2018-2019学年高中数学 第二章 推理与证明 2.2 直接证明与间接证明 2.2.2 反证法优质新人教A版选修1-2

高中数学第二章推理与证明2.2.1直接证明教案苏教版选修2_2word格式 1 / 6

直接证明

学习目标 要点难点 1．能知道直接证明的两种基本方 法——综合法和剖析法． 要点：综合法和剖析法的思想方法

2．会剖析综合法和剖析法的思虑 和步骤． 过程、特色，会用综合法和剖析法 难点：综合应用两种方法解题 .

证明数学识题 .

1．直接证明 (1) 直接从原命题的条件逐渐推得命题建立，这类证明往常称为 ________．

此题条件

已知定义

(2) 直接证明的一般形式为： ? ? ________. 已知公义

已知定理

2．综合法

(1) 从已知条件出发，以已知的定义、公义、定理为依照，逐渐下推，直到推出要证 明的结论为止．这类证明方法常称为________． (2) 综合法的推证过程是： ________? ? ? ______. 预习交流 1

n

做一做：已知数列 { an} 的通项公式为 an＝ 2 ，求证：数列 { an} 为等比数列．

(1) 从问题的结论出发，追忆致使结论建立的条件，逐渐上溯，直到使结论建立的条

件和已知条件或已知事实符合为止．这类证明方法常称为 ________． (2) 剖析法的推证过程是： ______ ________. 预习交流 2

做一做：求证： 6＋ 7≥2 2＋ 5.

在预习中还有哪些问题需要你在听课时加以关注？请在以下表格中做个备忘吧！ 我的学困点 我的学疑点

答案： 预习导引

1． (1) 直接证明 (2) 此题结论 高中数学第二章推理与证明2.2.1直接证明教案苏教版选修2_2word格式 2 / 6

2． (1) 综合法 (2) 已知条件 结论

n an＋ 1 2n＋ 1 2·2n 预习交流 1：提示：∵ a ＝ 2 ，∴ an ＝ 2n ＝ 2n ＝ 2( 常数 ) ．∴由等比数列的

- 1 - 1.2 类比推理

学 习 目 标 核

心 素 养

1．通过具体实例理解类比推理的意义．(重点)

2．会用类比推理对具体问题作出判断．(难点) 1．通过类比推理的意义的学习，体现了数学抽象的核心素养．

2．通过应用类比推理对具体问题判断的学习，体现了逻辑推理的核心素养.

1．类比推理

由于两类不同对象具有某些类似的特征，在此基础上，根据一类对象的其他特征，推断另一类对象也具有类似的其他特征，我们把这种推理过程称为类比推理．

类比推理是两类事物特征之间的推理．

2．合情推理

合情推理是根据实验和实践的结果、个人的经验和直觉、已有的事实和正确的结论(定义、 - 2 - 公理、定理等)，推测出某些结果的推理方式．

合情推理的结果不一定正确．

思考：合情推理的结果为什么不一定正确？

[提示] 合情推理是由特殊到一般的推理，简单地说就是直接看出来的，没有通过证明，只归纳了一部分，属于不完全归纳，所以不一定正确．

1．下面使用类比推理恰当的是( )

A．“若a·3＝b·3，则a＝b”类比推出“若a·0＝b·0，则a＝b”

B．“(a＋b)c＝ac＋bc”类比推出“(a·b)c＝ac·bc”

C．“(a＋b)c＝ac＋bc”类比推出“a＋bc＝ac＋bc(c≠0)”

D．“(ab)n＝anbn”类比推出“(a＋b)n＝an＋bn”

C [由实数运算的知识易得C项正确．]

2．下列推理是合情推理的是( )

(1)由圆的性质类比出球的有关性质；

(2)由直角三角形、等腰三角形、等边三角形的内角和是180°，归纳出所有三角形的内角和都是180°；

(3)a≥b，b≥c，则a≥c；

(4)三角形内角和是180°，四边形内角和是360°，五边形内角和是540°，由此得凸n边形内角和是(n－2)×180°.

A．(1)(2) B．(1)(3)(4)

C．(1)(2)(4) D．(2)(4)

C [(1)为类比推理，(2)(4)为归纳推理，(3)不是合情推理，故选C.]

