初一因式分解的方法和能力提高训练

专题29 分组分解法因式分解【例题讲解】将一个多项式分组后，可提公因式或运用公式继续分解的方法是因式分解中的分组分解法，一般的分组分解法有四种形式，即“2+2”分法、“3+1”分法、“3+2”分法及“3+3”分法等．如“2+2”分法：ax+ay+bx+by=（ax+ay ）+（bx+by ）=a （x+y ）+b （x+y ）=（x+y ）（a+b ）请你仿照以上方法，探索并解决下列问题：（1）分解因式：x 2﹣y 2﹣x ﹣y ；（2）分解因式：9m 2﹣4x 2+4xy ﹣y 2；（3）分解因式：4a 2+4a ﹣4a 2b 2﹣b 2﹣4ab 2+1． 试题解析：（1）x2﹣y2﹣x ﹣y=（x2﹣y2）﹣（x+y ）=（x+y ）（x ﹣y ）﹣（x+y ）=（x+y ）（x ﹣y ﹣1）；（2）9m2﹣4x2+4xy ﹣y2=9m2﹣（4x2﹣4xy+y2）=（3m ）2﹣（2x ﹣y ）2=（3m+2x ﹣y ）（3m ﹣2x+y ）；（3）4a2+4a ﹣4a2b2﹣b2﹣4ab2+1=（2a+1）2﹣b2（2a+1）2=（2a+1）2（1+b ）（1﹣b ）．【综合解答】1．先阅读以下材料，然后解答问题，分解因式．mx nx my ny +++()()mx nx my ny =+++()()x m n y m n =+++()()m n x y =++；也可以mx nx my ny +++()()mx my nx ny =+++()()m x y n x y =+++()()m n x y =++．以上分解因式的方法称为分组分解法，(1)请用分组分解法分解下列因式：①2()--+a x y x y②2244x y x --+(2)拓展延伸①若22228160x xy y x -+-+=求x ，y 的值；②求当x 、y 分别为多少时？代数式22512986x xy y x -+++有最小的值，最小的值是多少？2．先阅读下列材料：我们已经学过将一个多项式分解因式的方法有提公因式法和运用公式法，其实分解因式的方法还有分组分解法、拆项法、十字相乘法等等．分组分解法：将一个多项式适当分组后，可提公因式或运用公式继续分解的方法．如：()()()()ax by bx ay ax bx ay by x a b y a b +++=+++=+++()()22222121()1(1)2(1)a b x y x y x x xy y x x y y y x y -+=++-=+-=+++=+-++拆项法：将一个多项式的某一项拆成两项后，可提公因式或运用公式继续分解的方法．如：222223214(1)2(12)(12)(3)(1)x x x x x x x x x +-=++-=+-=+++-=+-请你仿照以上方法，探索并解决下列问题：(1)分解因式：2244a a b --+；(2)分解因式：267x x --；(3)若ABC 三边a 、b 、c 满足20a ab ac bc --+=，试判断ABC 的形状．3．先阅读材料：分解因式：22326a b a b -+-．解：22326a b a b -+-()223(26)a b a b =-+-2(3)2(3)a b b =-+-()2(3)2b a =-+以上解题过程中用到了“分组分解法”，即把多项式先分组，再分解．请你运用这种方法对下面多项式分解因式：2233x x y y +-+．4．阅读下列材料：因式分解的常用方法有提公因式法和公式法，但有的多项式仅用上述方法就无法分解，如22216x xy y -+-．我们细心观察这个式子就会发现，前三项符合完全平方公式，进行变形后可以与第四项结合再运用平方差公式进行分解，过程如下：22216x xy y -+-2()16x y =--(4)(4)x y x y =-+--．这种因式分解的方法叫分组分解法．利用这种分组的思想方法解决下列问题：(1)因式分解：226925a ab b -+-；(2)因式分解：22424x y x y --+．5．将一个多项式分组后，可提取公因式或运用公式继续分解的方法是分组分解法.例如，()()()()()()am an bm bn am an bm bn a m n b m n a b m n +++=+++=+++=++(1)因式分解：①22x y x y -++；②1ab a b --+；(2)若a ，b 都是正整数且满足60ab a b ---=，求2a b +的值．6．（1）将一个多项式分组后，可提公因式或运用公式继续分解的方法是分组分解法．例如：()()()()()()am an bm bn am an bm bn a m n b m n a b m n +++=+++=+++=++．①分解因式：1ab a b --+；②若,a b ()a b >都是正整数且满足40ab a b ---=，求a b +的值；（2）若,a b 为实数且满足40ab a b ---=，225332s a ab b a b =+++-，求s 的最小值．7．观察“探究性学习”小组甲、乙两名同学进行的因式分解：甲：244x xy x y -+-()2(44)x xy x y =-+-（分成两组） ()4()x x y x y =-+-（直接提公因式）()(4)x y x =-+．乙：2222a b c bc --+()2222a b c bc =-+-（分成两组）22()a b c =--（直接运用公式）()()a b c a b c =+--+（再用平方差公式）请你在他们解法的启发下，把下列各式分解因式：（1）32248m m m --+（2）2229x xy y -+-．8．阅读理解：如何将326xy x y +++进行因式分解呢？小明同学是这样做的：326xy x y +++(3)(26)xy x y =+++(3)2(3)x y y =+++(2)(3)x y =++我们把这种将多项式先分组，分别变形，再进行分解因式的方法叫分组分解法．【尝试应用】借助上述方法因式分解①5420xy x y +++=__________；②8972ab a b +--=__________；③xy ax by ab +++=___________；【拓展提高】若整数x ，y 满足64970xy x y +--=，求x ，y 的值．9．用分组分解法分解下列因式：（1）2a ab ac bc -+-（2）222ax by cx ay bx cy ++---（3）22am am bm bm +--（4）321a a a --+（5）222a ab b a b -++-（6）22296x z y xy -+-10．把下列多项式分解因式：（1）22442a ab b ac bc ++--（2）222ax bx bx ax cx cx +++++（3）222222a b x y ay bx --+-+（4）()()()222241211y x y x y +--+- 11．请先阅读下列文字与例题，再回答后面的问题：当因式分解中，无法直接运用提取公因式和乘法公式时，我们往往可以尝试一个多项式分组后，再运用提取公因式或乘法公式继续分解的方法是分组分解法．例如：（1）am an bm bn +++=()()am an bm bn +++=()()a m n b m n +++=()()m n a b ++（2）2221x y y ---=()2221x y y -++ =()221x y -+=()()11x y x y ++--（1）根据上面的知识，我们可以将下列多项式进行因式分解： ax ay bx by --+=(_____________)-(____________)=(_____________)-(____________)=(_____________)(_____________)；22x y x y -+-=(_____________)+(____________)=(_____________)+(____________)=(_____________)(______________)．（2）分解下列因式：①ab ac b c -+-；②222496b a ac c -+-+．12．观察下面的分解因式过程，说说你发现了什么.例：把多项式am ＋an ＋bm ＋bn 分解因式.解法1：am ＋an ＋bm ＋bn＝（am ＋an ）＋（bm ＋bn ）＝ a （m ＋n ）＋b （m ＋n ）＝（m ＋n ）（a ＋b ）.解法2：am ＋an ＋bm ＋bn＝（am ＋bm ）＋（an ＋bn ）＝ m （a ＋b ）＋n （a ＋b ）＝（a ＋b ）（m ＋n ）.根据你的发现，把下面的多项式分解因式:(1)mx －my ＋nx －ny ；(2)2a ＋4b －3ma －6mb.13．先阅读下面的材料，再分解因式．要把多项式am an bm bn +++分解因式，可以先把它的前两项分成组，并提出a ，把它的后两项分成组，并提出b ，从而得()()am an bm bn a m n b m n +++=+++．这时，由于()()a m n b m n +++中又有公因式()m n +，于是可提公因式()m n +，从而得到()()m n a b ++，因此有+++am an bm bn()()=+++am an bm bn()()a m nb m n=+++()()=++．m n a b这种因式分解的方法叫做分组分解法，如果把一个多项式各个项分组并提出公因式后，它们的另一个因式正好相同，那么这个多项式就可以利用分组分解法来因式分解．请用上面材料中提供的方法因式分解：()2-+-1ab ac bc b()()=（请你完成分解因式下面的过程）---a b c b b c=______()2-+-；2m mn mx nx()222--+．x y x y y3248专题29 分组分解法因式分解【例题讲解】将一个多项式分组后，可提公因式或运用公式继续分解的方法是因式分解中的分组分解法，一般的分组分解法有四种形式，即“2+2”分法、“3+1”分法、“3+2”分法及“3+3”分法等．