实数集合R上定义运算
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离散数学考试题(后附详细答案)一、命题符号化(共6小题,每小题3分,共计18分)1.用命题逻辑把下列命题符号化a)假如上午不下雨,我去看电影,否则就在家里读书或看报。
设P表示命题“上午下雨”,Q表示命题“我去看电影”,R表示命题“在家里读书”,S表示命题“在家看报”,命题符号化为:(⌝P⇄Q)∧(P⇄R∨S)b)我今天进城,除非下雨。
设P表示命题“我今天进城”,Q表示命题“天下雨”,命题符号化为:⌝Q→P或⌝P→Qc)仅当你走,我将留下。
设P表示命题“你走”,Q表示命题“我留下”,命题符号化为: Q→P2.用谓词逻辑把下列命题符号化a)有些实数不是有理数设R(x)表示“x是实数”,Q(x)表示“x是有理数”,命题符号化为:∃x(R(x) ∧⌝Q(x)) 或⌝∀x(R(x) →Q(x))b)对于所有非零实数x,总存在y使得xy=1。
设R(x)表示“x是实数”,E(x,y)表示“x=y”,f(x,y)=xy, 命题符号化为:∀x(R(x) ∧⌝E(x,0) →∃y(R(y) ∧E(f(x,y),1))))c) f 是从A到B的函数当且仅当对于每个a∈A存在唯一的b∈B,使得f(a)=b.设F(f)表示“f是从A到B的函数”, A(x)表示“x∈A”, B(x)表示“x∈B”,E(x,y)表示“x=y”, 命题符号化为:F(f)⇄∀a(A(a)→∃b(B(b) ∧ E(f(a),b) ∧∀c(S(c) ∧ E(f(a),c) →E(a,b))))二、简答题(共6道题,共32分)1.求命题公式(P→(Q→R))↔(R→(Q→P))的主析取范式、主合取范式,并写出所有成真赋值。
(5分)(P→(Q→R))↔(R→(Q→P))⇔(⌝P∨⌝Q∨R)↔(P∨⌝Q∨⌝R)⇔((⌝P∨⌝Q∨R)→(P∨⌝Q∨⌝R)) ∧ ((P∨⌝Q∨⌝R) →(⌝P∨⌝Q∨R)).⇔((P∧Q∧⌝R)∨ (P∨⌝Q∨⌝R)) ∧ ((⌝P∧Q∧R) ∨(⌝P∨⌝Q∨R))⇔(P∨⌝Q∨⌝R) ∧(⌝P∨⌝Q∨R) 这是主合取范式公式的所有成真赋值为000,001,010,100,101,111,故主析取范式为(⌝P∧⌝Q∧⌝R)∨(⌝P∧⌝Q∧R)∨(⌝P∧Q∧⌝R)∨(P∧⌝Q∧⌝R)∨(P∧⌝Q∧R)∨(P∧Q∧R)2.设个体域为{1,2,3},求下列命题的真值(4分)a)∀x∃y(x+y=4)b)∃y∀x (x+y=4)a) T b) F3.求∀x(F(x)→G(x))→(∃xF(x)→∃xG(x))的前束范式。
离散数学(第2版)_在线作业_1交卷时间2019-09-26 14:15:30一、单选题(每题5分,共20道小题,总分值100分)1.命题变元P和Q的极大项M1表示()。
(5分)┐P∨Q┐P∧QP∧┐QP∨┐Q正确答案您的答案是D回答正确展开2.设,下面集合等于A的是()。
(5分)ABCD正确答案您的答案是B回答正确展开3.下面既是哈密顿图又是欧拉图的是()。
(5分)ABCD正确答案您的答案是C回答正确展开4.下列语句中为命题的是()。
(5分)AB水开了吗?C再过5000年,地球上就没有水了D请不要抽烟!正确答案您的答案是C回答正确展开5.n个结点、m条边的无向连通图是树当且仅当m=()。
(5分)A2n-1B nC n-1D n+1正确答案您的答案是C回答正确展开6.命题变元P和Q的极小项m1表示()。
(5分)P∧┐Q┐P∧Q┐P∨QP∨┐Q正确答案您的答案是B回答正确展开7.公式的前束范式为()。
(5分)ABCD正确答案您的答案是D回答正确展开8.无向完全图有()条边。
(5分)A nB n2C n(n-1)D n(n-1)/2正确答案您的答案是D回答正确展开9.设无向图G的所有结点的度数之和为12,则G一定有()。
(5分)6条边5条边3条边4条边正确答案您的答案是A回答正确展开10.下列语句中不是命题的是()。
(5分)AB我是大学生C3是奇数D请勿吸烟!正确答案您的答案是D回答正确展开11.下列不一定是树的是()。
(5分)A每对结点之间都有通路的图B连通但删去一条边则不连通的图C有n个结点,n-1条边的连通图D无回路的连通图正确答案您的答案是A回答正确展开12.在有3个结点的图中,奇度数结点的个数为()。
(5分)A0或2B0C1D1或3正确答案您的答案是A回答正确展开13.集合的对称差运算不满足()。
(5分)A消去律B结合律C交换律D幂等律正确答案您的答案是D回答正确展开14.下列图中()是平面图。
第一节集合知识回顾1.集合与元素(1)集合元素的三个特征:确定性、互异性、无序性.(2)元素与集合的关系是属于或不属于关系,用符号∈或∉表示.(3)集合的表示法:列举法、描述法、图示法.(4)常见数集的记法A B或B A集合的并集集合的交集集合的补集A∪B=A∩B=∁A=(1)并集的性质:A∪∅=A;A∪A=A;A∪B=B∪A;A∪B=A⇔B⊆A.(2)交集的性质:A∩∅=∅;A∩A=A;A∩B=B∩A;A∩B=A⇔A⊆B.(3)补集的性质:A∪(∁U A)=U;A∩(∁U A)=∅.(4)∁U(∁U A)=A;∁U(A∪B)=(∁U A)∩(∁U B);∁U(A∩B)=(∁U A)∪(∁U B).课前检测1.已知数集A ={0,1,x +2},那么x 的取值集合为 ( )A .{x |x ≠-2}B .{x |x ≠-1}C .{x |x ≠-2且x ≠-1}D .x ∈R2.下列判断正确的命题个数为( )①a ∈{a };②{a }∈{a ,b };③{a ,b }⊆{b ,a };④∅⊆{0}.A .1个B .2个C .3个D .4个 3.集合A ={1,2,3}的非空真子集的个数为( )A .3个B .6个C .7个D .8个4.已知{1,2}⊆A ⊆{1,2,3,4,5},则集合A 的个数为 ____________ .5.设全集U =R ,A ={x |1≤x ≤3},B ={x |2<x <4},则A ∩B = ____________;A ∪B =____________;A ∪∁U B =____________.课中讲解考点一. 集合的基本概念例1. 若a ,b ∈R ,集合{1,a +b ,a }={0,ba,b },求b -a 的值.变式1.设集合A ={1,a ,b },B ={a ,a 2,ab },且A =B ,求实数a ,b .例2.若集合A ={x ∈R|ax 2-3x +2=0}中只有一个元素,则a =( ) A.92 B.98 C .0D .0或98变式2.