阿波罗尼奥斯与圆锥曲线论

宇宙的基本形式——圆锥曲线的那些鲜为人知的故事1、圆锥曲线是什么？相信高中学生都能知道：椭圆，双曲线和抛物线通称为“圆锥曲线”。

圆锥曲线（二次曲线）的统一定义为：到定点（焦点）的距离与到定直线（准线）的距离的商是常数e（离心率）的点的轨迹。

当e>1时，为双曲线的一支，当e=1时，为抛物线，当0<e<1时，为椭圆，当e=0时，椭圆退化为圆（此时可认为定点（焦点）为圆心，定直线（准线）为无穷远直线），而且知道相对的方程式是二元二次方程式。

那就纳闷了，这样的一些曲线为什么叫圆锥曲线?难道与圆锥有关？还真是。

这要从2000多年前的古希腊数学家阿波罗尼奥斯（Apollonius of Perga，约公元前262～190年）谈起。

3、阿波罗尼奥斯——“数学三杰”之一阿波罗尼奥斯阿波罗尼奥斯常和欧几里得、阿基米德合称为亚历山大时期的“数学三杰”。

阿波罗尼奥斯年青时到亚历山大跟随欧几里得的后继者学习。

阿波罗尼奥斯总结了前人（柏拉图学派的梅内赫莫斯为解决倍立方体问题而发现了圆锥曲线）的工作，尤其是欧几里得的工作，写了一部经典巨著《圆锥曲线论》，一共8大卷，共487个命题，前4卷的希腊文本和其次3卷的阿拉伯文本保存了下来，最后一卷遗失。

阿波罗尼奥斯在其著作中使用纯几何方法将圆锥曲线的性质网罗殆尽，几乎不给后人留有任何研究的余地，堪称希腊几何的最高水平。

（与欧几里得的《几何原本》同被誉为古代希腊几何的登峰造极之作。

）我们很难想象，在没有现代代数符号的情况下，他是如何发现并证明百条优美而深奥的定理的。

不愧是“数学三杰”之一！阿波罗尼奥斯采用平面切割圆锥的方法来研究这几种曲线。

用垂直于锥轴的平面去截圆锥，得到的是圆；把平面渐渐倾斜，得到椭圆；当平面倾斜到“和且仅和”圆锥的一条母线平行时，得到抛物线；用平行于圆锥的轴的平面截取，可得到双曲线的一支（把圆锥面换成相应的二次锥面时，则可得到双曲线。

他曾把椭圆叫“亏曲线”，把双曲线叫做“超曲线”，把抛物线叫做“齐曲线”。

「代数思维系列」椭圆性质汇总圆锥曲线是高中解析几何的重点和难点，运算量之大，相信所有经历过的学生都有感触，而正因为代数运算之繁琐，更使得代数思维在圆锥曲线这个舞台上，有了极大的发挥空间。

最早研究圆锥曲线的集大成者是古希腊数学家阿波罗尼奥斯（约公元前262～190年），阿波罗尼奥斯在其著作《圆锥曲线论》中将圆锥曲线的性质几乎网罗殆尽。

当然，那个时候还没有平面直角坐标系，更没有解析几何的概念，但其著作中已经有了坐标制的思想，直到1800多年后的17世纪，笛卡尔建立坐标系，创立解析几何后，对圆锥曲线的研究才有了进一步的扩展。

阿波罗尼奥斯（约公元前262～190年）高中阶段对圆锥曲线的学习，还处于非常基础的阶段，圆锥曲线的性质可以列出数百条，本文仅对高考考点中涉及的椭圆的部分性质进行汇总。

（双曲线及抛物线的性质另文详述，欢迎大家持续关注）注：以下仅讨论焦点在x轴上的椭圆性质。

椭圆定义1.第一定义平面内与两定点F1、F2的距离的和为常数2a的动点P的轨迹叫做椭圆，其中2a>|F1F2|。

此为课本上的标准定义，不再详述。

2.第二定义平面内到定点F（±c，0）的距离和到定直线l：x=±a²/c的距离之比为常数e=c/a（0<><1）的点的轨迹是椭圆。

其中定点f（±c，0）为椭圆的左右焦点，定直线l：x=±a²>对第二定义给出证明：以右焦点和右准线为例：上述定义即可作为判定定理也可作为性质定理。

椭圆方程1.椭圆标准方程不再详述。

2.椭圆参数方程其中θ为参数，θ的几何意义如下图：以椭圆长轴和短轴为直径分别做圆，针对椭圆上任一点M，分别向大圆与小圆做垂线，垂足分别为A，B，则ABO三点共线，∠AOx 即为参数θ。

