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两点式一般式PPT课件

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直线的两点式方程与一般式方程PTT课件

直线的两点式方程与一般式方程PTT课件
章节：第二章 直线与圆的方程
标题：2.2.2直线的两点式
方程
1课时
环节1：教学目标分解
教学目标
1.根据确定直线位置的几何要素，探索并掌握直线方程的
几种形式（点斜式、斜截式、两点式、截距式及一般式）.
2.会进行直线方程的五种形式之间的转化.
3.会根据不同的直线位置特征，求直线的方程.
素养目标
数学抽象
（1） 3x 3 y 8 3 6 0 （2） x 2 （3） 4 x y 7 0
（4） 2 x y 6 0 （5） y 2 ；
距，此时直线在轴上的截距是.

方程


+

= 1由直线在两条坐标轴上的截距与确定

我们把方程



+ = 1叫做直线的截距式方程，简称截距式.
课堂例题
例4 已知△ 的三个顶点(−5，0)，(3， − 3)，(0，2)，
求边所在直线的方程，以及这条边上的中线 所在直线的方
－＝(－)
斜截式
= +
两点式
截距式
一般式
− ��
−
=
−
−

+ =

+ + =
求直线方程时方程形式的选择技巧
(1)已知一点的坐标，求过该点的直线方程时，通常选用点斜式
方程．
(2)已知直线的斜率，通常选用点斜式或斜截式，再由其他条件
y 1 x 2

；
3 1 0 2
因为 A 0,5 ， B 5,0 ，
y 5 x 0

所以直线 AB 的两点式方程：

直线的两点式方程、直线的一般式方程课件

直线的两点式方程、直线的一般式方程课件

2．截距和为零问题 求过点A(4,2)且在两坐标轴上截距互为相反数的直线l的方程． 解：①当直线过原点时，它在x轴、y轴上截距都是0，满 足题意，此时直线斜率为12，所以直线方程为y＝12x. ②当直线不过原点时， 由题意可设直线方程为xa－ay＝1.又过A(4,2)， ∴4－a 2＝1，即a＝2，∴x－y＝2. 综上，直线l的方程为y＝12x或x－y＝2.
2．直线方程的截距式为xa＋by＝1，x 项对应的分母是直线在 x 轴上的截距，y 项对应的分母是直线在 y 轴上的截距，中间以“＋”
相连，等式的另一端是 1，由方程可以直接读出直线在两轴上的截
距，如x3－4y＝1，x3＋4y＝－1 就不是直线的截距式方程.
直线方程的一般式 [提出问题] 观察下列直线方程： 直线l1：y－2＝3(x－1)； 直线l2：y＝3x＋2； 直线l3：3y－－22＝x4－－11； 直线l4：x4＋3y＝1. 问题1：上述直线方程的形式分别是什么？ 提示：点斜式、斜截式、两点式、截距式．
问题2：上述形式的直线方程能化成二元一次方程Ax＋By ＋C＝0的形式吗？
提示：能． 问题3：二元一次方程Ax＋By＋C＝0都能表示直线吗？ 提示：能．
[导入新知] 1．直线与二元一次方程的关系 (1)在平面直角坐标系中，对于任何一条直线，都可以用一个 关于x，y的二元一次方程表示． (2)每个关于x，y的二元一次方程都表示一条直线． 2．直线的一般式方程的定义 我们把关于x，y的二元一次方程Ax＋By＋C＝0(其中A，B不 同时为0)叫做直线的一般式方程，简称一般式．
3．截距成倍数问题
求过点A(4,2)且在x轴上截距是在y轴上截距的3倍，求直线l的
方程．
解：①当直线过原点时，它在x轴、y轴上截距都是0，满足题

