高中数学必修一 竞赛讲义：函数的基本性质

高中数学教案：函数的基本性质一、函数的定义和表达形式函数是数学中一个重要的概念，它描述了两个数集之间的一种特殊关系。

具体地说，如果存在一个规则将一个数集中的每个元素和另一个数集中的唯一一个元素对应起来，那么这个规则就称为函数。

函数可以用多种形式来表示。

常见的函数表达形式有两种：算式表示和图像表示。

在算式表示中，函数可以用一个显式的算式来表示，例如 f(x) = 2x + 1。

这个算式表示了一个线性函数，在给定x的值时，可以求出f(x)的值。

在图像表示中，函数可以用图像的方式来表达，例如将函数的所有点绘制在坐标系中形成的曲线。

图像表示可以直观地展示函数的性质和规律。

二、函数的定义域和值域函数的定义域是指函数中自变量（通常用x表示）的取值范围。

在定义域内，函数是有意义的，而在定义域外，函数没有定义。

例如，对于函数 f(x) = 1/x，由于0不在其定义域内，所以当x等于0时，函数没有定义。

函数的值域是指函数的所有可能的输出值的集合。

值域可以通过分析函数的定义域和图像来确定。

对于函数 f(x) = 2x + 1，可以发现随着x的取值增加，f(x)也会增加，因此函数的值域是所有实数。

三、函数的奇偶性函数的奇偶性是指函数的性质，它与函数的定义域和图像有关。

如果函数满足以下性质：对于定义域内的任意x，都有f(-x) = f(x)，那么这个函数就是偶函数。

如果函数满足以下性质：对于定义域内的任意x，都有f(-x) = -f(x)，那么这个函数就是奇函数。

如果一个函数既不是偶函数也不是奇函数，那么它就是一个既非偶函数也非奇函数的普通函数。

通过观察函数的图像或利用性质判定，可以确定一个函数是否为偶函数或奇函数。

例如，函数 f(x) = x^2 是一个偶函数，而函数 f(x) = x^3 是一个奇函数。

四、函数的单调性函数的单调性描述了函数在定义域内的增减规律。

如果函数在定义域内的任意两个数x1和x2满足x1 < x2时有f(x1) < f(x2)，那么这个函数就是递增函数。

函数的概念与基本性质函数是数学中的一个重要概念，它在数学和其他领域中都有广泛的应用。

本文将介绍函数的概念以及其基本性质，包括定义域、值域、对应关系、单调性等。

一、函数的概念函数是两个集合之间的一种特殊关系，一般表示为 f(x)，其中 x 是自变量，f(x) 是因变量。

函数的定义域是指所有可能的自变量的集合，而值域则是函数在定义域内可以取得的所有因变量的值的集合。

函数在定义域内的每个自变量都对应一个唯一的因变量。

二、函数的基本性质1. 定义域和值域：函数的定义域和值域是函数的两个基本性质。

定义域决定了函数的有效输入范围，而值域则表示函数可能的输出范围。

在函数中，定义域和值域可以是有限的集合，也可以是无限的区间。

2. 对应关系：函数的一个重要性质是具有确定的对应关系。

即在定义域内的每个自变量都对应唯一的因变量。

这种一一对应的关系使得函数具有明确的输入和输出。

3. 单调性：函数的单调性描述了函数随自变量变化时的趋势。

如果函数在定义域内的任意两个自变量 x1 和 x2 满足 x1 < x2，则有 f(x1) <f(x2)，则称该函数是单调递增的。

反之，如果 f(x1) > f(x2)，则称该函数是单调递减的。

4. 奇偶性：函数的奇偶性是指函数关于原点对称的性质。

如果对于定义域内的任意自变量 x，有 f(-x) = -f(x)，则称函数是奇函数。

而如果有 f(-x) = f(x)，则称函数是偶函数。

5. 周期性：函数的周期性表示在一定范围内，函数的图像会随着自变量的周期性变化而重复出现。

如果存在一个正数 T，使得对于定义域内的任意自变量 x，有 f(x+T) = f(x)，则称函数具有周期 T。

三、函数的应用函数的概念和性质在数学和其他领域中都有广泛的应用。

在数学中，函数被用于解决各种数学问题，包括方程求解、函数图像绘制和曲线分析等。

在物理、经济学和工程学等应用领域，函数被用于建立模型和描述现象，帮助我们理解和解释自然界中的规律。

第1页共2页竞赛讲义：函数的基本性质基础知识：函数的性质通常是指函数的定义域、值域、解析式、单调性、奇偶性、周期性、对称性等等，在解决与函数有关的(如方程、不等式等)问题时，巧妙利用函数及其图象的相关性质，可以使得问题得到简化，从而达到解决问题的目的.关于函数的有关性质，这里不再赘述，请大家参阅高中数学教材及竞赛教材：陕西师范大学出版社刘诗雄《高中数学竞赛辅导》。