切线1.椭圆切线定理椭圆的任意一条切线与切点处的两条焦半径所成的角相等。

如图，F1、F2为椭圆两焦点，AB为椭圆切线，P为切点，则∠APF1=∠BPF2。

古希腊数学史上有一段黄金时期，那就是从公元前338年到公元前30年——最后一个希腊
公元前300年左右，托勒密一世开始在埃及的亚历山大
城建造当时世界上最大的博物馆和图书馆，提倡学术研究，
网罗人才。

从此以后，亚历山大城成为希腊文化活动的中心。

这里学者云集，出现了一大批优秀的数学家，其中最杰
出的代表是欧几里得、阿基米德和阿波罗尼奥斯这三位。

他们三人无论是与古代人相比，还是与各个时代的数学
家相比，都堪称伟大。

（现在位于土耳其安纳托利亚省）。

成年之后，
他就到了亚历山大城，向欧几里得、阿基米德的学生学习几何知
阿波罗尼奥斯后来回过故乡，那里也有一个大图书馆，规模
仅次于亚历山大图书馆。

这个国家的国王阿塔罗斯一世除崇尚武
功外，还注重文化建设。

阿波罗尼奥斯的《圆锥曲线论》从第4卷
圆椭圆抛物线双曲线
23。

圆锥曲线的发展历史圆锥曲线，也被称为二次曲线，是数学中的一个重要分支，涵盖了一系列以圆锥为背景的曲线形状。

这个领域的历史可以追溯到古代数学，并持续发展至今。

在古代，圆锥曲线的概念首先由古希腊数学家希波克拉底斯（Hipparchus）提出。

他通过研究太阳的投影和行星的运动，发现了椭圆、双曲线和抛物线等圆锥曲线的一些性质。

然而，对于这些曲线的深入理解和研究主要是在17世纪和18世纪进行的。

在17世纪，意大利数学家卡瓦列里（Cavalieri）提出了“圆锥截面”的概念，即通过一个平面与圆锥的相交，可以得到一条曲线。

这个概念被广泛地应用于解析几何和微积分的研究中。

同时，开普勒（Kepler）通过对行星运动的研究，发现了行星运动的三大定律，这实际上是进一步揭示了椭圆曲线的性质。

到了18世纪，法国数学家蒙日（Monge）进一步发展了圆锥曲线的理论。

他引入了参数方程来描述这些曲线，这使得在坐标系中更容易地描绘和计算这些曲线的性质。

同时，蒙日还推广了卡瓦列里的“圆锥截面”概念，将其应用于更广泛的几何问题中。

在19世纪和20世纪，圆锥曲线的研究进一步深入。

德国数学家高斯（Gauss）在他的著作《曲面的一般研究》中，详细研究了曲面上的二次曲线，并引入了“二次曲面”的概念。

意大利数学家皮亚诺（Peano）也进一步发展了圆锥曲线的几何理论，他引入了“皮亚诺曲线”的概念，这是一种不能用圆规和直尺画出的曲线。

在现代数学中，圆锥曲线仍然是研究的热点之一。

除了传统的几何学研究外，圆锥曲线还在物理学、天文学、工程学等领域有着广泛的应用。

例如，在物理学中，圆锥曲线可以描述粒子的运动轨迹；在天文学中，圆锥曲线可以描述行星的运动轨迹；在工程学中，圆锥曲线可以用于建筑设计、机械制造等领域。

圆锥曲线的发展历史是一部跨越千年的数学史诗。

从古希腊的希波克拉底斯到现代的科学家们，数学家们一直在探索和理解这些神奇的曲线形状。

随着科技的发展，圆锥曲线在各个领域的应用也将越来越广泛。

数学史（12）：阿波罗尼奥斯的《圆锥曲线》模仿只会仿制他所见到的事物，而想象则能创造他所没有见过的事物。

——阿波罗尼奥斯佩尔加古城遗址古典希腊的另一位伟大数学家是阿波罗尼奥斯（Apollonius，约公元前262年～190年），生于小亚细亚西北部的佩尔加（Perga，今属土耳其安纳托利亚）。