如“2+2”分法：ax+ay+bx+by=（ax+ay ）+（bx+by ）=a （x+y ）+b （x+y ）=（x+y ）（a+b ）请你仿照以上方法，探索并解决下列问题：（1）分解因式：x 2﹣y 2﹣x ﹣y ；（2）分解因式：9m 2﹣4x 2+4xy ﹣y 2；（3）分解因式：4a 2+4a ﹣4a 2b 2﹣b 2﹣4ab 2+1． 试题解析：（1）x2﹣y2﹣x ﹣y=（x2﹣y2）﹣（x+y ）=（x+y ）（x ﹣y ）﹣（x+y ）=（x+y ）（x ﹣y ﹣1）；（2）9m2﹣4x2+4xy ﹣y2=9m2﹣（4x2﹣4xy+y2）=（3m ）2﹣（2x ﹣y ）2=（3m+2x ﹣y ）（3m ﹣2x+y ）；（3）4a2+4a ﹣4a2b2﹣b2﹣4ab2+1=（2a+1）2﹣b2（2a+1）2=（2a+1）2（1+b ）（1﹣b ）．【综合解答】1．先阅读以下材料，然后解答问题，分解因式．mx nx my ny +++()()mx nx my ny =+++()()x m n y m n =+++()()m n x y =++；也可以mx nx my ny +++()()mx my nx ny =+++()()m x y n x y =+++()()m n x y =++．以上分解因式的方法称为分组分解法，(1)请用分组分解法分解下列因式：①2()--+a x y x y②2244x y x --+(2)拓展延伸①若22228160x xy y x -+-+=求x ，y 的值；②求当x 、y 分别为多少时？代数式22512986x xy y x -+++有最小的值，最小的值是多少？ ①222x xy -22xy y ++)(24y x +-)20y =，(②2512x xy -2412x xy -()23x y -(23x y ∴-23x y ∴=83y ∴=-，2．先阅读下列材料：我们已经学过将一个多项式分解因式的方法有提公因式法和运用公式法，其实分解因式的方法还有分组分解法、拆项法、十字相乘法等等．分组分解法：将一个多项式适当分组后，可提公因式或运用公式继续分解的方法．如：()()()()ax by bx ay ax bx ay by x a b y a b +++=+++=+++()()22222121()1(1)2(1)a b x y x y x x xy y x x y y y x y -+=++-=+-=+++=+-++拆项法：将一个多项式的某一项拆成两项后，可提公因式或运用公式继续分解的方法．如：222223214(1)2(12)(12)(3)(1)x x x x x x x x x +-=++-=+-=+++-=+-请你仿照以上方法，探索并解决下列问题：(1)分解因式：2244a a b --+；(2)分解因式：267x x --；(3)若ABC 三边a 、b 、c 满足20a ab ac bc --+=，试判断ABC 的形状．【答案】(1)(2)(2)a b a b +---(2)(7)(1)x x -+(3)等腰三角形，理由见解析【分析】（1）将一、二、四项结合用完全平方公式分解因式，然后再用平方差公式分解因式；（2）把-6x 拆成-7x +x ，再用分组分解法进行解答；（2）先把等式左边分解成因式的积，根据积为0的因式的特点得出a 、b 、c 之间的关系便可．【解答】（1）2244a a b --+=a 2-4a +4-b 2=（a -2）2-b 2=（a +b -2）（a -b -2）；（2）267x x --=x 2-7x +x -7=x （x -7）+（x -7）=（x -7）（x +1）（3）∵a 2-ab -ac +bc =0，∴a （a -b ）-c （a -b ）=0，∴（a -b ）（a -c ）=0，∴a -b =0或a -c =0，∴a =b 或a =c ，∴△ABC 是等腰三角形．【点评】本题考查了因式分解的应用，等腰三角形的定义，掌握每一种因式分解的方法在不同题型中的熟练应用是解题关键．3．先阅读材料：分解因式：22326a b a b -+-．解：22326a b a b -+-()223(26)a b a b =-+-2(3)2(3)a b b =-+-()2(3)2b a =-+以上解题过程中用到了“分组分解法”，即把多项式先分组，再分解．请你运用这种方法对下面多项式分解因式：2233x x y y +-+．【答案】见解析【分析】仿照例题，利用分组分解法因式分解，然后利用公式法和提公因式法因式分解即可求解．【解答】解：2233x x y y +-+()()2233x y x y =-++ ()()()3x y x y x y =+-++()()3x y x y =+-+【点评】本题考查了因式分解，理解例题中的分组分解法是解题的关键．4．阅读下列材料：因式分解的常用方法有提公因式法和公式法，但有的多项式仅用上述方法就无法分解，如22216x xy y -+-．我们细心观察这个式子就会发现，前三项符合完全平方公式，进行变形后可以与第四项结合再运用平方差公式进行分解，过程如下：22216x xy y -+-2()16x y =--(4)(4)x y x y =-+--．这种因式分解的方法叫分组分解法．利用这种分组的思想方法解决下列问题：(1)因式分解：226925a ab b -+-；(2)因式分解：22424x y x y --+． 【答案】(1)()()3535a b a b ---+(2)()()222x y x y -+-【分析】（1）先将代数式进行分组，然后再根据公式法和提取公因式法进行因式分解即可；（2）先将代数式进行分组，然后再根据公式法和提取公因式法进行因式分解即可．（1）解：226925a ab b -+-，()22=6925a ab b -+-，()22=35a b --， ()()3535=a b a b ---+；（2）解：22424x y x y --+，()()22=42-4x y x y --，()()()=2+22-2x y x y x y --，()()222=x y x y -+-．【点评】本题考查了用分组分解法对超过3项的多项式进行因式分解，合理分组是解题的关键，综合运用因式分解的几种方法是重难点．5．将一个多项式分组后，可提取公因式或运用公式继续分解的方法是分组分解法.例如，()()()()()()am an bm bn am an bm bn a m n b m n a b m n +++=+++=+++=++(1)因式分解：①22x y x y -++；②1ab a b --+；(2)若a ，b 都是正整数且满足60ab a b ---=，求2a b +的值． 【答案】(1)①(x +y )(x -y +1)；②(a -1)(b -1)(2)12或18【分析】（1）模仿例题，利用分组分解法进行因式分解即可；（2）利用（1）题结论进行讨论，即可求解．(1)解：①原式=(x +y )(x -y )+ (x +y )=(x +y )(x -y +1)；②原式=a (b -1)- (b -1)=(a -1)(b -1)；(2)解：由（1）②可知，(a -1)(b -1)=7，∵a ，b 都是正整数，∴a -1，b -1都是整数，∴1117a b -=⎧⎨-=⎩或1711a b -=⎧⎨-=⎩， 解得28a b =⎧⎨=⎩或82a b =⎧⎨=⎩， 当a =2，b =8时，2a +b =2×2+8=12；当a =8，b =2时，2a +b =2×8+2=18；∴2a +b 的值为12或18．【点评】此题考查了因式分解以及利用因式分解求代数式的值的能力，关键是正确地对整式进行因式分解．6．（1）将一个多项式分组后，可提公因式或运用公式继续分解的方法是分组分解法．例如：()()()()()()am an bm bn am an bm bn a m n b m n a b m n +++=+++=+++=++．①分解因式：1ab a b --+；②若,a b ()a b >都是正整数且满足40ab a b ---=，求a b +的值；（2）若,a b 为实数且满足40ab a b ---=，225332s a ab b a b =+++-，求s 的最小值．7．观察“探究性学习”小组甲、乙两名同学进行的因式分解：甲：244x xy x y -+-()2(44)x xy x y =-+-（分成两组）()4()x x y x y =-+-（直接提公因式）()(4)x y x =-+．乙：2222a b c bc --+()2222a b c bc =-+-（分成两组）22()a b c =--（直接运用公式）()()a b c a b c =+--+（再用平方差公式）请你在他们解法的启发下，把下列各式分解因式：（1）32248m m m --+（2）2229x xy y -+-． 【答案】（1）2(2)(2)m m -+；（2）(3)(3)x y x y -+--【分析】（1）先分组因式分解，再提公因式即可求解；（2）先分组因式分解，再利用平方差公式即可求解．【解答】解：（1）原式22(2)4(2)(2)(2)m m m m m =---=-+；（2）原式2()9(3)(3)x y x y x y =--=-+--．【点评】此题主要考查因式分解，解题的关键是根据题中的方法进行灵活运用进行因式分解．8．阅读理解：如何将326xy x y +++进行因式分解呢？小明同学是这样做的：326xy x y +++(3)(26)xy x y =+++(3)2(3)x y y =+++(2)(3)x y =++我们把这种将多项式先分组，分别变形，再进行分解因式的方法叫分组分解法．【尝试应用】借助上述方法因式分解①5420xy x y +++=__________；②8972ab a b +--=__________；③xy ax by ab +++=___________；【拓展提高】若整数x ，y 满足64970xy x y +--=，求x ，y 的值． 