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第十章 第1讲 椭 圆

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椭 圆课件

椭 圆课件
第
五
节
椭 圆
课前·双基落实
知识回扣，小题热身，基稳才能楼高
课堂·考点突破
练透基点，研通难点，备考不留死角
课后·三维演练
分层训练，梯度设计，及时查漏补缺
课 前 双 基落实
知识回扣，小题热身，基稳才能楼高
过
基
础
知
识
1．椭圆的定义 平面内到两定点 F1，F2 的距离的和 等于常数 (大于|F1F2|)的 点的轨迹叫做椭圆．两定点 F1，F2 叫做椭圆的 焦点 ． 集合 P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a}，|F1F2|＝2c，其中 a＞0，c ＞0，且 a，c 为常数． (1)当 2a＞|F1F2|时，P 点的轨迹是椭圆； (2)当 2a＝|F1F2|时，P 点的轨迹是线段； (3)当 2a＜|F1F2|时，P 点不存在．
k 2 20 20 36 1－ ＝ ， 解得 k＝ .故实数 k 的值为 或 . 4 3 9 9 5
20 36 答案： 或 9 5
1 5．(教材习题改编)已知椭圆的一个焦点为 F(1,0)，离心率为 ， 2 则椭圆的标准方程为________．
x2 y2 解析：设椭圆的标准方程为 2＋ 2＝1(a>b>0)． a b 1 因为椭圆的一个焦点为 F(1,0)，离心率 e＝ ， 2 c＝1， c 1 所以a＝2， 2 2 2 a ＝ b ＋ c ，
5－k>0， 解析：由已知得k－3>0， 5－k≠k－3. 解得 3<k<5 且 k≠4.
答案：(3,4)∪(4,5)
x2 y2 2 4．设 e 是椭圆 ＋ k ＝1 的离心率，且 e＝ ，则实数 k 的值是 4 3 ________．
解析：当 k＞4 时，有 e＝ ＜4 时， 有 e＝ 4 2 36 1－k＝ ，解得 k＝ ；当 0＜k 3 5

椭圆定义与性质(全)ppt课件

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C
|CF1|+|CF2|=2a
F1
F2
D
练习
1 椭圆 x2 y2 1上一点P到一个焦点的距离为5， 25 9
则P到另一个焦点的距离为（ A）
A.5
B.6 C.4
D.10
2.已知椭圆的方程为
x2 y2
1，焦点在X轴上，
则其焦距为（A） 8 m2
A 2 8 m2
B 2 2 2m
C 2 m2 8
两边除以 a 2b 2得
x2 a2
by22
1(ab0).
椭圆的标准方程
y
M
焦点在x轴：
x2 a2
y2 b2
1ab0
F1 o F2 x
(xc)2y2(xc)2y22a
焦点在y轴：
y2 a2
bx22
1(ab0)
y
F2
M
ox
F1
(yc)2x2(yc)2x22a
总体印象：对称、简洁，“像”直线方程的截距 式
1
(ab0)
∵ c=2，且 c2= a2 - b2 ∴ 4= a2 - b2 ……①
y
又∵椭圆经过点 3 ，5
∴
(52)2 a2
( 23)2 b2
1
2
2
……②
联立①②可求得：a2 10,b2 6
∴椭圆的标准方程为 y2 x2 1 10 6
P
F2
x
F1
(法二) 因为椭圆的焦点在y轴上，所以设它的
设点 设M（x,y）是曲线上任意一点； 列式 由限制条件，列出几何 等 式，写出适
合条件P的点M的集合P={M|P(M)}
代换 用坐标法表示条件P(M)，列出方程 化简 f(x,y)=0，化简方程f(x,y)=0.

