北京市朝阳区2013届高三上学期期中练习数学(理)试题

北京市朝阳区高三年级第二次综合练习数学学科测试（理工类）2013.5（考试时间120分钟 满分150分）本试卷分为选择题（共40分）和非选择题（共110分）两部分第一部分（选择题 共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项. （1）已知集合{}0,1,3M =，集合{}3,N x x a a M ==∈，则M N =A.{}0B.{}0,3C. {}1,3,9D. {}0,1,3,9 【答案】D【解析】{}3,{0,3,9}N x x a a M ==∈=，所以{0,1,3,9}M N = ，选D.（2）若120()d 0x mx x +=⎰，则实数m 的值为A ．13-B ．23- C ．1- D ．2- 【答案】B 【解析】12321001111()d ()03232x mx x x mx m +=+=+=⎰，解得23m =-，选B.（3）执行如图所示的程序框图．若输出的结果是16，则判断框内的条件是A. 6n >？B. 7n ≥？C. 8n >？D. 9n >？ 【答案】C【解析】第一次循环，1,3S n ==，不满足条件，循环。

第二次循环，134,5S n =+==，不满足条件，循环。

第三次循环，459,7S n =+==，不满足条件，循环。

第四次循环，9716,9S n =+==，满足条件，输出。

所以判断框内的条件是8n >，选C.（4）若双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的渐近线与抛物线22y x =+有公共点，则此双曲线的离心率的取值范围是A ．[3,)+∞B ．(3,)+∞C ．(1,3]D ．(1,3) 【答案】A【解析】双曲线的渐近线为b y x a =±，不妨取b y x a =，代入抛物线得22b x x a=+，即220b x x a -+=，要使渐近线与抛物线22y x =+有公共点，则2()80ba∆=-≥，即228b a ≥，又22228b c a a =-≥，所以229c a ≥，所以29,3e e ≥≥。

北京市朝阳区高三年级第一次综合练习 数学学科测试（理工类）2013.4第一部分（选择题 共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项. 1、i 为虚数单位，复数11i-的虚部是 A ．12 B ．12- C ．1i 2- D . 1i 22、已知集合{}23Mx x =-<<，{}lg(2)0N x x =+≥，则M N =A. (2,)-+∞B. (2,3)-C. (2,1]--D. [1,3)-3、已知向量()()3,4,6,3OA OB =-=- ，()2,1OC m m =+.若//AB OC ，则实数m 的值为A ．3-B ．17-C ．35- D ．354、在极坐标系中，直线1cos 2ρθ=与曲线2cos ρθ=相交于,A B 两点, O 为极点，则AOB ∠的 大小为 A ．3π B ．2π C ．32π D ．65π 5、在下列命题中，①“2απ=”是“sin 1α=”的充要条件； ②341()2x x+的展开式中的常数项为2； ③设随机变量ξ～(0,1)N ,若(1)P p ξ≥=，则1(10)2P p ξ-<<=-．其中所有正确命题的序号是 A ．② B ．③ C ．②③ D ．①③6、某个长方体被一个平面所截，得到的几何体的三 视图如图所示，则这个几何体的体积为A. 4B. 42C. 62D. 87、抛物线22ypx =（p ＞0）的焦点为F ，已知点A ，B 为抛物线上的两个动点，且满足120AFB ∠=︒.过弦AB 的中点M 作抛物线准线的垂线MN ，垂足为N ，则||||MN AB 的最大值为 A.33 B. 1 C. 233D. 2 2222 １１ １ 正视图侧视图俯视图8、已知函数*()21,f x x x =+∈N .若*0,x n ∃∈N ，使000()(1)()63f x f x f x n +++++= 成立，则称0(,)x n 为函数()f x 的一个“生成点”.函数()f x 的“生成点”共有A. 1个 B .2个 C .3个 D .4个第二部分（非选择题 共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在答题卡上. 9、在等比数列{}n a 中，32420a a a -=，则3a = ，{}n b 为等差数列，且33b a =，则数列{}n b 的前5项和等于 .10、在ABC ∆中， a ，b ，c 分别为角A ， B ，C 所对的边.已知角A 为锐角，且3sin b a B =,则tan A = .11、执行如图所示的程序框图，输出的结果S= .12、如图，圆O 是ABC ∆的外接圆，过点C 作圆O 的切线交BA 的延长线于点D .若3CD =，2AB AC ==，则线段AD 的长是 ；圆O 的半径是 . 13、函数)(x f 是定义在R 上的偶函数，且满足(2)()f x f x +=.当[0,1]x ∈时，()2f x x =.