2019年第十一届全国大学生数学竞赛初赛题目及答案解析全《非数学专业》高清无水印版

全国大学生数学竞赛（非数学专业）复习讲义微 分 学一、基本概念与内容提要1. 由参数方程确定的函数的导数设⎩⎨⎧==)()(t y t x ψϕ ， 则'')(')('/t t x y t t dt dx dt dy dx dt dt dy dx dy ===⋅=ϕψ )('1)]('[)('')(')(')(''])(')('[)(222t t t t t t dx dt t t dt d dx dy dx d dx y d ϕϕϕψϕψϕψ⋅-=⋅==或 dt dx y dt dy ]'[''= 2.多元函数微分学z z u u u dz dx dy du dx dy x y x y z∂∂∂∂∂=+=++∂∂∂∂∂全微分： dz 具有形式不变性。

()()()()00y000000,,,xz f x y f x y f x y x y z y y =⎧⎪⎨=⎪⎩、、偏导数的几何意义：和分别表示曲线在点，，x y 处的切线对轴和轴的斜率。

函数的连续性和可微、可导必须会用定义判断。

连续的混合高阶偏导数与求导顺序无关。

二元函数的偏导数存在是连续的既不充分又不必要条件。

二元函数存在两个偏导数是可微的必要不充分条件。

偏导数连续是函数可微的充分不必要条件。

函数连续是可微的必要不充分条件。

(,)(,)[(),()]x y z dz f x y x f x y ydz z u z v z f u t v t dt u t v t∆≈=∆+∆∂∂∂∂==⋅+⋅∂∂∂∂全微分的近似计算：多元复合函数的求导法： [(,),(,)](,)(,)z z u z vz f u x y v x y x u x v xu u v vu u x y v v x y du dx dy dv dx dy x y x y∂∂∂∂∂==⋅+⋅∂∂∂∂∂∂∂∂∂===+=+∂∂∂∂ 当，时， 22(,)0()()x x x y y y F F F dy d y dy F x y dx F dx x F y F dx∂∂==-=--⋅∂∂隐函数的求导公式：隐函数， ， ＋ (,,)0y x z zF F z zF x y z x F y F ∂∂==-=-∂∂隐函数，　， (,,,)0(,)(,,,)0(,)1(,)1(,)1(,)1(,),(,)(,)(,)(,)u v u v F FF F F x y u v FG u vJ G G G x y u v G G u v u vu F G v F G u F G v F G x J x v x J u x y J y v y J u y ∂∂=⎧∂∂∂===⎨=∂∂∂⎩∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂=-⋅=-⋅=-⋅=-⋅∂∂∂∂∂∂∂∂隐函数方程组： ,　,二、常考例题讲解用基本方法求导数1. 设函数)(x y y =由方程29ln )(y y f e xe =确定，其中f 具有二阶导数，且1≠'f ，则=22d d xy________________. 2. 已知函数,),(byax ey x u z +=且02=∂∂∂y x z ，确定b a ,，使得函数),(y x z z =满足02=+∂∂-∂∂-∂∂∂z yzx z y x z . 3. 设函数)(t f有二阶连续的导数，()1,r g x y f r ⎛⎫== ⎪⎝⎭，求2222g g x y ∂∂+∂∂. 4. 已知()2ln 1arctan t t x e y t e ⎧=+⎪⎨=-⎪⎩，求22d y dx . 5.设函数),(y x u 的所有二阶偏导数都连续，2222yux u ∂∂=∂∂且x x x u =)2,(，21)2,(x x x u ='，求)2,(11x x u ''. 解：x x x u =)2,(两边对x 求导，得到：1)2,(2)2,(21='+'x x u x x u ，代入 21)2,(x x x u ='求得：21)2,(22x x x u -='； 21)2,(x x x u ='两边对x 求导，得到：x x x u x x u 2)2,(2)2,(1211=''+''； 21)2,(22x x x u -='两边对x 求导，得到 x x x u x x u -=''+'')2,(2)2,(2221. 以上两式与2222yux u ∂∂=∂∂联立，又二阶导数连续，所以2112u u ''=''，故 x x x u 34)2,(11-=''用全微分求解隐函数5. 设),(y x z z =是方程0)1,1(=-+yz x z F 确定的隐函数，且具有连续的二阶偏导数，以及0),(),(≠'='v u F v u F v u ，求证：022=∂∂+∂∂yz y x z x 和.0)(2232223=∂∂+∂∂∂++∂∂y z y y x z y x xy x z x导数与极限、积分、微分方程等结合求函数表达式6. 设函数)(x f 在),0[+∞上连续，在),0(+∞上可导，已知0)(lim 0='+→x f x 且函数)(22y x f u +=满足⎰⎰+≤+++=∂∂+∂∂2222.11222222y x t s dsdt t s y u x u （1）.求函数)0)((>'x x f 的表达式； （2）.若,0)0(=f 求.)1ln()(lim 20x x f x ++→7. 设函数y=f(x)由参数方程()()221x t t t y t ϕ⎧=+⎪>-⎨=⎪⎩确定，且()22341d y t dx =+，其中()t ϕ具有二阶导数，曲线()y t ϕ=与22132t u y edu e-=+⎰在t=1处相切，求函数()t ϕ.8．设一元函数()u f r =当0r <<+∞时有连续的二阶导数，且(1)0,(1)1f f '==，又u f =满足方程2222220u u u x y z ∂∂∂++=∂∂∂，试求()f r 的表达式。

