最新高三教案-分段函数的极限习题 精品

微专题18 分段函数10种常考题型总结题型1 分段函数求函数值题型2 已知函数值求参数题型3 解分段函数不等式题型4 分段函数的图象题型5 分段函数的单调性题型6 分段函数的奇偶性题型7 分段函数的值域或最值题型8 分段函数与零点问题题型9 max/min 型分段函数题型10 新定义题一、分段函数1、分段函数的定义函数y x =与函数,0,0x x y x x ³ì=í-<î是同一函数，但在表达方式上有所区别，前者在定义域内有一个表达式，而后者的定义域被分成两部分，而在不同的部分有不同的解析式．在函数的定义域内，对于自变量x 在不同取值范围内，函数有着不同的对应关系，这样的函数通常叫作分段函数．2、对分段函数的理解（1）分段函数是一个函数而不是几个函数。

处理分段函数问题时，首先要确定自变量的取值属于哪一个范围，从而选择相应的对应关系；（2）分段函数的定义域是各段自变量取值范围的并集，各段定义域的交集是空集；（3）分段函数的值域是各段函数在对应自变量的取值范围内值域的并集．3、分段函数常见的几种类型（1）取整函数：()[]f x x =（[]x 表示不大于x 的最大整数）．（2）1,()(1)1,x x f x x -ì=-=íî为正奇数为非负偶数．（3）含绝对值符号的函数．如2,2()|2|(2),2x x f x x x x +³-ì=+=í-+<-î．（4）自定义函数．如21,1(),122,2x x f x x x x x x--£-ìï=--<£íï->î二、有关分段函数的求解问题1、分段函数的表达式因其特点可以分解成两个或两个以上的不同表达式，所以它的图象也由几部分构成，有的可以是光滑的曲线段，有的也可以是一些孤立的点或线段，而分段函数的值域，也就是各部分的函数值集合的并集，最好的求解方法是“图象法”。

（完整版）⾼中数学《函数的极限》教案课题：2.3函数的极限(⼆)教学⽬的：1.理解函数在⼀点处的极限，并会求函数在⼀点处的极限．2.已知函数的左、右极限，会求函数在⼀点处的左右极限．3.理解函数在⼀点处的极限与左右极限的关系教学重点：掌握当0x x →时函数的极限教学难点：对“0x x ≠时，当0x x →时函数的极限的概念”的理解授课类型：新授课课时安排：1课时教具：多媒体、实物投影仪内容分析：上节课我们学习了当x 趋向于∞即x →∞时函数f (x )的极限.当x 趋向于∞时，函数f (x )的值就⽆限趋近于某个常数a .我们可以把∞看成数轴上的⼀个特殊的点.那么如果对于数轴上的⼀般的点x 0，当x 趋向于x 0时，函数f (x )的值是否会趋近于某个常数a 呢？教学过程：⼀、复习引⼊： 1.数列极限的定义：⼀般地，如果当项数n ⽆限增⼤时，⽆穷数列}{n a 的项n a ⽆限趋近于．．．．．某个常数a （即n a a -⽆限趋近于0），那么就说数列}{n a 以a 为极限，或者说a 是数列}{n a 的极限．记作lim n n a a →∞=，读作“当n 趋向于⽆穷⼤时，n a 的极限等于a ”“n →∞”表⽰“n 趋向于⽆穷⼤”，即n ⽆限增⼤的意思n a a →∞=有时也记作：当n →∞时，n a →a ． 2.⼏个重要极限：（1）01lim=∞→n n （2）C C n =∞→lim （C 是常数）（3）⽆穷等⽐数列}{nq （1""→q q nn3.函数极限的定义:(1)当⾃变量x 取正值并且⽆限增⼤时，如果函数f (x )⽆限趋近于⼀个常数a ，就说当x 趋向于正⽆穷⼤时，函数f (x )的极限是a . 记作：+∞→x lim f (x )=a ，或者当x →+∞时，f (x )→a .(2)当⾃变量x 取负值并且绝对值⽆限增⼤时，如果函数f (x )⽆限趋近于⼀个常数a ，就说当x 趋向于负⽆穷⼤时，函数f (x )的极限是a . 记作-∞→x lim f (x )=a 或者当x →－∞时，f (x )→a .(3)如果+∞→x lim f (x )=a 且-∞→x lim f (x )=a ，那么就说当x 趋向于⽆穷⼤时，函数f (x )的极限是a ，记作：∞→x lim f (x )=a 或者当x →∞时，f (x )→a .4.常数函数f (x )=c .(x ∈R )，有∞→x lim f (x )=c .∞→x lim f (x )存在，表⽰+∞→x lim f (x )和-∞→x lim f (x )都存在，且两者相等.所以∞→x lim f (x )中的∞既有+∞，⼜有－∞的意义，⽽数列极限∞→x lim a n 中的∞仅有+∞的意义⼆、讲解新课： 1.研究实例(1)探讨函数2x y =，当x ⽆限趋近于2时的变化趋势．当x 从左侧趋近于2时，记为：-→2x ．当x 从右侧趋近于2时, 记为：+→2x .发现（左极限）22lim 2x x -→=,（右极限）22lim 2x x +→=,因此有22lim 2x x →=． (2)我们再继续看112--=x x y ,当x ⽆限趋近于1（1≠x ）时的变化趋势:211,(1)1x y x x x -==+≠-,当x 从左侧趋近于1时，即1x -→时，2y →．当x 从右侧趋近于1时, 即1x +→时，2y →．即（左极限）2111(1)21lim lim x x x x x --→→-=+=-，（右极限）2111(1)21lim lim x x x x x ++→→-∴=+=- 2111(1)21lim lim x x x x x →→-∴=+=-(3)分段函数1(0)()0(0)1(0)x x f x x x x +>??==??-当x →0的变化趋势.①x 从0的左边⽆限趋近于0，则()f x 的值⽆限趋近于－1.即0lim ()1x f x -→=- ②x 从0的右边⽆限趋近于0，则()f x 的值⽆限趋近于1. 即0lim ()1x f x +→= 可以看出00lim ()lim ()x x x x f x f x -+→→≠，并且都不等于(0)0f =．象这种情况，就称当0x →时，()f x 的极限不存在．2. 趋向于定值的函数极限概念：当⾃变量x ⽆限趋近于0x （0x x ≠）时，如果函数)(x f y =⽆限趋近于⼀个常数a ，就说当x 趋向0x 时，函数)(x f y =的极限是a ，记作0lim ()x x f x →=特别地，C C x x =→0lim ；00lim x x x x =→3. 0lim ()lim ()lim ()x x x x x x f x a f x f x a -+→→→=?==其中0lim ()x x f x a -→=表⽰当x 从左侧趋近于0x 时的左极限，0lim ()x x f x a +→=表⽰当x 从右侧趋近于0x 时的右极限三、讲解范例：例1求下列函数在X ＝0处的极限（1）121lim 220---→x x x x （2）x x x 0lim →（3）=)(x f 22,00,01,0x x x x x ?>?=??+解：（1）220011lim lim 12121x x x x x x x →→-+==--+ （2）000lim 1,lim 1lim x x x x x xx x x-+→→→=-=?不存在．（3）=)(x f 22,00,01,0x x x x x ?>?=??+20lim ()lim(1)1,lim ()lim 21xx x x x f x x f x --++→→→→?=+=== 0lim ()lim ()1lim ()1x x x f x f x f x -+→→→?==?=．四、课堂练习：1．对于函数12+=x y 填写下表，并画出函数的图象，观察当x ⽆限趋近于1时的变化趋势，说出当1→x 时函数12+=x y 的极限2．对于函数12-=x y 填写下表，并画出函数的图象，观察当x ⽆限趋近于3时的变化趋势，说出当3→x 时函数12-=x y 的极限3.求如下极限：⑴121lim 221---→x x x x ; ⑵32302)31()1(lim x x x x x +-+-→; ⑶)cos (sin 2lim 22x x x x --→π⑷2321lim4--+→x x x ;⑸xa x a x -+→20lim（0>a ）; ⑹x x 1lim 0→答案：⑴2211112lim lim 21213x x x x x x x →→-+==--+ ⑵ 323 00(1)(13)3lim lim 3212x x x x x x x x →→-+--==-++ ⑶222lim 2(sin cos )22x x x x ππ→--=-⑷443x x →→==⑸012x x a x a→→== ⑹x x 1lim 0→不存在．五、⼩结：六、课后作业：七、板书设计（略）⼋、课后记：。

专题七 分段函数的性质与应用分段函数是函数中比较复杂的一种函数，其要点在于自变量取不同范围的值时所使用的解析式不同，所以在解决分段函数的问题时要时刻盯着自变量的范围是否在发生变化。

即“分段函数——分段看” 一、基础知识：1、分段函数的定义域与值域——各段的并集2、分段函数单调性的判断：先判断每段的单调性，如果单调性相同，则需判断函数是连续的还是断开的，如果函数连续，则单调区间可以合在一起，如果函数不连续，则要根据函数在两段分界点出的函数值（和临界值）的大小确定能否将单调区间并在一起。

3、分段函数对称性的判断：如果能够将每段的图像作出，则优先采用图像法，通过观察图像判断分段函数奇偶性。

如果不便作出，则只能通过代数方法比较()(),f x f x -的关系，要注意,x x -的范围以代入到正确的解析式。

4、分段函数分析要注意的几个问题（1）分段函数在图像上分为两类，连续型与断开型，判断的方法为将边界值代入每一段函数（其中一段是函数值，另外一段是临界值），若两个值相等，那么分段函数是连续的。

