2021届一轮复习数学新高考新题型专练：(8)平面解析几何

专题8 平面解析几何纵观近几年的高考试题，考查圆锥曲线的题目有小有大，其中小题以考查圆、椭圆、双曲线、抛物线的方程及几何性质为主，难度在中等或以上；大题则主要考查直线与椭圆、直线与抛物线的位置关系问题；命题的主要特点有：一是以过特殊点的直线与圆锥曲线相交为基础设计“连环题”，结合曲线的定义及几何性质，利用待定系数法先行确定曲线的标准方程，进一步研究弦长、图形面积、最值、取值范围等；二是以不同曲线（圆、椭圆、抛物线）的位置关系为基础设计“连环题”，结合曲线的定义及几何性质，利用待定系数法先行确定曲线的标准方程，进一步研究弦长、图形面积、最值、取值范围等；三是直线与圆锥曲线的位置关系问题，综合性较强，往往与向量（共线、垂直、数量积）结合，涉及方程组联立，根的判别式、根与系数的关系、弦长问题等.预测2021年将保持稳定，一大二小.其中客观题考查圆、椭圆、双曲线、抛物线问题，难度在中等或以下.主观题考查或直线与椭圆的位置关系、直线与抛物线的位置关系，相关各种综合问题应有充分准备.一、单选题1．（2020届山东省菏泽一中高三2月月考）已知点()2,4M 在抛物线C :22y px =(0p >)上,点M 到抛物线C 的焦点的距离是( ) A ．4B ．3C ．2D ．12．（2020·山东高三模拟）已知曲线24x y =，动点P 在直线3y =-上，过点P 作曲线的两条切线12,l l ，切点分别为,A B ，则直线AB 截圆22650x y y +-+=所得弦长为（ ）AB ．2C ．4D ．3．（2020届山东省济宁市高三3月月考）过点(的直线将圆()22325x y -+=分成两段圆弧，当两段圆弧中的劣弧所对圆心角最小时，该直线的斜率为( )A ．B C ．-D 4．（2020届山东省济宁市第一中学高三一轮检测）过点()1,2P 的直线与圆221x y +=相切，且与直线10ax y +-=垂直，则实数a 的值为（ ）A ．0B ．43-C ．0或43D ．435．（2020届山东省高考模拟）已知双曲线()222210,0x y a b a b -=>>的左、右焦点分别为12F F 、，圆222x y b +=与双曲线在第一象限内的交点为M ，若123MF MF =．则该双曲线的离心率为( )A ．2B ．3C ．2D ．36．（2020届山东省济宁市第一中学高三一轮检测）双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的两顶点为1A ，2A ，虚轴两端点为1B ，2B ，两焦点为1F ，2F ，若以12A A 为直径的圆内切于菱形1122F B F B ，则双曲线的离心率是（ ） A ．51-B ．35+ C ．51+ D ．31+7．（2020届山东省潍坊市高三模拟一）已知1F ，2F 是椭圆22221(0)x y C a b a b+=>>：的左，右焦点，A 是C的左顶点，点P 在过A 且斜率为3的直线上，12PF F △为等腰三角形，12120F F P ∠=︒，则C 的离心率为 A ．23B ．12 C ．13D ．148．（2020届山东省烟台市高三模拟）已知圆截直线所得线段的长度是，则圆与圆的位置关系是（ ） A ．内切 B ．相交C ．外切D ．相离9．（2020·2020届山东省淄博市高三二模）已知点1F 是抛物线C ：22x py =的焦点，点2F 为抛物线C 的对称轴与其准线的交点，过2F 作抛物线C 的切线，切点为A ，若点A 恰好在以1F ，2F 为焦点的双曲线上，则双曲线的离心率为（ ） A ．622B 21C ．622D 2110．（2020届山东省潍坊市高三模拟二）抛物线有如下光学性质：过焦点的光线经抛物线反射后得到的光线平行于抛物线的对称轴；反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点.已知抛物线24y x =的焦点为F ，一条平行于x 轴的光线从点()3,1M 射出，经过抛物线上的点A 反射后，再经抛物线上的另一点B 射出，则ABM ∆的周长为（ ）A ．7112+B ．9+C ．8312D ．9+11．（2020届山东省菏泽一中高三2月月考）已知双曲线C :22221x y a b -=,(0a >,0b >)的左､右焦点分别为1F ,2F , O 为坐标原点,P 是双曲线在第一象限上的点,1222PF PF m ==,(0m >),212PF PF m ⋅=,则双曲线C 的渐近线方程为( )A ．12y x =±B ．2y x =±C ．y x =±D ．y =12．（2020·山东高三下学期开学）已知抛物线2:12C y x =的焦点为F ，A 为C 上一点且在第一象限，以F为圆心，FA 为半径的圆交C 的准线于B ，D 两点，且,,A F B 三点共线，则||AF =（ ） A ．12B ．10C ．6D ．813．（2020届山东省淄博市部分学校高三3月检测）直线20x y ++=分别与x 轴，y 轴交于A ，B 两点，点P 在圆()2222x y -+=上，则ABP △面积的取值范围是A ．