椭圆基本知识PPT课件

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（2）若 a=c ，则集合P为线段； （3）若 a＜c，则集合P为空集.
(2)第二定义：动点 M 到定点 F 的距离和它到定直 线 l 的距离之比等于常数 e(0<e<1)，则动点 M 的轨 迹是椭圆，定点 F 是椭圆的焦点，定直线 l 叫做椭 圆的准线，常数 e 是椭圆的离心率． 这里要注意：一是动点 M 到定点的距离除以它到定 直线的距离，其商是常数 e；二是这个常数 e 的取 值范围是(0,1)；三是定点 F 不在定直线 l 上． 2．椭圆的两种标准方程 ax22＋by22＝1，ay22＋bx22＝1. (1)a>b>0；(2)a2－b2＝c2.
第1页/共61页
3.椭圆的几何性质
标准 方程
x2 a2
y2 b2
1(a
b
0)
y2 a2
x2 b2
1(a
b 0)
图形
第2页/共61页
范围 对称性
顶点
-a≤x≤a -b≤y≤b
对称轴：坐标轴
A1(-a,0),A2(a,0) B1(0,-b),B2(0,b)
-b≤x≤b -a≤y≤a
对称中心：原点
[8分]
设A，B的坐标分别为（x1,y1）,(x2,y2).
由题意x1≠x2,
x12 y12 1
①
94
x22 y22 1 94
②
由①-②得：
(x1 x2 )( x1 x2 ) ( y1 y2 )( y1 y2 ) 0.
60°=
3 b2 , 3
即△PF1F2的面积只与短轴长有关.
第23页/共61页
探究提高 （1）椭圆上一点与两焦点构成的三角
形，称为椭圆的焦点三角形，与焦点三角形有关的

椭球基本知识

椭球基本知识
大地线旳性质 ➢ 大地线是曲面上两点旳最短线 ➢ 大地线是无数法截线弧素旳连线
控制测量计算理论
六、地面观察值归算至椭球面
3、地面观察方向归算至椭球面 归算旳基本要求 地面观察方向归算至椭球面上有3个基本内容： 1) 将测站点铅垂线为基准旳地面观察方向换算成椭球面上以 法线方向为准旳观察方向； 2) 将照准点沿法线投影至椭球面，换算成椭球面上两点间旳 法截线方向； 3) 将椭球面上旳法截线方向换算成大地线方向。
H H正常 (高程异常)
H H正 N (大地水准面差距)
控制测量计算理论
一、常用旳四种坐标系
2、空间直角坐标系 以椭球中心O为原点，起始子午面与赤道面交线为X轴， 在赤道面上与X轴正交旳方向为Y轴，椭球体旳旋转轴为Z 轴，构成右手坐标系O-XYZ，在该坐标系中，P点旳位置 用X、Y、Z表达 。 空间直角坐标系旳坐标原点位于地球 质心（地心坐标系）或参照椭球中心（参 心坐标系），Z 轴指向地球北极，x 轴指 向起始子午面与地球赤道旳交点，y 轴垂 直于XOZ 面并构成右手坐标系。
4、平均曲率半径
在实际际工程应用中，根据测量工作旳精度要求，在一定范围内，把
椭球面当成具有合适半径旳球面。取过地面某点旳全部方向 RA 旳平均值
来作为这个球体旳半径是合适旳。这个球面旳半径——平均曲率半径R：
R MN 或
R b c N a (1 e2 ) W2 V2 V W2
所以，Ｒ等于该点子午圈曲率半径Ｍ和卯酉圈曲率半径Ｎ旳几何
控制测量计算理论
三、地球椭球及其定位
1、椭球旳几何参数及其关系
e2
a2 b2 a2
e'2
a2 b2 b2
1 e2
b2 a2
1 e2

单元复习 第十章 静电场的能量-2022-2023学年高二物理单元复习(人教版2019必修第三册)

单元复习 第十章 静电场的能量-2022-2023学年高二物理单元复习(人教版2019必修第三册)

