方程与不等式(zhengwen)

第二章 方程与不等式★2.1一元二次方程1. 定义：只含有1个未知数，且未知数的最高次数是2的整式方程。

2. 整式 单项式：数或字母的乘积，如4，a ，4a ，23aa 2 多项式 :若干个单项式的和或差 如4a+2c ，a-5b分式：形如aa 的式子，且A ，B 为整式，B 中有字母。

√且√下含有字母的式子3. 解一元二次方程ax 2+bx+c=0(a ≠0)的常用方法：（1）配方法：二次项系数化为1⇨移向（把常数项移到方程右边）⇨配方（方程的两边各加上一次项系数一半的平方），把方程化成（x+m ）2=n 的形式⇨用直接开平方的方法求解。

（2）求根公式法：a =−a ±√a 2−4aa2a注意条件△=b 2-4ac ＞0时，方程有2个不相等的实数根，△=b 2-4ac=0时，方程有2个相等的实数根，△=b 2-4ac ＜0时，方程无实数根。

（3）因式分解法或直接开平方法：适用于缺少一次项或常数项的一元二次方程。

如：x 2=9x ，4 x 2=5等4. 注意：一元二次方程的实数根或者有2个，或者没有。

例如x 2=2x ，不能把x 约去，否则会丢根。

★2.2不等式1. (复习)任意两个实数a,b 具有的基本性质：a-b ＞0⇔a ＞b a-b ＜0⇔a ＜b a-b=0⇔a=b2. 比较两个实数或代数式的大小的方法：通常用做差比较法。