（数学类）试卷第一题：(15分)求经过三平行直线1:L x y z ==，2:11L x y z -==+，3:11L x y z =+=-的圆柱面的方程.第二题：(20分)设n nC ⨯是n n ⨯复矩阵全体在通常的运算下所构成的复数域C 上的线性空间，12100010*******n n n a a a F a --⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪- ⎪⎝⎭. (1)假设111212122212n n n n nn aa a a a a A a a a ⎛⎫ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，若AF FA =，证明： 121112111n n n n A a F a F a F a E ---=++++ ；(2)求n nC⨯的子空间{}()|n n C F X C FX XF ⨯=∈=的维数.第三题：(15分)假设V 是复数域C 上n 维线性空间（0n >），,f g 是V 上的线性变换. 如果fg gf f -=，证明：f 的特征值都是0，且,f g 有公共特征向量.第四题：(10分)设{}()n f x 是定义在,a b ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的无穷次可微的函数序列且逐点收敛，并在,a b ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上满足()nf x M '≤.（1）证明{}()n f x 在,a b ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上一致收敛；（2）设()lim ()n n f x f x →∞=，问()f x 是否一定在,a b ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上处处可导, 为什么？第五题：(10分)设320sin d sin n nt a t t t π=⎰，证明11nn a ∞=∑发散.第六题：(15分)(,)f x y 是{}22(,)|1x y x y +≤上二次连续可微函数，满足222222f f x y x y ∂∂+=∂∂，计算积分221d d x y I x y +≤⎛⎫=⎰⎰第七题：(15分)假设函数()f x 在[0,1]上连续，在()0,1内二阶可导，过点(0,(0))A f ，与点(1,(1))B f 的直线与曲线()y f x =相交于点(,())C c f c ，其中01c <<. 证明：在 ()0,1内至少存在一点ξ，使()0f ξ''=.（数学类）试卷一、（本题共10分）设(0,1)ε∈，0x a =，1sin 0,1,2).n n x a x n ε+=+= （证明lim n n x ξ→+∞=存在，且ξ为方程sin x x a ε-=的唯一根.二、（本题共15分）设01030002010000B ⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭. 证明2X B =无解，这里X 为三阶未知复方阵.三、（本题共10分）设2D ⊂ 是凸区域，函数(,)f x y 是凸函数. 证明或否定：(,)f x y 在D 上连续.注：函数(,)f x y 为凸函数的定义是(0,1)α∀∈以及1122(,),(,)x y x y D ∈，成立12121122((1),(1))(,)(1)(,)f x x y y f x y f x y αααααα+-+-≤+-.四、（本题共10分） 设()f x 在0,1⎡⎤⎢⎥⎣⎦上黎曼(Riemann)可积，在1x =可导，(1)0,f =(1)f a '=. 证明：120lim ()d .n n n x f x x a →+∞=-⎰五、（本题共15分）已知二次曲面∑（非退化）过以下九点：(1,0,0),(1,1,2),(1,1,2),(3,0,0),(3,1,2),(3,2,4),(0,1,4),(3,1,2),(5,8).A B C D E F G H I ------问∑是哪一类曲面？六、（本题共20分） 设A 为n n ⨯实矩阵（未必对称），对任一n 维实向量T 1(,,),0n A ααααα=≥ （这里T α表示α的转置），且存在n 维实向量β使得T 0A ββ=. 同时对任意n 维实向量x 和y ，当T 0xAy ≠时有TT 0xAy yAx +≠. 证明：对任意n 维实向量v ，都有T0.vA β=七、(本题共10分) 设f 在区间0,1⎡⎤⎢⎥⎣⎦上黎曼(Riemann)可积，0 1.f ≤≤ 求证：对任何0ε>，存在只取值为0和1的分段（段数有限）常值函数()g x ，使得,0,1αβ⎡⎤⎡⎤∀⊆⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，()()().f x g x dxβαε-<⎰八、(10分) 已知:(0,)(0,)ϕ+∞→+∞是一个严格单调下降的连续函数，满足0lim (),t t ϕ+→=+∞且10()d ()d ,t t t t a ϕϕ+∞+∞-==<+∞⎰⎰其中1ϕ-表示ϕ的反函数. 求证：32212001()d ()d .2t t t t a ϕϕ+∞+∞-⎡⎤⎡⎤+≥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎰⎰（数学类）试卷一、（本题15分）已知四点(1,2,7),(4,3,3),(5,1,0).-试求过这四点的球面方程。