直线的两点式、一般式方程 课件

直线的两点式、一般式方程 课件

[例3] 已知直线l经过点A(－5,6)和点B(－4,8)，求直线 的一般式方程和截距式方程，并画图．
[解析] 直线过A(－5,6)、B(－4,8)两点， 由两点式得，8y－－66＝－x＋4＋55， 整理得2x－y＋16＝0， ∴2x－y＝－16，两边同除以－16得，－x8＋1y6＝1. 故所求直线的一般式方程为2x－y＋16＝0，截距式 方程为－x8＋1y6＝1.图形略．
[解析] ∵点P在l上射影为Q， ∴PQ⊥l，且Q在l上， ∵kPQ＝3－－1(－ －11)＝－2，∴kl＝12， ∴直线l方程为y－(－1)＝12(x－1)， 即x－2y－3＝0.
三、解答题 7．求过点P(－3,4)且在两坐标轴上的截距之和为12的 直线的方程．
[解析] 设直线方程为ax＋by＝1，则
[例7] 求斜率为 且与两坐标轴围成的三角形周长为 12的直线方程．
[分析] 已知直线斜率，可选用直线的斜截式方程， 然后根椐题目条件确定b的值．
[解析] 设直线方程为y＝34x＋b， 令x＝0，得y＝b；令y＝0，得x＝－43b. ∴|b|＋|－43b|＋ b2＋(－43b)2＝12. ∴|b|＋43|b|＋53|b|＝12，∴b＝±3. ∴所求直线方程为y＝34x±3.
8．在求直线方程时，点斜式、斜截式、两点式、截距 式各有怎样的局限性？
[答案] 点斜式和斜截式都是适用于直线的斜率存在 即直线不与x轴垂直的情况；两点式和截距式都适用于直线 不与坐标轴垂直且截距式还要求直线不过原点．
9．已知直线Ax＋By＋C＝0.
(1)若直线过原点，则系数A、B、C满足
C＝0，A2＋B2≠0 .
[答案] B
B.2x＋3y＝1 D.2x－3y＝1
()
2．过点(－3,2)，(9,2)的直线方程是

两点式方程、一般式(问题解决课)

两点式方程、一般式(问题解决课)

两点式与一般式的综合应用实例
地理问题
在地理学中，地图上的距离和角度可以用两点式和一般式方程来表示。例如，在计算两点之间的最短 距离时，可以使用两点式方程和一般式方程的结合来求解。
经济问题
在经济模型中，两点式和一般式方程也经常被使用。例如，在计算供需平衡时的价格时，可以使用一 般式方程来表示供需关系，同时使用两点式方程来表示价格和数量的关系。
地理解和分析这些实际问题的本质。
03
两点式与一般式的关联
两点式与一般式的转换关系
两点式方程
$y - y_1 = frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}(x - x_1)$
一般式
$Ax + By + C = 0$
转换关系
通过代入法，将两点式方程转 换为一般式方程。
具体步骤
将两点式方程中的$x_1, y_1, x_2, y_2$代入一般式方程，得 到$Ax + By + C = 0$的形式。
两点式方程的推导
通过两点坐标推导
给定两个点的坐标 ((x_1, y_1)) 和 ((x_2, y_2))，我们可以利用斜率公式 (k = frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}) 来计算直线的斜率。然后利用点斜式方程 (y - y_1 = k(x - x_1)) 来表示这条直线。
推导过程
将斜率公式代入点斜式方程，得到 (y - y_1 = frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}(x - x_1))， 整理后即可得到两点式方程。
两点式方程的应用场景
01
02
03
确定直线方程
当已知直线上两个点的坐 标时，可以使用两点式方 程来确定这条直线的方程。