已知集合A ={x ∈N|1<x <log 2k },若集合A 中至少有3个元素,则k 的取值范围为( ) A .(8,+∞) B .[8,+∞) C .(16,+∞)D .[16,+∞)考点二. 集合间的关系例1.设P ={y |y =-x 2+1,x ∈R},Q ={y |y =2x ,x ∈R},则( ) A .P ⊆Q B .Q ⊆P C .∁R P ⊆QD .Q ⊆∁R P变式1.已知集合A ={x |-2≤x ≤5},B ={x |m +1≤x ≤2m -1},若B ⊆A ,则实数m 的取值范围为________.例2 设集合M ={x |x =5-4a +a 2,a ∈R },N ={y |y =4b 2+4b +2,b ∈R },则M 与N 之间有什么关系?变式2 设集合P ={m |-1<m <0},Q ={m |mx 2+4mx -4<0对任意实数x 恒成立,且m ∈R },则集合P 与Q 之间的关系为________.变式3.已知集合A ={x |x 2+4x =0},B ={x |x 2+ax +a =0},是否存在这样的实数a ,使得B ⊆A ?若存在这样的实数a ,求出a 的取值范围;若不存在,说明理由.考点三 集合的运算例1.【2020年高考全国Ⅰ卷理数】设集合A ={x |x 2–4≤0},B ={x |2x +a ≤0},且A ∩B ={x |–2≤x ≤1},则a =() A .–4 B .–2 C .2D .4变式1.【2020年高考全国Ⅰ卷理数】已知集合U ={−2,−1,0,1,2,3},A ={−1,0,1},B ={1,2},则()UA B =A .{−2,3}B .{−2,2,3}C .{−2,−1,0,3}D .{−2,−1,0,2,3}例2.【2020年高考全国Ⅰ卷理数】已知集合{(,)|,,}A x y x y y x =∈≥*N ,{(,)|8}B x y x y =+=,则A B 中元素的个数为 A .2 B .3 C .4D .6变式2.(2020·全国新课标Ⅰ理科试卷)已知集合{(,)|,,}A x y x y y x =∈≥*N ,{(,)|8}B x y x y =+=,则A B中元素的个数为( ) A .2B .3C .4D .6例3.(多选)已知集合A ={x |-1<x ≤3},集合B ={x ||x |≤2},则下列关系式正确的是( ) A .A ∩B =∅B .A ∪B ={x |-2≤x ≤3}C .A ∪∁R B ={x |x ≤-1或x >2}D .A ∩∁R B ={x |2<x ≤3}变式3.(多选)已知集合A ={x |x 2-3x +2≤0},B ={x |2<2x ≤8},则下列判断不正确的是( ) A .A ∪B =B B .(∁R B )∪A =R C .A ∩B ={x |1<x ≤2} D .(∁R B )∪(∁R A )=R考点四.集合的新定义问题例1.如图所示的Venn 图中,A ,B 是两个非空集合,定义集合A ⊗B 为阴影部分表示的集合.若x ,y ∈R ,A ={x |y =2x -x 2},B ={y |y =3x ,x >0},则A ⊗B 为( )A .{x |0<x <2}B .{x |1<x ≤2}C .{x |0≤x ≤1或x ≥2}D .{x |0≤x ≤1或x >2} 变式1.给定集合A ,若对于任意a ,b ∈A ,有a +b ∈A ,且a -b ∈A ,则称集合A 为闭集合,给出如下三个结论:①集合A ={-4,-2,0,2,4}为闭集合; ②集合A ={n |n =3k ,k ∈Z}为闭集合;③若集合A 1,A 2为闭集合,则A 1∪A 2为闭集合. 其中正确结论的序号是________.例2.定义集合的商集运算为A B =⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x =m n ,m ∈A ,n ∈B ,已知集合A ={2,4,6},B =⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x =k 2-1,k ∈A ,则集合BA∪B 中的元素个数为( )A .6B .7C .8D .9变式2.设P 和Q 是两个集合,定义集合P -Q ={x |x ∈P ,且x ∉Q },如果P ={x |log 2x <1},Q ={x ||x -2|<1},那么P -Q =( )A .{x |0<x <1}B .{x |0<x ≤1}C .{x |1≤x <2}D .{x |2≤x <3}课后习题一 单选1.(2020·河北衡水中学高三月考)已知集合{}2|20A x x x =-≤,{}|1381xB x =<<,{}|2,C x x n n N ==∈,则()A B C ⋃⋂=( )A .{}2B .{}0,2C .{}0,2,4D .{}2,42.(2020·山东济宁·高三其他模拟)已知集合{}|21x A x =>,{}2|560B x x x =+-<,则AB =( )A .()1,0-B .()0,6C .()0,1D .()6,1-3.(2020·阳江市第一中学高三其他模拟)已知全集为实数集R ,集合{}36A x x =-<<,{}29140B x x x =-+<,则()U A B ⋂=( )A .()2,6B .()2,7C .(]3,2-D .()3,2-4.(2020·云南高三其他模拟(理))设集合{}2*20,A x x x x N =--<∈,集合{B x y ==,则集合A B 等于( )A .1B .[)1,2C .{}1D .{}1x x ≥5.【2020年新高考全国Ⅰ卷】设集合A ={x |1≤x ≤3},B ={x |2<x <4},则A ∪B =A .{x |2<x ≤3}B .{x |2≤x ≤3}C .{x |1≤x <4}D .{x |1<x <4}6.【2020年高考浙江】已知集合P ={|14}x x <<,Q={|23}x x <<,则P ∩Q =A .{|12}x x <≤B .{|23}x x <<C .{|34}x x ≤<D .{|14}x x <<7. 已知集合A ={x ∈N |x 2-2x -3≤0},B ={1,3},定义集合A ,B 之间的运算“*”:A *B ={x |x =x 1+x 2,x 1∈A ,x 2∈B },则A *B 中的所有元素数字之和为( ) A .15 B .16 C .20 D .218.已知全集U ={x ∈Z|0<x <8},集合M ={2,3,5},N ={x |x 2-8x +12=0},则集合{1,4,7}为( )A .M ∩(∁U N )B .∁U (M ∩N )C .