幂换底公式及其应用

换底公式教案一、教学目标(一)知识与技能掌握换底公式的形式及其应用。

(二)过程与方法通过观察、分析、归纳得到换底公式，并能用该公式进行证明。

(三)情感态度与价值观提高学生观察、分析、归纳的能力，培养数学交流意识。

二、教学重难点(一)教学重点掌握换底公式的形式及其应用。

(二)教学难点用数学语言描述换底公式的本质。

三、教学过程(一)导入新课教师引导学生回顾：指数运算的规律，让学生思考如何运用这些规律进行对数的运算。

从而引出课题：换底公式。

(二)教学新课1. 教师介绍换底公式的内容及形式：在定义域内，当a>0且a≠1时，函数f(x)的图象恒过定点A，当函数图象恒向左(或向右)平移时，定点A的位置也会随之移动，移动后的定点为新的A’，其中使得新函数是原函数的逆序函数。

这样得到的函数f(x)就叫做原函数f(x)的反函数。

这样得到反函数时需要新定义一个原函数的符号，新定义的符号为反函数符号(f-1)，同时为了和初等函数区别，我们给反函数起一个别名——对数函数。

对于任意实数对数函数y=f(x)=logax与对数函数的反函数y=f-1(x)的关系为：y=f(x)=logax?x=ay=f-1(x)=xlna其中a>0且a≠1是常用对数的基础。

对数的运算法则：底相同，加、减为内转；底不同，乘、除是外转。

即同底相乘对角线，异底相乘外转求；相除除数变指数，指数相除内转休。

同时，我们还要掌握常用对数的概念及运算法则。

常用对数：以10为底的对数叫常用对数即lga?那么如果我们有涉及到几个对数的运算我们又该怎么去解决呢？相信学了下面的内容，你会明白怎么解决的。

（强调所学内容）新课题《换底公式》。

其实涉及到的就是几个常用对数的运算；指数的运算律反过来就是对数的运算法则的运用。

其中涉及到两个常用对数和幂的运算。

而本节课我们主要学习的是换底公式的应用。

请同学们思考一下问题：为什么要研究换底公式？怎样得到的换底公式？换底公式的内容是什么？如何用符号语言表示？其证明思路是什么？它的应用有哪些？思考完之后和你的同桌说一说。

3.4.2 “换底公式”说课稿瀛湖中学李善斌教材分析本课是在学习了对数的概念和运算性质的基础上来研究换底公式，利用换底公式统一对数底数，即“化异为同”是解决有关对数问题的基本思想方法，一般利用它将对数转化为常用对数或自然对数来计算；在具体解题过程中，不仅要能正用换底公式，还要能熟练地逆用换底公式.另外还安排了两个对数的应用问题，使学生进一步认识到数学在现实生活、生产中的重要作用.教材通过实例研究引出换底公式，既明确学习换底公式的必要性，同时也在公式推导中应用对数的概念和对数的运算性质，在教学中可以根据学生的不同基础适当地增加具体实例，便于学生理解换底公式的本质，培养学生从具体的实例中抽象出一般公式的能力.学情分析：对数是一个全新的概念，对数运算是一种类似于但又不同于实数的加减乘除运算及指数运算的全新运算.要探究并证明对数换底公式，学生是有相当难度的，但是通过前两节的学习，学生能够利用对数定义及对数的运算性质进行对数式与指数式的相互转化、对数计算，之前学生还熟知指数的运算性质.有这些已有知识作为基础，教师再设计合理的导学案，是能让学生主动参与课堂的，并能自主完成对数换底公式其性质的探究、发现、证明、应用的全过程的.教学目标一、知识与技能1.掌握换底公式，会用换底公式将一般的对数化为常用对数或自然对数，并能进行一些简单的化简和证明.2.能将一些生活实际问题转化为对数问题并加以解答.二、过程与方法1.结合实例引导学生探究换底公式，并通过换底公式的应用，使学生体会化归与转化的数学思想.2.通过师生之间、学生与学生之间互相交流探讨，培养学生学会共同学习的能力.3.通过应用对数知识解决实际问题，帮助学生确立科学思想，进一步认识数学在现实生活、生产中的重要作用.三、情感态度与价值观1.通过探究换底公式的概念，使学生体会知识之间的有机联系，感受数学的整体性，激发学生的学习兴趣，培养学生严谨的科学精神.2.在教学过程中，通过学生的相互交流，培养学生灵活运用换底公式的能力，增强学生数学交流能力，同时培养学生倾听并接受别人意见的优良品质.教学重点1换底公式得出的过程及其应用.教学难点推导换底公式过程中的“指、对转化”意识和对指数幂的换底想法。

