吉林省实验中学2019-2020学年高一下学期期末考试数学试题及答案

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一、选择题（本题包括12小题，每小题只有一个选项符合题意，每小题5分，共60分）

（1）数列23451,,,,,3579的一个通项公式na是

（A）21nn （B）23nn （C）23nn （D）21nn

（2）若直线mx＋4y－2＝0与直线2x－5y－12＝0垂直，则实数m的值为

（A）－12 （B）－10 （C）0 （D）10

（3）若一个正方体截去一个三棱锥后所得的几何体如图所示，则该几何体的正视图是

（A） （B） （C） （D）

（4）函数4(1)1yxxx 的最小值是

（A）3 （B）4 （C）5 （D）6

（5）过三棱柱ABC－A1B1C1的任意两条棱的中点作直线，其中与平面ABB1A1平行的直线共有 吉林省实验中学2019-2020学年度下学期高一年级

期末考试数学试卷 第 2 页 共 10 页 （A）4条 （B）6条 （C）8条 （D）12

（6）不等式222221xxxx的解集为

（A）2xx （B）R （C） （D）|2xx或2x

（7）已知实数x，y满足22020210xyxyxy≥≤≥，则z＝x﹣y的最大值为

（A）－8 （B）54 （C）2 （D）8

（8）已知圆22:240Cxyxy关于直线32110xay对称，则圆C中以,22aa为中点的弦长为

（A）1 （B）2 （C）3 （D）4

（9）在等差数列na中，若468101290aaaaa，则101413aa的值为

（A）12 （B）14 （C）16 （D）18

（10）如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，点P在线段AD1上运动，则异面直线CP与BA1所成的角θ的取值范围是

（A）(0，π2) （B） (0，π2]

（C）[0，π3] （D） (0，π3]

（11）在△ABC中，角A，B，C的对边a，b，c成等差数列，且A－C＝90°，则cosB＝

（A） （B） （C） （D） 3434240 第 3 页 共 10 页

（12）用x表示不超过的x最大整数（如2.12，3.54）．数列na满足

*114,1(1),()3nnnaaaanN，若12111nnSaaa，则nS的所有可能

值的个数为

（A）1 （B）2 （C）3 （D）4

二、填空题（本题包括4小题，每小题5分，共20分）

（13）已知一圆柱内接于球O，且圆柱的底面圆的直径与母线长均为2，则球O的表面积为________．

（14）已知圆226xy和点22M，，则过点M的圆的切线方程为________．

（15）已知直线l：kx－y＋1＋2k＝0（k∈R），则直线l过定点______．

（16）已知函数331xxfx，xR，正项等比数列na满足501a，则1299lnlnlnfafafa等于______．

三、解答题（共70分）

（17）（本小题满分10分）

已知圆22:4Cxy，若直线l过点(2,4)并且与圆C相切，求直线l的方程．

（18）（本小题满分12分） 第 4 页 共 10 页 解关于x的不等式2(1)10 (>0)axaxa．

（19）（本小题满分12分）

已知以点P为圆心的圆经过点A(－1,0)和B(3,4)，线段AB的垂直平分线交圆P于点C和D，且|CD|＝410.

（Ⅰ）求直线CD的方程；

（Ⅱ）求圆P的方程．

（20）（本小题满分12分）

如图所示，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，棱长AB＝1．

（Ⅰ）求异面直线A1B与 B1C所成角的大小；

（Ⅱ）求证：平面A1BD∥平面B1CD1．

（21）（本小题满分12分）

已知数列na和nb满足12a，11b，12nnaa（n∈N*），1231111123nnbbbbbn（n∈N*）． A B C D A1 B1 C1 D1 第 5 页 共 10 页 （Ⅰ）求na与nb；

（Ⅱ）记数列nnab的前n项和为nT，求nT．

（22）（本小题满分12分）

如图，已知扇形的圆心角23AOB，半径为42，若点C是AB上的一动点（不与点

A，B重合）．

（Ⅰ）若弦4(31)BC，求BC的长；

（Ⅱ）求四边形OACB面积的最大值．

A O B C 第 6 页 共 10 页

一、选择题（每小题5分，共60分）

二、填空题（每小题5分，共20分）

13. 8

； 14. 2260xy； 15. (－2，1) ； 16. 992 .