[]26，B ．[]48，C ．D ．⎡⎣14．（2020届山东省青岛市高三上期末）已知点()2,4M 在抛物线C :22y px =(0p >)上,点M 到抛物线C的焦点的距离是( ) A ．4B ．3C ．2D ．115．（2020·山东曲阜一中高三3月月考）过点(的直线将圆()22325x y -+=分成两段圆弧，当两段圆弧中的劣弧所对圆心角最小时，该直线的斜率为( )A ．B C ．-D 16．（2020届山东省济宁市第一中学高三二轮检测）双曲线C ：2242x y -=1的右焦点为F ，点P 在C 的一条渐近线上，O 为坐标原点，若=PO PF ，则△PFO 的面积为( )A B C ． D ．17．（2020届山东省青岛市高三上期末）已知双曲线C :22221x y a b-=,(0a >,0b >)的左､右焦点分别为1F ,2F ,O 为坐标原点,P 是双曲线在第一象限上的点,1222PF PF m ==,(0m >),212PF PF m ⋅=,则双曲线C 的渐近线方程为( )A ．12y x =±B ．y x =±C ．y x =±D ．y =18．（2020·山东滕州市第一中学高三3月模拟）设双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点是F ，左､右顶点分别是12,A A ，过F 作x 轴的垂线与双曲线交于,B C 两点，若12A B A C ⊥，则双曲线的离心率为（ ）A B ．C D 二、多选题19．（2020届山东省淄博市部分学校高三3月检测）已知椭圆22143x y +=的左、右焦点分别为F 、E ，直线x m =(11)m -<<与椭圆相交于点A 、B ，则（ ）A ．当0m =时，FAB B ．不存在m 使FAB 为直角三角形 C ．存在m 使四边形FBEA 面积最大D ．存在m ，使FAB 的周长最大20．（2020·山东高三模拟）设12,F F 为双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左、右焦点，过左焦点1F 且斜率l 与C 在第一象限相交于一点P ，则下列说法正确的是（ ） A ．直线l 倾斜角的余弦值为78B ．若112F P F F =，则C 的离心率43e = C ．若212PF F F =，则C 的离心率2e =D ．12PF F △不可能是等边三角形21．（2020届山东省高考模拟）设A ，B 是抛物线2y x 上的两点，O 是坐标原点，下列结论成立的是（ ）A ．若OA OB ⊥，则2OA OB ≥ B ．若OA OB ⊥，直线AB 过定点(1,0)C ．若OA OB ⊥，O 到直线AB 的距离不大于1D ．若直线AB 过抛物线的焦点F ，且13AF =，则||1BF =22．（2020届山东省济宁市高三3月月考）设抛物线()2:20C y px p =>的焦点为F ，准线为l ，A 为C 上一点，以F 为圆心，FA 为半径的圆交l 于,B D 两点，若90ABD ∠=，且ABF ∆的面积为93，则( ) A ．3BF =B ．ABF ∆是等边三角形C ．点 F 到准线的距离为3D ．抛物C 的方程为26y x =23．（2020届山东省潍坊市高三下学期开学考试）已知抛物线22(0)x py p =>的焦点为F ，过点F 的直线l 交抛物线于A ，B 两点，以线段AB 为直径的圆交x 轴于M ，N 两点，设线段AB 的中点为Q ．若抛物线C 上存在一点(,2)E t 到焦点F 的距离等于3．则下列说法正确的是（ ） A ．抛物线的方程是22x y = B ．抛物线的准线是1y =- C ．sin QMN ∠的最小值是12D ．线段AB 的最小值是624．（2020·山东曲阜一中高三3月月考）设抛物线()2:20C y px p =>的焦点为F ，准线为l ，A 为C 上一点，以F 为圆心，FA 为半径的圆交l 于,B D 两点，若90ABD ∠=，且ABF ∆的面积为93，则( ) A ．3BF =B ．ABF ∆是等边三角形C ．点 F 到准线的距离为3D ．抛物C 的方程为26y x =25．（2020届山东省六地市部分学校高三3月线考）某颗人造地球卫星的运行轨道是以地球的中心F 为一个焦点的椭圆，如图所示，已知它的近地点A （离地面最近的点）距地面m 千米，远地点B （离地面最远的点）距地面n 千米，并且F A B 、、三点在同一直线上，地球半径约为R 千米，设该椭圈的长轴长、短轴长、焦距分别为222a b c 、、，则（ ）A ．a c m R -=+B ．a c n R +=+C ．2a m n =+D ．()()b m R n R ++26．（2020届山东省六地市部分学校高三3月线考）已知点P 是双曲线E ：221169x y -=的右支上一点，1F ，2F 为双曲线E 的左、右焦点，12PF F ∆的面积为20，则下列说法正确的是（ ）A ．点P 的横坐标为203 B ．12PF F ∆的周长为803C ．