对数换底公式
【原创实用版】
目录
1.对数的定义与概念
2.换底公式的定义与概念
3.对数换底公式的推导过程
4.对数换底公式的应用
5.结论
正文
1.对数的定义与概念
对数是一种数学概念，它是指一个数的幂次等于另一个数。

例如，2 的对数是 1，因为 2 的 1 次方等于 2。

在数学中，对数通常用 log 表示，底数用 b 表示，指数用 a 表示，那么 logb a 就表示以底数 b 为底，指数为 a 的对数。

2.换底公式的定义与概念
换底公式是一种数学公式，它用于将对数的底数从一种数转换为另一种数。

例如，如果已知 log2 3 = a，那么可以通过换底公式计算出 log10 3 = b。

换底公式的定义为：logb a = logc a / logc b，其中 c 是换底的底数。

3.对数换底公式的推导过程
对数换底公式的推导过程相对简单。

假设我们要计算 logc 3，已知log2 3 = a。

那么我们可以将 log2 3 表示为 logc 3 / logc 2，即 a = logc 3 / logc 2。

通过移项，我们可以得到 logc 3 = a * logc 2，这就是对数换底公式。

4.对数换底公式的应用
对数换底公式在实际应用中非常广泛，特别是在科学计算和工程计算中。

例如，在计算机科学中，对数换底公式可以用于计算浮点数的有效数字；在工程计算中，对数换底公式可以用于精确测量物理量的对数。

5.结论
对数换底公式是一种重要的数学工具，它可以帮助我们更精确地计算对数，从而在实际应用中提高计算的准确性。

对数的运算法则及公式对数是数学中的一个重要概念，它在科学计算、工程技术、经济金融等领域中都有广泛的应用。

对数的运算法则能够帮助我们简化计算并解决一些复杂的问题。

在本文中，我们将讨论对数的运算法则及公式，包括基本法则和常用公式。

一、对数的基本法则1.对数的定义对任意正数a和正数b，以a为底，b为真数的对数记作loga b，其中a被称为底数，b被称为真数。

公式的意义是以a为底，对数值得到b。

例如，如果2^3 = 8，那么log2 8 = 32.对数的换底公式对数的换底公式是loga b = logc b / logc a，其中a、b、c为正数，且a、b不等于1、这个公式可以用来将对数的底数从一个常用的底数转换为另一个常用的底数。

例如，要计算log2 16，可以使用换底公式将其转换为log10 16 / log10 23.对数的乘法法则对数的乘法法则是loga (b * c) = loga b + loga c，其中a、b、c为正数，且a、b不等于1、这个法则说明，对数中的乘法可以转换为对数的加法。

4.对数的除法法则对数的除法法则是loga (b / c) = loga b - loga c，其中a、b、c为正数，且a、b不等于1、这个法则说明，对数中的除法可以转换为对数的减法。

5.对数的幂法法则对数的幂法法则是loga (bn) = n * loga b，其中a、b为正数，且a、b不等于1，n为任意实数。

这个法则说明，对数中的幂运算可以转换为对数的乘法。

6.对数的倒数法则对数的倒数法则是loga (1/b) = -loga b，其中a、b为正数，且a、b不等于1、这个法则说明，对数中的倒数可以转换为对数的相反数。

