(完整版)简单的统筹规划问题

第13讲简单的统筹规划问题解题思路：先仔细考虑达到最优策略要遵循的原则，再想具体办法。

例1某工地A有20辆卡车，要把60车渣土从A运到B，把40车砖从C运到D（工地道路图如图所示），问如何调运最省汽油？例2一支勘探队在五个山头A、B、C、D、E设立了基地，人数如图所示.为调整使各基地人数相同，如何调动最方便？（调动时不考虑路程远近）例3在一条公路上每隔100千米有一个仓库（如图），共有5个仓库.一号仓库存有10吨货物，二号仓库有20吨货物，五号仓库存有40吨货物，其余两个仓库是空的。

现在想把所有的货物集中存放在一个仓库里，如果每吨货物运输1公里需要0.5元运输费，那么最少要多少运费才行？例4 189米长的钢筋要剪成4米或7米两种尺寸，如何剪法最省材料？例5用10尺长的竹竿做原材料，来截取3尺、4尺长的甲、乙两种短竹竿各100根，至少要用去原材料几根？怎么截法最合算？例6甲、乙两个服装厂每个工人和设备都能全力生产同一规格的西服，甲厂每月用35的时间生产上衣，25的时间生产裤子，全月恰好生产900套西服；乙厂每月用47的时间生产上衣，37的时间生产裤子，全月恰好生产1200套西服。

现在两厂联合生产，尽量发挥各自的特长多生产西服，那么现在每月比过去多生产西服多少套？习题1.某乡共有六块甘蔗地，每块地的产量如下图所示.现在准备建设一座糖厂，问糖厂建于何处总运费最省？2.产地A1、A2、A3和销售地B1、B2、B3、B4都在铁路线上，位置如下图所示.已知A1、A2、A3的产量分别为5吨、3吨、2吨；B1、B2、B3、B4的销售量分别是1吨、2吨、3吨、4吨.试求出使总运输吨公里数最小的调运方案。

3.把长239米的钢筋截成17米和24米长的钢筋，如何截法最省材料？4.钢筋原材料每件长7.3米，每套钢筋架子用长2.9米、2.1米和1.5米的钢筋各1段.现在需要绑好钢筋架子100套，至少要用去原材料几件？截料方法怎样最省？5.某车间有铣床3台，车床3台，自动机床1台，生产一种由甲、乙两个零件组成的产品.每台铣床每天生产甲零件10个，或者生产乙零件20个；每台车床每天生产甲零件20个，或者生产乙零件30个；每台自动机床每天生产甲零件30个，或者生产乙零件80个.如何安排这些机器的生产任务才能获得最大数量的成套产品？每天最多可生产多少套产品？第十三讲简单的统筹规划问题这一讲我们讨论有关物资调运、下料问题及配套生产等实例。

统筹规划问题本讲学习任务：一、时间安排类问题二、货物调配类问题一、统筹规划的认知1.有一个正方形的城堡，共有12名士兵。

有一天，他们收到情报说：当天晚上会有4个敌人偷袭城市。

请问：他们能成功抵御敌人的偷袭吗？2.统筹规划的定义：完成一件事情，怎样做才能做到使用时间最少，或者所需费用最省，或者效果最好，等等。

诸如此类问题，我们统称为统筹规划问题。

二、时间安排类问题【例1】小云早晨起床，刷牙洗脸要3分钟，整理床铺要2分钟，背外语单词要12分钟，淘米要2分钟，烧饭要18分钟，吃饭要8分钟。

若小云要在7点30分前出门，请问：小云最迟能睡到什么时候【例2】一只平底锅只能煎两只饼，用它煎1只饼需要2分钟（正面、反面各煎一分钟），请问：煎3张饼最少要多少时间？发散一下：一只平底锅只能煎两只饼，用它煎1只饼需要2分钟（正面、反面各煎一分钟）。

请问：煎1993张饼最少要多少时间？【例3】6各人各拿一只水桶到水龙头接水，水龙头注满6个人的水桶所需时间分别是5分钟、4分钟、3分钟、10分钟、7分钟、6分钟。

