高中数学第一章立体几何初步1.1简单几何体1.1.2简单多面体课件北师大版

题型一
题型二
题型三
题型四
解:(1)是棱柱,且是四棱柱.因为以长方体相对的两个面作为底面, 它们互相平行且都是四边形,其余各面都是矩形,当然是平行四边 形,并且四条侧棱互相平行,符合棱柱的概念. (2)截面BCFE右上方部分是棱柱,且是三棱柱,其中△BEB1和 △CFC1是底面. 截面BCFE左下方部分也是棱柱,且是四棱柱,其中四边形ABEA1 和四边形DCFD1是底面. 反思对于棱柱,不要只认为底面就是在上下位置,也可以在前后 位置或左右位置.
1
1
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3
4
5
3.如图所示,下列几何体中, 是棱台.
是棱柱,
是棱锥,
解析:由棱柱、棱锥、棱台的定义知,①②③④符合棱柱的定义;⑥ 符合棱锥的定义;⑤符合棱台的定义. 答案:①②③④ ⑥ ⑤
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4.说出四棱台有多少个顶点?多少条棱?多少个面?四棱锥呢? 解:作四棱锥P-ABCD,用平行于底面ABCD的平面A1B1C1D1截该棱 锥得四棱台ABCD-A1B1C1D1,如图所示,由图得四棱台有8个顶点,12 条棱,6个面;四棱锥有5个顶点,8条棱,5个面.
题型一
题型二
题型三
题型四
【变式训练3】 一个正四棱台的高是17 cm,上、下底面边长分 别为4 cm和16 cm.求这个棱台的侧棱长和斜高. 解:如图所示,取上、下底面的中心O1,O,B1C1和BC的中点E1,E. 连接O1O,OE,EE1,O1E1,OB,O1B1. ∵A1B1=4 cm,AB=16 cm, ∴O1E1=2 cm,OE=8 cm,
4.棱台 (1)概念:用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥,底面与截面之 间的部分叫作棱台.原棱锥的底面和截面叫作棱台的下底面和上底 面,其他各面叫作棱台的侧面,相邻侧面的公共边叫作棱台的侧棱. 如图所示.

[思路分析] 本题主要考查棱台和棱锥的联系，解题的关 键是理解棱台的概念和运用好图形中的相似关系，可将棱台还 原为棱锥解决．
第三十三页，共41页。
• [规范解答] 如图所示，将棱台(léngtái)还原 为棱锥，设PO是原棱锥的高，O1O是棱台 (léngtái)的高，
第三十四页，共41页。
∵棱台的上、下底面积之比为 4∶9， ∴它们的底面对应边之比 A1B1∶AB＝2∶3， ∴PA1∶PA＝2∶3. 由于 A1O1∥AO， ∴PPAA1＝PPOO1， 即PO－POO1O＝POP－O 4＝23. ∴PO＝12 cm，即原棱锥的高是 12 cm.
第二十八页，共41页。
• 几何体的结构特征
如图所示，长方体 ABCD－A1B1C1D1.
(1)这个长方体是棱柱吗？如果是，是几棱柱？为什么？ (2)用平面 BCFE 把这个长方体分成两部分后，各部分形成 的几何体还是棱柱吗？如果是，是几棱柱？如果不是，说明理 由．
第二十九页，共41页。
• [思路分析] 根据定义判断．
• [规范解答(jiědá)] (1)是棱柱，并且是四棱柱， 因为以长方体相对的两个面作底面则底面都是 四边形，其余各面都是矩形，当然是平行四边 形，并且四条侧棱互相平行．
• (2)截面BCFE上方部分是棱柱，且是三棱柱 BEB1－CFC1，其中△BEB1和△CFC1是底 面，截面BCFE下方部分也是棱柱，且是四棱 柱ABEA1－DCFD1，其中四边形ABEA1和 DCFD1是底面．
• [答案] C • [规范解答] 当棱柱的底面是正三角形，且所
有(suǒyǒu)侧面都是矩形时，侧棱一定与底面 垂直，即棱柱是直棱柱，又底面为正三角形， 所以棱柱是正三棱柱．
第二十一页，共41页。