直线方程的两点式和一般式 课件

直线方程的两点式和一般式 课件
(2)直线方程任一形式都可化为一般式，而直线方程的一般式 在一定条件下才能化为点斜式、斜截式、两点式或截距式．
直线方程的应用
直线 l 的方程为(a－2)y＝(3a－1)x－1(a∈R)．
(1)求证：直线 l 必过定点；
(2)若直线 l 不过第二象限，求实数 a 的取值范围． [解] (1)证明：直线方程可变为 a(3x－y)－(x－2y＋1)＝0 的
＝－2(x－15)2＋54 150(0≤x≤90)．②9 分 3
∴当 x＝15，y＝60－2×15＝50 时， 3
Smax＝54 150 m2.11 分
因此点 P 距直线 AE 15 m，距直线 BC 50 m 时所开发的面积 最大，最大面积为 54 150 m2.③12 分 [规范与警示] (1)解答本题的 3 个关键步骤如下： 一是根据条件建立适当的坐标系是将几何问题转化成代数问 题的关键，也是失分点．
二是根据直线方程确定 x 和 y 的关系后，在②处要根据实际情 况确定出 x 的范围，否则会在后面的应用中忽略范围而出现错 误解答．
三 是在解 答的③ 处的 结论一 定不能 漏掉， 否则解 题步骤 不完 整，造成没必要的 失分． (2)解决 该类问题应注意以下两点： 一是利用坐标法解 决生活问题时，首先要建立适当的坐 标系， 再借助已知条件寻求 x 和 y 的关系．要求一定准确、恰当，否 则给后面的运算化 简带来麻烦．
(3)分类讨论思想的运用 对于特殊情况的处理，考虑问题要全面，这对于完整的解题 是必需的，如本例中的截距互为相反数这一条件的处理，就 必须分等于零和不等于零两种情况来分类讨论，使问题的解 决做到不重不漏．
已知直线 l：5ax－5y－a＋3＝0.
(1)求证：不论 a 为何值，直线 l 恒过第一象限；

高中数学 两点式与一般式课件

高中数学 两点式与一般式课件

解得 a=14,所以直线 l 的方程为 x+y-14=0;
当直线
l
的方程为������
������
+-�����������=1时,因为点 P(8,6)在直线 l 上,所以8������ − 6������=1,
解得 a=2,所以直线 l 的方程为 x-y-2=0.
综上所述,直线 l 的方程为 x+y-14=0 或 x-y-2=0.
几种形式间相互转化.
1.直线方程的两点式和截距式
名称 已知 条件
两点式
P1(x1,y1),P2(x2,y2), 其中 x1≠x2,y1≠y2
截距式
在 x,y 轴上的截距为 a,b 且 ab≠0
示 意 图
方程
y-y1 y2-y1
=
x-x1 x2-x1
x a
+
y b
=1
交流1
给定两点A(x1,y1),B(x2,y2),是否就可以利用两点式写出直线AB的 方程?
此时,直线的斜率为12, 所 当以 直直 线线 不方 过程 原为 点时y=,由12x.题意可设直线方程为������������ + ������������=1.
因为直线经过点 A,所以4������ + 2������=1.① 又直线在两坐标轴上的截距的绝对值相等,所以|a|=|b|.②
第二课时 两点式与一般式
学习目标
重点难点
1.知道直线方程两点式的推导过
程,并能利用两点式求直线的方 程. 2.学会直线的截距式方程与一般 式方程,并会应用. 3.能根据条件求直线方程,并能在
重点:掌握直线的两点式、截 距式及一般式方程,并会应用. 难点:两点式方程的推导过程 及几种方程形式间的转化.

教学课件：第2课时-直线方程的两点式和一般式


直线方程的应用
通过直线方程，可以解决 与直线相关的实际问题， 如求直线上的点、判断两 直线是否平行等。
下节课预告
直线的倾斜角和斜率
直线方程的应用
介绍直线的倾斜角和斜率的概念，以 及它们之间的关系。
通过直线的倾斜角和斜率，可以解决 与直线相关的实际问题，如求直线的 长度、判断两直线是否垂直等。
直线的点斜式和截距式
两点式直线方程的应用
确定直线的斜率和截距
通过给定的两点，可以确定直线的斜 率和截距，进而确定直线的方程。
解决与直线相关的问题
利用两点式直线方程，可以解决与直 线相关的问题，如求直线上某一点的 坐标、判断三点共线等。
03 直线方程的一般式
一般式直线方程的定义
总结词
一般式直线方程是数学中描述直线的一种方式，它包含了直线的斜率和截距信息。
要点二
基础练习题2
已知直线经过点$(2,3)$和斜率为$2$，求直线的两点式方程。
进阶练习题
进阶练习题1
已知直线的一般式方程为$3x + 4y - 12 = 0$，求该直线的斜率。
VS
进阶练习题2
已知直线的一般式方程为$2x - y + 5 = 0$， 求该直线经过的点。
综合练习题
综合练习题1
已知直线经过点$(2,3)$，斜率为$2$，且与 $x$轴交于点$(4,0)$，求该直线的方程。
04 两点式与一般式的比较
形式上的比较
两点式方程
(y - y_1 = m (x - x_1))
一般式方程
(ax + by + c = 0)
使用场景的比较
01
两点式方程适用于已知两点坐标 的情况，可以快速求出直线方程 。