现在只有一个水龙头可用，问怎样安排这6个人的打水次序，可使他们总等候的时间最短？发散一下：6各人各拿一只水桶到水龙头接水，水龙头注满6个人的水桶所需时间分别是5分钟、4分钟、3分钟、10分钟、7分钟、6分钟。

现在有两个水龙头可用，问怎样安排这6个人的打水次序，可使他们总等候的时间最短？三、货物调送类问题【例4】某工地A有20辆卡车，要把60车渣土从A运到B，把40车砖从C运到D（工地道路图如右图所示），问如何调用最省汽油？三、货物配送类问题设A1B1=a千米，B2B1=b千米，B2A2=c千米，如果从A1、A2各运1吨货物到B1、B2。

那么应该如何配送？【例5】一支勘探队在五个山头A、B、C、D、E设立了基地，人数如右图所示。

为调整使各基地人数相同，如何调动最方便？（调动时不考虑路程远近）【例6】如上图，在公路上A、B两地各有10吨、15吨麦子，问打麦场建在何处运费最少？（假定每吨小麦运输1千米费用是a元）。

第21讲统筹与规划知识梳理在我国古代，人们就知道：“运筹于惟幄之中，决胜于千里之外。

”现代人以此来说明正确地制定策略、策划、统筹安排的重要作用。

只有掌握了最优化的思想，合理统筹安排操作程序，才能够提高效率，节省人力、物力、时间，争取获得最好的结果。

这种思想还可以使我们养成遇事爱动脑筋，做事合理安排的良好习惯。

在这一章节中我们将通过对一些例题的介绍，使大家熟悉如何合理统筹安排。

典型例题【例1】车间里有一批16米长的原材料，现在要截成6米长的毛坯40根，4米长的毛坯36根，试设计最省料的下料方案。

问要几根原材料？【例2】在火炉上烤烧饼，烤好一个烧饼需要4分钟，每烤完一面需要2分钟，炉上只能同时烤2个饼，现在需烤201个烧饼，至少需要多长时间？【小试牛刀】烙饼需要烙它的正、反面，如果烙熟一块饼的正、反面，各用去3 分钟，那么用一次可容下2 块饼的锅来烙 2007 块饼，至少需要多少分钟？【例3】如图1是一个物资调运问题。

A、B、C、D是产地，E、F、G、M、N是销地，产销量（吨）及距离（公里）数如图所注，试作一个吨公里总数最小的调运方案。

【小试牛刀】在图中，每个数表示走这段路所需要的时间（单位：分钟）．求 A 到 B 的最短时间．【例4】有2001名学生分散在一条公路上义务宣传环境保护，问活动结束后应该在公路的什么地点集合，可以使他们从各自的宣传岗位沿公路走到集合地点的路程总和最短？【例5】A、B、C、D四位同学分别拿着5、3、4、2个暖瓶去打开水，热水龙头只有一个，怎么安排他们打水的顺序，才使他们打完水所花的总时间（含排队、打水的时间）最少？假如打满一瓶水需1分钟，那么打水的总时间是多少分钟？【小试牛刀】6个人各拿一只水桶到水龙头接水，注满6个人的水桶所用时间分别是5分钟、4分钟、3分钟、10分钟、7分钟、6分钟。

