小波与多分辨率分析

题目：多分辨率分析＆连续小波变换TITLE: MULTIRESOLUTION ANALYSIS & THE CONTINUOUS WA VELETTRANSFORM院系：电气信息工程系专业：通信工程姓名：学号：毕业设计（论文）外文资料翻译多分辨率分析＆连续小波变换多分辨率分析虽然时间和频率分辨率的问题是一种物理现象（海森堡测不准原理）无论是否使用变换，它都存在，但是它可以使用替代方法分析，称为信号多分辨率分析（MRA）。

MRA，如它的名字一样，分析了不同分辨率不同频率的信号。

每个频谱分量不能得到同样的解决是因为在STFT的情况下。

MRA是为了在高频率时，能够得到良好的时间分辨率和较差的频率分辨率，而在低频率时，能够得到良好的频率分辨率和较差的时间分辨率而设计的。

这种方法是十分有意义的，特别是当手头的信号高频成分持续时间短和低频成分持续时间长时。

幸运的是，在实际应用中所遇到的信号往往是这种类型。

例如，下面显示了这种类型的信号。

它有一个贯穿整个信号相对较低的频率分量，而在信号中间有一个短暂的、相对较高的频率成分。

连续小波变换连续小波变换作为一种替代快速傅里叶变换办法来发展，克服分析的问题。

小波分析和STFT的分析方法类似，在这个意义上说，就是信号和一个函数相乘，{\它的小波}，类似的STFT的窗口功能，并转换为不同分段的时域信号。

但是，STFT和连续小波变换二者之间的主要区别是：1、Fourier转换的信号不采取窗口，因此，单峰将被视为对应一个正弦波，即负频率是没有计算。

2、窗口的宽度是相对于光谱的每一个组件变化而变化的，这是小波变换计算最重要的特征。

连续小波变换的定义如下：公式3.1从上面的方程可以看出，改变信号功能的有两个变量，τ和s，分别是转换参数和尺度参数。

psi(t)为转化功能，它被称为母小波。

母小波一词得名是由于如下所述的两个小波分析的重要性质：这个词意味着小波浪。

小指的条件是本（窗口）函数的有限长度的（紧支持）。

一个多分辨率信号分解理论：小波表示摘要：多分辨率表示对于分析图像信号内容十分有效，我们研究了在一给定分辨率下逼近信号算子的性能。

显示出在分辨率12+j 和j 2下逼近信号的信息不同，通过在小波标准正交基2L 上分解这一信号可以将其提取。

小波标准正交基是一系列函数，它由扩大和转化唯一函数）（x ψ来构建。

这一分解定义了一个正交多尺度表示叫做小波表示。

它由金字塔算法来计算，其基于正交镜像滤波器的卷积。

对于图像，小波表示区分了几种空间定位。

我们研究这一表示在数据压缩，图像编码，结构辨别及分形分析上的应用。

关键词-编码，分形，多分辨率金字塔，正交镜像滤波器，结构辨别，小波变换 1. 引言在计算机视觉方面，很难由图像像素的灰度强度来直接分析一个图像的信息内容。

的确，这一数值依赖于照明条件。

更为重要的是图像强度的局部变化。

邻居的大小即对比计算处必须被采用于我们要分析的物体大小。

这一尺寸为测量图像局部变化定义了参考分辨率。

总的来说，我们想要识别的结构具有差异很大的尺寸。

因此，定义分析图像的优先或最优分辨率是不可能的。

一些研究人员发明了图像比对算法用来处理不同分辨率下的图像。

为这一目的，一种算法可以识别图像信息至一系列在不同分辨率下显现的细节。

给定一个提高分辨率的序列j r ，在分辨率j r 下的图像细节被定义为它的分辨率j r 下逼近与低分辨率1-j r 下逼近之间的信息差别。

多分辨率分解使得我们可以获得图像的尺度不变性演绎。

图像尺度随着场景与相机光学中心间的距离而变化。

当图像尺寸修改时，我们对于图像的演绎不应该变化。

多分辨率分解可以满足局部尺度不变性如果分辨率参量j r 的序列以指数形式变化。

我们假设存在分辨率一步R ∈α对于所有整数j ，j j r α=。

如果相机靠近场景时间为α，则每一物体被投影到一个2α的区域比相机焦平面更大。

即每一物体以α倍大的分辨率度量。

因此，新图片在分辨率j α下细节与先前在分辨率1+j α下图像细节相一致。

小波变换的多分辨率分析原理与应用引言：小波变换是一种在信号处理和图像处理领域中广泛应用的数学工具。

它通过将信号分解成不同频率的子信号，以实现对信号的多分辨率分析。

本文将介绍小波变换的原理和应用，并探讨其在信号处理和图像处理中的潜在价值。

一、小波变换的原理小波变换是一种基于窗函数的变换方法，它通过将信号与一组基函数进行卷积运算，得到信号在不同尺度和频率上的分解系数。

小波基函数是一种具有有限长度的波形，它可以在时间和频域上进行调整，以适应不同尺度和频率的信号特性。

小波变换的核心思想是多分辨率分析，即将信号分解成不同尺度的子信号。

通过对信号进行连续缩放和平移操作，小波变换可以捕捉到信号在不同频率上的细节信息。

与傅里叶变换相比，小波变换可以提供更好的时频局部化特性，能够更准确地描述信号的瞬时特征。

二、小波变换的应用1. 信号处理小波变换在信号处理中有广泛的应用。

通过对信号进行小波变换，可以实现信号的降噪、压缩和特征提取等操作。

由于小波基函数具有时频局部化的特性，它可以有效地消除信号中的噪声，并提取出信号的重要特征。

因此，在语音识别、图像处理和生物医学信号处理等领域，小波变换被广泛应用于信号的预处理和特征提取。