他青年时代曾经到亚历山大城跟随欧几里得的后继者学习，后来到过小亚细亚西岸的帕加马(Pergamum)王国，也到过以弗所（Ephesus），嗣后卜居亚历山大城和当地的数学家合作研究。

在当时及后世，他都以“大几何学家”和天文学家闻名。

阿波罗尼奥斯在晚年总结自己的一生所学，撰写了几何学经典巨著《圆锥曲线》，写作风格和欧几里得、阿基米德是一脉相承的：先设立若干定义，再由此依次证明各个命题，推理十分严格。

尽管在他之前已有人研究圆锥曲线，但阿波罗尼奥斯做了去粗取精和系统化的工作，另有非常独到的创见，而且写得巧妙、灵活。

《圆锥曲线》前四卷是基础部分，后四卷是拓广的内容，其中八卷已失传，共含487个命题。

卷1 论述圆锥曲线的定义和性质阿波罗尼奥斯是第一个依据同一个（正的或斜的）圆锥的界面来研究圆锥曲线理论的人，也是第一个发现双曲线有两支的人。

如上图，给定一个圆直径BC，以及该圆所在平面外的一个点A。

过A点且沿圆周移动的一根直线便生成一对锥面。

直径BC圆叫该圆锥的底。

圆锥的轴（未画出）若垂直于底，这就是正圆锥（直角圆锥），否则就是斜圆锥（锐角圆锥和钝角圆锥）。

设圆锥的一个截面与底平面相交于直线DE，该直线和底圆直径BC相互垂直。

于是，三角形ABC就是一个包含了圆锥轴的三角形，也因此被称作为“圆锥轴三角形”。

该三角形和“圆锥曲线”相交于两点P，P`。

PP`连接线是该“圆锥曲线”的一条直径；Q点和Q`点的连接线是该“圆锥曲线”的一条弦，且和直线DE平行。

因此，连线QQ`和连线PP`虽然相交于V 点，但是未必和连线PP`垂直。

阿波罗尼随即证明了QQ`被PP`所平分，从而VQ=1/2QQ`。

阿波罗尼奥斯圆锥曲线命题阿波罗尼奥斯（Apollonius）是古希腊数学家，被誉为“圆锥曲线之父”，他对圆锥曲线的研究至今仍具有深远的影响。

圆锥曲线作为数学中的重要概念，在几何学、物理学、工程学等领域都有着广泛的应用。

而命题则是对几何图形特定性质或关系的陈述，通常需要用证明来加以解释。

本文将从简单到复杂，由浅入深地探讨阿波罗尼奥斯和圆锥曲线的相关内容，并以命题为线索展开论述。

一、阿波罗尼奥斯的生平和成就1. 阿波罗尼奥斯简介阿波罗尼奥斯是古希腊数学家，生活在公元前262年至公元前190年之间。

他的主要成就是在圆锥曲线的研究方面，尤其是椭圆、双曲线和抛物线的性质和方程。

2. 圆锥曲线的定义和分类圆锥曲线是平面上由圆锥和一个平面相交得到的曲线，根据与圆锥的角度和位置的不同，圆锥曲线可以分为椭圆、双曲线和抛物线三种基本类型。

3. 阿波罗尼奥斯对圆锥曲线的研究成果阿波罗尼奥斯在其著作《圆锥曲线论》中系统地阐述了圆锥曲线的基本性质和方程，并且提出了圆锥曲线的焦点、直径、离心率等重要概念，为后人对圆锥曲线的研究奠定了坚实的基础。

二、圆锥曲线的性质和应用1. 椭圆的性质和应用椭圆是圆锥曲线中的一种，其在几何学和天文学中有着重要的应用，例如开普勒定律中描述了行星在椭圆轨道上运动的规律。

2. 双曲线的性质和应用双曲线同样具有丰富的性质和应用，它在光学和工程学中有着重要的地位，例如抛物面反射器的设计和应用。

3. 抛物线的性质和应用抛物线的性质在抛物线运动和抛物线反射方面有着广泛的应用，例如在炮弹和导弹的发射轨迹计算中就广泛应用了抛物线的性质。

三、命题的探讨和应用1. 命题的定义和类型命题是对几何图形或数学概念具体性质的陈述，通常需要用证明来加以解释。

命题可以分为几何命题和数学命题两种类型。

2. 命题的证明方法命题的证明方法有直接证明、间接证明、反证法等多种形式，其中直接证明是最常见的证明方法，而反证法则是通过假设命题为假，然后导出一个矛盾的结论来证明命题为真。