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第一章 立体几何初步 1.1简单旋转体 习题1—1 习题1—2 3.1简单组合体的三视图 习题1—3 4.1空间图形基本关系的认识 习题1—4 5.2平行关系的性质 6.垂直关系 6.2垂直关系的性质 7.简单几何体的面积和体积 7.2棱柱、棱锥、棱台和圆柱、圆锥、圆台的体积 习题1—7 课题学习 正方体截面的形状 复习题一 1.直线与直线的方程
第一章 立体几何初步
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1.简单几何体
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1.1简单旋转体
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1.2简单多面体
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习题1—1
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认识一个几何体，要看它的结构特征，并且要结 合它的面的具体形状，棱与棱之间的关系，分析它符 合哪种几何体的结构特征或是由哪些几何体组合而 成的几何体，并能用适当的平面将其分割开．
练一练
2．如图，将装有水的长方体水槽固定底面一边后将水槽倾斜 一个小角度，则倾斜后水槽中的水形成的几何体是( )
A．棱柱
讲一讲
1. 给出下列几个结论：
①长方体一定是正四棱柱；
②棱锥的侧面为三角形，且所有侧面都有一个公共顶点；
③多面体至少有四个面；
④棱台的侧棱所在直线均相交于同一点．
其中，错误的个数是( )
A．0
B．1
C．2
D．3
[自主解答] 对于①，长方体的底面不一定是正方形，故①错， ②显然是正确的；对于③，一个图形要成为空间几何体，至少 需有四个顶点．当有四个顶点时，易知它可围成四个面，因而 一个多面体至少应有四个面，而且这样的面必是三角形，故③ 是正确的；对于④，棱台的侧棱所在的直线就是截得原棱锥的 侧棱所在的直线，而棱锥的侧棱都有一个公共的点，即棱锥的 顶点，于是棱台的侧棱所在的直线均相交于同一点，故④是正 确的．
提示：不是锥体．因为锥体的各侧棱必交于一点，而此 物体不具备这一特征，所以不是锥体．
2．“有一个面是多边形，其余各面都是三角形”的几 何体一定是棱锥吗？
提示：棱锥有一个面是多边形，其余各面 都是三角形． 但是也要注意“有一个面是多边形，其余各面都是三角形” 的几何体未必就是棱锥，如图所示的几何体满足各面都 是三角形，但这个几何体不是棱锥．
讲一讲 2. 如图几何体中，四边形 AA1B1B 为边长为 3 的正方 形，CC1＝2，CC1∥AA1，CC1∥BB1，请你判断这个几何 体是棱柱吗？若是棱柱，指出是几棱柱．若不是棱柱，请你 试用一个平面截去一部分，使剩余部分是一个侧棱长为 2 的 三棱柱，并指出截去的几何体的特征， 在立体图中画出截面．

【 探究 4】
长 方体中， a ， b ， c 为棱长，且 a>b>c ，求沿长
方体表面从 P 到 Q 的最小距离 ( 其中 P ， Q 是长方体对角线 的两个端点)．
解 将长方体展开，有三种情况(如图)．
d1＝ a2＋b＋c2＝ a2＋b2＋c2＋2bc， d2＝ c2＋a＋b2＝ a2＋b2＋c2＋2ab， d3＝ b2＋a＋c2＝ a2＋b2＋c2＋2ac， 因为 a>b>c，故 dmin＝d1＝ a2＋b＋c2.
答案 D
规律方法 棱柱的结构特征： (1)两个面互相平行； (2)其余各面都是四边形；
(3)每相邻两个四边形的公共边都互相平行．
求解时，首先看是否有两个平行的面作为底面，再看是否满 足其他特征．
【训练 1】 名称：
根 据下列关于空间几何体的描述，说出几何体
(1)由6个平行四边形围成的几何体．
(2)由8个面围成，其中两个面是平行且全等的六边形，其
定底面
看侧棱
只有一个面是多边形， 两个互相平行的面，即为底 此面即为底面 相交于一点 面 延长后相交于一点
【训练2】 如图，三棱台A′B′C′－ABC
截去三棱锥A′－ABC后，剩余部分是( 解析 剩余部分是四棱锥A′－BB′C′C. 答案 B ) A．三棱锥 B．四棱锥 C．三棱台 D．四棱柱
互动 探究
1． 2
简单多面体
学习目标 1.通过对实物模型的观察，归纳认知简单多面体— —棱柱、棱锥、棱台的结构特征(重点)；2.能运用棱柱、棱锥、 棱台的结构特征解决简单多面体的有关计算(重、难点)．
知识点一 多面体 我们把若干个平面多边形围成的几何体叫作 多面体 ．其 中棱柱、棱锥、棱台都是 简单多面体 ．

