函数单调性与最值的综合

观察上面特殊情况下的结论，不难猜想　

当—　一　—　时，必有一一—ＯＰ—，　＋　１＿０Ｐ—ｅＰ　Ｐ　ＰＰ　ＯＰＩ　，点Ｐ　当１一　２时，必有　一——　＿一，点　

的坐标是（　，　）．　

这便是第１００页探究栏目中所提出的问题的一　般性结论．教材中未给出探究过程，这里作如下补充．　

设Ｐ１（ｚ１，Ｙ１），Ｐ２（ｚ２，Ｙ２），Ｐ（ｚ，　），由于Ｐ１　Ｐ—　

ＰＰ　２，故ＯＰ一０Ｐ１＋Ｐ　Ｐ一０Ｐ】＋　ＰＰ　２—０Ｐ１＋　

（ＯＰ２—０Ｐ），所以（１＋　）０Ｐ一０Ｐ１＋　０Ｐ　２，故０Ｐ—　

，因此ｚ一旦　，　一　，即点Ｐ　

的坐标是（　去　，　）．　

这里ｚ一旦　，　一　（　≠一１）称作线　

段定比分点的坐标公式，　一　（　≠一１）　

是线段定比分点公式的向量表示．　

教材第１０５页的例２的结论告诉我们，代数中的　

完全平方公式和平方差公式在向量运算中也适用．可　以请学生利用向量数量积运算的“分配律”自行推导，　

教师最后可以进一步指出：代数中的多项式与多项式　的乘法法则在向量运算中也适用，要求学生熟练　

掌握．　

教材第１０５页的例４是两向量垂直的充要条件　的直接应用．事实上，求值问题是方程问题，因此只需　

根据两向量垂直它们的数量积等于零，并结合给定向　量的模长即可建立关于ｋ的方程，解之即可．　

教材第ｌ１０页的例１和例２是同一类问题，教学　

中可以先借助信息技术作动画演示，使学生清晰地看　到３条线段长度总是相等的事实，在此基础上提出相　

应的猜想，再作证明．这样设计教学过程，旨在使学生　进一步体会“实验归纳一猜想一证明”这一发现真　

理的过程．　教材第ｌ１１页的例３是日常生活中经常遇到的　问题，要对问题中的物理现象作出数学解释，关键在　

于对问题的分析，按教材第１１２页的图形解释即可．　教材第１１２页的例４是航行问题．要使“行驶航　

程最短”，船的实际航向必须垂直于河岸．考虑到本例　

中的河水是流动的，因此，当船的速度与水流速度的　合速度垂直于河岸时，才能使得“行驶航程最短”．由　

江苏书人教育培训中心2013年暑假 新高一数学第16讲函数的性质

第1页 共4页 新高一数学第16讲 函数的单调性

一、知识要点

1.函数单调性的定义：一般地，设函数f（x）的定义域为D：如果对于属于D内某个区间上的任意两个自变量的值x1、x2当x 1 ＜x 2时，都有 f（x1）＜f（x2），那么就说f(x)在这个区间上是增函数.

如果对于属于D内某个区间上的任意两个自变量的值x1、x2，当x 1 ＜x 2时，都有f（x1）＞f（x2），那么就说f(x)在这个区间上是减函数.

如果函数y ＝f（x）在某个区间是增函数或减函数，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有严格的单调性，这一区间叫做y＝f（x）的单调区间，在单调区间上，增函数的图象是上升的，减函数的图象是下降的.

注意：①函数的单调性也叫函数的增减性.

②函数的单调性是对某个区间而言的，它是一个局部概念.

③判定函数在某个区间上的单调性的方法步骤：

a.设x1、x2∈给定区间，且x 1 ＜x 2

b.计算f（x1）－f（x2）至最简;

c.判断上述差的符号;

d.下结论(若差＜0，则为增函数；若差＞0，则为减函数)

