下载文档原格式
统筹规划开讲引导：要完成一件事，如果能合理地安排时间，往往会收到事半功倍的效果。
怎样合理的安排才能做到花时少、效果好呢？像这类问题常常称为“统筹规划”问题。
例1早晨6点钟起床后，到7点钟上学的1个小时内，小红要完成以下工作：叠被子3分钟，刷牙洗脸8分钟，读外语30分钟，吃早饭10分钟，收碗擦桌5分钟，收听广播30分钟。
请为小红设计一张合理的数学图表，算一算需要多少分钟？3分钟 8分钟 10分钟 5分钟 30分钟30分钟【思路点拨】小红在收听广播的同时可以完成叠被子、刷牙洗脸、吃早饭、收碗擦桌，接下来30分钟读外语，一共花30+30=60分钟=1小时【策略分享】应用统筹法解决实际问题时，一般要做好三项调查：1、 要做哪些工作？2、 做每件工作需要多少时间？3、 弄清所做工作的程序，即先做什么，后做什么？哪些工作可同时做？从而根据题意找出最佳方案。
例2用一只平底锅煎饼，每次只能放两个饼，煎一个需要2分钟（规定正反两面各需要 1分钟），煎7个饼最少需要几分钟？【思路点拨】方法一：我们不妨从较小的数目来进行探索规律。
如果只煎一个饼，只要2分钟；如果煎2个饼，仍需2分钟；如果煎三个饼，最优方案是：首先煎第一号、第2号饼的正面用1分钟。
其次煎第一号的反面和第三号的正面又用了1分钟。
最后煎第二号、第三号饼的反面再用1分钟，煎三只饼共用了3分钟。
煎7个饼最优方案：2分钟+2分钟+3分钟=7分钟方法二：烙饼总时间=饼数×2÷每锅一次可烙的数量×烙每面的时间例3理发店里只有一名理发师，但同时来了五位顾客，理发师一次只能给一位顾客理发。
由于顾客得要求发型不同，理发师给这五位顾客理发分别需要10、16、12、20、25分钟。
怎样安排他们理发的顺序，才能使这五人排队等候所用的时间得总和最少？最少是多少？【思路点拨】安排理发时间最少的人先剪，分别是10、12、16、20、25分钟这样的顺序理发，等候的时间分别是0、10、10+12=22、10+12+16=38、10+12+16+20=58，等候的总时间最少是10+（10+12）+（10+12+16）+（10+12+16+20）=128（分钟） 叠被子 刷牙洗脸 吃早饭 收碗擦桌 收听广播 读外语【策略分享】解决“等候总时间最短的问题”方法：从等候时间最短的事情开始做，按时间从小到大依次行动。
教师奥数教程之-统筹规划
前言
统筹规划是指在教学中，统筹全局、合理安排时间，使教学活动有序、高效的过程。
教师的统筹规划能力，不仅关系到学生的研究效果和教师的教学质量，也关系到教师自身的职业生涯发展。
统一思想、制定计划
在进行统筹规划前，教师首先需要先明确本次教学的目标和任务。
在明确了教学目标和任务后，教师可以根据课程内容和学生掌握程度，进行时间段划分和安排教学活动。
制定合理详细的教学计划，包括教学步骤、时间、教学方法、教具、评价标准和学生策略等，确保教学进展顺利并达到预期目标。
理清教学主线，精心策划
建立良好的教学大纲是进行统筹规划的前提。
在制定教学大纲时，需要根据课程要求和教学目标，构建知识体系、明确课程重点和难点，并根据学生实际情况有针对性地设定教学策略和方法。
分配教学资源，合理搭配
合理分配和运用教学资源，是提高教学成效的重要保证。
在统筹规划中，教师需要合理配合教学资源，根据学生实际情况和课程特点，选择适当的教学内容和方法，调整教学进程，确保教学效果的最大化。
典型案例
在教学过程中，有许多具有代表性的典型案例可以借鉴。
在制定教学计划和教学大纲时，需要结合案例实践，对教学内容进行重组、调整和优化，增强教学的可操作性和实效性。
总结
教师奥数教程中，统筹规划是课程设计中重要的环节，对于提
高教学效果、提升教师教学水平有着重要的作用。
在此过程中，教
师需要全面考虑各种问题、充分发挥教学资源的作用，以实现教学
目标、满足学生的需要为己任。
同时，教师还需严格遵守教学规范，不断反思和完善自己的设计和方法、提高教学质量和水平。
统筹学是一门数学学科，但它在许多的领域都在使用，在生活中有很多事情要去做时，科学的安排好先后顺序，能够提高我们的工作效率．我国著名数学家华罗庚教授生前十分重视数学的应用，并亲自带领小分队推广优选法、统筹法，使数学直接为国民经济发展服务，他在中学语文课本中，曾有一篇名为《统筹原理》的文章详，细介绍了统筹方法和指导意义．运筹学是利用数学来研究人力、物力的运用和筹划，使它们能发挥最大效率的科学。