古希腊几何的巅峰之作——《圆锥曲线论》阿波罗尼奥斯的《圆锥曲线论》确实可以看成是古希腊几何的登峰造极之作！————克莱因《古今数学思想》前言古希腊数学的黄金时代曾诞生了著名的“古希腊数学三杰”，其中的欧几里得和阿基米德都是我们比较熟悉的数学家，而大多数人却都对其中最后一名数学家阿波罗尼奥斯比较陌生。

但出人意料的是，尽管阿基米德是公认的古希腊最杰出的数学家，但真正能代表古希腊几何学最高成就的著作恰恰来自这位我们不太熟悉的数学家。

阿波罗尼奥斯的杰出成就在于他系统地建立和发展了古典的圆锥曲线论，而后完成了集大成之作《圆锥曲线论》。

这听起来似乎像是天方夜谭，圆锥曲线居然是两千多年前就已经出现的？！圆锥曲线论在我国是高中数学最重要的数学内容之一，它往往让不太擅长数学的学生感到非常头痛。

由于其复杂性，圆锥曲线论比欧式几何难学，但事实上，它们却是差不多同一时代的产物。

课本给我们的错觉是圆锥曲线论应该是是笛卡尔时代的数学，但它确确实实来自公元前的古希腊。

阿波罗尼奥斯阿波罗尼奥斯(Apollonius)出生于小亚细亚地区的佩加(Perga，今属土耳其)，因此他常常也被称为Apollonius of Perga，阿波罗尼奥斯的生卒年不详，大约生活在公元前三世纪中后期。

他的青年时期是在当时的“智慧之都”亚历山大城（今埃及的亚历山大港）度过的，做为强盛的托勒密王朝的首都，亚历山大城是当时的地中海地区的政治和经济文化中心，也是数学发达之地。

阿波罗尼奥斯在这里跟随欧几里得的后继者们学习数学，在托勒密四世时期(前221~前205)，阿波罗尼奥斯已经颇具名气。

今天的亚历山大港后来他又前往帕加马（Pergamum）王国，并受到国王阿塔罗斯一世的赏识，后来阿波罗尼奥斯所完成的巨著《圆锥曲线论》中的后5卷名义上都是献给这位国王的。

