第6节 一阶和二阶常系数线性差分方程

差分方程的阶数差分方程的阶数一、引言差分方程是离散时间系统的重要数学模型，它可以描述许多实际问题，如物理、工程、经济等领域中的动态过程。

在差分方程中，阶数是一个重要的概念，它决定了方程解的形式和求解方法。

本文将从阶数的定义、求解方法和应用等方面进行详细介绍。

二、阶数的定义1. 一阶差分方程一阶差分方程是指未知函数只含有一次时间导数的差分方程，即形如：y(n+1) = f(n, y(n))其中n表示时间步长，y(n)表示未知函数在第n个时间步长处的取值，f(n, y(n))表示已知函数关系。

由于该方程只含有一次时间导数，因此称为一阶差分方程。

2. 二阶差分方程二阶差分方程是指未知函数含有二次时间导数的差分方程，即形如：y(n+2) = f(n, y(n), y'(n), y''(n))其中y'(n)和y''(n)分别表示未知函数在第n个时间步长处的一次和二次时间导数。

由于该方程含有二次时间导数，因此称为二阶差分方程。

3. 高阶差分方程高阶差分方程是指未知函数含有高次时间导数的差分方程，即形如：y(n+k) = f(n, y(n), y'(n), ..., y^(k-1)(n))其中k为正整数，y^(k-1)(n)表示未知函数在第n个时间步长处的(k-1)次时间导数。

由于该方程含有高次时间导数，因此称为高阶差分方程。

三、求解方法1. 一阶差分方程对于一阶差分方程y(n+1) = f(n, y(n))，可以采用欧拉公式或泰勒公式进行逼近求解。

具体来说，可以将y(n+1)和y(n)在第n个时间步长处展开成泰勒级数：y(n+1) = y(n) + h*y'(n) + O(h^2)其中h表示时间步长。

将上式代入一阶差分方程中得到：y(n+1) = y(n) + h*f(n, y(n)) + O(h^2)将O(h^2)忽略不计，则得到欧拉逼近公式：y(n+1) ≈ y(n) + h*f(n, y(n))该公式可以用于迭代求解一阶差分方程的近似解。