它包含的内容非常广泛，例如物资调运、场地设置、工作分配、排队、对策、实验最优等等，每类问题都有特定的解法。
运筹学作为一门科学，要运用各种初等的和高等的数学知识及方法，但是其中分析问题的某些朴素的思想方法，如高效率优先的原则、调整比较的思想、尝试探索的方法等，都是我们小学生能够掌握的。
这些来源于生活实际的问题，正是启发同学们学数学、用数学最好的思维锻炼题目。
本讲主要讲统筹安排问题、排队问题、最短路线问题、场地设置问题等。
这些都是人们日常生活、工作中经常碰到的问题，怎样才能把它们安排得更合理，多快好省地办事，就是这讲涉及的问题。
“节省跑空车的距离”是物资调运问题的一个原则。
“发生对流的调运方案”不可能是最优方案。
“小往大靠，支往干靠”。
一、合理安排时间【例 1】 星期天妈妈要做好多事情。
擦玻璃要20分钟，收拾厨房要15分钟，洗脏衣服的领子、袖口要10分钟，打开全自动洗衣机洗衣服要40分钟，晾衣服要10分钟。
妈妈干完所有这些事情最少用多长时间？【巩固】 妈妈让小明给客人烧水沏茶。
洗开水壶要用1分钟，烧开水要用15分钟，洗茶壶要用1分钟，例题精讲知识框架统筹规划洗茶杯要用1分钟，拿茶叶要用2分钟。
小明估算了一下，完成这些工作要花20分钟。
为了使客人早点喝上茶，按你认为最合理的安排，多少分钟就能沏茶了?【例2】6个人各拿一只水桶到水龙头接水，水龙头注满6个人的水桶所需时间分别是5分钟、4分钟、3分钟、10分钟、7分钟、6分钟．现在只有这一个水龙头可用，问怎样安排这6人的打水次序，可使他们总的等候时间最短？这个最短时间是多少？【巩固】有甲、乙两个水龙头，6个人各拿一只水桶到水龙头接水，水龙头注满6个人的水桶所需时间分别是5分钟、4分钟、3分钟、10分钟、7分钟、6分钟．怎么安排这6个人打水，才能使他们等候的总时间最短，最短的时间是多少？【例3】小明骑在牛背上赶牛过河．共有甲、乙、丙、丁4头牛．甲牛过河需要1分钟，乙牛过河需要2分钟，丙牛过河需要5分钟，丁牛过河需要6分钟．每次只能赶两头牛过河，那么小明要把这4头牛都赶到对岸，最小要用多少分钟？【巩固】有四个人在晚上准备通过一座摇摇欲坠的小桥．此桥每次只能让2个人同时通过，否则桥会倒塌．过桥的人必须要用到手电筒，不然会一脚踏空．只有一个手电筒．4个人的行走速度不同：小强用1分种就可以过桥，中强要2分中，大强要5分中，最慢的太强需要10分中．17分钟后桥就要倒塌了．请问：4个人要用什么方法才能全部安全过桥？二、合理安排地点【例 4】 如图，在街道上有A 、B 、C 、D 、E 、F 六栋居民楼，现在设立一个公交站，要想使居民到达车站的距离之和最短，车站应该设在何处？【巩固】 如图，在街道上有A 、B 、C 、D 、E 五栋居民楼，每栋楼里每天都有20个人要坐车，现在设立一个公交站，要想使居民到达车站的距离之和最短，应该设在何处？【例 5】 在一条公路上每隔100千米，有一个仓库(如图)共有5个仓库，一号仓库存有10吨货物，二号仓库有20吨货物，五号仓库存有40吨货物，其余两个仓库是空的．现在想把所以的货物集中存放在一个仓库里，如果每吨货物运输1公里需要0.5元运输费，那么最少要多少运费才行？40吨20吨10吨五四三二一【巩固】 在一条公路上，每隔10千米有一座仓库(如图)，共有五座，图中数字表示各仓库库存货物的重量．现在要把所有的货物集中存放在一个仓库里，如果每吨货物运输1千米需要运费0.9元，那么集中到哪个仓库运费最少？6010吨20吨30吨10吨【例 6】 某个班的20个学生的家庭住址在城市中的分布如图（圆点是各个学生的家庭住址，线段是街道），如果这个班的学生举行一个聚会，为了尽量减少每个学生行走路程总和，那么他们应该选择 十字路口附近的地点。
四年级奥数讲义:统筹与安排例1.妈妈让小明给客人烧水沏茶, 洗开水壶要1分钟, 烧开水要15分钟, 洗茶壶要1分钟, 洗茶杯要1分钟, 拿茶叶要2分钟。
小明估算了一下完成这些工作大约要20分钟。
为了让客人早点喝上茶, 按你认为最合理的安排, 多长时间就能让客人喝上茶?试一试, 用一只平底锅烙饼, 锅上只能放两块饼, 烙熟饼的一面需要2分钟, 两面共需要4分钟, 现在需要烙熟三块饼, 最少需要几分钟?•例2: 下图是一张道路图, 每段路旁标注的数值标示小王走这段路需要的分钟数。