.例题：1、已知f(x)＝8＋2x －x 2，如果g(x)＝f(2－x 2)，那么g(x)()A.在区间(－2，0)上单调递增B.在(0，2)上单调递增C.在(－1，0)上单调递增D.在(0，1)上单调递增2、设f(x)是R 上的奇函数，且f(x ＋3)＝－f(x)，当0≤x ≤23时，f(x)＝x ，则f(2003)＝( )A.－1B.0C.1D.2003 3、定义在实数集上的函数f(x)，对一切实数x 都有f(x ＋1)＝f(2－x)成立，若f(x)＝0仅有101个不同的实数根，那么所有实数根的和为()A.150B.2303 C.152D.23054、实数x ，y 满足x 2＝2xsin(xy)－1，则x 1998＋6sin 5y ＝______________.5、已知x ＝9919是方程x 4＋bx 2＋c ＝0的根，b ，c 为整数，求b ＋c6、已知f(x)＝ax 2＋bx ＋c(a ＞0)，f(x)＝0有实数根，且f(x)＝1在(0，1)内有两个实数根，求证：a ＞4.7、已知f(x)＝x 2＋ax ＋b(－1≤x ≤1)，若|f(x)|的最大值为M ，求证：M ≥21.8、⑴解方程:(x ＋8)2001＋x2001＋2x ＋8＝0⑵解方程：2)1x (222221)1x(1x1x 4x 29、设f(x)＝x 4＋ax 3＋bx 2＋cx ＋d ，f ⑴＝1，f ⑵＝2，f ⑶＝3，求41[f ⑷＋f(0)]的值10、设f(x)＝x 4－4x 3＋213x 2－5x ＋2，当x ∈R 时，求证：|f(x)|≥21。

第二讲 函数及其性质函数及其相关概念 ⑴映射：设,A B 是两个非空集合，如果按照某种对应法则f，对于集合A 中的任何一个元素，在集合B 中都有唯一的元素与它对应，这样的对应关系叫做从集合A 到集合B 的映射。

记作：:f A B →。

⑵象与原象：给定一个集合A 到集合B 的映射，且,a A b B ∈∈，如果,a b 对应那么元素b 叫做元素a 的象，元素a 叫做元素b 的原象。

⑶一一映射：设,A B 是两个非空集合，:f A B →是集合A 到集合B 的映射，并且对于集合B 中的任意一个元素，在集合A 中都有且只有一个原象，把这个映射叫做从集合A 到集合B 的一一映射。

⑷函数：设集合A 是一个非空数集，对A 中的任意数x ，按照确定的法则f，都有唯一确定的数y 与它对应，则这种对应关系叫做集合A 上的一个函数，记作：(),y f x x A =∈这里x 叫自变量，自变量的取值范围叫做这个函数的定义域，所有函数值构成的集合，叫做这个函数的值域。

这里可以看出一旦一个函数的定义域与对应法则确定，则函数的值域也被确定，所以决定一个函数的两个条件是：定义域和对应法则。

⑸函数的表示方法：解析法、图像法、列表法。

⑹区间：定 义名 称 符 号{}x a x b ≤≤ 闭区间 [],a b {}x a x b << 开区间 (),a b{}x a x b ≤< 半开半闭区间 [),a b {}x a x b <≤半开半闭区间(],a b闭区间是包括端点，开区间不包括端点。

实数集R 可以表示为(),-∞+∞，“∞”读作“无穷大”，例如：“3x ≥”可以表示为[)3,+∞，“4x <-”可以表示为(),4-∞-。

高考要求：了解映射的概念，理解函数的有关概念，掌握对应法则图像等性质，能够熟练求解函数的定义域、值域。

例题讲解： 夯实基础一、判断下列关系哪些是映射。

1）,,:A Z B Z f ==平方； 2）,,:A R B R f +==平方；3）{}11,,:A x x B R f =-≤<=求倒数；4）{},0,1,:A N B f ==当n 为奇数时，1n →；当n 为偶数时，0n →；5）{},Z A C Z B -==正奇数，:21,f n m n →=-其中,n A m B ∈∈； 二、已知()23,1x f x x +=-求()(),2f t f x +。

新人教版高一数学必修1第一章要点：函数的基本性质一、函数的概念在对应的基础上理解函数的概念并能理解符号“y=f(x)”的含义，掌握函数定义域与值域的求法;函数的三种不同表示的相互间转化，函数的解析式的表示，理解和表示分段函数;函数的作图及如何选点作图，映射的概念的理解。

函数的概念和图象重难点：在对应的基础上理解函数的概念并能理解符号“y=f(x)”的含义，掌握函数定义域与值域的求法;函数的三种不同表示的相互间转化，函数的解析式的表示，理解和表示分段函数;函数的作图及如何选点作图，映射的概念的理解.考纲要求：①了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域;②在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数;③了解简单的分段函数，并能简单应用。

二、函数关系的建立“探索具体问题中的数量关系和变化规律，并能使用函数实行描述和解决问题”，这是《课标》关于函数目标的一段描述。

所以，各地中考试卷都有“函数建模及其应用”类问题，而建模的首要是建立函数表达式。

三、函数的运算函数的运算是各阶段考试和高考命题的必考内容，数学函数的运算知识点是对大家夯实基础的重点内容，请大家务必认真掌握。

四、函数的基本性质在平面直角坐标系中，以函数y=f(x),(x∈A)中的x为横坐标，函数值y为纵坐标的点P(x，y)的集合C，叫做函数y=f(x),(x∈A)的图象。