差分方程的一般表达式嘿，朋友们！今天咱们来唠唠差分方程那点事儿。

差分方程就像是时间长河里的一个个小脚印，记录着事物的变化规律呢。

一般来说，一阶常系数线性差分方程长这样：\(y_{n + 1}-ay_{n}=f(n)\)。

这就好比是一个小火车在轨道上跑，\(y_{n}\)是火车在第\(n\)站的状态，\(a\)呢就像是这个火车的速度调整系数。

如果\(f(n) = 0\)，那就像是火车在一条平坦的轨道上匀速行驶，没有什么额外的干扰。

再说说二阶常系数线性差分方程\(y_{n + 2}+ay_{n+1}+by_{n}=f(n)\)。

这就像一场双人舞蹈，\(y_{n}\)、\(y_{n + 1}\)和\(y_{n+2}\)就像是舞者在不同节拍下的姿势。

\(a\)和\(b\)呢，就像是舞蹈的规则参数，决定着舞者如何从一个姿势转换到另一个姿势。

要是\(f(n)=0\)，就像是舞者在一个没有外界干扰的舞台上，按照自己的节奏翩翩起舞。

还有那种齐次差分方程，就像是一群小伙伴整齐划一地做着同一件事。

比如说\(y_{n + 1}-ay_{n}=0\)，这就像一群小蚂蚁，每一只小蚂蚁的行动都和前一只有着固定的比例关系，\(a\)就是这个比例的关键。

非齐次差分方程呢，就像是平静的湖水里突然扔进了一颗小石子。

比如\(y_{n + 1}-ay_{n}=g(n)\)，\(g(n)\)就像是那颗小石子激起的涟漪，打破了原本齐次方程那种和谐又规律的状态。

差分方程有时候还能像魔法咒语一样预测未来呢。

就拿简单的人口增长模型来说，如果人口数量满足差分方程\(P_{n+1}=(1 + r)P_{n}\)，这里\(r\)是人口增长率，就像一个魔法数字。

这个方程就像一个神奇的水晶球，告诉我们未来人口的大致情况。

对于差分方程组，那就像是一场多角色的戏剧。

每个方程都是一个角色的行动指南，它们之间相互关联又相互影响，就像戏剧里的人物关系一样复杂又有趣。

差分方程知识点总结一、差分方程的概念差分方程是指用差分运算符号（Δ）表示的方程。

差分运算符Δ表示的是某一变量在两个连续时间点的变化量。

差分方程通常用于描述离散时间下的变化规律，比如时间序列、离散动力系统等。

二、常见的差分方程1. 一阶线性差分方程一阶线性差分方程的一般形式为：y(t+1) - y(t) = a*y(t) + b，其中a和b为常数。

一阶线性差分方程常常用于描述某一变量在不同时间点之间的线性变化规律。

2. 二阶线性差分方程二阶线性差分方程的一般形式为：y(t+2) - 2*y(t+1) + y(t) = a*y(t) + b，其中a和b为常数。

二阶线性差分方程通常用于描述某一变量在不同时间点之间的二阶线性变化规律。

3. 线性非齐次差分方程线性非齐次差分方程的一般形式为：y(t+1) - a*y(t) = b，其中a和b为常数。

线性非齐次差分方程通常用于描述某一变量在不同时间点之间的线性变化规律，并且受到外部条件的影响。

4. 滞后差分方程滞后差分方程的一般形式为：y(t+1) = f(y(t))，其中f为某一函数。

滞后差分方程通常用于描述某一变量在不同时间点之间的非线性变化规律。

5. 差分方程组差分方程组是指由多个差分方程组成的方程组。

差分方程组通常用于描述多个变量之间的变化规律，比如混合动力系统、多变量时间序列等。

三、差分方程的解法1. 特征根法特征根法是解一阶或二阶线性差分方程的一种常用方法。

通过求解特征方程，可以求得差分方程的通解。

2. 递推法递推法是解一阶或二阶非齐次差分方程的一种常用方法。

通过递推关系，可以求得差分方程的特解。

3. Z变换法Z变换法是解一阶或二阶差分方程的一种常用方法。

通过对差分方程进行Z变换，可以将其转换为等价的代数方程，然后求解其解。

4. 数值解法对于复杂的差分方程，通常采用数值解法求解。

数值解法包括Euler法、Runge-Kutta法、递推法等，通过迭代计算逼近差分方程的解。

二阶常系数差分方程的解二阶常系数差分方程是一种常见的数学模型，用于描述离散时间的动态系统。

它的解决方案可以帮助我们了解系统的行为和特性。

在本文中，我们将探讨二阶常系数差分方程的解，并通过一个具体的例子来说明其应用。

让我们来了解一下什么是二阶常系数差分方程。

二阶常系数差分方程是指形如y(n+2) + ay(n+1) + by(n) = 0的方程，其中a和b为常数。

这个方程表示了当前时刻的值与前两个时刻的值之间的关系。

通过求解差分方程，我们可以得到关于系统的一些重要信息，比如稳定性、振荡频率等。

接下来，我们来看一个具体的例子来说明二阶常系数差分方程的解法。

假设我们有一个简单的二阶差分方程y(n+2) + 3y(n+1) + 2y(n) = 0，其中初始条件为y(0) = 1和y(1) = -1。

我们可以使用递推的方法来求解这个方程。

我们将初始条件代入方程中，得到y(2) + 3y(1) + 2y(0) = 0，即y(2) + 3(-1) + 2(1) = 0，解得y(2) = 1。

接下来，我们可以使用递推关系y(n+2) = -3y(n+1) - 2y(n)来求解其他时刻的值。

我们先计算y(3)：y(3) = -3y(2) - 2y(1) = -3(1) - 2(-1) = -1。

然后继续计算y(4)：y(4) = -3y(3) - 2y(2) = -3(-1) - 2(1) = 1。

依此类推，我们可以得到y(5) = -1，y(6) = 1，以及后续时刻的值。

通过上述计算，我们可以得到二阶常系数差分方程y(n+2) + 3y(n+1) + 2y(n) = 0的解为y(n) = {1, -1, -1, 1, -1, 1, -1, ...}。

这个解表示了在给定的初始条件下，系统的值随着时间的推移呈周期性的振荡。

除了递推法，我们还可以使用特征方程法来求解二阶常系数差分方程。

通过将差分方程转化为特征方程，我们可以得到方程的根，从而得到方程的解。

差分方程的阶数差分方程是描述离散时间系统动力学行为的数学模型。

它是微分方程的离散形式，通过差分算子来逼近微分算子。

差分方程的阶数是指方程中最高阶差分项的阶数。

1. 一阶差分方程一阶差分方程是指方程中最高阶差分项为一阶差分项的差分方程。

一阶差分方程的一般形式为：y[n+1] = f(y[n])，其中y[n]表示第n 个时刻的状态值，y[n+1]表示下一个时刻的状态值，f是关于y[n]的函数。

一阶差分方程描述了系统在当前时刻的状态如何转移到下一个时刻的状态。

2. 二阶差分方程二阶差分方程是指方程中最高阶差分项为二阶差分项的差分方程。

二阶差分方程的一般形式为：y[n+2] = f(y[n], y[n+1])，其中y[n]和y[n+1]分别表示第n个时刻和第n+1个时刻的状态值，y[n+2]表示下两个时刻的状态值，f是关于y[n]和y[n+1]的函数。