7.对数的幂运算法则对数的幂运算法则是a^loga x = x，其中a、x为正数，且a不等于1、这个法则说明，一个数的对数值乘以底数的指数幂等于这个数本身。

二、常用的对数公式1.常用对数公式常用对数公式是以10为底的对数函数，记作lg x。

2.2.2 换底公式[学习目标] 1.能记住换底公式，并会证明换底公式.2.会利用换底公式解决一些对数式的化简、求值、证明问题.3.能综合利用对数的相关知识解决问题．[预习导引] 1．对数的换底公式换底公式：log a N ＝log c N log c a (a ＞0，a ≠1，c ＞0，c ≠1，N ＞0)．最常用的换底公式是log a N ＝lg N lg a 和log a N ＝ln N ln a. 2．换底公式的两个重要推论 (1)log a m b n＝n mlog a b . (2)log a b ＝1log b a. 解决学生疑难点___________________________________________ __________________________________________________________ __________________________________________________________ __________________________________________________________要点一 利用换底公式求值或化简 例1 求解下列各题：(1)化简(log 43＋log 83)lg2lg3；(2)已知log 1227＝a ，求log 616的值． 解 (1)方法一 原式＝⎝ ⎛⎭⎪⎫lg3lg4＋lg3lg8lg2lg3＝⎝ ⎛⎭⎪⎫lg32lg2＋lg33lg2·lg2lg3＝lg32lg2·lg2lg3＋lg33lg2·lg2lg3＝12＋13＝56. 方法二 原式＝(log 223＋log 233)·log 32 ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12log 23＋13log 23·log 32＝56log 23·log 32＝56. (2)方法一 由log 1227＝a ，得3lg32lg2＋lg3＝a ，∴lg 2＝3－a2alg 3.∴log 616＝lg 16lg 6＝4lg 2lg 2＋lg 3＝4×3－a 2a 1＋3－a 2a ＝4(3－a )3＋a.方法二 由于log 1227＝log 1233＝3log 123＝a ， ∴log 123＝a3.于是log 312＝3a ，即1＋2log 32＝3a.因此log 32＝3－a2a .而log 616＝4log 62＝4log 26＝41＋log 23＝41＋1log 32＝41＋2a 3－a＝4(3－a )3＋a .故log 616＝4(3－a )3＋a.规律方法 1.利用对数的换底公式计算化简时，通常有以下几种思路：一是先依照运算性质：利用对数的运算法则及性质进行部分运算，最后再换成同一底． 二是一次性地统一换为常用对数，再化简、通分、求值．三是将式子中的对数的底数及真数改写为幂的形式，然后利用变形log a m b n＝n mlog a b . 对出现的对数进行化简，当底数和真数都较小时，容易发现它们之间的关系，然后再借助对数的运算法则求值．2．对于换底公式，除了正用以外，也要注意其逆用以及变形应用． 跟踪演练1 (1)求值：log 89·log 2732.(2)已知log 23＝a ，log 37＝b ，试用a ，b 表示log 1456.解 (1)方法一 log 89·log 2732＝lg9lg8·lg32lg27＝2lg33lg2·5lg23lg3＝109.方法二 log 89·log 2732＝log 2332·log 3325＝23log 23·53log 32＝109. (2)∵log 23＝a ，∴log 37＝log 27log 23＝log 27a ＝b .∴log 27＝ab .