否则是断开的。

例如：()221,34,3x x f x x x -≤⎧=⎨->⎩，将3x =代入两段解析式，计算结果相同，那么此分段函数图像即为一条连续的曲线，其性质便于分析。

再比如 ()221,31,3x x f x x x -≤⎧=⎨->⎩中，两段解析式结果不同，进而分段函数的图像是断开的两段。

（2）每一个含绝对值的函数，都可以通过绝对值内部的符号讨论，将其转化为分段函数。

例如：()13f x x =-+，可转化为：()13,113,1x x f x x x -+≥⎧=⎨-+<⎩ 5、遇到分段函数要时刻盯住变量的范围，并根据变量的范围选择合适的解析式代入，若变量的范围并不完全在某一段中，要注意进行分类讨论6、如果分段函数每一段的解析式便于作图，则在解题时建议将分段函数的图像作出，以便必要时进行数形结合。

示范教案整体设计教学分析本节教材通过两个实例分析了分段函数的概念及简单应用．分段函数能够考查学生的逻辑思维能力，所以有关分段函数问题是高考热点和重点，在新课标中也有明确说明．因此要重视本节的教学．掌握分段函数的含义及其简单应用，提高学生的逻辑思维能力和应用能力，树立应用意识．重点难点教学重点：分段函数的含义及应用． 教学难点：理解分段函数的含义． 课时安排 1课时教学过程 导入新课思路1.随着生活水平的提高，坐出租车的人越来越多，设行驶路程为x km ，费用为y 元，请结合当地实际，判断y 是否为x 的函数？学生回答后，教师让学生书写其解析式，此时，点出课题．思路2.在今后的学习中，会经常遇到一类函数，是高考的重点和热点，教师点出课题．推进新课 新知探究 提出问题1已知变量x ，y 满足下列等式，y 是x 的函数吗？①|y|＝x ；②y ＝⎩⎪⎨⎪⎧ 1，x>3，2，x≤2；③y ＝⎩⎪⎨⎪⎧ x ，x≥0，－x ，x<0.2函数y ＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x>3，2，x≤2与函数y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，x≥0，－x ，x<0有什么特点？3请指出2中两个分段函数的定义域.讨论结果：(1)根据函数的定义，仅有②和③中，y 是x 的函数． (2)在函数的定义域内，对于自变量x 的不同取值区间，有着不同的对应法则，我们称这类函数为分段函数．分段函数不是几个函数，而是一个函数．(3)函数y ＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x>3，2，x≤2的定义域是(－∞，2]∪(3，＋∞)．函数y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，x≥0，－x ，x<0的定义域是(－∞，0)∪[0，＋∞)，即R .由以上可见，分段函数的定义域是“每段”自变量取值范围的并集．应用示例思路1例1已知一个函数y ＝f(x)的定义域为区间[0,2]，当x ∈[0,1]时，对应法则为y ＝x ，当x ∈(1,2]时，对应法则为y ＝2－x ，试用解析法与图象法分别表示这个函数．解：已知的函数用解析法可表示为y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，x ∈[0，1]，2－x ，x ∈1，2]，用图象表达这个函数，它由两条线段组成，如下图所示．点评：本题主要考查分段函数．所谓分段函数是指在定义域的不同部分，其解析式不同的函数．注意：分段函数是一个函数，不要把它误认为是几个函数；分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集．生活中有很多可以用分段函数描述的实际问题，如出租车的计费、个人所得税纳税额等等.变式训练已知函数f(x)在[－1,2]上的图象如下图所示，求f(x)的解析式．解：观察图象，知此函数是分段函数，并且在每段上均是一次函数，利用待定系数法求出解析式为：当－1≤x≤0时，f(x)＝x ＋1；当0＜x≤2时，f(x)＝－x2，邮资160分，超过40 g 不超过60 g 付邮资240分，依此类推，每封x g(0＜x≤100)的信应付多少分邮资(单位：分)？写出函数的表达式，作出函数的图象，并求函数的值域．解：设每封信的邮资为y ，则y 是信封重量x 的函数．这个函数关系的表达式为：f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧80，x ∈0，20]160，x ∈20，40]240，x ∈40，60]320，x ∈60，80]400，x ∈80，100]函数的值域为{80,160,240,320,400}．根据上述函数的表达式，在直角坐标系中描点，作图．这个函数的图象如上图所示． 点评：本题主要考查分段函数的解析式和图象．求分段函数的函数值时，要注意自变量在其定义域的哪一段上，依次代入分段函数的解析式．画分段函数y ＝⎩⎪⎨⎪⎧f 1x ，f 2x ，…，x ∈D 1，x ∈D 2，…(D 1，D 2，…，两两交集是空集)的图象步骤是：(1)画整个函数y ＝f 1(x)的图象，再取其在区间D 1上的图象，其他部分删去不要；(2)画整个函数y ＝f 2(x)的图象，再取其在区间D 2上的图象，其他部分删去不要； (3)依次画下去；变式训练国内跨省市之间邮寄信函，每封信函的质量和对应的邮资如下表：信函质量 (m)/g 0＜m≤20 20＜m≤40 40＜m≤60 60＜m≤80 80＜m≤100邮资(M)/元1.202.403.604.806.00邮资是否是信函质量的函数？如果是函数，画出图象，并写出函数的解析式．活动：学生回顾思考常数函数的图象形状和分段函数的含义．教师适当时加以提示． 解：邮资是信函质量的函数，函数图象如下图．⎪⎧1.20，0<m≤202.40，20<m≤40例1请画出下面函数的图象：y ＝|x|＝⎩⎪⎨⎪⎧ x ，－x ，x≥0，x<0.解法一：函数y ＝|x|的图象如下图所示．解法二：画函数y ＝x 的图象，将其位于x 轴下方的部分对称到x 轴上方，与函数y ＝x的图象位于x 轴上方的部分合起来得函数y ＝|x|的图象(如上图所示).变式训练已知函数y ＝⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋4，x 2－2x ，－x ＋2，x≤0，0<x≤4，x>4.(1)求f{f[f(5)]}的值；(2)画出函数的图象．分析：f(x)是分段函数，要求f{f[f(5)]}，需要确定f[f(5)]的取值范围，为此又需确定f(5)的取值范围，然后根据所在定义域代入相应的解析式，逐步求解．画出函数在各段上的图象，再合起来就是分段函数的图象．解：(1)∵5＞4，∴f(5)＝－5＋2＝－3. ∵－3＜0，∴f[f(5)]＝f(－3)＝－3＋4＝1. ∵0＜1＜4，∴f{f[f(5)]}＝f(1)＝12－2×1＝－1， 即f{f[f(5)]}＝－1.(2)图象如下图所示.例2某质点在30 s 内运动速度v 是时间t 的函数，它的图象如下图．用解析法表示出这个函数，并求出9 s 时质点的速度．解：速度是时间的函数，解析式为 v(t)＝⎩⎪⎨⎪⎧ 10＋t ，3t ，30，－3t ＋90，t ∈[0，5，t ∈[5，10，t ∈[10，20，t ∈[20，30].变式训练若定义运算a ⊙b ＝⎩⎪⎨⎪⎧ b ，a ， a≥b ，a<b ，则函数f(x)＝x ⊙(2－x)的值域是________．解析：由题意得f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧ x ，2－x ，x≤1，x>1.画函数f(x)的图象得值域是(－∞，1]．答案：(－∞，1]知能训练1．函数y ＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x>0，0，x ＝0，－1，x<0的定义域是( )A ．RB ．{0}C ．∅D ．(－∞，0)∪(0，＋∞)答案：A2．函数y ＝⎩⎪⎨⎪⎧2，x≥0，－2，x<0的值域是( )A ．{2}B ．{2，－2}C ．{－2}D ．R答案：B3．设f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧|x －1|－2，|x|≤1，11＋x 2，|x|>1，则f[f(12)]＝________.解析：f(12)＝|12－1|－2＝－32，∴f[f(12)]＝f(－32)＝11＋94＝413.答案：4134．画函数y ＝⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋12，－x ，x≤0，x>0的图象．步骤：①画整个二次函数y ＝(x ＋1)2的图象，再取其在区间(－∞，0]上的图象，其他部分删去不要；②画一次函数y ＝－x 的图象，再取其在区间(0，＋∞)上的图象，其他部分删去不要；③这两部分合起来就是所要画的分段函数的图象．如下图所示．5．求函数y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，x>2，1x ，x<0的值域．答案：(－∞，0)∪(4，＋∞)．拓展提升已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧1＋1x ，x>1，x 2－x ，x<－2，求f(2x ＋1)．解：当2x ＋1＞1，即x ＞0时，f(2x ＋1)＝1＋12x ＋1，当2x ＋1＜－2，即x ＜－32时，f(2x ＋1)＝(2x ＋1)2－(2x ＋1)＝4x 2＋2x ，由此可得f(2x ＋1)＝⎩⎨⎧1＋12x ＋1，x>0，4x 2＋2x ，x<－32.课堂小结本节课学习了分段函数，讨论分段函数的图象与性质．特别指出的是分段函数不是几个函数，而是一个函数．作业课本本节练习B 1、2设计感想在本节的教学设计中，注重引导学生学会探究．所涉及到的题目比较全面且难度较小，但是能较好地考查学生的思维能力，教师在实际上课中，可根据学生实际，选择应用．(设计者：张新军)。