输油管道的铺设设计符号约定m 炼油厂A 到铁路线L 的距离n 炼油厂B 到铁路线L 的距离b 炼油厂A 、B 间水平距离F 输送管道的总费用f 铺设管道的附加费用W 铺设费用的权重系数1k A 厂铺设非共用管线每千米的费用2k B 厂铺设非共用管线每千米的费用3k 共用管线每千米的费用问题一分析与模型建立最短路径的存在性论证如图4.1，假设C 点为在铁路线上设计增建的车站，由费尔马问题的结论，在ABC ∆中，存在费尔马点P ，使点P与ABC ∆三个顶点距离之和小于三角形二边之和，即有PA+PB+PC<AC+BC图4.1且0120ACB ∠<时，费尔马点P 在ABC ∆内部而当0120>∠ACB 时，费尔马点P 与C 点重合。

为此有如下结论：①当0120<∠ACB 时，铺设公用管道PC 的输送费用比不铺设公用管道费用低；②当0120>∠ACB 时，不需要铺设公用管道，即公用管道PC =0。

问题一分析与模型建立如图4.1，以炼油厂A 、B 间铁路线所在直线为x 轴，以过炼油厂A 且垂直于铁路线L 直线为y 轴，建立平面直角坐标系。

设 A(0,m), B(b,n),P(r,t)，并设非公用管道的费用为每千米1个单位，公用管道的费用为每千米k 个单位（下同），根据实际意义易知21<≤k 。

根据参考文献[1]，点P 不可能在A 的上方，故m t ≤≤0。

易得，A 点关于过点P 平行于x 轴的直线1L 的对称点'A （0，2t-m ）。

由费尔马点的应用及平面几何对称性有为此，得到铺设管道的最优模型min 1F BA k PC '=⨯+⨯ 4-1问题一模型求解对模型分两种管道费用相同与不同两种情形研究，并根据点A 、B 的坐标不同的取值，进行A 、B 不同位置时管道铺设设计。

1公用管道与非公用管道费用不同，即k <1时模型的求解已知A 点关于1l 对称点'A （0，2t-m ）求一阶导数，令'()0F t =求解： 2224m n kb t k +=--或2224m n kb t m k +=+>-（舍去） 又20224m n kb m k+≤-≤-可得： （1）如图4.2，在2()40n m k b k--≤≤时，易判断'()0F t <，即()F t 为单调递减。

