函数单调性与最值(1)学案

1 函数的单调性与最值

导学目标： 1.理解函数的单调性、最大值、最小值及其几何意义.2.会用定义判断函数的单调性，会求函数的单调区间及会用单调性求函数的最值．

自主梳理

1．单调性

(1)定义：一般地，设函数y＝f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量x1，x2，当x1f(x2))，那么就说f(x)在区间D上是______________．

(2)单调性的定义的等价形式：设x1，x2∈[a，b]，那么(x1－x2)(f(x1)－f(x2))>0⇔fx1－fx2x1－x2>0⇔f(x)在[a，b]上是________；(x1－x2)(f(x1)－f(x2))<0⇔fx1－fx2x1－x2<0⇔f(x)在[a，b]上是________．

(3)单调区间：如果函数y＝f(x)在某个区间上是增函数或减函数，那么说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间D叫做y＝f(x)的__________．

(4)函数y＝x＋ax(a>0)在 (－∞，－a)，(a，＋∞)上是单调________；在(－a，0)，(0，a)上是单调______________；函数y＝x＋ax(a<0)在______________上单调递增．

2．最值

一般地，设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：①对于任意的x∈I，都有f(x)≤M(f(x)≥M)；②存在x0∈I，使得f(x0)＝M.那么，称M是函数y＝f(x)的____________．

自我检测

1．若函数y＝ax与y＝－bx在(0，＋∞)上都是减函数，则y＝ax2＋bx在(0，＋∞)上是( )

A．增函数 B．减函数 C．先增后减 D．先减后增

2．设f(x)是(－∞，＋∞)上的增函数，a为实数，则有 ( )

A．f(a)f(a)

3．下列函数在(0,1)上是增函数的是 ( )

3．1.2　函数的单调性

第1课时　单调性的定义与证明

课程标准

借助函数图象，会用符号语言表达函数的单调性、最大值、最小值，理解它们的作用

和实际意义．

新知初探·自主学习——突出基础性

教材要点

知识点一　定义域为A的函数f(x)的单调性

状元随笔　定义中的x1，x2有以下3个特征

(1)任意性，即“任意取x

1，x2”中“任意”二字绝不能去掉，证明时不能以特殊代替一

般；

(2)有大小，通常规定x

1＜x2；

(3)属于同一个单调区间．

知识点二　单调性与单调区间

如果函数y＝f(x)在区间M上是单调递增或单调递减，那么就说函数y＝f(x)在这一区

间上具有(严格的)________，区间M叫做y＝f(x)的________．

状元随笔　一个函数出现两个或者两个以上的单调区间时，不能用“∪”连接，而应该用

“和”连接. 如函数y＝1

x在(－∞，0)和(0，＋∞)上单调递减，却不能表述为：函数y＝1

x

在

1(－∞，0)∪(0，+∞)上单调递减．

知识点三　函数的最值

一般地，设函数f(x)的定义域为D，且x0∈D：如果对任意x∈D，都有f(x)≤f(x

0)，

则称f(x)的最大值为f(x0)(记作f(x)

max＝f(x0))，而x

0称为f(x)的最大值点；如果对任意

x∈D，都有f(x)≥f(x

0)，则称f(x)的最小值为f(x

0)(记作f(x)

min＝f(x0))，而x

0称为f(x)的

最小值点．最大值和最小值统称为最值，最大值点和最小值点统称为最值点．

状元随笔　最大(小)值必须是一个函数值，是值域中的一个元素，如函数y＝－

x2(x∈R)的最大值是0，有f(0)＝0.