问: 小王从A点出发走到B点至少需要多少分钟?/•试一试, 甲、乙、丙三名车工准备在同样功效的3个车床上车出7个零件, 加工各零件所需要的时间分别为4.5.6.6.8、9、9分钟。
三人同时开工, 问: 至少经过多少分钟可以车完所有的零件?例3, 甲、乙、丙、丁四个人过桥, 分别需要1.2.5.10分钟, 由于天黑需要借助手电筒过桥, 可是他们四人总共只有一个手电筒, 并且桥的载重能力有限, 每次最多只能承受两个人的重量, 也就是说、每次最多过两个人。
现在希望用最短的时间过桥, 怎样安样才能最短？是多少分钟？试一试, 小明骑在牛背上赶牛过河, 共有甲、乙、丙、丁四头牛, 甲牛过河需要1分钟, 乙牛过河需要2分钟, 丙牛过河需要5分钟, 丁牛过河需要6分钟, 小明每次只能骑一头牛, 赶一头牛。
小明怎样安样才能使四头牛过河的时间最短?是多少分钟?例4,如图所示5所学校A.B.C.D.E之间有公路相通, 图中标出了各段公路的千米数, 现在想在某学校召开一次学生代表大会, 出席会议的学生代及A.B.C.D.E校分别有6.4.8、7、10人, 为使参加会议的代表所走的路程总和最少, 会议应选在那个学校举行。
/试一试, 甲、乙、丙、丁四人同时到二个水龙头处用水, 甲洗拖布需要3分钟, 乙洗抹布需要分2钟, 丙用桶接水需要1分钟, 丁洗衣服需要10分钟, 怎样安排四个人的用水顺序。
1. 掌握合理安排时间、地点问题.2. 掌握合理布线和调运问题．知识点说明： 统筹学是一门数学学科，但它在许多的领域都在使用，在生活中有很多事情要去做时，科学的安排好先后顺序，能够提高我们的工作效率．我国著名数学家华罗庚教授生前十分重视数学的应用，并亲自带领小分队推广优选法、统筹法，使数学直接为国民经济发展服务，他在中学语文课本中，曾有一篇名为《统筹原理》的文章详，细介绍了统筹方法和指导意义．运筹学是利用数学来研究人力、物力的运用和筹划，使它们能发挥最大效率的科学。
它包含的内容非常广泛，例如物资调运、场地设置、工作分配、排队、对策、实验最优等等，每类问题都有特定的解法。
运筹学作为一门科学，要运用各种初等的和高等的数学知识及方法，但是其中分析问题的某些朴素的思想方法，如高效率优先的原则、调整比较的思想、尝试探索的方法等，都是我们小学生能够掌握的。
这些来源于生活实际的问题，正是启发同学们学数学、用数学最好的思维锻炼题目。
本讲主要讲统筹安排问题、排队问题、最短路线问题、场地设置问题等。
这些都是人们日常生活、工作中经常碰到的问题，怎样才能把它们安排得更合理，多快好省地办事，就是这讲涉及的问题。
“节省跑空车的距离”是物资调运问题的一个原则。
“发生对流的调运方案”不可能是最优方案。
“小往大靠，支往干靠”。
板块一、合理安排时间 【例 1】 一只平底锅上最多只能煎两张饼，用它煎1张饼需要2分钟(正面、反面各1分钟)．问：煎3张饼需几分钟？怎样煎？【考点】统筹规划 【难度】2星 【题型】解答【解析】 因为这只平底锅上可煎两只饼，如果只煎1个饼，显然需要2分钟；如果煎2个饼，仍然需要2分钟；如果煎3个饼，所以容易想到：先把两饼一起煎，需2分钟；再煎第3只，仍需2分钟，共需4分钟，但这不是最省时间的办法．最优方法应该是：首先煎第1号、第2号饼的正面用1分钟；其次煎第1号饼的反面及第3号饼的正面又用1分钟；最后煎第2号、第3号饼的反面再用1分钟；这样总共只用3分钟就煎好了3个饼．(因为每只饼都有正反两面，3只饼共6面，1分钟可煎2面，煎6面只需3钟．)【答案】3分钟例题精讲知识点拨教学目标统筹规划【巩固】烙饼需要烙它的正、反面，如果烙熟一块饼的正、反面，各用去3分钟，那么用一次可容下2块饼的锅来烙21块饼，至少需要多少分钟？【考点】统筹规划【难度】2星【题型】解答【关键词】2000年，小学生数学报，数学邀请赛【解析】先将两块饼同时放人锅内一起烙，3分钟后两块饼都熟了一面，这时取出一块，第二块翻个身，再放人第三块，又烙了3分钟，第二块已烙熟取出，第三块翻个身，再将第一块放入烙另一面，再烙3分钟，锅内的两块饼均已烙熟．这样烙3块饼，用去9分钟，所以烙21块饼，至少用213963÷⨯=(分钟)．【巩固】一只平底锅上最多只能煎两张饼，用它煎1张饼需要2分钟(正面、反面各1分钟)．问：煎2009张饼需几分钟？【考点】统筹规划【难度】2星【题型】解答【解析】我们归纳出煎1、2、3个饼分别需要2、2、3分钟，我们可以继续往下分析，煎4个饼最少需要4分钟，煎5个饼需要325÷⨯=分钟，煎7个+=分钟，煎6个饼需要6226饼需要34227+÷⨯=分钟，那么煎2009个饼至少需要2009分钟．【答案】2009分钟【例2】星期天妈妈要做好多事情。
