换底公式的证明及其应用
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换底公式的五个推论及其证明换底公式是指在对数运算中,当底数不一致时如何转化为同一底数进行计算。
它有五个常用的推论,分别是:推论一:对数的乘法规则对数的乘法规则是指loga(M×N) = loga(M) + loga(N),其中a表示底数,M和N分别表示两个正数。
该公式表明,两个正数的乘积的对数等于这两个正数的对数之和。
推论二:对数的除法规则对数的除法规则是指loga(M÷N) = loga(M) - loga(N),其中a表示底数,M和N分别表示两个正数。
该公式表明,两个正数的商的对数等于这两个正数的对数之差。
推论三:对数的幂次规则对数的幂次规则是指loga(M^k) = k*loga(M),其中a表示底数,M 表示正数,k表示任意实数。
该公式表明,一个正数的幂的对数等于这个正数的对数乘以幂。
推论四:对数函数的换底公式对数函数的换底公式是指loga(M) = (logb(M))/(logb(a)),其中a 和b分别表示底数,M表示正数。
该公式表明,如果要求一些正数的以a 为底的对数,可以将其转化为以b为底的对数进行计算,其中b可以是任意一个正数。
推论五:自然对数的换底公式自然对数的换底公式是指ln(M) = (loge(M))/(loge(a)),其中M表示正数,e表示自然对数的底数。
该公式表明,如果要求一些正数的自然对数,可以将其转化为以任意一个底数a为底的对数进行计算。
下面对这五个推论进行证明:证明推论一:假设loga(M×N) = x,根据对数的定义可得a^x = M×N。
又假设loga(M) = y,根据对数的定义可得a^y = M。
同理,假设loga(N) = z,根据对数的定义可得a^z = N。
将上述三式相乘可得(a^y)(a^z)=M×N,即a^(y+z)=M×N。
由指数运算的性质可知,a^(y+z)=a^x,因此得到x=y+z。
换底公式1形式编辑[1] 换底公式是⼀个⽐较重要的公式,在很多对数的计算中都要使⽤,也是⾼中数学的重点。
另有两个推论。
log a(b)表⽰以a为底的b的对数。
换底公式就是loga(b)=logc(b)/logc(a)(a,c均⼤于零且不等于1)2应⽤编辑数学对数在数学对数运算中,通常是不同底的对数运算,这时就需要换底。
.通常在处理数学运算中,将⼀般底数转换为以e为底(即In)的⾃然对数或者是转换为以10为底(即lg)的常⽤对数,⽅便于我们运算;有时也通过⽤换底公式来证明或求解相关问题;在计算器上计算对数时需要⽤到这个公式。
例如,⼤多数计算器有[ln]和[log10]的按钮,但却没有[log2]的。
要计算log2(3),你只有计算log10(3) / log10(2)(或 ln(3)/ln(2),两者结果⼀样);⼯程技术在⼯程技术中,换底公式也是经常⽤到的公式,例如,在编程语⾔中,有些编程语⾔(例如C语⾔)没有以a为底b为真数的对数函数;只有以常⽤对数10为底的对数或⾃然对数e为底的对数(即Ig、In),此时就要⽤到换底公式来换成以e或者10为底的对数来表⽰出以a为底b为真数的对数表达式,从⽽来处理某些实际问题。
3推导过程编辑若有对数log a(b)设a=n^x,b=n^y(n>0,且n不为1)则 loga(b)=log(n^x)(n^y)根据对数的基本公式loga(M^n)=nlogaM和基本公式log(a^n)M=1/n×logaM易得log(n^x)(n^y)=ylog(n^x)n=y/x lognn=y/x由 a=n^x,b=n^y可得 x=logna,y=lognb则有:loga(b)=log(n^x)(n^y)=lognb/logna得证:logab=lognb/logna例⼦:logc* loga=logc/loga *loga=logc=1利⽤换底公式可推导下⾯结论(1) logam(bn)=n/mlogab ( am是底数) (2) logab=1/logba⽅法2若有对数loga(b)=x则a^x=ba=(x)√bc^log(c)(a)=(x)√bc^[x·log(c)(a)]=b两边取以c为底的对数得x·log(c)(a)=log(c)(b)x=log(c)(b)/log(c)(a)即loga(b)=log(c)(b)/log(c)(a)换底公式图册(8)换底公式图册(9)。
