第7章无约束优化问题

牛顿法无约束最优化证明牛顿法是一种常用的非线性优化方法，它通过逐步逼近最优解来求解无约束最优化问题。

本文将介绍牛顿法的数学原理及其证明过程。

首先，我们考虑一个无约束的最优化问题，即：min f(x)其中，f(x)为目标函数，x为优化变量。

我们的目标是找到一个x，使得f(x)最小。

牛顿法的基本思想是通过求解目标函数的局部二次近似来逐步逼近最优解。

具体来说，我们首先选取一个初始点x0，然后利用目标函数的一、二阶导数信息，计算出目标函数在x0处的局部二次近似：f(x) ≈ f(x0) + f(x0)·(x-x0) + 1/2(x-x0)T·H(x0)·(x-x0) 其中，f(x0)为目标函数在x0处的梯度，H(x0)为目标函数在x0处的黑塞矩阵。

我们将局部二次近似表示为：Q(x) = f(x0) + f(x0)·(x-x0) + 1/2(x-x0)T·H(x0)·(x-x0) 然后，我们将Q(x)的导数置为零，得到如下方程：H(x0)·(x-x0) = -f(x0)接着，我们解出上述方程的解x1，将x1作为新的近似点，重复上述步骤，迭代求解，直到收敛于最优解。

接下来，我们来证明牛顿法的收敛性。

我们假设目标函数f(x)满足如下条件：1. f(x)是二次可微的凸函数。

2. H(x)是正定的。

在这种情况下，我们可以证明牛顿法是线性收敛的。

具体来说，设xk为牛顿法第k次迭代的近似解，x*为最优解，则有：f(xk+1) - f(x*) ≤ C·(f(xk) - f(x*))2其中，C>0是一个常数。

这个式子表明，每次迭代后，算法的误差都会平方级别的减小。

证明过程比较复杂，需要利用函数的泰勒展开式、中值定理等工具。

具体证明过程可以参考相关数学文献。

综上所述，牛顿法是一种有效的无约束最优化方法，其收敛速度较快，但需要满足一定的条件才能保证收敛性。

数学与计算科学学院实验报告
实验项目名称powell法求解无约束优化问题
所属课程名称最优化方法
实验类型算法编程
实验日期
班级
学号
姓名
成绩
附录1：源程序
附录2：实验报告填写说明
1．实验项目名称：要求与实验教学大纲一致。

2．实验目的：目的要明确，要抓住重点，符合实验教学大纲要求。

3．实验原理：简要说明本实验项目所涉及的理论知识。

4．实验环境：实验用的软、硬件环境。

5．实验方案（思路、步骤和方法等）：这是实验报告极其重要的内容。

概括整个实验过程。

对于验证性实验，要写明依据何种原理、操作方法进行实验，要写明需要经过哪几个步骤来实现其操作。

对于设计性和综合性实验，在上述内容基础上还应该画出流程图、设计思路和设计方法，再配以相应的文字说明。

对于创新性实验，还应注明其创新点、特色。

6．实验过程（实验中涉及的记录、数据、分析）：写明具体实验方案的具体实施步骤，包括实验过程中的记录、数据和相应的分析。

7．实验结论（结果）：根据实验过程中得到的结果，做出结论。

8．实验小结：本次实验心得体会、思考和建议。

9．指导教师评语及成绩：指导教师依据学生的实际报告内容，给出本次实验报告的评价。

凸优化之⽆约束优化（⼀维搜索⽅法：⼆分法、⽜顿法、割线法）1、⼆分法（⼀阶导）⼆分法是利⽤⽬标函数的⼀阶导数来连续压缩区间的⽅法，因此这⾥除了要求 f 在 [a0,b0] 为单峰函数外，还要去 f(x) 连续可微。

（1）确定初始区间的中点 x(0)=(a0+b0)/2 。

然后计算 f(x) 在 x(0) 处的⼀阶导数 f'(x(0))，如果 f'(x(0)) >0 , 说明极⼩点位于 x(0)的左侧，也就是所，极⼩点所在的区间压缩为[a0,x(0)]；反之，如果 f'(x(0)) <0，说明极⼩点位于x(0)的右侧，极⼩点所在的区间压缩为[x(0)，b0]；如果f'(x(0)) = 0，说明就是函数 f(x) 的极⼩点。