12F PF ∠小于3πD ．12PF F ∆的内切圆半径为3427．（2020届山东济宁市兖州区高三网络模拟考）设椭圆的方程为22124x y +=，斜率k 为的直线不经过原点O ，而且与椭圆相交于,A B 两点，M 为线段AB 的中点.下列结论正确的是（ ）A ．直线AB 与OM 垂直；B ．若点M 坐标为()1,1，则直线方程为230x y +-=；C ．若直线方程为1y x =+，则点M 坐标为13,34⎛⎫⎪⎝⎭D ．若直线方程为2y x =+，则AB =28．（2020·2020届山东省淄博市高三二模）已知点P 在双曲线22:1169x y C -=上，1F 、2F 是双曲线C 的左、右焦点，若12PF F ∆的面积为20，则下列说法正确的有（ ） A ．点P 到x 轴的距离为203B ．12503PF PF += C ．12PF F ∆为钝角三角形 D ．123F PF π∠=三、填空题29．（2020届山东省青岛市高三上期末）已知直线20x y a -+=与圆22:2O x y +=相交于A ，B 两点（O为坐标原点），且AOB 为等腰直角三角形，则实数a 的值为________．30．（2020届山东省淄博市部分学校高三3月检测）已知椭圆22221(0)x y M a b a b+=>>：，双曲线22221x y N m n-=：．若双曲线N 的两条渐近线与椭圆M 的四个交点及椭圆M 的两个焦点恰为一个正六边形的顶点，则椭圆M 的离心率为__________；双曲线N 的离心率为__________．31．（2020届山东省潍坊市高三下学期开学考试）双曲线2213x y -=的渐近线与直线x =y轴旋转360︒，则所得旋转体的体积为___；表面积为_____32．（2020届山东省济宁市第一中学高三一轮检测）如图,椭圆()222210x y a b a b+=>>的右焦点为F ,过F 的直线交椭圆于,A B 两点,点C 是A 点关于原点O 的对称点,若CF AB ⊥且CF AB =,则椭圆的离心率为__________．33．（2020届山东省泰安市肥城市一模）在平面直角坐标系xOy 中，将直线l 沿x 轴正方向平移3个单位长度，沿y 轴正方向平移5个单位长度，得到直线l 1.再将直线l 1沿x 轴正方向平移1个单位长度，沿y 轴负方向平移2个单位长度，又与直线l 重合.若直线l 与直线l 1关于点（2，3）对称，则直线l 的方程是________________.34．（2020届山东省菏泽一中高三2月月考）已知直线0x y a -+=与圆22:2o x y +=相交于A ，B 两点（O 为坐标原点），且AOB ∆为等腰直角三角形，则实数a 的值为__________；35．（2020届山东济宁市兖州区高三网络模拟考）以双曲线2222:1x y C a b-=()0,0a b >>的右焦点(),0F c 为圆心，a 为半径的圆与C 的一条渐近线交于A ，B 两点，若23AB c =，则双曲线C 的离心率为__________．36．（2020届山东省潍坊市高三模拟一）对于中心在原点的双曲线，给出下列三个条件： ①离心率为2；②一条渐近线的倾斜角为30；③实轴长为4，且焦点在x 轴上. 写出符合其中两个条件的一个双曲线的标准方程________.37．（2020届山东省高考模拟）已知曲线22221x y a b-=（0a >，0b >）的一条渐近线经过点2,6)，则该双曲线的离心率为____________.38．（2020·山东高三下学期开学）已知抛物线24y x =的准线与x 轴的交点为H ，点F 为抛物线的焦点，点P 在抛物线上且PH k PF =，当k 最大时，点P 恰好在以H ，F 为焦点的双曲线上，则k 的最大值为_____，此时该双曲线的离心率为_____．39．（2020届山东省济宁市高三3月月考）设双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的左焦点为F ，直线43200x y -+=过点F 且与双曲线C 在第二象限的交点为,P O 为原点，OP OF =，则双曲线C 的右焦点的坐标为__________；离心率为_________________.40．（2020届山东省潍坊市高三模拟二）双曲线C ：222210x y a b a b-=（，＞）的左、右焦点为F 1，F 2，直线y =与C 的右支相交于点P ，若|PF 1|＝2|PF 2|，则双曲线C 的离心率为_____；若该双曲线的焦点到其渐_____.41．（2020届山东省烟台市高三模拟）已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左、右焦点和点()2,P a b 为某个等腰三角形的三个顶点，则双曲线C 的离心率为________.42．（2020届山东省六地市部分学校高三3月线考）已知m 是2与8的等比中项，则圆锥曲线221yx m-=的离心率是_____． 四、解答题43．