2. 图像处理小波变换在图像处理中也有重要的应用。

通过对图像进行小波变换，可以实现图像的去噪、边缘检测和纹理分析等操作。

由于小波基函数具有多尺度分析的能力，它可以捕捉到图像中不同尺度上的细节信息。

因此，在图像压缩、图像增强和图像分割等领域，小波变换被广泛应用于图像的处理和分析。

3. 数据压缩小波变换在数据压缩中有着重要的应用。

通过对信号或图像进行小波变换，可以将其表示为一组小波系数。

由于小波系数具有稀疏性，即大部分系数都接近于零，可以通过对系数进行适当的量化和编码，实现对信号或图像的高效压缩。

因此，在音频压缩、图像压缩和视频压缩等领域，小波变换被广泛应用于数据的压缩和传输。

结论：小波变换是一种强大的信号处理和图像处理工具，它通过多分辨率分析实现对信号的精确描述和处理。

每个小波变换都会有一个mother wavelet，我们称之为母小波，同时还有一个father wavelet，就是scaling function。

而该小波的basis 函数其实就是对这个母小波和父小波缩放和平移形成的。

缩放倍数都是2的级数，平移的大小和当前其缩放的程度有关。

还讲到，小波系统有很多种，不同的母小波，衍生的小波基就完全不同。

小波展开的近似形式是这样：其中的就是小波级数，这些级数的组合就形成了小波变换中的基basis。

和傅立叶级数有一点不同的是，小波级数通常是orthonormal basis，也就是说，它们不仅两两正交，还归一化了。

我们还讲了一般小波变换的三个特点，就是小波级数是二维的，能定位时域和频域，计算很快。

但我们并没有深入讲解，比如，如何理解这个二维？它是如何同时定位频域和时域的？在这一篇文章里，我们就来讨论一下这些特性背后的原理。

首先，我们一直都在讲小波展开的近似形式。

那什么是完整形式呢？之前讲到，小波basis的形成，是基于基本的小波函数，也就是母小波来做缩放和平移的。

但是，母小波并非唯一的原始基。

在构建小波基函数集合的时候，通常还要用到一个函数叫尺度函数，scaling function，人们通常都称其为父小波。

它和母小波一样，也是归一化了，而且它还需要满足一个性质，就是它和对自己本身周期平移的函数两两正交：另外，为了方便处理，父小波和母小波也需要是正交的。

可以说，完整的小波展开就是由母小波和父小波共同定义的。

其中是母小波，是父小波。

需要提醒一点的是，这个正交纯粹是为了小波分析的方便而引入的特性，并不是说小波变换的基就一定必须是正交的。

但大部分小波变换的基确实是正交的，所以本文就直接默认正交为小波变换的主要性质之一了。

引入这个父小波呢，主要是为了方便做多解析度分析（multiresolution analysis, MRA）。

说到这里，你的问题可能会井喷了：好好的为什么出来一个父小波呢？这个scaling function是拿来干嘛的？它背后的物理意义是什么？wavelet function背后的物理意义又是什么？这个多解析度分析又是什么呢？不急，下面，我们围绕一个例子来巩固一下前面的知识，同时再引出新的特性。

282第10章 离散小波变换的多分辨率分析在上一章，我们给出了连续小波变换的定义与性质，给出了在),(b a 平面上离散栅格上小波变换的定义及与其有关的标架问题。

在这两种情况下，时间t 仍是连续的。

在实际应用中，特别是在计算机上实现小波变换时，信号总要取成离散的，因此，研究b a ,及t 都是离散值情况下的小波变换，进一步发展一套快速小波变换算法将更有意义。

由Mallat 和Meyer 自80年代末期所创立的“多分辨率分析”技术[87,88,8]在这方面起到了关键的作用。

该算法和多抽样率信号处理中的滤波器组及图像处理中的金字塔编码等算法[34,33]结合起来，构成了小波分析的重要工具。

本章将详细讨论多分辨率分析的定义、算法及应用。

10.1多分辨率分析的引入10.1.1信号的分解近似现以信号的分解近似为例来说明多分辨率分析的基本概念。

给定一个连续信号)(t x ，我们可用不同的基函数并在不同的分辨率水平上对它作近似。

如图10.1.1(a)所示，令⎩⎨⎧=01)(t φ其它10<≤t (10.1.1)显然，)(t φ的整数位移相互之间是正交的，即)()(),(k k k t k t '-=〉'--〈δφφ Z k k ∈', (10.1.2) 这样，由)(t φ的整数位移)(k t -φ就构成了一组正交基。

设空间0V 由这一组正交基所构成，这样，)(t x 在空间0V 中的投影（记作)(0t x P ）可表为： )()()()()(,t k a k t k at x P k 0k0k0φφ∑∑=-=(10.1.3)式中)()(,0k t t k -=φφ,)(k a 0是基)(,0t k φ的权函数。

)(0t x P 如图10.1.1(b)所示，它可以看作283是)(t x 在0V 中的近似。

)(k a 0是离散序列，如图10.1.1(c)所示。

令)()(/,k t 22t j 2j k j -=--φφ (10.1.4)是由)(t φ作二进制伸缩及整数位移所产生的函数系列，显然，对图10.1.1(a)的)(t φ，)(,t k j φ和)(,t k j 'φ是正交的。