4.电势能增、减的判断方法 (1)做功判断法：电场力做正功，电势能减小；电场力做负功，电势能增加. (2)公式法：由Ep＝qφ将q、φ的大小、正负号一起代入公式，Ep的正值越 大，电势能越大；Ep的负值越小，电势能越大. (3)能量守恒法：在电场中，若只有电场力做功，电荷的动能和电势能相 互转化，动能增大，电势能减小；动能减小，电势能增加.
5.电势高低常用的两种判断方法 (1)依据沿电场线方向电势逐渐降低. (2)由φ ＝ Ep/q知正电荷在电势能大处电势高，负电荷在电势能大处 电 势 低 。 (3)电势较低依据UAB＝WqAB→UAB>0，φA>φB；UAB<0，φA<φB.
二、电势差
【过知识】
1. 电场中两点间的电势差与零电势点的选取 无关 (填“有关”或“无关”).
2. 公式：电场中A点的电势为φA，B点的电势为φB，则UAB＝φA－φB，UBA ＝φB－φA，可见UAB＝ －UBA . 3. 电荷q从A点移到B点，静电力做功WAB与AB间电势差UAB的关系为WAB ＝ qUAB .
【过知识】
三、电势差与电场强度的关系 1.匀强电场中两点间的电势差等于 电场强度与这两点沿电场方向的距离 的 乘积，即UAB＝ Ed . 此公式只适用于匀强 电场，其中d为A、B两点沿电场方向的距离. 2.电场中A、B两点的电势差UAB跟电荷移动的路径 无关 ，由电场强度E及A、 B两点沿电场方向的距离d决定. 3.公式E＝ U 说明电场强度在数值上等于沿电场方向 每单位距离上降低的电势.
【过知识】 带电粒子在电场中运动轨迹问题的分析方法： 1．判断速度方向：带电粒子运动轨迹上某点的切线方向为该点处的速度 方向．选用轨迹和电场线(等势线)的交点更方便。 2．判断静电力的方向：仅受静电力作用时，因轨迹始终夹在速度方向和 带电粒子所受静电力方向之间，而且向合外力一侧弯曲，结合速度方向， 可以判断静电力方向。 若已知电场线和轨迹，所受静电力的方向与电场线(或电场线的切线)共线。 若已知等势线和轨迹，所受静电力的方向与等势线垂直。 3．判断静电力做功的正负及电势能的增减：若静电力方向与速度方向成 锐角，则静电力做正功，电势能减少；若静电力方向与速度方向成钝角， 则静电力做负功，电势能增加。