方法是：把要比较的两个实数（或代数式）做差，然后进行化简，或配方，或因式分解，直到能判断实数或代数式的符号为止，最后根据结果的符号来判断大小。

3.不等式的基本性质：（1）a ＞b ⇔a+c ＞b+c （或a-c ＞b-c ） 不等式的两边同时加上或减去同一个整式，不等号的方向不变。

（2）a ＞b ，c ＞0⇔ac ＞bc （或a a ＞a a） 不等式的两边同时乘以或除以同一个正数，不等号的方向不变。

（3）a ＞b ，c ＜0⇔ac ＜bc （或a a ＜a a ） 不等式的两边同时乘以或除以同一个负数，不等号的方向改变。

数学中的方程与不等式知识点解析及解题技巧在数学学科中，方程和不等式是两个重要的概念，它们在解决实际问题和推导数学理论中起到了关键作用。

本文将对方程与不等式的知识点进行详细解析，并介绍解题的技巧。

一、方程的定义和解析方程是一个等式，其中包含未知数和已知数，通过求解未知数的值，使得等式成立。

方程可以用于解决各种实际问题，例如物理、经济和工程等领域。

在数学中，方程的解可以是一个数值、一个值的集合或一个函数。

方程的类型包括线性方程、二次方程、多项式方程等。

线性方程是最简单的一种方程形式，其一般表示形式为ax + b = 0，其中a和b为已知数，x为未知数。

解线性方程的常用方法是移项和消元法。

二次方程是一种形式更复杂的方程，其一般表示形式为ax^2 + bx +c = 0。

解二次方程可以使用求根公式或配方法。

求根公式为x = (-b ±√(b^2 - 4ac)) / 2a，其中a、b、c均为已知数。

多项式方程是包含多个项的方程，其中每个项都是未知数的幂和系数的乘积。

多项式方程的解可以是一个数值或一个值的集合。

二、不等式的定义和解析不等式是一个包含不等号的数学表达式，用于比较两个数的大小关系。

不等式的解集是满足不等式成立的数的集合。

在数学中，不等式常被用于描述范围、概率和不确定性等问题。

不等式的类型包括线性不等式、二次不等式和绝对值不等式等。

线性不等式的一般形式为ax + b > 0或ax + b < 0，其中a和b为已知数，x为未知数。

解线性不等式的方法包括图解法和区间判断法。

二次不等式的形式为ax^2 + bx + c > 0或ax^2 + bx + c < 0。

解二次不等式可以使用求根公式或判别式等方法。

绝对值不等式的一般形式为|ax + b| > c或|ax + b| < c。

解绝对值不等式需要考虑绝对值的两个取值情况，分别得到不等式的解集。

三、解题技巧1. 方程和不等式通常需要化简。

方程与不等式知识点梳理1、方程与方程组一元一次方程：①在一个方程中，只含有一个未知数，并且未知数的指数是1，这样的方程叫一元一次方程。

②等式两边同时加上或减去或乘以或除以（不为0）一个代数式，所得结果仍是等式。

解一元一次方程的步骤：去分母，移项，合并同类项，未知数系数化为1。

二元一次方程：含有两个未知数，并且所含未知数的项的次数都是1的方程叫做二元一次方程。

二元一次方程组：两个二元一次方程组成的方程组叫做二元一次方程组。

适合一个二元一次方程的一组未知数的值，叫做这个二元一次方程的一个解。

二元一次方程组中各个方程的公共解，叫做这个二元一次方程的解。

解二元一次方程组的方法：代入消元法/加减消元法。

一元二次方程：只有一个未知数，并且未知数的项的最高系数为2的方程1）一元二次方程的二次函数的关系大家已经学过二次函数（即抛物线）了，对他也有很深的了解，好像解法，在图象中表示等等，其实一元二次方程也可以用二次函数来表示，其实一元二次方程也是二次函数的一个特殊情况，就是当Y的0的时候就构成了一元二次方程了。

那如果在平面直角坐标系中表示出来，一元二次方程就是二次函数中，图象与X轴的交点。

也就是该方程的解了2）一元二次方程的解法大家知道，二次函数有顶点式（-b/2a,4ac-b2/4a），这大家要记住，很重要，因为在上面已经说过了，一元二次方程也是二次函数的一部分，所以他也有自己的一个解法，利用他可以求出所有的一元一次方程的解(1）配方法利用配方，使方程变为完全平方公式，在用直接开平方法去求出解(2)分解因式法提取公因式，套用公式法，和十字相乘法。

在解一元二次方程的时候也一样，利用这点，把方程化为几个乘积的形式去解(3)公式法这方法也可以是在解一元二次方程的万能方法了，方程的根X1={-b+√[b2-4ac)]}/2a，X2={-b-√[b2-4ac)]}/2a3）解一元二次方程的步骤：（1）配方法的步骤：先把常数项移到方程的右边，再把二次项的系数化为1，再同时加上1次项的系数的一半的平方，最后配成完全平方公式(2)分解因式法的步骤：把方程右边化为0，然后看看是否能用提取公因式，公式法（这里指的是分解因式中的公式法）或十字相乘，如果可以，就可以化为乘积的形式(3)公式法就把一元二次方程的各系数分别代入，这里二次项的系数为a，一次项的系数为b，常数项的系数为c4）韦达定理利用韦达定理去了解，韦达定理就是在一元二次方程中，二根之和=-b/a，二根之积=c/a也可以表示为x1+x2=-b/a,x1x2=c/a。