(1)定义：在平面直角坐标系中，以函数y=f(x),(x∈A)中的x为横坐标，函数值y为纵坐标的点P(x，y)的集合C，叫做函数y=f(x),(x∈A)的图象.C上每一点的坐标(x，y)均满足函数关系y=f(x)，反过来，以满足y=f(x)的每一组有序实数对x、y为坐标的点(x，y)，均在C上.即记为C={P(x,y)|y=f(x),x∈A}图象C一般的是一条光滑的连续曲线(或直线),也可能是由与任意平行与Y轴的直线最多只有一个交点的若干条曲线或离散点组成。

高一数学第三章函数的基本性质知识要点函数的基本性质高一数学第三章函数的基本性质知识要点函数是数学中的基本概念之一，它在数学和实际问题的求解中起到重要的作用。

本文将介绍高一数学第三章中关于函数的基本性质，帮助大家更好地理解和掌握这一知识点。

一、函数定义函数是一种特殊的关系，表示一个集合中的每个元素都与另一个集合中的唯一元素相对应。

函数可以用符号表示，例如：f(x) = 2x + 1其中f表示函数名，x表示自变量，2x + 1表示函数的表达式，它们之间用等号连接。

二、函数的定义域和值域定义域是指函数的自变量的所有可能取值的集合，通常用D表示。

在上面的函数例子中，自变量x可以取任意实数值，所以定义域为全体实数。

值域是指函数的因变量的所有可能取值的集合，通常用R表示。

同样以例子函数f(x) = 2x + 1为例，它的值域是全体实数。

三、函数的奇偶性如果对于定义域内的任意一个实数x，都有f(-x) = f(x)，则函数f(x)是偶函数；如果对于定义域内的任意一个实数x，都有f(-x) = -f(x)，则函数f(x)是奇函数；如果一个函数既不是偶函数也不是奇函数，则称其为非奇非偶函数。

四、函数的图像与性质函数的图像是函数在平面直角坐标系上的几何表示。

函数的图像可以通过绘制函数的各个点来获得。

函数的图像具有以下性质：1. 对称性：偶函数的图像以y轴为对称轴，奇函数的图像以原点为对称中心；2. 单调性：如果对于定义域内的两个实数x1和x2，若x1 < x2，则有f(x1) < f(x2)，则称函数f(x)在该区间上是递增的；如果x1 < x2，则有f(x1) > f(x2)，则称函数f(x)在该区间上是递减的；3. 最值：函数在定义域上的最大值称为最大值，函数在定义域上的最小值称为最小值；4. 零点：函数的零点是指使得f(x) = 0的自变量取值。

五、函数的初等函数性质初等函数是指常见的基本函数，包括常数函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数等。

高中数学必修1函数的基本性质1．奇偶性（1）定义：如果对于函数f (x )定义域内的任意x 都有f (－x )=－f (x )，则称f (x )为奇函数；如果对于函数f (x )定义域内的任意x 都有f (－x )=f (x )，则称f (x )为偶函数。

如果函数f (x )不具有上述性质，则f (x )不具有奇偶性.如果函数同时具有上述两条性质，则f (x )既是奇函数，又是偶函数。

注意：○1 函数是奇函数或是偶函数称为函数的奇偶性，函数的奇偶性是函数的整体性质； ○2 由函数的奇偶性定义可知，函数具有奇偶性的一个必要条件是，对于定义域内的任意一个x ，则－x 也一定是定义域内的一个自变量（即定义域关于原点对称）。

（2）利用定义判断函数奇偶性的格式步骤：○1 首先确定函数的定义域，并判断其定义域是否关于原点对称； ○2 确定f (－x )与f (x )的关系； ○3 作出相应结论： 若f (－x ) = f (x ) 或 f (－x )－f (x ) = 0，则f (x )是偶函数；若f (－x ) =－f (x ) 或 f (－x )＋f (x ) = 0，则f (x )是奇函数。

（3）简单性质：①图象的对称性质：一个函数是奇函数的充要条件是它的图象关于原点对称；一个函数是偶函数的充要条件是它的图象关于y 轴对称；②设()f x ，()g x 的定义域分别是12,D D ，那么在它们的公共定义域上：奇+奇=奇，奇⨯奇=偶，偶+偶=偶，偶⨯偶=偶，奇⨯偶=奇2．单调性（1）定义：一般地，设函数y =f (x )的定义域为I ， 如果对于定义域I 内的某个区间D 内的任意两个自变量x 1，x 2，当x 1<x 2时，都有f (x 1)<f (x 2)（f (x 1)>f (x 2)），那么就说f (x )在区间D 上是增函数（减函数）；注意：○1 函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质，是函数的局部性质； ○2 必须是对于区间D 内的任意两个自变量x 1，x 2；当x 1<x 2时，总有f (x 1)<f (x 2) （2）如果函数y =f (x )在某个区间上是增函数或是减函数，那么就说函数y =f (x )在这一区间具有（严格的）单调性，区间D 叫做y =f (x )的单调区间。