【答案】[尝试应用] ①()()45x y ++；②()()98a b -+；③()()x b a y ++；[拓展提高] x =1，y =-1【分析】[尝试应用] ①②③利用分组分解法解答即可；[拓展提高]原方程变形为：（2x -3）（3y +2）=1，根据题意有2x -3=1，3y +2=1，或2x -3=-1，3y +2=-1，即可求出方程的整数解．【解答】解：[尝试应用]①5420xy x y +++=()()545x y y +++=()()45x y ++；9．用分组分解法分解下列因式：（1）2a ab ac bc -+-（2）222ax by cx ay bx cy ++---（3）22am am bm bm +--（4）321a a a --+（5）222a ab b a b -++-（6）22296x z y xy -+-【答案】（1）()()a c a b +-；（2）()()2x y a b c --+；（3）()()1m a b m -+；（4）()()211a a +-；（5）()()1a b a b --+；（6）()()33x y z x y z -+--【分析】利用分组分解法运算即可．【解答】解：（1）2a ab ac bc -+-=()()a a b c a b -+-=()()a c a b +-；（2）222ax by cx ay bx cy ++---=222ax bx cx by ay cy -++--=()()2a b c x y a b c -+--+=()()2x y a b c --+；（3）22am am bm bm +--=22am bm am bm -+-=()()2a b m a b m -+- =()()1m a b m -+；（4）321a a a --+=()()321a a a ---=()()2211a a a ---=()()211a a +-；（5）222a ab b a b -++-=()()2a b a b -+-=()()1a b a b --+；（6）22296x z y xy -+-=22296x xy y z -+-=()223x y z --=()()33x y z x y z -+--【点评】本题考查了因式分解，熟练掌握分组分解法是解此题的关键．10．把下列多项式分解因式：（1）22442a ab b ac bc ++--（2）222ax bx bx ax cx cx +++++（3）222222a b x y ay bx --+-+（4）()()()222241211y x y x y +--+- 【答案】（1）()()22a b c a b +-+；（2）()()1x x a b c +++；（3）()()x a b y x a b y ---++--；（4）()2221x y x y -++ 【分析】（1）（2）（3）利用分组分解法分解即可；（4）利用完全平方公式分解即可．【解答】解：（1）22442a ab b ac bc ++--=()()222a b c a b +-+=()()22a b c a b +-+；（2）222ax bx bx ax cx cx +++++=()()222ax bx cx ax bx cx +++++ =()()2a b c x a b c x +++++=()()1x x a b c +++；（3）222222a b x y ay bx --+-+=()222222a ay y b x bx -+-+-=()()22a yb x ---=()()()()a y b x a y b x -+----⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦=()()x a b y x a b y ---++--；（4）()()()222241211y x y x y +--+- =()()()()222412111y x y y x y +-+-+-=()()2211y x y ⎡⎤+--⎣⎦ =()2221x y x y -++ 【点评】本题考查了因式分解，解题的关键是根据所给代数式的形式灵活选择方法．11．请先阅读下列文字与例题，再回答后面的问题：当因式分解中，无法直接运用提取公因式和乘法公式时，我们往往可以尝试一个多项式分组后，再运用提取公因式或乘法公式继续分解的方法是分组分解法．例如：（1）am an bm bn +++=()()am an bm bn +++=()()a m n b m n +++=()()m n a b ++（2）2221x y y ---=()2221x y y -++ =()221x y -+=()()11x y x y ++--（1）根据上面的知识，我们可以将下列多项式进行因式分解： ax ay bx by --+=(_____________)-(____________)=(_____________)-(____________)=(_____________)(_____________)；22x y x y -+-=(_____________)+(____________)=(_____________)+(____________)=(_____________)(______________)．（2）分解下列因式：①ab ac b c -+-；②222496b a ac c -+-+．【答案】（1）ax ay -；bx by -；()a x y -；()-b x y ；x y -；a b -；22x y -；x y -；()()x y x y -+；x y -；x y -；1x y ++；（2）①()()1-+b c a ；②()()3232-+--a c b a c b【分析】（1）利用分组分解法结合提公因式法和平方差公式因式分解即可；（2）①利用分组分解法结合提公因式法因式分解即可；②利用分组分解法结合公式法因式分解即可；【解答】解：（1）ax ay bx by --+=(ax ay -)-(bx by -)=()a x y --()-b x y = (x y -)(a b -)；22x y x y -+-=(22x y -)+(x y -)=()()x y x y -+ +(x y -)=()()1-++x y x y故答案为：ax ay -；bx by -；()a x y -；()-b x y ；x y -；a b -；22x y -；x y -；()()x y x y -+；x y -；x y -；1x y ++；（2）①ab ac b c -+-=()()-+-a b c b c=()()1-+b c a②222496b a ac c -+-+=()222496-+-+b a ac c =()2234--a c b=()()3232-+--a c b a c b【点评】此题考查的是因式分解，掌握利用分组分解法结合提公因式法和公式法因式分解是解决此题的关键．12．观察下面的分解因式过程，说说你发现了什么.例：把多项式am ＋an ＋bm ＋bn 分解因式.解法1：am ＋an ＋bm ＋bn＝（am ＋an ）＋（bm ＋bn ）＝ a （m ＋n ）＋b （m ＋n ）＝（m ＋n ）（a ＋b ）.解法2：am ＋an ＋bm ＋bn＝（am ＋bm ）＋（an ＋bn ）＝ m （a ＋b ）＋n （a ＋b ）＝（a ＋b ）（m ＋n ）.根据你的发现，把下面的多项式分解因式:(1)mx －my ＋nx －ny ；(2)2a ＋4b －3ma －6mb.【答案】（1）（x －y ）（m ＋n ）；（2）（a ＋2b ）（2-3m ）【分析】(1)分组后提取公因式即可得到结果；(2)分组后提取公因式即可得到结果．【解答】解：(1)解法一：原式=m(x-y)+n(x-y)=(x-y)(m+n)解法二：原式=(mx+nx)-(my+ny)=x(m+n)-y(m+n)=(m+n)(x-y)(2)解法一：原式=2(a+2b)-3m(a+2b)=(a+2b)(2-3m)解法二：原式=(2a-3ma)+(4b-6mb)=a(2-3m)+2b(2-3m)=(2-3m)(a+2b)【点评】此题考查了因式分解-分组分解法，难点是采用两两分组还是三一分组．13．先阅读下面的材料，再分解因式．要把多项式am an bm bn +++分解因式，可以先把它的前两项分成组，并提出a ，把它的后两项分成组，并提出b ，从而得()()am an bm bn a m n b m n +++=+++．这时，由于()()a m n b m n +++中又有公因式()m n +，于是可提公因式()m n +，从而得到()()m n a b ++，因此有am an bm bn +++()()am an bm bn =+++()()a m n b m n =+++()()m n a b =++．这种因式分解的方法叫做分组分解法，如果把一个多项式各个项分组并提出公因式后，它们的另一个因式正好相同，那么这个多项式就可以利用分组分解法来因式分解．请用上面材料中提供的方法因式分解：()21ab ac bc b -+-()()a b c b b c ---=（请你完成分解因式下面的过程）=______()22m mn mx nx -+-；()2223248x y x y y --+． 【答案】(1)()()a b b c --；(2) （m +x ）（m -n ）；(3) （y -2）（x 2y -4）．【分析】如果把一个多项式各个项分组并提出公因式后，它们的另一个因式正好相同，那么这个多项式就可以利用分组分解法来因式分解．依此即可求解．【解答】解：（1）ab -ac +bc -b 2=a （b -c ）-b （b -c ）=（a -b ）（b -c ）；故答案为（a-b）（b-c）．（2）m2-mn+mx-nx=m（m-n）+x（m-n）=（m+x）（m-n）；（3）x2y2-2x2y-4y+8=x2y（y-2）-4（y-2）=（y-2）（x2y-4）．【点评】考查了因式分解-提公因式法，因式分解-分组分解法，本题采用两两分组的方式．。