附录：中国大学生数学竞赛（非数学专业类）竞赛内容一、函数、极限、连续1．函数的概念及表示法、简单应用问题的函数关系的建立。

2．函数的性质：有界性、单调性、周期性和奇偶性。

3．复合函数、反函数、分段函数和隐函数、基本初等函数的性质及其图形、初等函数。

4．数列极限与函数极限的定义及其性质、函数的左极限与右极限。

5．无穷小和无穷大的概念及其关系、无穷小的性质及无穷小的比较。

6．极限的四则运算、极限存在的单调有界准则和夹逼准则、两个重要极限。

7．函数的连续性（含左连续与右连续）、函数间断点的类型。

8．连续函数的性质和初等函数的连续性。

9．闭区间上连续函数的性质(有界性、最大值和最小值定理、介值定理)。

二、一元函数微分学1. 导数和微分的概念、导数的几何意义和物理意义、函数的可导性与连续性之间的关系、平面曲线的切线和法线。

2. 基本初等函数的导数、导数和微分的四则运算、一阶微分形式的不变性。

3. 复合函数、反函数、隐函数以及参数方程所确定的函数的微分法。

4. 高阶导数的概念、分段函数的二阶导数、某些简单函数的n阶导数。

5. 微分中值定理，包括罗尔定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理和泰勒定理。

6. 洛必达(L’Hospital)法则与求未定式极限。

7. 函数的极值、函数单调性、函数图形的凹凸性、拐点及渐近线(水平、铅直和斜渐近线)、函数图形的描绘。

8. 函数最大值和最小值及其简单应用。

9. 弧微分、曲率、曲率半径。

三、一元函数积分学1. 原函数和不定积分的概念。

2. 不定积分的基本性质、基本积分公式。

3. 定积分的概念和基本性质、定积分中值定理、变上限定积分确定的函数及其导数、牛顿-莱布尼茨(Newton-Leibniz)公式。

4. 不定积分和定积分的换元积分法与分部积分法。

5. 有理函数、三角函数的有理式和简单无理函数的积分。

6. 广义积分。

7. 定积分的应用：平面图形的面积、平面曲线的弧长、旋转体的体积及侧面积、平行截面面积为已知的立体体积、功、引力、压力及函数的平均值。

1 2019年第十一届全国大学生数学竞赛非数学专业竞赛试题一、填空题（本题满分30分，共5小题，每小题6分）(1)sin 0ln sin lim x x e x →+-= .(2)设隐函数()y y x =由方程22()y x y x -=所确定，则2d x y =⎰. (3)定积分20(1sin )d 1cos x e x x x π+=+⎰ .(4)已知22d d d (,)323y x x y u x y x xy y -=-+，则(),u x y =.(5)设,,,0a b c μ>，曲面xyz μ=与曲面2222221x y z a b c++=相切，则μ=. 二、(本题满分14分)计算三重积分22d d d xyz x y z x y Ω+⎰⎰⎰，其中Ω是由曲面()22222x y z xy ++=围成的区域在第一卦限部分.三、(本题满分14分) 设()f x 在[0,)+∞上可微，()00f =，且存在常数0A >，使得()()||||f x A f x '≤在[0,)+∞上成立，试证明在(0,)+∞上有()0.f x ≡四、(本题满分14分)计算积分2sin (cos sin )00d sin d .I e ππθφφφθθ-=⎰⎰ 五、(本题满分14分)设()f x 是仅有正实根的多项式函数，满足0()()n n n f x c x f x +∞='=-∑，证明：()00,n c n >≥极限lim n →+∞存在，且等于()f x 的最小根.六、(本题满分14分)设()f x 在[0,)+∞上具有连续导数，满足222233()()21()x f x f x f x e -⎡⎤⎡⎤'+=+⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦， 且()01f ≤. 证明：存在常数0M >，使得[0,)x ∈+∞时，恒有()||.f x M ≤。

