函数的单调性与最值
函数的单调性
（1）.增函数：若对于定义域内的某个区间DDI上的任意两个自变量1x、2x，当12xx时，都有12fxfx，那么就说函数fx在区间D上是增函数；
（2）减函数：若对于定义域内的某个区间DDI上的任意两个自变量1x、2x，当12xx时，都有
12fxfx，那么就说函数fx在区间D上是减函数.
函数的最值
1.最大值：一般地，设函数yfx的定义域为I，如果存在实数M满足：
（1）对于任意的xI，都有fxM；
（2）存在0xI，使得0fxM.
那么，我们称M是函数yfx的最大值.
2.最小值：一般地，设函数yfx的定义域为I，如果存在实数m满足：
（1）对于任意的xI，都有fxm；
（2）存在0xI，使得0fxm.
那么，我们称m是函数yfx的最小值.
对点练习
函数f(x)＝13x－log2(x＋2)在区间上的最大值为________．【答案】3
考点1 单调性的判定和证明
1.给定函数①12yx＝，②12(1)ylogx＝＋，③|1|yx＝－，④12xy＋＝.其中在区间(0,1)上单调递减的函数序号是( ) 【答案】B
A．①② B．②③
C．③④ D．①④
【领悟技法】 1.利用基本初等函数的单调性与图像：只需作出函数的图象便可判断函数在相应区间上的单调性；
2.性质法：（1）增函数增函数增函数，减函数减函数减函数，增函数减函数增函数，减函数增函数减函数；
（2）函数fx与函数fx的单调性相反；
（3）0k时，函数fx与kfx的单调性相反（0fx）；
0k时，函数fx与kfx的单调性相同（0fx）.
2.导数法：0fx在区间D上恒成立，则函数fx在区间D上单调递增；0fx在区间D上恒成立，则函数fx在区间D上单调递减.
观察上面特殊情况下的结论，不难猜想
当— 一 — 时，必有一一—ＯＰ—， ＋ １＿０Ｐ—ｅＰ Ｐ ＰＰ ＯＰＩ ，点Ｐ 当１一 ２时，必有 一—— ＿一，点
的坐标是（ ， ）．
这便是第１００页探究栏目中所提出的问题的一 般性结论．教材中未给出探究过程，这里作如下补充．
设Ｐ１（ｚ１，Ｙ１），Ｐ２（ｚ２，Ｙ２），Ｐ（ｚ， ），由于Ｐ１ Ｐ—
ＰＰ ２，故ＯＰ一０Ｐ１＋Ｐ Ｐ一０Ｐ】＋ ＰＰ ２—０Ｐ１＋
（ＯＰ２—０Ｐ），所以（１＋ ）０Ｐ一０Ｐ１＋ ０Ｐ ２，故０Ｐ—
，因此ｚ一旦 ， 一 ，即点Ｐ
的坐标是（ 去 ， ）．
这里ｚ一旦 ， 一 （ ≠一１）称作线
段定比分点的坐标公式， 一 （ ≠一１）
是线段定比分点公式的向量表示．
教材第１０５页的例２的结论告诉我们，代数中的
完全平方公式和平方差公式在向量运算中也适用．可 以请学生利用向量数量积运算的“分配律”自行推导，
教师最后可以进一步指出：代数中的多项式与多项式 的乘法法则在向量运算中也适用，要求学生熟练
掌握．
教材第１０５页的例４是两向量垂直的充要条件 的直接应用．事实上，求值问题是方程问题，因此只需
根据两向量垂直它们的数量积等于零，并结合给定向 量的模长即可建立关于ｋ的方程，解之即可．
教材第ｌ１０页的例１和例２是同一类问题，教学
中可以先借助信息技术作动画演示，使学生清晰地看 到３条线段长度总是相等的事实，在此基础上提出相
应的猜想，再作证明．这样设计教学过程，旨在使学生 进一步体会“实验归纳一猜想一证明”这一发现真
理的过程． 教材第ｌ１１页的例３是日常生活中经常遇到的 问题，要对问题中的物理现象作出数学解释，关键在
于对问题的分析，按教材第１１２页的图形解释即可． 教材第１１２页的例４是航行问题．要使“行驶航
程最短”，船的实际航向必须垂直于河岸．考虑到本例
中的河水是流动的，因此，当船的速度与水流速度的 合速度垂直于河岸时，才能使得“行驶航程最短”．由
函数的最值与单调性