统筹规划教学目标1.掌握合理安排时间、地点问题.2.掌握合理布线和调运问题．知识点拨知识点说明：统筹学是一门数学学科，但它在许多的领域都在使用，在生活中有很多事情要去做时，科学的安排好先后顺序，能够提高我们的工作效率．我国著名数学家华罗庚教授生前十分重视数学的应用，并亲自带领小分队推广优选法、统筹法，使数学直接为国民经济发展服务，他在中学语文课本中，曾有一篇名为《统筹原理》的文章详，细介绍了统筹方法和指导意义．运筹学是利用数学来研究人力、物力的运用和筹划，使它们能发挥最大效率的科学。
它包含的内容非常广泛，例如物资调运、场地设置、工作分配、排队、对策、实验最优等等，每类问题都有特定的解法。
运筹学作为一门科学，要运用各种初等的和高等的数学知识及方法，但是其中分析问题的某些朴素的思想方法，如高效率优先的原则、调整比较的思想、尝试探索的方法等，都是我们小学生能够掌握的。
这些来源于生活实际的问题，正是启发同学们学数学、用数学最好的思维锻炼题目。
本讲主要讲统筹安排问题、排队问题、最短路线问题、场地设置问题等。
这些都是人们日常生活、工作中经常碰到的问题，怎样才能把它们安排得更合理，多快好省地办事，就是这讲涉及的问题。
“节省跑空车的距离”是物资调运问题的一个原则。
“发生对流的调运方案”不可能是最优方案。
“小往大靠，支往干靠”。
例题精讲板块一、合理安排时间【例 1】一只平底锅上最多只能煎两张饼，用它煎1张饼需要2分钟(正面、反面各1分钟)．问：煎3张饼需几分钟？怎样煎？【考点】统筹规划【难度】2星【题型】解答【解析】因为这只平底锅上可煎两只饼，如果只煎1个饼，显然需要2分钟；如果煎2个饼，仍然需要2分钟；如果煎3个饼，所以容易想到：先把两饼一起煎，需2分钟；再煎第3只，仍需2分钟，共需4分钟，但这不是最省时间的办法．最优方法应该是：首先煎第1号、第2号饼的正面用1分钟；其次煎第1号饼的反面及第3号饼的正面又用1分钟；最后煎第2号、第3号饼的反面再用1分钟；这样总共只用3分钟就煎好了3个饼．(因为每只饼都有正反两面，3只饼共6面，1分钟可煎2面，煎6面只需3钟．)【答案】3分钟【巩固】烙饼需要烙它的正、反面，如果烙熟一块饼的正、反面，各用去3分钟，那么用一次可容下2块饼的锅来烙21块饼，至少需要多少分钟？【考点】统筹规划【难度】2星【题型】解答【关键词】2000年，小学生数学报，数学邀请赛【解析】先将两块饼同时放人锅内一起烙，3分钟后两块饼都熟了一面，这时取出一块，第二块翻个身，再放人第三块，又烙了3分钟，第二块已烙熟取出，第三块翻个身，再将第一块放入烙另一面，再烙3分钟，锅内的两块饼均已烙熟．这样烙3块饼，用去9分钟，所以烙21块饼，至少用÷⨯=(分钟)．213963【巩固】一只平底锅上最多只能煎两张饼，用它煎1张饼需要2分钟(正面、反面各1分钟)．问：煎2009张饼需几分钟？【考点】统筹规划【难度】2星【题型】解答【解析】我们归纳出煎1、2、3个饼分别需要2、2、3分钟，我们可以继续往下分析，煎4个饼最少需要4分钟，煎5个饼需要325+÷⨯=+=分钟，煎6个饼需要6226÷⨯=分钟，煎7个饼需要34227分钟，那么煎2009个饼至少需要2009分钟．【答案】2009分钟【例 2】星期天妈妈要做好多事情。
统筹与规划知识要点宇宙之大，粒子之微，火箭之速，化工之巧，地球之变，生物之谜，日用之繁，无处不用数学。
人类的一切社会实践活动，既要讲求效率，又要经济，即要在尽可能地节约时间、精力和经费支出的同时，取得在可能范围内的最好效果。
最优化概念反映了人类实践活动中的普遍现象。
最优化问题成为现代应用数学的一个重要课题，它在实际生产、科学研究以及日常生活中均有广泛的应用。
作为热爱数学的少年，接触一些简单的实际问题，了解一些优化的思想是十分有益的。
统筹和规划可以归属于一门称为“运筹学”的范畴，都是用于解决最优化问题，即在一组约束条件下求最大或最小值的问题。
规划论研究的问题主要有两类：一类是确定了一项任务，研究怎样精打细算使用最少的人力、物力、时间去完成它；另一类是在已有一定数量的人力、物力条件下，研究怎样合理安排，使它们发挥最大限度的作用，从而完成最多的任务。
如何求最大值或最小值呢？从有限个数中间，总可以找出一个最大的和一个最小的。
