高中数学 第二章 推理与证明 2.2 直接证明与间接证明 反证法证明素材 新人教A版选修22

1 高中数学 第一章 推理与证明 1.3 反证法自我小测 北师大版选修2-2

1.用反证法证明命题“三角形的内角中至少有一个角大于60°”，下列假设中正确的是( )．

A．假设三个内角都大于60° B．假设三个内角都不大于60°

C．假设三个内角至多有一个大于60° D．假设三个内角至多有两个大于60°

2．有甲、乙、丙、丁四位歌手参加比赛，其中只有一位获奖，有人走访了四位歌手，甲说：“是乙或丙获奖．”乙说：“甲、丙都未获奖．”丙说：“我获奖了．”丁说：“是乙获奖．”四位歌手的话只有两人说得正确，则获奖歌手是( )．

A．甲 B．乙 C．丙 D．丁

3．反证法是( )．

A．从结论的反面出发，推出矛盾的证法 B．对其否命题的证明

C．对其逆命题的证明 D．分析法的证明方法

4．命题“三角形中最多只有一个内角是直角”的结论的否定应为( )．

A．有两个内角是直角 B．有三个内角是直角

C．至少有两个内角是直角 D．没有一个内角是直角

5．如果两个数之和为正数，则这两个数( )．

A．一个是正数，一个是负数 B．两个都是正数

C．至少有一个是正数 D．两个都是负数

6．如果要否定“自然数a，b，c中恰有一个偶数”时，则下列假设中正确的是( )．

A．a，b，c都是奇数 B．a，b，c都是偶数

C．a，b，c中至少有两个偶数 D．a，b，c都是奇数或至少有两个偶数

7．如果△A1B1C1的三个内角的余弦值分别等于△A2B2C2的三个内角的正弦值，则△A1B1C1为__________三角形，△A2B2C2为__________三角形(填“锐角”或“钝角”)．

8．设正实数a，b，c满足a＋b＋c＝1，则a，b，c中至少有一个数不小于__________．

9．求证：两条相交直线有且只有一个交点．

高中数学第二章推理与证明2.2.1直接证明教案苏教版选修2_2word格式 1 / 6

直接证明

学习目标 要点难点 1．能知道直接证明的两种基本方 法——综合法和剖析法． 要点：综合法和剖析法的思想方法

2．会剖析综合法和剖析法的思虑 和步骤． 过程、特色，会用综合法和剖析法 难点：综合应用两种方法解题 .

证明数学识题 .

1．直接证明 (1) 直接从原命题的条件逐渐推得命题建立，这类证明往常称为 ________．

此题条件

已知定义

(2) 直接证明的一般形式为： ? ? ________. 已知公义

已知定理

2．综合法

(1) 从已知条件出发，以已知的定义、公义、定理为依照，逐渐下推，直到推出要证 明的结论为止．这类证明方法常称为________． (2) 综合法的推证过程是： ________? ? ? ______. 预习交流 1

n

做一做：已知数列 { an} 的通项公式为 an＝ 2 ，求证：数列 { an} 为等比数列．

(1) 从问题的结论出发，追忆致使结论建立的条件，逐渐上溯，直到使结论建立的条

件和已知条件或已知事实符合为止．这类证明方法常称为 ________． (2) 剖析法的推证过程是： ______ ________. 预习交流 2

做一做：求证： 6＋ 7≥2 2＋ 5.