椭圆的基本概念与性质

椭圆的基本概念与性质

椭圆的基本概念与性质椭圆是一种常见的几何图形，具有许多独特的性质和应用。

本文将介绍椭圆的基本概念和性质，包括定义、标准方程、焦点、直径、离心率、轨道和应用等方面。

1.椭圆的定义椭圆可以定义为平面上到两个固定点（焦点）的距离之和等于常数的点的集合。

这两个固定点称为焦点，常数称为椭圆的离心率。

椭圆也可以视为一个平面上到定点的连线长度之和等于一定长度（主轴）的点的轨迹。

2.椭圆的标准方程以坐标原点为中心的椭圆的标准方程为x²/a² + y²/b² = 1，其中a和b 分别表示椭圆的长短半轴。

可以看出，a表示椭圆离心率对应的焦距长度，b表示椭圆的短半轴长度。

3.焦点和直径椭圆的焦点是椭圆的一个重要属性，它是椭圆离心率定义的核心。

可以通过标准方程中的离心率公式e = c/a（c为焦点到原点的距离），求得焦点的坐标表达式为(c, 0)和(-c, 0)。

椭圆的直径是通过椭圆中心并且同时与椭圆上两个点相交的线段。

对于以坐标原点为中心的椭圆，直径的长度为2a。

4.椭圆的离心率椭圆的离心率是描述椭圆形状的重要指标。

离心率的取值范围为0到1，离心率为0时表示圆形，离心率为1时表示扁平的线段。

椭圆的离心率定义为离心焦距和长半径之比，即e = c/a。

5.椭圆的轨迹椭圆的轨迹是指通过一定规则的运动得到的点所形成的图形。

在天体力学中，行星绕太阳运动的轨迹就是椭圆。

椭圆的轨迹具有许多独特的性质，例如对称性、曲率等。

6.椭圆的应用椭圆在现实生活中有许多重要的应用。

例如，在通信中，为了提高信号传输的质量和距离，卫星轨道通常选择为椭圆轨道。

此外，椭圆也被广泛应用于地理测量、天体力学、光学设计等领域。

总结：椭圆作为几何图形中的重要一员，具有许多独特的概念和性质。

通过本文的介绍，我们了解到椭圆的定义、标准方程、焦点、直径、离心率、轨迹和应用。

对于几何学的学习和实际应用，理解和掌握椭圆的基本概念与性质至关重要。

第一节 椭圆的概念及其性质


(2)若焦点在x轴上,则可设椭圆的方程为
x
2
+
y
2
=1(a>b>0).
a2 b2
∵椭圆过点P(3,0),
∴ 32 + 02 =1,∴a=3.
a2 b2
考点突破
又2a=3×2b,∴b=1.
此时椭圆的方程为 x2 +y2=1.
9
若焦点在y轴上,则可设椭圆的方程为
y2 a2
+
x b
2 2
=1(a>b>0).
a2 4a2
5
教材研读 栏目索引
6.(202X江苏南通中学高三模拟)在平面直角坐标系xOy中,已知椭圆x
a
2 2
+
y2 =1(a>b>0)经过点(2,1),则当该椭圆的四个顶点构成的四边形的周长
b2
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ最小时,椭圆的离心率e的值为
.
答案 2
2
教材研读 栏目索引
解析
由椭圆
x a
2 2
+
y2 b2
=1(a>b>0)经过点(2,1)得
②当焦点在y轴上时,设其方程为 y2 + x2 =1(a>b>0),
a2 b2
由椭圆过点P(4,0),知1b62 =1,
所以b2=16,又a=2b,所以a2=64,
故椭圆的方程为y2+ x=2 1.
64 16
综上,所求椭圆的标准方程为 x2 + y2 =1或 y2 + x2 =1.
16 4
64 16
(3)焦点三角形的周长为2(a+c). (4)4c2=|PF1|2+|PF2|2-2|PF1||PF2|·cos θ.

第十章 误差椭圆讲解


E2
cos2 E

F 2 sin 2 E

1 2

2 0
Qxx
Qyy
Qxx
Qyy
（x2 7）
若分别以 sin2E 和 cos2E 乘以（5）式的第一、第二
式，并求和，经与以上同样的推导，得：
E2
sin2 E

F2
cos2 E

1 2

2 0
Qxx
Qyy
Qx j y j

Q y j y j
第十章——误差椭圆
这两个待定点的相对位置可通过平差后两点的坐标差来
表示，即
xi

xij yij



1 0
0 1
1 0
0 1

yi xj

y j
应用协因数传播律，得：

Qxx Qxy
误差椭圆除了在长轴
E、短轴F上能精确表
示位差外,其它任何 方向都不能直接从误 差椭圆上量取位差的 大小。 要通过误差椭圆得到 任意方向位差的大小， 其方法是：
垂直任意方向 作
误差椭圆的切线PD， 则垂足D至O的长度就
是任意方向 上的 _____
位差，即 OD
GPS
第十章——误差椭圆
第十章——误差椭圆
第十章 误差椭圆
§10-1 概述 §10-2 点位误差 §10-3 误差曲线 §10-4 误差椭圆 §10-5 相对误差椭圆
第十章——误差椭圆
§10-1 概述
待定点P的真实位置和平差位置之间存在差值： x ~x xˆ y ~y yˆ
由此而产生的距离P 称为P点的点位真误差，简称真位差:

第一讲 椭圆中常用的结论及解法技巧(学生版)