高中数学必修一——函数基本性质引言：函数是高中数学中的重要知识点之一，它不仅在高考中占有一定比重，而且在大学数学、物理等学科中也应用广泛。

因此，学好函数是中学数学的重要任务之一。

本文将介绍函数的基本性质，包括定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性等，同时提供20道以上的练习题，供读者参考。

一、函数的定义函数是一种特殊的映射关系，它把一个集合中的每个元素都对应到另一个集合中的唯一元素。

函数通常用符号f(x)表示，其中x是自变量，f(x)是因变量。

函数可以表示为f:A\rightarrow B，其中A是定义域，B是值域。

二、函数的基本性质1.定义域：函数的定义域是指所有可以输入函数的自变量的值的集合。

函数的定义域可以是实数集、有理数集、整数集等。

在定义函数时，需要指定函数的定义域。

2.值域：函数的值域是指所有函数可能的输出值的集合。

它是由定义域和函数的性质决定的。

3.单调性：函数的单调性指函数在定义域上的单调变化性质，包括单调递增和单调递减。

如果函数的自变量增大，函数值也增大，则称函数在这个区间内是单调递增的；如果函数的自变量增大，函数值减小，则称函数在这个区间内是单调递减的。

4.奇偶性：函数的奇偶性指函数的性质，可以分为偶函数和奇函数。

如果函数在定义域内满足f(-x)=f(x)，则称函数为偶函数；如果函数在定义域内满足f(-x)=-f(x)，则称函数为奇函数。

5.周期性：函数的周期性指函数在定义域上存在一个最小正周期T，即f(x+T)=f(x)，其中T是正实数。

三、练习题1.设函数f(x)=ax+b，其中a,b是实数，且f(2)=3,f(3)=4，求a,b。

2.求函数f(x)=2x^2-3x+1的定义域和值域。

3.若函数f(x)在区间[a,b]上是单调递增的，且f(a)=f(b)=0，证明f(x)=0在区间[a,b]上有且只有一个实根。

4.设函数f(x)=\sin(x+\alpha)，其中0<\alpha<\dfrac{\pi}{2}，证明f(x)是奇函数。

第三讲函数的基本性质2020年5月一、知识梳理1.奇偶性（1）定义：设函数y ＝)(x f 的定义域为D ，如果对于D 内任意一个x ，都有D x ∈-，且)(x f -＝－)(x f ，那么这个函数叫做奇函数.设函数y ＝)(x g 的定义域为D ，如果对于D 内任意一个x ，都有D x ∈-，且)(x g -＝)(x g ，那么这个函数叫做偶函数.（2）如果函数)(x f 不具有上述性质，则)(x f 不具有奇偶性.如果函数同时具有上述两条性质，则)(x f 既是奇函数，又是偶函数.函数是奇函数或是偶函数的性质称为函数的奇偶性，函数的奇偶性是函数的整体性质.（3）由函数的奇偶性定义可知，函数具有奇偶性的一个必要条件是，对于定义域内的任意一个x ，则x -也一定在定义域内.即定义域是关于原点对称的点集.（4）图象的对称性质：一个函数是奇函数当且仅当它的图象关于原点对称；一个函数是偶函数的当且仅当它的图象关于y 轴对称.（5）奇偶函数的运算性质：设()f x ，()g x 的定义域分别是12,D D ，那么在它们的公共定义域上：奇＋奇＝奇，奇×奇＝偶，偶＋偶＝偶，偶×偶＝偶，奇×偶＝奇.（6）奇（偶）函数图象对称性的推广：若函数)(x f 的图象关于直线a x =对称，则)2()(a x f x f +=-；若函数)(x f 的图象关于点)0,(a 对称，则)2()(a x f x f +-=-.2.单调性（1）定义：一般地，设函数()y f x =的定义域为A ，区间I A ⊆.如果对于区间I 内的任意两个值1x ，2x ，当12x x <时，都有12()()f x f x <，那么就说()y f x =在区间I 上是单调增函数，I 称为()y f x =的单调增区间；如果对于区间I 内的任意两个值1x ，2x ，当12x x <时，都有12()()f x f x >，那么就说()y f x =在区间I 上是单调减函数，I 称为()y f x =的单调减区间.（2）函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质，是函数的局部性质.（3）设复合函数))((x g f y =，其中)(x g u =，A 是))((x g f y =定义域的某个区间，B 是映射g :x →)(x g u =的象集.①若)(x g u =在A 上是增（或减）函数，)(u f y =在B 上也是增（或减）函数，则函数))((x g f y =在A 上是增函数；②若)(x g u =在A 上是增（或减）函数，而)(u f y =在B 上是减（或增）函数，则函数))((x g f y =在A 上是减函数.（4）奇偶函数的单调性①奇函数在其对称区间上的单调性相同；②偶函数在其对称区间上的单调性相反.③在公共定义域内：增函数+)(x f 增函数)(x g 是增函数；减函数+)(x f 减函数)(x g 是减函数；增函数-)(x f 减函数)(x g 是增函数；减函数-)(x f 增函数)(x g 是减函数.3.最值（1）定义：设函数y ＝)(x f 的定义域为I ，如果存在实数M 满足：①对于任意的x ∈I ，都有)(x f ≤M ；②存在0x ∈I ，使得)(0x f ＝M ，那么，称M 是函数y ＝)(x f 的最大值.设函数y ＝)(x f 的定义域为I ，如果存在实数m 满足：①对于任意的x ∈I ，都有)(x f ≥m ；②存在0x ∈I ，使得)(0x f ＝m ，那么，称m 是函数y ＝)(x f 的最小值.（2）函数最大（小）值首先应该是某一个函数值，即存在0x ∈I ，使得)(0x f ＝M （m ）；函数最大（小）值应该是所有函数值中的最大（小）者，即对于任意的x ∈I ，都有)(x f ≤M （)(x f ≥m ）.二、方法归纳1.利用定义判断函数奇偶性的方法（1）首先确定函数的定义域，并判断其定义域是否关于原点对称；（2）确定)(x f -与)(x f 的关系；（3）作出相应结论：若)(x f -＝)(x f 或)(x f -－)(x f ＝0，则)(x f 是偶函数；若)(x f -＝－)(x f 或)(x f -＋)(x f ＝0，则)(x f 是奇函数.2.利用定义证明或判断函数单调性的步骤（1）任取1x ，2x ∈D ，且1x ＜2x ；（2）作差)()(21x f x f y -=∆；（3）变形（通常是因式分解和配方）；（4）定号（即判断差)()(21x f x f y -=∆的正负）；（5）下结论（即指出函数)(x f 在给定的区间D 上的单调性）.3.