在预习中还有哪些问题需要你在听课时加以关注？请在以下表格中做个备忘吧！ 我的学困点 我的学疑点

答案： 预习导引

1． (1) 直接证明 (2) 此题结论 高中数学第二章推理与证明2.2.1直接证明教案苏教版选修2_2word格式 2 / 6

2． (1) 综合法 (2) 已知条件 结论

n an＋ 1 2n＋ 1 2·2n 预习交流 1：提示：∵ a ＝ 2 ，∴ an ＝ 2n ＝ 2n ＝ 2( 常数 ) ．∴由等比数列的

1 高中数学 第二章 推理与证明 2.2.2 反证法自我小测 新人教B版选修2-2

1．应用反证法推出矛盾的推导过程中要把下列哪些作为条件使用( )

①结论的否定，即假设；②原命题的条件；③公理、定理、定义等；④原结论．

A．①② B．①②④ C．①②③ D．②③

2．用反证法证明命题“若实系数一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有有理根，那么a，b，c中至少有一个是偶数”时，下列假设正确的是( )

A．假设a，b，c都是偶数 B．假设a，b，c都不是偶数

C．假设a，b，c至多有一个是偶数 D．假设a，b，c至多有两个是偶数

3．如果两个数之和为正数，则这两个数( )

A．一个是正数，一个是负数 B．两个都是正数

C．至少有一个是正数 D．两个都是负数

4．已知x1＞0，x1≠1且xn＋1＝xnx2n＋33x2n＋1(n＝1,2，„)．试证：数列{xn}或者对任意正整数n都满足xn＜xn＋1，或者对任意的正整数n都满足xn＞xn＋1.当此题用反证法否定结论时，应为( )

A．对任意的正整数n，有xn＝xn＋1

B．存在正整数n，使xn＝xn＋1

C．存在正整数n，使xn≥xn－1且xn≥xn＋1

D．存在正整数n，使(xn－xn－1)(xn－xn＋1)≥0

5．设x，y，z∈(0，＋∞)，a＝x＋1y，b＝y＋1z，c＝z＋1x，则a，b，c三数( )

A．至少有一个不小于2 B．都小于2

C．至少有一个不大于2 D．都大于2

6．命题“a，b是实数，若|a－1|＋|b－1|＝0，则a＝b＝1”用反证法证明时应假设为________．

7．设实数a，b，c满足a＋b＋c＝1，则a，b，c中至少有一个数不小于__________．

8．已知a，b，c，d∈R，且a＋b＝c＋d＝1，ac＋bd＞1，求证：a，b，c，d中至少有一个是负数．

第- 1 -页 共7页 2. 2 .1 直接证明--综合法与分析法

1．教学目标：

知识与技能：结合已经学过的数学实例，了解直接证明的两种基本方法：分析法和综合法；了解分析法和综合法的思考过程、特点。

过程与方法: 多让学生举命题的例子，培养他们的辨析能力；以及培养他们的分析问题和解决问题的能力；

情感、态度与价值观：通过学生的参与，激发学生学习数学的兴趣。

2．教学重点：了解分析法和综合法的思考过程、特点

3．教学难点：分析法和综合法的思考过程、特点

4．教具准备：与教材内容相关的资料。

5．教学设想：分析法和综合法的思考过程、特点. “变形”是解题的关键，是最重一步。因式分解、配方、凑成若干个平方和等是“变形”的常用方法。

6．教学过程:

学生探究过程：

合情推理分归纳推理和类比推理，所得的结论的正确性是要证明的，数学中的两大基本证明方法-------直接证明与间接证明。

若要证明下列问题：

已知a,b>0,求证2222()()4abcbcaabc

教师活动：给出以上问题，让学生思考应该如何证明，引导学生应用不等式证明。教师最后归结证明方法。

学生活动：充分讨论，思考，找出以上问题的证明方法

设计意图：引导学生应用不等式证明以上问题，引出综合法的定义

证明:因为222,0bcbca,

所以22()2abcabc,

因为222,0caacb,

所以22()2bcaabc.

因此, 2222()()4abcbcaabc.

P表示已知条件、已有的定义、定理、公理等,Q表示要证明的结论

1. 综合法

综合法：利用某些已经证明过的不等式（例如算术平均数与几何平均数定理）和不等式的性质推导出所要证明的不等式成立，这种证明方法叫做综合法

用综合法证明不等式的逻辑关系是：

11223().....nPQQQQQQQ

综合法的思维特点是：由因导果，即由已知条件出发，利用已知的数学定理、性质和公式，推出结论的一种证明方法