（2020届山东省烟台市高三模拟）已知直线1x y +=过椭圆()222210x y a b a b+=>>的右焦点，且交椭圆于A ，B 两点，线段AB 的中点是21,33M ⎛⎫⎪⎝⎭，（1）求椭圆的方程；（2）过原点的直线l 与线段AB 相交（不含端点）且交椭圆于C ，D 两点，求四边形ACBD 面积的最大值.44．（2020届山东省淄博市部分学校高三3月检测）如图，已知抛物线2x y =.点A 1139-2424B ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，，，抛物线上的点P （x,y ）13-x 22⎛⎫ ⎪⎝⎭＜＜,过点B 作直线AP 的垂线，垂足为Q（I ）求直线AP 斜率的取值范围； （II ）求PA?PQ 的最大值45．（2020·山东高三模拟）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的短轴长为23，离心率12e =，其右焦点为F .（1）求椭圆C 的方程； （2）过F 作夹角为4π的两条直线12,l l 分别交椭圆C 于,P Q 和,M N ，求||||PQ MN 的取值范围.46．（2020届山东省济宁市第一中学高三一轮检测）已知抛物线C ：x 2=−2py 经过点（2，−1）． （Ⅰ）求抛物线C 的方程及其准线方程；（Ⅱ）设O 为原点，过抛物线C 的焦点作斜率不为0的直线l 交抛物线C 于两点M ，N ，直线y =−1分别交直线OM ，ON 于点A 和点B .求证：以AB 为直径的圆经过y 轴上的两个定点．47．（2020届山东省潍坊市高三下学期开学考试）如图，点()0,1P -是椭圆()22122:10x y C a b a b+=>>的一个顶点，1C 的长轴是圆222:4C x y +=的直径，1l 、2l 是过点P 且互相垂直的两条直线，其中1l 交圆2C 于A 、B 两点，2l 交椭圆1C 于另一点D .（1）求椭圆1C 的方程；（2）求ABD ∆面积的最大值及取得最大值时直线1l 的方程.48．（2020届山东省济宁市第一中学高三二轮检测）已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的离心率为3，且椭圆C 过点32⎛ ⎝⎭．(1)求椭圆C 的标准方程；(2)过椭圆C 的右焦点的直线l 与椭圆C 交于A 、B 两点，且与圆：222x y +=交于E 、F 两点，求2AB EF⋅的取值范围．49．（2020·山东滕州市第一中学高三3月模拟）已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的离心率为2，椭圆C 截直线1y =所得的线段的长度为（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设直线l 与椭圆C 交于,A B 两点，点D 是椭圆C 上的点，O 是坐标原点，若OA OB OD +=，判定四边形OADB 的面积是否为定值？若为定值，求出定值；如果不是，请说明理由.50．（2020届山东省高考模拟）已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的离心率为2，椭圆C 截直线1y =所得的线段的长度为（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设直线l 与椭圆C 交于,A B 两点，点D 是椭圆C 上的点，O 是坐标原点，若OA OB OD +=，判定四边形OADB 的面积是否为定值？若为定值，求出定值；如果不是，请说明理由.51．（2020届山东省济宁市高三3月月考）已知椭圆()22122:10x y E a b a b+=>>与抛物线22:4E y x =在第一象限的交点为P ，椭圆1E 的左、右焦点分别为12,F F ，其中2F 也是抛物线2E 的焦点，且253PF =. （1）求椭圆1E 的方程；（2）过2F 的直线l （不与x 轴重合）交椭圆1E 于M N 、两点，点A 为椭圆1E 的左顶点，直线AM AN 、分别交直线4x =于点B C 、，求证：2BF C ∠为定值.52．（2020届山东省淄博市高三二模）已知椭圆222:9(0)C x y m m +=>,直线l 不过原点O 且不平行于坐标轴，l 与C 有两个交点A ，B ，线段AB 的中点为M ． （Ⅰ）证明：直线OM 的斜率与l 的斜率的乘积为定值； （Ⅱ）若l 过点(,)3mm ，延长线段OM 与C 交于点P ，四边形OAPB 能否为平行四边形？若能，求此时l 的斜率，若不能，说明理由．53．（2020届山东省泰安市肥城市一模）在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：22221x y a b+=()0a b >>的焦距为2，且过点1,2⎛ ⎝⎭.（1）求椭圆C 的方程；（2）设椭圆C 的上顶点为B ，右焦点为F ，直线l 与椭圆交于M ，N 两点，问是否存在直线l ，使得F 为BMN ∆的垂心，若存在，求出直线l 的方程：若不存在，说明理由.54．