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第八章 假设检验习题课

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贾俊平《统计学》课后习题-第八章至第十四章(圣才出品)

贾俊平《统计学》课后习题-第八章至第十四章(圣才出品)
而 Z0.025 1.96 >|－1.833|，因此不能拒绝原假设，即可认为现在生产的铁水平均含碳
量为 4.55。
2．一种元件，要求其使用寿命不得低于 700 小时。现从一批这种元件中随机抽取 36
件，测得其平均寿命为 680 小时。已知该元件寿命服从正态分布， =60 小时，试在显著
性水平 0.05 下确定这批元件是否合格。 解：建立假设：
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答：如果减小 错误，就会增大犯β错误的机会；若减小β错误，也会增大犯 错误的 机会。如果想使 和β同时变小，就只有增大样本量。
5．解释假设检验中的 P 值。 答：P 值就是当原假设为真时所得到的样本观察结果或更极端结果出现的概率。如果 P 值很小，说明这种情况发生的概率很小，而如果出现了，根据小概率原理，就有理由拒绝原 假设，P 值越小，拒绝原假设的理由就越充分。
H0 ： 700 ， H1 ： 700
这是左侧检验，并且方差已知，检验统计量 Z 为：
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Z 680 700 2 60 / 36
而 Z0.05 1.645 2 ，因此拒绝原假设，即在显著性水平 0.05 下这批元件是不合
8．在单侧检验中原假设和备择假设的方向如何确定？
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答：单侧检验有两种情况：一种是所考察的数值越大越好，也就是左单侧检验，要求原
假设取 ，相应的备择假设取<；另一种是数值越小越好，也就是右单侧检验，要求原假设 取 ，相应的备择假设取>。
n
9
n
(xi x )2

第8章 假设检验习题

第8章 假设检验习题
2
7 165 166
8 177 175
2
设各对数据的差 d= 是来自正态总体 N ( µ , σ ) 的样本, µ , σ 均未知. xi − yi（ i = 1, 2, ,8 ） i 问是否可以认为早晨的身高比晚上的身高要高( α = 0.05 )? 解 因为 di ~ N ( µ , σ 2 ) ( i = 1, 2, ,8 ),所以该题即为方差未知情况下,单个正态总体均
U=
X − µ0
σ
n
~ N (0,1) T= X − µ0 n S ~ t (n -1)
µ
未知
σ 2 = σ 02
σ 2 ≠ σ 02
σ 2 ≤ σ 02
σ 2 ≥ σ 02
σ 2 > σ 02
σ 2 < σ 02
χ2 =
(n − 1) S 2
| U | > Uα / 2 U > Uα U < −U α | T | > tα / 2 T > tα T < −tα 2 2 χ < χ 1−α / 2 或 χ 2 > χ α2 / 2
P{拒绝为真 H0 H0 }=α . 若原假设 H 0 为不真,但检验结果却接受了 H 0 ,这类错误称为第二类错误,又称为“纳伪” 错误.犯第二类错误的概率记为 β ,即 P{接收不真 H0 H0 }= β . 在样本容量一定时, α ， β 不能同时减小.
6.假设检验的基本步骤 （1）提出原假设 H 0 和备择假设 H 1 ; （2）选择统计量,求出在 H 0 成立的前提下,该统计量的概率分布; （3）由给定的显著性水平 α ,确定检验的拒绝域 W ; （4）根据样本值,计算统计量的观测值,若它落入拒绝域 W ,则拒绝 H 0 ,否则接受 H 0 .