现在如果有甲、乙两个水龙头可用，怎么安排这6个人打水，才能使他们等候的总时间最短，最短时间是多少？【例6】北京和上海分别制成了同一型号的电子计算机若干台．除本地应用外，北京可以支援外地10台，上海可以支援外地 4 台．现在决定给重庆 8 台、汉口 6 台．若每台计算机的运费如表（单位：元），应该如何调运，才能使总的运费最省？【小试牛刀】A 、B 两地各有 10 万吨煤和 5 万吨煤可供外运．现上海需 8 万吨，南京需 7 万吨． A 地到南京和上海的运费分别是每吨0．6 元和0．8 元， B 地到南京和上海的运费分别是每吨 0 . 5 元和 0 . 7 元．问怎样调运使运费最省？【例7】在一条公路上每隔100千米，有一个仓库(如图)共有5个仓库，一号仓库存有10吨货物，二号仓库有20吨货物，五号仓库存有40吨货物，其余两个仓库是空的．现在想把所以的货物集中存放在一个仓库里，如果每吨货物运输1公里需要0.5元运输费，那么最少要多少运费才行？【小试牛刀】在一条公路上，每隔10千米有一座仓库(如图)，共有五座，图中数字表示各仓库库存货物的重量．现在要把所有的货物集中存放在一个仓库里，如果每吨货物运输1千米需要运费0.9元，那么集中到哪个仓库运费最少？40吨20吨10吨五四三二一6010吨20吨30吨10吨【例8】一个物流港有6个货站，用4辆同样的载重汽车经过这6个货站组织循环运输．每个货站所需要的装卸工人数如下图．为了节省人力，可安排流动的装卸工随车到任何一个货站装卸．在最优的安排下使物流港装卸工总人数最少，则是人．【小试牛刀】一个工厂有7个车间，分散在一条环形铁路上，三列火车循环运输产品．每个车间装卸货物所需工人数为25、18、27、10、20、15、30．若改为部分工人跟车，部分工人固定在车间，那么安排多少名装卸工，所用总人数最合理？【例9】有十个村．坐落在从县城出发的一条公路上〔如图，距离单位是千米）．要安装水管，从县城送自来水供给各村可以用粗、细两种水管．粗管足够供应所有各村用水，细管只能供一个村用水．粗管每千米要用8000元，细管每千米要用2000元．把粗管和细管适当搭配、互相连接，可以降低工程的总费用，按你认为最节约办法，费用应是多少？1．小明每天早晨起床后要做如下事情：洗漱用5分钟，收拾床褥用4分钟，听广播15分钟，吃早饭8分钟。

简单的统筹规划培训示例例1 街道旁有4幢楼房，现在要立一个邮筒，为了使4栋楼的居民到邮筒的距离之和最短，邮筒应设在4栋楼之间的什么位置？例2 一个正方体礼品盒，要将它的两个顶点AC（正方体的斜对的两个顶点）用彩带连接，怎样连接才能使所用的彩带最短？例3 这是一张风景区的游览图，其中A是汽车站，BCDEF是5个游览点，小李从A出发游玩5个景点后回到A，他走的路程是多少千米？例4 有一条公路上，每隔100千米就有一座仓库，共有4座，图中标的数表示各仓库存货物的数量（吨），现在要把货物集中存放在一个仓库，如果每吨货物运1千米需要1元，那么把货物集中到哪个仓库运费最少？例5 如图是一条公路(单位千米)从现城运送自来水供给各村要安装水管，有粗细两种管道，粗管能供给所有各村，细管只能供应一个村用水，粗管每千米要8000元，细管每千米要用2000元，把粗管和细管适当搭配，互相连接，可以降低工程费用，你认为费用是多少？培训练习1.下图是一张道路图，每段是路上标的数是小王走这段路的分钟数，请问小王从A运水泥到B，最快要多少分钟？2.工地上A处有20辆汽车，把A处的水泥拉到B处需要60车次运完，还要将C处的砖块运到D处，需要40车次运完，各地之间的距离如图（单位米），怎样调配最合理？3.在一条公路上，每隔100千米有一个仓库，共有5个仓库，存放的货物如图（单位吨），现在想把所有的货物集中放在一个仓库里，如果每吨货物运1千米需要1元，那么最少要花多少钱？4.5个人各拿一个自来水龙头前等候打水，他们打水所需的时间是1、2、3、4、和5分钟，如果只有一个水龙头，问怎样安排才能使所有人排队和打水时间的总和最小，并且求出最小值。

5.某种机床，重庆需要8台，武汉有6台，正好北京有10台，上海有4台，每台机床的运费如表（单位元），请问怎样调运才能使总费用最少？6.用长为80米的竹篱笆围成一个长方形菜园，要使菜园面积最大，它的长和宽应是多少米（取整厘米数），最大面积是多少？7.妈妈让小明给客人烧水沏茶，洗开水壶要1分钟，烧开水要用15分钟，洗茶壶要用1分钟，洗茶杯要用1分钟，放茶叶要用2分钟，为了使客人早点喝上茶，你认为怎样安排多少分钟客人就可以喝上茶了？计数问题（四年级希望杯）1．在线段AB上插入7个点则共增加了（）条线段。

