵,其元素为与Ψn 对应的特征值.W.S.Y oo [12]较详细讨论了静力校正模态选取的方法,但指出静力校正模态的选取无严格的规律可循,绝大多数情况下还得依靠经验.S.H.Shin [14]对静力校正模态在动力学仿真中的应用进行了进一步的讨论,指出:如果由式(3)定义的模态质量阵Μm 中ΨT sΜΨs 矩阵对角元素的绝对值与单位值有数量级的差别,此时的模态质量阵是病态的.为了解决这一问题,可将静力校正模态乘上适当的系数,以保证模态质量阵具有良好的数值性态.另外,模态质量阵Μm 和模态刚度阵Κm 不一定是对角阵,这为动力学仿真带来了额外的工作量.对此可进一步求解如下的特征值问题{Κm -ω2i Μm }Χi =0　(i =1,…,m )(4)特征向量Χi 构成坐标变换阵Χ的列,于是可得到新的模态坐标阵ΦΦ=ΨΧ(5)可以看出,新的模态坐标阵Φ与Μ和Κ分别正交ΦT ΜΦ=Ιmm ,　ΦT ΚΦ=Λm m (6)此时柔性体的弹性变形可表示为u =Φα(7) H.T.Wu [15]分析了采用模态及模态坐标的方法描述柔性体的变形时引入的截断误差.设使柔性体变形的动载荷为F ,其中包括外力、D ’Alembert 惯性力及联接铰动约束反力三部分,截断误差R (t )为R (t )=F -M ΨΨT F +M ΨΛm m α-KΨα=(I m m -M ΨΨT )F -(K Ψ-M ΨΛm m )α(8)(8)式中第一项为用缩聚的模态坐标阵Ψ表示动载荷F 而引入的误差,一般说来,只使用正则模态不能减小此项误差,但选取静力校正模态可降低此项误差.(8)式中第二项当仅选取全部的正则模态时可自动消失.所以同时选取正则模态和静力校正模态作为变形模态坐标阵可降低截断误差,提高动力学仿真的效率.一些学者[16,17]认为模态坐标阵应是时变的,其变化规律由作用在柔性体上的动载荷F (t )决定,因此可引入结构动力学中的Ritz 矢量作为描述柔性体变形的模态坐标阵.其原理为在积分的每一时刻,根据动载荷的特性自动选取一时变的模态坐标阵描述柔性体的变形,使得截断误差较小.Ritz 矢量的计算可分为迭代和正交化两个过程,设所需的Ritz 矢量个数为k ,具体求解步骤为:(1)第一阶Ritz 矢量的计算及其正交化K <′1=F ,　<T 1M <1=19由(9)式可以看出,第一阶Ritz 矢量为柔性体在F (t )作用下的静变形.(2)高阶Ritz 矢量的计算及其正交化:其迭代过程为K <′i =M <i -1　(i =2,…,k )(10)・741・正交化过程首先使需求解的Ritz 矢量同已求得的Ritz 矢量正交,使用Gram 2Schmirdt 方法<″i =<′i -∑i -1j =1c j <j ,　c j =<T j M <′i (j =1,…,i -1)(11)然后使<i 与质量阵M 正交,即<T i M <i =1(12)H. F.Yeh [17]的研究表明用正则模态加少量的Ritz 矢量作为变形模态坐标阵,截断误差R (t )较小,并分析了此时集中质量有限元方法同一致质量有限元方法的差别.模态的选取是柔性多体系统动力学的一个关键问题,直接影响到动力学仿真的成功与否和计算精度及计算效率.其发展趋势为不再仅使用正则模态来描述柔性体的弹性变形,而是同时选取正则模态和少量的修正模态来降低截断误差.各种修正模态应充分应用有限元方法在预处理时的结果以减少仿真计算工作量,但如何准确选取修正模态及其阶数的多少仍是一个值得深入研究的问题.4　动力刚化现象动力刚化现象(Dynamic Stiffening )又称为应力刚度(Stress Stiffening )、几何刚度(G eo 2metric Stiffening )、几何非线性(G eometric Nolinearities )、运动诱发刚度(Motion Induced Stiffening )、初始应力刚度(Initial StressStiffening )[18],已成为柔性多体系统动力学近几年的研究热点之一.动力刚化现象的实质是作大范围空间运动的柔性体因运动和变形之间的相互耦合而导致的柔性体刚度的增大(附加动力刚度).传统的柔性多体系统动力学中,一般采用假设模态或线性有限元的方法来描述柔性体的变形,这种方法计算工作量小,在大部分情况下可满足工程实际的需要.但对作高速运动的柔性多体系统,在一定的条件下传统的建模方法会导致数值仿真的发散.T.R.Kane [19]于1987年指出:当柔性体高速转动时,传统的柔性多体系统动力学模型计算出的柔性体的变形与实验结果相比明显偏大,表现为柔性体刚度的明显减弱.Zhang Dajun 等[20]的结果表明,当细长梁的转动频率达到或超过梁的基频时,传统柔性多体系统动力学模型得到的梁的变形趋于发散.