《因式分解》提高测试（100分钟，100分）姓名 班级 学号一 选择题（每小题4分，共20分）：1．下列等式从左到右的变形是因式分解的是………………………………………（ ）（A ）（x ＋2）（x –2）＝x 2－4（B ）x 2－4＋3x ＝（x ＋2）（x –2）＋3x（C ）x 2－3x －4＝（x －4）（x ＋1）（D ）x 2＋2x －3＝（x ＋1）2－42．分解多项式 bc c b a 2222+--时，分组正确的是………………………（ ）（A ）（)2()222bc c b a --- （B ）bc c b a 2)(222+--（C ）)2()(222bc b c a --- （D ）)2(222bc c b a -+-3．当二次三项式 4x 2 ＋kx ＋25＝0是完全平方式时，k 的值是…………（ ）（A ）20 （B ） 10 （C ）－20 （D ）绝对值是20的数4．二项式15++-n n x x 作因式分解的结果，合于要求的选是………………（ ）（A ）)(4n n x x x -+ （B ）n x )(5x x -（C ）)1)(1)(1(21-+++x x x x n （D ）)1(41-+x x n5.若 a ＝－4b ，则对a 的任何值多项式 a 2＋3ab －4b 2 ＋2 的值………………（ ）（A ）总是2 （B ）总是0 （C ）总是1 （D ）是不确定的值二 把下列各式分解因式（每小题8分，共48分）：1．x n ＋4－169x n ＋2 （n 是自然数）； ２．（a ＋2b ）2－10（a ＋2b ）＋25；解： 解：3．2xy ＋9－x 2－y 2； ４．322)2()2(x a a a x a -+-；解： 解：5．16)3(8)3(222++-+m m m m ； 6．2222224)(y x z y x --+． 解： 解：三 下列整式是否能作因式分解？如果能，请完成因式分解（每小题10分，共20分）：1．xy y x 4)1)(1(22---； 2．13322)132(222-+-+-x x x x ． 解： 解：四 （本题12 分）作乘法：))((22y xy x y x +-+，))((22y xy x y x ++-１．这两个乘法的结果是什么？所得的这两个等式是否可以作为因式分解的公式使用？用它可以分解有怎样特点的多项式？２．用这两个公式把下列各式分解因式：（1）338b a +； （2）16-m ．选作题（本题20分）：证明：比4个连续正整数的乘积大1的数一定是某整数的平方．证明：《因式分解》提高测试 答案一.选择题（每小题4分，共20分）：答案：１．Ｃ；２．Ｄ；３．Ｄ；４．Ｄ；５．Ａ．二. 把下列各式分解因式（每小题8分，共48分）：1．x n ＋4－169x n ＋2 （n 是自然数）；解：x n ＋4－169x n ＋2 ＝x n ＋2（x 2－169） ＝x n ＋2（x ＋13）（x －13）；２．（a ＋2b ）2－10（a ＋2b ）＋25；解：（a ＋2b ）2－10（a ＋2b ）＋25 ＝（a ＋2b －5）2；3．2xy ＋9－x 2－y 2；解：2xy ＋9－x 2－y 2＝9－x 2＋2xy －y 2＝9－（x 2－2xy ＋y 2）＝32－（x －y ）2＝（3 ＋x －y ）（3－x ＋y ）；４．322)2()2(x a a a x a -+-；解：322)2()2(x a a a x a -+-＝322)2()2(a x a a x a ---＝[])2()2(2a x a a x a ---＝)2()2(2a x a a x a +--＝)3()2(2x a a x a --；5．16)3(8)3(222++-+m m m m ；解：16)3(8)3(222++-+m m m m＝222244)3(2)3(+⨯+-+m m m m＝16)3(8)3(222++-+m m m m＝[]224)3(-+m m ＝[]2)1)(4(-+m m＝22)1()4(-+m m ；6．2222224)(y x z y x --+．解：2222224)(y x z y x --+＝[]xy z y x 2)(222+-+[]xy z y x 2)(222--+＝[][]2222)()(z y x z y x ---+＝))()()((z y x z y x z y x z y x --+--+++．三. 下列整式是否可以作因式分解？如果可以，请完成因式分解（每#￥……小题10分，共20分）：1．xy y x 4)1)(1(22---；解：展开、整理后能因式分解．xy y x 4)1)(1(22---＝xy y x y x 4)1(2222-+--＝)2()12(2222y xy x xy y x ++-+-＝22)()1(y x xy +--＝)1(y x xy ++-)1(y x xy ---；2．13322)132(222-+-+-x x x x ．解：能，用换元法．13322)132(222-+-+-x x x x＝10)132(11)132(222++--+-x x x x＝)932)(32(22---x x x x＝)3)(32)(32(-+-x x x x .四.（本题12 分）作乘法：))((22y xy x y x +-+，))((22y xy x y x ++-１．这两个乘法的结果为什么？所得的这两个等式是否可以作为因式分解的公式使用？用它可以分解有怎样特点的多项式？２．用上面两个公式把下列各式分解因式：（1）338b a +； （2）16-m ．解：1．结果为3322))((y x y xy x y x +=+-+；3322))((y x y xy x y x -=++-．利用它们从右到左的变形，就可以对立方和或立方差的多项式作因式分解；2．（1）))(2()2(8223333b ab a b a b a b a +-+=+=+；（2）1)(1326-=-m m]1))[(1(2222++-=m m m)1)(1)(1(24++-+=m m m m ．选作题（本题20分）：证明：比4个连续正整数的乘积 大1的数一定是某整数的平方．证明：设n 为一个正整数，据题意，比4个连续正整数的乘积大1的数可以表示为A ＝n （n ＋1）（n ＋2）（n ＋3）＋1，于是，有A ＝ n （n ＋1）（n ＋2）（n ＋3）＋1＝（n 2＋3n ＋2）（n 2＋3n ）＋1＝（n 2＋3n ）2＋2（n 2＋3n ）＋1＝[（n 2＋3n ）＋1]2＝（n 2＋3n ＋1）2，。