三、解答题（共70分）

17．2x或34100xy；

【详解】

当斜率不存在时，直线方程为：2x，与圆相切，满足题意

当斜率存在时，设切线方程为：42ykx，即：420kxyk

由直线与圆相切得：dr，即：24221kk，解得：34k 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

答案 D D A C B A D D A D C C 吉林省实验中学2019-2020学年度下学期高一年级

期末考试数学试卷答案 第 7 页 共 10 页 切线方程为：3424yx，即：34100xy

综上所述，切线方程为：2x或34100xy

18．当0

当a＝1时，不等式的解集为∅；

当a >1时，不等式的解集为11xxa.

【详解】

原不等式变为(ax－1)(x－1)<0，

因为a>0，所以110xxa.

所以当a>1时，解得1a

当a＝1时，解集为∅；

当0

综上，当0

当a＝1时，不等式的解集为∅；

当a >1时，不等式的解集为11xxa.

19．（Ⅰ）x＋y－3＝0

（Ⅱ）(x＋3)2＋(y－6)2＝40或(x－5)2＋(y＋2)2＝40 第 8 页 共 10 页 【详解】

（Ⅰ）直线AB的斜率k＝1，AB的中点坐标为(1,2)，

∴直线CD的方程为y－2＝－(x－1)，即x＋y－3＝0.

（Ⅱ）设圆心P(a，b)，则由P在CD上得a＋b－3＝0.①

又直径|CD|＝410，

∴|PA|＝210.

∴(a＋1)2＋b2＝40.

由①②解得 a＝－3，b＝6或 a＝5，b＝－2.

∴圆心P(－3,6)或P(5，－2)．

∴圆P的方程为(x＋3)2＋(y－6)2＝40或(x－5)2＋(y＋2)2＝40.

20．（Ⅰ）60（Ⅱ）证明见详解

【详解】

（Ⅰ）因为B1C//A1D，所以1BAD为异面直线A1B与B1C所成角．

在1BAD中，易得13BAD

（Ⅱ）11111111//ABD//ABDABDADBCADBCBC面面面，11D//ABDB１同理：面

11DBCDB１１面，11CBCDB１面，且111DCBBB１

所以111//ABDBCD平面平面

第 9 页 共 10 页 21．（Ⅰ）an＝2n，bn＝n （Ⅱ）Tn＝(n－1)2n＋1＋2

【详解】

（Ⅰ）由a1＝2，an＋1＝2an，得an＝2n(n∈N*)．

由题意知：

当n＝1时，b1＝b2－1，故b2＝2.

n≥2时，b1＋12b2＋…＋1n－1bn－1＝bn－1和原递推式作差得1nbn＝bn＋1－bn，整理得bn＋1n＋1＝bnn，

所以bn＝n(n∈N*)．

（Ⅱ）由 (1) 知anbn＝n·2n，

因此Tn＝2＋2·22＋3·23＋…＋n·2n，

2Tn＝22＋2·23＋3·24＋…＋n·2n＋1，

所以Tn－2Tn＝2＋22＋23＋…＋2n－n·2n＋1.

故Tn＝(n－1)2n＋1＋2(n∈N*)．

22．（Ⅰ）22π3 （Ⅱ）163.

【详解】

（Ⅰ）在△OBC中，BC＝4(3－1)，OB＝OC＝42，

所以由余弦定理得cos∠BOC＝OB2＋OC2－BC22OB·OC＝32，

所以∠BOC＝π6， 于是BC的长为π6×42＝22π3.

（Ⅱ）设∠AOC＝θ，θ∈0，2π3，则∠BOC＝2π3－θ， 第 10 页 共 10 页 S四边形OACB＝S△AOC＋S△BOC

＝12×42×42sin θ＋12×42×42·sin2π3－θ

＝24sin θ＋83cos θ＝163sinθ＋π6.

由于θ∈0，2π3，所以θ＋π6∈π6，5π6，

当θ＝π3时，四边形OACB的面积取得最大值163.