如果一组数个数不多，以至于我们可以一一地写出来，那么凭着观察和比较，便可以找出其中的最大值和最小值，这就是所谓的“穷举法”。
但是如果数的个数太多，或者不容易甚至于不可能一下子写清楚，这时就需要灵活地运用数学基础知识，把实际问题数学化，通过正确的推理，化未知为已知。
节约时间【例 1】（1986年第1届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛小学组初赛第4题）妈妈让小明给客人烧水沏茶。
洗水壶要用1分钟，烧开水要用15分钟。
洗茶壶要用1分钟，洗茶杯要用1分钟，拿茶叶要用2分钟。
小明估算了一下，完成这些工作要20分钟，为了使客人早点喝上茶，按你认为最合理的安排，多少分钟就能沏茶了？【分析】先洗水壶用1分钟，接着烧开水用15分钟，在等待开水的过程中，同时洗茶杯、拿茶叶。
水开了就沏茶，总共用了16分钟。
又因为烧开水的15分钟不能减少，烧水前必须洗水壶，所以用16分钟是最少的。
【说明】本题选自华罗庚教授1965年发表的《统筹方法平话》。
四年级奥数题：统筹规划1、烧水沏茶时，洗水壶要用1分钟，烧开水要用10分钟，洗茶壶要用2分钟，洗茶杯用2分钟，拿茶叶要用1分钟，如何安排才能尽早喝上茶。
2、有137吨货物要从甲地运往乙地，大卡车的载重量是5吨，小卡车的载重量是2吨，大卡车与小卡车每车次的耗油量分别是10公升和5公升，问如何选派车辆才能使运输耗油量最少？这时共需耗油多少升？3、用一只平底锅烙饼，锅上只能放两个饼，烙熟饼的一面需要2分钟，两面共需4分钟，现在需要烙熟三个饼，最少需要几分钟？4、甲、乙、丙、丁四人同时到一个小水龙头处用水，甲洗拖布需要3分钟，乙洗抹布需要2分钟，丙用桶接水需要1分钟，丁洗衣服需要10分钟，怎样安排四人的用水顺序，才能使他们所花的总时间最少，并求出这个总时间。
5、甲、乙、丙、丁四个人过桥，分别需要1分钟，2分钟，5分钟，10分钟。
因为天黑，必须借助于手电筒过桥，可是他们总共只有一个手电筒，并且桥的载重能力有限，最多只能承受两个人的重量，也就是说，每次最多过两个人。
现在希望可以用最短的时间过桥，怎样才能做到最短呢？你来帮他们安排一下吧。
最短时间是多少分钟呢？6、小明骑在牛背上赶牛过河，共有甲乙丙丁四头牛，甲牛过河需1分钟，乙牛需2分钟，丙牛需5分钟，丁牛需6分钟，每次只能骑一头牛，赶一头牛过河。
答案1：先洗水壶?然后烧开水，在烧水的时候去洗茶壶、洗茶杯、拿茶叶。
共需要1+10=11分钟。
答案2：依题意，大卡车每吨耗油量为10÷5=2(公升)；小卡车每吨耗油量为5÷2=2.5(公升)。
为了节省汽油应尽量选派大卡车运货，又由于?137=5×27+2，因此，最优调运方案是：选派27车次大卡车及1车次小卡车即可将货物全部运完，且这时耗油量最少，只需用油?10×27+5×1=275(公升)答案3：一般的做法是先同时烙两张饼，需要4分钟，之后再烙第三张饼，还要用4分钟，共需8分钟，但我们注意到，在单独烙第三张饼的时候，另外一个烙饼的位置是空的，这说明可能浪费了时间，怎么解决这个问题呢？我们可以先烙第一、二两张饼的第一面，2分钟后，拿下第一张饼，放上第三张饼，并给第二张饼翻面，再过两分钟，第二张饼烙好了，这时取下第二张饼，并将第三张饼翻过来，同时把第一张饼未烙的一面放上。
四年级奥数统筹规划在四年级的奥数学习中，统筹规划是一个非常重要的内容。
它不仅能帮助孩子们提高解决数学问题的能力，还能培养他们在日常生活中合理安排时间、资源等的思维方式。
统筹规划，简单来说，就是通过合理安排和调整，以达到最优的效果或结果。
这就好像我们要组织一场活动，需要考虑各种因素，如时间、人员、物资等，然后做出最好的安排，让活动顺利进行并且效果最佳。
让我们先来看一个简单的例子。
比如说，小明早上起床后要做三件事：刷牙洗脸 5 分钟，煮鸡蛋 10 分钟，整理书包 3 分钟。
如果他一件事一件事依次做，那么总共需要 18 分钟。
但如果他能合理安排，在煮鸡蛋的 10 分钟里同时整理书包，那么总共就只需要 15 分钟。
这就是一种简单的统筹规划。
在解决奥数中的统筹规划问题时，我们通常需要先分析问题中的各项任务和它们之间的关系，然后找出最节省时间或资源的方案。
比如有这样一道题：有一个工厂要生产一批零件，甲机器生产一个零件需要 5 分钟，乙机器生产一个零件需要 8 分钟，丙机器生产一个零件需要 10 分钟。
