浅谈韦达定理在解题中的应用
韦达定理是反映一元二次方程根与系数关系的重要定理．纵观近年各省、市的中考(竞赛)试题可以发现，关于涉及此定理的题目屡见不鲜，且条件隐蔽．在证(解)题时，学生往往因未看出题目中所隐含的韦达定理的条件而导致思路闭塞，或解法呆板，过程繁琐冗长．下面举例谈谈韦达定理在解题中的应用，供大家参考．
一、直接应用韦达定理
若已知条件或待证结论中含有a＋b和a·b形式的式子，可考虑直接应用韦达定理．
例1 在△ABC中，a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的对边，D是AB边上一点，且BC＝DC，设AD＝d．
求证：
(1)c＋d＝2bcosA；
(2)c·d＝b2－a2．
分析：观察所要证明的结论，自然可联想到韦达定理，从而构造一元二次方程进行证明．
证明：如图，在△ABC和△ADC中，由余弦定理，有
a2＝b2＋c2－2bccosA；
a2＝b2＋d2－2bdcosA(CD＝BC＝a)．
∴ c2－2bccosA＋b2－a2＝0，
d2－2bdcosA＋b2－a2＝0．
于是，c、d是方程x2－2bxcosA＋b2－a2＝0的两个根．
由韦达定理，有c＋d＝2bcosA，c·d＝b2－a2．
例2 已知a＋a2－1＝0，b＋b2－1＝0，a≠b，求ab＋a＋b的值．
分析：显然已知二式具有共同的形式：x2＋x－1＝0．于是a和b可视为该一元二次方程的两个根．再观察待求式的结构，容易想到直接应用韦达定理求解．
解：由已知可构造一个一元二次方程x2＋x－1=0，其二根为a、b．
由韦达定理，得a＋b＝－1，a·b＝－1．
故ab＋a＋b＝－2．
二、先恒等变形，再应用韦达定理
若已知条件或待证结论，经过恒等变形或换元等方法，构造出形如a＋b、a·b形式的式子，则可考虑应用韦达定理．
例3 若实数x、y、z满足x＝6－y，z2＝xy－9．求证：x＝y．
证明：将已知二式变形为x＋y＝6，xy＝z2＋9．
韦达定理练习题初三
韦达定理是初中数学中的重要定理之一，它为我们解决三角形中的问题提供了有效的工具。在初三学习阶段，我们需要通过练习题的形式，巩固和应用韦达定理的知识。下面是一些韦达定理练习题，帮助同学们更好地掌握这一知识点。
【题目一】
已知△ABC中，AB = 6，AC = 8，BC = 10，求△ABC的高。
【解题思路】
根据韦达定理，对于三角形ABC，有公式：
a² = b² + c² - 2bc * cosA
其中，a、b、c分别表示三角形的边长，A表示夹角。
根据已知条件，代入公式中可得：
8² = 6² + 10² - 2 * 6 * 10 * cosA
进一步计算可得：
64 = 36 + 100 - 120cosA
28 = -120cosA
cosA ≈ -0.233
由于A为锐角，cosA不可能为负数，因此此题无解。 【题目二】
已知△ABC中，AB = 12，BC = 18，AC = 24，求△ABC的面积。
【解题思路】
根据韦达定理，我们可以先通过余弦定理求得角BAC的值。
cosA = (b² + c² - a²) / 2bc
cosA = (18² + 24² - 12²) / 2 * 18 * 24
cosA ≈ 0.5
由于韦达定理中的角A为夹角，无法直接计算面积，我们需要进一步计算角B、角C。
角B = arcsin(b * sinA / a)
角B = arcsin(18 * sin(0.5) / 12)
角B ≈ 0.573 rad
角C = π - A - B
角C = π - 0.5 - 0.573
角C ≈ 2.068 rad
根据三角形面积公式S = 0.5 * a * b * sinC，代入已知条件可得：
S = 0.5 * 12 * 18 * sin(2.068)
S ≈ 110.4 所以，△ABC的面积约为110.4平方单位。
【题目三】
第四章 图形的相似
1．成比例线段（二）
一、学生知识状况分析
学生的知识技能基础：
这节课是“成比例线段”的第二课时，学生已经通过第一节课的学习，观察了大量的图片，列举了许多现实生活中的情境，认识了线段的比的知识，知道了选用同一单位长度量线段的长度，从而求出两条线段的比。也学会了运用比例线段的基本性质解决实际问题，并通过图片创设的问题情境，重现了现实生活中的比例模型，初步掌握了解决有关比的问题的方法。在这个基础上，进一步来学习成比例线段的有关性质，学生不会感到陌生，反而容易接受本节课的继续学习。
学生活动经验基础：
上一节课，学生已经收集了一些相似图形的图片，如大小不同的两张中国地图、国旗，同底相片等。已经感受了数学知识源于生活，用于生活。各小组展示并讨论过线段比的事例，具有了一定的合作交流的基础和能力。
难点处理：
比例的基本性质的推理是本节课的难点，教学中要尽量让学生发扬小组合作的精神，在小组中展开讨论，教师参与指点。
二、教学任务分析
教科书在学生认识线段的比的基础上，进一步提出了本节课的具体要求：理解并掌握比例的基本性质及其简单应用。学好了本节课，既承接了全等三角形的内容，又为本章的后续学习相似三角形和相似多边形奠定了基础。在知识技能方面，要求学生了解线段的比和成比例线段；理解并掌握比例的基本性质及其简单应用；发展学生从数学的角度提出问题、分析问题和解决问题的能力。学生经历运用线段的比解决问题的过程，在观察、计算、讨论、想象等活动中获取知识。通过本节课的教学，培养学生的数学应用意识，体会数学与现实生活的密切联系。
教学目标：
（一）知识目标：了解线比例线段的基本性质；理解并掌握比例的基本性质及其简单应用；发展学生从数学的角度提出问题、分析问题和解决问题的能力。 （二）能力目标：经历运用线段的比解决问题的过程，在观察、计算、讨论、想象等活动中获取知识。
（三）情感与价值观目标：通过本节课的教学，培养学生的数学应用意识，体会数学与现实生活的密切联系。
一元n次方程根与系数的关系
数学在许多人眼里是很抽象、复杂的，但在这些复杂现象的背后却往往有着非常和谐、自然的规律，如果能更多地理解和掌握这些规律，就会对数学有更深刻的认识。很多迷恋数学的人就是被数学的这一特点所吸引，韦达便是其中的一员。
韦达于1540年生于法国普瓦图地区，1560年就读于法国普瓦图大学，是大学法律系的毕业生。毕业后长期从事法律工作，一直到1603年去世，数学始终是韦达的业余爱好，并且达到了酷爱的程度。
韦达研究二次方程时，已经注意到，如果一次项的系数是两个数之和的相反数，而常数项是这两个数的乘积，则这两个数就是这个方程的根。由于时代的局限，他当时没能从理论上证明它，但他的数学思想和他的数学著作都大大充实了数学宝库。1615年(此时，韦达已逝世12年，这些著作是由后人整理的)发表的韦达的著作《论方程的整数与修正》是一部方程论的专著，书中对一元三次方程、一元四次方程的解法做出了改进，并揭示了方程根与系数的关系。其中不仅包括一元二次方程的根与系数的关系，还包含了一元n次方程根与系数的关系：
如果一元n次方程anxn+an-1xn-1+…+a1x+a0=0的n个根是x1, x2, …, xn, 那么
人们为了纪念他，把这个关系称为“韦达定理”。
一元二次方程根与系数的关系，就是上述定理在n=2时的情况。