若在区间[2,3]-上方程2()0ax a f x +-=恰有四个不相等的实数根，则实数a 的取值范围是 . 14、在平面直角坐标系xOy 中，已知点A 是半圆2240xx y -+=（2≤x ≤4）上的一个动点，点C 在线段OA 的延长线上．当20OA OC ⋅=时，则点C 的纵坐标的取值范围是 ．三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 15、（本小题满分13分）已知函数231()sin sin 222x f x x ωω=-+（0ω>）的最小正周期为π. （Ⅰ）求ω的值及函数()f x 的单调递增区间；（Ⅱ）当[0,]2x π∈时，求函数()f x 的取值范围. 16、（本小题满分13分）D B C O A 开始 i=0 S=0S=S+2i-1i ≥6 输出S结束是 i=i+2 否盒子中装有四张大小形状均相同的卡片，卡片上分别标有数字1,01-，,2．称“从盒中随机抽取一张，记下卡片上的数字后并放回”为一次试验（设每次试验的结果互不影响）． （Ⅰ）在一次试验中，求卡片上的数字为正数的概率；（Ⅱ）在四次试验中，求至少有两次卡片上的数字都为正数的概率；（Ⅲ）在两次试验中，记卡片上的数字分别为ξη，，试求随机变量X=ξη⋅的分布列与数学期望EX ． 17、（本小题满分14分）如图，在四棱锥P ABCD -中，平面PAC ⊥平面ABCD ，且P AA C ⊥，2PA AD ==．四边形ABCD 满足BC AD ，AB AD ⊥，1AB BC ==．点,E F 分别为侧棱,PB PC 上的点，且PE PF PB PC λ==． （Ⅰ）求证：EF 平面PAD ；（Ⅱ）当12λ=时，求异面直线BF 与CD 所成角的余弦值； （Ⅲ）是否存在实数λ，使得平面AFD ⊥平面PCD ？若存在，试求出λ的值；若不存在，请说明理由． 18、（本小题满分13分）已知函数2()(2)ln 22f x x a x a x a =-++++，其中2a ≤． （Ⅰ）求函数()f x 的单调区间；（Ⅱ）若函数()f x 在(]0,2上有且只有一个零点，求实数a 的取值范围.19、（本小题满分14分）已知中心在原点，焦点在x 轴上的椭圆C 过点3(1,)2,离心率为32，点A 为其右顶点.过点(10)B ，作直线l 与椭圆C 相交于,E F 两点，直线AE ，AF 与直线3x =分别交于点M ，N . （Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）求EM FN ⋅的取值范围.20、（本小题满分13分）设1210(,,,)x x x τ= 是数1,2,3,4,5,6,7,8,9,10的任意一个全排列，定义1011()|23|k k k S x x τ+==-∑，其中111x x =.（Ⅰ）若(10,9,8,7,6,5,4,3,2,1)τ=，求()S τ的值；（Ⅱ）求()S τ的最大值；（Ⅲ）求使()S τ达到最大值的所有排列τ的个数.PDABCFE北京市朝阳区高三年级第一次综合练习数学学科测试答案（理工类）2013.4一、选择题：题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案A DACC DAB 二、填空题：题号91011 12 1314答案2，1024201,222(,)53[5,5]-（注：两空的填空，第一空3分，第二空2分） 三、解答题： 15、（本小题满分13分） 解：（Ⅰ）31cos 1()sin 222x f x x ωω-=-+ 31sin cos 22x x ωω=+sin()6x ωπ=+. …………………………………………4分 因为()f x 最小正周期为π，所以2ω=. ………………………………6分所以()sin(2)6f x x π=+.由222262k x k ππππ-≤+≤π+，k ∈Z ，得36k x k πππ-≤≤π+.所以函数()f x 的单调递增区间为[,36k k πππ-π+]，k ∈Z . ………………8分（Ⅱ）因为[0,]2x π∈，所以72[,]666x πππ+∈， …………………………………10分 所以1sin(2)126x π-≤+≤. ………………………………………12分所以函数()f x 在[0,]2π上的取值范围是[1,12-]. ……………………………13分16、（本小题满分13分）解：（Ⅰ）设事件A ：在一次试验中，卡片上的数字为正数，则21()42P A ==． 答：在一次试验中，卡片上的数字为正数的概率是12．…………………………3分 （Ⅱ）设事件B ：在四次试验中，至少有两次卡片上的数字都为正数．由（Ⅰ）可知在一次试验中，卡片上的数字为正数的概率是12． 所以00413********()1[()()()]222216P B C C =-⋅+⋅=． 答：在四次试验中，至少有两次卡片上的数字都为正数的概率为1116．……………7分 （Ⅲ）由题意可知，ξη，的可能取值为1,01-，,2，所以随机变量X 的可能取值为2,101,--，，,24．