直线方程的两点式和一般式PPT课件

奠定基础。
学习目标
掌握直线方程的两点 式和一般式的推导过 程。
能够运用直线方程的 两点式和一般式解决 实际问题。
理解直线方程的两点 式和一般式的几何意 义。
02 两点式直线方程
定义
总结词
两点式直线方程是描述直线方程的一种方式，基于直线上两点的坐标来定义。
详细描述
两点式直线方程，也称为两点式或线式方程，是基于直线上两个已知点的坐标来定 义的。假设两点为$P_1(x_1, y_1)$和$P_2(x_2, y_2)$，则两点式直线方程可以表示 为：$frac{y - y_1}{x - x_1} = frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$。
解决实际问题
在实际问题中，已知直线上两点 的坐标，可以通过两点式方程求 出直线的斜率和截距，再通过转 换得到一般式方程，从而解决实
际问题。
数学建模
在数学建模中，通过将实际问题 转化为数学模型，利用两点式与 一般式的转换关系，可以方便地
求解直线方程。
科学实验
在科学实验中，有时需要利用已 知的两点坐标来计算直线的斜率 和截距，进而通过转换得到一般 式方程，用于描述实验数据的变
应用场景
总结词
一般式直线方程在几何、代数、解析几何等领域都有广 泛的应用。
详细描述
在几何中，一般式直线方程可以用来描述平面上的任意 一条直线，并且可以用来计算直线的斜率和截距。在代 数中，一般式直线方程可以用来解决线性方程组的问题 ，通过代入法或者消元法可以得到解。在解析几何中， 一般式直线方程可以用来研究直线的性质和特点，例如 直线的平行、垂直、相交等关系。
$Ax + By + C = 0$，其中$A$、$B$ 不同时为零。

直线的两点式方程 、直线的一般式方程 课件


法二 由题意可知，直线 l 的斜率存在且不为 0，设其斜 率为 k，则可得直线的方程为 y＋2＝k(x－3)．
令 x＝0，得 y＝－2－3k. 令 y＝0，得 x＝2k＋3. 由题意－2－3k＝2k＋3，解得 k＝－1 或 k＝－23. 所以直线 l 的方程为 y＋2＝－(x－3)或 y＋2＝－23(x－3)， 即 x＋y－1＝0 或 2x＋3y＝0.
直线的两点式方程 三角形的三个顶点是 A(－1,0)，B(3，－1)，
C(1,3)，求三角形三边所在直线的方程． 【思路探究】 由两点式直接求出三角形三边所在的直
线的方程．
【自主解答】 由两点式，直线 AB 所在直线方程为： y0－－－－11＝－x－1－33，即 x＋4y＋1＝0. 同理，直线 BC 所在直线方程为： －y－1－33＝3x－－11，即 2x＋y－5＝0. 直线 AC 所在直线方程为： 0y－－33＝－x－1－11，即 3x－2y＋3＝0.
2．关于 x，y 的二元一次方程 Ax＋By＋C＝0(A，B 不同 时为 0)一定表示直线吗？
【提示】 一定．
直线的一般式方程 (1)定义：关于 x，y 的二元一次方程 Ax＋By＋C＝0 (其 中 A，B 不同时为 0)叫做直线的一般式方程，简称一般式． (2)斜率：直线 Ax＋By＋C＝0(A，B 不同时为 0)，当 B≠0 时，其斜率是－AB ，在 y 轴上的截距是－CB .当 B＝0 时，这 条直线垂直于 x 轴，不存在斜率.
直线的两点式方程 直线的一般式方程
直线方程的两点式和截距式 【问题导思】
1．利用点斜式解答如下问题： (1)已知直线 l 经过两点 P1(1,2)，P2(3,5)，求直线 l 的方程； (2)已知两点 P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，其中 x1≠x2，y1≠y2， 求通过这两点的直线方程． 【提示】 (1)y－2＝32(x－1)． (2)y－y1＝yx22－ －yx11(x－x1)． 2．过点(3,0)和(0,6)的直线能用3x＋6y＝1 表示吗？ 【提示】 能．