目前对动力刚化现象的分析方法可概括为以下几种典型的方法:(1)非线性有限元方法　在结构动力学非线性有限元方法的基础上,将柔性体的大范围空间运动及其弹性变形统一采用结点位移来表示,得到的动力学方程中包含了因柔性体的大应变而导致的动刚度矩阵.利用这种方法可分析作平面转动的大应变梁[21]和矩形板[22].非线性有限元方法的优点是可充分应用现有的非线性有限元分析软件,但因系统的广义坐标为有限元结点坐标,由此得到的动力学方程广义坐标数目非常庞大,且需采用隐式迭代算法,由此计算效率较低,不适合分析大型的复杂系统.(2)附加刚度法　附加刚度法又称为附加运动刚度法或附加几何刚度法.这种方法认为柔性体在做大范围空间运动时的变形是小变形大应变,变形和应变之间应为非线性关系.如在柔性体的位移-应变关系中过早地进行线性化处理,得到的柔性体的刚度阵为常值阵,不能反映柔性体的刚度与运动状况及应力状态的关系.应保留非线性的位移-应变关系,应用有限元方法得到因大范围空间运动引起的附加刚度.平面细长梁[23]的位移2应变关系较为简单,因此对其动力刚化问题的研究也较为成熟,其刚度矩阵可表示为K =K 0+K S (13)・841・其中K 0为通常的模态刚度阵,为常值阵,K S 为几何非线性刚度阵(附加动刚度阵),是梁轴向应力的函数.I.Sharf [24],C.Damaren [25]研究了空间梁,认为其刚度阵是变形广义坐标α的无穷级数.根据细长梁的位移-应变特性,刚度阵K 可采用Taylor 方法近似表达为K (α)=K 0+12!K G (α)+13!K B (α)(14)其中K G 为a 的线性函数,K B 为a 的二次函数,并且得到了K G ,K B 的显式表达式.J. F.Zhu [26]也从非线性的位移2应变关系出发,得到了均质薄板的动刚度矩阵,其结果较为繁琐.对任意的柔性体,其Green 2Lagrange 形式的应变张量为ε=[ε11　ε22　ε33　2ε12　2ε23　2ε31]T (15)ε中的各元素可表示为εαβ=12(u α,β+u β,α+∑3γ=1u γ,αu γ,β,　u α,β=5u α5c β(16)其中c 为质点位置坐标.由(15)和(16)式可得到[27]ε=L u ,　L ≡L 0+L 1(u )(17)L 0和L 1(u )分别由(16)式中的线性部分和非线性部分导致.柔性体的应力2应变关系为σ=σr +H ε(18)σr 为初始应力[28].应用模态和模态坐标描述柔性体的变形,由变形引起的内力为[29] F C a =[K 0+K a ]a +F r a (19)K a =∫V [L 0Ψ]T σr d V ,　F r a =∫V [L 1(Ψa )Ψ]T σr d V (20)其中K 0为常值的模态刚度阵,K a 为动刚度矩阵.由(19),(20)式可以看出,当考虑到非线性位移2应变关系后,柔性体的刚度增大,是其初始应力σr 的函数. C. E.Padilla [30]也提出了任意形状柔性体的动刚度矩阵,其形式与(19)式相类似.对任意形状的柔性体,显然K a 无显式表达,必须借助有限元得到数值结果.因动刚度矩阵为变形广义坐标或应力的函数,因此在实际仿真过程中,积分的每一步必须重新拼装动刚度矩阵,工作量较大,不利于动力学仿真计算.O.Wallrapp [29]认为动力刚化现象实质上是柔性体的刚度随着其应力状态的变化而变化,除了大范围空间运动外,外力、约束反力也是引起动力刚化现象的因素,柔性体内部应力越大,其动力刚化现象越明显.因(20)式中动刚度与初始应力成线性关系,可应用有限元方法预先计算出与单位影响因素(惯性力、外力、铰约束反力)对应的单位动刚度矩阵,实际仿真计算中,就可以非常方便地得到柔性体的动刚度矩阵.如可预先计算柔性体沿某个方向转动时单位惯性力^F r a 产生的应力而导致的动刚度矩阵^K a ,在仿真计算时惯性力F r a 引起的动刚度矩阵就可方便地表示为K a =^K a (^F r a )F r a (21)A.K.Banerjee [31]就柔性体大范围空间运动引起的运动诱发刚度矩阵提出了一种新的计算方法:在小变形和线弹性假设的前提下,预先将柔性体的动刚度矩阵分解为12个与运动学参数・941・有关的动刚度矩阵(考虑微元的转动效应时为21个),用有限元程序计算出柔性体在单位运动学参数作用下的单位动刚度矩阵.在实际仿真过程中,每个积分时刻只要用单位动刚度矩阵乘以柔性体大范围空间运动学量的幅值,就可得到其动刚度矩阵,极大地简化了仿真计算.(3)变形耦合方法　Zhang Dajun 等[32]认为柔性体刚度的减弱是由于在运动学关系中过早地对变形的广义坐标进行了线性化,忽略了导致刚度增加的非线性项.为了保留弹性变形的非线性特性,将柔性体的变形场用模态坐标的二阶小量描述,形成精确到二阶小量的运动学描述.