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数学史（12）：阿波罗尼奥斯的《圆锥曲线》模仿只会仿制他所见到的事物，而想象则能创造他所没有见过的事物。
——阿波罗尼奥斯佩尔加古城遗址古典希腊的另一位伟大数学家是阿波罗尼奥斯（Apollonius，约公元前262年～190年），生于小亚细亚西北部的佩尔加（Perga，今属土耳其安纳托利亚）。
他青年时代曾经到亚历山大城跟随欧几里得的后继者学习，后来到过小亚细亚西岸的帕加马(Pergamum)王国，也到过以弗所（Ephesus），嗣后卜居亚历山大城和当地的数学家合作研究。
在当时及后世，他都以“大几何学家”和天文学家闻名。
阿波罗尼奥斯在晚年总结自己的一生所学，撰写了几何学经典巨著《圆锥曲线》，写作风格和欧几里得、阿基米德是一脉相承的：先设立若干定义，再由此依次证明各个命题，推理十分严格。
尽管在他之前已有人研究圆锥曲线，但阿波罗尼奥斯做了去粗取精和系统化的工作，另有非常独到的创见，而且写得巧妙、灵活。
《圆锥曲线》前四卷是基础部分，后四卷是拓广的内容，其中八卷已失传，共含487个命题。
卷1 论述圆锥曲线的定义和性质阿波罗尼奥斯是第一个依据同一个（正的或斜的）圆锥的界面来研究圆锥曲线理论的人，也是第一个发现双曲线有两支的人。
如上图，给定一个圆直径BC，以及该圆所在平面外的一个点A。
过A点且沿圆周移动的一根直线便生成一对锥面。
直径BC圆叫该圆锥的底。
圆锥的轴（未画出）若垂直于底，这就是正圆锥（直角圆锥），否则就是斜圆锥（锐角圆锥和钝角圆锥）。
设圆锥的一个截面与底平面相交于直线DE，该直线和底圆直径BC相互垂直。
于是，三角形ABC就是一个包含了圆锥轴的三角形，也因此被称作为“圆锥轴三角形”。
该三角形和“圆锥曲线”相交于两点P，P`。
PP`连接线是该“圆锥曲线”的一条直径；Q点和Q`点的连接线是该“圆锥曲线”的一条弦，且和直线DE平行。
因此，连线QQ`和连线PP`虽然相交于V 点，但是未必和连线PP`垂直。
阿波罗尼随即证明了QQ`被PP`所平分，从而VQ=1/2QQ`。
高三圆锥曲线知识点ppt近年来，随着高中数学教育的不断推进和科技的快速发展，PPT已经成为教学中不可或缺的辅助工具之一。
PPT作为一种视觉化表达方式，可以更好地梳理知识结构、提供直观的图形展示，有助于学生更好地理解和掌握知识。
在高三阶段，圆锥曲线是数学课程中的重要知识点，为了更好地帮助学生掌握这一难点知识，授课教师制作了一份精美的圆锥曲线知识点PPT，下面让我们一起来了解一下。
第一部分：概述在本部分，PPT首先介绍了圆锥曲线的定义和分类。
圆锥曲线是指在一个平面上，圆锥和与它的母线相交所得到的曲线，主要包括椭圆、双曲线和抛物线。
通过比较这三种曲线的特点和方程形式，学生可以初步了解到圆锥曲线的基本特征。
第二部分：椭圆在这一部分，PPT详细讲解了椭圆的性质和相关公式。
首先，PPT通过图形展示，引导学生感受椭圆的形状和特点，进而引入椭圆的标准方程和参数方程。
接着，PPT解释了椭圆的离心率和焦点的概念，并提供了相应的计算公式。
最后，PPT通过实例演练，让学生熟悉椭圆的应用题解法和常见的考点。
第三部分：双曲线这一部分，PPT以与椭圆相似的方式，介绍了双曲线的性质和相关公式。
通过对比椭圆和双曲线的差异，PPT帮助学生理解双曲线的拉伸特点和方程形式。
同时，PPT还重点讲解了双曲线的渐近线和渐近方程，让学生认识到双曲线的特殊性质。
最后，通过一些典型例题，PPT引导学生掌握双曲线的求解方法和解题技巧。