数学中的方程与不等式在数学中，方程和不等式是两个常见的概念。

它们在解决实际问题和研究数学性质时起着重要作用。

方程和不等式都是数学语言中的基本工具，通过利用代数关系，我们可以找到变量的可能取值范围或确定变量之间的关系。

一、方程方程是等式的一种形式，其中包含一个或多个未知数，我们需要找到使等式成立的未知数的值。

方程可以用于解决各种实际问题，例如计算物体的速度、找到几何图形的参数等。

1. 一元一次方程：一元一次方程是最简单的方程形式，它只包含一个未知数，并且未知数的最高次数为一。

一元一次方程的一般形式为ax + b = 0，其中a和b是常数，x是未知数。

解一元一次方程可以通过移项、合并同类项和消元等方法。

2. 二元一次方程：二元一次方程是方程中包含两个未知数，并且未知数的最高次数为一。

二元一次方程的一般形式为ax + by = c，其中a、b和c是已知常数，x和y是未知数。

解二元一次方程通常可以通过代入、消元或图解等方法。

3. 多元一次方程组：多元一次方程组是包含多个未知数和多个方程的方程组。

解多元一次方程组的常见方法有高斯消元法、矩阵法和代数法等。

4. 高次方程：高次方程是最高次数大于一的方程。

常见的高次方程有二次方程、三次方程和高次多项式方程等。

解高次方程的方法通常是利用求根公式、因式分解、配方法和图解等。

二、不等式不等式描述了数值之间的大小关系。

与方程不同，不等式的解通常是一组满足不等式条件的值。

1. 一元一次不等式：一元一次不等式是最简单的不等式形式，它只包含一个未知数，并且未知数的最高次数为一。

一元一次不等式的一般形式为ax + b > c或ax + b < c，其中a、b和c是已知常数，x是未知数。

解一元一次不等式通常可以通过移项、合并同类项和比较大小等方法。

2. 二元一次不等式：二元一次不等式是不等式中包含两个未知数，并且未知数的最高次数为一。

二元一次不等式的一般形式为ax + by > c 或ax + by < c，其中a、b和c是已知常数，x和y是未知数。

方程与不等式数学中的方程与不等式是解决问题的重要工具。

方程是指含有未知数的等式，可以用来求解未知数的取值；而不等式则可以表示数值之间的大小关系。

在本文中，我们将探讨方程与不等式的基本概念、解法和应用。

一、方程的基本概念与解法1.1 方程的定义与分类在数学中，方程是指含有未知数的等式。

其中，未知数是指我们希望求解的数值，它在方程中以字母表示。

常见的方程类型包括一元一次方程、一元二次方程、多元线性方程组等。

1.2 方程的解法解方程的方法多种多样，根据不同的方程类型和特点，我们可以采用代入法、消元法、配方法等求解。

其中，代入法是指将已知解代入方程，验证等式是否成立；消元法是指通过变换等式形式，逐步消去未知数，直至求得解。

二、不等式的基本概念与解法2.1 不等式符号与意义不等式用于表示数值之间的大小关系。

常见的不等式符号包括小于（<）、大于（>）、小于等于（≤）、大于等于（≥）等。

例如，对于不等式x < 5，表示x的取值范围为小于5的所有实数。

2.2 不等式的解法解不等式的方法与解方程类似，但需要注意不等式符号的性质。

当对不等式进行乘法或除法运算时，需要根据不等式符号的正负性确定是否需要改变符号方向。

同时，对于绝对值不等式等特殊类型的不等式，还需要采取相应的解法策略。

三、方程与不等式的应用方程与不等式在现实生活与各个学科领域中都有广泛的应用。

以下分别就几个常见的应用领域进行介绍：3.1 经济学中的应用经济学中常用方程与不等式描述经济变量之间的关系，用于分析市场需求、供给等问题。

例如，通过求解价格与数量的方程和不等式，可以确定市场均衡价格和数量。

3.2 物理学中的应用物理学中的各种定律与规律常常通过方程与不等式进行表达与描述。

例如，牛顿第二定律可以用F=ma的方程形式表示，而能量守恒定律则可以通过能量方程的不等式形式进行说明。

3.3 工程学中的应用工程学中的设计与计算常常涉及方程和不等式的求解。

方程与不等式的关系与转化一、方程与不等式的定义知识点1：方程的定义方程是一个含有未知数的等式，其中等号两边的表达式相等。

方程的目的是找到使等式成立的未知数的值。

知识点2：不等式的定义不等式是一个含有未知数的数学表达式，其中等号被大于号（>）、小于号（<）、大于等于号（≥）、小于等于号（≤）或不等号（≠）代替。

不等式的目的是找到使表达式成立的未知数的范围。

二、方程与不等式的关系知识点3：方程与不等式的联系方程和不等式都是用来描述变量之间关系的数学工具。

方程是通过等号连接两个表达式，表示它们在某个条件下相等；而不等式是通过不等号连接两个表达式，表示它们在某个条件下不相等或不具有大小关系。

知识点4：方程与不等式的区别方程是通过等号表示两个表达式的相等关系，而不等式是通过不等号表示两个表达式的不相等关系或不具有大小关系。

方程的解是唯一的，而不等式的解集是一个范围。

三、方程与不等式的转化知识点5：方程转化为不等式将方程中的等号改为不等号，可以得到相应的不等式。

例如，将2x + 3 = 7转化为2x + 3 ≥ 7，得到的解是x ≥ 2。

知识点6：不等式转化为方程将不等式中的不等号改为等号，可以得到相应的一般方程。