设保留柔性体的前s 阶模态,变形场可表示为u i =N ij a j +12N ipj a p a j　(i =1,2,3;　p ,j =1,…,s )(22)其中,α为模态坐标,N ij 为传统的形函数,N ipj 为耦合形函数.利用Lagrangian 应变张量和小变形假设,可得到N ipj 的表达式为N ipj =-∫x i 05N kp 5ξi ,5N kj 5ξi d ξi (i =1,2,3)(23)应用Kane 方法,在偏线速度和偏角速度的计算时对模态坐标进行线性化处理,由此也可得到柔性体的动刚度矩阵.但此方法只对简单形状的柔性体如均质梁、均质板有效,对复杂形状的柔性体,(23)式很难得到解析表达式,数值积分也较为困难.(4)子结构方法　S. C.Wu [33],A.Q.Liu [34]提出了解决动力刚化问题的一种数值方法.将柔性体分为若干子结构,认为在子结构中柔性体的变形为小变形、小应变,位移-应变的线性化假设仍然成立.这样,应用已有的柔性多体系统动力学模型就可较好地解决动力刚化问题.在这种方法中,对内部子结构采用了约束模态以满足相容的位移边界条件,因此虽然子结构中的变形是线性的,但整体结构的变形是非线性的.这种方法的优点是对现有的柔性多体系统动力学模型和分析软件不作任何修改就可计及动力刚化效应,但其结果明显依赖子结构的数目,且在各子结构的对接面上必须引入约束方程以满足变形的连续性,对复杂的大型结构,此方法的计算工作量非常大.动力刚化现象到目前为止,仍是柔性多体系统动力学研究的热点和难点,各种方法因在柔性体的变形或位移-应变关系中考虑了不同的附加非线性项,因此都可得到附加的刚度项.但柔性体的刚度与其大范围空间运动之间的内在联系以及导致动力刚化现象的根本原因仍是值得深入研究的课题.目前还没有一种非常通用和程式化的处理动力刚化问题的方法,适合大型通用柔性多体系统动力学仿真软件的开发.对动力刚化现象研究的趋势应是非常清楚的:即必须充分利用有限元技术,在动力学仿真的预处理阶段生成动刚度矩阵或与各种影响因素对应的单位动刚度矩阵,在仿真计算时只需根据柔性体的运动状态或应力状态对其进行简单的处理即可得到柔性体的动刚度矩阵,以最大限度地简化仿真计算.5　柔性多体系统动力学微分-代数方程组的数值方法 受约束柔性多体系统的控制方程为动力学方程(微分方程)同约束方程(代数方程)联立求解的微分2代数混合方程,又称DAE 方程(Differential Algebraic Equations ).据公认的分类术语[35],DAE 方程为指标3问题,与常微分方程不同,在数值计算上存在困难.在仿真过程中随着误差的积累,约束方程的违约加剧,得到的解已不能表示受约束多体系统的真实运动,必须对约束方程的违约进行抑制,使数值积分得以顺利进行.微分-代数方程组的求解方法已成为目前多体系统动力学的难点问题,近二十年来国内外进行了大量的研究工作.目前的研究方法大体可分为两类:一种是从微分-代数方程组本身出发,利用现代数学的研究成果将约束・051・方程定义为流形,对微分-代数方程组进行降阶处理,将其转化为由约束方程定义的流形上的常微分方程[36].这种方法的优点是可以直接应用求解常微分方程的技术,避免约束方程的违约.但在求解过程中必须计算由约束方程定义的流形零空间的基,计算工作量大,对复杂的多体系统,零空间基的计算缺乏成熟的方法,且有时并不唯一;另一种方法是在动力学方程中引入附加校正项,当约束方程产生违约时,对动力学方程进行校正[37].目前的校正方法多为间接校正方法,不能对系统的广义坐标进行直接的校正以满足约束方程.另外,在动力学方程中加入附加校正项需给定校正系数,校正系数太小校正效果不明显,校正系数太大容易引起动力学方程的破坏.目前还没有校正系数的自动选取方法,大都凭经验选取校正系数.对微分-代数方程组的求解方法在文献[38]中已进行了较详细的讨论,本文仅对近年来一些新的校正方法进行综述.设受约束多体系统的广义坐标数为n ,系统受到m 个独立的完整约束,约束方程的一般形式为Θ(y ,t )=0(24)其中y 为系统的广义坐标阵,速度形式和加速度形式的约束方程可分别表示为Θ(y , y ,t )=Θy y -η=0(25)¨Θ(y , y ,¨y ,t )=Θy ¨y -ξ=0(26)其中Θy 为约束方程的Jacobi 矩阵,η和ξ分别为速度和加速度约束方程的右端项.受约束多体系统的动力学方程为Z ΘT y Θy 0¨y μ=z ξ(27)其中Z ,z 分别为系统的广义质量阵和广义力阵,μ为拉格朗日乘子.