第四部分：抛物线本部分，PPT将重点介绍抛物线的性质和相关公式。
PPT首先通过图形展示，引导学生认识抛物线的特点和形态。
接着，PPT 介绍了抛物线的标准方程和顶点坐标的计算方法。
而后，PPT进一步讲解了抛物线的对称轴和焦点的概念，并给出了相应的计算公式。
最后，PPT以一些典型例题，帮助学生巩固对抛物线的掌握。
第五部分：综合运用在这一部分，PPT整合了前面所讲的椭圆、双曲线和抛物线的知识，以一些综合性应用题的形式出现。
这些题目既考察学生对于圆锥曲线的理解，又培养了学生解决复杂问题的能力。
阿波罗尼奥斯圆锥曲线引言阿波罗尼奥斯（Apollonius）是古希腊数学家，他对圆锥曲线的研究做出了重要贡献。
圆锥曲线是平面上的一类特殊曲线，包括椭圆、双曲线和抛物线。
本文将介绍阿波罗尼奥斯对圆锥曲线的研究和命题。
圆锥曲线的定义圆锥曲线是由一个固定点（焦点）和一个固定直线（准线）确定的一类平面曲线。
根据焦点与准线之间的距离关系，可以将圆锥曲线分为三类：椭圆、双曲线和抛物线。
椭圆椭圆是焦点到准线距离之和等于常数的所有点构成的轨迹。
椭圆有两个焦点和两个准轴（长轴和短轴）。
其中，长轴是连接两个焦点并通过中心点的直径，短轴是与长轴垂直且通过中心点的直径。
双曲线双曲线是焦点到准线距离之差等于常数的所有点构成的轨迹。
双曲线也有两个焦点和两个准轴。
与椭圆不同的是，双曲线的焦点到准线距离之差为负数。
抛物线抛物线是焦点到准线距离等于常数的所有点构成的轨迹。
抛物线有一个焦点和一个准轴（对称轴）。
焦点位于抛物线上方或下方，并且与准轴相等距离。
阿波罗尼奥斯的研究阿波罗尼奥斯在他的著作《圆锥曲线论》中详细研究了圆锥曲线，并提出了许多重要命题和定理。
椭圆命题阿波罗尼奥斯提出了椭圆的一些重要性质和定理，其中包括：1.椭圆内任意一点到两个焦点的距离之和等于椭圆长轴长度。
2.椭圆内任意一条弦通过椭圆中心时，其长度等于椭圆长轴长度。
3.椭圆的离心率小于1，且离心率越接近于0，椭圆越接近于圆。
双曲线命题阿波罗尼奥斯对双曲线的研究也非常深入，他提出了以下重要命题和定理：1.双曲线内任意一点到两个焦点的距离之差等于双曲线的常数。
2.双曲线内任意一条弦通过双曲线中心时，其长度等于双曲线的常数。
3.双曲线的离心率大于1，且离心率越大，双曲线越扁平。
抛物线命题在抛物线的研究中，阿波罗尼奥斯提出了以下重要命题和定理：1.抛物线内任意一点到焦点的距离等于抛物线到准轴的距离。
2.抛物线内任意一条弦垂直于准轴时，其长度等于抛物线到准轴的距离。
圆锥曲线在现实生活中的应用圆锥曲线在现实生活中有许多应用。
数学史话阿波罗尼奥斯(Apollonius ，约公元前262-前190)是与欧几里得、阿基米德同一时期的伟大数学家.年轻时曾到亚历山大里亚就学，师从欧几里得的弟子，后来从事教学工作．阿波罗尼奥斯阿波罗尼奥斯是一位有名的天文学家，但他也写过多种数学著作，其中《圆锥曲线论》(Conic Sections)是一部非凡的巨著.因此，获得了“伟大的几何学者”的称号．《圆锥曲线论》一书对几何学的发展产生了深远的影响．《圆锥曲线论》共含8卷，包括了400多个命题，将圆锥曲线的性质网罗殆尽，几乎使后人没有插足的余地．《圆锥曲线论》阿波罗尼奥斯在《圆锥曲线论》的第一卷中给出了三种圆锥曲线即椭圆，即椭圆(ellipse)，抛物线(pa⁃rabola)和双曲线(hyperbola)，如图1所示，并给出它们的定义.李炅图１64数学史话实际上，阿波罗尼奥斯发展圆锥曲线理论就是从给出这三种圆锥曲线定义开始的.他首先给出圆锥曲面的定义：如果有一点A ，在不含此点的平面α上画一圆，在圆周上取一点P ，连接AP并沿圆周运动形成的曲面叫作圆锥面，如图2.