第一讲椭圆中常用结论及解法技巧【知识要点】一．椭圆三大定义定义1．到两定点距离之和为定值的点的轨迹是椭圆．几何性质：椭圆上任一点到两焦点的距离之和为定值．定义2．到一个定点的距离与到一条定直线的距离之比为定值（小于1）的点的轨迹是椭圆．几何性质：椭圆上任一点到左（右）焦点的距离与到左（右）准线的距离之比为离心率e ．定义3．到两个定点的斜率之积为定值（小于0且不等于1-）的点的轨迹是椭圆．几何性质：椭圆上任一点到左右（上下）两顶点的斜率之积为22ab -．二．椭圆经典结论汇总1．AB 是椭圆()012222>>=+b a by a x 的不平行于对称轴的弦，),(00y x M 为AB 的中点，则22a b k k ABOM -=⋅，即0202y a x b k AB -=．等价形式：21,A A 是椭圆()012222>>=+b a by a x 上关于原点对称的任意两点，B 是椭圆上其它任意一点，直线B A B A 21,的斜率存在，则2221ab k k BA B A -=⋅．2．椭圆()012222>>=+b a by a x 的左右焦点分别为21,F F ，点P 为椭圆上任意一点θ=∠21PF F 则（1）2122||||1cos b PF PF θ=+；（2）椭圆的焦点角形的面积为2tan 221θb S PF F =∆．3．过椭圆()012222>>=+b a b y a x 上任一点),(00y x A 任意作两条倾斜角互补的直线交椭圆于C B ,两点，则直线BC 有定向且022y a x b k BC=（常数）．4．P 为椭圆()012222>>=+b a b y a x 上任一点，21,F F 为二焦点，A 为椭圆内一定点，则||2||||||2112AF a PF PA AF a +≤+≤-，当且仅当P F A ,,2三点共线时，等号成立．5．已知椭圆()012222>>=+b a by a x ，O 为坐标原点，Q P ,为椭圆上两动点，且OP OQ ⊥，（1）22221111||||OP OQ a b +=+；（2）22||||OQ OP +的最大值为22224a b a b +；（3）OPQ S ∆的最小值是2222a b a b+．6．椭圆()012222>>=+b a by a x 的焦半径公式：)),(),0,(),0,((,||,||00210201y x M c F c F ex a MF ex a MF --=+=7．若),(000y x P 在椭圆12222=+by a x 内，则被0P 所平分的中点弦的方程是222202020by a x b y y a x x +=+．8．若),(000y x P 在椭圆12222=+by a x 内，则过0P 的弦中点的轨迹方程是20202222byy a x x b y a x +=+．9．若),(000y x P 在椭圆12222=+by a x 上，则过0P 的椭圆的切线方程是12020=+b y y a x x ．10．若),(000y x P 在椭圆12222=+by a x 外，则过0P 作椭圆的两条切线切点为21,P P ，则切点弦21P P 的直线方程是12020=+byy a x x ．11．设椭圆()012222>>=+b a by a x 的两个焦点为P F F ,,21（异于长轴端点）为椭圆上任意一点，在21F PF ∆中，记12F PF α∠=，12PF F β∠=，12F F P γ∠=，则有sin sin sin ce aαβγ==+．12．若P 为椭圆()012222>>=+b a b y a x 上异于长轴端点的任一点，21,F F 是焦点，12PF F α∠=,21PF F β∠=，则2tan 2tan βα=+-c a c a ．13．设B A ,是椭圆()012222>>=+b a by a x 的长轴两端点，P 是椭圆上的一点，PAB α∠=，PBA β∠=，BPA γ∠=，e c 、分别是椭圆的半焦距离心率，则有(1)22222|cos |||s ab PA a c co αγ=-；(2)2tan tan 1e αβ=-；(3)22222cot PAB a b S b a γ∆=-．14．椭圆焦三角形中，内心将内点与非焦顶点连线段分成定比e ．15．椭圆()012222>>=+b a by a x 的左右焦点分别为21,F F ，点P 为椭圆上任意一点θ=∠21PF F ，椭圆的焦点角形的内心为I ，P I y e e y +=1，c a PI -=2cos ||θ．16．点P 处的切线PT 平分21F PF ∆在点P 处的外角．17．若椭圆()012222>>=+b a by a x 的左、右焦点分别为21,F F ，左准线为l ，则当120-≤<e时，可在椭圆上求一点P ，使得1PF 是P 到对应准线距离d 与2PF 的比例中项．18．过椭圆()012222>>=+b a by a x 的右焦点F 作直线交该椭圆右支于N M ,两点，弦MN 的垂直平分线交x 轴于P ，则2||||eMN PF =．19．已知椭圆()012222>>=+b a by a x ，B A ,是椭圆上的两点，线段AB 的垂直平分线与x 轴相交于点0(,0)P x ，则22220a b a b x a a---<<．20．椭圆()012222>>=+b a by a x 的两个顶点为()()0,,0,21a A a A -，与y 轴平行的直线交椭圆于21,P P 时11P A 与22P A 交点的轨迹方程是12222=-by a x ．【例题解析】【例1】已知21,F F 分别是椭圆()012222>>=+b a by a x 的左、右焦点，P 为椭圆上一点，且0)(11=+⋅→→→OP OF PF （O 为坐标原点），若||2||21→→=PF PF ，则椭圆的离心率为（）A．36-B．236-C．56-D．256-【例2】已知定圆1)5(:221=++y x C ，225)5(:222=+-y x C ，定点)1,4(M ，动圆C 满足与1C 外切且与2C 内切，则||||1CC CM +的最大值为（）A．216+B．216-C．316+D．316-【例3】过原点的一条直线与椭圆()012222>>=+b a by a x 交于B A ,两点，以线段AB 为直径的圆过该椭圆的右焦点2F ，若]4,12[2ππ∈∠ABF ，则该椭圆离心率的取值范围为（）A．)1,22[B．]36,22[C．)1,36[D．]23,22[【例4】已知椭圆()012222>>=+b a by a x 上一点A 关于原点的对称点为点B ，F 为其右焦点，若BF AF ⊥，设α=∠ABF ，且4,6[ππα∈，则该椭圆离心率e 的取值范围为（）A．]13,22[-B．)1,22[C．]23,22[D．]36,33[【例5】已知21,F F 是椭圆13422=+y x 的左右焦点，点M 的坐标为)23,1(-，则21MF F ∠的角平分线所在直线的斜率为()A．2-B．1-C．3-D．2-【例6】已知椭圆：()012222>>=+b a b y a x 的左右焦点分别为21,F F ，P 为椭圆上的一点，2PF 与椭圆交于Q 。