两点式和一般式方程


因式分解法
将方程左边进行因式分解，从而将方程化简 为更简单的形式，便于求解。
消元法
通过消去方程中的某些项，将多元一次方程 组化为一元一次方程，然后求解。
代入法
通过将一个方程中的某些项代入另一个方程 中，消去某些项，从而化简方程组。
几何法
坐标法
01
通过建立平面直角坐标系，将方程转化为几何图形，利用几何
02 03
具体过程
设两点坐标为 ((x_1, y_1)) 和 ((x_2, y_2))，代入一般式方程 得：(A(x_1 + x_2) + B(y_1 + y_2) + 2C = 0)，解得斜率 (m = -frac{A}{B})，截距 (b = -frac{C}{B})。将斜率 (m) 和 截距 (b) 代入一般式方程得：(y - y_1 = m(x - x_1))。
应用示例
已知两点坐标为 ((1,2)) 和 ((3,4))，代入一般式方程得：(2x + y - 6 = 0)，解得斜率 (m = -2)，截距 (b = 6)，代入一般 式方程得两点式方程为：(y - 2 = -2(x - 1))。
应用场景
直线方程求解
在已知两点坐标的情况下，使用两点式方程可以快速求出直线的方 程。
在代数运算中，一般式方程是最 基本的方程形式之一，用于解决 各种代数问题。
几何问题
在几何问题中，一般式方程可以 用来表示直线、圆、抛物线等几 何图形，并用于解决相关问题。
物理问题
在物理问题中，一般式方程可以 用来描述各种物理现象和规律， 如力学、电磁学等。
03
两点式与一般式的转换
两点式转一般式
两点式方程是形如 (y - y_1 = m(x x_1)) 的方程，其中 (m) 是斜率， ((x_1, y_1)) 是直线上的一点。
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.
5
特别地
当x1=x2时,直线l的方程是x=x1;
当y1=y2时,直线l的方程是y=y1.
.
6
例1 已知直线l与x轴的交点为A(a,0),与y轴的交点为 B(0,b)其中a≠0,b≠0,求这条直线l的方程.
将A(a，0），B（0，b)代入两点式得：
y
l B(0,b)
y0 xa b0 0a
A(a,0)
3.2.2 直线的两点式方程
.
1
两点确定一条直线！那么经过两个定点的直线的方程 能否用“公式”直接写出来呢？
.
2
思考1 已知直线l过A（3，-5）和B（-2，5），如何求直 线l的方程. 解：∵直线l过点A（3，-5）和B（-2，5）
55
kl 23 2
将A（3，-5），k=-2代入点斜式，得
y－(－5) =－2 ( x－3 ).
解：(1)由b5,知a 3，故直线方程为 x y 1； 3 5
（2)由a 5,知b3或b7,
故直线方程为x y 1,或x y 1.
53
57
.
17
(一)填空
(x0,y0) , k k,y轴上截距b
(x1,y1)(x2,y2)
x轴上截距a y轴上截距b
y-y0=k(xx-0) 有斜率的直线
y=kx+b
A.经过定点P0 (x0,y0 )的直线都可以用方程 y-y0 =k(x-x0 )表示;
B.经过任意不同两点P1(x1,y1),P2 (x2 ,y2 )的直线; 都可以用方程(y-y1)(x2 -x1)=(x-x1)(y2 -y1)表示;
C.不经过原点的直线都可以用方程 x + y =1表示; ab
把P(-5，4)代入上式得 k 4 ,
即直线方程为 y 4 x .
5
5
当截距均不为0时，设直线方程为 x y 1,
aa
把P(-5，4)代入上式得 a 1.
直线方程为 xy 1,
即 xy10. 综上直线方程为 y 4 x 或 xy10.
5
.
13
1.下列四个命题中为真命题的是（ B ）.
? x+ ? y+ ? =0
yy1k(xx1) ykxb
k x ( 1 )yy1 k1 x 0
k x(1)yb0
y y1 xx1
y2 y1 x2 x1 ( y 2 y 1 ) x ( x 1 x 2 ) y x 1 ( y 1 y 2 ) y 1 ( x 2 x 1 ) 0
x y 1 ab
D.经过定点的直线都可以用y=kx+b表示.
.
14
2.求经过下列两点的直线方程: ( 1 ) P 1 ( 2 ， 1 ) ,P 2 ( 0 ， 3 ) ; ( 2 ) A ( 0 ， 5 ) ,B ( 5 ， 0 ) .