授课时间： 20 年9月 日 使用班级： 授课时间： 20 年9月 日 使用班级：授课章节名称：第1章 函数、极限与连续 第1节 函数（二）、第2节 极限 教学目的：1.理解复合函数的定义及复合过程，分段函数的定义及表示方法，极限的概念，函数左极限与右极限的概念；2.熟练掌握∞→x 和x x →时f(x)的极限存在的充要条件；3.理解无穷大、无穷小的概念；4.掌握无穷大的判定方法和无穷小的概念及性质，会用无穷小量的性质求教学重点：1.函数极限与数列极限的概念，求极限的方法；2.无穷大量与无穷小量的概念及性质.教学难点：1.函数极限的定义；2.无穷大量与无穷小量的概念和性质及其应用。

教学方法：讲授，启发式、讲练结合 教学手段：传统讲授。

作业：层次1：书16页1、2（1）（2）、4、6 层次2：书16页5、7 教案实施效果追记： （手书）第1章 函数、极限与连续 第1节 函数（二）、第2节 极限复习及课题引入（时间：5分钟）： 1、作业题处理；2、复习函数的相关性质以及基本初等函数的相关知识点。

讲授新内容 ※※※※一、函数的概念（二）（时间：15分钟）1、复合函数： 【引例】（公司员工问题）某公司员工的工资占公司利润的若干比例，而公司的利润又取决于所销售的商品的数量，因此，该公司员工的工资由所销售商品的数量决定。

定义7设()u f y =,其中()x u ϕ=,且函数()x u ϕ=的值域包含在函数()u f y =的定义域内,则称()[]x f y ϕ=为由()u f y =与()x u ϕ=复合而成的复合函数,其中u 称为中间变量.例如，x u u y sin ,2==可复合成x y 2sin=.注意：①、并不是任意两个函数都能构成复合函数.如，21u y -=和22+=x u 就不能构成复合函数。

因为对函数21u y -=而言，必须要求变量[]11，-∈u ，而222≥+=x u ，所以对任何x 的值，y 都得不到确定的对应值。

xy80160240320400204060801001.2.2 函数的表示方法第二课时 分段函数【教学目标】1. 根据要求求函数的解析式2. 了解分段函数及其简单应用3．理解分段函数是一个函数, 而不是几个函数 【教学重难点】 函数解析式的求法 【教学过程】 1、 分段函数由实际生活中, 上海至港、澳、台地区信函部分资费表重量级别 资费（元）20克及20克以内 1.50 20克以上至100克 4.00 100克以上至250克 8.50 250克以上至500克16.70引出问题: 若设信函的重量 （克）应支付的资费为 元, 能否建立函数 的解析式？ 导出分段函数的概念。

通过分析课本第46页的例4.例5进一步巩固分段函数概念, 明确建立分段函数解析式的一般步骤, 学会分段函数图象的作法可选例: 1.动点P 从单位正方形ABCD 顶点A 开始运动, 沿正方形ABCD 的运动路程为自变量 , 写出P 点与A 点距离 与 的函数关系式。

2、在矩形ABCD 中, AB ＝4m, BC ＝6m, 动点P 以每秒1m 的速度, 从A 点出发, 沿着矩形的边按A →D →C →B 的顺序运动到B, 设点P 从点A 处出发经过 秒后, 所构成的△ABP 面积为 m2, 求函数 的解析式。

3、以小组为单位构造一个分段函数, 并画出该函数的图象。

2.典题例1 国内投寄信函（外埠）, 每封信函不超过20g 付邮资80分, 超过20g 而不超过40g 付邮资160分, 依次类推, 每封x g(0<x 100)的信函应付邮资为（单位: 分）, 试写出以x 为自变量的函数y 的解析式, 并画出这个函数的图像解：这个函数的定义域集合是 , 函数的解析式为⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧∈∈∈∈∈=].100,80(,400],80,60(,320],60,40(,240],40,20(,160],20,0(,80x x x x x yxy这个函数的图象是5条线段（不包括左端点）, 都平行于 x 轴, 如图所示. 这一种函数我们把它称为分段函数 变式练习1 作函数y=|x-2|(x ＋1)的图像分析 显然直接用已知函数的解析式列表描点有些困难, 除去对其函数性质分析外, 我们还应想到对已知解析式进行等价变形.解：(1)当x ≥2时, 即x-2≥0时,49)21(2)1)(2(22--=--=+-=x x x x x y当x ＜2时, 即x-2＜0时,49)21(2)1)(2(22+--=++-=+--=x x x x x y .∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+⎪⎭⎫ ⎝⎛---⎪⎭⎫ ⎝⎛-=4921492122x x y 22<≥x x 这是分段函数, 每段函数图象可根据二次函数图象作出例2画出函数y=|x|=⎩⎨⎧<-≥.0,0x x x x 的图象.解: 这个函数的图象是两条射线, 分 别是第一象限和第二象限的角平分线, 如图所示.说明: ①再次说明函数图象的多样性；②从例4和例5看 到, 有些函数在它的定义域中, 对于自变量x 的不同取值范围, 对应法则不同, 这样的函数通常称为分段函数.注意分段函数是一个函数, 而不是几个函数.③注意：并不是每一个函数都能作出它的图象, 如狄利克雷（Dirichlet ）函数D(x)= ,我们就作不出它的图象.变式练习2 作出分段函数21++-=x x y 的图像解: 根据“零点分段法”去掉绝对值符号, 即:21++-=x x y =⎪⎩⎪⎨⎧++-123)12(x x1122>≤<--≤x x x 作出图像如下变式练习3. 作出函数 的函数图像 解: 步骤: （1）作出函数y= (2x(3的图象（2）将上述图象x 轴下方部分以x 轴为对称轴向上翻折（上方部分不变）, 即得y=| (2x(3|的图象3.小结：本节课学习了分段函数及其简单应用, 进一步学习了函数解析式的求法. 课后作业: （略） 【板书设计】 一、 分段函数 二、 典型例题例1 : 例2:小结:【作业布置】完成本节课学案预习下一节。

分段函数专项突破高考定位分段函数的求值、单调性和含参数的函数的单调性和最值等问题，是每年高考的重点。

既可以整体把握，也可以分类讨论.整体把握做好的办法是做图，而分类讨论思想实际上是一种化整为零、化繁为简、分别对待、各个击破的思维策略在数学解题中的运用. 分类讨论思想是一种重要的数学思想方法，它在人类的思维发展中起着重要的作用. 分类讨论思想，可培养逻辑思维能力和抽象思维能力和严密的思考问题的能力。

考点解析一、分段函数的分类（1）初等函数组合型（2）含绝对值型（3）周期性分段（4）对成型分段（5）新定义型 二、处理办法（1）讨论 （2）图像 题型分类类型一、初等函数组合分段函数例1-1（不含参数）函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋2x ＋1，x >0，x 2＋2x －1，x <0；为（ ）A ．奇函数B ．偶函数C ．即是奇函数又是偶函数D ．非奇非偶函数【答案】A【解析】法一：定义法当x>0时，f(x)＝－x 2＋2x ＋1，－x<0，f(－x)＝(－x)2＋2(－x)－1＝x 2－2x －1＝－f(x)； 当x<0时，f(x)＝x 2＋2x －1，－x>0，f(－x)＝－(－x)2＋2(－x)＋1＝－x 2－2x ＋1＝－f(x)． 所以f(x)为奇函数．法二：图象法，作出函数f (x )的图象，由奇函数的图象关于原点对称的特征知函数f (x )为奇函数．例1-2（含参数）（2021·福建龙岩市·上杭一中高三）已知函数22,(),x x af x x x a ⎧≤=⎨>⎩，若存在实数b ，使函数()()g x f x b =-有两个零点，则实数a 的取值范围是___________. 【答案】（-∞，2）∪（4，+∞） 【分析】根据函数解析式作出函数图像，对参数a 分类讨论，数形结合求得函数有2个零点时满足的参数范围. 【详解】作出函数图像，易知2x y =与2y x 有3个交点，其中2x =，4x =是其两个交点的横坐标，∪当4a >时，函数()f x 的图像为：由图知，存在实数b ，使函数()()g x f x b =-有两个零点； ∪当24a ≤≤时，函数()f x 的图像为：由图知，函数单调递增，不存在实数b ，使函数()()g x f x b =-有两个零点； ∪当2a <时，函数()f x 的图像为：或由图知，存在实数b ，使函数()()g x f x b =-有两个零点；综上所述，存在实数b ，使函数()()g x f x b =-有两个零点的参数a 的范围为(,2)(4,)-∞⋃+∞练（2021·北京市第十二中学高三月考）已知R λ∈，函数()2216,43,x x f x x x x λλ⎧-≥=⎨-+<⎩，函数()f x 恰有2个零点，则λ的取值范围是（ ） A ．(](),14,-∞⋃+∞ B ．(]()1,34,+∞C ．()[)1,34,+∞ D ．()(),14,-∞+∞【答案】B 【详解】由于()f x 恰有2个零点，结合图象可知，(]()1,34,λ∈⋃+∞时，()f x 有两个零点. 故选：B例1-3（含参数）已知函数2,0(),0x x f x kx b x ⎧=⎨+<⎩，若对于任意一个正数a ，不等式1|()(0)3f x f ->∣在(,)a a -上都有解，则,k b 的取值范围是（ ） A ．24,,,33k b ⎛⎫⎛⎫∈∈-∞⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭RB ．240,,33k b ⎛⎫<∈ ⎪⎝⎭C ．2,,3k b ⎛⎫∈∈+∞ ⎪⎝⎭RD ．40,,3k b ⎛⎫<∈-∞ ⎪⎝⎭【答案】A 【分析】由不等式可知，()43f x >或()23f x <，结合图象，分析可得,k b 的取值范围. 【详解】当0x ≥时，1213x-≥，得423x ≥，(),x a a ∀∈-，不能满足423x≥都有解； 当0x <时，()113f x ->，得()43f x >或()23f x <， 如图，当0k ≥或0k <时，只需满足43b >或23b <，满足条件.所以k ∈R ，24,,33b ⎛⎫⎛⎫∈-∞+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭时，满足条件.例1-4（含参数）（多选题）（2021·辽宁实验中学高三）已知函数()22,,,x x a x a f x x x a x a⎧-+≤=⎨+->⎩(即()2f x x x a =+-，x ∈R )则（ ） A ．当0a =时，()f x 是偶函数 B ．()f x 在区间1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上是增函数C ．设()f x 最小值为N ，则14N ≤ D ．方程()1f x =可能有2个解【答案】ABD 【分析】结合奇偶函数的定义和二次函数的性质逐一判断选项即可. 【详解】A ：当0a =时，{22()x x x a x x x af x -≤+>=，，，即2()f x x x =+，所以22()()()f x x x x x f x -=-+-=+=，所以()f x 是偶函数，故正确；B ：当x a ≤时，2()f x x x a =-+，()f x 的对称轴为12x =，开口向上，此时()f x 在12⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，上是增函数， 当x a >时，2()f x x x a =+-，()f x 的对称轴为12x =-，开口向上，此时()f x 在12⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，上是增函数，综上，()f x 在12⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，上是增函数，故B 正确； C ：当x a ≤时，min 11()()24f x f a ==-，当x a >时，min 11()()24f x f a =-=--，因为不能确定a 的大小，所以最小值N 无法判断，故C 错误；D ：令22()=111f x x x a x x a ⇒-+=+-=、，当0a =时，{22()x x x a x x x af x -≤+>=，，，()=1f x 有2个解，故D 正确.例1-5（含参数）（2021·重庆市永川北山中学校）设,01,()2(1),1,x x f x x x ⎧<<⎪=⎨-≥⎪⎩若()(1)f a f a =+，则()f a =________． 【答案】12 【分析】分01a <<和1a ≥两种情况讨论，结合函数()y f x =的解析式解方程()()1f a f a =+，可求得实数a 的值，进而求得结果. 【详解】若01a <<，则112a <+<，由()()1f a f a =+，得()211a a =+-，即24a a =，解得：0a =（舍去）或14a =； 若1a ≥，由()()1f a f a =+，得()()21211a a -=+-，该方程无解.综上可知，14a =，111()442f a f ⎛⎫∴=== ⎪⎝⎭。