现在有 100 个零件的生产任务，怎样安排生产才能最快完成任务？对于这道题，我们不能简单地按照机器生产一个零件所需时间的长短来安排，而是要考虑每台机器的生产效率。
甲机器每分钟能生产 1/5 个零件，乙机器每分钟能生产 1/8 个零件，丙机器每分钟能生产 1/10个零件。
通过比较，我们发现甲机器的生产效率最高，所以应该优先安排甲机器生产。
假设甲机器生产 x 个零件，乙机器生产 y 个零件，丙机器生产 z 个零件，那么可以列出方程：x ＋ y ＋ z ＝ 100 ，同时 5x ＋ 8y ＋ 10z 要最小。
通过计算和分析，我们可以得出最优的安排方案。
再来看一个例子：小明要给客人烧水沏茶。
洗水壶要 1 分钟，烧开水要 15 分钟，洗茶杯要 2 分钟，拿茶叶要 1 分钟。
为了使客人早点喝上茶，怎样安排最合理？最少需要多少分钟？首先，我们要明确，烧开水的同时可以洗茶杯和拿茶叶。
远辉教育奥数班第十二讲——简单统筹规划主讲人：杨老师学生：四年级电话：62379828一、学习要点：最优化概念反映了人类实践活动中十分普遍的现象，即要在尽可能节省人力、物力和时间的前提下，努力争取获得在允许范围内的最佳效益．因此，最优化问题成为现代应用数学的一个重要研究对象，它在生产、科学研究以及日常生活中都有广泛的应用．作为数学爱好者，接触一些简单的实际问题，了解一些优化的思想是十分有益的．二、典例剖析：例1 妈妈让小明给客人烧水沏茶．洗开水壶要用1分钟，烧开水要用15分钟．洗茶壶要用1分钟，洗茶杯要用1分钟，拿茶叶要用2分钟．小明估算了一下，完成这些工作要20分钟．为了使客人早点喝上茶，按你认为最合理的安排，多少分钟就能沏茶了？分析本题取自华罗庚教授1965年发表的《统筹方法平话》．烧水沏茶的情况是：开水要烧，开水壶要洗，茶壶茶杯要洗，茶叶要取．怎样安排工作程序最省时间呢？办法甲：洗好开水壶，灌上凉水，放在火上，在等待水开的时候，洗茶杯，拿茶叶，等水开了，沏茶喝．办法乙：先做好一切准备工作，洗开水壶，洗壶杯，拿茶叶，灌水烧水，坐等水开了沏茶喝．办法丙：洗开水壶，灌上凉水，放在火上坐待水开，开了之后急急忙忙找茶叶，洗壶杯，沏茶喝．谁都能一眼看出第一种办法好，因为后两种办法都“窝了工”．开水壶不洗，不能烧开水，固为洗开水壶是烧开水的先决条件，没开水、没茶叶、不洗壶杯，我们不能沏茶，因而这些又是沏茶的先决条件．它们的相互关系可以用下图的箭头图来显示．箭杆上的数字表示完成这一工作所需的时间，例如→表示从把水放在炉上到水开的时间是15分钟．从图上可以一眼看出，办法甲总共要16分钟，而办法乙、丙需20分钟．洗壶杯、拿茶叶没有什么先后关系，而且是由同一个人来做，因此可以将上图合并成下图．解先洗开水壶用1分钟，接着烧开水用15分钟，在等待水开的过程中，同时洗壶杯、拿茶叶，水开了就沏茶，总共用了16分钟．又因为烧开水的15分钟不能减少，烧水前必须用1分钟洗开水壶，所以用16分钟是最少的．说明：本题涉及到的统筹方法，是生产、建设、工程和企业管理中合理安排工作的一种科学方法，它对于进行合理调度、加快工作进展，提高工作效率，保证工作质量是十分有效的．例2用一只平底锅煎饼，每次能同时放两个饼．如果煎1个饼需要2分钟（假定正、反面各需1分钟），问煎1993个饼至少需要几分钟？分析由于1993数目较大，直接入手不容易．我们不妨先从较小的数目来进行探索规律．如果只煎1个饼，显然需要2分钟；如果煎3个饼，初学者看来认为至少需要4分钟：因为先煎2个饼要2分钟；再单独煎第3个饼，又需要2分，所以一共需要4分钟．但是，这不是最佳方案．最优方法应该是：首先煎第1号、第2号饼的正面用1分钟；其次煎第1号饼的反面及第3号饼的正面又用1分钟；最后煎第2号、第3号饼的反面再用1分钟；这样总共只用3分钟就煎好了3个饼．解：如果煎1993个饼，最优方案应该是：煎第1、2、3号饼用“分析”中的方法只需要3分钟；煎后面1990个饼时，每两个饼需要2分钟，分1990÷2=995（次）煎完，共需要2×995=1990（分钟）；这样总共需要3+1990=1993（分钟）．说明：通过本例可以看出，掌握优化的思想，合理统筹安排操作程序，就能够节省时间，提高效率．例3 5个人各拿一个水桶在自来水龙头前等候打水，他们打水所需的时间分别是1分钟、2分钟、3分钟、4分钟和5分钟．