换底公式的证明及其应用换底公式是对数运算、证明中重要的公式,但有些同学对其理解不深,应用不好,故下面加以补充,希望对同学们的学习能有所帮助.一、换底公式及证明换底公式:log b N =log a N log a b . 证明 设log b N =x ,则b x =N .两边均取以a 为底的对数,得log a b x =log a N ,∴x log a b =log a N .∴x =log a N log a b ,即log b N =log a N log a b . 二、换底公式的应用举例1.乘积型例1 (1)计算:log 89·log 2732;(2)求证:log a b ·log b c ·log c d =log a d .分析 先化为以10为底的常用对数,通过约分即可解决.解 (1)换为常用对数,得log 89·log 2732=lg 9lg 8·lg 32lg 27=2lg 33lg 2·5lg 23lg 3=23×53=109.(2)由换底公式,得log a b ·log b c ·log c d =lg b lg a ·lg c lg b ·lg d lg c =log a d .评注 此类型题通常换成以10为底的常用对数,再通过约分及逆用换底公式,即可解决.2.知值求值型例2 已知log 1227=a ,求log 616的值.分析 本题可选择以3为底进行求解.解 log 1227=log 327log 312=a ,解得log 32=3-a 2a . 故log 616=log 316log 36=4log 321+log 32=4×3-a 2a 1+3-a 2a=4(3-a )3+a . 评注 这类问题通常要选择适当的底数,结合方程思想加以解决.3.综合型例3 设A =1log 519+2log 319+3log 219,B =1log 2π+1log 5π,试比较A 与B 的大小.分析 本题可选择以19及π为底进行解题.解 A 换成以19为底,B 换成以π为底,则有A =log 195+2log 193+3log 192=log 19360<2,B =log π2+log π5=log π10>log ππ2=2.故A <B .评注 一般也有倒数关系式成立,即log a b ·log b a =1,log a b =1log b a .。
对数的换底公式及其推论一、复习引入:对数的运算法则如果 a > 0,a 丰 1,M > 0, N > 0 有:log a (MN) Jog a M gN ⑴ 蛰lo (2)log.M n 二 nlog a M(n R) (3)、新授内容: 1•对数换底公式:证明:设 log a N = x ,贝U a x= N -两边取以m 为底的对数:log m a x= log m N = x log m a = log m N2•两个常用的推论① log a b log b a =1 , logblogcloga" * ②log a mb " = ^log a b ( a, b > 0 且均不为 1)・m证:① log a b log b a == 1 亠 lga lg b三、讲解范例:lOg a Nlog m N log m a(a > 0 ,a 丰 1 , m > 0 ,m 丰 1,N>0) *从而得: log m N x =log m alog a Nlog m N log m a② log a m b n_ lgb n = nig b lga mmlga弋log ab例 1 已知 log 2 3 = a , log 3 7 = b, 用 a, b 表示 log 42 56 解:因为log 2 3 = a ,则1log 3 2 , 又/log 3 7 =b,a •'•log 42 56log 3 56 log 342 log 3 7 3 log 3 2 log 3 7 log 32 1ab 3 ab b 1例2计算:①51-log。
/log 4 3 log 9 2 - log 1 4322解: ①原式55叫.23 5r log5-5 34=153 ②原式=~log 232log 32x, y,z (0,::)且3x=4y=111求证+ :;2x 2y z例3设 1 =6z =k =4y 1 :设 3x 6z十彳log 2 2比较3x,4y,6z 的大小-证明 •/x, y, z (0, ::) /.k 1 取对数得:yJ gkz=3 lg4lg6••丄丄 x 2y _ lg3 . lg4 _lgk 2lgk 2lg3 lg4 2lgk 2lg3 2lg22lgklg6 lgk3 23—(浜—)lgk 二 lg4 lg6^lg81lgk lg3lg464 lg klg -81::: 0 lg3lg4•'•3x :: 4y又:4y-6z=(二lg4 lg6 lg k lg -96、「 lg36 -lg64 16小)lg klg k16:: 0lg2lg6lg2lg6•'4y ::: 6z•'•3x ::: 4y ::: 6z .例 4 已知 log a x= log a C+b ,求 x.分析:由于x 作为真数,故可直接利用对数定义求解;另外,由于等式右端为两实数和的形式,b 的存在使变形产生困难,故可考虑将 log a C 移到等式左端,或者将b 变为对数形式• 解法由对数定义可知: 乂二才叫小口吋a b=c a b. 