高中三年级数学学案目录模块一极限（数学选1-1，高三上；高二新下）12．1 数学归纳法及其应用13．2 数列极限13．3 函数极限模块二导数（数学选1-1，高三上；高二新下）13．1 导数的概念、公式及其运算法则13．2 导数的应用（一）13．3 导数的应用（二）模块三复数（数学选1-2，高三上；高二新下）14．1 复数的相关概念和几何意义14．2 复数的代数形式及其运算模块一极限【知识网络】1．1 数学归纳法及其应用【考点透视】一、考纲指要1．了解数学归纳法的原理，理解“归纳法”和“数学归纳法”的含意和本质．2．能用数学归纳法证明一些简单的问题：与自然数n有关的恒等式、代数不等式、三角不等式、数列的通项与和问题、几何问题、整除性问题等等．3．掌握归纳与推理的方法；培养大胆猜想，小心求证的辩证思维素质．二、命题落点1．客观性试题主要考查学生对数学归纳法的实质的理解，掌握数学归纳法的证题步骤(特别要注意递推步骤中归纳假设的运用和恒等变换的运用)，如例1．2．解答题大多以考查数学归纳法内容为主，并涉及到函数、方程、数列、不等式等综合性的知识，在解题过程中通常用到等价转化，分类讨论等数学思想方法，是属于中高档难度的题目。

和例3，例4．3．“观察→归纳→猜想→证明”是一种十分重要的思维方法，运用这种思维方法既能发现结论，又能证明结论的正确性．这是分析问题和解决问题能力的一个重要内容，也是近几年高考的一个考查重点，如例24．数学归纳法是高考考查的重点内容之一.类比与猜想是应用数学归纳法所体现的比较突出的思想，抽象与概括，从特殊到一般是应用数学归纳法的一种主要思想方法. 在由n=k时命题成立，证明n=k+1命题也成立时，要注意设法化去增加的项，通常要用到拆项、组合、添项、减项、分解、化简等技巧。

【典例精析】例1：（1994·上海）. 某个命题与自然数n有关，若n=k（k∈N+）时该命题成立，那么可推得当n=k+1时该命题也成立，现已知当n=5时，该命题不成立，那么可推得（）A．当n=6时该命题不成立B．当n=6时该命题成立C．当n=4时该命题不成立D．当n=4时该命题成立解析：原命题与逆否命题等价，若n＝k＋1时命题不成立，则n＝k命题不成立．因为当n=k时，命题成立可推出n=k+1时成立，所以n=5时命题不成立，则n=4时，命题也一定不成立，故应当选C．答案：C例2：（1993·全国理）已知数列811322··，…，8212122··nn n()()-+，…。