图２阿波罗尼奥斯把A 叫作顶点，把A 与圆心的连线叫圆锥面的轴，圆锥面和圆面围成的立体叫作圆锥．把圆面叫作圆锥的底．如果用含轴的平面截圆锥，可得两个三角形ABC 和AB ′C ′，BC 和B ′C ′是圆锥的底与截面的交线，也可找到一个平面截这个圆锥，使交线DE 垂直于BC ，得到截面和三角形ABC 的交线ZH ，如图3．图3(1)ZH 平行于AC .过曲线DZE 任意一点K ，引直线平行于ED 、交ZH 于G ，线段KG 在平行于底的MKN 面中，切口MKN 是以MN 为直径的圆，如图4．若引ZF ，满足ZF ∶ZA ＝BC 2∶BH ·AC ，K 是曲线DZE 上的点，总有KG 2=FZ ·ZG ，于是，以FZ 、ZG 为边的长方形面积FZ ·ZG 相当于以KG 为边的正方形的面积.把具有这种性质的曲线DZE叫抛物线．这就是门奈赫莫斯的“直角圆锥切线”.图4(2)ZH 不平行于AC .①ZHB ＜∠ACB 时，如图5，取交线ZZ ′，作截面与底的交线DHE ，由于DHE 和BC 相交，过A 引直线平行于ZZ ′，交BC 延长线于一点K ，作ZF 满足AK 2∶BK ∶KC ＝ZZ ′∶ZF ，过曲线任一点G ，过点G 作平行于DHE 的直线交ZZ ′于M ，于是有GM 2＝FZ ·ZM -α成立．(α是正值)这说明以GM 为一边的正方形面积小于以FZ 和ZM 为边的长方形的面积，称为“不足”（ελλεl ψls ,ellipse ），现叫作“椭圆”.这种曲线就是门奈赫莫斯的“锐角圆锥曲线”．图5②∠ZHB ＞∠ACB ，如图6.用平面切以A 为顶点的两圆锥，可得相对二条曲线DZE 和①希腊语是παραβολειν.D ′Z ′E ′，平行于ZZ ′的直线交BC 于K ，作FZ 满足AK 2∶BK ·KC ＝ZZ ′∶FZ ，对于曲线上任意一点G ，有：GM 2＝FZ ·ZM +α(α为正值)成立．这说明以GM 为边长的正方形面积大于以FZ 、ZM 为边的长方形面积．阿波罗尼奥斯将其命名为“过剩的”，即现在的双曲线．65数学史话图6阿波罗尼奥斯能在如上复杂的图形中，寻求各种圆锥曲线的定义，显示出了他的高超才智．第二卷开始部分描述了渐近线的性质，其中指出，由于渐近线是向无限远伸展，所以它们要与曲线越来越靠近，以致它们相隔的距离可以小于任何给定的长度.此外，阿波罗尼奥斯还证明了，由曲线上任一点向固定方向上的渐近线作直线所围成的矩形，其面积是一定的；这相当于笛卡儿术语中应以方程xy =c 来表示的关系.接着是描述求圆锥曲线的直径、抛物线的轴、椭圆与双曲线的轴和中心的方法.最后说明作曲线的切线的各种方法．第三卷含有一些定理，其中有一部分关于面积的定理．例如，若一条圆锥曲线上的任意两点A 和B 处的切线交于C ，并与过B 和A 的直径交于D 和E ，则△CBD 和△ACE 面积相等.还有极点和极轴的调和性质(类似于我们在射影几何初等课本中的习题)以及关于相交弦线段乘积定理．例如，如果平行于两个给定方向的弦AB 和CD 相交于O ，则AO ·OBCO ·OD是一常数，与O 的位置无关.第三卷开头论述了关于切线与直径所成图形的面积的定理，并且还介绍了一些有关轨迹的问题，在本卷最后叙述了二次曲线的著名的焦点性质.但是，在整个著作中，既没有讲到圆锥曲线的焦点——准线的性质，也没有讲到抛物线的焦点，这是难以理解的，因为据帕普斯说，欧几里得已知道这些性质．第四卷主要是讨论关于圆锥曲线相交的定理．还证明了第三卷中的极点和极轴的某些命题的逆命题．第五卷的独到之处在于它论述从一特定点到圆锥曲线所能作的最长和最短的线.