解法二:x由已知移项可得log a x-log a c =b ,即log a b cx b b由对数定义知:a • x 二c a •c解法三:b=log a a b log a x = log a c Tog a a b = log a c a b . x=ca b四、课堂练习:①已知 log 18 9 = a , 18 = 5 ,用 a, b 表小 log 36 45解:••• 18 log 18 9 = a /.log 18 —1 -log 18 •log 182 = 1 _a••• 18b= 5 • log 185 = bl o g 8 9 l o g 8 5 a b 1 l o g 8 2 2 - a②若 log 8 3 = p , log 3 5 = q ,求 lg 5log 36 45log i8 45 log i8 36三、小结 本节课学习了以下内容:换底公式及其推论 四、课后作业:1 .证明:log ax =1 log ablog ab x证法 1:设 log a X 二 p , log ab X 二 q , log a b 二 r贝U : x=a px=(ab)q=a q b qb=a r•a P= (ab)q = aq(1 r)从而 p = q(1 ■ r)•••q=0 •- =1 r 即:log a x= 1 log a b (获证) q log ab xlog a x log x ab 证法2:由换底公式 左边=- - log a ab = 1 log a b =右边 log ab x log x a2•已知 lo g a ! b 1 = lo g a 2 b2 = = log a n bn ='求证:Sg a^ a n (b 1b2bn)二,证明:由换底公式 业二眶二•…二皿二■由等比定理得:lg a 1 lg a 2lg a .lg d +lg b 2 + …+lgb n _ ? . lg(db2…b n )lga 1 lga 2 lg a nlg(a£2 a n )•log a 1a 2 a n 隔b n )巒解:T log 8 3 = p•」og 23 3= P =■ log 2 3 = 3 p =• log 3 21 3p又 v log 3 5 二 qlog 3 5 log 3 5log 310 log 3 2 log 353pq 1 3pqlg(a1a2 a n)THANKS !!! 致力为企业和个人提供合同协议,策划案计划书,学习打造全网一站式需求欢迎您的下载,资料仅供参考。
对数的换底公式推导
对数的换底公式是数学中一个很重要的公式,它可以用来计算不同对数之间的关系,成为科学研究中不可缺少的一部分。
本文将通过证明换底公式来帮助读者理解其中的原理。
首先,我们要明确一下关于对数的概念,以及换底公式的定义。
对数(log)是一个抽象概念,它表示两个数字之间的关系。
换底公式(logab = logcb / logca)指的是两个对数(logab logcb)之间的关系,即logab于logcb以logca商。
接下来,我们来证明换底公式。
设有两个数ab,其中ab0。
由于logab = logcb / logca,我们可以认为:
b = c^(logca logcb )
下一步,我们可以将b两边同时乘以a:
ab = c^(logca logcb ) a
我们知道,ab于cn幂。
我们可以进一步将上式简化为:
ab = c^(logca + logcb )
以上就是换底公式的证明。
换底公式的应用不仅限于简单的计算,它也可以用于更深层次的研究。
比如,由于logar = logbr + logcr,因此可以用换底公式推导出ab 之间的指数表达式。
此外,换底公式还可以用于方程解等数学问题。
比如,在一个简单的方程中,如果已知ab对数,则可以通过换底公式求解方程。
综上所述,换底公式是一个重要的数学公式,它不仅可以用于简
单的计算,还可以用于更深层次的研究,从而为科学研究带来更多可能性。
换底公式换底公式是⼀个⽐较重要的公式,在很多对数的计算中都要使⽤,也是⾼中数学的重点。
另有两个推论如下:log a(b)表⽰以a为底的b的对数。
换底公式就是log(a)(b)=log(c)(b)/log(c)(a)(a,c 均⼤于零且不等于1)。
基本信息中⽂名:换底公式英⽂名:base changing formula for lograithms适⽤学科:数学、计算机适⽤范围:对数的计算,⾼中数学公式成⽴条件:a,c均⼤于零且不等于1推论个数:2形式正在加载换底公式换底公式是⼀个⽐较重要的公式,在很多对数的计算中都要使⽤,也是⾼中数学的重点。
另有两个推论。
loga(b)表⽰以a为底的b的对数。