　基础自测

1．函数y＝(2m－1)x＋b在R上是减函数，则( )

A．m＞1

2 B．m＜1

2

C．m＞－1

2D．m＜－1

2

2．函数f(x)＝1

x在[1，＋∞)上( )

A．有最大值无最小值

B．有最小值无最大值

C．有最大值也有最小值

D．无最大值也无最小值

3．若f(x)在R上是增函数，且f(x

3．3.3 三次函数的性质：单调区间和极值

1．理解函数最值的概念，了解其与函数极值的区别与联系．

2．会求某闭区间上函数的最值．

极值反映的是函数在某一点附近的局部性质，而不是函数在整个定义域内的性质，但是我们往往更关心函数在某个区间上哪个值最大，哪个值最小，函数的极值与最值有怎样的关系？

答：函数的最大值、最小值是比较整个定义区间的函数值得出的，函数的极值是比较极值点附近的函数值得出的，函数的极值可以有多个，但最值只能有一个；极值只能在区间内取得，最值则可以在端点处取得；有极值的未必有最值，有最值的未必有极值；极值有可能成为最值，最值只要不在端点处取得必定是极值，所以在开区间(a，b)上若存在最值，则必是极值．

三次函数的导数零点与其单调区间和极值

设F(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d(a≠0)，

F′(x)＝3ax2＋2bx＋c(a≠0)．

填写下表：

当a>0时，

F′(x)的零点

F(x)、F′(x)的性质 无 x＝w x＝u和x＝v(u

F′(x)的符号 F′(x)>0 F′(x)≥0 x∈(－∞，u) ∪(v，＋∞)时，F′(x)>0；

x∈(u，v)时F′(x)<0

F(x)的单调性 在(－∞，＋∞)上递增 在(－∞，

＋∞)上

递增 在(－∞，u)上递增；在(u，v)上递减；

在(v，＋∞)上递增

F(x)的极值 无 无 在x＝u处取极大值，

在x＝v处取极小值 当a<0时，

F′(x)的零点

F(x)、F′(x)的性质 无 x＝ω x＝u和x＝v(u

F′(x)的符号 F′(x)<0 F′(x)≤0 x∈(－∞，u) ∪(v，＋∞)时，

F′(x)<0；

x∈(u，v)时，F′(x)>0

F(x)的单调性 在(－∞，＋∞)上递减 在(－∞，＋∞)上

递减 在(－∞，u)上递减；在

(u，v)上递增；

在(v，＋∞)上递减

F(x)的极值 无 无 在x＝u处取极小值，在

x＝v处取极大值

函数单调性与最值教案

教案标题：函数单调性与最值教案

教案目标：

1. 了解函数的单调性及其在数学和实际问题中的应用。

2. 掌握求解函数最值的方法和技巧。

3. 能够分析和解决与函数单调性和最值相关的问题。

教案步骤：

步骤一：引入概念（15分钟）

1. 引导学生回顾函数概念，并解释函数的单调性。

2. 通过示例图像展示函数的单调递增和单调递减的特点。

3. 提出问题：如何判断一个函数的单调性？

步骤二：函数单调性的判断（20分钟）

1. 介绍函数导数的概念，并解释导数与函数单调性的关系。

2. 讲解判断函数单调性的方法：

a. 对函数求导，判断导数的正负性；

b. 利用函数的图像和定义域的特点进行判断。

3. 通过练习题让学生巩固判断函数单调性的方法。

步骤三：函数最值的求解（20分钟）

1. 引导学生思考如何求解函数的最值。

2. 解释求解函数最值的方法：

a. 对函数求导，找出导数为零或不存在的点；

b. 利用函数的图像和定义域的特点进行判断。 3. 通过练习题让学生掌握求解函数最值的方法和技巧。

步骤四：综合应用（15分钟）

1. 提供一些实际问题，要求学生分析问题并应用函数单调性和最值的概念解决问题。

2. 引导学生讨论解决问题的思路和步骤。

3. 鼓励学生展示解决问题的过程和答案，并进行讨论和评价。

步骤五：总结与拓展（10分钟）

1. 总结函数单调性和最值的概念和判断方法。

2. 引导学生思考函数单调性和最值在其他学科和实际问题中的应用。

3. 提供一些拓展问题，鼓励学生继续思考和研究相关概念。

教案评估：

1. 在步骤二和步骤三的练习中，检查学生对函数单调性和最值的判断和求解能力。

2. 在步骤四的综合应用中，评估学生对函数单调性和最值在实际问题中的应用能力。

3. 在课堂讨论和总结中，评估学生对函数单调性和最值概念的理解和思考能力。

教案延伸：

1. 鼓励学生独立研究更复杂的函数单调性和最值问题，拓展思维能力。