统筹规划导语：人们在日常生活、工作中经常碰到一些事情，怎样才能把它们安排得更合理，事半功倍地办好事，这就是统筹学研究的问题。

统筹学是利用数学来研究人力、物力的运用和筹划，使它们能发挥最大效率的科学。

例如所用的时间最少，或者费用最少，或者路线最短，也就是要在各种方案中，寻求一个最合理、最省事、最节约的方案，也就是“统筹”和“规划”。

例1：假设烙一个馅饼需要4分钟（每一面需要2分钟），1个烙饼锅每次正好可以烙两个馅饼，要烙97个馅饼至少需要多少个分钟？讲解：97个馅饼，每两个一组，我们可以先烙好47组后，把剩下3个饼作为一组，这3个饼可以这样烙：先用2分钟烙好第一个馅饼和第二个馅饼的正面，再用2分钟烙好第一个馅饼反面和第三个馅饼的正面，最后用2分钟烙好第二个馅饼的反面和第三个馅饼的反面。

烙3个饼子只需要6分钟。

所以烙97个馅饼至少需要时间：47×4+6=194（分钟）。

练习1：小红中午放学回家煮饭。

淘米要3分钟，煮饭要25分钟，洗菜要8分钟，切菜要5分钟，炒菜要10分钟。

如果煮饭和炒菜用不同的锅子和炉子。

小红要将饭、菜都煮好，最少需要多少分钟？答案：小红可以先淘米再煮饭，在煮饭的同时洗菜、切菜、烧菜，最少需要时间：3+25=28（分钟）。

例2：10个人各提1只水桶，同时到水龙头前打水。

设水龙头注满第一个人的桶需要1分钟，注满第二个人的桶需要2分钟，依此类推，注满第几个人的桶就需要几分钟。

如果只有一只水龙头，适当安排这10个人的顺序，就可以使每个人所费时间的总和尽可能小，问这个总费时至少是多少分钟？讲解：总费时是：一号桶注水时间×10+二号桶注水时间×9+……+九号桶注水时间×2+十号桶注水时间要使总费时最少，显然应该按注水时间从少多的顺序，安排先后顺序，尽可能让注水时间短的先打水，这个总费时至少是：1×10+2×9+3×8+4×7+5×6+6×5+7×4+8×3+9×2+10×1=220（分钟）。

简单的统筹规划问题????导读：最优化概念反映了人类实践活动中十分普遍的现象，即要在尽可能节省人力、物力和时间的前提下，努力争取获得在允许范围内的最佳效益．因此，最优化问题成为现代应用数学的一个重要研究对象，它在生产、科学研究以及日常生活中都有广泛的应用．作为数学爱好者，接触一些简单的实际问题，了解一些优化的思想是十分有益的．现在通过几个例题，学习一些简单的知识和解题方法。