在数值积分动力学方程(27)时,由于积分误差的影响,得到的y 和 y 不能满足约束方程(24)和(25),即出现违约现象,必须加以校正.511　位移约束方程、速度约束方程同时自动修正方法[39] 设积分步长为h ,在积分的第n +1步对位移约束方程Θ进行Taylor 展开,有Θn +1=Θn +h Θn +h 22¨Θn +O (h 3)(28)若y n 满足¨Θn +h 2 Θn +2h 2Θn =0(29)则恒有Θn +1=O (h 3)(30)即(29)式对位移约束方程有自动修正能力,修正后的动力学方程为Z ΘT y Θy 0¨y μ=z ξ-2h Θ-2h 2Θ(31)方程(31)为稳定的微分方程.同Baumgarte 约束稳定法[40]相比,有α=1h ,　β=2h (32)・151・即上述方法提供了Baumgarte 约束稳定法中校正系数α,β的自动选取方法.但上述方法仍未考虑速度约束方程的违约问题,并可能进一步破坏速度约束方程.为此可对位移约束方程和速度约束方程同时进行Taylor 展开,并且强制Θn +1=O (h 3), Θn +1=O (h 2),可得到Θn =-2h Θn ,　¨Θn =-1h Θn (33)设W (y )是约束Jacobi 矩阵Θy 零空间的一组基,位移约束方程和速度约束方程同时修正后的动力学方程为W T Z 0Θy 0W TZ 0Θy y ¨y =W TZ y -2h ΘW T z -1hΘ(34)W (y )的选取一般可通过对ΘT y 进行QR 分解得到,但并不唯一.512　广义坐标主动校正方法[41,42] 设积分到t =t k 时得到广义坐标为^y k ,当约束方程的违约超过了给定的精度范围时,可认为Θk =Θ(^y k ,t k )≠0.此时需对^y k 加入校正项δy k ,使Θ(y k ,t k )=0,即y k =^y k +δy k(35)并且有Θk =Θ(y k ,t k )=Θ(^y k ,t k )+δΘk =0(36)由(36)式可得到δΘk =-Θ(^y k ,t k )(37)这里Θ(^y k ,t k )假设很小,所以有(Θy )k δy k =-Θ(^y k ,t k )(38)由矩阵的广义逆理论,应用Θy 的Moore 2Penrose 广义逆Θ+y ,此时方程(38)存在极小范数解δy k =-Θ+y Θk =-(Θy )T k (Θy )k (Θy )T k -1Θ(^y k ,t k )(39)将δy k 代入(35)式,广义坐标^y k 得到校正.由(39)式得到的极小范数解有很明确的物理意义,即(39)式不仅对系统的广义坐标进行了校正,使约束方程得到满足,而且因其具有极小范数,意味着在违约得到校正的条件下,极小范数解对广义坐标的校正幅度最小,也就是对系统的动力学方程的破坏最小,由此得到的广义坐标最接近系统的真实运动,这对数值仿真是至关重要的.这种主动校正方法的优点是可重复进行,直到将约束方程的违约控制在任意规定的精度范围内.对速度约束方程的违约可采用类似的方法.微分2代数方程组的求解方法是多体系统动力学的一个难点,目前仍无非常通用和程式化的方法.但其发展趋势是校正方法应自动进行,不需人工干预,且违约校正不能以破坏系统的动力学方程为代价.・251・6　结束语 本文综述了柔性多体系统动力学近年来国内外的研究成果.对柔性多体系统动力学的建模方法、模态的选取与模态综合、动力刚化现象以及柔性多体系统动力学微分-代数方程组的数值方法等研究重点进行了详细的阐述,并对各研究重点今后的发展作了展望.柔性多体系统动力学今后总的发展趋势应为:(1)如何更好地同具体的工程问题相结合.(2)如何面向当今飞速发展的计算机技术.(3)如何将现代控制理论引入柔性多体系统动力学中以解决大型复杂柔性机构的控制问题.(4)如何应用现代数学的研究成果.参　考　文　献1Chen C ,Shabana A A ,Rismantab 2Sany J.G eneralized constraint and joint reaction forces in the inverse dynamics of spatial flexible mechanical systems.Journal of Mechanical Design ,1994,116:777～7842G ofron M ,Shabana A A.E ffect of the deformation in the inertia forces on the inverse d ynamics of planar flexible mechanical systems.Nonlinear Dynamics ,1994,6:1～203陆佑方.柔性多体系统动力学.