求函数最大（小）值的一般方法（1）求值域进而得到最大（小）值.求函数的值域的常见方法：直接法、配方法、换元法、判别式法、数形结合法、反函数法、单调性法等等.（2）利用函数单调性的判断函数的最大（小）值.（3）利用函数的图象求函数的最大（小）值；三、典型例题精讲【例1】判断下列函数的奇偶性.（1）x x x x f -+-=11)1()(；（2）22)1lg()(2---=x x x f .错解分析：（1）∵x x x x f -+-=11)1()(xxx -+⋅-=11)1(21)1)(1(2-=+-=x x x .显然有)(x f -＝)(x f ，∴)(x f 为偶函数.（2）∵22)1lg(22)1lg()(22-+-=----=-x x x x x f ，于是)(x f -≠)(x f 且)(x f -≠－)(x f .∴)(x f 为非奇非偶函数.解析：（1）∵)(x f 的定义域为xx-+11≥０，即－1≤x ＜1.定义域不是关于原点对称的数集，∴)(x f 为非奇非偶函数.（2）∵)(x f 的定义域为012>-x 且22--x ≠０，即－1＜x ＜1且x ≠0，此时02<-x .∴xx x x x f --=---=)1lg(22)1lg()(22，∴)(x f 为奇函数.技巧提示：正确判定函数的奇偶性，必须先考虑函数的定义域.又例:判断下列函数的奇偶性.（1）551)(2-+-=x x x f ；（2）⎩⎨⎧>+-<+=)0()0()(22x x x x x x x f ；（3）33)(22-+-=x x x f .解析：（1）∵21x -≥0，即－1≤x ≤1.此时x x =-+55，∴xx x f 21)(-=，为奇函数.（2）当x ＞0，－x ＜0时，)(x f ＝x x +-2，)(x f -＝x x x x -=-+-22)()(，)(x f ＝－)(x f -；当x ＜0，－x ＞0时，)(x f ＝x x +2，)(x f -＝x x x x --=-+--22)()(，)(x f ＝－)(x f -；∴)(x f 为奇函数.（3）∵33)(22-+-=x x x f 的定义域为{|x x =.此时函数化为)(x f ＝0，{|x x =.∴)(x f 既是奇函数又是偶函数.【例2】讨论函数xxx x f 22116)(++=的奇偶性.解析：函数定义域为R ，又11161222116)(++=++=----xxx x x x f ＝)(22116141612x f xxx x x x=++=++⋅.∴)(x f 为偶函数.技巧提示：判断函数的奇偶性是比较基本的问题，难度不大，解决问题时应先考察函数的定义域，若函数的解析式能化简，一般应考虑先化简，但化简必须是等价变换过程（要保证定义域不变）.如本题亦可先化简：14412116)(++=++=-x x xx x f ，显然)(x f 为偶函数.从这可以看出，化简后再解决要容易得多.又例：证明函数)1(1)(22x x og x f ++=为奇函数.解析：∵)(x f ＋)(x f -＝)1(122x x og ++＋)1(122x x og -+＝)]1)(1[(1222x x x x og -+++＝112og ＝0∴)(x f 为奇函数.再例：讨论函数aa x x a x f -+-=||)(22（a ≠0）的奇偶性.解析：∵2x ≤2a ，∴要分a ＞0与a ＜0两类讨论.（i ）当a ＞0时，由⎩⎨⎧≠+≤≤-aa x ax a ||，函数的定义域为],0()0,[a a -，∵a x +≥0，∴xx a x f 22)(-=，)(x f 为奇函数；（ii ）当a ＜0时，由⎩⎨⎧≠+-≤≤aa x ax a ||，函数的定义域为[][],00,a a - ，∵a x +≤0，∴ax x a x f 2)(22---=，)(x f 既不是奇函数，也不是偶函数.【例3】求函数20.7log (32)y x x =-+的单调区间.错解分析：设41)23(23)(22--=+-=x x x x t ，∴)23,(-∞为函数)(x t 的单调递减区间；),23(+∞为函数)(x t 的单调递增区间.又t x x y 7.027.0log )23(log =+-=为t 的减函数，∴)23,(-∞为函数20.7log (32)y x x =-+的单调递增区间；),23(+∞为函数20.7log (32)y x x =-+的单调递减区间.解析：设23)(2+-=x x x t ，由0232>+-x x 得函数的定义域为),2()1,(+∞-∞ ，区间)1,(-∞和),2(+∞分别为函数23)(2+-=x x x t 的单调递减区间和单调递增区间.又t y 7.0log =，根据复合函数的单调性的规则，得区间)1,(-∞和),2(+∞分别为函数t y 7.0log =的单调递增区间和单调递减区间.技巧提示：函数的单调区间是包含在定义域内的某个区间，因此，求函数的单调区间必须考虑函数的定义域.运用复合函数的单调性规则求函数的单调区间时，要考虑各个基本函数都要有意义.又例：设函数)(x f ＝bx ax ++（a ＞b ＞0），求)(x f 的单调区间，并证明)(x f 在其单调区间上的单调性.解析：在定义域内任取1x ＜2x ，∴)()(21x f x f -＝1212x a x a x b x b ++-++))(())((2121b x b x x x a b ++--=，∵a ＞b ＞0，∴b －a ＜0，1x －2x ＜0，只有当1x ＜2x ＜－b 或－b ＜1x ＜2x 时函数才单调.当1x ＜2x ＜－b 或－b ＜1x ＜2x 时)()(21x f x f -＞0.∴（－b ，＋∞）和（－∞，－b ）都是函数)(x f 的单调减函数区间.【例4】设0a >，()x xe af x a e =+是R 上的偶函数.（1）求a 的值；（2）证明()f x 在(0,)+∞上为增函数.解析：（1）依题意，对一切x R ∈，有()()f x f x -=，即1x xx xe a ae ae a e +=+.∴11(xx a e a e--0=对一切x R ∈成立，则10a a-=，即1a =±.∵0a >，∴1a =.