（2020·山东高三下学期开学）已知12,F F 分别为椭圆22:143x y C +=的左、右焦点，MN 为该椭圆的一条垂直于x 轴的动弦，直线:4m x =与x 轴交于点A ，直线2MF 与直线AN 的交点为B . （1）证明：点B 恒在椭圆C 上.（2）设直线n 与椭圆C 只有一个公共点P ，直线n 与直线m 相交于点Q ，在平面内是否存在定点T ，使得2PTQ π∠=恒成立？若存在，求出该点坐标；若不存在，说明理由.55．（2020届山东省潍坊市高三模拟一）已知抛物线()2:20C y px p =>，直线:1l y x =-与抛物线C 交于A ，B 两点，且8AB =. （1）求抛物线C 的方程；（2）求过点A ，B 且与抛物线C 的准线相切的圆的方程.56．（2020届山东省菏泽一中高三2月月考）给定椭圆C :22221x y a b+=(0a b >>),称圆心在原点O ,半径为C 的“卫星圆”.若椭圆C 的离心率2,点(在C 上.(1)求椭圆C 的方程和其“卫星圆”方程;(2)点P 是椭圆C 的“卫星圆”上的一个动点,过点P 作直线1l ,2l 使得1l ⊥2l ,与椭圆C 都只有一个交点,且1l ,2l 分别交其“卫星圆”于点M ,N ,证明:弦长MN 为定值.57．（2020届山东省六地市部分学校高三3月线考）已知椭圆2:2(0)C y px p =>，点F 为抛物线的焦点，焦点F 到直线3x-4y+3=0的距离为d 1，焦点F 到抛物线C 的准线的距离为d 2，且1235d d =。

第八章平面解析几何第1讲直线的倾斜角、斜率与直线的方程[考纲解读］ 1.理解直线的倾斜角和斜率的概念,掌握过两点的直线斜率的计算公式，并能根据两条直线的斜率判断这两条直线的平行或垂直关系．（重点)2．掌握直线方程的几种形式(点斜式、两点式及一般式等），并了解斜截式与一次函数的关系．（难点）[考向预测] 从近三年高考情况来看,本讲是命题的热点，但很少独立命题．预测2021年高考对本讲内容将考查:①直线倾斜角与斜率的关系、斜率公式；②直线平行与垂直的判定或应用，求直线的方程．试题常以客观题形式考查,难度不大。

1。

直线的斜率(1）当α≠90°时，tanα表示直线l的斜率，用k表示，即错误!k ＝tanα。

当α＝90°时，直线l的斜率k不存在．（2)斜率公式给定两点P1(x1,y1）,P2（x2,y2)(x1≠x2)，经过P1,P2两点的直线的斜率公式为错误!k＝错误!.2．直线方程的五种形式名称已知条件方程适用范围点斜式斜率k与点（x1，y1）错误!y－y1＝k（x－x1)直线不垂直于x轴斜截式斜率k与直线在y轴上的截距b错误!y＝kx＋b直线不垂直于x轴两点式两点（x1,y1），(x2，y2）错误!错误!＝错误!（x1≠x2,y1≠y2)直线不垂直于x轴和y轴截距式直线在x轴、y轴上的截距分别为a，b错误!错误!＋错误!＝1（a≠0，b≠0)直线不垂直于x轴和y轴,且不过原点一般式—错误!Ax＋By＋C＝0（A2＋B2≠0）任何情况1．概念辨析（1）直线的斜率为tanα，则其倾斜角为α。

( )（2）斜率相等的两直线的倾斜角不一定相等．( )(3）经过点P（x0，y0）的直线都可以用方程y－y0＝k(x－x0)表示．( ）(4)经过任意两个不同的点P1（x1，y1），P2（x2，y2)的直线都可以用方程(y－y1)（x2－x1）＝(x－x1）（y2－y1)表示．（）答案(1）×(2)×（3)×（4）√2．小题热身(1）直线l经过原点和点（－1，－1),则直线l的倾斜角是( ）A．45° B．135°C．135°或225° D．60°答案A解析由已知,得直线l的斜率k＝错误!＝1，所以直线l的倾斜角是45°.(2）在平面直角坐标系中，直线错误!x＋y－3＝0的倾斜角是（)A.错误!B。

8.7 双曲线1．(2020·衡水质检)对于实数m ，“1<m <2”是“方程x 2m －1＋y 2m －2＝1表示双曲线”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 答案 C 解析 若方程x 2m －1＋y 2m －2＝1表示双曲线，则(m －1)(m －2)<0，得1<m <2， 则“1<m <2”是“方程x 2m －1＋y 2m －2＝1表示双曲线”的充要条件．2．(2019·北京)已知双曲线x 2a2－y 2＝1(a >0)的离心率是5，则a 等于( )A. 6 B ．4 C ．2 D.12答案 D解析 由双曲线方程x 2a2－y 2＝1，得b 2＝1，∴c 2＝a 2＋1.∴5＝e 2＝c 2a 2＝a 2＋1a 2＝1＋1a2.结合a >0，解得a ＝12.3．已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的离心率为2，则该双曲线的渐近线方程为( )A ．x ±y ＝0B ．x ±3y ＝0C.3x ±y ＝0 D ．2x ±y ＝0 答案 C解析 ∵双曲线的方程是x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)，∴双曲线的渐近线方程为y ＝±b ax .