∴log 1456＝log 256log 214＝log 28＋log 27log 22＋log 27＝3＋log 271＋log 27＝3＋ab1＋ab .要点二 利用对数的换底公式证明等式例2 已知a ，b ，c 均为正数，3a ＝4b ＝6c，求证：2a ＋1b ＝2c.证明 不妨设3a ＝4b ＝6c＝m ，则m ＞0且m ≠1， 于是a ＝log 3m ，b ＝log 4m ，c ＝log 6m .则由换底公式可得1a ＝log m 3，1b ＝log m 4，1c＝log m 6，于是2a ＋1b＝2log m 3＋log m 4＝log m (32×4)＝log m 36＝2log m 6＝2c.因此等式成立．规律方法 1.在已知条件中出现幂值相等的形式时，通常可以设出幂值的结果，然后将指数式转化为对数式，然后结合对数的换底公式、运算法则等进行化简和变形．2．由于对数的运算法则都是针对同底数的对数才能成立的，因此变换底数是解决对数式证明问题的重要环节，当出现的对数的底数不同，但真数相同时，可利用性质log a b ＝1log b a 进行变换．跟踪演练2 已知2m＝5n＝10，求证：m ＋n ＝mn . 证明 由已知可得m ＝log 210，n ＝log 510， 因此1m ＝lg2，1n＝lg5，于是1m ＋1n＝lg2＋lg5＝lg10＝1，即n ＋mmn＝1，故m ＋n ＝mn . 要点三 对数换底公式的综合应用例3 (1)已知11.2a ＝1000,0.0112b＝1000，求1a －1b的值；(2)设log a c ，log b c 是方程x 2－3x ＋1＝0的两根，求log a bc 的值．解 (1)∵11.2a ＝1000，∴lg11.2a＝lg1000， 即a ·lg11.2＝3， 于是1a ＝13lg11.2.同理可得1b ＝13lg0.0112.于是1a －1b ＝13lg11.2－13lg0.0112＝13lg 11.20.0112＝13lg1000＝13×3＝1. (2)由根与系数的关系可得⎩⎪⎨⎪⎧log a c ＋log b c ＝3，log a c ·log b c ＝1，由换底公式可知⎩⎪⎨⎪⎧1log ca ＋1log cb ＝3，1log ca ·1log cb ＝1.因此⎩⎪⎨⎪⎧log c a ·log c b ＝1，log c a ＋log c b ＝3.所以log a b c ＝1log ca b＝1log c a －log c b＝1±(log c a ＋log c b )2－4log c a ·log c b＝±55. 规律方法 对数的知识点的综合应用是本节的重点，它可能用到定义，对数式与指数式的互化，也可能用到换底公式或对数运算的法则，还可能用到其他知识(如一元二次方程根与系数的关系)．解题时应该全方位、多角度地思考，甚至用不同的几种方法去解同一题，然后分析、比较，从而掌握巩固所学的知识． 跟踪演练3 2＋1log a 10比lg a 100大( )A ．3B ．4C ．5D ．6答案 B解析 2＋1log a 10－lg a100＝2＋lg a －(lg a －lg100)＝4.故选B.1．下列各式中错误的是( ) A ．log a b ·log b a ＝1 B ．log c d ＝1log d cC ．log c d ·log d f ＝log c fD ．log a b ＝log b clog a c答案 D2．若2.5x ＝1000,0.25y＝1000，则1x －1y等于( )A.13 B ．3 C ．－13D ．－3答案 A解析 由指数式转化为对数式：x ＝log 2.51000，y ＝log 0.251000，则1x －1y ＝log 10002.5－log 10000.25＝log 100010＝13. 3．log 25125等于( ) A.32 B.23C ．2D ．3答案 A解析 log 25125＝lg125lg25＝3lg52lg5＝32.4．