微专题一 分段函数探究一、分段函数的性质例1 已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－(4a ＋1)x －8a ＋4，x <1，log a x ，x ≥1是R 上的减函数，求a 的取值范围．解 因为函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－(4a ＋1)x －8a ＋4，x <1，log ax ，x ≥1是R 上的减函数，所以①当x <1时，f (x )＝x 2－(4a ＋1)x －8a ＋4，x <1是减函数，即4a ＋12≥1；②当x ≥1时，f (x )＝log a x 是减函数，即0<a <1； ③12－(4a ＋1)×1－8a ＋4≥log a 1.由①②③得⎩⎪⎨⎪⎧4a ＋12≥1，0<a <1，12－(4a ＋1)×1－8a ＋4≥log a1，所以14≤a ≤13.即a 的取值范围是⎣⎡⎦⎤14，13. 例2 已知f (x )是定义在R 上的奇函数，且当x ∈(－∞，0)时，f (x )＝－x lg(2－x )，求函数f (x )的解析式．解 因为f (x )是R 上的奇函数， 所以f (0)＝0.当x >0时，－x <0，由已知得f (－x )＝x lg(2＋x )， 所以－f (x )＝x lg(2＋x )， 即f (x )＝－x lg(2＋x )(x >0)．所以f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x lg (2－x )，x <0，－x lg (2＋x )，x ≥0.即f (x )＝－x lg(2＋|x |)(x ∈R )．跟踪训练1 (1)函数y ＝－(x －3)|x |的单调增区间是________． 答案 ⎣⎡⎦⎤0，32 解析 y ＝－(x －3)|x |＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋3x ，x >0，x 2－3x ，x ≤0.作出该函数的图象如图所示，观察图象知函数的单调增区间为⎣⎡⎦⎤0，32. (2)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧e x －k ，x ≤0，(1－k )x ＋k ，x >0是R 上的增函数，则实数k 的取值范围是________．答案 ⎣⎡⎭⎫12，1解析 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧e 0－k ≤k ，1－k >0，解得12≤k <1.(3)判断g (x )＝⎩⎨⎧x ，x >0，0，x ＝0，－x ，x <0的奇偶性．解 当x >0时，－x <0，g (－x )＝－(－x )＝x ＝g (x )， 当x <0时，－x >0，g (－x )＝－x ＝g (x )， 又g (－0)＝g (0)，所以g (x )＝⎩⎨⎧x ，x >0，0，x ＝0，－x ，x <0为偶函数．(4)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋4x ，x ≥0，－x 2＋4x ，x <0，若f (2－a 2)>f (a )，求实数a 的取值范围．解 当x ≥0时，函数f (x )＝x 2＋4x 在[0，＋∞)上是增函数， 当x <0时，函数f (x )＝－x 2＋4x 在(－∞，0)上是增函数， 易知连续函数y ＝f (x )是定义在R 上的增函数， 因为f (2－a 2)>f (a )，所以2－a 2>a ，所以－2<a <1，所以实数a 的取值范围是(－2,1)． 二、分段函数的值域(最值)例3 已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋12，x ∈[－1，t ]，－2(x －1)2，x ∈(1，a ].若存在实数t 使f (x )的值域是[－1,1]，求实数a 的取值范围．解 由已知得－1<t ≤1，函数f (x )＝3x ＋12在[－1，t ]上为增函数，故其值域为⎣⎡⎦⎤－1，3t ＋12；函数f (x )＝－2(x －1)2在(1，a ]上为减函数， 故其值域为[－2(a －1)2，0)，所以函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋12，x ∈[－1，t ]，－2(x －1)2，x ∈(1，a ]的值域为 [－2(a －1)2，0)∪⎣⎡⎦⎤－1，3t ＋12，若存在实数t 使f (x )的值域是[－1,1]， 则3t ＋12＝1，即t ＝13，且－2(a －1)2≥－1， 即1－22≤a ≤1＋22， 又a >1，所以1<a ≤1＋22， 故实数a 的取值范围是⎝⎛⎦⎤1，1＋22. 例4 已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x ，－1≤x ≤0，x 2，0<x ≤1，x ，1<x ≤2，则f (x )的最大值为________．答案 2解析 f (x )的图象如图：则f (x )的最大值为f (2)＝2.跟踪训练2 (1)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2，x <－1，2x －1，x ≥－1，则函数f (x )的值域为________．答案 (－1，＋∞)解析 根据分段函数 f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2，x <－1，2x －1，x ≥－1的图象(图略)可知，该函数的值域为(－1，＋∞)．(2)(2019·唐山模拟)已知函数f (x )为R 上的减函数，则满足f ⎝⎛⎭⎫⎪⎪⎪⎪1x <f (1)的实数x 的取值范围是______________． 答案 (－1,0)∪(0,1)解析 因为f (x )在R 上为减函数，且f ⎝⎛⎭⎫1|x |<f (1)，所以1|x |>1，即0<|x |<1，所以0<x <1或－1<x <0. (3)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧(1－2a )x ＋3a ，x <1，ln x ，x ≥1的值域为R ，求实数a 的取值范围．解 因为当x ≥1时，ln x ≥0，又因为函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧(1－2a )x ＋3a ，x <1，ln x ，x ≥1的值域为R ，所以当x <1时，f (x )＝(1－2a )x ＋3a 必须取到所有的负数，所以⎩⎪⎨⎪⎧1－2a >0，1－2a ＋3a ≥0，解得－1≤a <12，所以实数a 的取值范围是⎣⎡⎭⎫－1，12. 三、分段函数的零点例5 (1)已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2－x ，x ≤1，log 81x ，x >1，则g (x )＝f (x )－12的零点个数为________．答案 2解析 令g (x )＝0，得f (x )＝12.当x ≤1时，2－x ＝12，即x ＝1；当x >1时，log 81x ＝12，即x ＝81＝9.故所求零点为1和9，g (x )的零点个数为2.(2)函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－x ，x >0，12－⎪⎪⎪⎪12＋x ，x ≤0.若关于x 的方程f (x )＝kx －k 至少有两个不相等的实数根，则实数k 的取值范围是________． 答案 ⎣⎡⎭⎫－13，1∪(1，＋∞) 解析 如图，作出函数图象，y ＝kx －k 过定点(1,0)，临界点⎝⎛⎭⎫－12，12和(1,0)连线的斜率为－13， 又f ′(1)＝1，由图象知实数k 的取值范围是⎣⎡⎭⎫－13，1∪(1，＋∞)． 跟踪训练3 已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，x ≥a ，x 3－3x ，x <a .若函数g (x )＝2f (x )－ax 恰有2个不同的零点，求实数a 的取值范围．解 函数g (x )＝2f (x )－ax 恰有2个不同的零点， 即方程2f (x )－ax ＝0恰有2个不相等的根，亦即方程组①⎩⎪⎨⎪⎧ x ≥a ，2x －ax ＝0或②⎩⎪⎨⎪⎧x <a ，2x 3－6x －ax ＝0 共有2个不相等的根．首先①中2x －ax ＝0，即(2－a )x ＝0，若a ＝2， 则x ≥2都是方程2x －ax ＝0的根，不符合题意， 所以a ≠2，因此由2x －ax ＝0，解得x ＝0， 下面分情况讨论．(1)若x ＝0是方程①的根，则必须满足0≥a ，即a ≤0，此时方程②必须再有另一个根，即⎩⎪⎨⎪⎧x <a ≤0，2x 3－6x －ax ＝0有一根，因为x ≠0，由2x 3－6x －ax ＝0，得2x 2＝6＋a 必须有满足x <a ≤0的一根， 首先6＋a >0，其次解得负根需满足－ 6＋a2<a ≤0， 从而解得－32<a ≤0.(2)若x ＝0不是方程①的根，即方程①无根， 则必须满足0<a ，即a >0，此时方程②必须有两个不相等的根， 即⎩⎪⎨⎪⎧a >0，x <a ，2x 3－6x －ax ＝0有两个不相等的根，由2x 3－6x －ax ＝0，得x ＝0<a 适合，另外2x 2＝6＋a 必须还有一个满足x <a ，a >0的非零实根，首先6＋a >0， 由于解得的负根－6＋a2<a ，a >0总成立， 故要求解得的正根需满足6＋a2≥a ， 从而解得0<a ≤2，但前面已经指出a ≠2，故0<a <2. 综合(1)(2)，得实数a 的取值范围为⎝⎛⎭⎫－32，2. 四、分段函数的综合问题例6 已知函数f (x )＝x 2＋(x －1)|x －a |. (1)若a ＝－1，解方程f (x )＝1；(2)若函数f (x )在R 上单调递增，求实数a 的取值范围；(3)若a <1，且不等式f (x )≥2x －3对一切实数x ∈R 恒成立，求实数a 的取值范围．解 (1)当a ＝－1时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x 2－1，x ≥－1，1，x <－1.当x ≥－1时，令2x 2－1＝1，解得x ＝1或x ＝－1； 当x <－1时，f (x )＝1恒成立． ∴方程的解集为{x |x ≤－1或x ＝1}．(2)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x 2－(a ＋1)x ＋a ，x ≥a ，(a ＋1)x －a ，x <a .若f (x )在R 上单调递增，则有⎩⎪⎨⎪⎧a ＋14≤a ，a ＋1>0，(a ＋1)a －a ≤2a 2－a (a ＋1)＋a ，解得a ≥13.(3)设g (x )＝f (x )－(2x －3)，则g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x 2－(a ＋3)x ＋a ＋3，x ≥a ，(a －1)x －a ＋3，x <a ，即不等式g (x )≥0对一切实数x ∈R 恒成立． ∵a <1，∴当x <a 时，g (x )单调递减，其值域为(a 2－2a ＋3，＋∞)． ∵a 2－2a ＋3＝(a －1)2＋2≥2，∴g (x )≥0恒成立． 当x ≥a 时，∵a <1，∴a <a ＋34，∴g (x )min ＝g ⎝⎛⎭⎫a ＋34＝a ＋3－(a ＋3)28≥0，得－3≤a ≤5.∵a <1，∴－3≤a <1. 综上所述，－3≤a <1.跟踪训练4 已知函数f (x )＝x 2＋2x |x －a |，其中a ∈R . (1)求函数f (x )的单调区间；(2)若不等式4≤f (x )≤16在x ∈[1,2]上恒成立，求实数a 的取值范围． 解 (1)由f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－(x －a )2＋a 2，x ≤a ，3⎝⎛⎭⎫x －a 32－a 23，x >a ，故当a ≥0时，f (x )在(－∞，a )和(a ，＋∞)上单调递增， 又∵f (a )＝a 2，∴f (x )在R 上单调递增，当a <0时，f (x )在(－∞，a )和⎝⎛⎭⎫a3，＋∞上单调递增，在⎝⎛⎭⎫a ，a3上单调递减． (2)由题意只需f (x )min ≥4，f (x )max ≤16， 首先，由(1)可知，f (x )在x ∈[1,2]上单调递增， 则f (x )min ＝f (1)＝1＋2|1－a |≥4， 解得a ≤－12或a ≥52，其次，当a ≥52时，f (x )在R 上单调递增，故f (x )max ＝f (2)＝4＋4|2－a |≤16， 解得52≤a ≤5，当a ≤－12时，f (x )在x ∈[1,2]上单调递增，故f (x )max ＝f (2)＝12－4a ≤16， 解得－1≤a ≤－12.综上，实数a 的取值范围为－1≤a ≤－12或52≤a ≤5.。

必修1 分段函数-----专题与解析一．选择题（共16小题）1．（2011•浙江）设函数f（x）=，若f（a）=4，则实数a=（）A．﹣4或﹣2 B．﹣4或2 C．﹣2或4 D．﹣2或2考点：分段函数的解析式求法及其图象的作法。

专题：计算题。

分析：分段函数分段处理，我们利用分类讨论的方法，分a≤0与a＞0两种情况，根据各段上函数的解析式，分别构造关于a的方程，解方程即可求出满足条件的a值．解答：解：当a≤0时若f（a）=4，则﹣a=4，解得a=﹣4当a＞0时若f（a）=4，则a2=4，解得a=2或a=﹣2（舍去）故实数a=﹣4或a=2故选B点评：本题考查的知识点是分段函数，分段函数分段处理，这是研究分段函数图象和性质最核心的理念，具体做法是：分段函数的定义域、值域是各段上x、y取值范围的并集，分段函数的奇偶性、单调性要在各段上分别论证；分段函数的最大值，是各段上最大值中的最大者．2．（2010•宁夏）已知函数若a，b，c互不相等，且f（a）=f（b）=f（c），则abc的取值范围是（）A．（1，10）B．（5，6）C．（10，12）D．（20，24）考点：分段函数的解析式求法及其图象的作法；函数的图象；对数的运算性质；对数函数的图像与性质。

专题：作图题；数形结合。

分析：画出函数的图象，根据f（a）=f（b）=f（c），不妨a＜b＜c，求出abc的范围即可．解答：解：作出函数f（x）的图象如图，不妨设a＜b＜c，则ab=1，则abc=c∈（10，12）．故选C．点评：本题主要考查分段函数、对数的运算性质以及利用数形结合解决问题的能力．3．若，则f（log23）=（）A．﹣23 B．11 C．19 D．24考点：分段函数的解析式求法及其图象的作法；函数的值；对数的运算性质。

分析： f（x）为分段函数，要求f（log23）的值，先判断log23的范围，代入x＜4时的解析式，得到f （log23+1），继续进行直到自变量大于4，代入x≥4时的解析式求解．解答：解：∵1＜log23＜2，4＜log23+3＜5∴f（log23）=f（log23+1）=f（log23+2）=f（log23+3）=故选D点评：本题考查分段函数求值、指数的运算法则、对数恒等式等难度一般．4．已知函数若，则实数a=（）A．B．C．D．考点：分段函数的解析式求法及其图象的作法。