北京:高等教育出版社,19964Bae D S ,Haug E J.A recursive formulation for constrained mechanical s ystem dynamics :part 1:open loop sys 2tems.Mech S t ruct &M ach ,1987,15(3):359～3825Haug E J ,Wu S C ,K im S S.Dynamics of flexible machines :avaritional a pproach.In :Bianchi G ,Schiehlen W eds.Dynamics of Multibody Systems.Berlin Heidelberg :Springer ,19866K im S S ,Haug E J.A recursive formulation for flexible multibod y dynamics ,part 1:open 2loop 2puter Methods in A pplied Mechanics and Engineering ,1988,71:293～3147K im S S ,Haug E J.A recursive formulation for flexible multibody dynamics ,part 2:closed 2loop 2puter Methods in A pplied Mechanics and Engineering ,1989,74:251～2698潘振宽,洪嘉振,刘延柱.柔性机械臂动力学方程单向递推组集建模方法.力学学报,1993,25(3):327～3339潘振宽,洪嘉振,刘延柱.链状柔性多体机器人动力学研究.固体力学学报,1993,14(4):323～32910于清,洪嘉振.静力校正模态在闭环柔性多体系统动力学仿真中的应用.见:洪嘉振,贾书惠主编.多体系统动力学与控制.北京:北京理工大学出版社,1996:27～3011Yu Qing ,Hong Jiazhen.Static correction modes in dynamic simulation of flexible multibody systems with closed loops.Journal of S hanghai Jiaotong U niversity (English Edition ),1997,E 22(1):17～2012Y oo W S ,Haug E J.Dynamics of articulated structures ,part puter implementation and applications.J S t ruct Mech ,1986,14(2):177～18913Y oo W S ,Haug E J.Dynamics of flexible mechanical systems using vibration and static correction modes.Journal of Mechanisms ,T ransmissions ,and A utom ation in Design ,1986,108:315～32214Shin S H ,Y oo W S.E ffects of mode selection ,scaling ,and orthogonalization on the dynamic analysis of flexible multibody systems.Mech S t ruct &M ach ,1993,21(4):507～52715Wu H T ,et al.Selection of modal basis for flexible bodies of mechanical s ystems.Mech M ach Theory ,1995,30(3):471～48916Wu H T ,Mani N K.Modeling of flexible bodies for multibody dynamic systems using ritz vectors.Journal of Mechanical Design ,1994,116:437～44417Y en H F ,Dopker B.Deformation mode selection and mode orthonormalization for flexible bod y system puters &S t ructures ,1990,34(4):615～62718Ryu J ,K im Sang Sup ,K im Sung S oo.A general approach to stress stiffening effects 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多体系统的机械系统动力学建模与分析在现代工程领域中，对机械系统的精确分析和设计至关重要。