2. 注意函数单调性的几种不同的表述形式：设0f1212,,,xxabxx那么：

12120xxfxfx12120fxfxxxfx在[a,b]上是增函数；

12120xxfxfx12120fxfxxxfx在[a,b]上是减函数；

3. 函数单调性的运用：① 比较函数值的大小；② 解抽象不等式；③ 求参数的范围。

4.常用结论：

①函数fx与fx+c(c为常数)具有相同的单调性；

②当c＞0时,函数fx与cfx具有相同的单调性；当c＜0时,函数fx与cfx具有相反的单调性；

2021届高考数学（理）考点复习

函数的单调性与最值

1．函数的单调性

(1)单调函数的定义

增函数 减函数

定义 一般地，设函数f (x)的定义域为I，如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2

当x1f (x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是减函数

图象描述

自左向右看图象是上升的

自左向右看图象是下降的

(2)单调区间的定义

如果函数y＝f (x)在区间D上是增函数或减函数，那么就说函数y＝f (x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间D叫做y＝f (x)的单调区间．

2．函数的最值

前提 设函数y＝f (x)的定义域为I，如果存在实数M满足

条件 (1)对于任意的x∈I，都有f (x)≤M；

(2)存在x0∈I，使得f (x0)＝M (1)对于任意的x∈I，都有f (x)≥M；

(2)存在x0∈I，使得f (x0)＝M

结论 M为最大值 M为最小值

概念方法微思考

1．在判断函数的单调性时，你还知道哪些等价结论？

提示 对∀x1，x2∈D，x1≠x2，f x1－f x2x1－x2>0⇔f (x)在D上是增函数；对∀x1，x2∈D，x1≠x2，(x1－

x2)·[f (x1)－f (x2)]>0⇔f (x)在D上是增函数．减函数类似．

2．写出函数y＝x＋ax(a>0)的增区间．

提示 (－∞，－a]和[a，＋∞)．

1．（2020·新课标Ⅱ）设函数()ln|21|ln|21|fxxx，则f(x)（ ）

A. 是偶函数，且在1(,)2单调递增 B. 是奇函数，且在11(,)22单调递减

C. 是偶函数，且在1(,)2单调递增 D. 是奇函数，且在1(,)2单调递减

【答案】D

【解析】由ln21ln21fxxx得fx定义域为12xx，关于坐标原点对称，

又ln12ln21ln21ln21fxxxxxfx，

1．函数单调性的定义

增函数 减函数

定

义 设函数y＝f(x)的定义域为A，区间M⊆A，如果取区间M中任意两个值x1，x2，改变量Δx＝x2－x1>0，则当

Δy＝f(x2)－f(x1)>0时，就称函数y＝f(x)在区间M上是增函数 Δy＝f(x2)－f(x1)<0时，就称函数y＝f(x)在区间M上是减函数

图象

自左向右看图象是上升的

自左向右看图象是下降的

2.单调性与单调区间

如果一个函数在某个区间M上是增函数或是减函数，就说这个函数在这个区间M上具有单调性，区间M称为单调区间．

3．函数的最值

前提 设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足

条件 (1)对于任意的x∈I，都有f(x)≤M；

(2)存在x0∈I，使得f(x0)＝M. (3)对于任意的x∈I，都有f(x)≥M；

(4)存在x0∈I，使得f(x0)＝M.

结论 M为最大值 M为最小值

【思考辨析】

判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)

(1)在增函数与减函数的定义中，可以把“任意两个自变量”改为“存在两个自变量”．( × )

(2)对于函数f(x)，x∈D，若x1，x2∈D且(x1－x2)·[f(x1)－f(x2)]>0，则函数f(x)在D上是增函数．( √ ) (3)函数y＝f(x)在[1，＋∞)上是增函数，则函数的单调递增区间是[1，＋∞)．( × )

(4)函数y＝1x的单调递减区间是(－∞，0)∪(0，＋∞)．( × )

(5)所有的单调函数都有最值．(

× )

(6)对于函数y＝f(x)，若f(1)

1．(2014·北京)下列函数中，在区间(0，＋∞)上为增函数的是( )

A．y＝x＋1 B．y＝(x－1)2

C．y＝2－x D．y＝log0.5(x＋1)

答案 A

解析 A项，函数y＝x＋1在[－1，＋∞)上为增函数，所以函数在(0，＋∞)上为增函数，故正确；B项，函数y＝(x－1)2在(－∞，1)上为减函数，在[1，＋∞)上为增函数，故错误；C项，函数y＝2－x＝(12)x在R上为减函数，故错误；D项，函数y＝log0.5(x＋1)在(－1，＋∞)上为减函数，故错误．