第八章、假设检验

第八章、假设检验

第八章、假设检验一、应用题：1．某工厂正常情况下生产的电子元件的使用寿命2~(1600,80)X N ，从该工厂生产的一批电子元件中抽取9个，测得它们使用寿命的平均值为1540（小时），如果使用寿命的标准差σ不变，能否认为该工厂生产的这批电子元件使用寿命的均值μ=1600（小时）？ （附：检验水平0.050.0250.050.0250.05, 1.645, 1.96,(8) 1.86,(8) 2.31u u t t α===== ）2．.某工厂正常情况下生产的电子元件的使用寿命2~(1600,80)X N ，从该工厂生产的一批电子元件中抽取9个，测得它们使用寿命的平均值为1540（小时），如果使用寿命的标准差σ不变，能否认为该工厂生产的这批电子元件使用寿命显著降低？（附：检验水平0.050.0250.050.0250.05, 1.645, 1.96,(8) 1.86,(8) 2.31u u t t α===== ）3．已知电子工厂生产的某种电子元件的平均寿命为3000（h ）,采用新技术试制一批这种电子元件，抽样检查16个，测得这批电子元件的使用寿命的样本均值x =3100（h ），样本标准差 s =170（h ），设电子元件的使用寿命服从正态分布，问：试制的这批电子元件的使用寿命是否有显著提高？（附：检验水平0.050.0250.050.0250.05, 1.645, 1.96,(15) 1.753,(15) 2.13u u t t α===== ）4．某车间用一台包装机包装葡萄糖，规定标准为每袋0.5kg ，设包装机实际生产的每袋重量服从正态分布，且长期经验知标准差σ=0.015不变，某天开工后，为了检查包装机是否正常，随机抽取了9袋，测得它们样本均值为x =0.509 kg ，能否认为这天的包装机的工作正常？（附：检验水平0.050.0250.050.0250.05, 1.645, 1.96,(8) 1.86,(8) 2.31u u t t α===== ）5． 某车间用一台包装机包装葡萄糖，规定标准为每袋0.5kg ，包装机实际生产的每袋重量服从正态分布，某天开工后，为了检查包装机是否正常，随机抽取了9袋，测得它们样本均值为x =0.509 kg ，样本标准差s = 0.015 kg ，能否认为这天的包装机工作正常？ （附：检验水平0.050.0250.050.0250.05, 1.645, 1.96,(8) 1.86,(8) 2.31u u t t α===== ）6．某装置的平均工作温度据制冷厂商称不高于190℃，今从一个有16台装置构成的随机样本测得平均工作温度的平均值和标准差分别为195℃和8℃，根据这些数据能否说明装置的平均的工作温度比制造厂商所说的要高？（附：检验水平0.050.0250.050.0250.05, 1.645, 1.96,(15) 1.753,(15) 2.13u u t t α===== ）7.已知某铁厂铁水含碳量服从正态分布N （4.55，0.1082），现测定了9炉铁水，其平均含碳量为4.484，如果方差没有变化，可否认为现在生产之铁水平均含碳量仍为4.55？ (附：检验水平0.050.0250.050.0250.05, 1.645, 1.96,(8) 1.86,(8) 2.31u u t t α===== ）8.有一批枪弹出厂时，其初速度200~(,)v N μσ，其中0μ=950米/秒，经较长储存，取9发进行测试，测得其样本均值x =928，据经验0σ=10可认为保持不变，问能否认为这批枪弹的初速度v 显著降低？(附：检验水平0.050.0250.050.0250.05, 1.645, 1.96,(8) 1.86,(8) 2.31u u t t α===== ）9. 有一批枪弹出厂时，其初速度200~(,)v N μσ，其中0μ=950米/秒，0σ=10，经较长储存，取9发进行测试，测得其样本均值x =928，样本标准差s=10，问能否认为这批枪弹的初速度v 显著降低？(附：检验水平0.050.0250.050.0250.05, 1.645, 1.96,(8) 1.86,(8) 2.31u u t t α===== ）10.设在一批木材中抽取100根，测其小头直径的样本均值x =11.2cm ，已知标准差0σ=2.6 cm ，问能否认为这批木材小头的平均直径在12 cm 以上？(附：检验水平0.050.0250.050.0250.05, 1.645, 1.96,(99) 1.66,(15) 1.99u u t t α===== )11. 设在一批木材中抽取100根，测其小头直径的样本均值x =11.2cm ，样本标准差s=2.6 cm ，问能否认为这批木材小头的平均直径在12 cm 以上？(附：检验水平0.050.0250.050.0250.05, 1.645, 1.96,(99) 1.66,(99) 1.99u u t t α===== )12.已知某厂生产的维尼纶纤度服从正态分布，标准差σ=0.048，某日抽取5跟纤维，测得纤度为1.32，1.55，1.36，1.40，1.44，问这天的维尼纶的均方差σ是否有显著变化？ (附：检验水平0.050.0250.950.97522220.05,(4)9.49,(4)11.1,(4)0.711,(4)0.484α=χ=χ=χ=χ=)13.某厂生产的保险丝规定保险丝熔化时间的方差不能超过400，今从一批产品中抽取25个，测得其熔化的样本方差s 2=388.58，若该熔化时间服从正态分布，问这批产品是否合格？(附： 0.050.0250.950.97522220.05,(24)36.4,(24)39.4,(24)13.8,(24)12.4α=χ=χ=χ=χ= )14.为检测两架光测高温计所确定的温度读数之间有无显著差异，设计一个试验：用两架仪器同时对一组10只热炽灯丝做观测，测得它们的样本均值与样本方差分别为x =1169，y =1178，2x s =51975.21，2y s =50517.33，试确定两架温度计所测温度有无显著变化？ (附：检验水平0.050.0250.050.0250.05, 1.645, 1.96,(18) 1.734,(18) 2.10u u t t α=====)15.甲、乙两台机床生产同一型号的滚珠，现从两台机床生产的产品中抽出8个和9个测得其样本均值和样本方差分别为 x =15.01，2x s =0.09554，y =14.99，2y s =0.0611，能否认为乙机床加工精度比甲机床高？(附：检验水平0.050.050.05,(7,8) 3.5,(8,9) 3.23F F α=== )16.某种物品在处理前与处理后分别抽取7个和8个样品，测得其样本均值和样本方差分别为x =0.24，2x s =0.0091，y =0.13，2y s =0.0039，能否认为处理后含脂量显著降低？(附：检验水平0.050.0250.050.0250.05, 1.645, 1.96,(13) 1.771,(13) 2.16u u t t α===== )17.已知学生的学习成绩服从正态分布，从某班的高等数学测试成绩表中抽取5人，数据如下： 60，65，70，75，80，能否认为该班的高等数学测试的平均成绩为75分。