例如，将3x - 5 < 8转化为3x - 5 = 8，解这个方程得到的解是x = 5/3。

知识点7：线性方程与一元一次不等式的转化线性方程和不等式可以通过解集的性质进行转化。

例如，解线性方程2x - 5 = 3，得到的解是x = 4/2。

相应的不等式是2x - 5 ≥ 3，解集是x ≥ 4/2。

四、方程与不等式的解法知识点8：线性方程的解法线性方程可以通过代数方法（如移项、合并同类项、系数化）求解。

例如，解方程3x + 4 = 19，可以得到x = 5。

知识点9：一元一次不等式的解法一元一次不等式可以通过同解原理和数轴法进行解法。

例如，解不等式2x - 5 > 3，可以得到x > 4。

第二篇方程与不等式专题五一次方程（组）及应用一、考点扫描 1、方程的有关概念 含有未知数的等式叫做方程. 方程的解，也叫做根）. 2、一次方程（组）的解法和应用只含有一个未知数，并且未知数的次数是 1，系数不为零的方程，叫做一元一次方程. 解一元一次方程的一般步骤是去分母、去括号、移项、合并同类项和系数化成 1.3、方程组的有关概念含有两个未知数并且未知项的次数是1的方程叫做二元一次方程•两个二元一次方程合在一起就组成了个一。

元一次方程组.二元一次方程组可化为f x +by =Gi mx +ny =r（a ，b, m 、n 不全为零）的形式.使方程组中的各个方程的左、右两边都相等的未知数的值，叫做方程组的解. 4、一次方程组的解法和应用解二元（三元）一次方程组的一般方法是代入消元法和加减消元法. 二、考点训练若代数式3a 4b 2x 与0.2a 4b 3x-1能合并成一项，则x 的值是（）A. 12三、例题剖析X —11、解方程：x-——2使方程左右两边的值相等的未知数的值叫做方程的解（只含有一个未知数的1、 2、 方程组ax+by=4 [bx+ay=5的解是严，则a+b=l y=13、 n 2-8 已知方程（m-2）xm-1+（n+3）y n -8=5是二元一次方程，则 mn=4、x+y=5m已知关于x,y 的方程组的解满足2x-3y=9，则m 的值是x-y=9m5、 把一张面值50元的人民币换成10元、5元的人民币，共有___ （2006年随州市）“鸡兔同笼”是我国民间流传的诗歌形式的数学题, 中露，看来脚有100只，几多鸡儿几多兔？ ”解决此问题，设鸡为 是（）种换法. ? “鸡兔同笼不知数，三十六头笼x 只，兔为y 只，所列方程组正确的 |x +y =36；x +2y =100D 」x +y =36I 4x +2y =100B 」x+汗36[2x +4y =100C 」x + y=36 [2x + 2y =100x+21通间和双人普通间客房•若每间客房正好住满, 间和双人普通间客房各多少间？?且一天共花去住宿费 1510元，则旅游团住了三人普通2、（ 2006年青岛市）某商店的老板销售一种商品，他要以不低于进价 120%的价格才能出售，但为了获得更多利润，他以高出进价 80%的价格标价，？若你想买下标价为360元的这种商品，最多降低多少元，商 店老板才能出售？3、（ 2005年岳阳市）？某体育彩票经售商计划用 45000?元从省体彩中心购进彩票 20扎，每扎1000张，已 知体彩中心有 A B ，C 三种不同价格的彩费，进价分别是 A?种彩票每张1.5元，B 种彩票每张2元，C种彩票每张2.5元.（1） 若经销商同时购进两种不同型号的彩票 20扎，用去45000元，请你设计进票方案；（2） 若销售A 型彩票一张获手续费 0.2元，B 型彩票一张获手续费 0.3元，C 型彩票一张获手续费 0.5元.在 购进两种彩票的方案中，为使销售完时获得手续费最多，你选择哪种进票方案？ （3） 若经销商准备用45000元同时购进A ，B ，C 三种彩票20扎，请你设计进票方案.专题六分式方程及应用一、考点扫描1. 2. 分式方程•分母中含有未知数的方程叫做分式方程.分式方程的解法：解分式方程的关键是大分母（方程两边都乘以最简公分母人将分式方程转化为整式方 程.3. ⑴ 分式方程的增根问题：增根的产生：分式方程本身隐含着分母不为 0的条件，当把分式方程转化为整式方程后， 方程中未知数 允许取值的范围扩大了，如果转化后的整式方程的根恰好使原方程中分母的值为 0，那么就会出现不适合原方程的根I 增根；验根：因为解分式方程可能出现增根，所以解分式方程必须验根. 4. 分式方程的应用：列分式方程解应用题与列一元一次方程解应用题类似，但要稍复杂一些•解题时应抓住“找等量关系、 恰当设未知数、确定主要等量关系、用含未知数的分式或整式表示未知量”等关键环节，从而正确列出 方程，并进行求解•另外，还要注意从多角度思考、分析、解决问题，注意检验、解释结果的合理性.5. 通过解分式方程初步体验“转化”的数学思想方法，并能观察分析所给的各个特殊分式或分式方程，灵 活应用不同的解法，特别是技巧性的解法解决问题. 二、考点训练1、（2004、海口）把分式方程 1_1的两边同时乘以（X-2）,约去分母，得（）2、（ 2004、湟中，3分）正在修建的西塔（西宁〜塔尔寺）高速公路上，有一段工程，若甲、乙两个工程队单独完成，甲工程队比乙工程队少用10天；若甲、乙两队合作，12天可以完成.若没甲单独完成这项工程需要x 天.则根据题意，可列方程为 ____________________ 。

