【精品】2018年福建省漳州市龙海市程溪中学高一上学期期中数学试卷
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2017-2018学年福建省漳州市龙海市程溪中学高一（上）期中数学试卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）设集合A={1，2，4}，B={2，6}，则A∪B等于（）A．{2}B．{1，2，4，6}C．{1，2，4}D．{2，6}2．（5分）设集合U={1，2，3，4，5}，A={1，2，3}，B={2，4}，则图中阴影部分所表示的集合是（）A．{4}B．{2，4}C．{4，5}D．{1，3，4}3．（5分）若f（x）=2x，则f（﹣2）=（）A．4 B．2 C．D．4．（5分）下列函数是偶函数的是（）A．y=2x2﹣3 B．y=x3 C．y=x2，x∈[0，1]D．y=x5．（5分）函数的定义域是（）A．R B．{x|x≥0}C．{x|x＞0}D．{x|x≠0}6．（5分）下列四组函数中，f（x）与g（x）是同一函数的一组是（）A．f（x）=|x|，g（x）=B．f（x）=x，g（x）=（）2C．f（x）=，g（x）=x+1 D．f（x）=1，g（x）=x07．（5分）下列对应法则f中，构成从集合A到集合B的映射是（）A．A={x|x＞0}，B=R，f：x→y|y|=x2B．A={﹣2，0，2}，B={4}f：x→y=x2 C． D．8．（5分）设a=20.3，b=0.32，c=（）﹣1.5，则a，b，c的大小关系是（）A．a＜b＜c B．b＜a＜c C．b＜c＜a D．c＜b＜a9．（5分）已知函数f（x）对任意x，y∈R都有f（x+y）=f（x）+f（y），且f（2）=4，则f（1）=（）A．﹣2 B．0.5 C．2 D．110．（5分）已知函数y=f（x）是R上的偶函数，且f（x）在[0，+∞）上是减函数，若f（a）≥f（﹣2），则a的取值范围是（）A．a≤﹣2 B．a≥2 C．a≤﹣2或a≥2 D．﹣2≤a≤211．（5分）已知是R上的减函数，则a的取值范围是（）A．（0，1） B．C． D．12．（5分）定义集合A、B的一种运算：A*B={x|x=x1+x2，x1∈A，x2∈B}，若A={1，2，3}，B={1，2}，则A*B中的所有元素之和为（）A．21 B．18 C．14 D．9二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.13．（4分）函数f（x）=a x+1（a＞0且a≠1）的图象恒过点．14．（4分）设集合A={﹣1，1，3}，B={a+2，a2+4}，A∩B={3}，则实数a=．15．（4分）如图，函数f（x）的图象是曲线OAB，其中点O、A、B的坐标分别为（0，0），（1，2），（3，1），则f[f（3）]的值等于．16．（4分）若函数f（x）同时满足：①对于定义域上的任意x，恒有f（x）+f（﹣x）=0；②对于定义域上的任意x1，x2，当x1≠x2时，恒有，则称函数f（x）为“理想函数”．给出下列四个函数中：（1）f（x）=（2）f（x）=x2（3）f（x）=（4）f（x）=，能被称为“理想函数”的有（填相应的序号）．三、解答题：本大题共6小题，共计74分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（12分）计算：（1）；（2）（lg5）2+lg2×lg50．18．（12分）设全集为实数集R，A={x|3≤x＜7}，B={x|2＜x＜10}，C={x|x＜a}．（1）求A∪B及（C R A）∩B；（2）如果A∩C≠∅，求a的取值范围．19．（12分）已知函数f（x）=|x﹣1|．（1）用分段函数的形式表示该函数；（2）在右边所给的坐标系中画出该函数的图象；（3）写出该函数的定义域、值域、奇偶性、单调区间（不要求证明）．20．（12分）两个重要城市之间人员交流频繁，为了缓解交通压力，特修一条专用铁路，用一列火车作为交通车．已知该车每次拖4节车厢，一日能来回16次，如果每次拖7节车厢，则每日能来回10次．