Geitel第八章 假设检验习题解答

Geitel第八章 假设检验习题解答
2 2
常无显著差异. 9. 美国民政部门对某种住宅区住户的消费情况进行的调查报告中抽出 9 户样本，其每年 开支除去税款和住宅费用外，依次为：4.9，5.3，6.5，5.2，7.4，5.4，6.8，5.4，6.3（单位： 千元） ．假设所有住户消费数据的总体服从正态分布．若给定 0.05 ，试问：所有住户消 费数据的总体方差
从而确定拒绝域： 39.364 或 12.401 ， S 404.77
2 2
2
计算统计量 的观测值
2
2
24 * 404.77 24.2862, 2.40 24.862 39.364 400
所以统计量 的观测值 落入拒绝域， 则接受 H 0 , 即认为这天保险丝融化时间分散度域通
故统计量 T 的观测值落入接受域, 于是接受 H 0 ,即不能认为元件的寿命对于 225 小时。 8. 某电工器材厂生产一种保险丝，测量其熔化时间，假定熔化时间服从正态分布，依通 常情况方差为 =400，今从某天产品中抽取容量为 25 的样本，测量其熔化时间并计算得
2
x 62.24, s 2 404.77 ，问这天保险丝熔化时间分散度与通常有无显著差异？（ 0.05）

X 1 nS 2 n 1 n

n 1X ~ t (n 1) S
现在测定了 9 炉铁水， 其平 2. 已知某炼铁厂铁水含碳量服从正态分布 N ( 4.55,0.108 ) ， 均含碳量为 4.484，如果估计方差没有变化，可否认为现在生产的铁水含碳量仍为 4.55？ ． （ 0.05 ） 解 检验假设： H 0 : 0 4.55 ， H1 : 4.55
H1 : A B
当 H 0 为真时，选择检验统计量 U

Geitel第八章 假设检验习题解答

Geitel第八章 假设检验习题解答

2
当 H 0 为真时，选择检验统计量 U
X 0
_

~ N (0.1)
n
对于给定的选著水平
0.05 ， 查 附 表 2 得 临 界 值 U 0.025 1.96 ， 使 得
P ( U 1.96) 0.05 ,
从而确定拒绝域： U 1.96
由于 X 4.484 ，所以
故统计量 U 的观测值 U 落入拒绝域, 于是接受 H 0 ，即不能认为这批零件的平均尺寸仍为 15. 4. 设某次考试的考生成绩服从正态分布，从中随机地抽取 36 位考生的成绩，得平均 成绩为 66.5 分， 样本标准差为 15 分， 问在显著性水平 0.05 下是可否认为这次考试成绩平均 为 70 分？ 解 检验假设： H 0 : 0 70 ， H1 : 70
2
0.3 是否可信？
0
解 检验假设： H
:
2

2 0
40 , H1 : 2 0.3
当 H 0 为真时，选择检验统计量
2
(n 1) S 2
02
~ 2 (8)
2 0.025
对于给定的显著性水平 0.05 ,查附表 3 得临界值
(8) 17.535
H1 : A B
当 H 0 为真时，选择检验统计量 U
X A XB
_