附录：中国大学生数学竞赛（非数学专业类）竞赛内容一、函数、极限、连续1．函数的概念及表示法、简单应用问题的函数关系的建立。

2．函数的性质：有界性、单调性、周期性和奇偶性。

3．复合函数、反函数、分段函数和隐函数、基本初等函数的性质及其图形、初等函数。

4．数列极限与函数极限的定义及其性质、函数的左极限与右极限。

5．无穷小和无穷大的概念及其关系、无穷小的性质及无穷小的比较。

6．极限的四则运算、极限存在的单调有界准则和夹逼准则、两个重要极限。

7．函数的连续性（含左连续与右连续）、函数间断点的类型。

8．连续函数的性质和初等函数的连续性。

9．闭区间上连续函数的性质(有界性、最大值和最小值定理、介值定理)。

二、一元函数微分学1. 导数和微分的概念、导数的几何意义和物理意义、函数的可导性与连续性之间的关系、平面曲线的切线和法线。

2. 基本初等函数的导数、导数和微分的四则运算、一阶微分形式的不变性。

3. 复合函数、反函数、隐函数以及参数方程所确定的函数的微分法。

4. 高阶导数的概念、分段函数的二阶导数、某些简单函数的n阶导数。

5. 微分中值定理，包括罗尔定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理和泰勒定理。

6. 洛必达(L’Hospital)法则与求未定式极限。

7. 函数的极值、函数单调性、函数图形的凹凸性、拐点及渐近线(水平、铅直和斜渐近线)、函数图形的描绘。

8. 函数最大值和最小值及其简单应用。

9. 弧微分、曲率、曲率半径。

三、一元函数积分学1. 原函数和不定积分的概念。

2. 不定积分的基本性质、基本积分公式。

3. 定积分的概念和基本性质、定积分中值定理、变上限定积分确定的函数及其导数、牛顿-莱布尼茨(Newton-Leibniz)公式。

4. 不定积分和定积分的换元积分法与分部积分法。

5. 有理函数、三角函数的有理式和简单无理函数的积分。

6. 广义积分。

7. 定积分的应用：平面图形的面积、平面曲线的弧长、旋转体的体积及侧面积、平行截面面积为已知的立体体积、功、引力、压力及函数的平均值。

全国大学生数学竞赛赛试题(19届)一、试题概述全国大学生数学竞赛是由中国数学会主办的一项面向全国高校本科生的数学竞赛。

自2009年首届竞赛举办以来，已成功举办九届。

竞赛旨在激发大学生对数学的兴趣，提高他们的数学素养和综合能力，同时选拔优秀数学人才。

每届竞赛均设有预赛和决赛两个阶段，预赛为全国范围内的统一考试，决赛则在全国范围内选拔出的优秀选手中进行。

二、竞赛内容全国大学生数学竞赛的试题内容主要包括高等数学、线性代数、概率论与数理统计等基础数学知识。

试题难度适中，既考查参赛选手的基础知识掌握程度，又注重考查他们的综合应用能力和创新思维能力。

三、竞赛特点1. 公平公正：竞赛试题由全国数学教育专家命题，确保试题质量，保证竞赛的公平公正。

2. 注重基础：竞赛试题主要考查参赛选手对基础数学知识的掌握程度，有利于引导大学生重视基础数学学习。

3. 综合应用：试题设计注重考查参赛选手的综合应用能力，培养他们的创新思维和实践能力。

4. 激发兴趣：竞赛通过丰富多样的试题形式，激发大学生对数学的兴趣，培养他们的数学素养。

四、竞赛组织全国大学生数学竞赛由各省、市、自治区数学会负责组织本地区的预赛，中国数学会负责全国范围内的决赛。

竞赛组织工作包括试题命制、竞赛宣传、选手选拔、竞赛监督等环节，确保竞赛的顺利进行。

五、竞赛影响全国大学生数学竞赛自举办以来，受到了广大高校和数学爱好者的广泛关注和热情参与。