（2）根据新的区间构造x(1)，以此来推，直到f'(x(k)) = 0，停⽌。

可见经过N步迭代之后，整个区间的总压缩⽐为（1/2）N，这⽐黄⾦分割法和斐波那契数列法的总压缩⽐要⼩。

1 #ifndef _BINARYSECTION_H_2#define _BINARYSECTION_H_34 typedef float (* PtrOneVarFunc)(float x);5void BinarySectionMethod(float a, float b, PtrOneVarFunc fi, float epsilon);67#endif1 #include<iostream>2 #include<cmath>3 #include "BinarySection.h"45using namespace std;67void BinarySectionMethod(float a, float b, PtrOneVarFunc tangent, float epsilon)8 {9float a0,b0,middle;10int k;11 k = 1;12 a0 = a;13 b0 = b;14 middle = ( a0 + b0 )/2;1516while( abs(tangent(middle)) - epsilon > 0 )17 {18 #ifdef _DEBUG19 cout<<k++<<"th iteration:x="<<middle<<",f'("<<middle<<")="<<tangent(middle)<<endl;20#endif2122if( tangent(middle) > 0)23 {24 b0 = middle;25 }26else27 {28 a0 = middle;29 }30 middle =( a0+b0)/2;31 }3233 cout<<k<<"th iteration:x="<<middle<<",f'("<<middle<<")="<<tangent(middle)<<endl;34 }1 #include<iostream>2 #include "BinarySection.h"345float TangentFunctionofOneVariable(float x)6 {7return14*x-5;//7*x*x-5*x+2;8 }910int main()11 {12 BinarySectionMethod(-50, 50, TangentFunctionofOneVariable, 0.001);13return0;14 }1th iteration:x=0,f'(0)=-52th iteration:x=25,f'(25)=3453th iteration:x=12.5,f'(12.5)=1704th iteration:x=6.25,f'(6.25)=82.55th iteration:x=3.125,f'(3.125)=38.756th iteration:x=1.5625,f'(1.5625)=16.8757th iteration:x=0.78125,f'(0.78125)=5.93758th iteration:x=0.390625,f'(0.390625)=0.468759th iteration:x=0.195312,f'(0.195312)=-2.2656210th iteration:x=0.292969,f'(0.292969)=-0.89843811th iteration:x=0.341797,f'(0.341797)=-0.21484412th iteration:x=0.366211,f'(0.366211)=0.12695313th iteration:x=0.354004,f'(0.354004)=-0.043945314th iteration:x=0.360107,f'(0.360107)=0.041503915th iteration:x=0.357056,f'(0.357056)=-0.001220716th iteration:x=0.358582,f'(0.358582)=0.020141617th iteration:x=0.357819,f'(0.357819)=0.0094604518th iteration:x=0.357437,f'(0.357437)=0.0041198719th iteration:x=0.357246,f'(0.357246)=0.0014495820th iteration:x=0.357151,f'(0.357151)=0.0001144412、⽜顿法（⼆阶导）前提：f 在 [a0,b0] 为单峰函数，且[a0,b0] 在极⼩点附近，不能离的太远否则可能⽆法收敛。