多体系统作为复杂机械系统的典型代表，其动力学特性的研究对于提高系统性能、优化设计以及保障运行安全具有重要意义。

多体系统是由多个相互连接的物体组成，这些物体之间存在着复杂的运动学和动力学关系。

要对这样的系统进行建模和分析，首先需要明确其构成要素和基本概念。

在多体系统中，每个物体都具有一定的质量、惯性和几何形状。

它们通过各种关节和约束相互连接，例如铰链、滑动副、球铰等。

这些连接方式决定了物体之间的相对运动自由度。

同时，外部力和力矩的作用也会影响系统的运动状态。

建模是研究多体系统动力学的基础。

常见的建模方法包括拉格朗日方程法和牛顿欧拉法。

拉格朗日方程法通过定义系统的广义坐标和动能、势能，来建立系统的运动方程。

这种方法在处理具有约束的系统时具有很大的优势。

牛顿欧拉法则从力和力矩的平衡关系出发，分别对每个物体进行分析，然后通过连接条件构建整个系统的方程。

以一个简单的机械臂为例，假设机械臂由多个连杆通过关节连接而成。

我们可以选择每个连杆的转角作为广义坐标，然后根据连杆的质量、长度和转动惯量，计算出系统的动能和势能。

再考虑关节处的驱动力矩和外部负载，利用拉格朗日方程就能得到机械臂的运动方程。

然而，实际的多体系统往往更加复杂，可能包含柔性部件、接触碰撞等现象。

对于柔性多体系统，需要考虑部件的变形和振动，通常采用有限元方法将柔性部件离散化，并与刚体部分进行耦合建模。

而在处理接触碰撞问题时，则需要引入碰撞模型和接触力算法，以准确描述碰撞过程中的能量损失和动量交换。

在建模完成后，接下来就是对模型进行分析。

分析的主要目的是了解系统的运动特性，例如位移、速度、加速度、力和力矩等随时间的变化规律。

这有助于评估系统的性能、预测可能出现的问题，并为设计优化提供依据。

通过数值求解运动方程，可以得到系统在不同初始条件和外部激励下的响应。

常用的数值方法有龙格库塔法、Adams 法等。

柔性多体动力学建模、仿真与控制近二十年来，柔性多体系统多力学（the dynamics of the flexible multibody systems）的研究受到了很大的关注。