解析：①三线平行公理，②两直线同时平行于一平面，这两 直线可相交、平行或异面，③两平面同时平行于一直线，这两个 平面相交或平行，④面面平行的传递性，⑤一直线和一平面同时 平行于另一直线，这条直线和这个平面平行或直线在平面内，⑥ 一直线和一平面同时平行于另一平面，这条直线和这个平面可能 平行也可能直线在平面内，故①④正确．故选 C.
【例 5】 如图所示一个圆锥形容器和一个圆柱形容器，它 们的轴截面尺寸如图所示，两容器内所盛液体的体积正好相等， 且液面高度 h 正好相同，求 h.
【解答】 设圆锥形容器的液体面的半径为 R，
则液体的体积为13πR2h.
圆柱形容器内的液体体积为 π(a2)2h，
根据题意，有13πR2h＝π(a2)2h.解得 R＝ 23a.
证明：EF∥B1C.
证明：由正方形的性质可知 A1B1∥AB∥DC，且 A1B1＝AB＝ DC，所以四边形 A1B1CD 为平行四边形，从而 B1C∥A1D，又 A1D 平面 A1DFE，B1C⃘平面 A1DFE，于是 B1C∥平面 A1DFE.又 B1C ⊂平面 B1CD1，平面 A1DFE∩平面 B1CD1＝EF，所以 EF∥B1C.
【例 3】 如图，直棱柱 ABCD－A1B1C1D1 中，底面 ABCD 是直角梯形．∠BAD＝∠ADC＝90°，AB＝2AD＝2CD＝2.
(1)求证：AC⊥平面 BB1C1C； (2)在 A1B1 上是否存在一点 P，使得 DP 与平面 ACB1 和平面 BCB1 都平行？请证明你的结论． 【思路探究】 A1B1 的中点即是存在的 P 点，可证明 B1P ∥DC，且 B1P＝DC.
3
再根据圆锥轴截面与内盛液体轴截面是相似三角形，得
2a a
＝ha，所以

•(2)求旋转体侧面上两点间距离的最小值是一种常见 的问题，常利用侧面展开图转化为平面上两点间线段 最短问题．求解时，注意图形特征，常构造直角三角 形，利用勾股定理等知识求解．这正是将空间几何问 题转化为平面几何问题的体现．
• 课堂达标 • 1．下图是由哪个平面图形旋转得到的
()
• 答案 D
• 2．过球面上任意两点A、B作大圆，可能的个数 是( )
则h＋h h1＝
49＋1 2， 1
h＋hh1＋h2＝
49， 1
所以hh21＝＝24hh，，
即 h1∶h2＝2∶1.
• 【探究3】 一个圆锥的底面半径为2，高为6， 且有一个高为x的内接圆柱．
• (1)用x表示出圆柱的轴截面面积S； • (2)当x为何值时，S取得最大值？
解 作出圆锥和内接圆柱的轴截面，如图． 设圆柱的底面半径为 r，则由三角形相似可 得6x＝2－2 r，解得 r＝2－3x，x∈(0,6)． (1)圆柱的轴截面面积 S＝2r·x＝2x·2－3x＝ －23x2＋4x，x∈(0,6)． (2)∵S＝－23x2＋4x＝－23(x－3)2＋6，∴当 x＝3 时，S 取得最大值， 最大值为 6.
•规律方法 (1)平面图形以一边所在直线为轴旋转时， 要过有关顶点向轴作垂线，然后想象所得旋转体的 结构和组成．
•(2)必要时作模型培养动手能力．
• 【训练2】 已知AB是直角梯形ABCD中与底边垂 直的
• 腰，如图所示．分别以AB，BC，CD，DA所在 的直
• 线为轴旋转，试说明所得几何体的结构特征．
ห้องสมุดไป่ตู้
• 【探究4】 如图所示，用一个平行于圆锥SO底
面的平面截这个圆锥，截得圆台上、下底面的面
积之比为1∶16，截去的圆锥的母线长是3 cm，求 圆台O′O的母线长．