椭球的基本概念与性质

椭球的基本概念与性质椭球是数学中一个常见的二次曲面，具有一些独特的性质和特点。

本文将介绍椭球的基本概念和性质，帮助读者更好地理解和运用椭球。

一、椭球的定义与构造椭球是一个特殊的三维几何图形，由一个平面围绕着两个焦点旋转而成。

准确地说，椭球可以由一个平面上的椭圆围绕其短轴旋转而成，其中椭圆的短轴为椭球的直径，而长轴则是椭球的两焦点之间的距离。

二、椭球的形状特点1. 长轴和短轴：椭球的形状由其长轴（也称为主轴）和短轴（也称为次轴）决定。

长轴是椭球上两个焦点之间的距离的两倍，短轴是椭球上横跨两个焦点的直径。

2. 离心率：离心率是描述椭球形状的一个重要参数，它表示椭圆的形状偏离完全圆的程度。

离心率的取值范围是0到1之间，当离心率为0时，椭球退化为一个球体，当离心率为1时，椭球退化为一个长椭球。

3. 焦点：椭球上的焦点是椭球形成的基本基准点，其特点是到椭球上任意一点的距离之和是一个常数。

焦点在椭球上的位置和离心率有关，离心率越大，焦点越远离椭球的中心。

三、椭球的性质1. 对称性：椭球具有3个轴上的对称性。

其中，长轴和短轴是椭球的对称轴，而另一个与长、短轴垂直的轴称为椭球的次对称轴。

2. 曲率：椭球的曲率在不同方向上有所不同。

在椭圆的主轴上，椭球的曲率最大；而在椭圆的次轴上，椭球的曲率最小。

3. 表面积与体积：椭球的表面积和体积是计算椭球相关问题时的重要参数。

椭球的表面积可以通过椭球的长轴、短轴和离心率来计算，而椭球的体积则可以通过椭球的长轴和短轴来计算。

4. 椭球方程与焦点坐标：椭球可以通过方程来表示，具体形式为(x/a)^2 + (y/b)^2 + (z/c)^2 = 1，其中a、b、c分别是椭球的长轴、短轴和离心率。