21(2)448P X=-==⨯； 21(1)448P X=-==⨯； 77(0)4416P X===⨯； 21(=1)448P X ==⨯； 21(=2)448P X ==⨯； 11(=4)4416P X ==⨯． 所以随机变量X 的分布列为X2-1-0 1 2 4P18 18 716 18 18 116所以1171111()2101881688164E X =-⨯-⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=24．……………………13分 17、（本小题满分14分） 证明：（Ⅰ）由已知，PE PFPB PCλ==，所以 EF BC ． 因为BC AD ，所以EF AD ．而EF ⊄平面PAD ，AD ⊂平面PAD ，所以EF平面PAD ． ……………………………………………………4分（Ⅱ）因为平面ABCD ⊥平面PAC ，平面ABCD 平面PAC AC =，且PA AC ⊥，所以PA ⊥平面ABCD .所以PA AB ⊥，PA AD ⊥．又因为AB AD ⊥，所以,,PA AB AD 两两垂直． ……………………………………………………5分 如图所示，建立空间直角坐标系， 因为1AB BC ==，2PA AD ==， 所以()()0,0,01,0,0,AB ,()()()1,1,0,0,2,0,0,0,2C D P ．当12λ=时，F 为PC 中点， 所以11(,,1)22F , 所以11(,,1),(1,1,0)22BF CD =-=-． 设异面直线BF 与CD 所成的角为θ，PD AB CFExyz所以11|(,,1)(1,1,0)|322cos |cos ,|3111244BF CD θ-⋅-=〈〉==++⨯ ，所以异面直线BF 与CD 所成角的余弦值为33．…………………………………9分 （Ⅲ）设000(,,)F x y z ，则000(,,2),(1,1,2)PF x y z PC=-=-．由已知PF PC λ=，所以000(,,2)(1,1,2)x y z λ-=-，所以000,,22.x y z λλλ=⎧⎪=⎨⎪=-⎩ 所以(,,22)AF λλλ =-．设平面AFD 的一个法向量为1111(,,)x y z =n ，因为()0,2,0AD =,所以110,0.AF AD n n⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 即1111(22)0,20.x y z y λλλ++-=⎧⎨=⎩ 令1z λ=，得1(22,0,)λλn =-．设平面PCD 的一个法向量为2222(,,)x y z =n ，因为()()0,2,2,1,1,0PD CD =-=-,所以220,0.PD CD n n⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 即2222220,0. y z x y -=⎧⎨-+=⎩ 令21x =，则2(1,1,1)=n ．若平面AFD ⊥平面PCD ，则120n n ⋅=，所以(22)0λλ-+=，解得23λ=．所以当23λ=时，平面AFD ⊥平面PCD ．…………………………………………14分 18、（本小题满分1 3分） 解：函数定义域为{}0x x >， 且(2)(1)()2(2).a x a x f x x a x x--'=-++=…………2分 ①当0a ≤，即02a≤时，令()0f x '<，得01x <<，函数()f x 的单调递减区间为(0,1)， 令()0f x '>，得1x >，函数()f x 的单调递增区间为(1,)+∞.②当012a <<，即02a <<时，令()0f x '>，得02ax <<或1x >， 函数()f x 的单调递增区间为(0,)2a，(1,)+∞.令()0f x '<，得12a x <<，函数()f x 的单调递减区间为(,1)2a.③当12a=，即2a =时，()0f x '≥恒成立，函数()f x 的单调递增区间为(0,)+∞. …7分 (Ⅱ)①当0a ≤时，由(Ⅰ)可知，函数()f x 的单调递减区间为(0,1)，()f x 在(1,2]单调递增.所以()f x 在(]0,2上的最小值为(1)1f a =+， 由于22422221121()2(1)10e e e e e ea af =--+=--+>， 要使()f x 在(]0,2上有且只有一个零点，需满足(1)0f =或(1)0,(2)0,f f <⎧⎨<⎩解得1a =-或2ln 2a <-.②当02a <≤时，由(Ⅰ)可知， （ⅰ）当2a =时，函数()f x 在(0,2]上单调递增；且48414(e )20,(2)22ln 20e ef f -=--<=+>，所以()f x 在(]0,2上有且只有一个零点. （ⅱ）当02a <<时，函数()f x 在(,1)2a上单调递减，在(1,2]上单调递增；又因为(1)10f a =+>，所以当(,2]2ax ∈时，总有()0f x >.因为22e 12a aa +-<<+，所以22222222(e)e[e(2)](lne22)0a a a a aaaaf a a a ++++----=-++++<.所以在区间(0,)2a 内必有零点.