单目标无约束优化问题的数学模型说起单目标无约束优化问题，那可真的是一个充满挑战又让人头大的玩意儿。

听起来是不是很高深？别担心，慢慢来，我们一点一点捋清楚它的来龙去脉。

简单说，这个问题就是在给定的条件下，找出一个最优解，换句话说，如何在某些约定俗成的框架内做到最好、最强、最牛。

比如说，咱们想要跑得快，但又不能随便穿双拖鞋，得穿合适的跑鞋，这就是在“没有任何限制”的情况下，选出最适合的“最佳状态”。

咱们得弄清楚，所谓的“单目标”是什么意思。

就是你只有一个目标，专心致志地冲这个目标去。

你可以想象一下，这就像你在做一道数学题，题目清晰写着：求一个数，这个数最好能满足某些条件。

你也不能多想，眼睛就盯着这个目标走。

听着是不是有点像考试那种，老师说了：做对一道题，你就能加分，剩下的暂时不管。

是不是挺简单？不过，事儿可没那么简单。

这个“目标”得有点实际意义，得是真正有用的，比如，跑步速度、成本最小化、利润最大化这些，咱可不能随便给个“目标”就行。

然后啊，说到“无约束”优化，大家可能会想：“没有约束？那岂不是可以做任何事？”别高兴太早。

无约束的意思不是说你可以乱来，而是说在求解过程中，你的解答不受外部条件的限制。

你想选哪个方向就选哪个，不用再被一些“死板”的规则拴住手脚。

假设你要找一个商场，商场的大小、停车场的多少都不管，它就是目标，你只管去。

自由吗？是自由，但要明白自由不等于胡乱选择，得找那个能让你达到目标的最合适的地方。

接下来的关键问题是，如何找到最优解？哦哟，这可真不是一件容易的事。

你得有点本事，得懂得怎么从一堆选择中挑出那个最“牛”的。

比如跑步吧，你可能想，能跑得快就是最优解。

可真到了跑步这事上，你可能得考虑，哪条路最短，风速如何，甚至风景好不好。

这些都得考虑进去，反正你不能只盯着一个目标。

这里面其实就是用“目标函数”来表达，你的目标就是要在某些条件下最大化或者最小化某个数值——就像你看电影，想找到评分最高的那部电影一样，你就是用一个标准来决定哪部最好看。

无约束优化方法——坐标轮换法一.基本原理坐标轮换法是每次允许一个变量变化，其余变量保持不变，即沿坐标方向轮流进行搜索的寻优方法。

它把多变量的优化问题轮流的转化成单变量的优化问题，因此又称变量轮换法。

在搜索的过程中可以不需要目标函数的导数，只需目标函数值信息。

它比利用目标函数导数建立搜索方向的方法简单的多。

以二元函数飞f（x1,x2）为例说明坐标轮换法的寻优过程。

从初始点x00出发，沿第一个坐标方向搜索，即d10=e1得x10=x00+a01*d01按照一维搜索方法确定最佳步长因子a01满足minf(x00+a*d01),然后从x01出发沿d02=e2方向搜索得x02=x01+a02*d02,其中步长因子a02满足minf(x01+a*d02),x02为一轮（k=0）的终点。

检验始、终点之间的距离是否满足精度要求，即判断||x02-x00||<e的条件是否满足。

若满足则x*=x02,否则令x10=x02,重新一次沿坐标方向进行下一轮的搜索。

对于n个变量的函数，若在第k 轮沿第i个坐标方向dki进行搜索，其迭代公式为xki=xk(i-1)+aki+dki(k=0,1,2…,i=0,1,2…n)其中搜索方向取坐标方向，即dki=ei(i=1,…n)。

若||xkn-x00||<e,则x*=xkn,否则x(k+1)0=xkn,进行下一轮搜索，一直到满足精度为止。

注：上述xki中，其中k为上标，i为下标二．例题及程序1.用坐标轮换法求f(1x,2x)=10(1x+2x-5)^2+(1x-2x)^2极小值2.程序(1)function y=f(x)y=10*(x(1)+x(2)-5)^2+(x(1)-x(2))^2; ………………………..%定义f文件(2)d1=e1;syms a1;x1=x0+a1*d1;y1=f(x1);z1=diff(y1,a1);subs(z1);a1=solve(z1);%求沿e1方向最佳步长x1=x0+a1*d1;d2=e2;syms a2;x2=x1+a2*d2;y2=f(x2);z2=diff(y2,a2);subs(z2);a2=solve(z2);%求沿e2方向最佳步长x2=x1+a2*d2;m=x2-x0;m=double(m);t=norm(m); ……….%定义f2文件(3)x0=[0;0];e=0.001;e1=[1;0];e2=[0;1];f2; ………………%定义f3文件(4)f3;while (t>=e)x0=x2;f2;endx2=double(x2);xo=x2;xo…………………%定义f4文件三．程序框图四．计算结果及说明运用MATLAB运算结果如上所示，运算结果比较精确，跟课本上用鲍威尔方法计算结果比较相近。