又∵离心率e ＝c a＝2， ∴c ＝2a ，∴b ＝c 2－a 2＝3a . 由此可得双曲线的渐近线方程为y ＝±3aax ＝±3x ，即3x ±y ＝0.故选C.4．(2020·西南大学附中月考)已知双曲线x 2a 2－y 22＝1(0<a <2)的两条渐近线的夹角为π3，则双曲线的离心率为( ) A.233 B.263C. 3 D ．2 答案 D解析 由双曲线方程可知渐近线方程为y ＝±2ax ，由两条渐近线夹角为π3，0<a <2，可知其中一条渐近线的倾斜角为π3，∴2a＝3，∴a ＝63，c ＝a 2＋b 2＝263， ∴e ＝ca ＝26363＝2.5．(2019·全国Ⅲ)已知F 是双曲线C ：x 24－y 25＝1的一个焦点，点P 在C 上，O 为坐标原点．若OP ＝OF ，则△OPF 的面积为( )A.32B.52C.72D.92 答案 B解析 由F 是双曲线x 24－y 25＝1的一个焦点，知OF ＝3，所以OP ＝OF ＝3.不妨设点P 在第一象限，P (x 0，y 0)，x 0>0，y 0>0，则⎩⎪⎨⎪⎧x 20＋y 20＝3，x 204－y 205＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 20＝569，y 20＝259，所以P ⎝⎛⎭⎪⎫2143，53， 所以S △OPF ＝12OF ·y 0＝12×3×53＝52.6．已知离心率为52的双曲线C ：x 2a 2－y2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，M 是双曲线C 的一条渐近线上的点，且OM ⊥MF 2，O 为坐标原点，若2OMF S △＝16，则双曲线的实轴长是( )A ．32B ．16C ．84D ．4 答案 B解析 由题意知F 2(c,0)，不妨令点M 在渐近线y ＝bax 上，由题意可知F 2M ＝bca 2＋b 2＝b ，所以OM ＝c 2－b 2＝a .由2OMF S △＝16，可得12ab ＝16，即ab ＝32，又a 2＋b 2＝c 2，c a ＝52，所以a ＝8，b ＝4，c ＝45，所以双曲线C 的实轴长为16.故选B.7．(多选)已知中心在原点，焦点在坐标轴上的双曲线C 与椭圆x 29＋y 24＝1有相同的焦距，且一条渐近线方程为x －2y ＝0，则双曲线C 的方程可能为( ) A.x 24－y 2＝1 B ．x 2－y 24＝1C.y 24－x 2＝1 D ．y 2－x 24＝1答案 AD解析 在椭圆x 29＋y 24＝1中，c ＝9－4＝ 5.因为双曲线C 与椭圆x 29＋y 24＝1有相同的焦距，且一条渐近线方程为x －2y ＝0，所以可设双曲线方程为x 24－y 2＝λ(λ≠0)，化为标准方程为x 24λ－y 2λ＝1.当λ>0时，c ＝λ＋4λ＝5，解得λ＝1， 则双曲线C 的方程为x 24－y 2＝1；当λ<0时，c ＝－λ－4λ＝5，解得λ＝－1，则双曲线C 的方程为y 2－x 24＝1.综上，双曲线C 的方程为x 24－y 2＝1或y 2－x 24＝1，故选AD.8．(多选)已知F 1，F 2分别是双曲线C ：y 2－x 2＝1的上、下焦点，点P 是其一条渐近线上一点，且以线段F 1F 2为直径的圆经过点P ，则( ) A ．双曲线C 的渐近线方程为y ＝±x B ．以F 1F 2为直径的圆的方程为x 2＋y 2＝1 C ．点P 的横坐标为±1 D ．△PF 1F 2的面积为 2 答案 ACD解析 等轴双曲线C ：y 2－x 2＝1的渐近线方程为y ＝±x ，故A 正确； 由双曲线的方程可知F 1F 2＝22，所以以F 1F 2为直径的圆的方程为x 2＋y 2＝2，故B 错误； 点P (x 0，y 0)在圆x 2＋y 2＝2上， 不妨设点P (x 0，y 0)在直线y ＝x 上，所以由⎩⎪⎨⎪⎧x 20＋y 20＝2，y 0＝x 0，解得|x 0|＝1，则点P 的横坐标为±1，故C 正确；由上述分析可得△PF 1F 2的面积为12×22×1＝2，故D 正确．故选ACD.9．(2019·华中师大附中月考)过双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的右焦点F 且斜率为1的直线与渐近线有且只有一个交点，则双曲线的离心率为________． 答案2解析 由题意知b a＝1， ∴e ＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2＝ 2.10．(2020·焦作模拟)已知左、右焦点分别为F 1，F 2的双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线与直线l ：x －2y ＝0相互垂直，点P 在双曲线C 上，且PF 1－PF 2＝3，则双曲线C 的焦距为________．