已知log 63＝0.6131，log 6x ＝0.3869，则x ＝________. 答案 2解析 由log 63＋log 6x ＝0.6131＋0.3869＝1. 得log 6(3x )＝1，故3x ＝6，x ＝2. 5.log 89log 23的值是________． 答案 23解析 log 89log 23＝lg9lg8lg3lg2＝lg9·l g2lg8·lg3＝2lg3·lg23lg2·lg3＝23.1.对数换底公式可以把不同底数的对数化为同底数的对数，它在与指数式、对数式有关的计算、化简和证明中将起到重要作用． 2．在什么情况下选用换底公式？(1)在运算过程中，出现不能直接用计算器或查表获得对数值时，可化成以10为底的常用对数进行运算；(2)在化简求值过程中，出现不同底数的对数不能运用运算性质时，可统一化成以同一个实数为底的对数，再根据运算性质进行化简与求值．一、基础达标1．(log 29)·(log 34)等于( ) A.14B.12C ．2D ．4 答案 D解析 原式＝(log 232)·(log 322)＝4(log 23)·(log 32) ＝4·lg3lg2·lg2lg3＝4.2．化简1log 23＋1log 43的结果为( )A ．log38B ．log 83C ．log 36D ．log 63答案 A解析 原式＝log 32＋log 34＝log 38，故选A.3．已知ln2＝a ，ln3＝b ，那么log 32用含a ，b 的代数式表示为( ) A ．a －b B.a bC ．abD ．a ＋b 答案 B解析 log 32＝ln2ln3＝ab，故选B.4．若lg a ，lg b 是方程2x 2－4x ＋1＝0的两个根，则⎝ ⎛⎭⎪⎫lg a b 2的值等于( ) A ．2B.12C ．4D.14答案 A解析 由根与系数的关系， 得lg a ＋lg b ＝2，lg a ·lg b ＝12，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫lg a b 2＝(lg a －lg b )2＝(lg a ＋lg b )2－4lg a ·lg b ＝22－4×12＝2.5．(log 43＋log 83)(log 32＋log 98)＝________. 答案2512解析 原式＝(lg3lg4＋lg3lg8)(lg2lg3＋lg8lg9)＝(lg32lg2＋lg33lg2)(lg2lg3＋3lg22lg3) ＝5lg36lg2·5lg22lg3＝2512. 6．已知lg9＝a,10b＝5，用a ，b 表示log 3645为________． 答案a ＋b2＋a －2b解析 ∵lg9＝a,10b＝5，∴l g5＝b ， ∴log 3645＝lg45lg36＝lg5＋lg9lg9＋lg4＝lg5＋lg9lg9＋2lg2＝lg5＋lg9lg9＋2lg105＝lg5＋lg9lg9＋2(1－lg5)＝a ＋ba ＋2(1－b )＝a ＋b 2＋a －2b.7．计算：(1)lg5·lg8000＋(lg23)2＋lg0.06－lg6； (2)lg 2＋lg3－lg 10lg1.8.解 (1)原式＝lg5(3lg2＋3)＋3(lg2)2＋lg6－2－lg6 ＝3lg5·lg2＋3lg5＋3(lg2)2－2＝3lg2(lg5＋lg2)＋3lg5－2 ＝3lg2＋3lg5－2＝1. (2)原式＝12(lg2＋lg9－lg10)lg1.8＝lg18102lg1.8＝12. 二、能力提升8．若a ＞1，b ＞1，且lg(a ＋b )＝lg a ＋lg b ，则lg(a －1)＋lg(b －1)的值为( ) A ．lg2B ．1C ．0D ．不确定 答案 C解析 lg(a ＋b )＝lg a ＋lg b ＝lg(ab )⇔a ＋b ＝ab ， ∴lg(a －1)＋lg(b －1)＝lg[ab －(a ＋b )＋1]＝lg1＝0. 9．若log 37·log 29·log 49a ＝log 412，则a ＝________.