因式分解的技巧因式分解是数学中常见的一种运算方法，它在代数运算和方程求解中起着重要的作用。

在解决因式分解问题时，我们需要掌握一些技巧和方法，以便能够准确快速地进行计算。

本文将介绍一些常用的因式分解技巧和方法，帮助读者更好地理解和掌握这一概念。

一、公因式提取法公因式提取法是因式分解中最常用的一种技巧。

它适用于多项式中含有公因式的情况。

具体步骤如下：1. 将多项式中的各项进行因式分解；2. 找出各项中的公因式；3. 将公因式提取出来，写在括号外；4. 再将去除公因式后的各项写在括号内。

例如，对于多项式3x + 6y，我们可以将公因式3提取出来，得到3(x + 2y)。

二、配方法配方法是解决二次三项式的因式分解问题时常用的技巧。

它适用于形如x² + bx + c的多项式。

具体步骤如下：1. 将多项式中的各项进行分解；2. 根据多项式的第一项和常数项，找到两个数的乘积等于常数项的绝对值，且和等于一次项的系数的绝对值；3. 将多项式根据找到的两个数进行分组；4. 在每个组内进行因式分解，并将结果写在一起。

例如，对于多项式x² + 5x + 6，我们可以找到两个数2和3，它们的乘积等于常数项6，且和等于一次项5。

因此，我们可以将多项式分解为(x + 2)(x + 3)。

三、平方差公式平方差公式是因式分解中常用的一种技巧，它适用于形如a² - b²的多项式。

平方差公式的形式为(a + b)(a - b)。

根据平方差公式，我们可以将多项式快速分解为两个因式：例如，对于多项式x² - 4，我们可以利用平方差公式将其分解为(x +2)(x - 2)。

四、完全平方公式完全平方公式是指一个二次三项式可以写成两个完全平方的形式相加或相减。

常见的完全平方公式有两种形式：1. (a + b)² = a² + 2ab + b²2. (a - b)² = a² - 2ab + b²根据完全平方公式，我们可以将二次三项式快速分解为两个完全平方。

初中因式分解的方法与技巧
因式分解是初中数学中一个重要的知识点，同时也是高中数学中不可或缺的一部分。

在初中阶段，因式分解主要用于解方程、求根以及求导等数学活动中。

以下是一些初中因式分解的方法和技巧:
1. 提公因式法：将等式中的某一个变量表示成全体因式，然后
再将其它部分表示成另一个因式，最后提公因式将两个因式相乘即可。

例如:
$$(x+2)(x+3) = x^2 + 5x + 6$$
2. 分组法：将等式中的某些项按照一定规律分组，然后再将其
它部分表示成另一个因式，最后分组相乘即可。

例如:
$$2x^2 + 3xy + 5y^2 = 2(x^2 + 2xy + y^2) + 3(y^2 + xy + x^2)$$ 3. 十字相乘法：将等式中的两个因式分别写成十字交叉的形式，然后再相乘并相加，最后得到另一个因式。

例如:
$$(x+2)(y+3) =xy + 3x + 2y + 6$$
4. 配方法：将等式中的某些项按照一定规律进行配方，然后再
将其它部分表示成另一个因式，最后配成平方的形式。

例如:
$$x^2 - 5x + 6 = (x-3)^2$$
5. 因式定理法：利用因式定理分解因式。

例如:
$$(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$$
以上是初中阶段一些常见的因式分解方法和技术。

掌握这些方法和技巧对于解方程、求根以及求导等数学活动都非常重要。

同时，也因式分解是高中数学中重要的基础之一，所以需要在初中阶段打好数
学基础，掌握这些技巧。

因式分解的方法与技巧一、巧拆项：在某些多项式的因式分解过程中，若将多项式的某一项（或几项）适当拆成几项的代数和，再用基本方法分解，会使问题化难为易，迎刃而解。

例1、因式分解 32422+++-b a b a解析：根据多项式的特点，把3拆成4+（-1），则32422+++-b a b a =)12()44(14242222+--++=-+++-b b a a b a b a =)3)(1()1()2(22+-++=--+b a b a b a例2、因式分解 611623+++x x x解析：根据多项式的特点,把26x 拆成2242x x +；把x 11拆成x x 38+则611623+++x x x =)63()84()2(223+++++x x x x x=)3)(2)(1()34)(2()2(3)2(4)2(22+++=+++=+++++x x x x x x x x x x x 练习：x 3-9x+8 （-x-8x ）（-1+9）（93-83）a 2+b 2+4a+2b+5a 2+b 2+4a+2b+3x 3－3x 2+4a 3+3a 2+3a+2二、巧添项：在某些多项式的因式分解过程中，若在所给多项式中加、减相同的项，再用基本方法分解，也可谓方法独特，新颖别致。

例3、因式分解444y x +解析：根据多项式的特点,在444y x +中添上22224,4y x y x -两项，则444y x +=2222224224)2()2(4)44(xy y x y x y y x x -+=-++=)22)(22(2222y xy x y xy x +-++例4、因式分解 4323+-x x解析：根据多项式的特点，将23x -拆成224x x +-，再添上x x 4,4-两项，则4323+-x x =4444223+-++-x x x x x=)1)(44()44()44(222++-=+-++-x x x x x x x x=2)2)(1(-+x x练习：3x 3+7x 2-4 x 5+x+1x 3-9x+8（添加-x 2+x 2）(1)x 9+x 6+x 3-3；(2)(m 2-1)(n 2-1)+4mn ；(3)(x+1)4+(x 2-1)2+(x-1)4；(4)a 3b-ab 3+a 2+b 2+1．三、巧换元：在某些多项式的因式分解过程中，通过换元，可把形式复杂的多项式变形为形式简单易于分解的多项式，会使问题化繁为简，迅捷获解。

因式分解的方法与技巧因式分解是代数学中的重要概念和技巧，它在解题和简化表达式中起到关键作用。

在本文中，我们将探讨因式分解的方法与技巧，帮助读者更好地掌握这一概念。

一、提取公因式法提取公因式法是因式分解中最基本和常用的方法之一、它的基本思想是找出多项式中各项的公共因子，并将其提取出来。

具体步骤如下：1.找出多项式中的最大公因子。

2.用公因子除每一项，将其化简为最简形式。

例如，对于多项式2x²+4x，我们可以发现2是每一项的公因子，因此可以提取出来，即2(x²+2x)。

二、分组分解法分组分解法是常用于四项以上的多项式因式分解中的一种方法。

它的基本思想是将多项式中的项进行重新分组，将一些项之间的关系呈现出来，以便于进行因式分解。

具体步骤如下：1.对多项式进行重新分组，将相邻的项组合在一起。

通常是将相邻的两项组合在一起，但也可以根据需要进行更多项的分组。

2.在每一组中找出公共因子，并做相关的因式分解。

3.观察各组之间是否存在公共因子，并将其提取出来。

例如，考虑多项式2x² + 3xy + 4x + 6y，我们可以将其进行分组，得到(2x² + 4x) + (3xy + 6y)。

然后在每一组中分别提取公因子，得到2x(x + 2) + 3y(x + 2)。

最后观察到(x + 2)是两组的公共因子，因此我们可以进一步提取出来，得到(x + 2)(2x + 3y)。

三、平方法平方法是一种特殊的因式分解方法，适用于具有特殊形式的二次多项式。

它的基本思想是将二次多项式写成两个平方数的和或差的形式，然后进行因式分解。

具体步骤如下：1.将二次多项式写成两个平方数的和或差的形式。

2.使用平方差或平方和公式进行因式分解。

例如，考虑二次多项式x²-9，我们可以将其写成(x+3)(x-3)的形式。

这是因为x²-9可以被分解为(x+3)(x+3)-6(x+3)+9，然后再根据平方差公式得到(x+3)(x-3)。

初中数学因式分解学习方法
初中数学因式分解学习方法主要包括以下几个步骤：
1.理解和掌握因式分解的概念：因式分解是将一个多项式转
化为几个整式的乘积的形式。

这是解决一些数学问题的重要方法，如求解方程、化简式子等。

2.掌握基本的因式分解方法：包括提公因式法、公式法（如
平方差公式、完全平方公式等）、分组分解法、十字相乘法等。

这些方法各有特点，需要灵活应用。

3.多做练习，积累经验：通过大量的练习，可以加深对因式
分解方法的理解和掌握，提高解题速度和准确性。

4.学会观察和分析：在因式分解时，需要观察多项式的结
构，分析是否有公因式、是否可以用公式法等。

这需要一定的数学素养和逻辑思维能力。

5.善于总结和归纳：在学习的过程中，要善于总结和归纳各
种因式分解方法的特点和适用范围，形成自己的解题思路和方法体系。

总之，初中数学因式分解学习方法需要注重基础知识的掌握和灵活运用，多做练习，提高观察和分析能力，善于总结和归纳。

同时，还需要注意学习方法和学习态度的调整，保持积极的学习态度和良好的学习习惯。

因式分解掌握方法和技巧因式分解是数学中常用的一种运算方法，它可以将一个多项式分解为多个乘积的形式。

掌握因式分解的方法和技巧对于数学学习和解题是非常重要的。

在本文中，我将介绍因式分解的方法和技巧，并给出一些例子进行详细的讲解。

一、因式分解的基本方法因式分解的基本方法是将一个多项式表示为多个乘积的形式。

在进行因式分解时，我们需要找到多项式中的共同因子，并将其提取出来，最终将多项式表示为乘积的形式。

例如，我们将多项式x^2+3x+2进行因式分解，首先观察多项式的各项之间是否存在其中一种数学关系，如果没有明显的数学关系，我们可以尝试将多项式进行因式分解。

我们可以发现，该多项式的第一项和最后一项都是平方项，且它们之和等于中间项的系数。

也就是说，x^2+3x+2可以写成(x+1)(x+2)的形式。

因此，我们可以将x^2+3x+2分解为(x+1)(x+2)。

二、因式分解的常见技巧除了基本的方法外，因式分解还有一些常见的技巧，这些技巧可以帮助我们更快地找到多项式的因式。

1.提取公因子法提取公因子法是因式分解中最常用的技巧之一、通过提取多项式的公共因子，可以将多项式表示为乘积的形式。

例如，我们将多项式6x^3+9x^2+12x进行因式分解，首先观察多项式中各项的系数，我们可以发现它们都可以被3整除。

因此，我们可以将多项式进行公因子提取，6x^3+9x^2+12x可以写成3x(2x^2+3x+4)的形式。

2.完全平方公式完全平方公式是指一个二次多项式可以表示为两个平方数的差。

例如，我们将多项式x^2-4进行因式分解，首先观察多项式中的平方项和常数项，我们可以发现它们之间的差是常数4因此，我们可以应用完全平方公式，将多项式进行因式分解，x^2-4可以写成(x+2)(x-2)的形式。