又因为()f x 在(0,)2a内单调递增，从而当02a <≤时，()f x 在(]0,2上有且只有一个零点.综上所述，02a <≤或2ln 2a <-或1a =-时，()f x 在(]0,2上有且只有一个零点. …………………………………………………………………………………………13分 19、（本小题满分14分）解：（Ⅰ）设椭圆的方程为()222210x y a b a b+=>>，依题意得22222,3,21314a b c c a a b ⎧=+⎪⎪⎪=⎨⎪⎪+=⎪⎩解得24a =，21b =. 所以椭圆C 的方程为2214x y +=. ……………4分（Ⅱ）显然点(2,0)A .（1）当直线l 的斜率不存在时，不妨设点E 在x 轴上方，易得33(1,),(1,)22E F -，33(3,),(3,)22M N -，所以1EM FN ⋅=. …………………………………………6分（2）当直线l 的斜率存在时，由题意可设直线l 的方程为(1)y k x =-，显然0k =时，不符合题意.由22(1),440y k x x y =-⎧⎨+-=⎩得2222(41)8440k x k x k +-+-=. 设1122(,),(,)E x y F x y ,则22121222844,4141k k x x x x k k -+==++. 直线AE ，AF 的方程分别为：1212(2),(2)22y yy x y x x x =-=---， 令3x =，则1212(3,),(3,)22y yM N x x --. 所以1111(3)(3,)2y x EM x x -=-- ，2222(3)(3,)2y x FN x x -=-- . ……………………10分所以11221212(3)(3)(3)(3)22y x y x EM FN x x x x --⋅=--+⋅-- 121212(3)(3)(1)(2)(2)y y x x x x =--+--2121212(1)(1)(3)(3)(1)(2)(2)x x x x k x x --=--+⋅--2121212121212()1[3()9][1]2()4x x x x x x x x k x x x x -++=-++⨯+⋅-++222222222222244814484141(39)(1)4484141244141k k k k k k k k k k k k k --+-++=-⋅+⋅+⋅-++-⋅+++22221653()(1)414k k k k +-=⋅++22216511164164k k k +==+++. ………………………12分因为20k >，所以21644k +>，所以22165511644k k +<<+，即5(1,)4EM FN ⋅∈ . 综上所述，EM FN ⋅ 的取值范围是5[1,)4. ……………………………………14分20、（本小题满分13分） 解：（Ⅰ）1011()|23|7654321012857kk k S xx τ+==-=+++++++++=∑. ……3分（Ⅱ）数10,9,8,7,6,5,4,3,2,1的2倍与3倍分别如下：20,18,16,14,12,10,8,6,4,2, 30,27,24,21,18,15,12,9,6,3其中较大的十个数之和与较小的十个数之和的差为20372131-=，所以()131S τ≤. 对于排列0(1,5,6,7,2,8,3,9,4,10)τ=，此时0()131S τ=，所以()S τ的最大值为131. ……………………………………………………………8分（Ⅲ）由于数1,2,3,4所产生的8个数都是较小的数，而数7,8,9,10所产生的8个数都是较大的数，所以使()S τ取最大值的排列中，必须保证数1,2,3,4互不相邻，数7,8,9,10也互不相邻；而数5和6既不能排在7,8,9,10之一的后面，又不能排在1,2,3,4之一的前面.设11x =，并参照下面的符号排列1△○□△○□△○□△○其中2,3,4任意填入3个□中，有6种不同的填法；7,8,9,10任意填入4个圆圈○中，共有24种不同的填法；5填入4个△之一中，有4种不同的填法；6填入4个△中，且当与5在同一个△时，既可以在5之前又可在5之后，共有5种不同的填法，所以当11x =时，使()S τ达到最大值的所有排列τ的个数为624452880⨯⨯⨯=，由轮换性知，使()S τ达到最大值的所有排列τ的个数为28800. ……………………………13分。