∁U (M ∪N )D .(∁U M )∩N9.已知集合M =⎩⎨⎧⎭⎬⎫x | x 216+y 29=1,N =⎩⎨⎧⎭⎬⎫y |x 4+y 3=1,则M ∩N =( ) A .∅ B .{(4,0),(3,0)} C .[-3,3]D .[-4,4]10.在实数集R 上定义运算*:x *y =x ·(1-y ).若关于x 的不等式x *(x -a )>0的解集是集合{x |-1≤x ≤1}的子集,则实数a 的取值范围是( )A .[0,2]B .[-2,-1)∪(-1,0]C .[0,1)∪(1,2]D .[-2,0]11.非空数集A 满足:(1)0∉A ;(2)若∀x ∈A ,有1x∈A ,则称A 是“互倒集”.给出以下数集:①{x ∈R|x 2+ax +1=0}; ②{x |x 2-4x +1<0};③⎩⎨⎧⎭⎬⎫y ⎪⎪y =ln xx ,x ∈⎣⎡⎭⎫1e ,1∪1,e];④⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫y ⎪⎪⎪⎪y =⎩⎨⎧ 2x +25,x ∈[0,1,x +1x ,x ∈[1,2]. 其中“互倒集”的个数是( ) A .4 B .3 C .2 D .1二.多选12. (多选)设P 是一个数集,且至少含有两个数,若对任意a ,b ∈P ,都有a +b ,a -b ,ab ,ab ∈P (除数b ≠0),则称P 是一个数域,例如有理数集Q 是数域,下列命题中正确的是( ) A .数域必含有0,1两个数 B .整数集是数域C .若有理数集Q ⊆M ,则数集M 必为数域D .数域必为无限集13.(多选)设S 为复数集C 的非空子集.若对任意x ,y ∈S ,都有x +y ,x -y ,xy ∈S ,则称S 为封闭集.下列命题中是真命题的有( )A .集合S ={a +b i|a ,b 为整数,i 为虚数单位}为封闭集B .若S 为封闭集,则一定有0∈SC .封闭集一定是无限集D .若S 为封闭集,则满足S ⊆T ⊆C 的任意集合T 也是封闭集 三.填空14. 对于集合M ,定义函数f M (x )=⎩⎪⎨⎪⎧-1,x ∈M ,1,x ∉M .对于两个集合A ,B ,定义集合A △B ={x |f A (x )·f B (x )=-1}.已知A ={2,4,6,8,10},B ={1,2,4,8,12},则用列举法写出集合A △B 的结果为________.15.当两个集合有公共元素,且互不为对方的子集时,我们称这两个集合“相交”.对于集合M ={x |ax 2-1=0,a >0},N =⎩⎨⎧⎭⎬⎫-12,12,1,若M 与N “相交”,则a =________.四.解答题16.已知集合A ={x |3≤3x ≤27},B ={x |log 2x >1}.(1)分别求A ∩B ,(∁R B )∪A ;(2)已知集合C ={x |1<x <a },若C ⊆A ,求实数a 的取值范围.参考答案1.已知数集A ={0,1,x +2},那么x 的取值集合为 ( )A .{x |x ≠-2}B .{x |x ≠-1}C .{x |x ≠-2且x ≠-1}D .x ∈R答案:C解析:因为集合的元素满足互异性,所以x +2≠0且x +2≠1,得x ≠-2且x ≠-1,故选C . 2.下列判断正确的命题个数为( ) ①a ∈{a };②{a }∈{a ,b };③{a ,b }⊆{b ,a };④∅⊆{0}. A .1个 B .2个 C .3个D .4个答案:C解析:①元素与集合的关系的表示方法,正确; ②两个集合之间的关系,不正确; ③正确; ④∅是任何集合的子集,正确,故选C .3.集合A ={1,2,3}的非空真子集的个数为( ) A .3个 B .6个 C .7个D .8个 答案:B解析:若一个集合的元素个数为n ,则其子集个数为2n , 真子集的个数为2n -1,非空子集的个数为2n -1, 则非空真子集的个数为2n -2,故选B.4.已知{1,2}⊆A ⊆{1,2,3,4,5},则集合A 的个数为 ____________ . 答案:8解析:问题可转化为求集合{3,4,5}的子集个数,即集合A 的个数为8.5.设全集U =R ,A ={x |1≤x ≤3},B ={x |2<x <4},则A ∩B = ____________;A ∪B =____________;A ∪∁U B =____________.答案:{x |2<x ≤3} {x |1≤x <4} {x |x ≤3或x ≥4}解析:在数轴上分别表示出集合A ,B ,∁U B ,即得∁U B ={x |x ≤2或x ≥4}. 课中讲解考点一. 集合的基本概念例1. 若a ,b ∈R ,集合{1,a +b ,a }={0,ba,b },求b -a 的值.解题导引 解决该类问题的基本方法为:利用集合中元素的特点,列出方程组求解,但解出后应注意检验,看所得结果是否符合元素的互异性.解 由{1,a +b ,a }={0,ba ,b }可知a ≠0,则只能a +b =0,则有以下对应法则:⎩⎪⎨⎪⎧a +b =0,ba =a ,b =1① 或⎩⎪⎨⎪⎧a +b =0,b =a ,b a =1.②由①得⎩⎪⎨⎪⎧a =-1,b =1,符合题意;②无解.∴b -a =2.变式1.设集合A ={1,a ,b },B ={a ,a 2,ab },且A =B ,求实数a ,b . 解 由元素的互异性知,a ≠1,b ≠1,a ≠0,又由A =B ,得⎩⎪⎨⎪⎧ a 2=1,ab =b ,或⎩⎪⎨⎪⎧a 2=b ,ab =1,解得a =-1,b =0. 例2.若集合A ={x ∈R|ax 2-3x +2=0}中只有一个元素,则a =( )A.92B.98 C .0D .0或98解析:选D 当a =0时,显然成立;当a ≠0时,Δ=(-3)2-8a =0,即a =98.变式2.已知集合A ={x ∈N|1<x <log 2k },若集合A 中至少有3个元素,则k 的取值范围为( ) A .(8,+∞) B .[8,+∞) C .(16,+∞)D .[16,+∞)解析:选C 因为集合A 中至少有3个元素,所以log 2k >4,所以k >24=16,故选C. 考点二. 集合间的关系例1.设P ={y |y =-x 2+1,x ∈R},Q ={y |y =2x ,x ∈R},则( ) A .P ⊆Q B .Q ⊆P C .∁R P ⊆QD .Q ⊆∁R P变式1.已知集合A ={x |-2≤x ≤5},B ={x |m +1≤x ≤2m -1},若B ⊆A ,则实数m 的取值范围为________. [解析] 例1.