3.差的平方公式差的平方公式是指一个平方项和一个常数的乘积可以表示为两个相同数的平方的差。

例如，我们将多项式x^2-4x+4进行因式分解，我们可以发现它是一个平方项和一个常数的乘积，且常数乘积等于平方项的系数的平方。

专题24 公式综合应用因式分解三个类型类型一 先平方差公式再完全平方公式1．因式分解：（x 2+9）2﹣36x 2．2．分解因式：(a 2+1)2-4a 23．分解因式：（x 2＋4）2﹣16x 2．4．因式分解（x 2+4y 2）2﹣16x 2y 2类型二 先完全平方公式再平方差公式5.因式分解：()2221x y xy ++-6．因式分解：a 2﹣（x 2﹣2xy +y 2）．7．22414x xy y --+8．x 2﹣4x ＋4﹣y 29．因式分解：22496m n mn ---．10．2221a ab b -+-11．2212--+x y y ．12．分解因式a 2-b 2-2b-1类型三 综合提公因式和公式法因式分解13.分解因式：(1)48ab b -；(2)2363x x -+．14．因式分解：(1)42ab b -(2)221218a a -+15．因式分解：(1)326a ab +(2)2255x y -(3)22363x xy y -+-16．分解因式 （1）32484xy xy xy ++（2）22-5105a ab b +-17．因式分解：①3x －12x 3；②－2a 3＋12a 2－18a18.因式分解： （1）29x y y -；（2）322288x x y xy -+．19．分解因式：（1）2348m -（2）22344x y xy x --20．把下列各式因式分解 （1）4x 2－16；（2）(x －y )2＋4xy ．21．因式分解 ①-2x 2+8；②3222x x y xy -+；③222(4)16x x +-．22.因式分解：（1）a 3﹣4a（2）m 3n ﹣2m 2n+mn专题24 公式综合应用因式分解三个类型类型一 先平方差公式再完全平方公式2．因式分解：（x 2+9）2﹣36x 2．解：()222936x x +- ()()229696x x x x =+++-()()2233x x =+-． 2．分解因式：(a 2+1)2-4a 2解：原式=2222222(1)(2)(21)(21)(1)(1)a a a a a a a a +-=++-+=+-.3．分解因式：（x 2＋4）2﹣16x 2．解：原式＝(x 2＋4＋4x )(x 2＋4﹣4x )＝(x ＋2)2(x ﹣2)2．4．因式分解（x 2+4y 2）2﹣16x 2y 2解：原式＝（x 2+4y 2）2﹣（4xy ）2＝（x 2+4y 2﹣4xy ）（x 2+4y 2+4xy ）＝（x ﹣2y ）2（x +2y ）2． 类型二 先完全平方公式再平方差公式5.因式分解：()2221x y xy ++-解：（x 2+y 2+2xy ）-1=（x+y ）2-1=（x+y-1）（x+y+1）．6．因式分解：a 2﹣（x 2﹣2xy +y 2）．解：原式＝a 2﹣（x ﹣y ）2＝（a +x ﹣y ）（a ﹣x +y ）．7．22414x xy y --+解：22414x xy y --+()224=41x xy y -+-()2=x-2y -1()()=x 2121y x y -+--． 8．x 2﹣4x ＋4﹣y 2解：原式＝(x ﹣2)2﹣y 2＝(x ﹣2+y )(x ﹣2﹣y )．9．因式分解：22496m n mn ---．解：原式224(96)m n mn =-++222(3)m n =-+(23)(23)m n m n =++--．10．2221a ab b -+-解：()()()22221111a ab b a b a b a b -+-=--=-+--11．2212--+x y y ．解：2212--+x y y =()221x y --=()()11x y x y -++-． 12．分解因式a 2-b 2-2b-1原式()()()()222221111.a b b a b a b a b =-++=-+=++-- 类型三 综合提公因式和公式法因式分解13.分解因式：(1)48ab b -；(2)2363x x -+．(1)解：48ab b -()42b a =-；(2)解：2363x x -+()2321x x =-+()231x =-． 14．因式分解：(1)42ab b -(2)221218a a -+(1)解：42ab b -()221b a =-；(2)解：221218a a -+()2269a a =-+()223a =-． 15．因式分解：(1)326a ab +(2)2255x y -(3)22363x xy y -+-(1)解：326a ab +＝2a （a 2+3b ）；(2)解：（2）原式＝5（x 2﹣y 2）＝5（x +y ）（x ﹣y ）；(3)解：（3）原式＝﹣3（x 2﹣2xy +y 2）＝﹣3（x ﹣y ）2． 16．分解因式 （1）32484xy xy xy ++（2）22-5105a ab b +-（1）32484xy xy xy ++()2421xy y y =++ ＝4xy （y +1）2；（2）22-5105a ab b +-()2252a ab b =--+ ＝-5（a -b ）2． 17．因式分解：①3x －12x 3；②－2a 3＋12a 2－18a解：①原式=()2314x x -=()()31212x x x +-； ②原式=22(69)a a a --+=22(3)a a --．18.因式分解： （1）29x y y -；（2）322288x x y xy -+．解：（1）29x y y -()29y x =-()()33y x x =-+；（2）322288x x y xy -+()22244x x xy y =-+()222x x y =-． 19．分解因式：（1）2348m -（2）22344x y xy x --.解：（1）原式()2316m =-()()344m m =+-；（2）原式()2244x xy y x =--++()22x x y =--． 20．把下列各式因式分解 （1）4x 2－16；（2）(x －y )2＋4xy ．解：（1）4x 2-16＝24(4)4(2)(2)x x x -=+-；（2）22222()4242x y xy x xy y xy x xy y -+=-++=++=2()x y +． 21．因式分解 ①-2x 2+8；②3222x x y xy -+；③222(4)16x x +-．①228x -+()224x =--()()222x x =-+-； ②3222x x y xy -+22(2)x x xy y =-+2()x x y =-；③222(4)16x x +-22(44)(44)x x x x =+++-22(2)(2)x x =+-． 22.因式分解：（1）a 3﹣4a（2）m 3n ﹣2m 2n+mn解：（1）a 3﹣4a =a (a 2﹣4)=a (a +2)(a −2）；（2）m 3n ﹣2m 2n +mn =mn (m 2﹣2m +1)=mn (m ﹣1)2．。

初中数学因式分解的常用方法总结因式分解是数学中重要的基本概念，它在初中阶段占据了重要的地位。

因式分解可以将多项式等式转化为因式的乘积形式，从而简化问题的求解过程。

在初中数学中，常见的因式分解方法包括公因式提取法、分组分解法、特殊因式分解法和差平方公式等。

下面将详细介绍这些常用的因式分解方法。

一、公因式提取法公因式提取法是因式分解中最基本的方法之一、它的基本思想是将多项式中的公因式提取出来，使多项式可以表示为公因式与剩余部分的乘积形式。

公因式提取法的步骤如下：Step 1：找出多项式中的公因式。

Step 2：将多项式中的每一项除以公因式。

Step 3：将结果相加，得到公因式和剩余部分的乘积形式。

例如，将多项式4x+8分解为公因式和剩余部分的乘积形式：Step 1：找出多项式中的公因式，即4Step 2：将多项式中的每一项除以公因式，得到x+2Step 3：将结果相加，得到公因式4和剩余部分(x+2)的乘积形式，即4(x+2)。