换底公式就是log(a)(b)=log(c)(b)/log(c)(a)(a,c均⼤于零且不等于1)推导过程若有对数log(a)(b)设a=n^x,b=n^y(n>0,且n不为1)如:log(10)(5)=log(5)(5)/log(5)(10)则log(a)(b)=log(n^x)(n^y)根据对数的基本公式log(a)(M^n)=nloga(M)和基本公式log(a^n)M=1/n×log(a) M易得log(n^x)(n^y)=y/x由a=n^x,b=n^y可得x=log(n)(a),y=log(n)(b)则有:log(a)(b)=log(n^x)(n^y)=log(n)(b)/log(n)(a)得证:log(a)(b)=log(n)(b)/log(n)(a)例⼦:log(a)(c) * log(c)(a)=log(c)(c)/log(c)(a) *log(c)(a)=log(c)(c)=1应⽤数学对数在数学对数运算中,通常是不同底的对数运算,这时就需要换底。
.通常在处理数学运算中,将⼀般底数转换为以e为底(即In)的⾃然对数或者是转换为以10为底(即lg)的常⽤对数,⽅便于我们运算;有时也通过⽤换底公式来证明或求解相关问题;在计算器上计算对数时需要⽤到这个公式。
换底公式的6个推论换底公式是初中数学中的重要知识点,它是解决三角函数的周期性问题的有力工具。
换底公式有6个推论,本文将逐个介绍并解释这些推论的应用。
1. 推论一:sin(x) = cos(90° - x)换底公式的第一个推论是sin函数与cos函数的关系。
根据三角函数的定义,sin(x)表示角度x的正弦值,cos(x)表示角度x的余弦值。
推论一指出,对于任意角度x来说,它的正弦值等于90°减去该角度的余弦值。
这个推论的应用十分广泛,可以用来简化计算,特别是在求解不同角度的三角函数值时。
2. 推论二:cos(x) = sin(90° - x)推论二是推论一的逆命题,它指出,对于任意角度x来说,它的余弦值等于90°减去该角度的正弦值。
这个推论可以与推论一一起使用,互相验证结果的正确性。
3. 推论三:tan(x) = cot(90° - x)推论三是tan函数与cot函数的关系。
tan(x)表示角度x的正切值,cot(x)表示角度x的余切值。
推论三说明,对于任意角度x来说,它的正切值等于90°减去该角度的余切值。
这个推论可以用来简化计算,特别是在求解不同角度的三角函数值时。
4. 推论四:cot(x) = tan(90° - x)推论四是推论三的逆命题,它指出,对于任意角度x来说,它的余切值等于90°减去该角度的正切值。
这个推论可以与推论三一起使用,互相验证结果的正确性。
5. 推论五:sec(x) = csc(90° - x)推论五是sec函数与csc函数的关系。
sec(x)表示角度x的正割值,csc(x)表示角度x的余割值。
推论五说明,对于任意角度x来说,它的正割值等于90°减去该角度的余割值。
这个推论可以用来简化计算,特别是在求解不同角度的三角函数值时。
6. 推论六:csc(x) = sec(90° - x)推论六是推论五的逆命题,它指出,对于任意角度x来说,它的余割值等于90°减去该角度的正割值。
换底公式的证明及其应用 换底公式是对数运算、证明中重要的公式,但有些同学对其理解不深,应用不好,故下面加以补充,希望对同学们的学习能有所帮助.一、换底公式及证明换底公式:log b N =log a N log a b . 证明 设log b N =x ,则b x =N .两边均取以a 为底的对数,得log a b x =log a N ,∴x log a b =log a N .∴x =log a N log a b ,即log b N =log a N log a b . 二、换底公式的应用举例1.乘积型例1 (1)计算:log 89·log 2732;(2)求证:log a b ·log b c ·log c d =log a d .分析 先化为以10为底的常用对数,通过约分即可解决.解 (1)换为常用对数,得log 89·log 2732=lg 9lg 8·lg 32lg 27=2lg 33lg 2·5lg 23lg 3=23×53=109.(2)由换底公式,得log a b ·log b c ·log c d =lg b lg a ·lg c lg b ·lg d lg c =log a d .评注 此类型题通常换成以10为底的常用对数,再通过约分及逆用换底公式,即可解决.2.知值求值型例2 已知log 1227=a ,求log 616的值.分析 本题可选择以3为底进行求解.解 log 1227=log 327log 312=a ,解得log 32=3-a 2a . 故log 616=log 316log 36=4log 321+log 32=4×3-a 2a 1+3-a 2a=4?3-a ?3+a . 评注 这类问题通常要选择适当的底数,结合方程思想加以解决.3.综合型例3 设A =1log 519+2log 319+3log 219,B =1log 2π+1log 5π,试比较A 与B 的大小.分析 本题可选择以19及π为底进行解题.解 A 换成以19为底,B 换成以π为底,则有A =log 195+2log 193+3log 192=log 19360<2,B =log π2+log π5=log π10>log ππ2=2.故A <B .评注 一般也有倒数关系式成立,即log a b ·log b a =1,log a b =1log b a.。