【2013朝阳一模】北京市朝阳区2013届高三第一次综合练习-理科数学北京市朝阳区高三年级第一次综合练习数学学科测试（理工类）2013.4（考试时间120分钟 满分150分） 本试卷分为选择题（共40分）和非选择题（共110分）两部分第一部分（选择题 共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.（1）i 为虚数单位，复数11i-的虚部是 A ．12B ．12-C ．1i 2- D . 1i 2 【答案】A111111(1)(1)222i i i i i i ++===+--+，所以虚部是12，选A.（2）已知集合{}23M x x =-<<，{}lg(2)0N x x =+≥，则MN =A. (2,)-+∞B. (2,3)-C. (2,1]-- D. [1,3)-【答案】D{}lg(2)0{21}{1}N x x x x x x =+≥=+≥=≥-，所以{13}M N x x =-≤<，选D.（3）已知向量()()3,4,6,3OA OB =-=-，()2,1OC m m =+.若//AB OC，则实数m 的值为 A ．3- B ．17-C ．35-D ．35【答案】A(3,1)AB OB OA =-=,因为//AB OC，所以3(1)20m m +-=，解得3m =-，选A.（4）在极坐标系中，直线1cos 2ρθ=与曲线2cos ρθ=相交于,A B 两点, O 为极点，则AOB ∠的大小为A ．3πB ．2πC ．32πD ．65π 【答案】C直线1cos 2ρθ=对应的直角方程为12x =，由2cos ρθ=得22cos ρρθ=，即222xy x+=，即22(1)1x y -+=。

所以圆心为(1,0)C ，半径为1，所以3OCA π∠=，所以223AOB OCA π∠=∠=，选C.（5）在下列命题中，①“2απ=”是“sin 1α=”的充要条件； ②341()2x x+的展开式中的常数项为2；③设随机变量ξ～(0,1)N ,若(1)P pξ≥=，则1(10)2P p ξ-<<=-． 其中所有正确命题的序号是A ．②B ．③C ．②③D ．①③【答案】C①由sin 1α=，得2,2k k Z παπ=+∈，所以①错误。

北京市朝阳区2012-2013学年度高三年级第一学期期中统一考试数学试卷（理工类） 2012.11（考试时间120分钟 满分150分）本试卷分为选择题（共40分）和非选择题（共110分）两部分第一部分（选择题 共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项. 1. 已知全集{}1,2,3,4,5,6U =, 集合{}1,3,5A =, {}1,2B =, 则A (U ðB )等于（ ） A ．∅ B ．{}5 C ．{}3 D ．{}3,52. 已知数列{}n a 是各项均为正数的等比数列，若2342,216a a a =+=，则n a 等于（ ）A ．22-nB ．32n -C ．12-n D ．n23.已知平面向量a ，b 满足||1=a ，||2=b ，且()+⊥a b a ，则a 与b 的夹角为（ ）A ．56π B ．23π C ． 3π D ．6π4.曲线e ()1xf x x =-在0x =处的切线方程为（ ）A ．10x y --=B ．10x y ++=C ．210x y --=D ．210x y ++=5.在ABC ∆中，M 是BC 的中点，3AM =，点P 在AM 上，且满足2AP PM =，则()PA PB PC ⋅+的值为（ ）A ．4-B ．2-C ．2D ．4 6.函数33,0,(),0x x f x x x --<⎧=⎨≥⎩的图象与函数()ln(1)g x x =+的图象的交点个数是（ ） A ．1B ．2C ．3D ．47.函数()f x 是定义域为R 的可导函数，且对任意实数x 都有()(2)f x f x =-成立．若当1x ≠时，不等式(1)()0x f x '-⋅<成立，设(0.5)a f =，4()3b f =，(3)c f =，则a ，b ，c 的大小关系是（ ）A ．b a c >>B ．c b a >>C ．a b c >>D ．b c a >>8.已知数列{}n a 是各项均为正数且公比不等于1的等比数列.对于函数()y f x =，若数列{}ln ()n fa 为等差数列，则称函数()f x 为“保比差数列函数”.现有定义在(0,)+∞上的如下函数：①1()f x x=， ②2()f x x =， ③()e x f x =，④()f x = 则为“保比差数列函数”的所有序号为（ ）A ．①②B ．③④C ．①②④D ．②③④第二部分（非选择题 共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在答题卡上. 9.设集合{|2}A x x =∈≤R ，B ={x ∈R ∣}1262x <<,则A B = . 10.设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和．若569108,24a a a a +=+=，则公差d = ，10S = .11.已知角α的终边经过点(3,4)(0)a a a <，则sin α= ，tan(2απ-)= .12. 在ABC ∆中，若4BA BC ⋅=，ABC ∆的面积为2，则角B = .13. 已知函数()y f x =满足：(1)=f a （01a <≤），且()1,()1,()(1)2(),()1,f x f x f x f x f x f x -⎧>⎪+=⎨⎪≤⎩则(2)=f（用a 表示），若1(3)=(2)f f ，则a = . 14.已知函数()f x x x =.当[,1]x a a ∈+时，不等式(2)4()f x a f x +>恒成立，则实数a 的取值范围是 .