竞赛讲义：函数的基本性质
基础知识：
函数的性质通常是指函数的定义域、值域、解析式、单调性、奇偶性、周期性、对称性等等，在解决与函数有关的(如方程、不等式等)问题时，巧妙利用函数及其图象的相关性质，可以使得问题得到简化，从而达到解决问题的目的.
关于函数的有关性质，这里不再赘述，请大家参阅高中数学教材及竞赛教材：陕西师范大学出版社 刘诗雄《高中数学竞赛辅导》。.
例题：
1、已知f(x)＝8＋2x －x 2，如果g(x)＝f(2－x 2)，那么g(x)( )
A.在区间(－2，0)上单调递增
B.在(0，2)上单调递增
C.在(－1，0)上单调递增
D.在(0，1)上单调递增
2、设f(x)是R 上的奇函数，且f(x ＋3)＝－f(x)，当0≤x≤2
3时，f(x)＝x ，则f(2003)＝( )
A.－1
B.0
C.1
D.2003
3、定义在实数集上的函数f(x)，对一切实数x 都有f(x ＋1)＝f(2－x)成立，
若f(x)＝0仅有101个不同的实数根，那么所有实数根的和为( )
A.150
B.2303
C.152
D.2
305 4、实数x ，y 满足x 2＝2xsin(xy)－1，则x 1998＋6sin 5y ＝______________.
5、已知x ＝9919+是方程x 4＋bx 2＋c ＝0的根，b ，c 为整数，求b ＋c
6、已知f(x)＝ax 2＋bx ＋c(a ＞0)，f(x)＝0有实数根，且f(x)＝1在(0，1)内有
两个实数根，求证：a ＞4.
7、已知f(x)＝x 2＋ax ＋b(－1≤x≤1)，若|f(x)|的最大值为M ，求证：M≥
21. 8、⑴解方程:(x ＋8)2001＋x 2001＋2x ＋8＝0 ⑵解方程：2)1x (222221)1x (1x 1
x 4x 2-=++++++
9、设f(x)＝x 4＋ax 3＋bx 2＋cx ＋d ，f ⑴＝1，f ⑵＝2，f ⑶＝3，求
41[f ⑷＋f(0)]的值
10、设f(x)＝x 4－4x 3＋213x 2－5x ＋2，当x ∈R 时，求证：|f(x)|≥2
1
练习：
1、已知f(x)＝ax 5＋bsin 5x ＋1，且f ⑴＝5，则f(－1)＝( )
A.3
B.－3
C.5
D.－5
2、已知(3x ＋y)2001＋x 2001＋4x ＋y ＝0，求4x ＋y 的值.
3、解方程：ln(1x 2+＋x)＋ln(1x 42+＋2x)＋3x ＝0
4、若函数y ＝log 3(x 2＋ax －a)的值域为R ，则实数a 的取值范围是______________.
5、已知f(x)＝ax 2＋bx ＋c ，f(x)＝x 的两根为x 1，x 2，a ＞0，x 1－x 2＞a
1，若0＜t ＜x 1，试比较f(t)与x 1的大小.
6、f(x)，g(x)都是定义在R 上的函数，当0≤x≤1，0≤y≤1时. 求证：存在实数x ，y ，使得 |xy －f(x)－g(y)|≥41
7、设a ，b ，c ∈R ，|x|≤1，f(x)＝ax 2＋bx ＋c ，如果|f(x)|≤1， 求证：|2ax ＋b|≤4.
8、已知函数f(x)＝x 3－x ＋c 定义在[0，1]上，x 1，x 2∈[0，1]且x 1≠x 2. ⑴求证：|f(x 1)－f(x 2)|＜2|x 1－x 2|；
⑵求证：|f(x 1)－f(x 2)|＜1.
9、已知f(x)＝ax 2＋x －a(－1≤x≤1)
⑴若|a|≤1，求证：|f(x)|≤
45 ⑵若f(x)max ＝
8
17，求a 的值.