换底公式的证明换底公式是数学中的一种重要公式,用于求解不同底数的对数之间的关系。
它在数学和科学研究中被广泛应用,对于解决问题和简化计算过程具有重要意义。
下面将给出换底公式的证明过程。
我们先回顾一下对数的定义。
对数是指数运算的逆运算,用来表示底数为a的幂运算的结果是多少。
具体地说,如果a^x = b,则记作x = log_a(b),其中a称为底数,x称为对数,b称为真数。
现在我们来证明换底公式。
设对数的底数为a和c,对数的真数为b。
我们要证明的是log_a(b) = log_c(b) / log_c(a)。
为了证明这个等式,我们可以使用对数的定义和指数运算的性质进行推导。
根据对数的定义,我们有a^log_a(b) = b。
这意味着对数log_a(b)是底数为a的幂运算的结果是b。
接下来,我们将这个等式转化为指数形式。
将等式两边同时以c为底数取对数,得到log_c(a^log_a(b)) = log_c(b)。
根据指数运算的性质,我们可以将指数移到对数的外面,得到log_c(b) = log_c(a) * log_a(b)。
这里,我们用到了对数的换底公式:log_a(b) = log_c(b) / log_c(a)。
因此,我们证明了换底公式的正确性。
换底公式的证明过程相对简单,但是应用范围广泛。
它可以帮助我们在计算过程中,将底数不同的对数转化为底数相同的对数,从而简化计算。
在一些数学问题和科学实验中,我们常常需要进行对数运算,而换底公式能够为我们提供便利。
总结一下,换底公式是数学中的一种重要工具,用于求解不同底数的对数之间的关系。
通过对对数的定义和指数运算的性质进行推导,我们可以得到换底公式的证明过程。
这个公式在数学和科学研究中具有广泛的应用价值,能够帮助我们简化计算,解决问题。
换底公式的证明及其应
用
Company number:【WTUT-WT88Y-W8BBGB-BWYTT-19998】
换底公式的证明及其应用
换底公式是对数运算、证明中重要的公式,但有些同学对其理解不深,应用不好,故下面加以补充,希望对同学们的学习能有所帮助.
一、换底公式及证明
换底公式:log b N =log a N log a b . 证明 设log b N =x ,则b x =N .两边均取以a 为底的对数,得log a b x =log a N ,∴x log a b =log a N .
∴x =log a N log a b ,即log b N =log a N log a b . 二、换底公式的应用举例
1.乘积型
例1 (1)计算:log 89·log 2732;
(2)求证:log a b ·log b c ·log c d =log a d .
分析 先化为以10为底的常用对数,通过约分即可解决.
解 (1)换为常用对数,得
log 89·log 2732=lg 9lg 8·lg 32lg 27=2lg 33lg 2·5lg 23lg 3=23×53=109.
(2)由换底公式,得
log a b ·log b c ·log c d =lg b lg a ·lg c lg b ·lg d lg c =log a d .
评注 此类型题通常换成以10为底的常用对数,再通过约分及逆用换底公式,即可解决.
2.知值求值型
例2 已知log 1227=a ,求log 616的值.
分析 本题可选择以3为底进行求解.
解 log 1227=log 327log 312=a ,解得log 32=3-a 2a . 故log 616=log 316log 36=4log 321+log 32=4×3-a 2a 1+3-a 2a
=4?3-a ?3+a . 评注 这类问题通常要选择适当的底数,结合方程思想加以解决.
3.综合型
例3 设A =1log 519+2log 319+3log 219,B =1log 2π+1log 5π,试比较A 与B 的大小.
分析 本题可选择以19及π为底进行解题.
解 A 换成以19为底,B 换成以π为底,
则有A =log 195+2log 193+3log 192=log 19360<2,
B =log π2+log π5=log π10>log ππ2=2.故A <B .
评注 一般也有倒数关系式成立,即log a b ·log b a =1,log a b =1log b a .。