（2）设120x x <<，则12121211()()xxx x f x f x e e e e -=-+-2121121122111()(1)(1)x x x x x x x x x x x e e e e eee+-++-=--=-，由12210,0,0x x x x >>->，得21120,10x x x x e -+>->，2110x x e +-<，∴12()()0f x f x -<，即12()()f x f x <，∴)(x f 在(0,)+∞上为增函数.技巧提示：两小题都只要抓住偶函数、增函数的定义解决问题就不难.两小题中变形的都是因式分解，第（2）小题的变形以容易判别符号为目标.又例：已知)(x f 是定义在R 上的偶函数，且在),0[+∞上为减函数，若)12()2(2->--a f a a f ，求实数a 的取值范围.解析：)(x f 是R 上的偶函数且在),0[+∞上为减函数.∴由)12()2(2->--a f a a f ，有|12||2|2-<--a a a ，即⎩⎨⎧-<--≥--222)12(202a a a a a ，解得a ≤－1或a ≥2.再例：二次函数)(x f 的二次项系数为正，且对任意实数x ，恒有)2(x f +＝)2(x f -，若)21(2x f -＜)21(2x x f -+，则x 的取值范围是_________.解析：由二次函数)(x f 的二次项系数为正，知函数的图象为开口向上的抛物线，由)2(x f +＝)2(x f -，知x ＝2为对称轴，于是有结论：距对称轴较近的点的纵坐标较小.∴22122122--+<--x x x 即22)1(12-<+x x ,22)1(12-<+x x ∴－2＜x ＜0.【例5】已知)(x f 是定义在R 上的增函数，对x ∈R 有)(x f ＞0，且)5(f ＝1，设)(x F ＝)(x f ＋)(1x f ，讨论)(x F 的单调性，并证明你的结论.解析：在R 上任取1x 、2x ，设1x ＜2x ，∴)(1x f ＜)(2x f ，],)()(11)][()([)(1)([])(1)([)()(2112112212x f x f x f x f x f x f x f x f x F x F --=+-+=-∵)(x f 是R 上的增函数，且)5(f ＝1，∴当x ＜5时0＜)(x f ＜1，而当x ＞5时)(x f ＞1；①若1x ＜2x ＜5，则0＜)(1x f ＜)(2x f ＜1，∴0＜)(1x f )(2x f ＜1，∴)()(1121x f x f -＜0，∴)(2x F ＜)(1x F ；②若2x ＞1x ＞5，则)(2x f ＞)(1x f ＞1，∴)(1x f )(2x f ＞1,∴)()(1121x f x f -＞0，∴)(2x F ＞)(1x F .综上，)(x F 在（－∞，5）为减函数，在（5，＋∞）为增函数.技巧提示：该题属于判断抽象函数的单调性问题.抽象函数问题是函数学习中一类比较特殊的问题，其基本能力是变量代换、换元等，应熟练掌握它们的这些特点.又例：已知函数)(x f 的定义域关于原点对称，且满足：（1）)()(1)()()(122121x f x f x f x f x x f -+⋅=-；（2）存在正常数a ，使)(a f ＝1.求证：（Ⅰ）)(x f 是奇函数；（Ⅱ）)(x f 是周期函数，并且有一个周期为4a .解析：（Ⅰ）设21x x t -=，则)()()()(1)()()()(1)()()()(211221211212t f x x f x f x f x f x f x f x f x f x f x x f t f -=--=-+⋅-=-+⋅=-=-所以函数)(x f 是奇函数.（Ⅱ）令a x a x ==212，，则)2()(1)()2()(a f a f a f a f a f -+⋅=即)2(11)2(1a f a f -+=，解得：)2(a f ＝0.于是有)()2(1)2()()2(x f a f a f x f a x f --+-⋅=+)(1)()2(1)]2([)(x f x f a f a f x f -=--+-⋅=.所以)()(11)2(1)4(x f x f a x f a x f =--=+-=+.因此，函数)(x f 是周期函数，并且有一个周期为4a .【例6】设函数)(x f ＝xx 1-.对任意),1[+∞∈x ，有0)()(<+x mf mx f 恒成立，则实数m 的取值范围是.解析：方法一：显然m ≠0，由于函数)(x f ＝xx 1-在),1[+∞∈x 上是增函数，则当m ＞0时，0)()(<+x mf mx f 不恒成立，因此m ＜0.当m ＜0时，函数)()()(x mf mx f x h +=在),1[+∞∈x 上是减函数，因此，当1=x 时，)(x h 取得最大值mm h 1)1(-=，故0)()()(<+=x mf mx f x h 恒成立等价于)(x h 在),1[+∞∈x 上的最大值小于零，即01)1(<-=m m h ，解⎪⎩⎪⎨⎧<<-01m m m ，得m ＜－1.于是实数m 的取值范围是)1,(--∞.方法二：显然m ≠0，由于函数)(x f ＝xx 1-在),1[+∞∈x 上是增函数，则当m ＞0时，0)()(<+x mf mx f 不恒成立，因此m ＜0.若xm mx mx mx x mf mx f -+-=+1)()(＝mx m x m 22212--＜0恒成立，因为),1[+∞∈x ，m ＜0，则需22212m x m --＞0恒成立，设函数22212)(m x m x g --=，则)(x g 在),1[+∞∈x 时为增函数，于是1=x 时，)(x g 取得最小值1)1(2-=m g .解⎩⎨⎧<>-012m m ，得m ＜－1.于是实数m 的取值范围是)1,(--∞.方法三：显然m ≠0，由于函数)(x f ＝xx 1-在),1[+∞∈x 上是增函数，则当m ＞0时，0)()(<+x mf mx f 不恒成立，因此m ＜0.因为对任意),1[+∞∈x ，0)()(<+x mf mx f 恒成立，所以对1=x ，不等式0)()(<+x mf mx f 也成立，于是0)1()(<+mf m f ，即01<-mm ，解⎪⎩⎪⎨⎧<<-001m m m ，得m ＜－1.于是实数m 的取值范围是)1,(--∞.技巧提示：这是一个“恒成立”问题函数，本题提供了三种解法，其中方法一和方法二较好地应用了函数的单调性.函数)(x f ＝xx 1-在)0,(-∞和),0(+∞上都是增函数.在)1,(-∞和)1,0(上小于零；在)0,1(-和),1(+∞上大于零.又例：已知函数)(x f ＝xax +2),0(R a x ∈≠，（1）判断函数)(x f 的奇偶性；（2）若)(x f 在区间),2[+∞是增函数，求实数a 的取值范围。