三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 15.（本小题满分13分）设△ABC 的内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知12,3,cos 3a b C ===． （Ⅰ）求△ABC 的面积； （Ⅱ）求sin()C A -的值． 16.（本小题满分14分）设数列{}n a 的前n 项和为n S .已知11a =，131n n a S +=+，n *∈N . （Ⅰ）写出23,a a 的值，并求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）记n T 为数列{}n na 的前n 项和，求n T ；（Ⅲ）若数列{}n b 满足10b =，12log (2)n n n b b a n --=≥，求数列{}n b 的通项公式.17.（本小题满分13分）函数()sin()(0,0,||)2f x A x A ωϕωϕπ=+>><部分图象如图所示． （Ⅰ）求函数()f x 的解析式，并写出其单调递增区间；（Ⅱ）设函数()()2cos 2g x f x x =+，求函数()g x 在区间[,]64ππ-上的最大值和最小值． 18.（本小题满分13分）已知函数2()243f x ax x a =+--，a ∈R . （Ⅰ）当1a =时，求函数()f x 在[]1,1-上的最大值；（Ⅱ）如果函数()f x 在区间[]1,1-上存在零点，求a 的取值范围. 19.（本小题满分14分）设函数()ln f x a x x1=+，a ∈R ． （Ⅰ）求函数)(x f 的单调区间；（Ⅱ）当0a >时，若对任意0x >，不等式()2f x a ≥成立，求a 的取值范围； （Ⅲ）当0a <时，设10x >，20x >，试比较)2(21x x f +与2)()(21x f x f +的大小并说明理由． 20.（本小题满分13分）给定一个n 项的实数列12,,,(N )n a a a n *∈ ，任意选取一个实数c ，变换()T c 将数列12,,,n a a a 变换为数列12||,||,,||n a c a c a c --- ，再将得到的数列继续实施这样的变换，这样的变换可以连续进行多次，并且每次所选择的实数c 可以不相同，第(N )k k *∈次变换记为()k k T c ，其中k c 为第k 次变换时选择的实数.如果通过k 次变换后，数列中的各项均为0，则称11()T c ，22()T c ，…，()k k T c 为 “k 次归零变换”.（Ⅰ）对数列：1,3,5,7，给出一个 “k 次归零变换”，其中4k ≤； （Ⅱ）证明：对任意n 项数列，都存在“n 次归零变换”；（Ⅲ）对于数列231,2,3,,nn ，是否存在“1n -次归零变换”？请说明理由.北京市朝阳区2012-2013学年度第一学期高三年级期中练习数学试卷答案（理工类）2012.11（注：两空的填空，第一空3分，第一空2分）三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.15.（本小题满分13分）解：（Ⅰ）在△ABC中，因为1cos3C=，所以sin C===．………………………2分所以，11sin2322ABCS ab C==⨯⨯=．………………………5分（Ⅱ）由余弦定理可得，2222cosc a b abC=+-1492233=+-⨯⨯⨯9=所以，3c=．…………………………………………7分又由正弦定理得，sin sinc aC A=，所以，2sin3sin39a CAc===．……………………9分因为a b<，所以A为锐角,所以，7cos9A===．……………………11分所以，sin()sin cos cos sinC A C A C A-=-71393927=⨯-⨯=．…………………………………13分16. （本小题满分14分）解：（Ⅰ）由已知得，24a =，316a =. ……………………………………………2分由题意，131n n a S +=+，则当2n ≥时，131n n a S -=+.两式相减，得14n n a a +=（2n ≥）. ……………………………………………3分 又因为11a =，24a =，214a a =， 所以数列{}n a 是以首项为1，公比为4的等比数列， 所以数列{}n a 的通项公式是14n n a -=（n *∈N ）. ………………………………5分（Ⅱ）因为2112323124344n n n T a a a na n -=++++=+⨯+⨯++⋅ ，所以2314412434(1)44n n n T n n -=⨯+⨯+⨯++-⋅+⋅ ， ……………………6分两式相减得，2114314444414nn nn n T n n ---=++++-⋅=-⋅- ， ………8分整理得，311499n n n T -=⋅+ (n *∈N ). ………………………………9分 （Ⅲ） 当2n ≥时，依题意得2122log b b a -=,3223log b b a -=,… , 12log n n n b b a --=.