答案 3 5解析 双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的渐近线为y ＝±bax ，一条渐近线与直线l ：x －2y ＝0相互垂直，可得b a＝2， 即b ＝2a ，由双曲线的定义可得2a ＝PF 1－PF 2＝3， 可得a ＝32，b ＝3，即有c ＝a 2＋b 2＝94＋9＝352， 即焦距为2c ＝3 5.11.如图，F 1和F 2分别是双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的两个焦点，A 和B 是以O 为圆心，以OF 1为半径的圆与该双曲线左支的两个交点，且△F 2AB 是等边三角形，则双曲线的离心率为________．答案3＋1解析 设F 1F 2＝2c ，连接AF 1，∵△F 2AB 是等边三角形，且F 1F 2是⊙O 的直径， ∴∠AF 2F 1＝30°，∠F 1AF 2＝90°， ∴AF 1＝c ，AF 2＝3c ， 2a ＝3c －c ，e ＝c a＝23－1＝3＋1. 12.(2020·临川一中模拟)已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)中，A 1，A 2是左、右顶点，F 是右焦点，B 是虚轴的上端点．若在线段BF 上(不含端点)存在不同的两点P i (i ＝1,2)，使得P i A 1—→·P i A 2—→＝0，则双曲线离心率的取值范围是________．答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，5＋12 解析 设c 为半焦距，则F (c ，0)，又B (0，b )， 所以BF ：bx ＋cy －bc ＝0，以A 1A 2为直径的圆的方程为⊙O ：x 2＋y 2＝a 2， 因为P i A 1—→·P i A 2—→＝0，i ＝1,2，所以⊙O 与线段BF 有两个交点(不含端点)，所以⎩⎪⎨⎪⎧bc b 2＋c2<a ，b >a ，即⎩⎪⎨⎪⎧c 4－3a 2c 2＋a 4<0，c 2>2a 2，故⎩⎪⎨⎪⎧e 4－3e 2＋1<0，e 2>2，解得2<e <5＋12.13．(2020·长沙模拟)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)，若存在过右焦点F 的直线与双曲线交于A ，B 两点，且AF →＝3BF →，则双曲线离心率的最小值为( ) A. 2 B. 3 C ．2 D ．2 2 答案 C解析 因为过右焦点的直线与双曲线C 相交于A ，B 两点，且AF →＝3BF →，故直线与双曲线相交只能交于左、右两支，即点A 在左支，点B 在右支，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，右焦点F (c ,0)，因为AF →＝3BF →，所以c －x 1＝3(c －x 2)，3x 2－x 1＝2c ，因为x 1≤－a ，x 2≥a ，所以－x 1≥a ,3x 2≥3a ，故3x 2－x 1≥4a ，即2c ≥4a ，c a≥2，即e ≥2.所以双曲线离心率的最小值为2.14．(2019·江南十校联考)已知双曲线C 1，C 2的焦点分别在x 轴，y 轴上，渐近线方程都为y ＝±1ax (a >0)，离心率分别为e 1，e 2，则e 1＋e 2的最小值为________．答案 2 2解析 由题意得双曲线C 1的方程为x 2a 2－y 2＝t (a >0，t >0)，双曲线C 2的方程为y 2－x 2a2＝λ(a >0，λ>0)，所以e 1＝t ＋a 2t a t ＝a 2＋1a ，e 2＝λ＋a 2λλ＝a 2＋1，所以e 1＋e 2＝a 2＋1a＋a 2＋1≥2a 2＋1a＝2a ＋1a≥22(当且仅当a ＝1时等号成立)．15．(2020·广东华附、省实、广雅、深中联考)过双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左焦点F (－c ,0)作圆x 2＋y 2＝a 2的切线，切点为E ，延长FE 交抛物线y 2＝4cx 于点P ，O 为坐标原点，若OE→＝12(OF →＋OP →)，则双曲线的离心率为( ) A.1＋52 B.52 C.1＋32D. 5 答案 A解析 ∵OF ＝c ，OE ＝a ，OE ⊥EF ，∴EF ＝c 2－a 2＝b ， ∵OE →＝12(OF →＋OP →)，∴E 为PF 的中点，OP ＝OF ＝c ，PF ＝2b ，设F ′(c,0)为双曲线的右焦点，也为抛物线的焦点， 则EO 为△PFF ′的中位线，则PF ′＝2OE ＝2a ，可设P 的坐标为(m ，n )， 则有n 2＝4cm ，由抛物线的定义可得PF ′＝m ＋c ＝2a ，m ＝2a －c ，n 2＝4c (2a －c )，又OP ＝c ，即有c 2＝(2a －c )2＋4c (2a －c )， 化简可得，c 2－ac －a 2＝0，即e 2－e －1＝0， 由于e >1，解得e ＝5＋12. 16．(2020·长沙雅礼中学模拟)已知F 是双曲线C ：x 2－y 28＝1的右焦点，P 是C 左支上一点，A (0,66)，当△APF 周长最小时，则点P 的坐标为________．