韦达定理应用复习

韦达定理及其应用

集团文件版本号：（M928-T898-M248-WU2669-I2896-DQ586-M1988）

韦达定理及其应用

【内容综述】

设一元二次方程有二实数根，则， 。

这两个式子反映了一元二次方程的两根之积与两根之和同系数a，b，c的关系，称之为韦达定理。其逆命题也成立。韦达定理及其逆定理作为一元二次方程的重要理论在初中数学竞赛中有着广泛的应用。本讲重点介绍它在五个方面的应用。

【要点讲解】

1．求代数式的值

应用韦达定理及代数式变换，可以求出一元二次方程两根的对称式的值。

★★例1 若a，b为实数，且，，求的值。

思路 注意a，b为方程的二实根；（隐含）。

说明 此题易漏解a=b的情况。根的对称多项式，，等都可以用方程的系数表达出来。一般地，设，为方程的二根，，则有递推关系。

其中n为自然数。由此关系可解一批竞赛题。

附加：本题还有一种最基本方法即分别解出a，b值进而求出所求多项式值，但计算量较大。

★★★例2 若，且，试求代数式的值。

思路 此例可用上例中说明部分的递推式来求解，也可以借助于代数变形来完成。

2．构造一元二次方程

如果我们知道问题中某两个字母的和与积，则可以利用韦达定理构造以这两个字母为根的一元二次方程。

★★★★例3 设一元二次方程的二实根为和。

（1）试求以和为根的一元二次方程；

（2）若以和为根的一元二次方程仍为。求所有这样的一元二次方程。

3．证明等式或不等式

根据韦达定理（或逆定理）及判别式，可以证明某些恒等式或不等式。

★★★ 例4 已知a，b，c为实数，且满足条件：，，求证a=b。

说明 由“不等导出相等”是一种独特的解题技巧。另外在求得c=0后，由恒等式可得，即a=b。此方法较第一种烦琐，且需一定的跳跃性思维。

韦达定理：

一元二次方程ax2+bx+c=0 (a≠0)的两个根分别为x1和x2，那么则有：

x1+x2=−ba ; x1.x2=ca

一元二次方程x2+px+q=0 的两个根分别为x1和x2，那么则有：

x1+x2=−p ; x1.x2=q

1：已知两个根其中的一个，就可以代入韦达定理的关系式里的任何来求得另一个根，并且还可以用另一个关系式来检验。

例：一元二次方程2x2−7x+6=0 ，它的一个根是2，求它另外一个根。

解：设另外一个根为x₁ ，由公式（x1.x2=ca）知：x1.2=62 ∴x1=32

2：根据根与系数的关系，把已知的两个根的和的相反数做所求方程的一次项系数，两根的积做常数项，而把二次项系数作为1，这样，就能作出这个方程。

例：已知一元二次方程的两个根是1+√2和1−√2，求这个方程。

解：设所求方程为x2+px+q=0 则p=−[(1+√2)+(1−√2)]=−2

q=(1+√2)(1−√2)=−1 ∴所求方程为x2−2x−1=0

3：根据根与系数的关系，可以把所求的两个数当作一元二次方程当中的系数，然后解这个方程，那么方程的两个根就是这两个数。

例：已知两个数的和为20，乘积为23，求这两个数。

解：设这两个数分别为方程x2+px+q=0的两个根x1和x2，根据韦达定理：p=−(x1+x2)，q=x1.x2 则x2−20x+23=0的根即为所求两数。解得x1=10+√77，x2=10−√77为所求两个数。