函数的概念与基本性质【知识点】1. 函数的单调性（1） 增函数：一般地，设函数()y f x =的定义域为I ，如果定义域内某个区间上任意两个自变量的值12,x x ，当12x x <时，都有12()()f x f x <，那么就说()f x 在这个区间上是增函数。

（2） 减函数：一般地，设函数()y f x =的定义域为I ，如果定义域内某个区间上任意两个自变量的值12,x x ，当12x x <时，都有12()()f x f x >，那么就说()f x 在这个区间上是减函数。

（3） 单调性（单调区间）：如果()y f x =在某个区间上是增函数或减函数，那么就说()y f x =在这个区间上具有单调性，这一区间叫做函数()y f x =的单调区间。

2. 函数的奇偶性（1） 奇函数：如果对于函数()y f x =的定义域内的任意一个x ，都有()()f x f x -=-，那么函数()y f x =就叫做奇函数。

奇函数的图像关于原点对称。

（2） 偶函数：如果对于函数()y f x =的定义域内的任意一个x ，都有()()f x f x -=，那么函数()y f x =就叫做偶函数。

偶函数的图像关于y 轴原点对称。

（3） 如果函数()y f x =是奇函数或偶函数，那么就说()y f x =具有奇偶性。

3. 函数的对称性（1） 如果()()f a x f a x +=-，那么函数关于直线x a =对称。

（2） 如果()()f a x f a x +=--，那么函数关于点(,0)a 成中心对称。

4. 函数的周期性对于函数()y f x =，如果存在一个不为零的常数T ，使得当x 取定义域中的每个数时，总有()()f x T f x +=成立，那么称函数为周期函数，T 称作这个函数的周期。