答案22解析 log 37·log 29·log 49a ＝lg7lg3·lg9lg2·lg alg49＝lg7lg3·2lg3lg2·lg a 2lg7＝log 412＝lg12lg 4＝－lg 22lg 2＝－12. ∴lg a lg 2＝－12，∴a ＝2－12＝22. 10．若log a x ＝2，log b x ＝3，log c x ＝6，则log abc x 的值为______． 答案 1解析 log abc x ＝1log x abc ＝1log x a ＋log x b ＋log x c ，∵log a x ＝2，log b x ＝3，log c x ＝6， ∴log x a ＝12，log x b ＝13，log x c ＝16，∴log abc x ＝112＋13＋16＝11＝1.11．若26a ＝33b ＝62c，求证：1a ＋2b ＝3c.证明 设26a ＝33b ＝62c＝k (k ＞0)，那么⎩⎪⎨⎪⎧6a ＝log 2k ，3b ＝log 3k ，2c ＝log 6k ，∴⎩⎪⎨⎪⎧1a ＝6log 2k＝6log k 2，1b ＝3log 3k ＝3log k3，1c ＝2log 6k ＝2log k6.∴1a ＋2b＝6·log k 2＋2×3log k 3＝log k (26×36)＝6log k 6＝3×2log k 6＝3c，即1a ＋2b ＝3c.12．设a ＞1，若对于任意的x ∈[a,2a ]，都有y ∈[a ，a 2]满足方程log a x ＋log a y ＝3，求a 的取值范围．解 ∵log a x ＋log a y ＝3，∴log a xy ＝3，∴xy ＝a 3，∴y ＝a 3x.∵函数y ＝a 3x (a ＞1)在[a,2a ]上为减函数，又当x ＝a 时，y ＝a 2，当x ＝2a 时，y ＝a 32a ＝a 22，∴⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 22，a 2⊆[a ，a 2]，∴a 22≥a ，又a ＞1，∴a ≥2，∴a 的取值范围为a ≥2. 三、探究与创新13．设x ，y ，z 均为正数，且3x＝4y＝6z. (1)试求x ，y ，z 之间的关系；(2)求使2x ＝py 成立，且与p 最接近的正整数(即求与p 的差的绝对值最小的整数)； (3)比较3x,4y,6z 的大小．解 (1)设3x＝4y＝6z＝t ，由x ＞0，知t ＞1， 故取以t 为底的对数，得x log t 3＝y log t 4＝z log t 6＝1， ∴x ＝1log t 3，y ＝1log t 4，z ＝1log t 6，1z －1x ＝log t 6－log t 3＝log t 2＝12log t 4＝12y ， ∴x ，y ，z 之间的关系为1z －1x ＝12y.(2)p ＝2x y ＝2log t 3·log t 4＝2·log 34＝log 316.由9＜16＜27，得log 39＜log 316＜log 327，从而2＜p ＜3. 而p －2＝log 316－log 39＝log 3169，3－p ＝log 327－log 316＝log 32716.由169÷2716＝256243＞1，得169＞276. ∴p －2＝log 3169＞log 32716＝3－p ，故所求正整数为3.(3)∵3x －4y ＝3log 3t －4log 4t ＝3lg t lg3－4lg tlg4＝lg t (3lg4－4lg3lg3·lg4)＝lg t lg3·lg4(lg43－lg34)．而lg t ＞0，lg3＞0，lg4＞0，lg43＜lg34， ∴3x ＜4y .又∵4y －6z ＝2(2log 4t －3log 6t )＝2(2lg t lg4－3lg tlg6)＝2lg t (2lg6－3lg4)lg4·lg6＝2lg t (lg62－lg43)lg4·lg6.而lg t ＞0，lg4＞0，lg6＞0，lg62＜lg43， ∴4y ＜6z ，故有3x ＜4y ＜6z。