因为P ={y |y =-x 2+1,x ∈R}={y |y ≤1},Q ={y |y =2x ,x ∈R}={y |y >0},所以∁R P ={y |y >1},所以∁R P ⊆Q ,故选C.变式1.∵B ⊆A ,∴①若B =∅,则2m -1<m +1,此时m <2. ②若B ≠∅,则⎩⎪⎨⎪⎧2m -1≥m +1,m +1≥-2,2m -1≤5,解得2≤m ≤3.由①②可得,符合题意的实数m 的取值范围为(-∞,3]. [答案] (1)C (2)(-∞,3]例2 设集合M ={x |x =5-4a +a 2,a ∈R },N ={y |y =4b 2+4b +2,b ∈R },则M 与N 之间有什么关系? 解题导引 一般地,对于较为复杂的两个或两个以上的集合,要判断它们之间的关系,应先确定集合中元素的形式是数还是点或其他,属性如何.然后将所给集合化简整理,弄清每个集合中的元素个数或范围,再判断它们之间的关系.解 集合M ={x |x =5-4a +a 2,a ∈R }={x |x =(a -2)2+1,a ∈R }={x |x ≥1}, N ={y |y =4b 2+4b +2,b ∈R }={y |y =(2b +1)2+1,b ∈R }={y |y ≥1}.∴M =N .变式2 设集合P ={m |-1<m <0},Q ={m |mx 2+4mx -4<0对任意实数x 恒成立,且m ∈R },则集合P 与Q 之间的关系为________. 答案 P ⊆Q解析 P ={m |-1<m <0},Q :⎩⎪⎨⎪⎧m <0,Δ=16m 2+16m <0,或m =0.∴-1<m ≤0.∴Q ={m |-1<m ≤0}.∴P ⊆Q变式3.已知集合A ={x |x 2+4x =0},B ={x |x 2+ax +a =0},是否存在这样的实数a ,使得B ⊆A ?若存在这样的实数a ,求出a 的取值范围;若不存在,说明理由.【思路点拨】判断集合与集合的关系,基本方法是归纳为判断元素与集合的关系.对于用描述法表示的集合,要紧紧抓住代表元素及它的属性,可将元素列举出来直接观察或通过元素特征,求同存异,定性分析.解:A ={0,-4}.若B ⊆A ,则B =∅,{0},{-4},{0,-4}.当B =∅时,则x 2+ax +a =0无解,所以a 2-4a <0,解得0<a <4; 当B ={0}时,则x 2+ax +a =0有两个相等的根0,所以a =0;当B ={-4}时,则x 2+ax +a =0有两个相等的根-4,所以a 2-4a =0且14-4a +a =0,无解; 当B ={0.-4}时,则x 2+ax +a =0有两个根0和-4,无解.综上,存在实数 a 满足 0≤a <4,使得B ⊆A .【点评】在解决两个数集关系问题时,避免出错的一个有效手段是合理运用数轴帮助分析与求解,另外,在解含有参数的不等式(或方程)时,要对参数进行讨论.分类时要遵循“不重不漏”的分类原则,然后对于每一类情况都要给出问题的解答.分类讨论的一般步骤:①确定标准;②恰当分类;③逐类讨论;④归纳结论.空集是任意集合的子集,解题时不能忽视! 考点三 集合的运算例1.【2020年高考全国Ⅰ卷理数】设集合A ={x |x 2–4≤0},B ={x |2x +a ≤0},且A ∩B ={x |–2≤x ≤1},则a =() A .–4 B .–2 C .2 D .4【答案】B 【解析】 【分析】由题意首先求得集合A ,B ,然后结合交集的结果得到关于a 的方程,求解方程即可确定实数a 的值. 【详解】求解二次不等式240x -≤可得{}2|2A x x -=≤≤, 求解一次不等式20x a +≤可得|2a B x x ⎧⎫=≤-⎨⎬⎩⎭. 由于{}|21A B x x ⋂=-≤≤,故12a-=, 解得2a =-.故选B .【点睛】本题主要考查交集的运算,不等式的解法等知识,意在考查学生的转化能力和计算求解能力. 变式1.【2020年高考全国Ⅰ卷理数】已知集合U ={−2,−1,0,1,2,3},A ={−1,0,1},B ={1,2},则()UA B =A .{−2,3}B .{−2,2,3}C .{−2,−1,0,3}D .{−2,−1,0,2,3}【答案】A 【解析】 【分析】首先进行并集运算,然后计算补集即可. 【详解】由题意可得{}1,0,1,2A B ⋃=-,则(){}U2,3A B =-.故选A【点睛】本题主要考查并集、补集的定义与应用,属于基础题.例2.【2020年高考全国Ⅰ卷理数】已知集合{(,)|,,}A x y x y y x =∈≥*N ,{(,)|8}B x y x y =+=,则A B 中元素的个数为 A .2 B .3 C .4D .6【答案】C 【解析】 【分析】采用列举法列举出A B 中元素的即可.【详解】由题意,AB 中的元素满足8y xx y ≥⎧⎨+=⎩,且*,x y ∈N ,由82x y x +=≥,得4x ≤,所以满足8x y +=的有(1,7),(2,6),(3,5),(4,4), 故AB 中元素的个数为4.故选C .【点晴】本题主要考查集合的交集运算,考查学生对交集定义的理解,是一道容易题..变式2.(2020·全国新课标Ⅰ理科试卷)已知集合{(,)|,,}A x y x y y x =∈≥*N ,{(,)|8}B x y x y =+=,则A B 中元素的个数为( )A .2B .3C .4D .6【答案】C【详解】由题意,A B 中的元素满足8y x x y ≥⎧⎨+=⎩,且*,x y N ∈,由82x y x +=≥,得4x ≤,所以满足8x y +=的有(1,7),(2,6),(3,5),(4,4),故A B 中元素的个数为4.故选:C.【点晴】本题主要考查集合的交集运算,考查学生对交集定义的理解,是一道容易题.例3.(多选)已知集合A ={x |-1<x ≤3},集合B ={x ||x |≤2},则下列关系式正确的是( )A .A ∩B =∅B .A ∪B ={x |-2≤x ≤3}C .A ∪∁R B ={x |x ≤-1或x >2}D .A ∩∁R B ={x |2<x ≤3}答案 BD解析 ∵A ={x |-1<x ≤3},B ={x ||x |≤2}={x |-2≤x ≤2},∴A ∩B ={x |-1<x ≤3}∩{x |-2≤x ≤2}={x |-1<x ≤2},A 不正确;A ∪B ={x |-1<x ≤3}∪{x |-2≤x ≤2}={x |-2≤x ≤3},B 正确;∵∁R B ={x |x <-2或x >2},∴A ∪∁R B ={x |-1<x ≤3}∪{x |x <-2或x >2}={x |x <-2或x >-1},C 不正确;A ∩∁RB ={x |-1<x ≤3}∩{x |x <-2或x >2}={x |2<x ≤3},D 正确.