二、分组分解法分组分解法是一种常见的因式分解方法，它适用于多项式中存在相同的二次或高次项的情况。

分组分解法的基本思想是根据多项式的结构特点，将多项式按照其中一种方式进行分组，然后使用公式进行分解。

分组分解法的步骤如下：Step 1：将多项式按照其中一种方式进行分组。

Step 2：每一组中的项尽量找出公因式。

Step 3：将每一组中的项进行因式分解。

Step 4：将结果相加，得到多项式的因式分解形式。

例如，将多项式x^2+3x+2分解为因子的乘积形式：Step 1：将多项式按照其中一种方式进行分组，例如(x^2+2x)+(x+2)。

Step 2：每一组中的项尽量找出公因式，得到x(x+2)+1(x+2)。

Step 3：将每一组中的项进行因式分解，得到x(x+2)+1(x+2)=(x+1)(x+2)。

三、特殊因式分解法特殊因式分解法适用于一些特殊的因式分解问题，例如平方差、和差的平方等形式的分解。

因式分解进阶训练技巧因式分解是代数学中的一个重要概念，也是解决多项式问题的基础方法之一。

它可以将一个复杂的多项式表达式分解为简单的乘积形式，从而更好地理解和处理问题。

本文将介绍因式分解的进阶训练技巧，帮助读者深入理解和应用这一概念。

一、因式分解的基本概念在开始介绍进阶训练技巧之前，先回顾一下因式分解的基本概念。

因式分解是将一个多项式表达式表示为几个乘法项的乘积形式。

例如，对于多项式x^2-4x+4，可以因式分解为(x-2)(x-2)，其中(x-2)是因式。

二、因式分解的常见方法1.提取公因式法：当多项式中存在公因式时，可以提取公因式，将多项式进行因式分解。

例如，对于多项式3x^2-6x，可以提取公因式3x，得到3x(x-2)。

2.平方差公式：平方差公式可以将一个二次多项式分解为两个平方差的形式。

例如，对于多项式x^2-4，可以使用平方差公式得到(x-2)(x+2)。

3.完全平方公式：完全平方公式可以将一个二次多项式分解为两个完全平方的形式。

例如，对于多项式x^2+6x+9，可以使用完全平方公式得到(x+3)^2。

4.差平方公式：差平方公式是平方差公式和完全平方公式的结合，可以将一个三次多项式分解为两个差平方的形式。

例如，对于多项式x^3-8，可以使用差平方公式得到(x-2)(x^2+2x+4)。

5.分组分解法：当多项式中存在四项以上时，可以使用分组分解法进行因式分解。

该方法将多项式中的项进行分组，使得每组中的项之间存在公因式，从而进行因式分解。

例如，对于多项式x^3+x^2-3x-3，可以将其分组为(x^3+x^2)+(−3x−3)，然后对每组进行提取公因式，得到x^2(x+1)−3(x+1)，最终因式分解为(x+1)(x^2−3)。

三、进阶训练技巧除了上述常见的因式分解方法外，还有一些进阶的训练技巧可以帮助我们更好地应用因式分解。

1.多项式的特殊结构：有些多项式具有特殊的结构，可以直接应用一些特殊的因式分解公式进行分解。

初中数学的因式分解的方法与技巧
因式分解方法
1.提公因式法，如果一个多项式的各项都含有公因式，就可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式。

比如分解因式x3-2x2-x=x（x2-2x-1）。

2.应用公式法，由于分解因式与整式乘法有着互逆的关系，把乘法公式反过来就可以用来把某些多项式分解因式。

比如分解因式a2+4ab+4b2，可得到结果为（a+2b）2。

因式分解技巧
1.提公因式法
2.运用公式法
3.分组分解法
4.拆项、补项法
5.十字相乘法
分解公式
1.平方差公式
（a+b）（a-b）=a²-b²
2.完全平方公式
（a+b）²=a²+2ab+b²
（a-b）²=a²-2ab+b²
3.十字相乘法公式
x²+ax+bx+ab=（x+a）（x+b）
4.平方和立方差公式
a³-b³=（a-b）（a²+ab+b²）
a³+b³=（a+b）（a²-ab+b²）
（a+b）³=a³+3a²b+3ab²+b³
（a-b）³=a³-3a²b+3ab²-b³。

初中因式分解的方法与技巧初中数学中，因式分解是一个重要的概念和技巧。

它是将一个多项式拆分成若干个因式的过程，可以帮助我们简化计算和解决问题。

本文将介绍初中因式分解的方法与技巧。

一、什么是因式分解因式分解是指将一个多项式分解成若干个因式的乘积。

多项式是由若干个单项式相加或相减而成的表达式，而单项式则是只包含一个变量的系数与指数的乘积。

因式分解可以理解为将多项式进行拆解，找到能够整除原多项式的因子，然后将其写成多个因子的乘积。

二、常见的因式分解方法与技巧1.提取公因式法提取公因式法是最基础也是最常用的因式分解方法之一。

该方法适用于多项式中存在公因式的情况。

具体步骤如下：（1）观察多项式，找出可以整除所有项的最大公因式。

（2）将最大公因式提取出来，将剩余的部分写成括号内的形式。

例如，对于多项式2x+4xy，我们可以观察到2是所有项的公因式，因此可以将公因式2提取出来，将原多项式分解为2(x+2y)。

2.根据公式进行因式分解在初中数学中，我们学习到了一些常见的平方差公式和完全平方式，可以利用这些公式来进行因式分解。

具体步骤如下：（1）观察多项式，判断是否符合某个公式的形式。

（2）根据公式进行拆解，将多项式写成公式中的形式。

例如，对于多项式x^2-4y^2，我们可以观察到它是一个平方差的形式，即x^2-（2y）^2。

根据平方差公式，我们知道（a+b）（a-b）=a^2-b^2，因此可以将原多项式分解为（x+2y）（x-2y）。

3.分组分解法分组分解法适用于多项式中存在四项以上的情况。

具体步骤如下：（1）将多项式按照适当的方式进行分组，使得每组中的项都有公因式。

（2）对每组进行提取公因式和化简。

（3）将每组提取出的公因式写在一起，得到最终的因式分解形式。

例如，对于多项式x^3+3x^2+2x+6，我们可以将其分组为（x^3+3x^2）+（2x+6）。

然后对每组进行提取公因式，得到x^2（x+3）+2（x+3）。

初一因式分解练习题精选因式分解是数学学习中不可或缺的部分。

初一阶段，我们通常会先学习简单的因式分解，例如分解因数为质数的整数，或者分解在某个范围内的多项式。

下面是一些初一因式分解练习题，供大家练习和巩固所学。

一、整数因式分解1. 将48分解为素数的积。

解答：48可以分解为2x2x2x2x3，所以48 = 2^4 x 3。

2. 将72分解为素数的积。

解答：72可以分解为2x2x2x3x3，所以72 = 2^3 x 3^2。

3. 将84分解为素数的积。

解答：84可以分解为2x2x3x7，所以84 = 2^2 x 3 x 7。

二、小项式的因式分解1. 将x^2 + 6x + 8分解因式。

解答：x^2 + 6x + 8可以分解为(x + 4)(x + 2)。

2. 将3x^2 - 15x + 18分解因式。

解答：3x^2 - 15x + 18可以分解为3(x - 3)(x - 2)。

3. 将2x^2 + 11x + 12分解因式。

解答：2x^2 + 11x + 12可以分解为(2x + 3)(x + 4)。

三、含有分数的因式分解1. 将2x^3 + 3x^2 - 4x - 6分解因式。

解答：2x^3 + 3x^2 - 4x - 6可以先化为2(x - 1)(x^2 + 5x + 6)，然后再分解为2(x - 1)(x + 2)(x + 3)。

2. 将3x^3 - 9x^2 - 8x + 24分解因式。

解答：3x^3 - 9x^2 - 8x + 24可以先化为3(x - 2)(x^2 - 3x - 4)，然后再分解为3(x - 2)(x - 4)(x + 1)。

3. 将6x^3 + 11x^2 - 7x - 6分解因式。

解答：6x^3 + 11x^2 - 7x - 6可以先化为(2x - 1)(3x^2 + 8x + 6)，然后再分解为(2x - 1)(3x + 2)(x + 3)。