2
n1

2
n2
~ N (0,1)
对给定的显著性水平 0.05 ,查附表 2 得临界值 0.025 1.96
已知 =0.2，计算 U
2
1.5 1.6 0.4899 1.96 0.2 0.2 12 8

第八章假设检验练习题1设总体为来自该总体的一个样本记则检验

第八章假设检验练习题1设总体为来自该总体的一个样本记则检验

第八章 假设检验练习题1.设总体都未知其中22,),,(~σμσμN X .n x x x ,,,21 为来自该总体的一个样本.记∑∑==-==n i i n i i x x Q x n x 1221)(,1.则检验假设 00:μμ=H 01:μμ≠H 所使用的统计量=t (用Q x ,表示);其拒绝域=C .2.设总体都未知其中22,),,(~σμσμN X .n x x x ,,,21 为来自该总体的一个样本.记∑∑==--==n i i n i i x x n s x n x 1221)(11,1.则 (1)检验假设 2:0≤μH 2:1>μH 所使用的统计量=t (用s x ,表示);其拒绝域=C .(2)检验假设 2:0≥μH 2:1<μH 所使用的统计量=t (用s x ,表示);其拒绝域=C .3.设总体都未知其中22,),,(~σμσμN X .n x x x ,,,21 为来自该总体的一个样本.记∑=--=n i i x x n s 122)(11为其样本方差.则检验假设 16:20≥σH 16:21<σH 所使用的统计量=2χ ;其拒绝域=C .4.设21,,,,,,2121n n y y y x x x 和分别为来自正态总体),(21σμN 和),(22σμN 的两个独立样本,2221,s s 分别为这两个样本的样本方差.则检验假设 1:210≥-μμH 1:211<-μμH 所使用的统计量=t ;其拒绝域=C .5.设21,,,,,,2121n n y y y x x x 和分别为来自正态总体),(211σμN 和),(222σμN 的两个独立样本,2221,s s 分别为这两个样本的样本方差.则检验假设 1:22210=σσH 1:22211≠σσH 所使用的统计量=F ;其拒绝域=C .6．设总体都未知其中22,),,(~σμσμN X .n x x x ,,,21 为来自该总体的一个样本.其样本均值为x ,样本方差为2s ,显著性水平为α.则检验问题00:μμ=H 01:μμ≠H 的拒绝域C 应为 ( ).(A)⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧-≥-)1()(20n t n s x αμ; (B)⎭⎬⎫⎩⎨⎧-≥-)1()(0n t n s x αμ; (C)⎭⎬⎫⎩⎨⎧--≤-)1()(0n t n s x αμ; (D)⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧-≤-)1()(20n t n s x αμ. 7．设总体都未知其中22,),,(~σμσμN X .n x x x ,,,21 为来自该总体的一个样本.其样本方差为2s ,显著性水平为α.则检验问题5:20≤σH 5:21>σH检验统计量应为( ). (A)5)1(2s n -; (B)5)1(2s n +; (C)5)1(2s n -; (D)5)1(2s n +. 8．设一台机床加工轴的椭圆度服从正态分布):)(02.0,09.0(2mm N 单位.机床经调整后随机取16根轴测量其椭圆度,经计算得mm x 08.0=.问调整后机床加工轴的平均椭圆度是否有显著变化)05.0(=α?对此检验问题应提出的假设为（ ）.(A)09.0:0=μH 09.0:1<μH ; (B)09.0:0≥μH 09.0:1<μH ;(C)09.0:0≤μH 09.0:1>μH ; (D)09.0:0=μH 09.0:1≠μH .9．在假设检验中,设0H 为原假设,则犯第一类错误的情况为（ ）.(A)0H 不真,接受0H ;(B)0H 真,拒绝0H ;(C)0H 不真,拒绝0H ;(D)0H 真,接受0H .10．某厂生产的某种型号的电机,其寿命长期以来服从方差2250=σ的正态分布.现有一批这种电机,从它的生产情况来看,寿命的波动性有所变化.现随机地取26只电机,测出其寿命的样本方差28002=s .问能否认为这批电机的寿命的波动性较以往显著地偏大)05.0(=α对此检验问题应提出的假设为( ).(A)22050:=σH 22150:≠σH (B)22050:≥σH 22150:<σH ;(C)22050:≤σH 22150:>σH ; (D)22050:=σH 22150:<σH .11.在假设检验中,显著性水平α表示 ( ).(A)0H 为真,但接受0H 的概率; (B)0H 为真,但拒绝0H 的概率;(C)0H 不真,但接受0H 的概率; (D)假设0H 的可信度.12.下列论断正确的是( ).(A)第一类错误的概率是{}0H P 拒绝;(B)第一类错误与第二类错误的概率之和为1;(C)给定显著性水平α,当样本容量n 增大时,两类错误的概率都减小;(D)样本容量n 固定,增大显著性水平α,则第二类错误的概率减小.13.设总体),(~211σμN X ,总体),(~222σμN Y ,检验假设22210:σσ=H 22211:σσ≠H ,05.0=α.今分别从X 中抽取容量为13的样本, 从Y 中抽取容量为10的样本,求得样本方差93.31,4.1182221==s s ,则正确的检验方法和结论是( ).(A)用2χ检验法,临界值283.10)21(,479.35)21(2975.02025.0==χχ,拒绝0H ; (B)用F 检验法,临界值291.0)9,12(,87.3)9,12(975.0025.0==F F ,拒绝0H ;(C)用F 检验法,临界值291.0)9,12(,87.3)9,12(975.0025.0==F F ,接受0H ;(D)用F 检验法,临界值357.0)9,12(,07.3)9,12(95.005.0==F F ,接受0H .14.对正态总体的数学期望μ进行假设检验,如果在显著性水平05.0下接受00:μμ=H ,那么在在显著性水平0.01下,下列结论正确的是 ( ).(A)必接受0H ;(B)可能接受,可能拒绝0H ;(C)必拒绝0H ;(D)不接受,也不拒绝0H .15.自动装袋机装出的每袋重量服从正态分布,规定每袋重量的方差不超过a ,为了检验自动装袋机的生产是否准确,对它生产的产品进行抽样检查,取零假设a H ≤20:σ,显著性水平05.0=α,则下列命题正确的是 ( ).(A)如果生产正常,则检验结果也认为生产正常的概率等于95%;(B)如果生产不正常,则检验结果也认为生产不正常的概率等于95%;(C)如果检验的结果认为生产正常,则生产确实正常的概率等于95%;(D) 如果检验的结果认为生产不正常,则生产确实不正常的概率等于95%.16.设某种药品中有效成分的含量服从正态分布),(2σμN ,原工艺生产的产品中有效成分的平均含量为a ,现在用新工艺试制了一批产品,测其有效成分的含量,以检验新工艺是否真的提高了有效成分的含量.要求当新工艺没有提高有效成分含量时,误认为新工艺提高了有效成分的含量的概率不超过5%,那么应取零假设0H 及显著性水平α是 ( ).(A)01.0,:0=≤αμa H ; (B)05.0,:0=≥αμa H ;(C)05.0,:0=≤αμa H ; (D)01.0,:0=≥αμa H .。