方程与不等式知识点一、方程的定义与基本概念方程是数学中常见的概念之一，它描述了数学关系中的等式关系。

方程通常由未知数、系数、和常数项组成，通过运算符号将它们连接起来。

在解方程时，我们的目标是找到满足方程条件的未知数的值。

方程可以是一元方程，即只含有一个未知数，也可以是多元方程，含有多个未知数。

二、一元一次方程一元一次方程是最简单的方程形式。

它的形式通常为ax+b=0，其中a和b为已知数，x为未知数。

解一元一次方程的关键在于运用逆运算，将未知数从方程中解出来。

通过将方程两边进行运算，消去系数和常数项，最终得到未知数的值。

三、一元二次方程一元二次方程是一元方程中的一种，其形式为ax²+bx+c=0，其中a、b和c为已知数，x为未知数。

解一元二次方程的常用方法是配方法和公式法。

其中，配方法涉及到将方程转化为完全平方形式，即通过添加常数项使方程变为平方的形式。

公式法则是通过使用求根公式，直接计算方程的解。

四、不等式的定义与基本概念不等式用于描述两个不同数之间的关系。

与方程类似，不等式也分为一元不等式和多元不等式。

一元不等式中只含有一个未知数，而多元不等式中含有多个未知数。

不等式中的符号包括大于、小于、大于等于、小于等于等。

解不等式的目标是确定使不等式成立的数的范围。

五、一元一次不等式一元一次不等式是最简单的不等式形式。

它常见的形式为ax+b>0，其中a、b为已知数，x为未知数。

解一元一次不等式的关键在于确定不等式的符号和确定未知数的取值范围。

通过合理的变形和运算，可以得到不等式的解集。

六、一元二次不等式一元二次不等式是一元不等式中的一种，其形式为ax²+bx+c>0，其中a、b和c为已知数，x为未知数。

解一元二次不等式的方法与解一元二次方程类似。

通过分析二次项的符号、系数和常数项的关系，可以确定不等式的解集。

七、方程与不等式的应用方程与不等式在数学中有着广泛的应用。

在实际生活中，它们常用于建模和解决实际问题。

第二章一元二次函数、方程和不等式（公式、定理、结论图表）1．不等关系不等关系常用不等式来表示．2．实数a，b的比较大小文字语言数学语言等价条件a－b是正数a－b＞0a＞ba－b等于零a－b＝0a＝ba－b是负数a－b＜0a＜b3.重要不等式一般地，∀a，b∈R，有a2＋b2≥2ab，当且仅当a＝b时，等号成立．4．等式的性质(1)性质1如果a＝b，那么b＝a；(2)性质2如果a＝b，b＝c，那么a＝c；(3)性质3如果a＝b，那么a±c＝b±c；(4)性质4如果a＝b，那么ac＝bc；(5)性质5如果a＝b，c≠0，那么ac＝b c .5．不等式的基本性质(1)对称性：a＞b⇔b＜a.(2)传递性：a＞b，b＞c⇒a＞c.(3)可加性：a＞b⇔a＋c＞b＋c.(4)可乘性：a＞b，c＞0⇒ac＞bc；a＞b，c＜0⇒ac＜bc.(5)加法法则：a＞b，c＞d⇒a＋c＞b＋d.(6)乘法法则：a＞b＞0，c＞d＞0⇒ac＞bd.(7)乘方法则：a＞b＞0⇒a n＞b n＞0(n∈N，n≥2)．6．基本不等式(1)有关概念：当a，b均为正数时，把a＋b2叫做正数a，b的算术平均数，把ab叫做正数a，b的几何平均数．(2)不等式：当a，b是任意正实数时，a，b的几何平均数不大于它们的算术平均数，即ab≤a＋b2，当且仅当a＝b时，等号成立．7.已知x、y都是正数，(1)若x＋y＝S(和为定值)，则当x＝y时，积xy取得最大值S24.(2)若xy＝p(积为定值)，则当x＝y时，和x＋y取得最小值2p.上述命题可归纳为口诀：积定和最小，和定积最大．8．