解 ： （ 1 ） y 1x2（ ;2 ） y5x. 4 2 5 5
1
3.直线ax+by=1 (ab≠0)与两坐标轴围成的面积是_2__a b__.
.
A
y
解：过B(3,-3),C(0,2)两点式方程为：
.C
y2 x0
3 2 3 0
. O
Mx
整理得，5x 3y 6 0.
.B 这就是BC边所在直线的方程.
Hale Waihona Puke .9中点坐标公式
以P （ 1 x1，y1),P2(x2,y2)为端点的 线段的中点坐标为（x1x2, y1y2).
22
.
10
设 B C 的 中 点 为 M , 则 M 的 坐 标 为 （ 3 0 ， 3 2 ） ， 即 （ 3 ， 1 ） .
22
22
过A(5,0),M （32， 12）的直线方程为y1003x55, 22
整理得x13y50.
这就是BC边上的中线所在的直线的方程.
.
11
例3 求经过点P(-5，4)，且在两坐标轴上的截距相等的 直线方程.
分析：截距均为0时，设方程为y=kx,
y
截距不为0，设截距式求解.
o
x
.
12
解：当截距均为0时，设方程为y=kx,
b xa y(a)b 0
上述四式都可以写成直线方程的一般形式：
Ax+By+C=0, A、B不同. 时为0.
20
AxByC0
问:所有的直线都可以用二元一次方程表示？
①当B≠0时 方程可化为 y AxC
B BA
这是直线的斜截式方程，它表示斜率是
在y轴上的截距是 C 的直线.
B
B
②当B=0时
y
方程可化为 x C （A 0)
.
3
思考2 设直线l经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，（其中 x1≠x2，y1≠y2），你能写出直线l的点斜式方程吗？
当 x1
x
时
2
，
k
y2 y1 x2 x1
取 P1 ( x1, y1 ), 代 入 点 斜 式 方 程 得 ，
y
y1
y2 x2
y1 x1
(x
x1 )
y1 y2时，化成比例式：
即 x y 1. ab
O
x
.
7
直线的截距式方程
直线方程由直线在x轴和y轴的截距确定,所以叫做直线
方程的截距式方程.
x y 1. ab
在x轴上 的截距
在y轴上 的截距
截距式适用于横、纵截距都存在且都不为0的直线.
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例2 三角形的顶点是A(-5,0),B(3,-3),C(0,2)，求BC边 所在直线的方程，以及该边上中线所在直线的方程.
y y1 x x1 . y2 y1 x2 x1
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直线的两点式方程 经过直线上两点P1(x1,y1), P2(x2,y2)（其中x1≠x2,
y1≠y2 ）的直线方程叫做直线的两点式方程，简称两点式.
yy2 yy11xx2 xx11(x1x2,y1y2)
两点式适用于与两坐标轴不垂直的直线.
A
O
l
x
表示垂直于x轴的一条直线
有斜率的直线
y-y1 y2-y1
=
x-x1 x2-x1
x a
+
y b
=1
不垂直于x,y轴 的直线
不垂直于x,y轴 的直线 不过原点的直线
过点（ x0 , y 0）与x轴垂直的直线可表示成 x x0，
过点（ x0 ,
y
）
0
与y轴垂直的直线可表示成
y
y0。
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上述四种直线方程，能否写成如下统一形式？
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4.过(1,2)并且在两个坐标轴上的截距相等的直线有几条?
解: ⑴ 两条
y=2x (与x轴和y轴的截距都为0)
当截距都不为0时，设直线的方程为:
x a
y a
1,
把(1,2)代入得： 1 2 1, aa
即：a=3.
所以直线方程为：x+y-3=0.
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5.根据下列条件，求直线的方程: (1)过点（0,5），且在两坐标轴上的截距之和为2； (2)过点（5,0），且在两坐标轴上的截距之差为2.