统计学第五版第八章课后习题答案

0.025
决策： ∵Z值落入接受域， ∴在α=0.05的显著水平上接受 H 0 。
结论：有证据表明现在生产的铁水平均含碳量与以前没有显著差 异，可以认为现在生产的铁水平均含碳量为4.55。
8.2 一种元件，要求其使用寿命不得低于700小时。现从一批这种 元件中随机抽取36件，测得其平均寿命为680小时。已知该元件寿 命服从正态分布，σ=60小时，试在显著性水平0.05下确定这批元 件是否合格。
甲法：31 34 29 32 35 38 34 30 29 32 31 26 乙法：26 24 28 29 30 29 32 26 31 29 32 28 两总体为正态总体，且方差相同。问两种方法的装配时 间有无显著差别(α =0.05)？ 解： 正态总体，小样本，σ²未知但相同，独立样本t检验 H 0 : 甲 -乙 = 0 H1 : 甲 - 乙 ≠ 0
由Excel制表得：
由图可知：
已知：α = 0.05，n1 = n2=12 2 2 x甲 =31.75 x乙 =28.67 S甲=10.20 S乙 =6.06 t=1.72 t∈(-1.72,1.72)接受，否则拒绝。 t=(31.75-28.67)/(8.08* 0.41)=0.93 0.93∈(-1.72,1.72) 决策：在α = 0.05的水平上接受H 0 。 结论: 两种方法的装配时间无显著不同。
σ²≤100 H 1 : σ²＞100 α= 0.05，n=9，自由度= 9 - 1 = 8， S² =215.75， x =63 采用χ²检验 临界值(s): χ² =15.5 ）S 2 (9 - 1) * 215.75 2 （n - 1 17.26 15.5 检验统计量： 2 100 决策：在 a = 0.05的水平上拒绝 H 0 结论: σ²＞100