也介绍了一点不定方程的知识，只供学有余力的学生进一步学习的参考。

????例1、妈妈让小明给客人烧水沏茶．洗开水壶要用1分钟，烧开水要用15分钟．洗茶壶要用1分钟，洗茶杯要用1分钟，拿茶叶要用2分钟．小明估算了一下，完成这些工作要20分钟．为了使客人早点喝上茶，按你认为最合理的安排，多少分钟就能沏茶了？????分析:?本题取自华罗庚教授1965年发表的《统筹方法平话》．烧水沏茶的情况是：开水要烧，开水壶要洗，茶壶茶杯要洗，茶叶要取．怎样安排工作程序最省时间呢？????办法甲：洗好开水壶，灌上凉水，放在火上，在等待水开的时候，洗茶杯，拿茶叶，等水开了，沏茶喝．????办法乙：先做好一切准备工作，洗开水壶，洗壶杯，拿茶叶，灌水烧水，坐等水开了沏茶喝．????办法丙：洗开水壶，灌上凉水，放在火上坐待水开，开了之后急急忙忙找茶叶，洗壶杯，沏茶喝．????谁都能一眼看出第一种办法好，因为后两种办法都“窝了工”．????开水壶不洗，不能烧开水，固为洗开水壶是烧开水的先决条件，没开水、没茶叶、不洗壶杯，我们不能沏茶，因而这些又是沏茶的先决条件．它们的相互关系可以用下图的箭头图来显示．????箭杆上的数字表示完成这一工作所需的时间，例如→表示从把水放在炉上到水开的时间是15分钟．从图上可以一眼看出，办法甲总共要16分钟，而办法乙、丙需20分钟．????洗壶杯、拿茶叶没有什么先后关系，而且是由同一个人来做，因此可以将上图合并成下图．????解:?先洗开水壶用1分钟，接着烧开水用15分钟，在等待水开的过程中，同时洗茶杯、拿茶叶，水开了就沏茶，总共用了16分钟．又因为烧开水的15分钟不能减少，烧水前必须用1分钟洗开水壶，所以用16分钟是最少的．????说明：本题涉及到的统筹方法，是生产、建设、工程和企业管理中合理安排工作的一种科学方法，它对于进行合理调度、加快工作进展，提高工作效率，保证工作质量是十分有效的．????例2、用一只平底锅煎饼，每次能同时放两个饼．如果煎1个饼需要2分钟（假定正、反面各需1分钟），问煎1993个饼至少需要几分钟？????分析:?由于1993数目较大，直接入手不容易．我们不妨先从较小的数目来进行探索规律．????如果只煎1个饼，显然需要2分钟；????如果煎2个饼，仍然需要2分钟；????如果煎3个饼，初学者看来认为至少需要4分钟：因为先煎2个饼要2分钟；再单独煎第3个饼，又需要2分，所以一共需要4分钟．但是，这不是最佳方案．最优方法应该是：????首先煎第1号、第2号饼的正面用1分钟；????其次煎第1号饼的反面及第3号饼的正面又用1分钟；????最后煎第2号、第3号饼的反面再用1分钟；这样总共只用3分钟就煎好了3个饼．????解：如果煎1993个饼，最优方案应该是：????煎第1、2、3号饼用“分析”中的方法只需要3分钟；煎后面1990个饼时，每两个饼需要2分钟，分1990÷2=995（次）煎完，共需要2×995=1990（分钟）；这样总共需要3+1990=1993（分钟）．同学们再考虑一下：煎2006张，2007张各应如何解？从中总结出规律。

2.有一个水塔要供应某条公路旁的6个居民点用水（如下图，单位：千米）要安装的水管有粗细两种，粗管足够供应6个居民点用水，细管能供应1个居民点用水，粗管每千米花费7000元，细管每千米花2000元，粗细管怎样互相搭配，才能使费用最省？费用是多少？
3.10张正面朝下的扑克牌排成一排放在桌子上，两位同学做翻牌游戏，规定，每人每次只能翻动一张或两张相邻的牌使之正面朝上，翻过的牌不能再翻，两人轮流翻动，翻动最后一张牌的人获胜。

问怎样才能必胜？
课后练习：
1.一堆围棋子有361枚，两人轮流拿，每次最少拿一个，最多拿6个，谁拿到最后一颗谁输，那么获胜的策略是什么？
2、在一条公路上每隔100千米有一座仓库（见图）共有5座，图中数字表示各仓库货物的重量，现在要把所有的货物几种存入一个仓库里，如果没吨货物运输1千米需要费用0.5元。

那么集中到哪个仓库运费最少？需要多少钱？
3、有两堆火柴由两人轮流从中任一堆中取出一根或几根，每次最少取出一根，而且还能同时从两堆里取，最后把火柴取空。

谁获胜，那么获胜的策略是什么？
4、理发店有甲乙丙三位理发师，同时来了五位客人，根据他们所需要的发型，分别需要10、12、1
5、20和24分钟，怎样安排他们的理发顺序才能使这5人理发和等待所用的时间总和最少？最少花多长时间？
学生接受情况：
教务老师：。