变式3.(多选)已知集合A ={x |x 2-3x +2≤0},B ={x |2<2x ≤8},则下列判断不正确的是() A .A ∪B =B B .(∁R B )∪A =RC .A ∩B ={x |1<x ≤2}D .(∁R B )∪(∁R A )=R答案 ABD解析 因为x 2-3x +2≤0,所以1≤x ≤2,所以A ={x |1≤x ≤2};因为2<2x ≤8,所以1<x ≤3,所以B ={x |1<x ≤3}.所以A ∪B ={x |1≤x ≤3},A ∩B ={x |1<x ≤2}.(∁R B )∪A ={x |x ≤2或x >3},(∁R B )∪(∁R A )={x |x ≤1或x >2}.考点四.集合的新定义问题例1.如图所示的Venn 图中,A ,B 是两个非空集合,定义集合A ⊗B 为阴影部分表示的集合.若x ,y ∈R ,A ={x |y =2x -x 2},B ={y |y =3x ,x >0},则A ⊗B 为( )A .{x |0<x <2}B .{x |1<x ≤2}C .{x |0≤x ≤1或x ≥2}D .{x |0≤x ≤1或x >2}变式1.给定集合A ,若对于任意a ,b ∈A ,有a +b ∈A ,且a -b ∈A ,则称集合A 为闭集合,给出如下三个结论:①集合A ={-4,-2,0,2,4}为闭集合;②集合A ={n |n =3k ,k ∈Z}为闭集合;③若集合A 1,A 2为闭集合,则A 1∪A 2为闭集合.其中正确结论的序号是________.[解析] 例1.因为A ={x |0≤x ≤2},B ={y |y >1},A ∪B ={x |x ≥0},A ∩B ={x |1<x ≤2},所以A ⊗B =∁A ∪B (A ∩B )={x |0≤x ≤1或x >2}.(2)①中,-4+(-2)=-6∉A ,所以①不正确;②中,设n 1,n 2∈A ,n 1=3k 1,n 2=3k 2,k 1,k 2∈Z ,则n 1+n 2∈A ,n 1-n 2∈A ,所以②正确;③中,令A 1={n |n =3k ,k ∈Z},A 2={n |n =2k ,k ∈Z},则A 1,A 2为闭集合,但3k +2k ∉(A 1∪A 2),故A 1∪A 2不是闭集合,所以③不正确.[答案] (1)D (2)②例2.定义集合的商集运算为A B =⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x =m n ,m ∈A ,n ∈B ,已知集合A ={2,4,6},B =⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x =k 2-1,k ∈A ,则集合B A∪B 中的元素个数为( ) A .6B .7C .8D .9解析:选B 由题意知,B ={0,1,2},B A =⎩⎨⎧⎭⎬⎫0,12,14,16,1,13, 则B A ∪B =⎩⎨⎧⎭⎬⎫0,12,14,16,1,13,2, 共有7个元素,故选B.变式2.设P 和Q 是两个集合,定义集合P -Q ={x |x ∈P ,且x ∉Q },如果P ={x |log 2x <1},Q ={x ||x -2|<1},那么P -Q =( )A .{x |0<x <1}B .{x |0<x ≤1}C .{x |1≤x <2}D .{x |2≤x <3} 解析:选B 由log 2x <1,得0<x <2,所以P ={x |0<x <2}.由|x -2|<1,得1<x <3,所以Q ={x |1<x <3}.由题意,得P -Q ={x |0<x ≤1}.课后习题一 单选1.(2020·河北衡水中学高三月考)已知集合{}2|20A x x x =-≤,{}|1381x B x =<<,{}|2,C x x n n N ==∈,则()A B C ⋃⋂=( )A .{}2B .{}0,2C .{}0,2,4D .{}2,4 【答案】B【详解】∵集合{}2|20A x x x =-≤∴{}02A x x =≤≤∵集合{}|1381x B x =<<∴{}04A x x =<< ∴{}04A B x x ⋃=≤<∵集合{}|2,C x x n n N ==∈∴{}()0,2A B C ⋃⋂=故选B.2.(2020·山东济宁·高三其他模拟)已知集合{}|21x A x =>,{}2|560B x x x =+-<,则A B =( )A .()1,0-B .()0,6C .()0,1D .()6,1-【答案】C 【详解】{}{}{}0|21|22=|0x x A x x x x =>=>>, {}{}{}2|560|(6)(10|61B x x x x x x x x =+-<=+-<=-<<),∴A B =()0,1.故选:C.3.(2020·阳江市第一中学高三其他模拟)已知全集为实数集R ,集合{}36A x x =-<<,{}29140B x x x =-+<,则()U A B ⋂=( )A .()2,6B .()2,7C .(]3,2-D .()3,2- 【答案】C 【详解】{}{}2914027B x x x x x =-+<=<<, {2U B x x ∴=≤或}7x ≥,{}(]()323,2U A B x x ∴⋂=-<≤=-.故选:C.4.(2020·云南高三其他模拟(理))设集合{}2*20,A x x x x N=--<∈,集合{B x y ==,则集合A B 等于( ) A .1B .[)1,2C .{}1D .{}1x x ≥ 【答案】C 【详解】由题得{}{}{}2**20,12,1A x x x x x x x =--<∈=-<<∈=N N , {{}{}{}222log 0log log 11B x y x x x x x x ===≥=≥=≥,{}1A B ∴⋂=.故选: C. 5.【2020年新高考全国Ⅰ卷】设集合A ={x |1≤x ≤3},B ={x |2<x <4},则A ∪B =A .{x |2<x ≤3}B .{x |2≤x ≤3}C .{x |1≤x <4}D .{x |1<x <4} 【答案】C【解析】【分析】根据集合并集概念求解.【详解】[1,3](2,4)[1,4)AB ==. 故选C【点睛】本题考查集合并集,考查基本分析求解能力,属基础题.6.【2020年高考浙江】已知集合P ={|14}x x <<,Q={|23}x x <<,则PQ = A .{|12}x x <≤B .{|23}x x <<C .{|34}x x ≤<D .{|14}x x << 【答案】B【解析】【分析】根据集合交集定义求解【详解】(1,4)(2,3)(2,3)P Q ==.