竞赛不仅为优秀数学人才提供了展示才华的舞台，也为全国高校数学教育提供了有益的借鉴和启示。

通过竞赛，大学生们不仅提高了自己的数学水平，还结识了许多志同道合的朋友，拓宽了视野，激发了学习热情。

六、竞赛历程自2009年首届全国大学生数学竞赛举办以来，竞赛规模逐年扩大，影响力不断提升。

参赛选手涵盖了全国各大高校的本科生，包括综合性大学、理工科院校、师范院校等。

随着竞赛的普及，越来越多的学生开始关注并参与其中，竞赛逐渐成为衡量高校数学教育水平和学生数学素养的重要标志。

2019年第十一届全国大学生数学竞赛数学专业竞赛（B 卷）试题一、（本题15分）设1L 和2L 是空间中的两条不垂直的异面直线，点B 是它们公垂线段的中点。

点1A 和2A 分别在1L 和2L 上滑动，使得12A B A B ⊥. 证明直线12A A 的轨迹是单叶双曲面。

二、(本题10分)计算()()220190d 11x x x +∞++⎰三、(本题15分)设数列{}n x 满足：()110,ln 1,1,2,n n x x x n +>=+= . 证明：{}n x 收敛并求其极限值. 四、(本题15分)设{}1,,n 是n 维实线性空间V 的一组基，令1210n n +++++=证明：（1）对{}11111,2,,1,,,,,,i i n i n -++=+ 都构成V 的基；（2）V α∀∈，在（1）中的1n +组基中，必存在一组基使α在此基下的坐标分量均非负；（3）若1122n n a a a α=+++ ，且(1,2,,)i a i n = 互不相同，则在（1）中的1n +组基中，满足（2）中非负坐标表示的基是唯一的.五、(本题20分)设A 是数域F 上的n 阶矩阵，若(2n n A I I =表示单位矩阵），则称A 为对合矩阵. 试证：（1）若A 是n 阶对合矩阵，则()()rank rank n n I A I A n ++-=；（2）n 阶对合矩阵A 一定可以对角化，其相似对角形为00r n r I I -⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪- ⎪⎝⎭，其中 ()rank n A r I =+；（3）若A ，B 均是n 阶对合矩阵，且AB BA =，则存在可逆矩阵P ，使得1P AP -和1P BP -同时为对角矩阵.六、(本题15分)设函数()f x 为闭区间,a b ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的连续凹函数，满足()()0,0f a f b =>且()f x 在x a =处存在非零的右导数. 对2n ≥，记()11:(),[,]n n n k k k k k S kx kf x f b x a b ==⎧⎫⎪⎪⎪⎪==∈⎨⎬⎪⎪⎪⎪⎩⎭∑∑（1）证明对(0,())f b α∀∈，存在唯一(,)x a b ∈使得()f x α=；（2）求()lim sup inf .n n n S S →∞-七、(本题10分)设正项级数11n n a ∞=∑收敛. 证明级数221n n nn a S ∞=∑收敛，其中1n k k n a S ==∑.。

中国大学生数学竞赛竞赛大纲(初稿)为了进一步推动高等学校数学课程的改革和建设，提高大学数学课程的教学水平，激励大学生学习数学的兴趣，发现和选拔数学创新人才，更好地实现“中国大学生数学竞赛”的目标，特制订本大纲。

一、竞赛的性质和参赛对象“中国大学生数学竞赛”的目的是：激励大学生学习数学的兴趣，进一步推动高等学校数学课程的改革和建设，提高大学数学课程的教学水平，发现和选拔数学创新人才。