（1）若每日来回的次数是车头每次拖挂车厢节数的一次函数，求此一次函数解析式；（2）在（1）的条件下，每节车厢能载乘客110人．问这列火车每天来回多少次才能使运营人数最多？并求出每天最多运营人数．21．（12分）已知定义域为R的单调递减的奇函数f（x），当x＞0时，f（x）=﹣2x（Ⅰ）求f（﹣1）的值；（Ⅱ）求f（x）的解析式；（Ⅲ）若对任意的t∈R，不等式f（t2﹣2t）+f（2t2﹣k）＜0恒成立，求实数k 的取值范围．22．（14分）已知函数f（x）=a．（1）求证：不论a为何实数，f（x）在R上均为增函数；（2）若f（x）为奇函数，求a的值；（3）在（2）的条件下，求f（x）在区间[1，5]上的最大值和最小值．2017-2018学年福建省漳州市龙海市程溪中学高一（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）设集合A={1，2，4}，B={2，6}，则A∪B等于（）A．{2}B．{1，2，4，6}C．{1，2，4}D．{2，6}【解答】解：∵集合A={1，2，4}，B={2，6}，∴A∪B={1，2，4}∪{2，6}={1，2，4，6}，故选：B．2．（5分）设集合U={1，2，3，4，5}，A={1，2，3}，B={2，4}，则图中阴影部分所表示的集合是（）A．{4}B．{2，4}C．{4，5}D．{1，3，4}【解答】解：集合U={1，2，3，4，5}，A={1，2，3}，B={2，4}，则图中阴影部分所表示，为B∩C U A，∵C U A={4，5}∴可得B∩C U A={4}，故选：A．3．（5分）若f（x）=2x，则f（﹣2）=（）A．4 B．2 C．D．【解答】解：因为f（x）=2x，所以f（﹣2）=2﹣2=．故选：D．4．（5分）下列函数是偶函数的是（）A．y=2x2﹣3 B．y=x3 C．y=x2，x∈[0，1]D．y=x【解答】解：根据偶函数的定义可得，只有当函数的定义域关于原点对称，且以﹣x代替x后，所得到的函数值不变，这个函数才是偶函数．经检验只有A中的函数满足条件，故选：A．5．（5分）函数的定义域是（）A．R B．{x|x≥0}C．{x|x＞0}D．{x|x≠0}【解答】解：函数的定义域是{x|}，解得{x|x＞0}．故选：C．6．（5分）下列四组函数中，f（x）与g（x）是同一函数的一组是（）A．f（x）=|x|，g（x）=B．f（x）=x，g（x）=（）2C．f（x）=，g（x）=x+1 D．f（x）=1，g（x）=x0【解答】解：对于A，f（x）=|x|（x∈R），与g（x）==|x|（x∈R）的定义域相同，对应关系也相同，∴是同一函数；对于B，f（x）=x（x∈R），与g（x）==x（x≥）的定义域不同，∴不是同一函数；对于C，f（x）==x+1（x≠1），与g（x）=x+1（x∈R）的定义域不同，∴不是同一函数；对于D，f（x）=1（x∈R），与g（x）=x0=1（x≠0）的定义域不同，∴不是同一函数．故选：A．7．（5分）下列对应法则f中，构成从集合A到集合B的映射是（）A．A={x|x＞0}，B=R，f：x→y|y|=x2B．A={﹣2，0，2}，B={4}f：x→y=x2 C． D．【解答】解：根据映射的概念，在集合A中的每一个元素在集合B中都有唯一的元素和它对应，观察所给的四个选项，对于A选项，在B中有2个元素与它对应，不是映射，对于B选项，在B中没有和A的元素0对应的象，对于C选项，在B中没有与A的元素0对应的象，对于D选项，符合映射的意义，故选：D．8．（5分）设a=20.3，b=0.32，c=（）﹣1.5，则a，b，c的大小关系是（）A．a＜b＜c B．b＜a＜c C．b＜c＜a D．c＜b＜a【解答】解：考查指数函数y=0.3x，∵0＜0.3＜1，2＞0，∴0＜0.32＜0.30=1，∴0＜b＜1考查指数函数y=2x，∵2＞1，0.3＜1.5，∴20＜20.3＜21.5，∴，∴1＜a＜c∴b＜a＜c故选：B．9．（5分）已知函数f（x）对任意x，y∈R都有f（x+y）=f（x）+f（y），且f（2）=4，则f（1）=（）A．