相加得，122232log log log n n b b a a a -=+++ . ……………………………12分 依题意122log log 42(1)n n a n -==-.因为10b =，所以[]212(1)(1)n b n n n =+++-=- （2n ≥）. 显然当10b =时，符合.所以(1)n b n n =-(n *∈N ). ……………………………………14分17. （本小题满分13分） 解：（Ⅰ）由图可得2A =，22362T πππ=-=， 所以T =π，所以2ω=． …………………………………………………………2分 当6x π=时，()2f x =，可得 2sin(2)26ϕπ⋅+=， 因为||2ϕπ<，所以6ϕπ=． ………………………………………………………4分所以函数()f x 的解析式为()2sin(2)6f x x π=+．………………………………5分 函数()f x 的单调递增区间为[,]()36k k k πππ-π+∈Z ．…………………………7分 （Ⅱ）因为()()2cos 22sin(2)2cos 26g x f x x x x π=+=++2sin 2cos 2cos 2sin 2cos 266x x x ππ=++ …………………………8分23cos 2x x =+)3x π=+. ………………………10分因为[,]64x ππ∈-，所以50236x ππ≤+≤．当232x ππ+=，即12x π=时，函数()g x 有最大值为 ……………12分 当203x π+=，即6x π=-时，函数()g x 有最小值0． ………………13分 18. （本小题满分13分）解：（Ⅰ）当1a =时，则2()244f x x x =+-222(2)42(1)6x x x =+-=+-．因为[]1,1x ∈-，所以1x =时，()f x 的最大值(1)2f =．………………………3分 （Ⅱ）当0a =时，()43f x x =- ,显然在[]1,1-上有零点, 所以0a =时成立.……4分当0a ≠时，令168(3)8(1)(2)0a a a a ∆=++=++=,解得1,a =-2a =-． ………………………………………5分 （1） 当1a =-时, 22()2422(1)f x x x x =-+-=-- 由()0f x =，得1[1,1]x =∈-；当 2a =-时,221()4414()2f x x x x =-+-=--．由()0f x =，得1[1,1]2x =∈-， 所以当 0,1,2a =--时, ()y f x =均恰有一个零点在[]1,1-上.………………7分 （2）当(1)(1)(7)(1)0f f a a -=-+≤ ，即17a -≤≤时，()y f x =在[]1,1-上必有零点. ………………………………………8分（3）若()y f x =在[]1,1-上有两个零点, 则0,8(1)(2)0,111,(1)0,(1)0a a a a f f >⎧⎪∆=++>⎪⎪-<-<⎨⎪-≥⎪⎪≥⎩或0,8(1)(2)0,111,(1)0,(1)0.a a a a f f <⎧⎪∆=++>⎪⎪-<-<⎨⎪-≤⎪⎪≤⎩ …………………12分 解得7a ≥或2a <-．综上所述，函数()f x 在区间[]1,1-上存在极值点，实数a 的取值范围是1a ≥-或2a ≤-. ………………………………………13分19. （本小题满分14分）解：函数()f x 的定义域为(0,)+∞. ………………………………………1分 （Ⅰ）由题意21)(,0xx a x f x -='>， ………………………………………2分 （1）当0a >时，由0)(<'x f 得012<-x x a ，解得a x 1<，函数)(x f 的单调递减区间是)1,0(a ； 由0)(>'x f 得012>-xx a ，解得a x 1>，函数)(x f 的单调递增区间是),1(∞+a． …………………………………………4分（2）当0a ≤时， 由于0x >，所以21()0a f x x x '=-<恒成立，函数)(x f 的在区间(0),+∞上单调递减． ……………………………………………………………………………………5分 （Ⅱ）因为对于任意正实数x ，不等式()2f x a ≥成立，即xx a a 1ln 2+≤恒成立． 因为0>a ，由（Ⅰ）可知 当a x 1=时，函数()ln f x a x x1=+有最小值a a a a a a a f ln 1ln )1(-=+=．…7分 所以a a a x f a ln )(2m in -=≤，解得10ea <≤．故所求实数a 的取值范围是1(0,]e． ………………………………………9分（Ⅲ）因为121212()ln 22x x x x f a x x ++2=++， 121212()()1(ln ln )22f x f x a x a x x x +11=+++．12121212121[ln(]22x x x x a x x a x x x x ++=)+=. ……………………………10分所以121212121212()()()ln 2222x x f x f x x x x x f a a x x x x ++++2-=+-+121212()2()x x a x x x x 2-=-+．