“中国大学生数学竞赛”的参赛对象为大学本科二年级及二年级以上的在校大学生。

二、竞赛的内容“中国大学生数学竞赛”分为数学专业类竞赛题和非数学专业类竞赛题。

（二）中国大学生数学竞赛（非数学专业类）竞赛内容为大学本科理工科专业高等数学课程的教学内容，具体内容如下：一、函数、极限、连续1．函数的概念及表示法、简单应用问题的函数关系的建立.2．函数的性质：有界性、单调性、周期性和奇偶性.3．复合函数、反函数、分段函数和隐函数、基本初等函数的性质及其图形、初等函数.4．数列极限与函数极限的定义及其性质、函数的左极限与右极限.5．无穷小和无穷大的概念及其关系、无穷小的性质及无穷小的比较.6．极限的四则运算、极限存在的单调有界准则和夹逼准则、两个重要极限.7．函数的连续性（含左连续与右连续）、函数间断点的类型.8．连续函数的性质和初等函数的连续性.9．闭区间上连续函数的性质(有界性、最大值和最小值定理、介值定理).二、一元函数微分学1. 导数和微分的概念、导数的几何意义和物理意义、函数的可导性与连续性之间的关系、平面曲线的切线和法线.2. 基本初等函数的导数、导数和微分的四则运算、一阶微分形式的不变性.3. 复合函数、反函数、隐函数以及参数方程所确定的函数的微分法.4. 高阶导数的概念、分段函数的二阶导数、某些简单函数的n阶导数.5. 微分中值定理，包括罗尔定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理和泰勒定理.6. 洛必达(L’Hospital)法则与求未定式极限.7. 函数的极值、函数单调性、函数图形的凹凸性、拐点及渐近线(水平、铅直和斜渐近线)、函数图形的描绘.8. 函数最大值和最小值及其简单应用.9. 弧微分、曲率、曲率半径.三、一元函数积分学1.原函数和不定积分的概念.2. 不定积分的基本性质、基本积分公式.3. 定积分的概念和基本性质、定积分中值定理、变上限定积分确定的函数及其导数、牛顿-莱布尼茨(Newton-Leibniz )公式.4. 不定积分和定积分的换元积分法与分部积分法.5. 有理函数、三角函数的有理式和简单无理函数的积分.6. 广义积分.7. 定积分的应用：平面图形的面积、平面曲线的弧长、旋转体的体积及侧面积、平行截面面积为已知的立体体积、功、引力、压力及函数的平均值．四.常微分方程1. 常微分方程的基本概念：微分方程及其解、阶、通解、初始条件和特解等.2. 变量可分离的微分方程、齐次微分方程、一阶线性微分方程、伯努利(Bernoulli )方程、全微分方程.3. 可用简单的变量代换求解的某些微分方程、可降阶的高阶微分方程：),()n (x f y =),,(y x f y '='' ),(y y f y '=''.4. 线性微分方程解的性质及解的结构定理.5. 二阶常系数齐次线性微分方程、高于二阶的某些常系数齐次线性微分方程.6. 简单的二阶常系数非齐次线性微分方程：自由项为多项式、指数函数、正弦函数、余弦函数，以及它们的和与积7. 欧拉(Euler )方程.8. 微分方程的简单应用五、向量代数和空间解析几何1. 向量的概念、向量的线性运算、向量的数量积和向量积、向量的混合积.2. 两向量垂直、平行的条件、两向量的夹角.3. 向量的坐标表达式及其运算、单位向量、方向数与方向余弦.4. 曲面方程和空间曲线方程的概念、平面方程、直线方程.5. 平面与平面、平面与直线、直线与直线的夹角以及平行、垂直的条件、点到平面和点到直线的距离.6. 球面、母线平行于坐标轴的柱面、旋转轴为坐标轴的旋转曲面的方程、常用的二次曲面方程及其图形.7. 空间曲线的参数方程和一般方程、空间曲线在坐标面上的投影曲线方程.六、多元函数微分学1. 多元函数的概念、二元函数的几何意义.2. 二元函数的极限和连续的概念、有界闭区域上多元连续函数的性质.3. 多元函数偏导数和全微分、全微分存在的必要条件和充分条件.4. 多元复合函数、隐函数的求导法.5. 二阶偏导数、方向导数和梯度.6. 空间曲线的切线和法平面、曲面的切平面和法线.7. 二元函数的二阶泰勒公式.8. 多元函数极值和条件极值、拉格朗日乘数法、多元函数的最大值、最小值及其简单应用.七、多元函数积分学1.二重积分和三重积分的概念及性质、二重积分的计算(直角坐标、极坐标)、三重积分的计算(直角坐标、柱面坐标、球面坐标).2.两类曲线积分的概念、性质及计算、两类曲线积分的关系.3.格林(Green)公式、平面曲线积分与路径无关的条件、已知二元函数全微分求原函数.4.两类曲面积分的概念、性质及计算、两类曲面积分的关系.5.高斯(Gauss)公式、斯托克斯(Stokes)公式、散度和旋度的概念及计算.6.重积分、曲线积分和曲面积分的应用(平面图形的面积、立体图形的体积、曲面面积、弧长、质量、质心、转动惯量、引力、功及流量等)八、无穷级数1.常数项级数的收敛与发散、收敛级数的和、级数的基本性质与收敛的必要条件.2.几何级数与p级数及其收敛性、正项级数收敛性的判别法、交错级数与莱布尼茨(Leibniz)判别法.3.任意项级数的绝对收敛与条件收敛.4.函数项级数的收敛域与和函数的概念.5.幂级数及其收敛半径、收敛区间（指开区间）、收敛域与和函数.6.幂级数在其收敛区间内的基本性质(和函数的连续性、逐项求导和逐项积分)、简单幂级数的和函数的求法.7.初等函数的幂级数展开式.8.函数的傅里叶(Fourier)系数与傅里叶级数、狄利克雷(Dirichlei)定理、函数在[-l，l]上的傅里叶级数、函数在[0,l]上的正弦级数和余弦级数。