函数的最值与单调性对于数学领域来说是非常重要和常见的概念。在本文中，我将详细介绍函数的最值和单调性，并讨论它们在数学问题中的应用。
一、函数的最值
函数的最值是指函数在定义域内取得的最大值和最小值。一个函数可能有多个最大值和最小值，也可能没有最大值或最小值。
在求解一个函数的最值时，我们可以通过以下步骤进行：
1. 找到函数的定义域。
2. 求解函数的导数，并找到导数为零的点和导数不存在的点。
3. 将这些点代入函数中，得到对应的函数值。
4. 比较这些函数值，找到最大值和最小值。
举例来说，考虑函数 f(x) = 2x^2 - 3x + 1。首先，我们需要找到函数的定义域。由于这是一个二次函数，它的定义域是整个实数集。然后，我们求解 f(x) 的导数 f'(x) = 4x - 3，并找到导数为零的点 x = 3/4。将这个点代入原函数，得到 f(3/4) = 1/8。由于这个函数是一个开口向上的抛物线，它的最小值就是 f(3/4) = 1/8。因此，这个函数的最值是 f(3/4)
= 1/8。 另外一个例子是函数 g(x) = sin(x)。对于这个函数，它的定义域是整个实数集。由于正弦函数的取值范围在 [-1, 1] 之间，所以 g(x) 的最大值是 1，最小值是 -1。
函数的最值在数学中经常用来确定问题的极限、最优解和最不利情况等。
二、函数的单调性
函数的单调性是指函数的增减性质。一个函数可以是递增的、递减的或是既递增又递减。
要判断一个函数的单调性，我们可以通过以下方法：
1. 求解函数的导数。
2. 研究导数的符号。
如果导数在定义域内始终大于零，那么函数是递增的；如果导数在定义域内始终小于零，那么函数是递减的。如果导数既大于零又小于零，那么函数既递增又递减。
比如考虑函数 h(x) = x^2 - 3x + 2。我们求解 h(x) 的导数 h'(x) = 2x -
解题方法ｓ技巧 ＺＨＯＮＧＸＵＥ ＪＩＡＯＸＵＥ ＣＡＮＫＡＯ
利用函数的单调性求最值
广西玉林市福绵高级中学（５３７０２３） 陈秀娟
函数的单调性是函数的一个重要性质，几乎是每年 高考必考的内容，比如判断或证明函数单调性，求单调
区间，利用函数单调性研究函数图象，解不等式等．下面 就利用函数的单调性求最值进行举例说明．
一、利用函数单调性求对勾函数［形如－厂（．ｚ）一ｎｚ＋
詈（其中ｎ６≠０）型］的最值
它是历年来高考考查的一个热点问题，此函数不仅
在图象上具有漂亮的对称性，而且通过多种不同的途径 由二次函数与反比例函数复合而得，使该类考题具有更 深的内涵．
【例 】 求函数 一 的最小值· 一２－Ｌ Ｖ上 Ｉ￡士 解：ｙ－－丽ｘ２＋５一 一 ＋
、 ‘
设 一、／／丽≥２，则 一 （￡）一￡＋÷．
函数 一厂（ ）在区间［２，＋ｃｘ３）上是增函数，
故 ２，即ｚ：ｏ时， 取得最小值，所以 一要．
评析：对勾函数求最值与均值不等式定理求最值应 互为补充，此题不能利用均值定理求最小值，因为取等
号时的条件是、／／ 一 １ ，即ｘ￣＝－－３（无解）． Ｖ上 ｌ 注：对勾函数的极值规律：
（１）当ｎ＞ｏ，６＞０时，函数在ｚ一√鲁处取得极小值
一２河，在ｚ一一√鲁处取得极大值 一一２￣／， ；
（２）当ａ＜０，６＜ｏ时，函数在．ｚ一一√鲁处取得极小 值 一２何，在ｚ一 取得极大值 一一２ ；
（３）当ａｂ＜Ｏ时，函数没有极值．
二、利用单调性求抽象函数的最值 【例２】函数－厂（ｚ）是定义在Ｒ上的奇函数，且满足
２个条件： ’
①对于任意的ｚ，Ｙ∈Ｒ，都有ｆ（ｘ＋ ）一厂（－ｚ）＋ －厂（ ）； ②当ｘ＞０时， （ｚ）＜０且厂（１）一一２，求函数，（Ｌｚ）
在［一３，３］上的最大值和最小值．
·解：设一３≤ １＜ｌｚ２≤３，则 ２～ １＞Ｏ， 由条件②得ｆ（ｘ 一ｚ ）＜０，
又由条件①可知
ｆ（ｘ２）一 ［（ ２一ｚ１）＋ ］一厂（ ２一ｚ１）＋厂（ １）＜