二阶差分方程描述了系统在当前时刻和下一个时刻的状态如何转移到下两个时刻的状态。

3. 高阶差分方程高阶差分方程是指方程中最高阶差分项为高于二阶的差分项的差分方程。

高阶差分方程的一般形式为：y[n+k] = f(y[n], y[n+1], ...,y[n+k-1])，其中y[n]、y[n+1]、...、y[n+k-1]分别表示第n个时刻、第n+1个时刻、...、第n+k-1个时刻的状态值，y[n+k]表示下k个时刻的状态值，f是关于y[n]、y[n+1]、...、y[n+k-1]的函数。

高阶差分方程描述了系统在当前时刻和多个未来时刻的状态如何转移。

差分方程的阶数决定了系统动力学的复杂性。

一阶差分方程描述了简单的状态转移，而高阶差分方程可以描述更复杂的状态转移规律。

通过研究差分方程的阶数，可以深入理解系统的动力学行为，为系统的建模和分析提供有力的工具。

差分方程的阶数是指方程中最高阶差分项的阶数。

一阶差分方程描述了系统在当前时刻的状态如何转移到下一个时刻的状态，二阶差分方程描述了系统在当前时刻和下一个时刻的状态如何转移到下两个时刻的状态，高阶差分方程描述了系统在当前时刻和多个未来时刻的状态如何转移。

差分方程特解公式总结差分方程是一种离散的数学模型，可以用于描述离散时间下的动态系统。

在求解差分方程的过程中，特解是其中一种重要的解法。

本文将总结差分方程特解的公式，并对其应用进行讨论。

一、一阶线性差分方程特解公式一阶线性差分方程的一般形式为：$y_{n+1} = ay_n + b$，其中$a$和$b$为常数。

对于这种形式的差分方程，我们可以使用特解公式求解。

特解公式为：$y_n = \frac{b}{1-a}$，其中$n$为自变量的取值。

这个公式的推导思路是将差分方程中的$y_{n+1}$替换为$y_n$，然后求解出$y_n$。

这样得到的特解能够满足差分方程的要求。

二、二阶线性差分方程特解公式二阶线性差分方程的一般形式为：$y_{n+2} = ay_{n+1} + by_n + c$，其中$a$、$b$和$c$为常数。

对于这种形式的差分方程，我们可以使用特解公式求解。

特解公式为：$y_n = \frac{c}{1-a-b}$，其中$n$为自变量的取值。

特解公式的推导过程类似于一阶线性差分方程的推导过程。

我们将差分方程中的$y_{n+2}$替换为$y_n$，然后求解出$y_n$。

这样得到的特解能够满足差分方程的要求。

三、一般线性差分方程特解公式对于一般的线性差分方程，特解公式的形式会更加复杂。

我们可以通过猜测特解的形式，并将其代入差分方程中，然后求解出特解。

常见的特解形式包括常数特解、多项式特解、指数特解、三角函数特解等。

选择特解的形式时需要根据差分方程的具体形式和边界条件进行判断。

四、差分方程特解的应用差分方程特解的求解在实际问题中具有广泛的应用。

例如，在经济学中，差分方程可以用于描述经济系统的动态变化过程。

通过求解差分方程的特解，可以预测未来的经济发展趋势。

差分方程特解还可以用于模拟物理系统的运动过程、优化控制问题的求解等。

通过建立差分方程模型并求解特解，可以得到系统的稳定性分析和优化策略。

总结：差分方程特解公式是求解差分方程的一种重要方法。

第六章 微分方程与差分方程§1微分方程的基本概念习 题 6 — 11.验证下列各题中函数是所给微分方程的解，并指出解的类型： ⑴03=+'y y x ，3-=Cx y ； 解：3-=Cx y 是03=+'y y x 的通解；⑵ax xyy +='，bx ax y +=2，其中a ，b 为常数； 解：bx ax y +=2是ax xy y +='的特解（因为b 不是任意常数）；⑶()()022='-'+'+''-y y y y x y x xy ，()xy y ln =；解：()xy y ln =是()()022='-'+'+''-y y y y x y x xy 的特解；⑷0127=+'-''y y y ，x xe C e C y 4231+=；解：x xe C eC y 4231+=是0127=+'-''y y y 的通解；⑸x y y y 2103=-'+''，50355221--+=-x e C e C y x x. 解：50355221--+=-x e C eC y x x是x y y y 2103=-'+''的通解. 知识点：，定义6.2（若一个函数代入微分方程后，能使方程两端恒等，则称这个函数为微分方程的解）和若微分方程的解中含有独立的任意常数且个数与微分方程的阶数相同，这样的解叫做微分方程的通解，不含任意常数的解称为特解。

2.在曲线族()xex C C y 221+=中找出满足条件10==x y ，10='=x y 的曲线.解：由题意得：()xe x C C C y 222122++='，∵10==x y ，10='=x y ， ∴解得11=C ,12-=C ， 故所求曲线为()xex y 21-=（xxe y 2=）。