﹣2 B．0.5 C．2 D．1【解答】解：∵函数f（x）对任意x，y∈R都有f（x+y）=f（x）+f（y），且f（2）=4，∴f（2）=f（1+1）=f（1）+f（1）=4，∴f（1）=2．故选：C．10．（5分）已知函数y=f（x）是R上的偶函数，且f（x）在[0，+∞）上是减函数，若f（a）≥f（﹣2），则a的取值范围是（）A．a≤﹣2 B．a≥2 C．a≤﹣2或a≥2 D．﹣2≤a≤2【解答】解：由题意可得|a|≤2，∴﹣2≤a≤2，故选：D．11．（5分）已知是R上的减函数，则a的取值范围是（）A．（0，1） B．C． D．【解答】解：∵f（x）=是R上的减函数，∴0＜a＜1，①且3a﹣1＜0，②（3a﹣1）×1+4a≥a，③由①②③得：≤a＜．故选：B．12．（5分）定义集合A、B的一种运算：A*B={x|x=x1+x2，x1∈A，x2∈B}，若A={1，2，3}，B={1，2}，则A*B中的所有元素之和为（）A．21 B．18 C．14 D．9【解答】解：∵A*B={x|x=x1+x2，x1∈A，x2∈B}，A={1，2，3}，B={1，2}，∴A*B={2，3，4，5}，∴A*B中的所有元素之和为：2+3+4+5=14，故选：C．二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.13．（4分）函数f（x）=a x+1（a＞0且a≠1）的图象恒过点（0，2）．【解答】解：因为y=a x恒过定点（0，1），而y=a x+1是由y=a x沿y轴向上平移1个单位得到的，所以其图象过定点（0，2）．故答案为（0，2）14．（4分）设集合A={﹣1，1，3}，B={a+2，a2+4}，A∩B={3}，则实数a=1．【解答】解：∵A∩B={3}∴3∈B，又∵a2+4≠3∴a+2=3 即a=1故答案为115．（4分）如图，函数f（x）的图象是曲线OAB，其中点O、A、B的坐标分别为（0，0），（1，2），（3，1），则f[f（3）]的值等于2．【解答】解：由图形可知，f（3）=1，f（1）=2，∴f[f（3）]=2故答案为：216．（4分）若函数f（x）同时满足：①对于定义域上的任意x，恒有f（x）+f（﹣x）=0；②对于定义域上的任意x1，x2，当x1≠x2时，恒有，则称函数f（x）为“理想函数”．给出下列四个函数中：（1）f（x）=（2）f（x）=x2（3）f（x）=（4）f（x）=，能被称为“理想函数”的有（4）（填相应的序号）．【解答】解：依题意，性质①反映函数f（x）为定义域上的奇函数，性质②反映函数f（x）为定义域上的单调减函数，（1）f（x）=为定义域上的奇函数，但不是定义域上的单调减函数，其单调区间为（﹣∞，0），（0，+∞），故排除（1）；（2）f（x）=x2为定义域上的偶函数，排除（2）；（3）f（x）==1﹣，定义域为R，由于y=2x+1在R上为增函数，故函数f（x）为R上的增函数，排除（3）；（4）f（x）=的图象如图：显然此函数为奇函数，且在定义域上为减函数，故（4）为理想函数故答案为（4）三、解答题：本大题共6小题，共计74分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（12分）计算：（1）；（2）（lg5）2+lg2×lg50．【解答】（本小题满分12分）解：（1）==．（2）（lg5）2+lg2×lg50=（lg5）2+lg2×（lg5+1）=lg5（LG%+LG@）+lg2=lg5+lg2=1．18．（12分）设全集为实数集R，A={x|3≤x＜7}，B={x|2＜x＜10}，C={x|x＜a}．（1）求A∪B及（C R A）∩B；（2）如果A∩C≠∅，求a的取值范围．【解答】解：（1）∵A={x|3≤x＜7}，B={x|2＜x＜10}，∴A∪B={x|2＜x＜10}，（C R A）∩B={x|2＜x＜3或7≤x＜10}；（2）∵A={x|3≤x＜7}，C={x|x＜a}，∴要使A∩C≠∅，则a＞3．19．（12分）已知函数f（x）=|x﹣1|．（1）用分段函数的形式表示该函数；（2）在右边所给的坐标系中画出该函数的图象；（3）写出该函数的定义域、值域、奇偶性、单调区间（不要求证明）．