一元二次不等式的概念只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式．9．一元二次不等式的一般形式(1)ax2＋bx＋c＞0(a≠0)．(2)ax2＋bx＋c≥0(a≠0)．(3)ax2＋bx＋c＜0(a≠0)．(4)ax2＋bx＋c≤0(a≠0)．思考1：不等式x2－y2>0是一元二次不等式吗？提示：此不等式含有两个变量，根据一元二次不等式的定义，可知不是一元二次不等式．10．一元二次不等式的解与解集使一元二次不等式成立的未知数的值，叫做这个一元二次不等式的解，其解的集合，称为这个一元二次不等式的解集．思考2：类比“方程x2＝1的解集是{1，－1}，解集中的每一个元素均可使等式成立”．不等式x2>1的解集及其含义是什么？提示：不等式x2>1的解集为{x|x<－1或x>1}，该集合中每一个元素都是不等式的解，即不等式的每一个解均使不等式成立．11．三个“二次”的关系|b提示：结合二次函数图象可知，若一元二次不等式ax2＋x－1>0的解集为R，则>0，＋4a<0，解得a∈∅，所以不存在a使不等式ax2＋x－1>0的解集为R. 12．分式不等式的解法主导思想：化分式不等式为整式不等式类型同解不等式思考1：x －3x ＋2>0与(x －3)(x ＋2)>0等价吗？将x －3x ＋2>0变形为(x －3)(x ＋2)>0，有什么好处？提示：等价；好处是将不熟悉的分式不等式化归为已经熟悉的一元二次不等式．13．(1)不等式的解集为R (或恒成立)的条件设二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c若ax 2＋bx ＋c ≤k 恒成立⇔y max ≤k 若ax 2＋bx ＋c ≥k 恒成立⇔y min ≥k14.从实际问题中抽象出一元二次不等式模型的步骤(1)阅读理解，认真审题，分析题目中有哪些已知量和未知量，找准不等关系．(2)设出起关键作用的未知量，用不等式表示不等关系(或表示成函数关系)．(3)解不等式(或求函数最值)．(4)回扣实际问题．思考2：解一元二次不等式应用题的关键是什么？提示：解一元二次不等式应用题的关键在于构造一元二次不等式模型，选择其中起关键作用的未知量为x，用x来表示其他未知量，根据题意，列出不等关系再求解．<解题方法与技巧>1．作差法比较大小的一般步骤第一步：作差；第二步：变形，常采用配方、因式分解等恒等变形手段，将“差”化成“和”或“积”；第三步：定号，就是确定是大于0，等于0，还是小于0(不确定的要分情况讨论)；最后得结论．概括为“三步一结论”，这里的“定号”是目的，“变形”是关键.典例1：已知x≤1，比较3x3与3x2－x＋1的大小．[解]3x3－(3x2－x＋1)＝(3x3－3x2)＋(x－1)＝3x2(x－1)＋(x－1)＝(3x2＋1)(x－1)．∵x≤1得x－1≤0，而3x2＋1＞0，∴(3x2＋1)(x－1)≤0，∴3x3≤3x2－x＋1.2.利用不等式的性质证明不等式注意事项(1)利用不等式的性质及其推论可以证明一些不等式.解决此类问题一定要在理解的基础上，(2)应用不等式的性质进行推导时，应注意紧扣不等式的性质成立的条件，且不可省略条件或跳步推导，更不能随意构造性质与法则.典例2：若a＞b＞0，c＜d＜0，e＜0，求证：e(a－c)2＞e(b－d)2.[思路点拨]可结合不等式的基本性质，分析所证不等式的结构，有理有据地导出证明结果．[证明]∵c＜d＜0，∴－c＞－d＞0.又∵a＞b＞0，∴a－c＞b－d＞0.∴(a－c)2＞(b－d)2＞0.两边同乘以1(a－c)2(b－d)2，得1(a－c)2＜1(b－d)2.