故选B.【点睛】本题考查交集概念,考查基本分析求解能力,属基础题.7. 已知集合A ={x ∈N |x 2-2x -3≤0},B ={1,3},定义集合A ,B 之间的运算“*”:A *B ={x |x =x 1+x 2,x 1∈A ,x 2∈B },则A *B 中的所有元素数字之和为( )A .15B .16C .20D .21答案 D解析 由x 2-2x -3≤0,得(x +1)(x -3)≤0,得A ={0,1,2,3}.因为A *B ={x |x =x 1+x 2,x 1∈A ,x 2∈B },所以A *B 中的元素有:0+1=1,0+3=3,1+1=2,1+3=4,2+1=3(舍去),2+3=5,3+1=4(舍去),3+3=6,所以A *B ={1,2,3,4,5,6},所以A *B 中的所有元素数字之和为21.8.已知全集U ={x ∈Z|0<x <8},集合M ={2,3,5},N ={x |x 2-8x +12=0},则集合{1,4,7}为( )A .M ∩(∁U N )B .∁U (M ∩N )C .∁U (M ∪N )D .(∁U M )∩N解析:选C 由已知得U ={1,2,3,4,5,6,7},N ={2,6},M ∩(∁U N )={2,3,5}∩{1,3,4,5,7}={3,5},M ∩N ={2},∁U (M ∩N )={1,3,4,5,6,7},M ∪N ={2,3,5,6},∁U (M ∪N )={1,4,7},(∁U M )∩N ={1,4,6,7}∩{2,6}={6},故选C.9.已知集合M =⎩⎨⎧⎭⎬⎫x | x 216+y 29=1,N =⎩⎨⎧⎭⎬⎫y |x 4+y 3=1,则M ∩N =( ) A .∅B .{(4,0),(3,0)}C .[-3,3]D .[-4,4]解析:选D 由题意可得M ={x |-4≤x ≤4},N ={y |y ∈R},所以M ∩N =[-4,4].故选D.10.在实数集R 上定义运算*:x *y =x ·(1-y ).若关于x 的不等式x *(x -a )>0的解集是集合{x |-1≤x ≤1}的子集,则实数a 的取值范围是( )A .[0,2]B .[-2,-1)∪(-1,0]C .[0,1)∪(1,2]D .[-2,0]解析:选D 依题意可得x (1-x +a )>0.因为其解集为{x |-1≤x ≤1}的子集,所以当a ≠-1时,0<1+a ≤1或-1≤1+a <0,即-1<a ≤0或-2≤a <-1.当a =-1时,x (1-x +a )>0的解集为空集,符合题意.所以-2≤a ≤0.11.非空数集A 满足:(1)0∉A ;(2)若∀x ∈A ,有1x∈A ,则称A 是“互倒集”.给出以下数集: ①{x ∈R|x 2+ax +1=0};②{x |x 2-4x +1<0};③⎩⎨⎧⎭⎬⎫y ⎪⎪y =ln x x ,x ∈⎣⎡⎭⎫1e ,1∪1,e];④⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫y ⎪⎪⎪⎪ y =⎩⎨⎧ 2x +25,x ∈[0,1,x +1x ,x ∈[1,2]. 其中“互倒集”的个数是( )A .4B .3C .2D .1解析:选C 对于①,当-2<a <2时为空集,所以①不是“互倒集”;对于②,{x |x 2-4x +1<0}={x |2-3<x <2+3},所以12+3<1x <12-3,即2-3<1x <2+3,所以②是“互倒集”;对于③,y ′=1-ln x x 2≥0,故函数y =ln x x是增函数,当x ∈⎣⎡⎭⎫1e ,1时,y ∈[-e,0),当x ∈(1,e]时,y ∈⎝⎛⎦⎤0,1e ,所以③不是“互倒集”;对于④,y ∈⎣⎡⎭⎫25,125∪⎣⎡⎦⎤2,52=⎣⎡⎦⎤25,52且1y ∈⎣⎡⎦⎤25,52,所以④是“互倒集”.故选C.二.多选12. (多选)设P 是一个数集,且至少含有两个数,若对任意a ,b ∈P ,都有a +b ,a -b ,ab ,a b∈P (除数b ≠0),则称P 是一个数域,例如有理数集Q 是数域,下列命题中正确的是( )A .数域必含有0,1两个数B .整数集是数域C .若有理数集Q ⊆M ,则数集M 必为数域D .数域必为无限集答案 AD解析 当a =b 时,a -b =0,a b=1∈P ,故可知A 正确. 当a =1,b =2时,12∉Z 不满足条件,故可知B 不正确. 当M 比Q 多一个元素i 时,则会出现1+i ∉M ,所以它也不是一个数域,故可知C 不正确.根据数域的性质易得数域有无限多个元素,必为无限集,故可知D 正确.13.(多选)设S 为复数集C 的非空子集.若对任意x ,y ∈S ,都有x +y ,x -y ,xy ∈S ,则称S 为封闭集.下列命题中是真命题的有( )A .集合S ={a +b i|a ,b 为整数,i 为虚数单位}为封闭集B .若S 为封闭集,则一定有0∈SC .封闭集一定是无限集D .若S 为封闭集,则满足S ⊆T ⊆C 的任意集合T 也是封闭集答案 AB解析 两个复数的和、差、积仍是复数,且运算后的实部、虚部仍为整数,所以集合S ={a +b i|a ,b 为整数,i 为虚数单位}为封闭集,A 正确.当S 为封闭集时,因为x -y ∈S ,取x =y ,得0∈S ,B 正确.对于集合S ={0},显然满足所有条件,但S 是有限集,C 错误.取S ={0},T ={0,1},满足S ⊆T ⊆C ,但由于0-1=-1不属于T ,故T 不是封闭集,D 错误.三.填空14. 对于集合M ,定义函数f M (x )=⎩⎪⎨⎪⎧-1,x ∈M ,1,x ∉M .对于两个集合A ,B ,定义集合A △B ={x |f A (x )·f B (x )=-1}.已知A ={2,4,6,8,10},B ={1,2,4,8,12},则用列举法写出集合A △B 的结果为________.答案 {1,6,10,12}解析 要使f A (x )·f B (x )=-1,必有x ∈{x |x ∈A 且x ∉B }∪{x |x ∈B 且x ∉A }={1,6,10,12},所以A △B ={1,6,10,12}.15.当两个集合有公共元素,且互不为对方的子集时,我们称这两个集合“相交”.对于集合M ={x |ax 2-1=0,a >0},N =⎩⎨⎧⎭⎬⎫-12,12,1,若M 与N “相交”,则a =________. 答案 1解析 M =⎩⎨⎧⎭⎬⎫-1a ,1a ,由1a =12,得a =4,由1a=1,得a =1. 当a =4时,M =⎩⎨⎧⎭⎬⎫-12,12,此时M ⊆N ,不合题意; 当a =1时,M ={-1,1},满足题意.四.解答题16.已知集合A ={x |3≤3x ≤27},B ={x |log 2x >1}.(1)分别求A ∩B ,(∁R B )∪A ;(2)已知集合C ={x |1<x <a },若C ⊆A ,求实数a 的取值范围.解:(1)∵3≤3x ≤27,即31≤3x ≤33,∴1≤x ≤3,∴A ={x |1≤x ≤3}.∵log 2x >1,即log 2x >log 22,∴x >2,∴B ={x |x >2}.∴A ∩B ={x |2<x ≤3}.∴∁R B ={x |x ≤2},∴(∁R B )∪A ={x |x ≤3}.(2)由(1)知A ={x |1≤x ≤3},C ⊆A .当C 为空集时,满足C ⊆A ,a ≤1;当C 为非空集合时,可得1<a ≤3.综上所述,实数a的取值范围是(-∞,3].。