1灵活运用反证法

反证法是属于“间接证明法”一类，是从反面的角度思考问题的证明方法，它是从否定

命题的结论入手，并把对命题结论的否定作为推理的已知条件，进行正确的逻辑推理，使之

得到与已知条件、已知公理、定理、法则或者已经证明为正确的命题等相矛盾,其原因是假

设不成立，所以肯定了命题的结论，从而使命题获得了证明．适合用反证法证明的命题：①

否定性命题；②惟一性命题；③至多、至少型命题；④明显成立的命题；⑤直接证明有困难

的命题．反证法应用极为广泛，在平面几何、立体几何、解析几何等方面都有应用，本文选

择几个有代表性的应用，举例加以介绍．

一、证明几何量之间的关系

例1已知：四边形ABCD中，E，F分别是AD、BC的中点，)(

21

CDABEF．

求证：CDAB//．

证明：假设AB不平行于CD。如图，连结AC，取AC的中点G，连结EG、FG．

∵E，F，G分别是AD、BC、AC的中点，

∴CDGE//，CDGE

21

；ABGF//，ABGF

21

．

∵AB不平行于CD，

∴GE和GF不共线，GE、GF、EF组成一个三角形．

∴EFGFGE，①

但EFCDABGFGE)(

21

．②

①与②矛盾．

∴CDAB//．

例2直线PO与平面

相交于O，过点O在平面

内引直线OA、OB、OC，

POCPOBPOA．

求证：PO．

证明：假设PO不垂直平面．

作PH并与平面

相交于H，此时H，O不重合，

连结OH．

由P作OAPE于E，OBPF于F，ABCD

EFG

aOP

A

BCE

FH

2根据三垂线定理可知，OAHE，OBHF．

∵POBPOA，PO是公共边，

∴POFRtPOERt，

∴OFOE．

又OHOH，

∴OEHRtOFHRt，

∴EOHFOH．

因此，OH是AOB的平分线．

同理可证，OH是AOC的平分线．

但是，OB和OC是两条不重合的直线，OH不可能同时是AOB和AOC的平分线，产

生矛盾．

∴PO．

直接证明与间接证明

讲义

第4

讲

【教学建议】

我们知道，

合情推理所得结论的正确性是需要证明的，这正是数学区别于其他学科的显著特点，数学结论的正确性必须通过逻辑推理的方式加以证明.综合法和分析法是直接证明中最基本的两种方法，反证法是

间接证明的一种直接方法. C先生上了公交车却发现没带钱包，售票员不由分说让他下车，一位小伙子微笑着递过一块钱，C先生

很感激．车上的人开始小声议论C先生是骗钱的，就在C先生生气准备甩票下车的时候，借钱给他的小伙

子大声问：“能不能借一下您的手机？”C先生递过手机，小伙子拨了个号码，说了两三分钟的话，C先生

想这下可以证明我的清白了．下车后C先生打开手机愣住了，原来小伙子根本没有拨通电话，但是直接证

明了他的清白．

1.用综合法证明数学问题，证明步骤严谨，逐层递进，步步为营，条理清晰，形式简洁，宜于表达推理的思

维轨迹，并且综合法的推理过程属于演绎推理，它的每一步推理得出的结论都是正确的，不同于合情推理．使

用综合法证明问题，有时从条件可得出几个结论，哪个结论才可作为下一步的条件是分析的要点，所以如何

找到“切入点”和有效的推理途径是有效利用综合法证明数学问题的关键． 2. 综合法证明数学命题的步骤

第一步：分析条件，选择方向．认真发掘题目的已知条件，特别是隐含条件，分析已知与结论之间的联

系，选择相关的公理、定理、公式、结论，确定恰当的解题方法．

第二步：转化条件，组织过程．把题目的已知条件，转化成解题所需要的语言，主要是文字、符号、图

形三种语言之间的转化．组织过程时要有严密的逻辑，简洁的语言，清晰的思路．

第三步：适当调整，回顾反思．解题后回顾解题过程，可对部分步骤进行调整，并对一些语言进行适当

的修饰，反思总结解题方法的选取．

讲义

一、导入

二、知识讲解

知识点1 综合法

1.分析法的推理过程也属于演绎推理，每一步推理都是严密的逻辑推理． 2.分析法证明不等式的依据、方法与技巧． (1)解题依据：分析法证明不等式的依据是不等式的基本性质、已知的重要不等式和逻辑推理的基本理论； (2)适用范围：对于一些条件复杂，结构简单的不等式的证明，经常用综合法．而对于一些条件简单、结