概率论与数理统计第八章假设检验习题解答

1.[一]某批矿砂的5个样品中的镍含量，经测定为（%）3.25 3.27 3.24 3.26 3.24。

设测定值总体服从正态分布，问在α = 0.01下能否接受假设：这批矿砂的含镍量的均值为3.25.解：设测定值总体X～N （μ，σ 2），μ，σ 2均未知步骤：（1）提出假设检验H 0：μ=3.25; H 1：μ≠3.25 （2）选取检验统计量为)1(~25.3--=n t nS X t（3）H 0的拒绝域为| t |≥).1(2-n t α（4）n=5, α = 0.01，由计算知01304.0)(11,252.3512=--==å=i iX Xn S x查表t 0.005(4)=4.6041, )1(343.0501304.025.3252.3||2-<=-=n t t α（5）故在α = 0.01下，接受假设H 02．[二] 如果一个矩形的宽度ω与长度l 的比618.0)15(21»-=l ω，这样的矩形称为黄金矩形。

这种尺寸的矩形使人们看上去有良好的感觉。

现代建筑构件（如窗架）、工艺品（如图片镜框）、甚至司机的执照、商业的信用卡等常常都是采用黄金矩型。

下面列出某工艺品工厂随机取的20个矩形的宽度与长度的比值。

设这一工厂生产的矩形的宽度与长短的比值总体服从正态分布，其均值为μ，试检验假设（取α = 0.05）H 0：μ = 0.618H 1：μ≠0.6180.693 0.749 0.654 0.670 0.662 0.672 0.615 0.606 0.690 0.628 0.668 0.611 0.606 0.609 0.601 0.553 0.570 0.844 0.576 0.933. 解：步骤：（1）H 0：μ = 0.618； H 1：μ≠0.618 （2）选取检验统计量为)1(~618.0--=n t nS X t（3）H 0的拒绝域为| t |≥).1(2-n t α （4）n=20 α = 0.05，计算知0925.0)(11,6605.01121=--===åå==ni ini ix xn S xnx ，)1(055.2200925.0618.06605.0||,0930.2)1(22-<=-==-n t t n t αα（5）故在α = 0.05下，接受H 0，认为这批矩形的宽度和长度的比值为0.6183.[三] 要求一种元件使用寿命不得低于1000小时，今从一批这种元件中随机抽取25件，测得其寿命的平均值为950小时，已知这种元件寿命服从标准差为σ =100小时的正态分布。

统计学第五版第八章课后习题答案


Z 1.645
8.12 为了控制贷款规模，某商业银行有个内部要求，平均每项贷款 数额不能超过60万元。随着经济的发展，贷款规模有增大的趋势。 银行经理想了解在同样项目条件 下，贷款的平均规模是否明显地超 过60万元，还是维持着原来的水平。 一个n=144的随机样本被抽出，测得 x=68.1万元，s=45。用 α=0.01的显著性水平，采用p值进行检验。 解： H 0 : μ≤60 H1 : μ＞60 α= 0.01，n = 144， x =68.1，s=45 临界值(s):1%
2 2
0.5 1.96
nB
决策：在α= 0.05的水平上接受 H 0 。 结论:可以认为A、B两厂生产的材料平均抗压强度相同。
8.10 装配一个部件时可以采用不同的方法，所关心的问题是哪一个方 法的效率更高。劳动 效率可以用平均装配时间反映。现从不同的装配 方法中各抽取12件产品，记录下各自的装 配时间（分钟）如下：
决策： ∵Z值落入拒绝域， ∴在α=0.05的显著水平上拒绝 H 0，接受 H 1 。 结论： 有证据表明这批灯泡的使用寿命低于700小时，为不合格产品。
8.3 某地区小麦的一般生产水平为亩产250公斤，其标准差为30 公斤。现用一种化肥进行试验，从25个小区抽样，平均产量为 270公斤。这种化肥是否使小麦明显增产（α=0.05）？
H0 :
8.9 A、B两厂生产同样材料。已知其抗压强度服从正态分布， 2 2 2 2 且 A 63 ， B 57 。从A厂生产的材料中随机抽取81个样品，测 2 得 x A 1070kg/cm ；从B厂生产的材料中随机抽取64个样品，测 得 x B 1020kg/cm 2 。根据以上调查结果，能否认为A、B两厂生产的材料平均 抗压强度相同(α=0.05)？