3.4.2 换底公式导入新课问题 从对数的定义可以知道，任意不等于1的正数都可作为对数的底，数学史上，人们经过大量的努力，制作了常用对数表和自然对数表，只要通过查表就能求出任意正数的常用对数或自然对数，这样，如果能将其他底的对数转换为以10为底或以e 为底的对数就能方便地求出任意不等于1的正数为底的对数，那么，怎么转化呢？这就需要一个公式，即对数的换底公式，从而引出课题．新知探究提出问题①已知lg 2＝0.301 0，lg 3＝0.477 1，求log 23的值.②根据①，如a >0，a ≠1，你能用含a 的对数式来表示log 23吗？③更一般地，我们有log a b ＝log c b log c a，如何证明？④证明log a b ＝log c b log c a的依据是什么？⑤你能用自己的话概括出换底公式吗？⑥换底公式的意义是什么？有什么作用？活动：学生针对提出的问题，交流讨论，回顾所学，力求转化，教师适时指导，必要时提示学生解题的思路，给学生创造一个互动的学习环境，培养学生的创造性思维能力．对①目前还没有学习对数的换底公式，它们又不是同底，因此可考虑对数的定义，转化成方程来解；对②参考①的思路和结果的形式，借助对数的定义可以表示；对③借助①②的思路，利用对数的定义来证明；对④根据证明的过程来说明；对⑤抓住问题的实质，用准确的语言描述出来，一般是按照从左到右的形式；对⑥换底公式的意义就在于对数的底数变了，与我们的要求接近了．讨论结果：①因为lg 2＝0.301 0，lg 3＝0.477 1，根据对数的定义，所以100.301 0＝2,100.477 1＝3.不妨设log 23＝x ，则2x ＝3，所以(100.301 0)x ＝100.477 1，100．301 0×x ＝100.477 1，即0.301 0x ＝0.477 1，x ＝0.477 10.301 0＝lg 3lg 2. 因此log 23＝lg 3lg 2＝0.477 10.301 0≈1.585 1. ②根据①我们看到，最后的结果是log 23用lg 2与lg 3表示，是通过对数的定义转化的，这就给我们以启发，本来是以2为底的对数转换成了以10为底的对数，不妨设log 23＝x ，由对数定义知道，2x ＝3，两边都取以a 为底的对数，得log a 2x ＝log a 3，x log a 2＝log a 3，x ＝log a 3log a 2，也就是log 23＝log a 3log a 2. 这样log 23就表示成了以a 为底的3的对数与以a 为底的2的对数的商．③证明log a b ＝log c b log c a. 证明：设log a b ＝x ，由对数定义知道，a x ＝b ；两边取c 为底的对数，得log c a x ＝log c b x log c a ＝log c b ；所以x ＝log c b log c a ，即log a b ＝log c b log c a. 一般地，log a b ＝log c b log c a(a ＞0，a ≠1，b ＞0，c ＞0，c ≠1)称为对数换底公式． ④由③的证明过程来看，换底公式的证明要紧扣对数的定义，证明的依据是：若M ＞0，N ＞0，M ＝N ，则log a M ＝log a N .⑤一个数的对数，等于同一底数的真数的对数与底数的对数的商，这样就把一个对数变成了与原来对数的底数不同的两个对数的商．⑥换底公式的意义就在于把对数式的底数改变，把不同底问题转化为同底问题，为使用运算法则创造条件，更方便化简求值．说明：我们使用的计算器中，“log”通常是常用对数，因此要使用计算器计算对数，一定要先用换底公式转化为常用对数．如log 23＝lg 3lg 2， 即计算log 23的值的按键顺序为：“log”→“3”→“÷”→“log”→“2”→“＝”．再如：在前面要求我国人口达到18亿的年份，就是要计算x ＝log 1.011813， 所以x ＝log 1.011813＝lg 1813lg 1.01＝lg 18－lg 13lg 1.01≈1.255 3－1.1390.043＝32.883 7≈33年． 可以看到运用对数换底公式，有时要方便得多．应用示例例1计算：(1)log 927；(2)log 89·log 2732.活动：学生观察题目，思考讨论，互相交流，教师适时提示，学生板演，利用换底公式统一底数；根据题目的特点，底数不同，所以考虑把底数统一起来，可以化成常用对数或以2为底的对数，以3为底的对数也可．(1)解：log 927＝log 327log 39＝32. (2)解法一：log 89·log 2732＝lg 9lg 8·lg 32lg 27＝2lg 33lg 2·5lg 23lg 3＝109. 解法二：log 89·log 2732＝log 29log 28·log 232log 227＝2log 233·53log 23＝109. 解法三：log 89·log 2732＝log 39log 38·log 332log 327＝23log 32·5log 323＝109. 点评：灵活运用对数的换底公式是解决问题的关键．例2 用科学计算器计算下列对数(精确到0.001)：log 248；log 310；log 8π；log 550；log 1.0822.解：log 248＝5.585；log 310＝2.096；log 8π≈0.550；log 550＝2.431；log 1.0822＝8.795.