如果只有一个水龙头，试问怎样适当安排他们的打水顺序，才能使每个人排队和打水时间的总和最小？并求出最小值．分析5个人排队一共有5×4×3×2×1=120种顺序，把所有情形的时间总和都计算出来，就太繁琐了．凭直觉，应该把打水时间少的人排在前面所费的总时间会省些．考虑用“逐步调整”法来严格求解．解：首先证明要使所费总时间最省，应该把打水时间需1分钟的人排在第一位置．假如第一位置的人打水时间要a分钟（其中2≤a≤5），而打水需1分钟的人排在第b位（其中2≤b ≤5）．我们将这两个人位置交换，其他三人位置不变动．这样调整以后第b位后面的人每人排队打水所费的时间与调整前相同，并且前b个人每人打水所费时间也未受影响，但是第二位至第b位的人排队等候的时间都减少了（a-1）分钟，这说明调整后五个人排队和打水时间的总和减少了．换言之，把打水需1分钟的人排在第一位置所费总时间最省．其次，根据同样道理，再将打水需2分钟的人调整到第二位置；将打水需3、4、5分钟的人逐次调整到第三、四、五位．所以将五人按照打水所需时间由少到多的顺序排队，所费时间最省．这样得出5人排队和打水时间总和的最小值是1×5+2×4+3×3+4×2+5×1=35（分钟）．说明：本题涉及到排序不等式，有兴趣的读者可参阅高年级的数学奥林匹克教材．排队提水的问题，在其他一些场合也是会遇到的．例如，有一台机床要加工n个工件，每个工件需要的加工时间不一样，问应该按照什么次序加工，才能使总的等待时间最短．例4 有157吨货物要从甲地运往乙地，大卡车的载重量是5吨，小卡车的载重量是2吨，大卡车与小卡车每车次的耗油量分别是10公升与5公升．问如何选派车辆才能使运输耗油量最少？这时共需用油多少公升？解：依题意，大卡车每吨耗油量为10÷5=2（公升）；小卡车每吨耗油量为5÷2=2.5（公升）．为了节省汽油应尽量选派大卡车运货，又由于157=5×31+2，因此，最优调运方案是：选派31车次大卡车及1车次小卡车即可将货物全部运完，且这时耗油量最少，只需用油10×31+5×1=315（公升）说明：本题是1960年上海市数学竞赛试题．上述解法是最朴素的优化思想——选派每吨耗油量较少的卡车．下面用代数的知识来解题：设选派大卡车a车次，小卡车b车次，依题意：5a+2b=157，即10a=314-4b．于是总耗油量为：W=10a+5b=314=4b+5b=314+b．显然，当b越小时，W也越小．又由5a+2b=157易知，b最小值是1，故W的最小值是314+1=315（公升）．若取b=0，则需派32车次大卡车，耗油量则需320公升．例5有十个村，坐落在从县城出发的一条公路上（如下页图，距离单位是公里），要安装水管，从县城送里要用8000元，细管每公里要用2000元．把粗管和细管适当搭配、互相连接，可以降低工程的总费用．按你认为最节约的办法，费用应是多少？分析由题意可知，粗管每公里的费用恰好是细管每公里费用的4倍．因此，如果在同一段路上要安装4根以上的细管，就应该用一根粗管来代替，便可降低工程的总费用．解：假设从县城到每个村子都各接一根细管（如上图），那么在BA1、BA2、BA3、BA4、BA5、BA6之间各有10、9、8、7、6、5根细管，应该把B与A6之间都换装粗管，工程的总费用将最低，这时的总费用是：a=8000×（30+5+2+4+2+3）+2000×（2×4+2×3+2×2+5）=414000（元）．说明：容易验证，从县城B起铺设粗管到A6或A7或者A6A7之间任何一个地点都是最节约的办法，总费用仍是414000元．下面详细论证其他安装方案的总费用都大于a．当粗管从县城B铺设到超过A7向A8移动一段路程d（0＜d≤2）公里时，粗管费用增加8000d（元），而细管费用仅减少2000d×3=6000d（元）．这时总费用比a多2000d（元）．当粗管从县城B铺设到超过A8向A9移动一段路程d（0＜d≤2）公里时，粗管费用增加8000×（2+d）=16000+8000d（元），而细管增费用仅减少2000×（2×3＋2d）=12000＋4000d（元）．这时总费用比a多4000+4000d（元）．当粗管从县城B铺设到超过A9向A10移动一段路程d（0＜d≤5）公里时，粗管费用增加8000×（2+2+d）=32000+8000d（元）．而细管费用仅减少2000×（2×3+2×2+d）=20000+2000d（元）．这时总费用比a多12000＋6000d（元）．综上所述，从县城B铺设粗管到超过A7点以东的任何地点的安装总费用都大于a．