【解答】（本小题共12分）解：（1）函数f（x）=|x﹣1|=．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（4分）（2）函数f（x）的图象如下所示：﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（4分）（3）由函数图象可得：定义域为R，值域为{y|y≥0}，f（x）是非奇非偶函数，单调增区间[1，+∞），单调减区间（﹣∞，1）﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（4分）20．（12分）两个重要城市之间人员交流频繁，为了缓解交通压力，特修一条专用铁路，用一列火车作为交通车．已知该车每次拖4节车厢，一日能来回16次，如果每次拖7节车厢，则每日能来回10次．（1）若每日来回的次数是车头每次拖挂车厢节数的一次函数，求此一次函数解析式；（2）在（1）的条件下，每节车厢能载乘客110人．问这列火车每天来回多少次才能使运营人数最多？并求出每天最多运营人数．【解答】解：（1）设每日来回y次，每次挂x节车厢，由题意y=kx+b…（1分）由已知可得方程组：…（2分）解得：k=﹣2，b=24…（3分）∴…（4分）（2）设每日火车来回y次，每次挂x节车厢，设每日可营运S节车厢．由题意知，每日挂车厢最多时，营运人数最多，则S=xy=x（﹣2x+24）=﹣2x2+24x=﹣2（x﹣6）2+72…（6分）所以当x=6时，S max=72（节）…（7分）此时y=12，故每日最多运营人数为110×72=7920（人）答：这列火车每天来回12次，才能使运营人数最多，每天最多运营人数为7920人．…（8分）21．（12分）已知定义域为R的单调递减的奇函数f（x），当x＞0时，f（x）=﹣2x（Ⅰ）求f（﹣1）的值；（Ⅱ）求f（x）的解析式；（Ⅲ）若对任意的t∈R，不等式f（t2﹣2t）+f（2t2﹣k）＜0恒成立，求实数k 的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）由f（x）是奇函数，令x=﹣1，可得f（﹣1）=﹣f（1）=﹣（﹣2）=∴f（﹣1）=；（Ⅱ）定义域为R的单调递减的奇函数f（x），则f（0）=0，当x＞0时，f（x）=﹣2x，当x＜0时，﹣x＞0，则f（﹣x）=，∵f（x）是奇函数，∴﹣f（x）=，即f（x）=∴f（x）的解析式为：f（x）=．（Ⅲ）不等式f（t2﹣2t）+f（2t2﹣k）＜0恒成立，即f（t2﹣2t）＜﹣f（2t2﹣k）由f（x）是定义域为R的单调递减的奇函数，∴t2﹣2t＞k﹣2t2即3t2﹣2t＞k可得3（t﹣）2﹣＞k对任意的t∈R．∴k．故得实数k的取值范围是（﹣∞，﹣）．22．（14分）已知函数f（x）=a．（1）求证：不论a为何实数，f（x）在R上均为增函数；（2）若f（x）为奇函数，求a的值；（3）在（2）的条件下，求f（x）在区间[1，5]上的最大值和最小值．【解答】（1）证明：f（x）的定义域为R，任取x1＜x2，则f（x1）﹣f（x2）=a ﹣﹣（a ﹣）=∵x1＜x2，∴﹣＜0，∴（1+（1+）＞0，∴f（x1）﹣f（x2）＜0，即f（x1）＜f（x2），所以，无论a为何实数，f（x）总为增函数．（2）解：因为f（x）为R上的奇函数，所以f（0）=0，即a ﹣=0解得a=．（3）由（2）知，f（x）=﹣由（1）知f（x）为区间[1，5]上的增函数，所以f（x）在[1，5]上的最小值为f（1）=，最大值为f（5）=．赠送：初中数学几何模型举例【模型四】几何最值模型：图形特征：l运用举例：1. △ABC中，AB=6，AC=8，BC=10，P为边BC上一动点，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，M为AP的中点，则MF的最小值为B2.如图，在边长为6的菱形ABCD中，∠BAD＝60°，E为AB的中点，F为AC上一动点，则EF+BF的最小值为_________。
