浅谈韦达定理在解题中的应用
韦达定理是反映一元二次方程根与系数关系的重要定理．纵观近年各省、市的中考(竞赛)试题可以发现，关于涉及此定理的题目屡见不鲜，且条件隐蔽．在证(解)题时，学生往往因未看出题目中所隐含的韦达定理的条件而导致思路闭塞，或解法呆板，过程繁琐冗长．下面举例谈谈韦达定理在解题中的应用，供大家参考．
一、直接应用韦达定理
若已知条件或待证结论中含有a＋b和a·b形式的式子，可考虑直接应用韦达定理．
例1 在△ABC中，a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的对边，D是AB边上一点，且BC＝DC，设AD＝d．
求证：
(1)c＋d＝2bcosA；
(2)c·d＝b2－a2．
分析：观察所要证明的结论，自然可联想到韦达定理，从而构造一元二次方程进行证明．
证明：如图，在△ABC和△ADC中，由余弦定理，有
a2＝b2＋c2－2bccosA；
a2＝b2＋d2－2bdcosA(CD＝BC＝a)．
∴ c2－2bccosA＋b2－a2＝0，
d2－2bdcosA＋b2－a2＝0．
于是，c、d是方程x2－2bxcosA＋b2－a2＝0的两个根．
由韦达定理，有c＋d＝2bcosA，c·d＝b2－a2．
例2 已知a＋a2－1＝0，b＋b2－1＝0，a≠b，求ab＋a＋b的值．
分析：显然已知二式具有共同的形式：x2＋x－1＝0．于是a和b可视为该一元二次方程的两个根．再观察待求式的结构，容易想到直接应用韦达定理求解．
解：由已知可构造一个一元二次方程x2＋x－1=0，其二根为a、b．
由韦达定理，得a＋b＝－1，a·b＝－1．
故ab＋a＋b＝－2．
二、先恒等变形，再应用韦达定理
若已知条件或待证结论，经过恒等变形或换元等方法，构造出形如a＋b、a·b形式的式子，则可考虑应用韦达定理．
例3 若实数x、y、z满足x＝6－y，z2＝xy－9．求证：x＝y．
证明：将已知二式变形为x＋y＝6，xy＝z2＋9．
韦达定理练习题初三
韦达定理是初中数学中的重要定理之一，它为我们解决三角形中的问题提供了有效的工具。在初三学习阶段，我们需要通过练习题的形式，巩固和应用韦达定理的知识。下面是一些韦达定理练习题，帮助同学们更好地掌握这一知识点。
【题目一】
已知△ABC中，AB = 6，AC = 8，BC = 10，求△ABC的高。
【解题思路】
根据韦达定理，对于三角形ABC，有公式：
a² = b² + c² - 2bc * cosA
其中，a、b、c分别表示三角形的边长，A表示夹角。
根据已知条件，代入公式中可得：
8² = 6² + 10² - 2 * 6 * 10 * cosA
进一步计算可得：
64 = 36 + 100 - 120cosA
28 = -120cosA
cosA ≈ -0.233
由于A为锐角，cosA不可能为负数，因此此题无解。 【题目二】
已知△ABC中，AB = 12，BC = 18，AC = 24，求△ABC的面积。
【解题思路】
根据韦达定理，我们可以先通过余弦定理求得角BAC的值。
cosA = (b² + c² - a²) / 2bc
cosA = (18² + 24² - 12²) / 2 * 18 * 24
cosA ≈ 0.5
由于韦达定理中的角A为夹角，无法直接计算面积，我们需要进一步计算角B、角C。
角B = arcsin(b * sinA / a)
角B = arcsin(18 * sin(0.5) / 12)
角B ≈ 0.573 rad
角C = π - A - B
角C = π - 0.5 - 0.573
角C ≈ 2.068 rad
根据三角形面积公式S = 0.5 * a * b * sinC，代入已知条件可得：
S = 0.5 * 12 * 18 * sin(2.068)
S ≈ 110.4 所以，△ABC的面积约为110.4平方单位。
【题目三】
第 1 页 共 4 页 初中数学韦达定理专项
一、韦达定理的内容
对于一元二次方程ax²+bx+c=0 (a≠0)，设其两根为x1、x2，则有：
1. x1+x2
=ab
2. x1
· x2 = ac
二、韦达定理的推导
求根公式法推导
一元二次方程²的求根公式为ax²+bx+c=0 (a≠0)的求根公式为
aacbbx242
那么两个根aacbbx2421
aacbbx2422
x1+x2 =aacbb242+aacbb242=ab22=ab
x1 · x2 = aacbb242×aacbb242=2224)4()(aacbb=ac
三、韦达定理的应用
1.已知方程求两根之和与两根之积
例如，对于方程2x²-5x+3=0，这里a=2，b=-5，c=3
根据韦达定理，两根之和x1+x2 =ab=25
两根之积x1 · x2 = ac=23 第 2 页 共 4 页 2.已知两根之和与两根之积构造方程
若已知两根之和为m，两根之积为n，则可构造方程x²-mx+n=0。
比如，两根之和为 4，两根之积为 3，那么构造的方程为x²-4x+3=0。
3. 不解方程求与两根有关的代数式的值
例如，求(x1-x2)²的值。
(x1-x2)²=(x1+x2)²-4x1x2 ，已知两根之和与两根之积，代入即可求解。
4. 利用韦达定理判断方程根的情况
由韦达定理可知，当b²-4ac＞0时，方程有两个不相等的实数根，此时两根之和与两根之积均有确定的值。
当b²-4ac=0时，方程有两个相等的实数根，两根之和为ab，两根之积为ac。
当b²-4ac＜0时，方程无实数根，韦达定理在这种情况下无意义。
四、韦达定理的注意事项
1. 韦达定理只有在一元二次方程有实数根的情况下才成立。
2. 在应用韦达定理时，要先确定方程中a、b、c的值，且a≠0。
一元n次方程根与系数的关系
数学在许多人眼里是很抽象、复杂的，但在这些复杂现象的背后却往往有着非常和谐、自然的规律，如果能更多地理解和掌握这些规律，就会对数学有更深刻的认识。很多迷恋数学的人就是被数学的这一特点所吸引，韦达便是其中的一员。
韦达于1540年生于法国普瓦图地区，1560年就读于法国普瓦图大学，是大学法律系的毕业生。毕业后长期从事法律工作，一直到1603年去世，数学始终是韦达的业余爱好，并且达到了酷爱的程度。
韦达研究二次方程时，已经注意到，如果一次项的系数是两个数之和的相反数，而常数项是这两个数的乘积，则这两个数就是这个方程的根。由于时代的局限，他当时没能从理论上证明它，但他的数学思想和他的数学著作都大大充实了数学宝库。1615年(此时，韦达已逝世12年，这些著作是由后人整理的)发表的韦达的著作《论方程的整数与修正》是一部方程论的专著，书中对一元三次方程、一元四次方程的解法做出了改进，并揭示了方程根与系数的关系。其中不仅包括一元二次方程的根与系数的关系，还包含了一元n次方程根与系数的关系：
如果一元n次方程anxn+an-1xn-1+…+a1x+a0=0的n个根是x1, x2, …, xn, 那么
人们为了纪念他，把这个关系称为“韦达定理”。
一元二次方程根与系数的关系，就是上述定理在n=2时的情况。