以上是一些初一因式分解练习题。

运用公式法进行因式分解【知识精读】把乘法公式反过来，就可以得到因式分解的公式。

主要有：平方差公式完全平方公式立方和、立方差公式补充：特别地：当时，有运用公式法分解因式的关键是要弄清各个公式的形式和特点，熟练地掌握公式。

但有时需要经过适当的组合、变形后，方可使用公式。

用公式法因式分解在求代数式的值，解方程、几何综合题中也有广泛的应用。

因此，正确掌握公式法因式分解，熟练灵活地运用它，对今后的学习很有帮助。

下面我们就来学习用公式法进行因式分解【分类解析】1. 把分解因式的结果是（）A. B.C. D.分析：。

再利用平方差公式进行分解，最后得到，故选择B。

说明：解这类题目时，一般先观察现有项的特征，通过添加项凑成符合公式的形式。

同时要注意分解一定要彻底。

2. 在简便计算、求代数式的值、解方程、判断多项式的整除等方面的应用例：已知多项式有一个因式是，求的值。

分析：由整式的乘法与因式分解互为逆运算，可假设另一个因式，再用待定系数法即可求出的值。

解：根据已知条件，设则由此可得由（1）得把代入（2），得把代入（3），得3. 在几何题中的应用。

例：已知是的三条边，且满足，试判断的形状。

分析：因为题中有，考虑到要用完全平方公式，首先要把转成。

所以两边同乘以2，然后拆开搭配得完全平方公式之和为0，从而得解。

解：为等边三角形。

4. 在代数证明题中应用例：两个连续奇数的平方差一定是8的倍数。

分析：先根据已知条件把奇数表示出来，然后进行变形和讨论。

解：设这两个连续奇数分别为（为整数）则由此可见，一定是8的倍数。

5、中考点拨：例1：因式分解：________。

解：说明：因式分解时，先看有没有公因式。

此题应先提取公因式，再用平方差公式分解彻底。

例2：分解因式：_________。

解：说明：先提取公因式，再用完全平方公式分解彻底。

题型展示：例 1. 已知：，求的值。

解：原式说明：本题属于条件求值问题，解题时没有把条件直接代入代数式求值，而是把代数式因式分解，变形后再把条件带入，从而简化计算过程。

因式分解进阶训练技巧因式分解是数学中的一个基础概念，也是解决多项式问题的重要方法之一。

在初中阶段，我们已经学习了一些基本的因式分解方法，如提公因式、配方法等。

而在进阶训练中，我们需要掌握更加复杂的因式分解技巧，能够灵活运用于各种问题的解决中。

让我们回顾一下因式分解的基本概念。

因式分解是指将一个多项式拆解成若干个乘积的形式，其中每个乘积都是一个因式。

这样的拆解可以帮助我们简化计算、寻找多项式的根和因式，以及解决一些实际问题。

在进阶训练中，我们需要掌握更多的因式分解技巧，以应对各种复杂的情况。

下面，我将介绍几种常见的进阶训练技巧。

第一种技巧是分解差的平方。

如果我们遇到了一个形如$a^2 - b^2$的表达式，其中$a$和$b$是两个不同的数，那么我们可以将它因式分解为$(a+b)(a-b)$。

这个技巧在解决一些二次方程和不等式问题中非常有用。

举个例子，假设我们需要将$x^2 - 4$进行因式分解。

根据上述技巧，我们可以将它分解为$(x+2)(x-2)$。

这样，我们就将一个二次多项式成功地分解成了两个一次因式的乘积。

第二种技巧是分解完全平方。

如果我们遇到了一个形如$a^2 + 2ab + b^2$的表达式，其中$a$和$b$是两个数，那么我们可以将它因式分解为$(a+b)^2$。

这个技巧在解决一些平方差、平方和等问题中非常有用。

举个例子，假设我们需要将$x^2 + 4x + 4$进行因式分解。

根据上述技巧，我们可以将它分解为$(x+2)^2$。

这样，我们就将一个二次多项式成功地分解成了一个完全平方。

第三种技巧是分解差的立方。

如果我们遇到了一个形如$a^3 - b^3$的表达式，其中$a$和$b$是两个不同的数，那么我们可以将它因式分解为$(a-b)(a^2+ab+b^2)$。

这个技巧在解决一些立方差、立方和等问题中非常有用。

举个例子，假设我们需要将$x^3 - 8$进行因式分解。

根据上述技巧，我们可以将它分解为$(x-2)(x^2+2x+4)$。

初一因式分解的方法和能力提高训练-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN因式分解能力提高因式分解的十二种方法 :把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解。

因式分解的方法多种多样，现总结如下：1、提公因法如果一个多项式的各项都含有公因式，那么就可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式。

例1、分解因式x -2x -x(2003淮安市中考题)x -2x -x=x(x -2x-1)2、应用公式法由于分解因式与整式乘法有着互逆的关系，如果把乘法公式反过来，那么就可以用来把某些多项式分解因式。

例2、分解因式a +4ab+4b (2003南通市中考题)解：a +4ab+4b =（a+2b）3、分组分解法要把多项式am+an+bm+bn分解因式，可以先把它前两项分成一组，并提出公因式a，把它后两项分成一组，并提出公因式b，从而得到a(m+n)+b(m+n),又可以提出公因式m+n，从而得到(a+b)(m+n)例3、分解因式m +5n-mn-5m解：m +5n-mn-5m= m -5m -mn+5n= (m -5m )+(-mn+5n)=m(m-5)-n(m-5)=(m-5)(m-n)4、十字相乘法对于mx +px+q形式的多项式，如果a×b=m,c×d=q且ac+bd=p，则多项式可因式分解为(ax+d)(bx+c)例4、分解因式7x -19x-6分析： 1 -37 22-21=-19解：7x -19x-6=（7x+2）(x-3)5、配方法对于那些不能利用公式法的多项式，有的可以利用将其配成一个完全平方式，然后再利用平方差公式，就能将其因式分解。

例5、分解因式x +3x-40解x +3x-40=x +3x+( ) -( ) -40=(x+ ) -( )=(x+ + )(x+ - )=(x+8)(x-5)6、拆、添项法可以把多项式拆成若干部分，再用进行因式分解。

初一数学因式分解题技巧及方法嘿，同学们！说到初一数学的因式分解题啊，那可真是有点门道呢！就好像是在一个大宝藏里找宝贝，得有技巧和方法才能找到那些闪闪发光的“答案宝石”呀！咱先来说说提取公因式法吧。

这就像是从一堆水果里把相同的水果挑出来一样。

比如式子 3x+6，那很明显 3 就是公因式嘛，一提出来，就变成 3(x+2)啦，是不是挺简单的？可别小瞧它，很多复杂的式子都得靠它先开头呢！然后呢，公式法也很重要哦！平方差公式和完全平方公式就像是两把神奇的钥匙。

平方差公式 a²-b²=(a+b)(a-b)，就好像是把一个大拼图拆成两块。

完全平方公式(a±b)²=a²±2ab+b²，就如同给一个小房子搭好框架。

遇到合适的式子，用这两个公式一用，答案就呼之欲出啦！再说说分组分解法吧。

这就好比是把一群小伙伴分成几个小组去完成任务。

比如 ax+ay+bx+by，可以把前面两项一组，后面两项一组，然后分别提取公因式，再组合起来，就分解成功啦！十字相乘法也很厉害哟！它就像是在玩拼图游戏，把不同的数字凑在一起，拼成我们想要的式子。

比如 x²+5x+6，就可以通过十字相乘得到(x+2)(x+3)。

哎呀呀，这些技巧和方法是不是很有趣呀？可别光觉得好玩，还得多多练习呢！做因式分解题的时候，要像侦探一样细心观察式子的特点，找到最合适的方法。

有时候可能会遇到一些难题，别着急，慢慢来，多试试几种方法，说不定答案就出来啦！就像爬山一样，虽然过程可能会有点累，但当你爬到山顶，看到美丽的风景时，一切都值得啦！做因式分解题也是这样，刚开始可能会觉得有点难，但只要掌握了技巧和方法，多练习，你就会发现自己越来越厉害啦！那大家还等什么呢？赶紧拿起笔，去挑战那些因式分解题吧！相信自己，一定能把它们都攻克下来的！加油哦！。