（1）显然，当12x x =时，1212()()()22x x f x f x f ++=． ……………………11分 （2）当12x x ≠时，因为0,021>>x x 且0a <，所以221>+x x 21x x ，所以02ln,1221212121<+>+x x x x a x x x x ．………………12分又121212()02()x x x x x x 2--<+，所以121212()02()x x a x x x x 2--<+所以02)()()2(2121<+-+x f x f x x f ， 即2)()()2(2121x f x f x x f +<+． 综上所述，当12x x =时，1212()()()22x x f x f x f ++=；当12x x ≠时，2)()()2(2121x f x f x x f +<+ ．……………………………………………………14分 20. （本小题满分13分）解：（Ⅰ）方法1：1(4)T ：3,1,1,3;2(2)T ：1,1,1,1;3(1)T ：0,0,0,0．方法2：1(2)T ：1,1,3,5;2(2)T ：1,1,1,3;3(2)T ：1,1,1,1；4(1)T ：0,0,0,0．．……4分（Ⅱ）经过k 次变换后，数列记为()()()12,,,k k k n a a a ，1,2,k = ．取1121)2c a a =(+,则(1)(1)12121||2a a a a ==-，即经11()T c 后，前两项相等； 取(1)(1)2231()2c a a =+，则(2)(2)(2)(1)(1)123321||2a a a a a ===-，即经22()T c 后，前3项相等；… …设进行变换()k k T c 时，其中(1)(1)11()2k k k k k c a a --+=+，变换后数列变为 ()()()()()()12312,,,,,,,k k k k k k k k n a a a a a a ++ ，则()()()()1231k k k k k a a a a +==== ；那么，进行第1k +次变换时，取()()1121()2k k k k k c a a +++=+， 则变换后数列变为(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)123123,,,,,,,,k k k k k k k k k k na a a a a a a ++++++++++ ， 显然有(1)(1)(1)(1)(1)12312k k k k k k k a a a a a +++++++===== ；… …经过1n -次变换后，显然有(1)(1)(1)(1)(1)1231n n n n n n na a a a a ------===== ； 最后，取(1)n n n c a -=，经过变换()n n T c 后，数列各项均为0.所以对任意数列，都存在 “n 次归零变换”． ……………………………………9分 （Ⅲ）不存在“1n -次归零变换”. ………………………………………………10分证明：首先，“归零变换”过程中，若在其中进行某一次变换()j j T c 时，12min{,,,}j n c a a a < ，那么此变换次数便不是最少.这是因为，这次变换并不是最后的一次变换（因它并未使数列化为全零），设先进行()j j T c 后，再进行11()j j T c ++，由11|||||()|i j j i j j a c c a c c ++--=-+，即等价于一次变换1()j j j T c c ++，同理，进行某一步()j j T c 时，12max{,,,}j n c a a a > ；此变换步数也不是最小．由以上分析可知，如果某一数列经最少的次数的“归零变换”，每一步所取的i c 满足1212min{,,,}max{,,,}n i n a a a c a a a ≤≤ ． 以下用数学归纳法来证明，对已给数列，不存在“1n -次归零变换”． （1）当2n =时，对于1,4，显然不存在 “一次归零变换” ，结论成立．（由（Ⅱ）可知，存在 “两次归零变换”变换：1253(),()22T T ） （2）假设n k =时成立，即231,2,3,,kk 不存在“1k -次归零变换”．当1n k =+时，假设2311,2,3,,,(1)kk k k ++ 存在“k 次归零变换”．此时，对231,2,3,,k k 也显然是“k 次归零变换”，由归纳假设以及前面的讨论不难知231,2,3,,k k 不存在“1k -次归零变换”，则k 是最少的变换次数，每一次变换i c 一定满足1k i c k ≤≤，1,2,,i k = ．因为111212|||(1)|||(1)()k k k k k c c c k c c c +++----=+-+++1(1)0k k k k k +≥+->所以，1(1)k k ++绝不可能变换为0，与归纳假设矛盾．所以，当1n k =+时不存在“k 次归零变换”．由（1）（2）命题得证． ………………………………………13分。