K12课件
12
做一做4 如图所示的几何体中是棱台的有( )
A.1个
B.2个 C.3个 D.4个
K12课件
13
解析:①③⑤是棱柱,②是多面体,④为圆柱,⑦为棱锥,⑥为棱台.
所以答案为A. 答案:A
K12课件
14
K12课件
15
思考辨析 判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内打“√”,错误的打
思想方法
K12课件
19
探究一
探究二
探究三
探究四
思想方法
变式训练1 下列说法中正确的是
.
①在正方体上任意选择4个不共面的顶点,它们可能是正四面体的4
个顶点;
②底面是等边三角形,侧面都是等腰三角形的三棱锥是正三棱锥;
③若有两个侧面垂直于底面,则该四棱柱为直四棱柱;
④一个棱锥可以有两条侧棱和底面垂直;
⑤所有侧面都是正方形的四棱柱一定是正方体.
.(填序号)
①多面体只包括边界,不包括内部,是平面围起来的“壳”;
②多面体一定有体对角线;
③半球体是多面体;
④圆台为多面体;
⑤长方体为多面体.
解析:多面体为“实心”的体,①错误;四面体没有体对角线,②错误;半
球体由曲面围成,不是多面体,③错误;同样④错误;⑤正确.
答案:⑤
K12课件
4
2.棱柱 (1)棱柱的定义:两个面互相平行,其余各面都是四边形,并且每相邻 两个四边形的公共边都互相平行,这些面围成的几何体叫作棱柱. (2)棱柱的有关概念
①棱柱中两个互相平行的面叫作棱柱的底面,其余各面叫作棱柱的
侧面,棱柱的侧面是平行四边形.
②两个面的公共边叫作棱柱的棱,其中两个侧面的公共边叫作棱柱

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l ,l
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知识探究（二）：平面的基本性质1
思考1:如果直线l与平面α有一个公共 点P，那么直线l是否在平面α内?
思考2:如图，设直线l与平面α有一个 公共点A，点B为Eva直lu线atiol上n o另nly一. 个点，当 te点各d wB点逐ith与C渐Ao平spp与yo面rsi平gehα.tS面2l的i0dα0e位4s靠-f2置o0r近1.关1N时EA系Ts，p3如o.直s5何eC线Pl变iteyln上化Lt tPd其？r.o余file 5.2
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思考6:当两个平面相交时，你认为下列 哪个图形的立体感强？你能指出其画法 要点吗？
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(1)画出交线；(2)被遮挡部分画虚线.
高中数学第一章立体几何初步平面课 件北师大必修
51、没有哪个社会可以制订一部永远 适用的 宪法， 甚至一 条永远 适用的 法律。 ——杰 斐逊 52、法律源于人的自卫本能。——英 格索尔
53、人们通常会发现，法律就是这样 一种的 网，触 犯法律 的人， 小的可 以穿网 而过， 大的可 以破网 而出， 只有中 等的才 会坠入 网中。 ——申 斯通 54、法律就是法律它是一座雄伟的大 夏，庇 护着我 们大家 ；它的 每一块 砖石都 垒在另 一块砖 石上。 ——高 尔斯华 绥 55、今天的法律未必明天仍是法律。 ——罗·伯顿
空间，进而增强了学E习v的al兴ua趣ti。on only. ted 二重wi、点th教：A学1s、重p平o点面s、e的难.S概点l念id及es表f示or；.2N、E平T面3的.5基C本li性en质t，P注ro意fi他le 5.2