求解无约束优化问题及非线性方程组的共轭梯度法求解无约束优化问题及非线性方程组的共轭梯度法一、引言无约束优化问题和非线性方程组是数学和工程领域中常见的问题。

它们的解决对于优化模型的求解以及工程实际问题的解决具有重要意义。

本文将介绍一种常用的求解无约束优化问题和非线性方程组的方法——共轭梯度法，包括算法原理、步骤和性能分析等。

二、共轭梯度法的算法原理共轭梯度法是一种迭代法，它通过计算一系列共轭方向，逐步接近于最优解。

具体而言，共轭梯度法的算法原理如下：（1）初始化。

选择一个起始值x0，设置迭代精度ε，取初始共轭方向d0=g0=-∇f(x0)，其中g0为梯度的初始值。

（2）迭代过程。

从k=1开始，根据共轭方向的性质，可以得到更新公式xk=xk-1+αkdk，其中αk为步长，dk为共轭方向。

通过下面的迭代公式可以计算共轭方向dk：di=(-gi)+βidi-1βi=(gi，gi)/(gi-1，gi-1)其中gi为第i次迭代的梯度。

（3）收敛判断。

如果满足||gk||<ε，则停止迭代计算，得到近似解。

否则，继续迭代。

三、共轭梯度法的步骤根据共轭梯度法的算法原理，可以得到具体的步骤如下：（1）初始化。

选择起始点x0，设置迭代精度ε，取初始共轭方向d0=g0=-∇f(x0)，其中g0为梯度的初始值。

（2）循环迭代。

从k=1开始，计算步长αk，更新公式xk=xk-1+αkdk，计算新的梯度gk，计算共轭方向dk。

（3）收敛判断。

如果满足||gk||<ε，则停止迭代。

（4）输出结果。

输出近似解xk。

四、共轭梯度法的性能分析共轭梯度法在求解无约束优化问题和非线性方程组时具有一些优良的性能特点：（1）收敛性。

共轭梯度法在理想情况下可以在n步内达到最优解，其中n为问题的维度。

（2）存储要求小。

共轭梯度法只需要存储上一次迭代的结果，存储量较小。

（3）不需要二阶导数信息。

与牛顿法等方法相比，共轭梯度法不需要二阶导数信息，计算速度更快。

无约束优化问题的求解方法无约束优化问题是指在不考虑任何限制条件下，通过调整自变量来寻找函数的最大值或最小值的问题。

在数学和工程领域中，无约束优化问题是一个重要的研究方向，其解决方法也非常丰富和多样。

下面将介绍几种常用的无约束优化问题求解方法。

一、梯度下降法梯度下降法是一种基于一阶导数信息的优化算法。

其基本思想是通过不断迭代地朝着函数的负梯度方向进行搜索，从而找到函数的极小值点。

具体来说，梯度下降法的迭代公式如下：x_(x+1)=x_x−x∇x(x_x)，其中x_x代表第x次迭代的自变量的取值，x称为学习率，∇x(x_x)是函数x(x_x)在点x_x处的梯度。

梯度下降法是求解无约束优化问题的常用方法，具有易于实现和收敛性等优点。

但是，梯度下降法有时可能会陷入局部最优解，因此需要进行多次尝试或采用改进的算法。

二、共轭梯度法共轭梯度法是一种基于二阶导数信息的优化算法。

其基本原理是通过逆Hessian矩阵的乘法来更新自变量的取值，从而加速搜索速度。

具体来说，共轭梯度法的迭代公式如下：x_(x+1)=x_x−x_x,x∇x(x_x)，x_x,x=x∇x(x_x)+x_x,x−1共轭梯度法具有高效、迭代次数少、不需要存储Hessian矩阵等优点。