又e＜0，∴e(a－c)2＞e(b－d)2.3.对基本不等式的理解2．对基本不等式的准确掌握要抓住以下两个方面：(1)定理成立的条件是a、b都是正典例3：给出下面四个推导过程：①∵a、b为正实数，∴ba＋ab≥2ba·ab＝2；②∵a∈R，a≠0，∴4a＋a≥24a·a＝4；③∵x、y∈R，xy＜0，∴xy＋yx＝－－ 2.其中正确的推导为()A．①②B．①③C．②③D．①②③B[解]①∵a、b为正实数，∴ba、ab为正实数，符合基本不等式的条件，故①的推导正确．②∵a∈R，a≠0，不符合基本不等式的条件，∴4a＋a≥24a·a＝4是错误的．③由xy＜0，得xy、yx均为负数，但在推导过程中将整体xy＋yx提出负号后，为正数，符合均值不等式的条件，故③正确．]4.利用基本不等式比较大小1．在理解基本不等式时，要从形式到内含中理解，特别要关注条件．等号成立的条件是a＝b；a2＋b2≥2ab成立的条件是a，b∈R，等号成立的条件是a＝b.典例4：(1)已知a，b∈R＋，则下列各式中不一定成立的是()A．a＋b≥2ab B.ba＋a b ≥2C.a2＋b2ab ≥2ab D.2aba＋b≥ab(2)已知a，b，c是两两不等的实数，则p＝a2＋b2＋c2与q＝ab＋bc＋ca的大小关系是________．(1)D(2)a2＋b2＋c2＞ab＋bc＋ac[解](1)由a＋b2≥ab得a＋b＝2ab，∴A成立；∵ba＋ab≥2ba·ab＝2，∴B成立；∵a2＋b2ab≥2abab＝2ab，∴C成立；∵2aba＋b≤2ab2ab＝ab，∴D不一定成立．(2)∵a、b、c互不相等，∴a2＋b2＞2ab，b2＋c2>2ac，a2＋c2>2ac.∴2(a2＋b2＋c2)>2(ab＋bc＋ac)．即a2＋b2＋c2>ab＋bc＋.]5.利用基本不等式证明不等式1．条件不等式的证明，要将待证不等式与已知条件结合起来考虑，比如本题通过“1”的代换，将不等式的左边化成齐次式，一方面为使用基本不等式创造条件，另一方面可实现约分与不等式的右边建立联系．2．先局部运用基本不等式，再利用不等式的性质(注意限制条件)，通过相加(乘)合成为待证的不等式，既是运用基本不等式时的一种重要技能，也是证明不等式时的一种常用方法．典例5：已知a，b，c是互不相等的正数，且a＋b＋c＝1，求证：1a＋1b＋1c>9.[思路点拨]看到1a＋1b＋1c>9，想到将“1”换成“a＋b＋c”，裂项构造基本不等式的形式，用基本不等式证明．[证明]∵a，b，c∈R＋，且a＋b＋c＝1，∴1a ＋1b ＋1c ＝a ＋b ＋c a ＋a ＋b ＋c b ＋a ＋b ＋c c ＝3＋b a ＋c a ＋a b ＋c b ＋a c ＋b c＝3≥3＋2b a ·a b＋2c a ·a c＋2c b ·b c＝3＋2＋2＋2＝9.当且仅当a ＝b ＝c 时取等号，∴1a ＋1b ＋1c>9.6.利用基本不等式求最值利用基本不等式求最值的关键是获得满足基本不等式成立条件，即“一正、二定、三相等”.解题时应对照已知和欲求的式子运用适当的“拆项、添项、配凑、变形”等方法创设应用基本不等式的条件.具体可归纳为三句话：若不正，用其相反数，改变不等号方向；若不定应凑出定和或定积；典例6：(1)已知x <54，求y ＝4x －2＋14x －5的最大值；(2)已知0<x <12，求y ＝12(1－2x )的最大值．[思路点拨](1)看到求y ＝4x －2＋14x －5的最值，想到如何才能出现乘积定值；(2)要求y＝12x (1－2x )的最值，需要出现和为定值．