答案 (－2,26)解析 如图，由双曲线C 的方程可知a 2＝1，b 2＝8，∴c2＝a2＋b2＝1＋8＝9，∴c＝3，∴左焦点E(－3,0)，右焦点F(3,0)，∵AF＝32＋(66)2＝15，∴当△APF的周长最小时，PA＋PF最小．由双曲线的性质得PF－PE＝2a＝2，∴PF＝PE＋2，又PE＋PA≥AE＝AF＝15，当且仅当A，P，E三点共线且点P在线段AE上时，等号成立，∴△APF的周长为AF＋AP＋PF＝15＋PE＋AP＋2≥15＋15＋2＝32.直线AE的方程为y＝26x＋66，将其代入到双曲线方程得x2＋9x＋14＝0，解得x＝－7(舍)或x＝－2，由x＝－2，得y＝26(负值已舍)，∴点P的坐标为(－2,26)．。

第九节圆锥曲线的综合问题最新考纲考情分析1.掌握解决直线与椭圆、抛物线的位置关系的思想方法．2．了解圆锥曲线的简单应用．3．理解数形结合的思想.1.直线与椭圆、抛物线的位置关系是近几年高考命题的热点．2．考查知识有直线与椭圆、抛物线相交，涉及弦长、中点、面积、对称、存在性问题．3．题型主要以解答题的形式出现,属中高档题。

知识点一直线与圆锥曲线的位置关系1．直线与圆锥曲线的位置关系判断直线l与圆锥曲线C的位置关系时,通常将直线l的方程Ax＋By＋C＝0（A,B不同时为0)代入圆锥曲线C的方程F(x，y)＝0，消去y（也可以消去x）得到一个关于变量x(或变量y）的一元方程．即错误!消去y，得ax2＋bx＋c＝0。

（1）当a≠0时,设一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的判别式为Δ,则Δ>0⇔直线与圆锥曲线C相交；Δ＝0⇔直线与圆锥曲线C相切；Δ<0⇔直线与圆锥曲线C相离．（2)当a＝0，b≠0时，即得到一个一元一次方程，则直线l 与圆锥曲线C相交，且只有一个交点，此时，若C为双曲线，则直线l与双曲线的渐近线的位置关系是平行；若C为抛物线，则直线l与抛物线的对称轴的位置关系是平行或重合．2．圆锥曲线的弦长设斜率为k(k≠0）的直线l与圆锥曲线C相交于A,B两点,A(x1，y1），B（x2,y2),则|AB｜＝错误!｜x1－x2|＝错误!·错误!＝错误!·|y1－y2|＝错误!·错误!.知识点二圆锥曲线中的最值与取值范围问题圆锥曲线中的最值与取值范围问题一直是高考命题的热点，各种题型都有，命题角度很广,归纳起来常见的命题角度有：1．转化为函数利用基本不等式或二次函数求最值；2．利用三角函数有界性求最值；3．数形结合利用几何性质求最值．知识点三圆锥曲线中的定值与定点问题1．这类问题一般考查直线与圆锥曲线的位置关系,一元二次方程的根与系数之间的关系，考查斜率、向量的运算以及运算能力．2．解决这类定点与定值问题的方法有两种：一是研究一般情况，通过逻辑推理与计算得到定点或定值，这种方法难度大，运算量大，且思路不好寻找；另外一种方法就是先利用特殊情况确定定点或定值，然后验证，这样在整理式子或求值时就有了明确的方向．1．思考辨析判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”）（1）直线l与椭圆C相切的充要条件是：直线l与椭圆C只有一个公共点．(√)（2）直线l与双曲线C相切的充要条件是：直线l与双曲线C只有一个公共点．(×)（3)直线l与抛物线C相切的充要条件是：直线l与抛物线C 只有一个公共点．（×)（4)如果直线x＝ty＋a与圆锥曲线相交于A(x1，y1）,B(x2，y2)两点,则弦长｜AB|＝错误!｜y1－y2|.(√）解析：(2)因为直线l与双曲线C的渐近线平行时,也只有一个公共点，是相交，但并不相切．（3）因为直线l与抛物线C的对称轴平行或重合时,也只有一个公共点，是相交，但不相切．2．小题热身（1)过点（0,1)作直线，使它与抛物线y2＝4x仅有一个公共点，这样的直线有(C)A．1条B．2条C．3条D．4条解析：结合图形分析可知，满足题意的直线共有3条：直线x＝0，过点（0,1)且平行于x轴的直线以及过点（0,1）且与抛物线相切的直线（非直线x＝0)．（2)（2020·浙江八校联考）抛物线y＝ax2与直线y＝kx＋b(k≠0）交于A，B两点，且这两点的横坐标分别为x1，x2，直线与x轴交点的横坐标是x3，则(B）A．x3＝x1＋x2B．x1x2＝x1x3＋x2x3C．x1＋x2＋x3＝0 D．x1x2＋x2x3＋x3x1＝0解析：由错误!消去y得ax2－kx－b＝0,可知x1＋x2＝错误!，x1x2＝－错误!，令kx＋b＝0得x3＝－错误!，所以x1x2＝x1x3＋x2x3.(3)已知抛物线y＝ax2(a>0)的准线为l,l与双曲线x24－y2＝1的两条渐近线分别交于A,B两点，若｜AB｜＝4，则a＝错误!.解析：抛物线y＝ax2(a〉0）的准线l：y＝－错误!,双曲线错误!－y2＝1的两条渐近线分别为y＝错误!x，y＝－错误!x，可得x A＝－错误!，x B＝错误!，可得｜AB|＝错误!－错误!＝4，解得a＝错误!。