专题05分段函数（解析版）分段函数是指自变量在两个或两个以上不同的范围内,有不同的对应法则的函数,它是一个函数,却又常常被学生误认为是几个函数;它的定义域是各段函数定义域的并集,其值域也是各段函数值域的并集。

由于它在理解和掌握函数的定义、函数的性质等知识的程度的考察上有较好的作用。

分段函数情形复杂、综合性强,即能有效考查复杂函数的图象和性质,又能体现分类讨论,数形结合的数学思想方法。

因此,分段函数倍受高考命题人的青睐,是历年高考中的热点题型之一. 分段函数易错点易错点1：定义域与相应的解析式分不清,用错解析式来解决问题； 易错点2：忽略分段点的特殊性,要明确分段点的性质；易错点3：混淆分段函数单调性与其他函数单调性判断的不同点； 易错点4：不能正确做出分段函数的图像；在分段函数性质的考查中,若能画出其大致图像,定义域、值域、最值、单调性、奇偶性等问题就会迎刃而解, 方程、不等式等可用数形结合思想、等价转化思想、分类讨论思想及函数思想来解,使问题得到大大简化,效果明显. 题组一1．（2015新课标Ⅱ）设函数211log (2),1()2,1x x x f x x -+-<⎧=⎨⎩≥,则2(2)(log 12)f f -+=A ．3B ．6C ．9D ．12 【解析】由于2(2)1log 43f -=+=,22log 121log 62(log 12)226f -===,所以2(2)(log 12)f f -+=9．2.设2,0.()log ,0.x e x g x x x ⎧≤=⎨>⎩则1(())2g g =__________. 【解析】1211()log 1,(1),22g g e -==--=所以11(())2g g e= 题组二3.若函数1,0()1(),03x x x f x x ⎧<⎪⎪=⎨⎪≥⎪⎩ 则不等式1|()|3f x ≥的解集为____________.【解析】∵1,0()1(),03x x xf x x ⎧<⎪⎪=⎨⎪≥⎪⎩,∴1|()|3f x ≥等价于001111333x x x x ≥⎧<⎧⎪⎪⎨⎨⎛⎫≥≥ ⎪⎪⎪⎩⎝⎭⎩或解得3001x x -≤<≤≤或,综上[]-31x 的取值范围为，4．(2014新课标)设函数()113,1,,1,x e x f x x x -⎧<⎪=⎨⎪≥⎩则使得()2f x ≤成立的x 的取值范围是______．【解析】当1x <时,由12x e-≤得1ln 2x +≤,∴1x <；当1x ≥时,由132x ≤得8x ≤,∴18x ≤≤,综上8x ≤．5.（2017新课标Ⅲ）设函数1,0,()2,0x x x f x x +≤⎧=⎨>⎩　则满足1()()12f x f x +->的x 的取值范围是________．【解析】当12x >时,不等式为12221x x-+>恒成立；当102x <≤,不等式12112xx +-+>恒成立； 当0x ≤时,不等式为11112x x ++-+>,解得14x >-,即104x -<≤； 综上,x 的取值范围为1(,)4-+∞． 题组三★6.已知函数224,0()4,0x x x f x x x x ⎧+≥=⎨-<⎩若2(2)(),f a f a ->则实数a 的取值范围是（ ） A. (,1)(2,)-∞-⋃+∞ B. (1,2)- C. (2,1)- D. (,2)(1,)-∞-⋃+∞【解析】由题意知()f x 在R 上为增函数,2(2)(),f a f a ->所以22,a a ->21a -<<解得,故选C7．(2013新课标Ⅰ)已知函数()f x =22,0ln(1),0x x x x x ⎧-+≤⎨+>⎩,若|()f x |≥ax ,则a 的取值范围是（ ）A ．(,0]-∞B ．(,1]-∞C ．[－2,1]D ．[－2,0]【解析】∵|()f x |=22,0ln(1),0x x x x x ⎧-≤⎨+>⎩,∴由|()f x |≥ax 得,22x x x ax ≤⎧⎨-≥⎩且0ln(1)x x ax >⎧⎨+≥⎩,由202x x x ax≤⎧⎨-≥⎩可得2a x ≥-,则a ≥-2,排除A,B,当a =1时,易证ln(1)x x +<对0x >恒成立,故a =1不适合,排除C,故选D ． 题组四8．（2010新课标）已知函数212log ,0()log (),0x x f x x x >⎧⎪=⎨-<⎪⎩,若a ,b ,c 均不相等,且()f a =()f b =()f c ,则abc 的取值范围是A ．（1,10）B ．(5,6)C ．(10,12)D ．(20,24)【解析】画出函数的图象,如图所示,不妨设a b c <<,因为()()()f a f b f c ==,所以1ab =,c 的取值范围是(10,12),所以abc 的取值范围是(10,12)．()()()2,,-3+2=0f x f x f x π⎧-≤≤⎪⎨⎪=-⎩2xcos 1x 12x 1x 19.已知函数的实根的个数是___.，则关于x 的方程＞，【解析】()()()()2-3+2=0=1=2fx f x f x f x 方等价于程或()()[]()1,1,>110,,f x f x x f π⎧-≤≤⎪-≤≤⎨-⎪-⎩=∈>2xcos 1x 121x 1x 1x 1函，当，时＞数,，()2=1cos111,022f x x x x x 时，或所以或π=-===±xyO11012()2=212,f x x x 时，所以-==()()2-3+2=0f x f x 的实根个数为5个综上知方程以下内容为“高中数学该怎么有效学习？”首先要做到以下两点：1、先把教材上的知识点、理论看明白。