概论论与数理统计：第八章假设检验(浙大第四版)


χ2 =
(n − 1) s 2
σ 02
, 拒 绝 域 为 {χ >
2
2 χα (n − 1)} , 由
3
n = 9, s = 0.007, χ 02.05 (8) = 15.504 ,算得 χ 2 = 15.68 > 15.504, 因此拒绝原假设 H 0 ,即认
为这批导线的标准差显著地偏大. 6、解 设枪弹甲、乙的速度分别为 x, y ,并设 x ~ N ( μ1 , σ 1 ), y ~ N ( μ 2 , σ 2 ) .
x−y 1 1 + n1 n2
其中
2 sw =
2 (n1 − 1) s12 + (n2 − 1) s 2 n1 + n2 − 2
拒绝域为 C = ⎨| t |≥ t α (n1 + n 2 − 2)⎬ .
⎧ ⎩
⎫ ⎭
2
由于 n1 , n 2 很大,故有 t 0.025 (218) ≈ z 0.025 = 1.96 将 x = 2805, y = 2680, 以上数据代入上式 计算可得 | t |= 8.206 > 1.96 ,故拒绝原假设 H 0 ,可以认为两个总体的平均值有显著差异, 即 两种枪弹在速度方面有显著差异. 综上所述,两种枪弹在速度方面有显著差异但在均匀性方面没有显著差异. 7、解 设马克吐温与思诺特格拉斯的小品文中由 3 个字母组成的词的比例分别为 x, y ,并且 由题意可设 x ~ N ( μ1 , σ ) , y ~ N ( μ 2 , σ ) ,本题是在显著性水平 α = 0.05 下检验假设:
⎧ ⎩
⎫ ⎭
2