然而，共轭梯度法也存在一些问题，如对于某些特定的函数可能会陷入收敛困难、对于非二次函数可能收敛速度较慢等。

三、拟牛顿法拟牛顿法是一种综合利用一阶和二阶导数信息的优化算法。

其基本思想是通过利用函数在当前点处的一阶导数和二阶导数近似值来构造一个局部的二次模型，从而求解优化问题。

拟牛顿法的迭代公式如下：x_(x+1)=x_x−(x_x)^−1∇x(x_x)，x_x是拟牛顿法的Hessian矩阵近似值。

拟牛顿法具有利用了二阶导数信息、不需要进行二阶导数计算、有较好的全局收敛性等优点。

但是，拟牛顿法也存在一些问题，如需要存储和更新Hessian矩阵近似值、对于非光滑函数可能无法收敛等。

实验七——无约束优化化工系分7陈龙2007011832『实验目的』1.掌握用MATLAB 优化工具箱的基本用法，对不同算法进行初步分析、比较。

2.练习用无约束优化方法建立和求解实际问题模型（包括非线性最小二乘拟合）。

『实验内容』-------------------------------------------------------------------------------------------------------一、问题2.（2）：取不同的初值计算下列非线性规划，尽可能求出所有局部极小点，进而找出全局极小点，并对不同算法（搜索方向、步长搜索、数值梯度与分析梯度等）的结果进行分析、比较。

)32(min 222121x x e z x x +=--。

【问题分析】对于该函数，显然有0≥z ，当且仅当021==x x 时，z=0。

另外，运用分析方法也可以得到极值点的必要条件：04)32(1222112121=++-=∂∂----x e x x e x z x x x x 06)32(2222122121=++-=∂∂----x e x x e x z x x x x 得到方程组的解为08.0,2.12121====x x x x 或，这为之后的分析提供方便。

用MATLAB 绘出该函数的三维图形和等高线图，以获得直观认识：（程序如下）———————————————————————————————————————[x1,x2]=meshgrid(-2:0.1:2,-2:0.1:2);%产生二维数组集合z=exp(1).^(-x1-x2).*(2*x1.^2+3*x2.^2);mesh(x1,x2,z)%画三维网格图pause;contour(x1,x2,z,20)%画等高线图———————————————————————————————————————得到的图形如下所示，可以看出，图形好比平铺在地面上的一块方巾，其中一个角被高高拎起。

在数学和计算机科学领域，无约束优化问题一直是一个热门的研究课题。

而fr共轭梯度法作为一种求解无约束优化问题的重要方法，在实际应用中展现出了强大的优化能力。

本文将就fr共轭梯度法求解无约束优化问题进行全面评估和探讨。

1. 无约束优化问题的定义无约束优化问题是指在没有约束条件的情况下，寻找一个函数的最小值或最大值的问题。

数学上通常用以下形式表示：\[ min\ f(x) \]\[ s.t.\ x \in R^n \]其中，\( f(x) \)为目标函数，\( x \)为自变量。

无约束优化问题在实际应用中广泛存在，比如在机器学习、信号处理、金融等领域都有着重要的应用价值。

2. fr共轭梯度法的基本原理fr共轭梯度法是一种常用的无约束优化方法，它主要用于求解二次型函数的极小值点。

其基本原理是通过迭代的方式，利用fr共轭方向进行搜索，从而逐步逼近最优解。

具体来说，fr共轭梯度法的迭代公式为：\[ x_{k+1} = x_k + \alpha_k d_k \]其中，\( x_k \)为第k次迭代的解，\( d_k \)为fr共轭方向，\( \alpha_k \)为搜索步长。

