二元一次方程各类应用题

二元一次方程应用题8种类型

一、行程问题

1. 题目

- 甲、乙两人相距30千米，甲速度为x千米/小时，乙速度为y千米/小时，若两人同时出发相向而行，3小时后相遇；若两人同时同向而行，甲在乙后面，5小时后甲追上乙。求甲、乙两人的速度。

2. 解析

- 根据相向而行时，路程 = 速度和×时间，可得到方程3(x + y)=30，化简为x + y = 10。

- 根据同向而行时，路程差=速度差×时间，可得到方程5(x - y)=30，化简为x - y=6。

- 联立方程组x + y = 10 x - y = 6，将两式相加，2x=16，解得x = 8。

- 把x = 8代入x + y = 10，得y = 2。

二、工程问题

1. 题目

- 一项工程，甲队单独做需要x天完成，乙队单独做需要y天完成，两队合作需要6天完成；甲队单独做比乙队单独做少用5天。求甲、乙两队单独完成这项工程各需要多少天？

2. 解析

- 把工作总量看作单位“1”，根据工作效率 = 工作总量÷工作时间，两队合作的工作效率为(1)/(6)，甲队工作效率为(1)/(x)，乙队工作效率为(1)/(y)，则(1)/(x)+(1)/(y)=(1)/(6)。 - 又因为甲队单独做比乙队单独做少用5天，所以y - x=5，即y=x + 5。

- 将y=x + 5代入(1)/(x)+(1)/(y)=(1)/(6)中，得到(1)/(x)+(1)/(x + 5)=(1)/(6)。

- 去分母得6(x+5)+ 6x=x(x + 5)，展开6x+30+6x=x^2+5x，移项化为一元二次方程x^2-7x - 30 = 0，因式分解(x - 10)(x+3)=0，解得x = 10或x=-3（天数不能为负舍去）。

- 当x = 10时，y=10 + 5=15。

三、利润问题

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1 一元二次方程的实际应用复习题

列一元二次方程解应用题的一般步骤

1.列方程解实际问题的三个重要环节：

一是整体地、系统地审题；二是把握问题中的等量关系；

三是正确求解方程并检验解的合理性.

2.利用方程解决实际问题的关键是寻找等量关系

3.解决应用题的一般步骤：

审(审题目，分清已知量、未知量、等量关系等)；

设(设未知数，有时会用未知数表示相关的量)；

列(根据题目中的等量关系，或将一个量表示两遍，由此得到方程)；

解(解方程，注意分式方程需检验，将所求量表示清晰)；

答(切忌答非所问).

经典例题透析

类型一、数字问题

1.两个连续奇数的积是323，求这两个数．

举一反三：

【变式1】两个连续整数的积是210，求这两个数．

【变式2】已知两个数的和是12，积为35，求这两个数．

2.有一个两位数等于其数字之积的3倍，其十位数字比个位数字小2，求这两位数．

举一反三：

【变式1】有一个两位数，它们的十位数字与个位数字之和为8，如果把十位数字与个位数字调换后，所得的两位数乘以原来的两位数就得1855，求原来的两位数．

2 2 类型二、传播问题

1.有一人患了流感，经过两轮传染后共有121人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了几个人？

举一反三：

【变式1】某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是91，每个支干长出多少小分支？

【变式2】某种电脑病毒传播非常快，如果一台电脑被感染，经过两轮感染后就会有81台电脑被感染．请你用学过的知识分析，每轮感染中平均一台电脑会感染几台电脑？若病毒得不到有效控制，3轮感染后，被感染的电脑会不会超过700台？

类型三、平均增长率问题

列一元二次方程解决增长(降低)率问题时，要理清原来数、后来数、增长率或降低率，以及增长或降低的次数之间的数量关系.如果列出的方程是一元二次方程，那么应在原数的基础上增长或降低两次.

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优质参考资料 考点一 -----二元一次方程概念 与解法

例1．已知 x＝2，y＝1是二元一次方程组 mx＋ny＝8，nx－my＝1的解，则2m－n=

例2．小明和小佳同时解方程组1325nyxymx，小明看错了m，解得227yx，小华看错了n，解得73yx，你能知道原方程组正确的解吗？

总结分析：灵活学会“方程解”概念解题。

【巩固】已知方程组256a4xyxby-和方程组35168xybxay的解相同，求2014(2)ab的值。

考点二-----解决实际问题

列方程(组)解应用题的一般步骤

1、审：有什么，求什么，干什么；

2、设：设未知数，并注意单位；

3、找：等量关系；

4、列：用数学语言表达出来；

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优质参考资料 5、解：解方程(组)．

6、验：检验方程(组)的解是否符合实际题意．

7、答：完整写出答案(包括单位)．

列方程组思想：

找出相等关系“未知”转化为“已知”.有几个未知数就列出几个方程，所列方程必须满足：(1)方程两边表示的是同类量；(2)同类量的单位要统一；(3)方程两边的数值要相等.

列二元一次方程----解决实际问题

甲、乙两地相距160千米，一辆汽车和一辆拖拉机同时由甲、乙两地相向而行，1小时20分相遇. 相遇后，拖拉机继续前进，汽车在相遇处停留1小时后调转车头原速返回，在汽车再次出发半小时后追上了拖拉机. 这时，汽车、拖拉机各自行驶了多少千米？

总结升华：根据题意画出示意图，再根据路程、时间和速度的关系找出等量关系，是行程问题的常用的解决策略。

一元二次方程的应用

（一）传播问题（比赛问题）

1.有一人患了流感，经过两轮传染后共有121人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了几个人？

2. 参加一次足球联赛的每两队之间都进行一场比赛，共比赛45场比赛，共有多少个队参加比赛？

（如果每两队比才两场呢？）

3.某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是91，每个支干长出多少小分支？

4.一个小组有若干人，新年互送贺卡，若全组共送贺卡72张，这个小组共有多少人？

（二）平均增长（下降）率问题

变化前数量×（1x）n＝变化后数量

1.青山村种的水稻2001年平均每公顷产7200公斤，2003年平均每公顷产8450公斤，求水稻每公顷产量的年平均增长率。

2.某种商品经过两次连续降价，每件售价由原来的90元降到了40元，求平均每次降价率是多少？

3.某种商品，原价50元，受金融危机影响，1月份降价10％，从2月份开始涨价，3月份的售价为64.8元，求2、3月份价格的平均增长率。

附加题：

某种电脑病毒传播非常快，如果一台电脑被感染，经过两轮感染后就会有81台电脑被感染．请你用学过的知识分析，每轮感染中平均一台电脑会感染几台电脑？若病毒得不到有效控制，3轮感染后，被感染的电脑会不会超过700台？

（三）商品销售问题

售价—进价=利润

一件商品的利润×销售量=总利润

单价×销售量=销售额

1.某水果批发商场经销一种高档水果，如果每千克盈利10元，每天可售出500千克，经市场调查发现，在进货价不变的情况下，若每千克涨价1元，日销售量将减少20千克。现该商品要保证每天盈利6000元，同时又要使顾客得到实惠，那么每千克应涨价多少元？

2.服装柜在销售中发现某品牌童装平均每天可售出２０件，每件盈利４０元。为了迎接“六一”儿童节，商场决定采取适当的降价措施，扩大销售量，增加盈利，减少库存。经市场调查发现，如果每件童装每降价４元，那么平均每天就可多售出８件。要想平均每天在销售这种童装上盈利1200元，那么每件童装应降价多少元？