已 知 n1 = 8, n 2 = 10 , 查 表 得 t 0.025 (16) = 2.1199, , 经 计 算 得 , x = 0.2319, s1 = 0.01456,
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第八章 假设检验 习 题 课
一、重点与难点
二、主要内容
三、典型例题
2018年9月28日 主讲:俞能福
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一、重点与难点
1.重点
掌握一个正态总体的期望和方差的假设检验.
2.难点
确定零假设 H0 和备择假设H1 ; 理解显著性水平 a 以及确定检验统计量和根 据样本值作出拒绝还是接受H0 的判断.
i 1 k
i , j 1, 2,, k ). 于是在假设 H 0 下 , 我们可以计算 ˆ ( Ai )), i 1,2,, k . 在 n 次试验 ˆi P pi P ( Ai ) (或 p fi ˆ i ) 往往有差异, 中, 事件 Ai 出现的频率 与 pi (或 p n 但一般来说, 若 H 0 为真, 且试验次数又多时, 这种 差异不应很大.
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正态总体均值差的检验
求检验问题 H 0 : 1 2 , H1 : 1 2 ( 为已知常数)的拒绝域.
(X Y ) , 引入 t 统计量作为检验统计量 : t 1 1 Sw n1 n2
( x y) 故拒绝域为 t t / 2 ( n1 n2 2). 1 1 sw n1 n2
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置信区间
要求显著水平为 的检验假设 H 0 : 0 , H 1 : 0 , 的接受域 :
( x1 , x2 , , xn ) 0 ( x1 , x2 , , xn ).
那么 ( ( X 1 , X 2 , , X n ), ( X 1 , X 2 , , X n )) 是参 数 的一个置信水平为 1 的置信区间 .
2 2 由 n1 10, n2 8, S1 40.96, S2 14.44,
1 0.283, F0.025 (9,7) 4.82, F0.975 (9,7 ) F0.025 (7,9)
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40.96 得F 2.837, 显然 0.283 2.837 4.82, 14.44
则 X ~ N ( , 2 ), 样本均值为 X , 样本标准差为S ,
需检验假设: H 0 : 70, H1 : 70.
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因为 2 未知, 故采用t 检验法, 当 H 0 为真时,
X 0 X 70 统计量 t ~ t ( n 1), S/ n S/ n
形如 H 0 : 0 , H1 : 0 的假设检验 称为右边检验. 形如 H 0 : 0 , H1 : 0 的假设检验 称为左边检验.
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单边检验的拒绝域
设总体 X ~ N ( , 2 ), 为已知, X 1 , X 2 ,, X n 是来自总体X 的样本, 给定显著性水平 ,
0
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两种检验法的OC函数如表
右边检验
( ) ( z )
左边检验
( ) ( z )
双边检验
( ) ( z / 2 ) ( z / 2 ) 1
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检验统计量
X 0 统计量 Z 称为检验统计量. / n
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拒绝域与临界点
当检验统计量取某个区域 C 中的值时, 我们拒绝原假设 H0, 则称区域 C 为拒绝域, 拒 绝域的边界点称为临界点.
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二、主要内容
原假设与备 择假设 检验统计量 拒绝域与临 界点 两 类 错 误
正态总体均值差的检验 正态总体均值的检验 正态总体方差的检验
常 见 的 假 设 检 验
分布拟合检验 秩和检验 置信区间
特 征 函 数
单边、双边检验
单边检验拒 绝域
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正态总体均值的检验
利用 H 0 为真时服从 N (0,1) 分布的统计量 X 0 Z 来确定拒绝域的, 这种检验法称 / n 为 Z 检验法.
利用 t 统计量得出t t / 2 ( n 1) . s/ n
( n 1).
2
(3) 左边检验问题: H 0 : 0 , H1 : 0 ,
2 2 2 2
拒绝域为 2
( n 1) S 2
0
2
12 ( n 1).
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S1 2. F 检验法 取统计量 F 2 S2 (1) 检验假设: H 0 : 12 2 2 , H1 : 12 2 2 ,
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原假设与备择假设
假设检验问题通常叙述为: 在显著性水平下,
检验假设 H 0 : 0 , H1 : 0 .
或称为“在显著性水平 下 , 针对 H1 检验 H0” .
H 0称为原假设或零假设 , H1 称为备择假设.
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单边、双边假设检验
在 H 0 : 0 和 H 1 : 0 中, 备择假设 H 1 表示 可能大于 0 , 也可能小于 0 , 称为双边备择 假设, 形如 H 0 : 0 , H 1 : 0 的假设检验称 为双边假设检验 .
x 0 则 右边检验的拒绝域为 z z , / n x 0 左边检验的拒绝域为 z z . / n
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分布拟合检验
将随机试验可能结果的 全体 分为 k 个互不 相容的事件 A1 , A2 ,, An ( Ai , Ai A j , i j ,
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正态总体方差的检验
1. 2 检验法
取
2
( n 1) S 2
0
2
作为统计量,
2 2 2 2
(1) 双边假设检验: H 0 : 0 , H1 : 0 , 拒绝域为
( n 1) S 2
0
2

2 1 / 2
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例2 某砖厂制成两批机制红砖, 抽样检查测量砖 的抗折强度(千克), 得到结果如下:
第一批 : n1 10, x 27.3, S1 6.4; 第二批 : n2 8, y 30.5, S2 3.8;
已知砖的抗折强度服从正态分布, 试检验: (1)两批红砖的抗折强度的方差是否有显著差异? (2)两批红砖的抗折强度的数学期望是否有显著差 异? (均取 0.05)
Z 检验

0 . / n

0 . / n

( )
/2
0 . / n
( )
( )
t 检验
X 0 X 0 P t P t ( n 1) P t ( n 1) S/ n S/ n
S1 拒绝域为 F 2 F ( n1 1, n2 1). S2
2
2
(2) 检验假设: H 0 : 12 2 2 , H1 : 12 2 2 ,
S1 拒绝域为 F 2 F1 ( n1 1, n2 1). S2
2
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2 2 解 (1) 检验假设: H 0 : 12 2 , H1 : 12 2 .
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用 F 检验法,
2
当 H 0 为真时,
S1 统计量 F 2 ~ F ( n1 1, n2 1), S2
查表 8-1 知拒绝域为
F F / 2 ( n1 1, n2 1)或 F F1 / 2 ( n1 1, n2 1),
X 70 t / 2 ( n 1), 查表 8-1 知拒绝域为 t S/ n
由 n 36, X 66.5, S 15, t0.025 (35) 2.0301,
X 70 66.5 70 得t 1.4 2.0301, S/ n 15 / 36
所以接受 H 0 , 认为全体考生的平均成 绩是70分.
X 0 S/ n X S / n X 0 S/ n X S / n
( n 1)
X 0 t / 2 ( n 1) S/ n
X 0 S/ n X S / n
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施行特征函数
若 C 是参数 的某检验问题的一个检 验法,