3. fr共轭梯度法的优势和局限性fr共轭梯度法相对于其他优化算法具有一定的优势，比如收敛速度较快、内存占用小等。

但是，它也存在一些局限性，比如对非二次型函数的性能表现不佳、依赖初始点选取等。

在实际应用中需要结合具体问题特点来选择合适的优化算法。

4. fr共轭梯度法在深度学习中的应用在深度学习领域，优化算法对于模型训练的收敛速度和性能表现有着重要影响。

fr共轭梯度法作为一种优化算法，被广泛应用于深度学习模型的训练过程中。

它可以有效地加速模型的收敛速度，提高训练效率。

5. 个人观点和理解从我个人的角度来看，fr共轭梯度法作为一种经典的优化算法，在实际应用中展现出了较高的效率和性能。

它在求解无约束优化问题时具有明显的优势，特别适用于二次型函数的优化。

无约束最优化绪论人们总是尽可能的找优化方法，航空公司合理安排时刻表，工作人员和飞行器，使支出最小。

投资者寻找投资组合，避免风险，从而获得更高的回报。

生产商在设计和操作方面使他们的操作过程效率最大化。

自然优化，物理系统使一个系统趋向能量最小的状态，分子在一个隔离的化学系统中相互反应直到电子能量总和最小。

光线跟随着一定的路径，使传播的时间最小。

最优化问题在工程技术和科学研究中是一个重要的工具。

为了使用最优化，必须定义一个目标，选取决策变量的值，使函数值取得最大值或者最小值。

这个目标可以用一个简单的数值代表（比如利润、时间、势能或者任何一个组合变量）。

这个目标取决于系统特征，称为变量或者未知量。

我们的目标是求出使目标函数最优的一个值。

这些变量可以是受限的也可以是不受限的。

同样，分子中的电子量和贷款的利率不可能是负数。

对于一个给定的问题，定义目标函数和变量约束条件的时候可以认为是一个最优化问题模型，适当的模型约束条件是第一步也是最重要的一步。

如果模型太简单就不能给实用问题一个有用的解，太复杂就解不出来解了。

一旦模型有了公式表达，最优化算法就可以得到解决。

通常算法和模型可以复杂到连计算机都不能算出整个最优化过程，然而仍然有很多算法可以处理实际问题。

通常由用户选择合适的算法来应用于他们的问题，这个选择很重要，它决定着是否可以很快的解决问题，决定着能否建立解决方案。

一个优化算法是否能用取决于它是否能在一个模型中得到一个确切的解。

很多时候，我们利用决策变量把问题的条件表示成等式或不等式，称为约束条件。

如果约束条件不满足问题，则通常利用给出的信息来估计这个问题是否可以改善。

最后，可以在例如灵敏性分析的应用技术来改善模型和数据。

数学公式在数学中，优化就是在约束条件下求出变量的值，使目标函数取得最大值或者最小值。

我们采用以下符号：X：未知变量F : 目标函数Ci ：约束条件约束问题可以写成********************************************** 式（1.1）其中f 、c 是关于x的函数，Г、ε为指标集。

无约束优化方法1.坐标轮换法2.鲍威尔法3.梯度法4.牛顿法5.变尺度法1.坐标轮换法坐标轮换发是一种不计算函数梯度,而是通过函数值本身,即可求出寻优方向,因而也称为直接寻优法.在以后提到的鲍威尔法(Powell)法也属于直接寻优法。

对于坐标轮换法，我们做个比喻：如果我们在北京的老城区找一个地方，我们可以沿着经纬线去找。

这个比喻为我们提供了一种思路，既可以取坐标的方向为寻优的方向，这就是坐标轮换法。

它在每次搜索中，只允许一个变量的变化，其余量保持不变，即沿着坐标方向轮流进行搜索的方法。

该方法把多变量的优化问题轮流转化成一系列单变量的优化问题。

对应于n 个变量的寻优函数，若在第轮沿第k 个坐标第i 个坐标方向ki i S e =进行搜索，则迭代公式为1(0,1,...,1,2,...,)k k k k i i i i X X S k i n α-=+==其中搜索方向取坐标方向，即k i i S e =（1,2,...,i n =）。

若0k k n X X -‖‖<ε，则*kn X X ←，否则10k kn X X +←，进行下一轮的搜索，一直到满足精度要求为止。

其搜索路径如图所示这种方法的收敛效果与目标函数等值线形有很大关系。

如果目标函数为二元二次函数，其等值线为圆或长轴平行于坐标轴的椭圆时，此方法很有效，经过两次搜索即可以达到最优点，如图所示。

如果等值线为长轴不平行于坐标轴的椭圆，则需多次迭代才能达到最优点，但因坐标轮换法是坐标方向搜索而不是沿脊线搜索，所以就终止到脊线上而不能找到最优解。

从上述分析可以看出，采用坐标轮换法只能轮流沿着坐标的方向搜索，尽管也能使函数值步步下降，但经过曲折迂回的路径才能达到极值点；尤其极值点附近步长很小，收敛很慢，所以坐标轮换法不是一种很好的搜索方法。

但是可以构造很好的搜索策略，下面讨论的鲍威尔法就是这种情况。

例题：已知22121212()10460f X x x x x x x =+---+，设初始点：(0)[0,0]T X=，精度0.1=ε，用最优步长法的坐标轮换法求目标函数的最优解。