集合中常见的几类问题题型1:元素的互异性常见出错点:求出参数范围忘记带回检验,导致增根1、已知 A={a+2,(a+1) 2,a2+3a+3}且 1€ A,求实数 a 的值;2、已知 M={2, a, b}, N={2a, 2, b2}且 M=N 求 a, b 的值.集合元素的“三性”及其应用23、设 A={xl x + (b+ 2)x + b+ 1=0,b^ R},求A中所有元素之和.已知集合A ={a, a b, a 2b} , B ={a,ac,ac2},若A = B,求c 的值2^ 2 n A4、已知集合A二{2 ,3, a +4a +2} , B ={0,7, a +4a-2,2- a},且 A B={3,7},求a值题型2、有限集之间的关系用韦恩图1、全集 U={x|x<10 , x € N } , A U, B 匕且(C u B)GA={1,9} , AH B={3},(C U A) H (C U B)={4,6,7},求A Bo题型3:证明、判断两集合的关系1、设集合A 二{a|a =3n • 2,n • Z},集合B ={b|b =3k -1K Z},试判断集合 A、B的关系题型4、无限集之间的关系用数轴2、集合 A={x||x-3| va, a>0}, B={x|x -3x+2 v 0},且 B^A,则实数 a 的取值范围是搞不清楚是否能取得边界值:例题 3、A={x|x< — 2 或 x>10}, B={x|x<1 — m或 x>1 + m}且 B A,求 m的范围.题型5、集合之间的关系(在方程、不等式中的考查)常见出错点:1、集合的关系判断中遗忘空集的情况2、集合所表示的是点集还是数集(点集多从图形的角度去考虑)3、集合中所涉及到的方程或不等式最高次数如果是字母要讨论0的情况1、设集合 A」xx2 -3x 2=0^, B」xx2 2(a 1)x (a2 -5) =0:'(1)若A B」2l,求实数a的值;(2)若A B=A,求实数a的取值范围若A B J2?。
一、判断题(每题1分,共10分。
在括号内划“√”或“×”)(√)1、( q → p ) ∨﹁p是永真公式。
(×)2、若关系R具有自反性,则R一定不具有反自反性。
(×)3、设A、B为任意集合,若A×B = B×A,则A = B。
(√)4、4个顶点3条边的非同构无向简单图共有3个。
(×)5、度数序列相同的图一定是同构的。
(√)6、代数系统< Z6, ⊕6, ⊙6>是一个有限域。
(×)7、设G是连通平面图,G中有6个顶点8条边,则G恰有4个面。
(×)8、循环群一定是阿贝尔群。
(×)9、群中只有幺元是幂等元。
(×)10、强连通图一定是欧拉图。
二、选择题(每题2分,共20分。
每题有1-2个正确答案)1、在整数个体域上,下列各式中真值为真的有(BD )。
A、(∀x) (∃y)( xy=1)B、(∀x) (∃y)( xy= 0)C、(∃x) (∀y)( xy=1)D、(∃x) (∃y)( xy= 2)2、令F(x):x是劳动,G(y):y是机器,H(x, y):x可以用y代替,则命题“并非一切劳动都能用机器代替”可符号化为(AB)。
A、﹁(∀x)( F(x) → (∃y)( G(y) ∧ H(x, y)))B、(∃x)( F(x) ∧ (∀y)( G(y) →﹁H(x, y)))C、﹁(∀x)( F(x) ∧ (∃y)( G(y) → H(x, y)))D、(∃x)( F(x) → (∃y)( G(y) →﹁H(x, y)))3、下列公式中与公式p→(q→r)等值的有(AD )。
A、((p∧q)→r)B、(p∨q)→rC、p→(q∧r)D、q →( p→r)4、下列语句是命题的有( D )。
A、但愿中国队能取胜B、这个语句是假的C、x + y > 10D、牙好,胃口就好5、下列度数序列能构成无向简单图的度数序列的有(BC )。
题型一、填空题1、设集合A有n个元素,那么A的幂集P(A)的元素个数为____________。
2、谓词公式∃xF(x)→Q(x,y)中的前束范式为______________。
3、设集合A={a,b,{a,b}},B={{a,b}},则B-A=_____________。
4、设集合A={0,1},B={1,2},则A×B=_____________________________________。
5.已知图G中有1个1度结点,2个2度结点,3个3度结点,则G的边数是。
二、单项选择题1、下列各命题中真值为真的命题有()。
A. 2+2=4当且仅当3是奇数B. 2+2=4当且仅当3不是奇数C. 2+2≠4当且仅当3是奇数D. 2+2=4仅当3不是奇数2、设个体域D={a,b},与公式)∀等价的公式是( )。
xA(xA. )aAA∨ D. ))((b(aA→bA()(bAa(bA→ C. )(A∧ B. ))Aa)(3、令F(x):x是人,G(x):x是犯错误,则命题“没有不犯错误的人”可符号化为()。
A.))G)x(→(⌝∃x⌝F(x()((xGx∧Fx∀ B.))C.))(x()Gx∧x⌝F(⌝∃()((xGx∧Fx⌝∃ D.))4、下列命题公式不是永真式的是( )。
A. p∨p→q⌝ D. pq(→)p∨→ C. )→)p→q( B . )(pp→q(p5、设X={1,2,3},Y={a,b,c},f={<1,b>,<2,a>,<3,a>},则以下命题正确的是( )。
A.f是从X到Y的二元关系,但不是从X到Y的函数B.f是从X到Y的函数,但不是满射的,也不是单射的C.f是从X到Y的满射,但不是单射D.f是从X到Y的双射6、设集合A={a, b, c},A上的二元关系R={<a,a>, <a,c>, <c,a>},则R是( )。