第3课时 分段函数课程标准学法解读通过具体实例，了解简单的分段函数，并能简单应用.学习分段函数时，要注意结合实例体会概念，还要注意书写的规范.必备知识·探新知基础知识1．分段函数的定义__一个函数__，在其定义域内，对于自变量的不同取值区间，__有不同的对应方式__，则称其为分段函数．思考：根据实数绝对值的含义将函数y ＝|x ＋1|中的绝对值号去掉，变形后的函数是什么函数？提示：根据绝对值含义可知，y ＝|x ＋1|＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，x ≥－1，－x －1，x ＜－1，变形后的函数是一个分段函数．2．几个特殊的函数 (1)高斯取整函数．y ＝[x ]，定义域为R ，值域为Z . (2)狄利克雷函数．D (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x ∈Q ，0，x ∉Q ，定义域为R ，值域为{0,1}，(3)常数函数y ＝c ，c 为常数，定义域为R ，值域为{c }，图像为垂直于y 轴的直线．基础自测1．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1 (x >0)π (x ≤0)，则f [f (－3)]＝( D )A ．－2B ．πC ．π－3D ．π＋1解析：∵f (x )＝⎩⎨⎧x ＋1 (x >0)π (x ≤0)，∴f (－3)＝π，∴f [f (－3)]＝f (π)＝π＋1.2．下表表示函数y ＝f (x )，则f (11)＝( C )x 0<x <5 5≤x <1010≤x <1515≤x ≤20y234 5A ．2 C ．4D ．5解析：∵10≤x <15时，y ＝4，∴y ＝f (11)＝4.3．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋4，x ＜0，x －4，x ＞0，则f [f (－3)]的值为__－3__.解析：因为f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋4，x ＜0，x －4，x ＞0，所以f (－3)＝－3＋4＝1， f [f (－3)]＝f (1)＝1－4＝－3.4．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2，x ≤2，2x ，x ＞2，若f (x 0)＝8，则x 0＝__4或－6__.解析：由题意，得(1)当x 0≤2时，有x 20＋2＝8，解之得x 0＝±6，而6＞2不符合，所以x 0＝－ 6.(2)当x 0＞2，有2x 0＝8，解之得x 0＝4. 综上所述，得x 0＝4或－ 6.5．如图为一个分段函数的图像，则该函数的定义域为__[－1,2]__，值域为__[－1,1)__.解析：由图像可知，第一段图形对应的自变量取值范围为[－1,0)，值域为[0,1)；第二段图形对应的自变量取值范围为[0,2]，值域为[－1,0]，因此该分段函数的定义域为[－1,0)∪[0,2]，即[－1,2]，值域为[－1,0]∪[0,1)，即[－1,1)．关键能力·攻重难类型 分段函数求值(范围)问题 ┃┃典例剖析__■典例1 已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|x －1|－2，|x |≤1，11＋x 2，|x |＞1.(1)求f ⎣⎡⎦⎤f ⎝⎛⎭⎫12的值； (2)若f (a )＝13，求a 的值．思路探究：对于分段函数求值应先看清自变量的值所在的范围，代入相应的解析式求解． 解析：(1)因为f ⎝⎛⎭⎫12＝⎪⎪⎪⎪12－1－2＝－32， 所以f ⎣⎡⎦⎤f ⎝⎛⎭⎫12＝f ⎝⎛⎭⎫－32＝11＋⎝⎛⎭⎫322＝413. (2)f (a )＝13，若|a |≤1，则|a －1|－2＝13，得a ＝103或a ＝－43.因为|a |≤1，所以a 的值不存在； 若|a |＞1，则11＋a 2＝13，得a ＝±2，符合|a |＞1. 所以若f (a )＝13，a 的值为±2.归纳提升：分段函数问题的常见解法(1)求分段函数的函数值的方法：先确定要求值的自变量的取值属于哪一段区间，然后代入该段的解析式求值，当出现f [f (a )]的形式时，应从内到外依次求值．(2)已知分段函数的函数值，求自变量的值的方法：先假设自变量的值在分段函数定义域的各段上，然后求出相应自变量的值，切记要检验．(3)在分段函数的前提下，求某条件下自变量的取值范围的方法：先假设自变量的值在分段函数定义域的各段上，然后求出在相应各段定义域上自变量的取值范围，再求它们的并集即可．┃┃对点训练__■1．(1)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ，x ＞0，x ＋1，x ≤0，若f (a )＋f (1)＝0，则实数a 的值等于( A )A ．－3B ．－1C ．1D ．3(2)函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，x ≤－2，x ＋1，－2＜x ＜4，若f (a )＜－3，3x ，x ≥4，则a 的取值范围是__(－∞，－3)__.解析：(1)f (a )＋f (1)＝0，∴f (a )＝－f (1)＝－2，当a ＞0时，2a ＝－2，∴a ＝－1，舍去， 当a ≤0时，a ＋1＝－2，∴a ＝－3.(2)当a ≤－2时，f (a )＝a ＜－3，此时不等式的解集是(－∞，－3)； 当－2＜a ＜4时，f (a )＝a ＋1＜－3，此时不等式无解； 当a ≥4时，f (a )＝3a ＜－3，此时不等式无解． 故a 的取值范围是(－∞，－3)． 类型 求分段函数的解析式 ┃┃典例剖析__■典例2 根据下图所示的函数f (x )的图像，写出函数的解析式．思路探究：图中给出的图像其实是一个分段函数的图像，对各段对应的函数解析式分别求解．解析：当－3≤x ＜－1时，函数f (x )的图像是一条线段(右端点除外)，设f (x )＝ax ＋b (a ≠0)，将点(－3,1)，(－1，－2)的坐标代入，解得a ＝－32，b ＝－72，可得f (x )＝－32x －72；当－1≤x ＜1时，同理，可设f (x )＝cx ＋d (c ≠0)，将点(－1，－2)，(1,1)的坐标代入，解得c ＝32，d ＝－12，可得f (x )＝32x －12；当1≤x ＜2时，f (x )＝1. 综上所述，f (x )＝⎩⎨⎧－32x －72，－3≤x ＜－1，32x －12，－1≤x ＜1，1，1≤x ＜2.归纳提升：由图像求函数解析式的方法已知函数的图像求解析式y ＝f (x )，如果自变量x 在不同的区间上变化时，函数f (x )的解析式不同，那么应分段求解，此时根据图像，结合已学过的基本函数图像，选择相应的解析式，用待定系数法求解．如果函数解析式为分段函数，要注意写解析式时各区间端点的值，做到不重不漏．┃┃对点训练__■2．如图，已知函数y＝f(x)的图像是由图中的两条射线和抛物线的一部分组成的，求此函数的解析式．解析：设左侧的射线对应的函数解析式为y＝kx＋b，x≤1.∵点(1,1)，(0,2)在射线上，∴⎩⎪⎨⎪⎧k＋b＝1，b＝2.解得⎩⎪⎨⎪⎧k＝－1，b＝2.∴左侧射线对应的函数解析式为y＝－x＋2，x≤1.同理，当x≥3时，函数的解析式为y＝x－2，x≥3.设抛物线的一部分对应的二次函数的解析式为y＝a(x－2)2＋2,1＜x＜3，a＜0.∵点(1,1)在抛物线上，∴a＋2＝1，解得a＝－1.∴当1＜x＜3时，函数的解析式为y＝－x2＋4x－2,1＜x＜3.综上，函数的解析式为y＝⎩⎪⎨⎪⎧－x＋2，x≤1，－x2＋4x－2，1＜x＜3，x－2，x≥3.类型分段函数在实际问题中的应用┃┃典例剖析__■典例3如图所示，在边长为4的正方形ABCD边上有一点P，沿着折线BCDA，由点B(起点)向点A(终点)运动．设点P运动的路程为x，△APB的面积为y，求：(1)y与x之间的函数关系式；(2)画出y ＝f (x )的图像．解析：(1)当点P 在BC 上，即0≤x ≤4时，S △ABP ＝12×4x ＝2x ，当点P 在CD 上，即4<x ≤8时， S △ABP ＝12×4×4＝8，当点P 在DA 上，即8<x ≤12时，S △ABP ＝12×4×(12－x )＝24－2x ，∴y ＝⎩⎨⎧2x (0≤x ≤4)8 (4<x ≤8)24－2x (8<x ≤12).(2)画出y ＝f (x )的图像，如图(2)所示．归纳提升：由实际问题决定的分段函数要写出它的解析式，就是根据实际问题分成几类．求解析式时，先分段求，再综合在一起即可．┃┃对点训练__■3．已知A 、B 两地相距150 km ，某人开汽车以60 km/h 的速度从A 地到达B 地；在B 地停留1 h 后再以50 km/h 的速度返回A 地，把汽车离开A 地的距离S 表示为时间t (h )的函数表达式为( D )A ．S ＝60tB ．S ＝60t ＋50tC ．S ＝⎩⎪⎨⎪⎧60t (0≤t ≤2.5)150－50t (t >3.5)D ．S ＝⎩⎪⎨⎪⎧60t (0≤t ≤2.5)150 (2.5<t ≤3.5)150－50(t －3.5) (3.5<t ≤6.5)解析：当0≤t ≤2.5时，S ＝60t ； 当2.5<t ≤3.5时，S ＝150；当3.5<t ≤6.5时，S ＝150－50(t －3.5)，故选D ．课堂检测·固双基1．函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2(x <1)x －1(x ≥1)，则f [f (－4)]的值为( A )A ．15B ．16C ．－5D ．－15解析：f (－4)＝(－4)2＝16，∴f [f (－4)]＝f (16)＝16－1＝15.2．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －5(x ≥6)f (x ＋2)(x <6)，则f (3)等于( A )A ．2B ．3C ．4D ．5解析：f (3)＝f (5)＝f (7)＝2.3．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋1(x ≤0)－2x (x >0)，若f (x )＝10，则x ＝__－3__.解析：当x ≤0时，x 2＋1＝10，∴x 2＝9，∴x ＝－3. 当x >0时，－2x ＝10无解．∴x ＝－3.4．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋2，(x <1)x 2＋ax ，(x ≥1)，若f [f (0)]＝4a ，则实数a ＝__2__.解析：由题意得， f [f (0)]＝f (2)＝4＋2a ＝4a ，∴a ＝2. 5．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋4，x ≤0，x 2－2x ，0＜x ≤4，－x ＋2，x ＞4.(1)求f {f [f (5)]}的值； (2)画出函数的图像．解析：(1)∵5＞4，∴f (5)＝－5＋2＝－3. ∵－3＜0，∴f [f (5)]＝f (－3)＝－3＋4＝1， ∵0＜1＜4，∴f {f [f (5)]}＝f (1)＝12－2×1＝－1， 即f {f [f (5)]}＝－1. (2)图像如图所示．。