微积分Calculus一阶常系数线性差分方程一一阶常系数线性差分方程概念1一般形式：1()x x y py f x +−=其中为不等于零的常数，为已知函数。

p ()f x ()f x 若不恒等于零，称以上方程为一阶常系数非齐次线性差分方程。

()f x 若恒等于零，称以上方程为一阶常系数齐次线性差分方程。

齐次线性差分方程的解法1yx =pyx−1=p ∙py x−2=p ∙p ∙py x−3=⋯=p x y 010x x y py +−=一阶齐次线性差分方程：将上述方程变形为：则有：记得一阶齐次线性差分方程的通解：0C y =xx y Cp =　（为任意常数）C 二一阶常系数线性差分方程的解法y x+1=py x求差分方程130x x y y ++=的通解。

因为，将其代入通解公式得：3p =−(3)x x y C =−　（为任意常数）C 13x xy y +=−将原方程变形为：例解一阶非齐次线性差分方程：1()x x y py f x +−=下面介绍对的三种特殊形式求非齐次差分方程特解的方法。

()f x 非齐次线性差分方程的解法2（1）（为常数，）()f x k =k 0k ≠差分方程变为：1x xy py k +−=　设其特解形式为：s x y Ax *=（其中为待定常数）,A s1,p ≠①取即：0s =x y A*=1,p =②取即：1s =x y Ax*=x y A *=将代入差分方程求得A将代入差分方程求得Ax y Ax *=21716x x y y +++=求差分方程的通解.对应齐次差分方程：的通解为：217x x y y +++=0(7)xx y C =−　（为任意常数）C p =−7≠1,设特解为y x ∗=A代入原方程得：2A =故原差分方程通解为：2(7)x x y C =+−（为任意常数）C 例解（2）（其中为常数，且）()xf x ka =k a ，0a >0a ≠非齐次差分方程变为：1x x x y py ka +−=　设特解形式为：x sx y Aa x*=①时，取即p a ≠0s =x x y Aa *=②p a =1s =x x y Axa *=时，取即求差分方程的通解11242x x x y y ++−=原方程化简为122xx x y y +−=对应齐次差分方程通解为2xx y C =　（为任意常数）C 2p a ==由于，所以原方程得特解形式为：2xx y Ax =代入原方程得：1(1)2222x x xA x Ax ++−=12A =例解原方程特解为：11222x x x y x x *−==所以原方程通解为：12(2)x x x y x C −=+（为任意常数）C。

《高等数学》（经管类）教学大纲大纲说明课程代码：4915001总学时：128学时(讲课128学时)总学分：8分课程类别：必修适用专业：经管类本科一年级学生预修要求：初等数学一、课程性质、目的、任务本课程是本科经管类各专业的一门公共基础课，教学内容主要有一元与多元微积分；级数；常微分方程初步。

本课程教学目的是使学生获得从事经济管理和经济研究所必需的微积分方面的知识；学会应用变量数学的方法分析研究经济现象中的数量关系；培养抽象思维和逻辑推理的能力；树立辩证唯物主义的观点，同时，本课程也是后继经济应用数学（如概率统计等）的必要基础。

二、课程教学的基本要求：1、正确理解下列基本概念和它们之间的内在联系：函数、极限、无穷小、连续、导数、微分、不定积分、定积分、曲面的方程、偏导数、全微分、二重积分、常微分方程、无穷级数的收敛与发散性、边际、弹性。

2、正确理解下列基本定理和公式并能正确应用：极限的主要定理、罗尔定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理、定积分作为变上限的函数及其求导的定理、牛顿—莱布尼兹公式。

3、牢固掌握下列基本公式：基本初等函数的导数公式、基本积分公式、函数e x 、sinx 、cosx 、α)1(x +、ln(1+x)的幂级数展开式。

4、熟练运用下列法则和方法函数的和、差、积、商求导法则与复合函数的求导法则、隐函数的求导法、反函数的求导法、直接积分法、换元积分法、分部积分法、二重积分计算法、级数收敛性的比较判别法，达朗贝尔判别法、莱布尼兹判别法、幂级数收敛半径的求法、变量可分离的一阶微分方程的解法、一阶线性微方程的解法、二阶常系数线性微分方程的解法、拉格朗日乘数法、最小二乘法。

5、会运用微积分和常微分方程的方法解决一些简单的经济问题。

6、在学习过程中，逐步培养熟练的运算能力，抽象的思维能力，逻辑推理能力、空间想象能力。

知识的获得与能力的培养是同一过程的两个侧面，知识是发展能力的内容，能力是掌握知识的条件，我们既努力获得新知识，同时也注意不断提高分析问题和解决问题的能力。