[解](1)∵x <54，∴5－4x >0，∴y ＝4x －2＋14x －5＝－－4x 3≤－2＋3＝1，当且仅当5－4x ＝15－4x，即x ＝1时，上式等号成立，故当x ＝1时，y max ＝1.(2)∵0<x<12，∴1－2x>0，∴y＝14×2x(1－2x)≤14×＝14×14＝116∴当且仅当2x＝1－2xx＝14时，y max＝116.7.利用基本不等式求条件最值1．本题给出的方法，用到了基本不等式，并且对式子进行了变形，配凑出满足基本不等式的条件，这是经常使用的方法，要学会观察、学会变形．f(x)＝ax(b－ax)型．典例7：已知x＞0，y＞0，且满足8x＋1y＝1.求x＋2y的最小值．[解]∵x＞0，y＞0，8x＋1 y＝1，∴x＋2yx＋2y)＝10＋xy＋16yx≥10＋2xy·16yx＝18，＋1y＝1，＝16yx，＝12，＝3时，等号成立，故当x＝12，y＝3时，(x＋2y)min＝18.8.利用基本不等式解决实际问题1．在应用基本不等式解决实际问题时，应注意如下思路和方法：(1)先理解题意，设出变量，一般把要求最值的量定为函数；(2)建立相应的函数关系，把实际问题抽象成函数的最大值或最小值问题；(3)在定义域内，求出函数的最大值或最小值；(4)正确写出答案．时，可用函数的单调性求解典例8：如图，动物园要围成相同面积的长方形虎笼四间，一面可利用原有的墙，其他各面用钢筋网围成．现有36m 长的钢筋网材料，每间虎笼的长、宽分别设计为多少时，可使每间虎笼面积最大？[解]设每间虎笼长x m ，宽y m ，则由条件知，4x ＋6y ＝36，即2x ＋3y ＝18.设每间虎笼面积为S ，则S ＝xy .法一：由于2x ＋3y ≥22x ·3y ＝26xy ，所以26xy ≤18，得xy ≤272，即S max ＝272，当且仅当2x ＝3y 时，等号成立．x ＋3y ＝18，x ＝3y ，＝4.5，＝3.故每间虎笼长为4.5m，宽为3m 时，可使每间虎笼面积最大．法二：由2x ＋3y ＝18，得x ＝9－32y .∵x >0，∴0<y <6，S ＝xy ＝－32y ＝32y (6－y )．∵0<y <6，∴6－y >0.∴S ≤32(6－y )＋y 22＝272.当且仅当6－y ＝y ，即y ＝3时，等号成立，此时x ＝4.5.故每间虎笼长为4.5m ，宽为3m 时，可使每间虎笼面积最大．9.不等式恒成立问题对于恒成立不等式求参数范围问题常见类型及解法有以下两种：(1)变更主元法根据实际情况的需要确定合适的主元，一般知道取值范围的变量要看作主元.(2)转化法求参数范围已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的函数值的集合为B＝{y|m≤y≤n}，则(1)y≥k恒成立⇒y min≥k即m≥k；(2)y≤k恒成立⇒y max≤k即n≤k.典例9：已知y＝x2＋ax＋3－a，若－2≤x≤2，x2＋ax＋3－a≥0恒成立，求a的取值范围．[思路点拨]对于含参数的函数在某一范围上的函数值恒大于等于零的问题，可以利用函数的图象与性质求解．[解]设函数y＝x2＋ax＋3－a在－2≤x≤2时的最小值为关于a的一次函数，设为g(a)，则(1)当对称轴x＝－a2<－2，即a>4时，g(a)＝(－2)2＋(－2)a＋3－a＝7－3a≥0，解得a≤73，与a>4矛盾，不符合题意．(2)当－2≤－a2≤2，即－4≤a≤4时，g(a)＝3－a－a24≥0，解得－6≤a≤2，此时－4≤a≤2.(3)当－a2>2，即a<－4时，g(a)＝22＋2a＋3－a＝7＋a≥0，解得a≥－7，此时－7≤a<－4.综上，a的取值范围为－7≤a≤2.。