除此之外，阿波罗尼奥斯的其他生平事迹都没有文献记载过，因此他的事迹并不广为人知，这也是他在后世名气不如欧几里得和阿基米德的原因之一。

第五节阿波罗尼奥斯与圆锥曲线论
圆锥曲线是椭圆、双曲线、抛物线的统称，因为它们都可以通过“用平面截圆锥”来得到，所以叫圆锥曲线。

在建立平面直角坐标系以后，表达这三类曲线的方程都是二次方程，所以它们又统称为二次曲线。

图中分别画出了椭圆、双曲线、抛物线的形状。

我们周围圆锥曲线的例子很多。

我们居住的地球始终沿着环绕太阳的椭圆轨道运行，太阳位于该椭圆的一个焦点上。

太阳系的其他行星的运行轨道也是椭圆。

抛物线绕其轴旋转得到旋转抛物面。

探照灯的反光镜做成旋转抛物面的形状，以得到集中的光束。

双曲线绕其虚轴（与双曲线不相交的那根对称轴）旋转得到单叶双曲面。

许多化工厂和热电厂的高大的冷却塔就特意做成单叶双曲面的形状，既轻巧又坚固。

这些例子当中的道理是什么呢？这就需要我们对圆锥曲线及其性质有进一步的了解。

一、圆锥曲线的由来与阿波罗尼奥斯
古希腊的数学，曾经是当时世界数学发展的辉煌的一页。

对圆锥曲线的研究是其中重要的一个方面。

第一个考察圆锥曲线的是希腊学者梅内赫莫斯（Menaechmus，公元前375-前325）。

他起初的目标是解决当时的一个著名难题——立方倍积问题。

阿波罗尼奥斯圆锥曲线论
阿波罗尼奥斯的《圆锥曲线论》是数学史上的一部重要著作，也是圆锥曲线理论的基础。

书中详细研究了椭圆、抛物线和双曲线的性质和几何特征。

《圆锥曲线论》的创作受到了古希腊学者梅内克谬斯的影响，后者通过以不同角度的直圆锥进行切割，得到了抛物线、椭圆和双曲线的一支。

阿波罗尼奥斯在此基础上进行了深入研究和拓展，将3种圆锥曲线命名为椭圆、抛物线、双曲线，并给出了相应的几何描述。

《圆锥曲线论》共有8卷，但遗憾的是第8卷已经遗失。

存世的7卷中，前4卷有希腊文抄本，后3卷则源自阿拉伯文译本。

这部著作以其体系性、完整性和详尽性而著称，成为了长时间内难以超越的经典，对后来的数学家和天文学家产生了深远影响。

同时，《圆锥曲线论》的整理、翻译和评注者中包括了英国著名天文学家爱德蒙·哈雷，他甚至做了很大努力试图恢复第8卷。

这也从一个侧面反映了这部著作的重要性和影响力。

圆锥曲线为啥叫圆锥曲线？
圆锥曲线⼀直是⾼中的中点知识，笔者上⾼中的时候，并不知道为啥圆锥曲线叫圆锥曲线？今天就来演⽰⼀下圆锥曲线的由来，
2000多年前，古希腊数学家最先开始研究圆锥曲线，并获得了⼤量的成果。

古希腊数学家阿波罗尼斯采⽤平⾯切割圆锥的⽅法来研究这⼏种曲线。

⽤垂直于锥轴的平⾯去截圆锥，得到的是圆；把平⾯渐渐倾斜，得到椭圆；当平⾯倾斜到“和且仅和”圆锥的⼀条母线平⾏时，得到抛物线；⽤平⾏于圆锥的轴的平⾯截取,可得到双曲线的⼀⽀（把圆锥⾯换成相应的⼆次锥⾯时,则可得到双曲线）。

阿波罗尼曾把椭圆叫“亏曲线”，把双曲线叫做“超曲线”，把抛物线叫做“齐曲线”。

事实上，阿波罗尼在其著作中使⽤纯⼏何⽅法已经取得了今天⾼中数学中关于圆锥曲线的全部性质和结果。

（引⾃百度百科）
下⾯我们⽤图形来演⽰，如下图是⼀个⼆次锥⾯，和圆锥的区别是分上下，且⾯咩有尽头⽆限延伸。

我们先⽤平⾯截取锥⾯，演⽰⼀下阿波罗尼斯的过程。

可以看到随着平⾯的倾斜，和锥⾯的交线逐渐的变化。

01⽤垂直于锥轴的平⾯去截锥⾯，得到的是圆；
02把平⾯渐渐倾斜，得到椭圆；
03当平⾯倾斜到“和且仅和”圆锥⾯的⼀条母线平⾏时，得到抛物线；
04⽤平⾏于圆锥的轴的平⾯截取,可得到双曲线.
（其实当平⾯与⼆次锥⾯两侧都相交，且不过圆锥顶点，结果为双曲线.）
05当平⾯与⼆次锥⾯两侧都相交，且过圆锥顶点，结果为两条相交直线。

06当平⾯只与⼆次锥⾯⼀侧相交，且过圆锥顶点，结果为⼀点。

07当平⾯与⼆次锥⾯的母线平⾏，且过圆锥顶点，结果退化为⼀条直线。

人类为什么要研究圆锥曲线？
古希腊数学家阿波罗尼发现用一个平面去截一个双圆锥面，会得到圆、椭圆、抛物线、双曲线、以及他们的各种退化形式，两条相交直线、一条直线、一个点。

阿波罗尼在前人的工作的基础上，进行归纳提炼使之系统化，写出了著作《圆锥曲线论》，全书8篇，共487个命题，用纯几何方法已经取得了现在高中数学中圆锥曲线的全部性质及结果。