多体系统正越来越多地用来作为诸如机器人、机构、链系、缆系、空间结构和生物动力学系统等实际系统的模型。

huston认为：“多体动力学是目前应用力学方面最活跃的领域之一，如同任何发展中的领域一样，多体动力学正在扩展到许多子领域。

最活跃的一些子领域是：模拟、控制方程的表述法、计算机计算方法、图解表示法以及实际应用。

这些领域里的每一个都充满着研究机遇。

”多柔体系统动力学近年来快速发展的主要推动力是传统的机械、车辆、军械、机器人、航空以及航天工业现代化和高速化。

传统的机械装置通常比较粗重，且*作速度较慢，因此可以视为由刚体组成的系统。

而新一代的高速、轻型机械装置，要在负载/自重比很大，*作速度较高的情况下实现准确的定位和运动，这是其部件的变形，特别是变形的动力学效应就不能不加以考虑了。

在学术和理论上也很有意义。

关于多柔体动力学方面已有不少优秀的综述性文章。

在多体系统动力学系统中，刚体部分：无论是建模、数值计算、模拟前人都已做得相当完善，并已形成了相应的软件。

但对柔性多体系统的研究才开始不久，并且柔性体完全不同于刚性体，出现了很多多刚体动力学中不呈遇到的问题，如：复杂多体系统动力学建模方法的研究，复杂多体系统动力学建模程式化与计算效率的研究，大变形及大晃动的复杂多体系统动力学研究，方程求解的stiff数值稳定性的研究，刚柔耦合高度非线性问题的研究，刚-弹-液-控制组合的复杂多体系统的运动稳定性理论研究，变拓扑结构的多体系统动力学与控，复杂多体系统动力学中的离散化与控制中的模态阶段的研究等等。

柔性多体动力学而且柔性多体动力学的发展又是与当代计算机和计算技术的蓬勃发展密切相关的，高性能的计算机使复杂多体动力学的仿真成为可能，特别是计算机的功能今后将有更大的发展，柔性多体必须抓住这个机遇，加强多体动力学的算法研究和软件发展，不然就不是现代力学，就不是现代化。

柔性多体动力学建模、仿真与控制近二十年来，柔性多体系统多力学（the dynamics of the flexible multibody systems）的研究受到了很大的关注。

多体系统正越来越多地用来作为诸如机器人、机构、链系、缆系、空间结构和生物动力学系统等实际系统的模型。

huston认为：“多体动力学是目前应用力学方面最活跃的领域之一，如同任何发展中的领域一样，多体动力学正在扩展到许多子领域。

最活跃的一些子领域是：模拟、控制方程的表述法、计算机计算方法、图解表示法以及实际应用。

这些领域里的每一个都充满着研究机遇。

” 多柔体系统动力学近年来快速发展的主要推动力是传统的机械、车辆、军械、机器人、航空以及航天工业现代化和高速化。

传统的机械装置通常比较粗重，且*作速度较慢，因此可以视为由刚体组成的系统。

而新一代的高速、轻型机械装置，要在负载/自重比很大，*作速度较高的情况下实现准确的定位和运动，这是其部件的变形，特别是变形的动力学效应就不能不加以考虑了。

在学术和理论上也很有意义。

关于多柔体动力学方面已有不少优秀的综述性文章。

在多体系统动力学系统中，刚体部分：无论是建模、数值计算、模拟前人都已做得相当完善，并已形成了相应的软件。

但对柔性多体系统的研究才开始不久，并且柔性体完全不同于刚性体，出现了很多多刚体动力学中不呈遇到的问题，如：复杂多体系统动力学建模方法的研究，复杂多体系统动力学建模程式化与计算效率的研究，大变形及大晃动的复杂多体系统动力学研究，方程求解的stiff数值稳定性的研究，刚柔耦合高度非线性问题的研究，刚-弹-液-控制组合的复杂多体系统的运动稳定性理论研究，变拓扑结构的多体系统动力学与控，复杂多体系统动力学中的离散化与控制中的模态阶段的研究等等。

柔性多体动力学而且柔性多体动力学的发展又是与当代计算机和计算技术的蓬勃发展密切相关的，高性能的计算机使复杂多体动力学的仿真成为可能，特别是计算机的功能今后将有更大的发展，柔性多体必须抓住这个机遇，加强多体动力学的算法研究和软件发展，不然就不是现代力学，就不是现代化。