例3 (1)证明log a x log ab x＝1＋log a b ； (2)已知log a 1b 1＝log a 2b 2＝…＝log a n b n ＝λ，求证：log a 1a 2…a n (b 1b 2…b n )＝λ.活动：学生思考、讨论，教师适当提示：(1)运用对数换底公式，统一成以a 为底的对数，或利用对数的定义，分别把三个式子设出，再由定义转化成指数形式，利用指数幂的性质得解，利用换底公式可直接得解；(2)这是条件证明问题，应在现有条件下利用换底公式，转化成积的形式，从题目的结论来看，真数是积的形式，因此要创造对数的和的形式，这就想到先换底，再利用等比性质来解．(1)证法一：设log a x ＝p ，log ab x ＝q ，log a b ＝r ，则x ＝a p ，x ＝(ab )q ＝a q b q ，b ＝a r .所以a p ＝(ab )q ＝a q (1＋r )，从而p ＝q (1＋r )．因为q ≠0，所以p q ＝1＋r ，即log a x log ab x＝1＋log a b (获证)． 证法二：左边＝log a x log ab x ＝log x ab log x a＝log a ab ＝1＋log a b ＝右边． (2)证明：因为log a 1b 1＝log a 2b 2＝…＝log a n b n ＝λ，所以由换底公式得lg b 1lg a 1＝lg b 2lg a 2＝…＝lg b n lg a n＝λ.由等比定理，所以lg b 1＋lg b 2＋…＋lg b n lg a 1＋lg a 2＋…＋lg a n ＝λ.所以b 1b 2…b n a 1a 2…a n＝λ. 所以log a 1a 2…a n (b 1b 2…b n )＝b 1b 2…b n a 1a 2…a n＝λ. 点评：在解题过程中，根据题目的需要，把底数转化，换底公式可完成不同底数的对数式之间的转化，该公式既可正用，又可逆用，使用时的关键是选择底数，换底的目的是实现对数式的化简．例4 一种放射性物质不断变化为其他物质，每经过一年剩留的质量约是原来的84%，估计约经过多少年，该物质的剩留量是原来的一半(结果保留1个有效数字)．活动：学生审题，教师引导，学生交流，展示自己的思维过程，教师强调实际问题的注意事项．根据题目给出的数学模型及其含义来解决．这是实际问题，但题目给出了数学模型即关系式，关系式是以常用对数的形式给出，因此要利用对数的定义和运算性质，同时要使实际问题有意义．解：设最初的质量是1，经过x 年，剩留量是y .则经过1年，剩留量是y ＝0.84；经过2年，剩留量是y ＝0.842；……经过x 年，剩留量是y ＝0.84x .即约经过4年，该物质的剩留量是原来的一半．方法二：依题意得0.84x ＝0.5，用科学计算器计算得x ＝log 0.840.5＝ln 0.5ln 0.84＝3.98， 即约经过4年，该物质的剩留量是原来的一半．拓展提升 探究换底公式的其他证明方法：活动：学生讨论、交流、思考，教师可以引导：大胆设想，运用对数的定义及运算性质和指数幂的运算性质．证法一：设log a N ＝x ，则a x ＝N ，两边取以c (c ＞0且c ≠1)为底的对数，得log c a x ＝log c N ，所以x log c a ＝log c N ，即x ＝log c N log c a .故log a N ＝log c N log c a. 证法二：由对数恒等式，得N ＝a log a N ，两边取以c (c ＞0且c ≠1)为底的对数，得log c N＝log a N ·log c a ，所以log a N ＝log c N log c a. 证法三：令log c a ＝m ，log a N ＝n ，则a ＝c m ，N ＝a n ，所以N ＝(c m )n ＝c mn .两边取以c (c ＞0且c ≠1)为底的对数，得mn ＝log c N ，所以n ＝log c N m ，即log a N ＝log c N log c a. 对数换底公式的应用：换底公式log a N ＝log c N log c a(c ＞0且c ≠1，a ＞0且a ≠1，N ＞0)的应用包括两个方面，即由左端到右端的应用和由右端到左端的应用，前者较为容易，而后者则易被学生忽视，因此，教学时应重视后者的用法，下面仅就后者举例说明：例：化简：log a M log a N ＋log b M log b N ＋log c M log c N ＋log d M log d N. 解：原式＝log N M ＋log N M ＋log N M ＋log N M ＝4log N M .课堂练习：P86 练习2，3，4课堂小结：1．对数换底公式．2．换底公式可用于对数式的化简、求值或证明．若对数式的底数和真数可转化成同底数的幂的形式，则该幂底数可被选作换底公式的底数，也可把对数式转化成以10为底的常用对数或以任意数a (a ＞0且a ≠1)为底的对数式的形式，进行化简、求值或证明．课后作业：P88 习题3-4B 组 4 补充：已知1271log 7＝a ，131log 5＝b ，求log 81175的值． 2．求证：(log 23＋log 49＋log 827＋…＋log 2n 3n )log 9n32＝52.。