4：已知一个一元二次方程，不解这个方程，求某些代数式的值（这些代数式是方程两个根的对称式）。

例：已知方程2x2+3x−5=0，不解方程，求它的两个根的倒数平方和。

解：设方程的两个根x1和x2。根据韦达定理：x1+x2=−32 ; x1.x2=−52

(1x1)2+(1x2)2=(x1+x2)2−2x1x2(x1x2)2=(−32)2−2(−52)(−52)2=2925

专题12 韦达定理及其应用

1、会运用根与系数关系解题。

2、对一元二次方程以及其根有更深刻的了解，培养分析问题和解决问题的能力。

一、根的判别式

1、定义：运用配方法解一元二次方程过程中得到 2224()24bbacxaa，显然只有当240bac时，才能直接开平方得：22424bbacxaa．

注：一元二次方程20(0)axbxca只有当系数a、b、c满足条件240bac时才有实

2、一元二次方程的判别式：acb42，

（1）当042acb时，方程有两个不相等的实数根，aacbbx242；

（2）当042acb时，方程有两个相等的实数根，abxx221；

（3）当042acb时，方程无实数解。

3、一元二次方程根与系数关系的推导：

对于一元二次方程02cbxax其中0a，设其根为21,xx，由求根公式aacbbxx24221，有abxx21，acxx21

4、常见的形式：

（1）212212214)()(xxxxxx

例1．一元二次方程270x的根的情况是（ ）

A．没有实数根 B．有两个相等的实数根

C．有两个不相等的实数根 D．无法判断

【答案】C

【分析】 把a=1，b=0，c=-7代入△=24bac，然后计算△，最后根据计算结果判断方程的根的情况即可．

【详解】

解：∵ a=1，b=0，c=-7，

∴ △=24bac=041-7=280＞，

∴ 方程有两个不相等的实数根．

故选：C．

二、韦达定理

如果20(0)axbxca的两根是1x，2x，则12bxxa，12cxxa．（隐含的条件：0）特别地，当一元二次方程的二次项系数为1时，设1x，2x是方程20xpxq的两个根，则12xxp，12xxq．

例2．设一元二次方程20(a0)axbxc的两根为12,xx，由求根公式21,242bbacxa可推出1212,bcxxxxaa，我们把这个命题叫做韦达定理．设,是方程2530xx的两根，请根据韦达定理求下列各式的值：

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只供学习交流用 韦达定理的应用

一、典型例题

例1：已知关于x的方程2x－（m＋1）x＋1－m=0的一个根为4，求另一个根。

解：设另一个根为x1，则相加，得x

例2：已知方程x－5x＋8=0的两根为x1，x2，求作一个新的一元二次方程，使它的两根分别为和.

解：∵ 又

∴代入得， ∴新方程为

例3：判断是不是方程9x－10x－2=0的一个实数根？

解：∵二次实数方程实根共轭，∴若是，则另一根为

∴，。

∴以为根的一元二次方程即为. 此文档来源于网络，如有侵权请联系网站删除

只供学习交流用 例4：解方程组

解：设 ∴.

∴A=5. ∴x-y=5 又xy=-6.

∴解方程组 ∴可解得

例5：已知RtABC中，两直角边长为方程x－（2m＋7）x＋4m（m－2）=0的两根，且斜边长为13，求S的值

解：不妨设斜边为C=13，两条直角边为a，b，则2。 又a，b为方程两根。

∴ab=4m（m-2） ∴S 但a，b为实数且

∴ ∴

∴m=5或6 当m=6时， ∴m=5 ∴S.

例6：M为何值时，方程8x－（m－1）x＋m－7=0的两根

① 均为正数 ②均为负数 ③一个正数，一个负数 ④一根为零 ⑤互为倒数

解：①∵ ∴m>7 此文档来源于网络，如有侵权请联系网站删除

只供学习交流用 ②∵

∴不存在这样的情况。

③

∴m<7

④

∴m=7

⑤

∴m=15.但使

∴不存在这种情况

【模拟试题】（答题时间：30分钟）

1. 设n为方程x＋mx＋n=0（n≠0）的一个根，则m＋n等于

2. 已知方程x＋px－q=0的一个根为－2＋，可求得p= ,q=

3. 若方程x＋mx＋4=0的两根之差的平方为48，则m的值为（ ）

A．±8 B.8 C.－8 D.±4

4. 已知两个数的和比a少5，这两个数的积比a多3，则a为何值时，这两个数相等？