一、圆椎曲线在天文学中的应用。

开普勒提出行星按照椭圆轨道绕太阳运行的，并阐明了连接太阳和地球的线段在沿着轨道相等时间段内扫过的面积相等，太阳位于椭圆的两个焦点之一处。

地球每时每刻都在环绕太阳的椭圆轨迹上运行，其他行星也如此，太阳则位于椭圆的一个焦点处。

假如这些行星运行速度增大到某种程度，它们就会沿抛物线或双曲线运行。

人造地球卫星也要遵照这个原理。

从这个意义上讲，圆椎曲线构成了宇宙运动的基本形式。

二、圆椎曲线在解析几何中的应用。

欧拉之后，三维解析几何也发展起来，由圆锥曲线导出许多重要的曲面，例如圆柱面，椭球面单页和，双叶曲面，以及各种抛物面。

三、圆椎曲线在建筑中的应用。

有好多建筑运用了圆椎曲线的性质。

比如回声山谷，就利用了椭圆的两个焦点的光学性质，从一个焦点发出的光经过反射之后到达另一个焦点。

自然科学史与方法论椭圆锥什么是椭圆锥椭圆锥，是一个重要的几何学概念，它是由一个平面与一个平行于这个平面的截痕曲线组成的集合。

这个截痕曲线有两个焦点，并且与这两个焦点之间的距离之和等于一个常数。

椭圆锥是一个在数学和物理学中广泛研究的对象，它具有许多重要的性质和应用。

椭圆锥的历史椭圆锥的研究可以追溯到古希腊时期，当时的数学家们就对椭圆锥的性质进行了研究。

其中最著名的数学家是古希腊数学家阿波罗尼奥斯，他在《圆锥曲线论》一书中系统地研究了椭圆锥的性质和方程。

在欧洲中世纪时期，椭圆锥的研究受到了重视，众多数学家致力于对其进行了深入研究。

其中最重要的贡献来自于德国数学家开普勒，他在16世纪末和17世纪初对行星运动进行了研究，并发现行星绕太阳运动的轨迹是椭圆。

随着数学和物理学的发展，椭圆锥的研究逐渐深入。

在17世纪和18世纪，许多著名的数学家如牛顿、拉格朗日和欧拉等都对椭圆锥进行了重要的研究，并为其建立了坚实的理论基础。

椭圆锥的性质和应用椭圆锥具有许多重要的性质和应用，在数学和物理学的多个领域都有广泛的应用。

•椭圆锥是圆锥曲线的一种，与其他圆锥曲线如双曲线和抛物线相比，它具有独特的性质。

椭圆锥是一个闭合曲线，它在数学上有着重要的几何和代数性质。

•椭圆锥在天体力学和天体测量学中有广泛的应用。

开普勒的行星运动定律中的椭圆轨道就是椭圆锥的一个重要应用。

通过对行星运动轨道的研究，科学家能够了解行星的运动规律和太阳系的结构。

•椭圆锥在光学中也有重要的应用。

例如，光的折射和反射现象可以通过椭圆锥的性质进行解释。

光线在不同介质中传播时，会沿着椭圆锥曲线传播，这解释了许多光学现象的原理。

•在工程和建筑领域，椭圆锥的性质也有实际应用。

例如，拱桥和拱顶的形状可以近似为椭圆锥，这样可以使结构更加牢固和稳定。

结论椭圆锥作为一个重要的几何学概念，在自然科学史中扮演着重要的角色。

它的研究历史可以追溯到古希腊时期，经过数学家和物理学家的长时间探索和研究，椭圆锥的性质和应用逐渐揭示。

起源编辑2000多年前，古希腊数学家最先开始研究圆锥曲线，并获得了大量的成果。

古希腊数学家阿波罗尼采用平面切割圆锥的方法来研究这几种曲线。

用垂直于锥轴的平面去截圆锥，得到的是圆；把平面渐渐倾斜，得到椭圆；当平面倾斜到“和且仅和”圆锥的一条母线平行时，得到抛物线；用平行圆锥的高的平面截取,可得到双曲线的一边;以圆锥顶点做对称圆锥,则可得到双曲线[1]。