类似地，可以验证从县城铺设粗管到A6点以西的任何地点的总费用也都大于a．例6 有1993名少先队员分散在一条公路上值勤宣传交通法规，问完成任务后应该在公路的什么地点集合，可以使他们从各自的宣传岗位沿公路走到集合地点的路程总和最小？分析由于1993数目较大，不易解决．我们先从人数较小的情况入手．当只有2个人时，设2人宣传岗位分别为A1和A2（如上图），显然集合地点选在A1点或A2点或者A1A2之间的任何一个地点都可以．因为由A1、A2出发的人走过的路程总和都等于A1A2．当有3个人时，则集合地点应该选在A2点（如右图）．因为若集合地点选在A1A2之间的B点，那时3个人所走的路程总和是A1B+A2B+A3B=（A1B+A3B）+A2B=A1A3+A2B；若集合地点选在A2A3之间的C点，那时3个人所走的路程总和是：A1C+A2C+A3C=（A1C+A3C）+A2C=A1A3+A2C；而集合地点选在A2点时，3个人所走路程总和仅是A1A3．当然A1A3比A1A3+A2B及A1A3+A2C当有4个人时，由于集合地点无论选在A1A4之间的任何位置，对A1、A4岗位上的人来说，这2人走的路程和都是A1A4（如下图）．因此，集合地点的选取只影响A2、A3岗位上的人所走的路程，这就是说，问题转化为“2个人站在A2和A3岗位的情形”．根据上面已讨论的结论可知，集合地点应选在A2或A3或者A2A3之间任何地点．当有5个人时，类似地可把问题转化为“3个人站在A2、A3、A4岗位的情形”（如下图）根据已讨论的结论可知，集合地点应选在A3点．依此递推下去，我们就得到一个规律：当有偶数（2n）个人时，集合地点应选在中间一段AnAn+1之间的任何地点（包括An和An+1点）；当有奇数（2n+1）个人时，集合地点应选在正中间岗位An+1点．本题有1993=2×996+1（奇数）个人，因此集合地点应选在从某一端数起第997个岗位处．说明：本题的解题思路值得掌握，那就是先从简单的较少的人数入手，通过逐步递推，探索一般规律，从而解决某些数字较大的问题．模拟测试1．妈妈杀好鱼后，让小明帮助烧鱼．他洗鱼、切鱼、切姜片葱花、洗锅煎烧，各道工序共花了17分钟（如下图），请你设计一个顺序，使花费的时间最少．2．用一只平底锅煎饼，每次能同时放两个饼．如果煎一个饼需要4分钟（假定正、反面各需2分钟），问煎m个饼至少需要几分钟？3．小明、小华、小强同时去卫生室找张大夫治病．小明打针要5分钟．小华换纱布要3分钟，小强点眼药水要1分钟．问张大夫如何安排治病次序，才能使他们耽误上课的时间总和最少？并求出这个时间．4．赵师傅要加工某项工程急需的5个零件，如果加工零件A、B、C、D、E所需时间分别是5分钟、3分钟、4分钟、7分钟、6分钟．问应该按照什么次序加工，使工程各部件组装所耽误的时间总和最少？这个时间是多少？5．某水池可以用甲、乙两个水管注水，单放甲管需12小时注满，单放乙管需24小时注满．若要求10小时注满水池，并且甲、乙两管合放的时间尽可能地少，则甲、乙两管合放最少需要多少小时？6．山区有一个工厂．它的十个车间分散在一条环行的铁道上．四列货车在铁道上转圈，货车到了某一车间，就要有装卸工装上或卸下货物．当然，装卸工可以固定在车间等车（各车间所需装卸工人数如图所示）；也可以坐在货车到各车间去；也可以一部分装卸工固定在车间，另一部分坐车．问怎样安排才能使装卸工的总人数最少？最少需多少名工人？答案：1．12分钟．2．若m＝1时，至少需要4分；若m≥2时，至少需要2m分钟．3．按小强、小华、小明的顺序安排，耽误上课的时间总和为：1×3+3×2+5=14（分钟）．4．按B、C、A、E、D的顺序加工，耽误时间总和最少为：3×5+4×4+5×3+6×2+7=65（分钟）．6．46×4+4+2+6+11=207（人）．附加：速算与巧算（1）678354322++()（2）283147171653+++（3）38437184-+()（4）29041327173-- （5）653197-（6）12517125⨯-（7）23599⨯（8）()130052013-÷（ 9）672118218579⨯+⨯+⨯（10）222222999999⨯ （11）399999399993999399393+++++（12）201918174321-+-++-+-…（13）8888125⨯ (14) 34534515015÷。