椭球上任意一点的坐标可以由对应的焦点坐标表示。

结论椭球是一个重要的数学几何图形，具有独特的形状和性质。

通过了解椭球的基本概念与性质，我们能够更好地理解和运用椭球，解决与椭球相关的问题。

对于物理学、力学、光学以及计算机图形学等领域的学习和应用都离不开对椭球的理解和运用。

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2a＝5＋3， 由已知条件得 2 2 2 2c ＝5 －3 ，
解得 a＝4，c＝2，b2＝12.
x2 y2 y2 x2 故所求椭圆方程为 ＋ ＝1 或 ＋ ＝1. 16 12 16 12
抓住2个考点
突破3个考向
揭秘3年高考
考向三
考查椭圆的几何性质
1 【例 3】 已知长轴在 x 轴上的椭圆的离心率 e＝ ，且过点 2
r2＋r2－4c2 r1＋r22－2r1r2－4c2 a2 a2 1 2 cos θ＝ ＝ ＝ －1≥ －1＝0， 2r1r2 2r1r2 r1r2 r1＋r22 2 当且仅当 r1＝r2 时，cos θ＝0，所以
π θ∈0， . 2
突破3个考向 揭秘3年高考
－a≤x≤a －b≤x≤b －b≤y≤b －a≤y≤a 对称轴：坐标轴 对称中心：原点 A1(－a,0)，A2(a,0) A1(0，－a)，A2(0，a) B1(0，－b)，B2(0，b) B1(－b,0)，B2(b,0) 2a 2b 长轴 A1A2 的长为___；短轴 B1B2 的长为____ 2c F1F2＝____ c e＝ ∈(0,1) a a2－b2 c2＝________ a2 a2 ± ± x＝_____ y＝_____ c c
－8k2 2k 点的坐标为 ， . 1＋4k2 1＋4k2
以下分两种情况：
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①当 k＝0 时， B 的坐标为(2,0)， 点 线段 AB 的垂直平分线为 y → → 轴，于是QA＝(－2，－y0)，QB＝(2，－y0)． → → 由QA· ＝4，得 y0＝± 2. QB 2 ②当 k≠0 时，线段 AB 的垂直平分线方程为 8k2 2k 1 y－ ＝－ x＋ 2. 2 k 1＋4k 1＋4k 6k 令 x＝0，解得 y0＝－ 2. 1＋4k → → 由QA＝(－2，－y0)，QB＝(x1，y1－y0)，
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→ → QA· ＝－2x1－y0(y1－y0) QB －22－8k2 6k 6k 4k ＋ ＝ ＋ 2 2 1＋4k2 1＋4k21＋4k 1＋4k 416k4＋15k2－1 ＝ ＝4，整理得 7k2＝2. 1＋4k22 14 2 14 故 k＝± ，所以 y0＝± . 7 5 2 14 综上，y0＝± 2或 y0＝± 2 . 5
解 x2 y2 (1)由题意，设所求椭圆的方程为 ＋ ＝t(t＞0)， 4 3
2 22 － 3 ∵椭圆过点(2，－ 3)，∴t＝ ＋ ＝2， 4 3
x2 y2 故所求椭圆标准方程为 ＋ ＝1. 8 6
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(2)设所求的椭圆方程为 x2 y2 y2 x2 ＋ ＝1(a＞b＞0)或 2＋ 2＝1(a＞b＞0)， a2 b2 a b
点，定直线l叫做焦点F相应的准线，根据椭圆的对称性，椭 圆有两个焦点和两条准线．
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2．椭圆的标准方程和几何性质
x2 y2 ＋ ＝1(a＞b＞0) a2 b2 y2 x2 ＋ ＝1(a＞b＞0) a2 b2
标准方程
图形
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范围 对称性 顶点 性 质 轴 焦距 离心率 a，b，c 的关系 准线
x2 y2 5．已知 F1、F2 是椭圆 C： 2＋ 2＝1(a＞b＞0)的两个焦点，P a b → → 为椭圆 C 上的一点，且PF1⊥PF2.若△PF1F2 的面积为 9， 则 b＝________.
解析
→ → 由题意知 PF1＋PF2＝2a，PF1⊥PF2，
∴(PF1)2＋(PF2)2＝(F1F2)2＝4c2， ∴(PF1＋PF2)2－2PF1· 2＝4c2， PF ∴2PF1· 2＝4a2－4c2＝4b2.∴PF1· 2＝2b2， PF PF 1 1 ∴S△PF1F2＝ PF1· 2＝ ×2b2＝b2＝9.∴b＝3. PF 2 2
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考点自测
x2 y2 1．(2011· 新课标全国卷改编)椭圆 ＋ ＝1 的离心，b2＝8，c2＝a2－b2＝16－8＝8.
c 2 2 2 ∴c＝2 2，∴e＝ ＝ ＝ . a 4 2
答案 2 2
x2 y2 2．设 P 是椭圆 ＋ ＝1 上的点，若 F1、F2 是椭圆的两个焦点， 25 16 则 PF1＋PF2＝________.
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1 【训练 1】 已知椭圆的中心在原点，离心率 e＝ ，左焦点为 2 F1(－2,0)． (1)求椭圆的方程； (2)设 P 是椭圆上一点，且点 P 与椭圆的两个焦点 F1、F2 PF1 构成直角三角形，若 PF1>PF2，求 的值． PF2