网络学院离散数学模拟试题1 考试时间120 分钟考试方式:开卷专业年级姓名学号一、选择填空题(每个空格3分,共30分)1.设A,B是集合,且φA,则_____必定成立。
D-B=A.A=B B.B⊆A C.A∩B=φD.A⊆B 2.{φ,{φ}}-φ=_____;CA. φ B. {φ} C. {φ,{φ}} D. {{φ}}3.设集合A={{0}},则P(A) =_____。
DA. P(P({0}))B. P({0})∪φC. P({0})∪{{0}}D. {φ,{{0}}}4.设有集合A={1,2,3,4},则从A到{0,1}的不同的函数有____个。
EA.0 B.1 C.4 D.12 E. 16 F. 24 G. 32 5.设G=(a)为12阶循环群,则G没有____阶子群。
EA.1 B.2 C.3 D.4 E. 5 F. 66.凡_____都满足消去律。
DA. 代数系统B. 半群C. 独异点D. 群7.从无向完全图K中至少删除____条边后,所得的图将成为平面图。
B5A.0 B.1 C.2 D.38.若无向图G是有99个结点,9个连通分量,则G中的边数必_____。
C A. ≤90 B. =90 C. ≥90 D. =100 E. ≥1009.下列句子中为命题的是_____。
AA.今天不是星期六。
B.考场内禁用手机!C.今天是周末吗?D.今天真冷呀!10. 任意两个不同极大项的析取式必为______。
AA. 永真公式B. 可满足公式C. 永假公式D. 等值公式二、求出谓词公式(,)(,,)u v F u v w G u v w ∃∃→∀的前束范式。
(10分)解:(,)(,,)u v F u v w G u v w ∃∃→∀ ⇔1111(,)(,,)u u F u v w G u v w ∃∃→∀ ⇔111(,)(,,)u v F u v w G u v w ⌝∃∃∨∀ ⇔1111(,)(,,)u y F u v w G u v w ∀∀⌝∨∀⇔1111(,)(,,)u v wF u vG u v w ∀∀∀⌝∨()三、用形式证明的方法证明下列论证的有效性:“本班有些同学是有经验的C++程序员,任何C++程序员都知道对象的概念。
全国2006年4月高等教育自学考试离散数学试卷课程代码:02324一、单项选择题<本大题共15小题,每小题1分,共15分)在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的,请将其代码填写在题后的括号内。
错选、多选或未选均无分。
1.下列命题公式为重言式的是< )A.p→ (p∨q>B.(p∨┐p>→qC.q∧┐q D.p→┐q2.下列语句中不是..命题的只有< )A.这个语句是假的。
B.1+1=1.0C.飞碟来自地球外的星球。
D.凡石头都可练成金。
3.设p:我很累,q:我去学习,命题:“除非我很累,否则我就去学习”的符号化正确的是A.┐p∧qB.┐p→qC.┐p→┐q D.p→┐q4.下列等价式正确的是< )A.┐)))()((∀(⇔y∀∀∃x)x∃A(x(⇔)Axy∃┐A B.AC.┐)Axxx(xB)(x⇔(∧∀∀∨Ax∀xBx∃⇔∀┐A D.)A(x)(()(())))()(5.在公式)yxQyPz∀∃中变元y是< )P∧→x∃yy()))(,(z()())((,A.自由变元B.约束变元C.既是自由变元,又是约束变元D.既不是自由变元,又不是约束变元6.设A={1,2,3},A上二元关系S={<1,1>,<1,2>,<3,2>,<3,3>},则S是< )A.自反关系B.反自反关系C.对称关系D.传递关系7.设集合X为人的全体,在X上定义关系R、S为R={<a,b|a,b∈X∧a是b的父亲},S={<a,b>|a,b∈X∧a是b的母亲},那么关系{<a,b>|a,b∈x∧a是b的祖母}的表达式为< )A.R S B.R-1 SC.S R D.R S-18.设A是正整数集,R={(x,y>|x,y∈A∧x+3y=12},则R∩({2,3,4,6}×{2,3,4,6}>=< )A.O/B.{<3,3>}C.{<3,3>,<6,2>}D.{<3,3>,<6,2>,<9,1>}9.下列式子不正确的是< )A.(A-B>-C=(A-C>-B B.(A-B>-C=A-(B∪C>C.(A-B>-C=(A-C>-(B-C> D.A-(B∪C>=(A-B>∪ C10.下列命题正确的是< )A.{l,2}⊆{{1,2},{l,2,3},1}B.{1,2}⊆{1,{l,2},{l,2,3},2}C.{1,2}⊆{{1},{2},{1,2}}D.{1,2}∈{1,2,{2},{l,2,3}}11.在下列代数系统中,不是环的只有< )A.<Z,+,*>,其中Z为整数集,+,*分别为整数加法和乘法。
线性空间中的基本定义及性质线性空间是现今数学中的一个基础概念。
它在向量、矩阵、微积分、拓扑等多个数学分支中都有广泛的应用。
本文将简单介绍线性空间的基本定义及其性质。
一、线性空间的基本定义线性空间是一种包含数个元素的空间,其内部具有向量加法运算和数乘运算。
具体来说,设V为一个非空集合,其中的元素称为向量。
若V上有两种运算,一种为向量加法运算,用+表示,另一种为数乘运算,用·表示,则称(V, +, ·)为一个线性空间,满足以下条件:1.加法交换律:对任意u,v∈V,有u+v=v+u;2.加法结合律:对任意u,v,w∈V,有(u+v)+w=u+(v+w);3.存在零向量:存在一个元素0∈V,使得对任意u∈V,有u+0=u;4.对任意向量u∈V,存在相反元素:对任意u∈V,存在一个元素-v∈V,使得u+(-v)=0;5.数乘结合律:对任意α,α∈R,u∈V,有(αα)u=α(αu);6.分配律:对任意α∈R,u,v∈V,有α(u+v)=αu+αv,(α+α)u=αu+αu;7.标量乘法:对任意u∈V,有1u=u。
在以上定义中,R表示实数集合上的乘法运算。
二、线性空间的性质线性空间的定义虽然简单,但它带来了许多重要的性质。
以下是几个典型的例子:1. 零向量唯一性:线性空间中仅存在一个零向量,任何向量加上该零向量等于其本身。
2. 相反元素唯一性:线性空间中任一向量的相反元素是唯一的。
3. 线性组合性质:设{u1,u2,...,un}为V中的向量。
{a1,a2,...,an}为任意实数,则线性组合a1u1+a2u2+...+anun∈V。
其中,每个ai乘以ui叫做向量ui 的系数。
4. 子空间的定义:设V为一个线性空间,如果它的子集W满足:(1)对于任意向量u,v∈W,u+v∈W;(2)对于任意α∈R,u∈W,有αu∈W;则称W是V的一个子空间。
5. 线性无关性:设V为一个线性空间,{u1,u2,...,un}为其中的向量。