如果函数的所有周期中存在最小的正常数0T ，称0T 为函数的最小正周期。

例题1、设()min{41,2,24}f x x x x =++-+，则()f x 的最大值为 。

函数的基本性质讲义（单调性，最值，奇偶性，周期性）一、单调性1．定义：对于函数)(x f y =，对于定义域内的自变量的任意两个值21,x x ，当21x x <时，都有))()()(()(2121x f x f x f x f ><或，那么就说函数)(x f y =在这个区间上是增（或减）函数。

2．证明方法和步骤：（1） 设元：设21,x x 是给定区间上任意两个值，且21x x <；（2） 作差：)()(21x f x f -；（3） 定号：即0)()(0)()(2121<->-x f x f x f x f 或；（4） 根据定义下结论。

3．二次函数的单调性：对函数c bx ax x f ++=2)()0(≠a ，当0>a 时函数)(x f 在对称轴ab x 2-=的左侧单调减小，右侧单调增加； 当0<a 时函数)(x f 在对称轴a b x 2-=的左侧单调增加，右侧单调减小； 4．函数的单调性的应用：判断函数)(x f y =的单调性；比较大小；解不等式；求最值（值域）。

二、最值一般地，设函数()=y f x 的定义域为I ，如果存在实数M 满足：对任意的x I ∈,都有()f x M ≤（或()f x M ≥）;存在0x I ∈，使得()0=f x M ，则称M 是函数)(x f y =的最大值（或最小值）。

三、奇偶性1．定义：如果对于f(x)定义域内的任意一个x,都有)()(x f x f =-，那么函数f(x)就叫偶函数； 如果对于f(x)定义域内的任意一个x,都有)()(x f x f -=-，那么函数f(x)就叫奇函数。

2．奇、偶函数的必要条件：函数的定义域在数轴上所示的区间关于原点对称。

若函数)(x f 为奇函数，且在x=0处有定义，则0)0(=f ；3．判断一个函数的奇偶性的步骤⑴先求定义域，看是否关于原点对称;⑵再判断)()(x f x f -=-或)()(x f x f =- 是否恒成立。

高一数学人教版必修一第一单元知识点：函数的基本性质1．高中数学必修一函数的基本性质——函数的概念：设A、B是非空的数集，如果依照某个肯定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有肯定的数f(x)和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数.记作： y=f(x)，x∈A.其中，x叫做自变量，x的取值范畴A叫做函数的定义域;与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)| x∈A }叫做函数的值域.注意：如果只给出解析式y=f(x)，而没有指明它的定义域，则函数的定义域即是指能使这个式子成心义的实数的集合; 函数的定义域、值域要写成集合或区间的情势.定义域补充能使函数式成心义的实数 x 的集合称为函数的定义域，求函数的定义域时列不等式组的主要根据是：(1) 分式的分母不等于零;(2) 偶次方根的被开方数不小于零;(3) 对数式的真数必须大于零;(4) 指数、对数式的底必须大于零且不等于 1.(5) 如果函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的 . 那么，它的定义域是使各部分都成心义的 x 的值组成的集合 .(6)指数为零底不可以等于零构成函数的三要素：定义域、对应关系和值域再注意：(1)构成函数三个要素是定义域、对应关系和值域.由于值域是由定义域和对应关系决定的，所以，如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，即称这两个函数相等(或为同一函数)(2)两个函数相等当且仅当它们的定义域和对应关系完全一致，而与表示自变量和函数值的字母无关。

相同函数的判定方法：①表达式相同;②定义域一致 (两点必须同时具有)值域补充( 1 )、函数的值域取决于定义域和对应法则，不论采取什么方法求函数的值域都应先推敲其定义域 . ( 2 ) . 应熟悉掌控一次函数、二次函数、指数、对数函数及各三角函数的值域，它是求解复杂函数值域的基础 . ( 3 ) . 求函数值域的常用方法有：直接法、反函数法、换元法、配方法、均值不等式法、判别式法、单调性法等 .3. 高中数学必修一函数的基本性质——函数图象知识归纳(1) 定义：在平面直角坐标系中，以函数y=f(x) , (x ∈A)中的 x 为横坐标，函数值 y 为纵坐标的点P(x ， y) 的集合 C ，叫做函数y=f(x),(x ∈A)的图象.C 上每一点的坐标 (x ， y) 均满足函数关系 y=f(x) ，反过来，以满足 y=f(x) 的每一组有序实数对 x 、 y 为坐标的点 (x ， y) ，均在 C 上 .即记为C={ P(x,y) | y= f(x) , x ∈A }图象 C 一样的是一条光滑的连续曲线 ( 或直线 ), 也多是由与任意平行与 Y 轴的直线最多只有一个交点的若干条曲线或离散点组成 .(2) 画法A、描点法：根据函数解析式和定义域，求出 x,y 的一些对应值并列表，以 (x,y) 为坐标在座标系内描出相应的点 P(x, y) ，最后用平滑的曲线将这些点连接起来 .B、图象变换法(请参考必修4三角函数)常用变换方法有三种，即平移变换、伸缩变换和对称变换(3) 作用：1 、直观的看出函数的性质;2 、利用数形结合的方法分析解题的思路。