解
c 2 1 (1)由题意，c＝2， ＝ ＝ ，所以 a＝4， a a 2
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x2 y2 【训练 2】 (1)求与椭圆 ＋ ＝1 有相同的离心率，焦点在 x 4 3 轴，且经过点(2，－ 3)的椭圆方程． (2)已知点 P 在以坐标轴为对称轴的椭圆上，且 P 到两焦 点的距离分别为 5、3，过 P 且与长轴垂直的直线恰过椭 圆的一个焦点，求椭圆的方程．
3 1， . 2
(1)求椭圆的标准方程； (2)若 P 是椭圆上任意一点，F1、F2 是椭圆的左、 右焦点． ①求 PF1· 2 的最大值； PF → → ②求PF1· 2的取值范围． PF
得此方程组无解．综上所述，
考向二
求椭圆的标准方程
x2 y2 【例 2】 (2013· 泰州二模)已知椭圆 2＋ 2＝1(a>b>0)的离心率为 a b 3 e＝ ，连接椭圆的四个顶点得到的菱形的面积为 4. 2 (1)求椭圆的方程； (2)设直线 l 与椭圆相交于不同的两点 A，B.已知点 A 的坐标 → → 为(－a,0)， Q(0， 0)在线段 AB 的垂直平分线上， 点 y 且QA· QB ＝4.求 y0 的值．
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2 x ＋y2＝1， 于是 A，B 两点的坐标满足方程组 4 y＝kx＋2.
由方程消去 y 并整理，得 (1＋4k2)x2＋16k2x＋(16k2－4)＝0. 16k2－4 2－8k2 4k 由－2x1＝ ，得 x1＝ ，从而 y1＝ 2 2 2. 1＋4k 1＋4k 1＋4k 设线段 AB 的中点为 M， 则M
2 2 25 16 c 5 2 c2 a －b 1 得 2 ＋ 2 ＝1，又离心率 e＝ ＝ ⇒e ＝ 2＝ 2 ＝ ，解 a b a 5 a a 5
x2 y2 之得 a2＝45，b2＝36，故椭圆的方程为 ＋ ＝1. 45 36
x2 y2 答案 ＋ ＝1 45 36
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解析 答案
依椭圆的定义知：PF1＋PF2＝2×5＝10. 10
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5 3．已知椭圆的中心在原点，焦点在 x 轴上，离心率为 ， 5
且过点 P－5，4，则椭圆的方程为______________．
解析
x2 y2 设椭圆的方程为 2＋ 2＝1(a>b>0)，将点(－5,4)代入 a b
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【助学· 微博】 一个复习指导 椭圆是圆锥曲线的重要内容．主要考查运用直接法、定义
法、待定系数法求椭圆的标准方程，考查椭圆的几何性
质、椭圆定义的综合运用以及椭圆中各量的计算，尤其求 椭圆的离心率或离心率的范围是高考的热点，题型有填空
题、解答题，属中档题．
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第1讲 椭
圆
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考点梳理
1．椭圆的定义 (1)第一定义：平面内与两个定点F1，F2的距离之和等于 定点 常数 ____(大于|F F |)的点的轨迹叫做椭圆，这两个_____叫做椭圆
1 2
焦点 的焦点，两个____的距离叫做焦距． (2)第二定义：平面内与一个定点F和一条定直线l的距离的比 e 是常数_(0<e<1)的动点的轨迹是椭圆，定点F叫做椭圆的焦
又 PF1>PF2，解得 PF1＝5，PF2＝3， PF1 5 所以 ＝ .当∠F1PF2＝90° 时， PF2 3
PF ＋PF ＝8， 1 2 由 2 PF1＋PF2＝F1F2＝16， 2 2
且 PF1>PF2， PF1 5 ＝ . PF2 3
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抓住2个考点
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揭秘3年高考
[方法总结] 运用待定系数法求椭圆标准方程，即设法建立 关于a、b的方程组，先定型、再结合椭圆性质、已知条件 定量，若位置不确定时，考虑是否两解，有时为了解题需
要，椭圆方程可设为mx2＋ny2＝1(m＞0，n＞0，m≠n)，
由题目所给条件求出m、n即可．
抓住2个考点
答案
3
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考向一
考查椭圆的定义
x2 y2 【例 1】 已知椭圆 2＋ 2＝1(a＞b＞0)的长、短轴端点分别为 a b A、B，从椭圆上一点 M(在 x 轴上方)向 x 轴作垂线，恰好 → → 通过椭圆的左焦点 F1，AB∥OM. (1)求椭圆的离心率 e； (2)设 Q 是椭圆上任意一点，F1、F2 分别是左、右焦点， 求∠F1QF2 的取值范围．
→ → c,0)，F2(c,0)，∴F1P＝(3＋c,1)，F2P＝(3－c,1)，∴9－c2 9 1 ＋1＝－6，∴c ＝16，即 a －b ＝16，又 2＋ 2＝1，∴a2 a b
2 2 2
4 2 ＝18，b2＝2，相应离心率大小为 e＝ ＝ 2. 3 2 3 2 答案 2 3