阿波罗尼曾把椭圆叫“亏曲线”，把双曲线叫做“超曲线”，把抛物线叫做“齐曲线”。

事实上，阿波罗尼在其著作中使用纯几何方法已经取得了今天高中数学中关于圆锥曲线的全部性质和结果。

其中; △‘为一与△同号的值，。

定理说明应用该定理于椭圆时,应将代入。

应用于双曲线时,应将代入,同时不应为零,即ε不为零。

求解y1+y2与y1*y2只须将A与B的值互换且m与n的值互换.可知ε与∆'的值不会因此而改变。

定理补充联立曲线方程与y=kx+是现行高考中比联立”Ax+By+C=0“更为普遍的现象。

其中联立后的二次方程是标准答案中必不可少的一项，x1+x2，x1x2都可以直接通过该方程与韦达定理求得，唯独弦长的表达式需要大量计算。

这里给出一个CGY-EH的斜率式简化公式，以减少记忆量，以便在考试中套用。

若曲线与直线y=kx+相交于E、F两点,则:这里的既可以是常数，也可以是关于k的代数式。

由这个公式我们可以推出：若曲线为椭圆,则若曲线为双曲线,则由于在高考中CGY-EH定理不可以直接应用，所以学生如此解答才可得全步骤分（省略号的内容需要考生自己填写）：联立两方程得……（二次式子）（*）所以x1+x2=……①，x1x2=……②；所以|x1-x2|=√（x1+x2）^2-4x1x2=……（此时代入①、②式得到一个大式子，但不必化简）化简得|x1-x2|=(偷偷地直接套公式，不必真化简)下面就可求弦长了。

定理简证设曲线x^2/m+y^2/n=1①与直线Aχ+By+C=0②相交于E、F两点，联立①②式可得最终的二次方程：(A^2 m+B^2 n) x^2+2ACmx+C^2 m-mnB^2=0应用韦达定理，可得:x_1+x_2=(-2ACm)/(A^2 m+B^2 n)x_1 x_2=(m(C^2-B^2 n))/(A^2 m+B^2 n)∆=4mnB^2(ε-C^2)对于等价的一元二次方程∆的数值不唯一,且∆的意义仅在于其与零的关系,故由4B^2>0恒成立,则可取与∆同号的∆'=mn(ε-C^2)作为∆的值。

1 古希腊数学的发展：a. 泰勒斯和毕达哥拉斯：在古希腊论证数学发展史上，泰勒斯（Thales of Miletus，约公元前624～前547年）被称为第一个几何学家，他确立和证实了为人们公认的第一批几何定理：1、圆为它的任一直径所平分；2、半圆的圆周角是直角；3、等腰三角形两底角相等；4、相似三角形的各对应边成比例；5、若两三角形两角和一边对应相等则三角形全等。

古希腊论证数学的另一位先驱是毕达哥拉斯（Pythagoras of Samos，约公元前584～前497年）及其学派。

在毕达哥拉斯之前，人们并没有清楚认识到几何的证明是要有假设的，几何学所取得的一些结构，大都靠经验得出。

至于它们之间的关系，包括相互之间、规律与规律的交互作用等，都未有过说明。

是毕达哥拉斯在发展几何的过程中率先制定“公设”或“公理”，然后再经过严格的推导、演绎来进行。

把证明引入数学是毕达哥拉斯伟大功绩之一。

毕达哥拉斯的第二个贡献是提出抽象。

他把抽象运用到数学上，认为数学上的数、图形都是思维的抽象，已不是实际生活中的数与形。

如几何物体，正是舍弃了诸如密度、颜色、重量，唯一所考虑的只是它的空间分布形式。

抽象引发了几何的思辨，从实物的数与形，抽象到数学上的数与形，成为早期的几何思想的先驱。

后来，由勾股定理（西方成为毕达哥拉斯定理或百牛定理）引发的有关无理数的第一次数学危机推动了数学上的思想解放。

为此作出努力的是柏拉图的学生天文学家欧多克索斯（Eudoxus,约公元前400年～前347年）。

他为解释无理数的问题，采用了“比例理论”，这其中就隐含了极限的思想，对后来的欧几里得几何学的产生起到了积极作用。

b.智者（Sophist）学派与古希腊三大难题:在数学上，智人学派曾提出“三大问题”：1.三等分任意角；2.倍立方，求作一立方体，使其体积是已知立方体的二倍；3.化圆为方，求作一正方形，使其面积等于一已知圆。

这些问题的难处，是作图只许用直尺(没有刻度的尺)和圆规。