专题13 分段函数的性质、图象以及应用新课标下高考数学题中以分段函数为载体，考查函数的图像、性质等知识的习题倍受青睐．所谓的分段函数是指自变量X 在不同的取值范围内对应关系不同的函数，由分段函数本身的特点，使得一个函数在各段上有不同的解析式，所以可将一次函数、反比例函数、二次函数、指数函数、对数函数、三角函数、抽象函数融合在一个题目之中，考查多个知识点．因而分段函数已成为高考命题的一个热点．纵观近几年高考对于分段函数的性质、图象的考查，重点放在函数的奇偶性、周期性以及函数的零点问题与分段函数结合上；要求学生有较强的抽象思维能力、作图能力以及准确的计算能力，才能顺利解答．从实际教学来看，这部分知识是学生掌握比较模糊，看到就头疼的题目．分析原因，除了这类题目本身就是压轴题确实不易之外，主要是学生的作图能力普遍较弱，还有就是没有形成解题的模式和套路，以至于遇到类似的题目便产生畏惧心理． 本文就高中阶段出现这类问题加以类型的总结和方法的探讨． 知识储备：分段函数:定义域中各段的与的对应法则不同，函数式是分两段或几段给出的．分段函数是一个函数，定义域、值域都是各段的并集．分段函数中的问题一般是求解析式、值域或最值，讨论奇偶性、单调性等．分段函数的处理方法:分段函数分段研究．分段函数的函数值问题：（1）已知自变量求函数值例1．（2020年高考江苏卷7）已知()y f x =是奇函数，当0x ≥时，23()f x x =，则(8)f -的值是 ． 例2．（2021·河北张家口市·高三月考）已知函数()()1ln 2,2,2x x x f x e x -⎧->=⎨≤⎩，则（ ） A ．()21f e +=B ．()()21ff e += C ．()3f e =D ．()()13ff e= 例3．已知函数=，若=4，则实数= （ ）A ．B ．C ．2D ．9 例4．设，则(())f g π的值为 A ．1B ．0C ．D ．x y ()f x 221,1,1x x x ax x ⎧+<⎨+≥⎩((0))f f a a 12451,0,()0,0,1,0,x f x x x >⎧⎪= =⎨⎪- <⎩⎩⎨⎧=为无理数为有理数x x x g ,0,1)(1-π例5．函数满足，且在区间上，则的值为 ．（2）已知函数值求自变量：已知函数值求自变量或其它参数的值的问题，一般按自变量的取值范围分类讨论，通过解方程而得到．数形结合是解答此类问题的重要方法．例1．（2021·浙江杭州模拟）已知函数222,0()2,0x x x f x x x x ⎧--<=⎨-≥⎩，若()()2f a f a --=，则实数a 可能取的值为（ ） A ．1-B ．1C．1-D．1例2．已知函数．若，则实数的值等于 （ ）A ．－3B ．－1C ．1D ．3分段函数的定义域值域问题：例1．（2021·北京丰台区·高三期末）若函数()2,02,0x x x f x x ⎧-≥=⎨<⎩则函数()f x 的值域为（ ）A ．[0,1)B ．(,0]-∞C ．(,0)(0,1)-∞ D ．(,1)-∞例2．如图为一分段函数的图象，则该函数的定义域为________，值域为________．例3．若函数()6,2,3log ,2,a x x f x x x -+⎧=⎨+>⎩≤(0a > 且1a ≠ )的值域是[)4,+∞，则实数a 的取值范围是 ．()f x (4)()()f x f x x +=∈R (2,2]-cos ,02,2()1||,20,2x x f x x x π⎧<⎪⎪=⎨⎪+<⎪⎩≤-≤((15))f f x x 2,0()1,0x x f x x x >⎧=⎨+≤⎩()(1)0f a f +=a分段函数的图象问题：（1）由式定图：根据解析式确定函数的图象例1．（2021·西藏高三其他模拟（文））函数2,02,0x x x y x -⎧≥=⎨<⎩的图像为（ ）A ．B ．C ．D ．（2）由图定式：根据图象求函数的解析式例1．（2021·江苏苏州市·高三月考）在平面直角坐标系xOy 中，如图放置的边长为2的正方形ABCD 沿x 轴滚动（无滑动滚动），点D 恰好经过坐标原点，设顶点(,)B x y 的轨迹方程是()y f x =，则对于函数()y f x =的判断正确的是（ ）A ．对任意的x ∈R ，都有(4)(4)f x f x -=+B ．函数()y f x =是非奇非偶函数C ．函数()y f x =的值域为0,⎡⎣D ．函数()y f x =在区间[]8,12上是减函数例2．如图所示，函数f(x)的图象是折线段ABC ，其中A 、B 、C 的坐标分别为(0，4)、(2，0)、(6，4)，求函数f(x)的解析式．（3）图象的变换：例1．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3xx ≤1，log 13x x ＞1，则函数y ＝f (1－x )的大致图象是( )分段函数与方程问题：例1．（2021·云南红河哈尼族彝族自治州·高三一模（文））已知函数()()21,101,012,1x x f x x x f x x ⎧--≤<⎪⎪=-≤<⎨⎪-≥⎪⎩，若函数()()()01g x f x k k =-≤≤的所有零点从小到大依次成等差数列，则()g x 的零点一定不包含（ ）A ．220192-B ．2019C ．2021D ．220202+例2．对实数与，定义新运算“ ： 设若函数()y f x c =-的图像与x 轴恰有两个公共点，则实数的取值范围是 （ ）A ．B ．C ．D ．例3．已知0a >，函数222,0,()22,0.x ax a x f x x ax a x ⎧++=⎨-+->⎩≤若关于x 的方程()f x ax =恰有2个互异的实数解，则a 的取值范围是 ．a b ⊗,1,, 1.a ab a b b a b -≤⎧⊗=⎨->⎩()()22()2,.f x x x x x R =-⊗-∈c (]3,21,2⎛⎫-∞-⋃- ⎪⎝⎭(]3,21,4⎛⎫-∞-⋃-- ⎪⎝⎭11,,44⎛⎫⎛⎫-∞⋃+∞ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭311,,44⎛⎫⎡⎫--⋃+∞ ⎪⎪⎢⎝⎭⎣⎭分段函数与不等式将分段函数与不等式结合，考查函数单调性及解不等式知识，体现分类讨论思想． 例1．（2021·兴义市第二高级中学高三期末（理））定义在R 上的函数()f x 满足1(2)()2f x f x +=，当[0,2)x ∈时，231212,01,2()2,1 2.x x x f x x --⎧-≤<⎪=⎨⎪-≤<⎩函数32()3g x x x m =++．若[4,2)s ∀∈--，[4,2)t ∃∈--，不等式()()0f s g t -≥成立，则实数m 的取值范围是（ ）A ．(,12]-∞-B ．(,4]-∞-C ．(8],-∞D ．31(,]2-∞ 例2．已知为偶函数，当时，，则不等式 的解集为A ．B ．C ．D ．例3．已知函数=，若||≥，则的取值范围是A ．B ．C ．[－2，1]D ．[－2，0]分段函数与零点解决由函数零点的存在情况求参数的值或取值范围问题，关键是利用函数方程思想或数形结合思想，构建关于参数的方程或不等式求解．讨论参数、数形结合是解答此类问题的重要方法．例1．（2020年高考天津卷9）已知函数3,0,(),0.x x f x x x ⎧=⎨-<⎩若函数2()()2()g x f x kx xk =--∈R 恰有4个零点，则k 的取值范围是（ ） A ．1,(22,)2⎛⎫-∞-+∞ ⎪⎝⎭B ．1,(0,22)2⎛⎫-∞-⎪⎝⎭C ．(,0)(0,22)-∞ D ．(,0)(22,)-∞+∞()f x 0x ≥1cos ,[0,]2()121,(,)2x x f x x x π⎧∈⎪⎪=⎨⎪-∈+∞⎪⎩1(1)2f x -≤1247[,][,]43343112[,][,]4343--1347[,][,]34343113[,][,]4334--()f x 22,0ln(1),0x x x x x ⎧-+≤⎨+>⎩()f x ax a (,0]-∞(,1]-∞例2．已知函数．若存在2个零点，则的取值范围是 A ．B ．C ．D ．例3．已知函数 函数 ，其中 ，若函数 恰有4个零点，则的取值范围是A ．B ．C ．D ．分段函数与单调性、奇偶性问题分段函数是定义域中各段的x 与y 的对应法则不同，函数式是分两段或几段给出的．因此求解析式时，也是分段求解析式的．例1．（2021·天津静海区·高三月考）()()()14212x a x f x a x x ⎧>⎪=⎨⎛⎫-+≤ ⎪⎪⎝⎭⎩，，是R 上的单调递增函数，则实数a 的取值范围为（ ）A ．(1)+∞，B ．[4)8，C ．(4)8，D ．(18)， 例2．函数f (x )是周期为4的偶函数，当x ∈[0，2]时，f (x )＝x －1，则不等式xf (x )＞0在[－1，3]上的解集为( ) A ．(1，3) B ．(－1，1) C ．(－1，0)∪(1，3) D ．(－1，0)∪(0，1) 例3．已知函数是定义在R 上的偶函数， 且在区间单调递增．若实数a 满足， 则a 的取值范围是A ．B ．C ．D ．分段函数的周期性、奇偶性问题例1．（2021·浙江温州市·高三期末）已知定义在R 上的函数()f x 满足()()11f x f x =+-，且当[]1,1x ∈-时，()1,10log ,01b ax x f x x x +-≤≤⎧=⎨<≤⎩，其中a ∈R ，0b >且1b ≠．若13122f f ⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则a =______，b =______．例2．已知函数f (x )是定义在R 上的偶函数，若对于x ≥0，都有f (x ＋2)＝－1f (x )，且当x ∈[0，2)时，f (x )＝log 2(x ＋1)，则求f (－2 015)＋f (2 017)的值为________．0()ln 0⎧=⎨>⎩，≤，，，x e x f x x x ()()=++g x f x x a ()g x a [1,0)-[0,)+∞[1,)-+∞[1,)+∞()()22,22,2x x f x x x ⎧-≤⎪=⎨->⎪⎩()()2g x b f x =--b R ∈()()y f x g x =-b 7(,)4+∞7(,)4-∞7(0,)47(,2)4()f x [0,)+∞212(log )(log )2(1)f a f f a ≤+[1,2]10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦(0,2]例3．定义在R 上的函数，满足时，，则方程上的实数根之和为_______．分段函数的最值问题分段函数的值域是各段值域的并集，最大值是各段最大值中的最大者是函数的最大值，最小值是各段最小值中的最小者，一般可借助于图像来解决．例1．已知函数223,1()lg(1),1x x f x xx x ⎧+-⎪=⎨⎪+<⎩≥，则()f x 的最小值是______． 例2．对于任意实数a ，b ，定义min{a ，b }＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，a ≤b ，b ，a >b .函数f (x )＝－x ＋3，g (x )＝log 2x ，则函数h (x )＝min{f (x )，g (x )}的最大值是________．分段函数单调性问题例1．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧(2－a )x ＋1(x <1)，a x (x ≥1)满足对任意x 1≠x 2，都有f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2>0成立，那么a 的取值范围是( )A ．⎣⎡⎭⎫32，2 B ．⎝⎛⎦⎤1，32 C ．(1，2)D ．(1，＋∞)例2．设函数，则满足的的取值范围是A ．，2]B ．[0，2]C ．[1，+）D ．[0，+） 【反思提升】综合上面的类型，解决分段函数函数问题类型，涉及到很多数学思想主、方法；分段函数首先是函数，且是一个函数，不是多个函数；分段函数的处理方法:分段函数分段研究；解题中务必看清自变量在哪一段，该代哪个解析式，这样就要分段讨论、求解，即要重视分类讨论思想在解题过程中的应用．122,1()1log ,1x x f x x x -⎧=⎨->⎩≤()2f x ≤x 1[-∞∞。