阿波罗尼奥斯先从圆锥曲线长轴上或抛物线轴上的特殊点讲起，求出这些点到曲线的最大距离与最小距离.他又证明，若O 是任一圆锥曲线内的任一点，且若OP 是从O 到圆锥曲线的一极小或极大距离，则P 处垂直于OP 的直线是P 处的切线，又若O ′是OP 延长线上在圆锥曲线外面的任一点，则O ′P 是从O ′到圆锥曲线的极小线.切线在切点处的垂线现在叫法线，因此极大和极小线都是法线.阿波罗尼奥斯还研究了任一圆锥曲线的法线性质.例如，在抛物线或椭圆任一点处的法线还与曲线交于另一点.然后他指出怎样从圆锥曲线内部或外部的给定点作该曲线的法线．值得指出的是阿波罗尼奥斯在书中没有把法线看成是垂直于切线的直线，而是看成从曲线的内点或外点所作的到曲线上的极大直线和极小直线．第六卷包括全等圆锥曲线、相似圆锥曲线及圆锥曲线弓形.这个弓形也像圆的弓形那样是由圆锥曲线的弦所割出的一部分面积.还讲述了如何在一个给定的直圆锥上求一个等于给定圆锥曲线的截线．第七卷包含一批涉及共轭直径的定理，例如，关于在一对共轭直径的端点对有心圆锥曲线所作切线形成的平行四边形的面积恒等的定理．第八卷已失传．除了《圆锥曲线论》，阿波罗尼奥斯还著有《论比例截点(或截线，截面)》(On Proportional Section)；《关于相切》(Tangencies)；《论特殊截点(或截线、截面)》(On Dete －rminate Section)；《论确定的截点(或截线、截面)》(OnDeterminate Section)；《关于平面轨迹》(Plane Loci)；《斜向》(Vergings)．66。
圆锥曲线圆锥曲线包括椭圆(圆是椭圆的特例)、抛物线和双曲线。
圆锥曲线（二次曲线）的（不完整）统一定义：到定点（焦点）的距离与到定直线（准线）的距离的商是常数e（离心率）的点的轨迹。
当e>1时，为双曲线的一支，当e=1时，为抛物线，当0<e<1时，为椭圆，当e=0时，为一点。
[1]起源2000多年前，古希腊数学家最先开始研究圆锥曲线，并获得了大量的成果。
古希腊数学家阿波罗尼斯采用平面切割圆锥的方法来研究这几种曲线。
用垂直于锥轴的平面去截圆锥，得到的是圆；把平面渐渐倾斜，得到椭圆；当平面倾斜到“和且仅和”圆锥的一条母线平行时，得到抛物线；用平行于圆锥的轴的平面截取,可得到双曲线的一支（把圆锥面换成相应的二次锥面时,则可得到双曲线）。
阿波罗尼曾把椭圆叫“亏曲线”，把双曲线叫做“超曲线”，把抛物线叫做“齐曲线”。
事实上，阿波罗尼在其著作中使用纯几何方法已经取得了今天高中数学中关于圆锥曲线的全部性质和结果。
定义几何观点用一个平面去截一个二次锥面，得到的交线就称为圆锥曲线（conic sections）。
通常所说的圆锥曲线包括椭圆、双曲线和抛物线，但严格来说，也包括一些退化的情况。
具体来说:1)当平面平行于圆锥曲面的母线且不经过圆锥的顶点时，结果是一条抛物线。
2) 当平面与二次锥面的母线平行，且过圆锥顶点，结果退化为一条直线。
3)当平面只与圆锥曲面的一边相交，不经过圆锥曲面的顶点时，结果是一个椭圆。
4) 当平面只与二次锥面一侧相交，且不过圆锥顶点，并与圆锥的对称轴垂直，结果为圆。
5)当平面只与二次曲线曲面的一边相交，并通过二次曲线的顶点时，结果是一个点。
6) 当平面与二次锥面两侧都相交，且不过圆锥顶点，结果为双曲线（每一支为此二次锥面中的一个圆锥面与平面的交线）。
7) 当平面与二次锥面两侧都相交，且过圆锥顶点，结果为两条相交直线。
注意，上述曲线类中不含有二次曲线：两平行直线。
代数观点在笛卡尔平面上，二元二次方程的图像称为二次曲线。
